直线与圆锥曲线

直线与圆锥曲线的位置关系

题型 1. 判断直线与圆锥曲线的位置关系

% (1) 直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系 [label=( )] 相交：直线与椭圆有 两个 公共点； 相切：直线与椭圆有 一个 公共点； 相离：直线与椭圆 没有 公共点. 判断位置关系的方法——联立判别式 设直线 ( l: Ax + By + C = 0 )，椭圆方程 ( C: x^2 a^2 + y^2 b^2 = 1 (a > b > 0) )， 第一步：联立方程组 ( Ax + By + C = 0 x^2 a^2 + y^2 b^2 = 1 ) 第二步：消去 ( y )（或消去 ( x )），整理得一元二次方程： ( mx^2 + nx + t = 0 ). 第三步：计算根的判别式 ( = n^2 - 4mt )，并判断位置关系： > 0 直线与椭圆 相交 ; = 0 直线与椭圆 相切 ; < 0 直线与椭圆 相离 . 直线与双曲线的位置关系 [label=( )] 相交：直线与双曲线有 两个 公共点，或有 一个 公共点（直线与渐近线平行）； 相切：直线与双曲线 有且只有一个 公共点，且直线与双曲线的渐近线 不平行； 相离：直线与双曲线 没有 公共点. 直线与抛物线的位置关系 [label=( )] 相交：直线与抛物线有 两个 公共点，或有一个公共点，直线与抛物线的对称轴 平行（重合）； 相切：直线与抛物线 有且只有一个 公共点，且直线与抛物线的对称轴 不平行； 相离：直线与抛物线 没有 公共点.

题型 2. 中点弦

中点弦问题有如下思路： 利用“待定系数法”结合根与系数的关系求出待定系数 ( k )； 用“设而不求”法，利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率的关系. 结论： 若点 ( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) )在曲线 ( x^2 a^2 y^2 b^2 = 1 )上，且弦 ( AB )的中点为 ( M(x_0, y_0) )，则 [ k_ OM k_ AB = b^2 a^2 = e^2 - 1 ] 椭圆（对应曲线 ( x^2 a^2 + y^2 b^2 = 1 )）： ( k_ OM k_ AB = - b^2 a^2 ) 双曲线（对应曲线 ( x^2 a^2 - y^2 b^2 = 1 )）： ( k_ OM k_ AB = b^2 a^2 ) 若点 ( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) )在曲线 (y^2 = 2px )上，弦 ( AB )的中点为 ( M(x_0, y_0) )，则 对于 抛物线： [ k_ AB y_0 = p ] 证明：设 (A(x_1, y_1) )， (B(x_2, y_2) ) 在抛物线上，则 ( y_1^2 = 2px_1 y_2^2 = 2px_2 )，两式相减得 (y_1^2 - y_2^2 = 2p(x_1 - x_2) )， 即 ((y_1+y_2)(y_1-y_2) = 2p(x_1-x_2) )， 因为 (M(x_0, y_0) ) 是 (AB ) 中点，所以 (y_1+y_2 = 2y_0 )， 代入得 (2y_0(y_1-y_2) = 2p(x_1-x_2) )，故 (k_ AB = y_1-y_2 x_1-x_2 = p y_0 ).

直线与圆锥曲线联立

题型 1. 直线与圆锥曲线联立通法

直线的设法： 若题目明确涉及斜率或直线过 y 轴定点，则设直线： (y = kx + m )，需考虑直线斜率是否存在，分类讨论； 若题目没有涉及斜率或直线过 ((n,0) )则设直线： (x = my + n )，此时需讨论直线平行 x 轴的情况. 研究通法: 联立 ( y = kx + m F(x,y)=0 )得： (ax^ 2 +bx + c = 0 ) 判别式: ( = b^ 2 -4ac )，韦达定理: (x_ 1 +x_ 2 =- b a )， (x_ 1 x_ 2 = c a )

结论 1. 直线与椭圆、双曲线联立结果

c c c c c 椭圆方程 直线方程 联立方程 x_1y_2 + x_2y_1 2 * x^2 a^2 + y^2 b^2 = 1 y = kx + m (b^2 + a^2k^2)x^2 + 2a^2kmx + a^2(m^2 - b^2) = 0 4a^2b^2(b^2 + a^2k^2 - m^2) -2ka^2b^2 b^2+a^2k^2 2-5 x = my + n (b^2m^2 + a^2)y^2 + 2b^2mny + b^2(n^2 - a^2) = 0 4a^2b^2(b^2m^2 + a^2 - n^2) -2ma^2b^2 b^2m^2 + a^2 2 * y^2 a^2 + x^2 b^2 = 1 y = kx + m ( b^2k^2+a^2)x^2 + 2b^2kmx + b^2(m^2 - a^2) = 0 4a^2b^2( b^2k^2 +a^2 - m^2) -2ka^2b^2 b^2k^2+ a^2 2-5 x = my + n (b^2 + a^2m^2)y^2 + 2a^2mny + a^2(n^2 - b^2) = 0 4a^2b^2(b^2 + a^2m^2 - n^2) -2ma^2b^2 b^2+ a^2m^2 c c c c c 双曲线方程 直线方程 联立方程 ( ) (x_1y_2 + x_2y_1 ) 2 * ( x^2 a^2 - y^2 b^2 = 1 ) (y = kx + m ) ((b^2 - a^2k^2)x^2 - 2a^2km x - a^2(m^2 + b^2) = 0 ) (4a^2b^2( b^2 - a^2k^2+m^2 ) ) ( -2k a^2 b^2 b^2 - a^2 k^2 ) 2-5 (x = my + n ) ((b^2 m^2 - a^2)y^2 + 2b^2 m n y + b^2(n^2 - a^2) = 0 ) (4a^2b^2( b^2 m^2 - a^2+n^2) ) ( -2m a^2 b^2 b^2 m^2 - a^2 ) 2 * ( y^2 a^2 - x^2 b^2 = 1 ) (y = kx + m ) ((b^2 k^2 - a^2)x^2 + 2b^2 k m x + b^2(m^2 - a^2) = 0 ) (4a^2b^2(b^2 k^2 - a^2+ m^2) ) ( -2k a^2 b^2 b^2 k^2 - a^2 ) 2-5 (x = my + n ) ((b^2 - a^2 m^2)y^2 - 2a^2 m n y - a^2(n^2 + b^2) = 0 ) (4a^2b^2( b^2 - a^2 m^2+n^2) ) ( -2m a^2 b^2 b^2 - a^2 m^2 )

结论 2. 联立后的$\Delta$，$x_1y_2 + x_2y_1$

设联立后的方程二次项系数为 A ，对于直线 y = kx + m 截距为 m ，对于直线 x = my + n 截距为 n ， 对于椭圆： = 4a^2b^2(A- 截距 ^2) 对于双曲线： = 4a^2b^2(A+ 截距 ^2) x_1y_2 + x_2y_1 = -2ka^2b^2 A 或 -2ma^2b^2 A 注意：以上结论要求 a^2 和 b^2 没有公约数 ，只针对表格中的联立方程

结论 3. 弦长公式

与二次项系数 A 都是针对上表中直线 y=kx+m 或 x=my+n 与圆锥曲线联立后的一元二次方程的 AB = (x_ 1 -x_ 2 )^ 2 +(y_ 1 -y_ 2 )^ 2 = 1 + k^ 2 x_ 1 -x_ 2 = (1 + k^ 2 ) (x_ 1 +x_ 2 )^ 2 -4x_ 1 x_ 2 = 1+k^2 _x A = 1 + m^ 2 y_ 1 -y_ 2 = 1 + m^ 2 (y_ 1 +y_ 2 )^ 2 -4y_ 1 y_ 2 = 1 + m^ 2 _y A

结论 4. 点乘双根法：（常用于斜率和积问题）

将直线与圆锥曲线方程联立，得到关于 (x )的一元二次方程 (Ax^ 2 +Bx + C = 0 ;(A 0) )，该方程的两根为 (x_1 )和 (x_2 )，要计算 ((x_1-t)(x_2 - t) )这个量时，由二次函数的两根式 (Ax^ 2 +Bx + C=A(x - x_1)(x - x_2) )，在两端同时令 (x = t )，得到 (At^ 2 +Bt + C=A(t - x_1)(t - x_2) )，并设 f(x)=Ax^ 2 +Bx + C ，从而 [(x_1-t)(x_2 - t)= At^ 2 +Bt + C A = f(t) A ]

结论 5. 非对称韦达定理

解析几何中大多数问题都可以描述概括为先联立直线与曲线方程，消元后构造一元二次方程 ( ax^ 2 +bx + c = 0(a 0) ) 若 > 0 ，可设直线与曲线两交点的横坐标分别为 x_1,x_2 ，然后再根据根与系数的关系处理 1 x_1 + 1 x_2 ， x_1^2 + x_2^2 ， x_1 - x_2 等结构的问题. 比如，对式子进行转化，得到 [ 1 x_1 + 1 x_2 = x_1 + x_2 x_1x_2 x_1 - x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 x_1^2 + x_2^2=(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 ] 再将韦达定理整体代入来解决问题，但是存在一些问题不能使用上述方法，故引入非对称韦达定理的处理方法. 【非对称结构】 把形如 x_1 x_2 = （或 y_1 y_2 = ）， mx_1 + nx_2 + t (m n) （或 my_1 + ny_2 + t ）， mx_1x_2 + nx_1 ux_1x_2 + vx_2 （或 my_1y_2 + ny_1 uy_1y_2 + vy_2 ）等结构的式子，交换两变量的位置后多项式发生改变，无法应用根与系数的关系直接代入求解的问题称为非对称结构问题，对于这些问题，有以下方法： 下面利用一道真题（2023年新高考II卷T21），介绍处理分式非对称韦达的三种做法： ( x^2 4 - y^2 16 = 1 x = my - 4 (4m^2 - 1)y^2 - 32my + 48 = 0 y_1 + y_2 = 32m 4m^2 - 1 , y_1 y_2 = 48 4m^2 - 1 ) ( 欲求解： y_1 x_1 + 2 x_2 - 2 y_2 = y_1 my_1 - 2 my_2 - 6 y_2 = my_1 y_2 - 6y_1 my_1 y_2 - 2y_2 ) 1. 局部消元： my_1 y_2 - 6y_1 my_1 y_2 - 2y_2 = my_1 y_2 - 6(y_1 + y_2) + 6y_2 my_1 y_2 - 2y_2 = 48m 4m^2 - 1 - 6 32m 4m^2 - 1 + 6y_2 48m 4m^2 - 1 - 2y_2 = -144m 4m^2 - 1 + 6y_2 48m 4m^2 - 1 - 2y_2 = -3 2. 和积互化： 由 my_1 y_2 = 3 2 (y_1 + y_2) ，则： my_1 y_2 - 6y_1 my_1 y_2 - 2y_2 = 3 2 (y_1 + y_2) - 6y_1 3 2 (y_1 + y_2) - 2y_2 = - 9 2 y_1 + 3 2 y_2 3 2 y_1 - 1 2 y_2 = -3 3. 带点转化（第三定义）：由 x_2^2 4 - y_2^2 16 = 1 x_2^2 - 4 = y_2^2 4 (x_2 - 2)(x_2 + 2) = y_2^2 4 x_2 - 2 y_2 = y_2 4(x_2 + 2) 则 y_1 x_1 + 2 x_2 - 2 y_2 = y_1 y_2 4(x_1 + 2)(x_2 + 2) = y_1 y_2 4(my_1 - 2)(my_2 - 2) = 48 4m^2 - 1 4 ( 48m^2 4m^2 - 1 - 64m^2 4m^2 - 1 + 4 ) = 12 -4 = -3 4. 补倒数： 对于商结构 x_1 x_2 = ，在商后再加一个商的倒数即可转化为对称式，即 x_1 x_2 + x_2 x_1 ，通分后就转化为了两根和与积的形式，即 x_1 x_2 + x_2 x_1 = x_1^2 + x_2^2 x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 x_1x_2

极点极线

定义 1. 二次曲线的替换法则

对于一般式的二次曲线 ( : Ax^ 2 +Bxy + Cy^ 2 +Dx + Ey+F = 0 )， 用 (xx_ 0 ) 代替 (x^ 2 )，用 (yy_ 0 ) 代替 (y^ 2 )，用 ( x_ 0 y+xy_ 0 2 ) 代替 (xy )，用 ( x + x_ 0 2 ) 代替 (x )，用 ( y + y_ 0 2 ) 代替 (y )， 可得方程： [Axx_ 0 +B x_ 0 y+xy_ 0 2 +Cyy_ 0 +D x + x_ 0 2 +E y + y_ 0 2 +F = 0 ]

定义 2. 切线切点弦的极点极线代数定义

高中阶段，常见的二次曲线的极点极线方程如下： 圆： 极点 (P(x_ 0 , y_ 0 ) )关于圆 (x^ 2 +y^ 2 =r^ 2 )的极线方程是 (xx_ 0 +yy_ 0 =r^ 2 )； 极点 (P(x_ 0 , y_ 0 ) )关于圆 ((x - a)^ 2 +(y - b)^ 2 =r^ 2 )的极线方程是 ((x - a)(x_ 0 -a)+(y - b)(y_ 0 -b)=r^ 2 )； 极点 (P(x_ 0 , y_ 0 ) )关于圆 (x^ 2 +y^ 2 +Dx + Ey+F = 0 )的极线方程是： (xx_ 0 +yy_ 0 +D x + x_ 0 2 +E y + y_ 0 2 +F = 0 ) 椭圆： 极点 (P(x_ 0 , y_ 0 ) )关于椭圆 ( x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2 = 1 )的极线方程是： ( xx_ 0 a^ 2 + yy_ 0 b^ 2 = 1 ) 双曲线： 极点 (P(x_ 0 , y_ 0 ) )关于双曲线 ( x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 = 1 )的极线方程是： ( xx_ 0 a^ 2 - yy_ 0 b^ 2 = 1 ) 抛物线：极点 (P(x_ 0 , y_ 0 ) )关于抛物线 (y^ 2 =2px )的极线方程是： (y_ 0 y=p(x + x_ 0 ) )

结论 1. 几何意义

若极点 (P )在二次曲线上，则极线是过点 (P )的 切线方程 . 若极点 (P )在二次曲线内部，则极线是过点 (P )的弦两端端点的切线交点的轨迹.如图所示，过点 (P )的弦 (AB )、 (CD )的两端端点作切线，得到的直线 (MN )即为点 (P )对应的极线轨迹.【极线和二次曲线必定相离】 若极点 (P )在二次曲线外部，分成两种情况： 极线在二次曲线内的部分是点 (P )对二次曲线的 切点弦 ；【极线和二次曲线必定相交】 极线在二次曲线外的部分是过点 (P )的弦两端端点的切线交点的轨迹(也在切点弦上). 1 [x=0.7cm,y=0.7cm,>=stealth,line cap=round,line join=round,font= ] 2 1.30 2.8 2.3 -1.55 % [->] (-2.5,0) -- ( ,0) node[below] x ; [->] (0, ) -- (0, ) node[left] y ; (0,0) ellipse [x radius= , y radius= ]; (0,0) circle (1.1pt) node[below left] O ; 128 cos( ) sin( ) / / -2.75 (1- )/ 1.15 (1- )/ ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (1.1pt) node[above left] P ; [xshift=4.5cm] 1 0.50 1.8 -0.42 ( )/ + ( )/ 2*(( )/ + ( )/ ) ( )/ + ( )/ - 1 sqrt( - 4* ) (- - )/(2* ) (- + )/(2* ) + + + + / / / / - ( - )/ ( - )/ -0.9 1 ( )/ + ( )/ 2*(( )/ + ( )/ ) ( )/ + ( )/ - 1 sqrt( - 4* ) (- + )/(2* ) (- - )/(2* ) + + + + / / / / - ( - )/ ( - )/ (ATwo) at ( , ); (BTwo) at ( , ); (CTwo) at ( , ); (DTwo) at ( , ); (PTwo) at ( , ); (MTwo) at ( , ); (NTwo) at ( , ); (ATwo) -- (BTwo); [densely dashed] (CTwo) -- (DTwo); [densely dashed] (ATwo) -- (MTwo) (BTwo) -- (MTwo); [densely dashed] (CTwo) -- (NTwo) (DTwo) -- (NTwo); (MTwo) -- (NTwo); (ATwo) circle (1.1pt) node[above left] A ; (BTwo) circle (1.1pt) node[right] B ; (CTwo) circle (1.1pt) node[above] C ; (DTwo) circle (1.1pt) node[below] D ; (PTwo) circle (1.1pt) node[below left] P ; (MTwo) circle (1.1pt) node[above] M ; (NTwo) circle (1.1pt) node[right] N ; [xshift=9cm] 1.6 2.05 / / 1/ - ( )/ + ( )/ 2*( / ) ( )/ - 1 sqrt( - 4* ) (- - )/(2* ) (- + )/(2* ) + + (AThree) at ( , ); (BThree) at ( , ); (PThree) at ( , ); (AThree) -- (BThree); [densely dashed] (PThree) -- (AThree) (PThree) -- (BThree); (AThree) circle (1.1pt) node[above left] A ; (BThree) circle (1.1pt) node[right] B ; (PThree) circle (1.1pt) node[above] P ; [xshift=13.5cm] 0.40 2.35 / / 1/ - ( )/ + ( )/ 2*( / ) ( )/ - 1 sqrt( - 4* ) (- - )/(2* ) (- + )/(2* ) + + 1 1.60 ( )/ + ( )/ 2*(( )/ + ( )/ ) ( )/ + ( )/ - 1 sqrt( - 4* ) (- - )/(2* ) (- + )/(2* ) max( , ) min( , ) + + + + / / / / - ( - )/ ( - )/ 1 -2.65 ( )/ + ( )/ 2*(( )/ + ( )/ ) ( )/ + ( )/ - 1 sqrt( - 4* ) (- - )/(2* ) (- + )/(2* ) min( , ) max( , ) + + + + / / / / - ( - )/ ( - )/ (AFour) at ( , ); (BFour) at ( , ); (CFour) at ( , ); (DFour) at ( , ); (EFour) at ( , ); (FFour) at ( , ); (PFour) at ( , ); (MFour) at ( , ); (NFour) at ( , ); [densely dashed] (MFour) -- (AFour); (AFour) -- (BFour); [densely dashed] (BFour) -- (NFour); (PFour) -- (AFour) (PFour) -- (BFour); [densely dashed] (PFour) -- (CFour) -- (DFour); [densely dashed] (PFour) -- (EFour) -- (FFour); [densely dashed] (CFour) -- (MFour) (DFour) -- (MFour); [densely dashed] (EFour) -- (NFour) (FFour) -- (NFour); (AFour) circle (1.1pt) node[left] A ; (BFour) circle (1.1pt) node[right] B ; (CFour) circle (1.1pt) node[above] C ; (DFour) circle (1.1pt) node[below left] D ; (EFour) circle (1.1pt) node[above left] E ; (FFour) circle (1.1pt) node[below right] F ; (PFour) circle (1.1pt) node[above] P ; (MFour) circle (1.1pt) node[above] M ; (NFour) circle (1.1pt) node[above] N ;

结论 2. 切线切点弦考试写法及证明

切线方程写法： 椭圆 ( x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2 = 1 )，点 (P(x_ 0 ,y_ 0 ) )在椭圆上，设过 (P )点直线 (y - y_ 0 =k(x - x_ 0 ) )，即 (y = kx + y_ 0 -kx_ 0 ) 联立得： ( x^ 2 a^ 2 + (kx + y_ 0 -kx_ 0 )^ 2 b^ 2 = 1 ) ，整理得 ((a^ 2 k^ 2 +b^ 2 )x^ 2 +2a^ 2 k(y_ 0 -kx_ 0 )x + a^ 2 ((y_ 0 -kx_ 0 )^ 2 -b^ 2 ) = 0 ) 令 ( =[2a^ 2 k(y_ 0 -kx_ 0 )]^ 2 -4(a^ 2 k^ 2 +b^ 2 ) a^ 2 ((y_ 0 -kx_ 0 )^ 2 -b^ 2 ) = 0 ) 解得 (k =- b^ 2 x_ 0 a^ 2 y_ 0 )，代入 (y - y_ 0 =k(x - x_ 0 ) )，整理得切线方程 ( x_ 0 x a^ 2 + y_ 0 y b^ 2 = 1 ) 切点弦方程写法： 过点 (P(x_ 0 , y_ 0 ) )作椭圆 ( x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2 = 1 )的两条切线 (PA )和 (PB )，设 A(x_1, y_1) , B(x_2, y_2) 点 (A(x_ 1 ,y_ 1 ) )满足方程 ( x_ 0 x_ 1 a^ 2 + y_ 0 y_ 1 b^ 2 = 1 )，点 (B(x_ 2 ,y_ 2 ) )也满足方程 ( x_ 0 x_ 2 a^ 2 + y_ 0 y_ 2 b^ 2 = 1 )， 故 (A,B )均在方程 ( x_ 0 x a^ 2 + y_ 0 y b^ 2 = 1 )上，两点确定一条直线，所以切点弦 (AB )方程为 ( x_ 0 x a^ 2 + y_ 0 y b^ 2 = 1 ).

定理 1. 极点极线定理

0.6 设非中心点 (P )不在椭圆 ( x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2 = 1 )上， 过 (P )作椭圆的两割线 (PAB )和 (PCD )，连接 (AD )和 (BC )交于 (Q )，则 [ x_ P x_ Q a^ 2 + y_ P y_ Q b^ 2 =1 ] 双曲线的结论相同.该结论证明较复杂，不做要求，但可用于快速得出答案. 即： P 为极点， Q 在极线上； Q 为极点， P 在极线上. 推广 ：取圆锥曲线上的四个点，两两任意连接，形成的三个交点，任选一点作为极点，另外两点连线即为极线. 0.39 [scale=1, >=stealth, baseline=(current bounding box.center), line cap=round, line join=round] 2.0 1.5 (P) at (-2.5,1.7); [->] (-3,0.0) -- (3,0.0) node[below] x ; [->] (0.0,-1.8) -- (0.0,1.9) node[left] y ; [below left] at (0.0,0.0) O ; [name path=poleEllipse] (0,0) ellipse ( and ); [name path=pabLine, overlay] (P) -- (-1.0,-2.0); [name intersections= of=poleEllipse and pabLine, by= A,B ]; [name path=pcdLine, overlay] (P) -- (2.0,0.8); [name intersections= of=poleEllipse and pcdLine, by= D,C ]; [name path=adLine] (A) -- (D); [name path=bcLine] (B) -- (C); [name intersections= of=adLine and bcLine, by=Q ]; (0,0) ellipse ( and ); (P) -- (B); (P) -- (D); [blue, thick] (A) -- (D); [blue, thick] (B) -- (C); (P) circle (1.2pt) node[left] P ; (A) circle (1.2pt) node[left] A ; (B) circle (1.2pt) node[below right] B ; (C) circle (1.2pt) node[above] C ; (D) circle (1.2pt) node[above right] D ; (Q) circle (1.2pt) node[right] Q ;

例题 1. 2020·新课标I

已知 (A )， (B )分别为椭圆 (E )： ( x^ 2 a^ 2 +y^ 2 =1(a > 1) )的左、右顶点， (G )为 (E )的上顶点， ( AG GB =8 ). (P )为直线 (x = 6 )上的动点， (PA )与 (E )的另一交点为 (C )， (PB )与 (E )的另一交点为 (D ). 0.6 (1)求 (E )的方程； ( x^ 2 9 +y^ 2 =1 ) (2)证明：直线 (CD )过定点. 解析： (CD )与 (AB )交点 (Q )， (AC )与 (BD )交点 (P )， (P )在直线 (x = 6 )上， (Q )为其极点，所以 ( x_ P x_ Q 9 +y_ P y_ Q =1 )，即 (Q ( 3 2 ,0 ) ). 0.39 [>=Stealth,scale=0.5] % 坐标轴 [->] (-4,0) -- (7,0) node[below] x ; [->] (0,-2) -- (0,3) node[left] y ; (0,0) node[below left] O ; % 椭圆 x^2/9 + y^2 = 1 (0,0) ellipse (3 and 1); % 直线 x = 6 (6,3) -- (6,-1) node[below] x=6 ; % 先画点（确保点在上层） (-3,0) circle (0.04) node[below] A ; (3,0) circle (0.04) node[below] B ; (0,1) circle (0.04) node[above] G ; (6,2) circle (0.04) node[above right] P ; (1.5,0) circle (0.04) node[below] Q ; (1.1538,0.9231) circle (0.04) node[above right] C ; (1.8,-0.8) circle (0.04) node[below right] D ; % 再画直线 (-3,0) -- (6,2); % PA (1.8,-0.8) -- (6,2); % PB [blue] (1.1538,0.9231) -- (1.8,-0.8); % CD

例题 2. 2023·新高考II

0.6 已知双曲线 (C )中心为坐标原点，左焦点为 ((-2 5 ,0) )，离心率为 ( 5 ). (1)求 (C )的方程； ( x^ 2 4 - y^ 2 16 =1 )； (2)记 (C )的左、右顶点分别为 (A_1 )， (A_2 )，过点 ((-4,0) )的直线与 (C )的左支交于 (M )， (N )两点， (M )在第二象限，直线 (MA_1 )与 (NA_2 )交于 (P )，证明 (P )在定直线上. 解析 ： (2)由于 (Q )是 (A_1A_2 )和 (MN )的交点， (P )是 (MA_1 )和 (NA_2 )的交点，即 ( x_ P x_ Q 4 - y_ P y_ Q 16 =1 )，所以 (x_ P x_ Q =4 x_ P =-1 ). 0.39 [>=Stealth, baseline=(current bounding box.center), line cap=round, line join=round, x=0.5cm, y=0.2cm] (Aone) at (-2,0); (Atwo) at (2,0); (Q) at (-4,0); (-7,-8) rectangle (7,12); % 坐标轴 [->] (-5,0) -- (5,0) node[below] x ; [->] (0,-8) -- (0,10) node[left] y ; [below right] at (0,0) O ; % 双曲线 C: x^2/4 - y^2/16 = 1 [smooth, samples=100, domain=-1.7:1.7, variable= , name path=leftBranch] plot ( -2*cosh( ) , 4*sinh( ) ); [smooth, samples=50, domain=-1.7:1.7, variable= ] plot ( 2*cosh( ) , 4*sinh( ) ); % 定义割线 MN 的斜率（可微调改变 M、N 的位置） -8 % 可随意修改此斜率，注意保持 > 2 [name path=lineMN] (-8, -4* ) -- (-2, 2* ); [name intersections= of=leftBranch and lineMN, by= N, M ]; % 求交点 P（修复路径延伸计算方向以覆盖 P 所在的全部可能范围） [name path=lineMA1] ( (M)!-1!(Aone) ) -- ( (M)!4!(Aone) ); [name path=lineNA2] ( (N)!-1!(Atwo) ) -- ( (N)!4!(Atwo) ); [name intersections= of=lineMA1 and lineNA2, by=P ]; % 连线，单独分段可以防止连线消失并确保能射穿交点 (M) -- (N); [blue] (M) -- (P); [blue] (N) -- (Atwo); % 定直线 x = -1 (-1,10) -- (-1,-5) node[below, xshift=-2pt] x=-1 ; % 关键点标记 (Aone) circle (1.2pt) node[below left] A_1 ; (Atwo) circle (1.2pt) node[below right] A_2 ; (Q) circle (1.2pt) node[below left] Q ; (M) circle (1.2pt) node[left] M ; (N) circle (1.2pt) node[left] N ; (P) circle (1.2pt) node[right] P ;

题型 1. 双切线轨迹

过 ( x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2 = 1(a>b>0) )外一点 (P(x_ 0 , y_ 0 ) )作椭圆两条切线. 切点分别为 (A,B )， (k_ PA k_ PB = ). 讨论 (P )的轨迹. 联立 ( x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2 = 1,y = kx + m (a^ 2 k^ 2 +b^ 2 )x^ 2 +2kma^ 2 x + a^ 2 (m^ 2 -b^ 2 ) = 0 )， ( = a^ 2 k^ 2 +b^ 2 -m^ 2 =0 ) 将 (m = y_ 0 -kx_ 0 )代入得关于 (k )的一元二次方程： ((a^ 2 -x_ 0 ^ 2 )k^ 2 +2x_ 0 y_ 0 k + b^ 2 -y_ 0 ^ 2 =0 ) (k_ PA )、 (k_ PB )是方程的两个根 ， (k_ PA k_ PB = b^ 2 -y_ 0 ^ 2 a^ 2 -x_ 0 ^ 2 = x_ 0 ^ 2 -y_ 0 ^ 2 = a^ 2 -b^ 2 ) c c c < -1 y^2 b^2 - a^2 + x^2 b^2 - a^2 - = 1 椭圆，焦点在 y 轴，长轴垂直于 x 轴 = -1 x^2 + y^2 = a^2 + b^2 圆（蒙日圆），圆心在原点，两切线垂直 -1 < < 0 x^2 b^2 - a^2 - + y^2 b^2 - a^2 = 1 椭圆，焦点在 x 轴，长轴平行于 x 轴 0 < < b^2 a^2 y^2 b^2 - a^2 - x^2 b^2 - a^2 = 1 双曲线，焦点在 y 轴，开口方向沿 y 轴 = b^2 a^2 (bx - ay)(bx + ay) = 0 两条射线，渐近方向为 b a > b^2 a^2 x^2 a^2 - b^2 - y^2 a^2 - b^2 = 1 双曲线，焦点在 x 轴，开口方向沿 x 轴

定义 3. 蒙日圆

过圆锥曲线外一点作两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是一个圆，这个圆被称为蒙日圆，又叫外准圆. 椭圆 x^2 a^2 + y^2 b^2 = 1 （ a > b > 0 ）的蒙日圆方程为： x^2 + y^2 = a^2 + b^2 圆 x^2 + y^2 = r^2 的蒙日圆方程为： x^2 + y^2 = 2r^2 双曲线 x^2 a^2 - y^2 b^2 = 1 （ a > 0, b > 0 ）的蒙日圆方程为： x^2 + y^2 = a^2 - b^2 抛物线 y^2 = 2px （ p > 0 ）的蒙日圆方程为： x = - p 2 注意：双曲线中只有当 a > b 时才有蒙日圆，此时离心率满足 1 < e < 2 ；抛物线的蒙日圆恰好为其准线（直线是半径为无穷大的圆）.

定理 2. 蒙日圆性质定理

0.6 设椭圆 ( E: x^2 a^2 + y^2 b^2 = 1 (a > b > 0) )，其蒙日圆为 ( O: x^2 + y^2 = a^2 + b^2 ). 过圆 ( O ) 上任意一点 ( P ) 作椭圆 ( E ) 的两条切线，切点分别为 ( A )、 ( B )，连接 ( AB ) 形成切点弦， ( O ) 为坐标原点，延长 ( PA )、 ( PB ) 交圆 ( O ) 于 ( C )、 ( D )则： ( PA PB ) ( k_ OP k_ AB = - b^2 a^2 ) ( k_ OA k_ PA = k_ OB k_ PB = - b^2 a^2 ) ( PO ) 平分 ( AB ) ( AB CD ) 0.39 [scale=0.9, >=stealth] % 坐标轴 [->, thin] (-3,0) -- (3,0) node[right, text=black] x ; [->, thin] (0,-3.2) -- (0,3.2) node[left, text=black] y ; % 定义坐标点 (O) at (0,0); (P) at (1.5, 2); (A) at (1.960, 0.297); (B) at (-0.678, 1.411); (C) at (2.303, -0.973); (D) at (-2.303, 0.973); (M) at (0.641, 0.854); % 圆锥曲线与蒙日圆 a=2, b=1.5, R=2.5 [thick] (O) ellipse (2 and 1.5); [thick] (O) circle (2.5); % 连线 [blue, thick] (C) -- (P) -- (D); [blue, thick] (C) -- (D); [blue, thick] (A) -- (B); [dashed] (O) -- (P); [dashed] (O) -- (A); [dashed] (O) -- (B); % 标记直角 (1.552, 1.808) -- (1.36, 1.756) -- (1.308, 1.948); % 点与注记 (O) circle (1.5pt) node[below left] O ; (P) circle (1.5pt) node[above right] P ; (A) circle (1.5pt) node[right] A ; (B) circle (1.5pt) node[above] B ; (C) circle (1.5pt) node[below right] C ; (D) circle (1.5pt) node[above left] D ; (M) circle (1.5pt) node[below] M ; 证明：切点弦 AB 的方程为 x_0x a^2 + y_0y b^2 = 1 ，整理得 y = - b^2x_0 a^2y_0 x + b^2 y_0 （ y_0 0 ），故 k_ AB = - b^2x_0 a^2y_0 ； 又 k_ OP = y_0 x_0 ，因此 k_ OP k_ AB = y_0 x_0 (- b^2x_0 a^2y_0 ) = - b^2 a^2 . 设切点 A(x_1,y_1) ，则椭圆在 A 处的切线方程为 x_1x a^2 + y_1y b^2 = 1 ，因切线过 P(x_0,y_0) ，故 x_1x_0 a^2 + y_1y_0 b^2 = 1 ；由椭圆方程 x_1^2 a^2 + y_1^2 b^2 = 1 得 y_1^2 = b^2 (1 - x_1^2 a^2 ) ； k_ OA = y_1 x_1 ， k_ PA = y_1 - y_0 x_1 - x_0 ，则 k_ OA k_ PA = y_1(y_1 - y_0) x_1(x_1 - x_0) ；代入 y_1y_0 = b^2 - b^2x_1x_0 a^2 化简得 y_1^2 - y_1y_0 = b^2x_1(x_0 - x_1) a^2 ，故 k_ OA k_ PA = b^2x_1(x_0 - x_1) a^2 -x_1(x_0 - x_1) = - b^2 a^2 ，同理 k_ OB k_ PB = - b^2 a^2 设 AB 中点为 M(x_M,y_M) ，由点差法知 k_ AB k_ OM = - b^2 a^2 ，结合结论2的 k_ AB k_ OP = - b^2 a^2 ，得 k_ AB k_ OM = k_ AB k_ OP ；若 k_ AB 0 ，则 k_ OM = k_ OP ，即 O, M, P 共线，故 PO 平分 AB ； 若 k_ AB = 0 ，则 AB x 轴，此时 P 在 y 轴上， PO 为 y 轴，显然平分 AB . ( M ) 为 ( AB ) 的中点, 由蒙日圆的性质可知 ( APB = 90^ )，所以 ( MA = MB = MP ) 同理: ( OP = OC = OD ) 因此有 ( PAM = APM = CPO = PCO )，因而: ( AB CD ).

解析几何大题条件翻译

题型 1. 角度问题

在解析几何大题中， 锐角、直角、钝角的条件 可通过向量的数量积来翻译： ( APB )为直角：可翻译为 ( PA PB = 0 )，但需单独排除 (P ) 与 (A ) 或 (B ) 重合的情况；也可翻译为 (k_ PA k_ PB =-1 )，但需单独考虑 (PA )， (PB ) 斜率不存在的情况； ( APB )为锐角：可翻译为 ( PA PB >0 )，但需单独排除 ( APB = 0^ )的情况； ( APB )为钝角 或 P 在以 AB 为直径的圆内：可翻译为 ( PA PB <0 )，但需单独排除 ( APB = 180^ )的情况. 角度的具体计算 ： 1 使用向量计算余弦值 ( APB = PA PB PA PB )； 2 找直角三角形直接计算； 3 使用斜率计算正切值 ( APB = k_ PA - k_ PB 1 + k_ PA k_ PB ) 倾斜角互补 ：当两直线倾斜角互补时，根据 ( ( - )=- )，可以得出两直线斜率互为相反数，所以倾斜角互补的问题，在解析几何中往往采用斜率和为零来进行计算. 角平分线问题 ：若有 PA 平分 BPC ，有以下思路： 1 计算 APB = APC ； 2 在三角形中利用角平分线性质定理； 3 PA 上的点到 PB,PC 的距离相等； 4 存在 使得 PA = ( PB PB + PC PC )

题型 2. 定点定值问题

定值问题 主要有证明类定值问题、探究类定值问题两类，解题的一般步骤为： 设出直线的方程 (y = kx + b ) 或 (x = my + t ) 、点的坐标； 通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如长度、面积、斜率等）用引入的参数（ (k )， (t )， (m )， (b ) 等）表示出来； 将上述中间结果代入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的参数无关，是一个常数. 注：对于探究类定值问题，在参数关系复杂，不好直接正面计算时，可考虑先用特值探路，猜出问题的答案，再进行证明，从而将探究类定值问题转化成证明类定值问题处理. 证明 动直线在一定条件下过定点 是解析几何中的一类重要题型，这类问题一般有两种解题方法. 方法1：设直线，求解参数关系. 一般的解题步骤为： 设出直线的方程 (y = kx + b ) 或 (x = my + t )； 通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，找到 (k ) 和 (b )， (m ) 和 (t ) 的关系，或者解出 (b )， (t ) 的值； 根据(2)中得出的结果，找出直线过的定点. 方法2：求两点，猜定点，证向量共线. 一般的解题步骤为： 通过题干条件，求出直线上的两个点 (A )， (B ) 的坐标（含参）； 取两个具体的参数值，分别求出对应的直线 (AB )，并求出它们的交点 (P )，该点即为直线过的定点； 证明 ( PA ) 与 ( PB ) 共线，得出直线 (AB ) 过定点 (P ). 注：上面的两个解法中，解法2的计算量通常要大一些，故一般首选解法1.

题型 3. 特殊图形条件翻译

特殊四边形 平行四边形：常按对角线互相平分来翻译. 例如，若 (ABCD ) 是平行四边形，则对角线 (AC ) 的中点也是 (BD ) 的中点，由此可建立方程，求解需要的量. 菱形：常抓住其对角线互相垂直平分来进行翻译. 以 AB 为直径的圆过点 O OA OB OA OB = 0 x_1x_2 + y_1y_2 = 0 弦 AB 的垂直平分线经过点 C(p, q) AC = BC (x_1 - p)^2 + (y_1 - q)^2 = (x_2 - p)^2 + (y_2 - q)^2 或设弦 AB 的中点为 M(x_0, y_0) ，则弦 AB 的垂直平分线经过点 C(p, q) CM AB k_ CM k_ AB = -1 弦 AB 的垂直平分线经过点 C(p, q) ，设出弦 AB 的中点坐标 (x_0, y_0) 后，还可以考虑用点差法. 证明动弦 AB 的斜率为定值，这个定值实际上是将 AB 平移到与圆锥曲线相切时切线的斜率. 证明 A,B,C,D 四点共圆， 1 证明对角互补； 2 找到一点，证明它到 A,B,C,D 四点距离相等.

面积问题

结论 1. 三角形面积（人教B必修三P84-1）

对于三角形面积的计算，常见的方法有五种： (S = 1 2 底 高 )，在题干没有特殊条件的情况下，常 用此法算三角形的面积. 用“水平宽”或“铅垂高”算面积： (S_ ABC = 1 2 AE x_B - x_C = 1 2 BD y_A - y_C ). 用两边及夹角： (S_ ABC = 1 2 AB AC BAC )，此法常用于内角已知的情况. 转化：当直接计算某三角形的面积不方便时，还可以考虑利用其它条件（如相似等）转化 为其它容易求面积的三角形来算面积. 向量三角形面积公式：在 ( ABC )中， ( AB =(x_1,y_1) )， ( AC =(x_2,y_2) )，则 (S_ ABC = 1 2 x_1y_2 - x_2y_1 ).证明如下： S_ ABC = 1 2 AB AC BAC = 1 2 AB ^ 2 AC ^ 2 ^ 2 BAC = 1 2 AB ^ 2 AC ^ 2 - ( AB AC BAC)^ 2 = 1 2 AB ^ 2 AC ^ 2 - ( AB AC )^ 2 = 1 2 (x_1^ 2 +y_1^ 2 )(x_2^ 2 +y_2^ 2 ) - (x_1x_2 + y_1y_2)^ 2 = 1 2 x_1^ 2 y_2^ 2 + x_2^ 2 y_1^ 2 - 2x_1x_2y_1y_2 = 1 2 (x_1y_2 - x_2y_1)^ 2 = 1 2 x_1y_2 - x_2y_1 0.24 [scale=0.8, >=stealth] (B) at (0,0); (C) at (3,0); (A) at (1,2); (D) at (1,0); [thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; [dashed] (A) -- (D); % 直角标记 (1,0.2) -- (1.2,0.2) -- (1.2,0); (A) circle (1pt) node[above] A ; (B) circle (1pt) node[left] B ; (C) circle (1pt) node[right] C ; (D) circle (1pt) node[below] D ; 0.24 [scale=0.8, >=stealth] (B) at (0,1); (D) at (2.1,1); (C) at (3,-0.5); (A) at (1.5,2); % 铅垂高：过 A 作与 y 轴平行的直线交 BC 于 E % B(0,1), C(3,-0.5) -> 直线 BC：y - 1 = -0.5 x -> y = -0.5x + 1 % x_E = 1.5, y_E = -0.5(1.5) + 1 = 0.25 (E) at (1.5,0.25); [thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; [dashed, blue] (A) -- (E); [dashed, blue] (B) -- (D); (A) circle (1pt) node[above] A ; (B) circle (1pt) node[left] B ; (C) circle (1pt) node[right] C ; (E) circle (1pt) node[below left] E ; (D) circle (1pt) node[right] D ; 0.24 [scale=0.8, >=stealth] (A) at (0,0); (B) at (2.5,0); (C) at (1.5,2); [thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; % 角 A (0.4,0) arc (0:53.13:0.4); (A) circle (1pt) node[left] A ; (B) circle (1pt) node[right] B ; (C) circle (1pt) node[above] C ; at (0.6, 0.3) ; % 边标记 [below] at (1.25, 0) c ; [left] at (0.75, 1) b ; 0.24 [scale=0.8, >=Stealth] (A) at (0,0); (B) at (3,-0.3); (C) at (2,2); [thick, ->, blue] (A) -- (B); [thick, ->, blue] (A) -- (C); [thick, dashed] (B) -- (C); (A) circle (1pt) node[left] A ; (B) circle (1pt) node[right] B ; (C) circle (1pt) node[above] C ; at (1.5, -0.6) AB ; at (0.6, 1.4) AC ;

结论 2. 四边形面积（湘教版必修二P53-13）

对于四边形面积的计算，常见的方法如下： 特殊四边形，若四边形 (ABCD )的对角线 AC 与 BD 互相垂直，则 (S_ ABCD = 1 2 AC BD )； 一般的四边形，可用一条对角线分割成两个三角形分别算面积， (S_ ABCD = S_1 + S_2 = 1 2 AC (d_1+d_2) )； 一般的四边形，若四边形 (ABCD )的对角线夹角为 ，则 (S_ ABCD = 1 2 AC BD )， 其中 可以利用向量求余弦值或利用斜率求正切值. 0.32 [scale=0.6, >=stealth] (A) at (0,2); (B) at (-1.5,0); (C) at (0,-1.5); (D) at (2,0); [thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle; [dashed, blue] (A) -- (C); [dashed, blue] (B) -- (D); % 直角标记位于原点 (0,0) 第一象限 (0,0.2) -- (0.2,0.2) -- (0.2,0); (A) circle (1pt) node[above] A ; (B) circle (1pt) node[left] B ; (C) circle (1pt) node[below] C ; (D) circle (1pt) node[right] D ; 0.32 [scale=0.6, >=stealth] (A) at (-1, 2); (B) at (-2,-0.5); (C) at (1.5,-1.5); (D) at (2, 1); [thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle; [dashed, red] (A) -- (C); % 垂足与垂线 (H1) at (-0.155, 0.818); (H2) at (0.486, -0.081); [dashed, blue] (B) -- (H1) node[midway, above left, inner sep=1pt] d_1 ; [dashed, blue] (D) -- (H2) node[midway, below right, inner sep=1pt] d_2 ; % 直角标记 (-0.068, 0.696) -- (-0.190, 0.609) -- (-0.277, 0.731); (0.399, 0.041) -- (0.521, 0.128) -- (0.608, 0.006); (A) circle (1pt) node[above] A ; (B) circle (1pt) node[left] B ; (C) circle (1pt) node[below] C ; (D) circle (1pt) node[right] D ; at (-0.7, -0.1) S_1 ; at (0.9, 0.7) S_2 ; 0.32 [scale=0.6, >=stealth] % 交点在 (0,0) (A) at (-1.5, 1.5); (B) at (-2, -1); (C) at (2, -2); (D) at (2.5, 1.25); [thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle; [dashed, blue] (A) -- (C); [dashed, blue] (B) -- (D); % BD 的倾斜角 approx 26.5度， AC 倾斜角为 -45度(即 135度) (0.45, 0.225) arc (26.6:135:0.5); at (0.1, 0.7) ; (A) circle (1pt) node[above left] A ; (B) circle (1pt) node[below left] B ; (C) circle (1pt) node[below right] C ; (D) circle (1pt) node[above right] D ;

结论 3. 面积中最值的求解

二次 一次 型： (f(x)= x^ 2 + x+ x + n )型：令 (t = x + n x=t - n )进行代换后裂项转化为： (y = at+ b t ) 一次 二次 型： (f(x)= x + n x^ 2 + x+ )型：先在分母中配出分子式 (f(x)= x + n (x + n)^ 2 + (x + n)+ ) 令 (t = x + n )， (y= t t^ 2 + t+ )，分子分母同时除 (t )，此时 (y= 1 t+ t + )，再利 用对勾函数或不等式分析最值. (f(x)= x+ x + n )型：令 (t= x + n x=t^ 2 -n )进行代换后裂项，可转化为： (y = at+ b t ) 二次/二次 型：分离常数转化为 一次/二次 型.

例题 1.

(S= (4 + 2 2 ) m^ 2 +2 m^ 2 +4 ) （ ( m^ 2 +2 )可看成一次式，可化为“ ( 一次 二次 )”，将一次换元成 (t )，上下同除以 (t )分析）， 令 (t = m^ 2 +2 )，则 (t 2 )，且 (m^ 2 =t^ 2 -2 )，代入得 (S= (4 + 2 2 )t t^ 2 +2 = 4 + 2 2 t+ 2 t 4 + 2 2 2 t 2 t = 2 +1 )， 当且仅当 (t= 2 t )，即 (t = 2 ) 时取等号，此时 (m = 0 )，满足题意.

例题 2.

(S_ ABCD = 24(m^ 2 +1)^ 2 (2m^ 2 +3)(2 + 3m^ 2 ) )， （怎样求上式的最值？不妨把分母展开，观察它与分子的联系） (S_ ABCD = 24(m^ 2 +1)^ 2 6m^ 4 +13m^ 2 +6 = 24(m^ 2 +1)^ 2 6(m^ 2 +1)^ 2 +m^ 2 = 24 6+ m^ 2 (m^ 2 +1)^ 2 )， 因为 ( m^ 2 (m^ 2 +1)^ 2 >0 )，所以 (6+ m^ 2 (m^ 2 +1)^ 2 >6 )， 故 (0<S_ ABCD = 24 6+ m^ 2 (m^ 2 +1)^ 2 <4 )

例题 3.

(S_ ACBD = 8(k^ 2 +1) (1 + 4k^ 2 )(k^ 2 +4) ) ， （怎样求上式的最小值？可尝试先把分子的 (k^ 2 +1 ) 也拿到根号里面，再做观察） 法1: (S_ ACBD = 8 (1 + 4k^ 2 )(k^ 2 +4) (k^ 2 +1)^ 2 = 8 4k^ 4 +17k^ 2 +4 k^ 4 +2k^ 2 +1 = 8 4(k^ 4 +2k^ 2 +1)+9k^ 2 k^ 4 +2k^ 2 +1 = 8 4+ 9k^ 2 k^ 4 +2k^ 2 +1 = 8 4+ 9 k^ 2 + 1 k^ 2 +2 )， 因为 (k^ 2 + 1 k^ 2 2 k^ 2 1 k^ 2 =2 )，取等条件是 (k^ 2 = 1 k^ 2 )，即 (k = 1 )，所以 (S_ ACBD 8 4+ 9 2 + 2 = 16 5 )； 法2:因为 (0< (1 + 4k^ 2 )(k^ 2 +4) 1 + 4k^ 2 +k^ 2 +4 2 = 5 2 (k^ 2 +1) )， 所以 (S_ ABCD = 8(k^ 2 +1) (1 + 4k^ 2 )(k^ 2 +4) 8(k^ 2 +1) 5 2 (k^ 2 +1) = 16 5 )，取等条件是 (1 + 4k^ 2 =k^ 2 +4 )，即 (k = 1 )，

齐次化与斜率问题

结论 1. 椭圆斜率和积为定值

已知点 (P(x_ 0 , y_ 0 ) )是椭圆上一个定点，椭圆 (C )： ( x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2 = 1(a>b>0) )上有两动点 (A,B ) (1)若 (k_ PA +k_ PB = ( 0) )，则直线 (AB )过定点 ( (x_ 0 - 2y_ 0 , -y_ 0 - 2b^ 2 x_ 0 a^ 2 ) )（2017全国I卷理科T20） (2)若 (k_ PA +k_ PB =0 )，则直线 (AB )斜率为定值 ( x_ 0 b^ 2 y_ 0 a^ 2 )，此时 k_ OP k_ AB = b^2 a^2 (3)若 (k_ PA k_ PB = ( b^ 2 a^ 2 ) )，则直线 (AB )过定点 ( ( a^ 2 +b^ 2 a^ 2 -b^ 2 x_ 0 , - a^ 2 +b^ 2 a^ 2 -b^ 2 y_ 0 ) )（2020新高考I卷T22） (4)若 (k_ PA k_ PB = b^ 2 a^ 2 )，则直线 (AB )斜率为定值 (- y_ 0 x_ 0 )，此时 k_ OP + k_ AB = 0 (5)若直线 (AB )过定点为原点时，则有 (k_ PA k_ PB =- b^ 2 a^ 2 )（第三定义）

结论 2. 双曲线斜率和积为定值

已知点 (P(x_ 0 , y_ 0 ) )是双曲线上一个定点，双曲线 (C )： ( x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 = 1(a,b>0) )上有两动点 (A,B ) (1)若 (k_ PA +k_ PB = ( 0) )，则直线 (AB )过定点 ( (x_ 0 - 2y_ 0 , -y_ 0 + 2b^ 2 x_ 0 a^ 2 ) ) (2)若 (k_ PA +k_ PB =0 )，则直线 (AB )斜率为定值 (- x_ 0 b^ 2 y_ 0 a^ 2 )（2022新高考I卷T21） (3)若 (k_ PA k_ PB = ( - b^ 2 a^ 2 ) )，则直线 (AB )过定点 ( ( a^ 2 -b^ 2 a^ 2 +b^ 2 x_ 0 , - a^ 2 -b^ 2 a^ 2 +b^ 2 y_ 0 ) ) (4)若 (k_ PA k_ PB =- b^ 2 a^ 2 )，则直线 (AB )斜率为定值 (- y_ 0 x_ 0 )； (5)若直线 (AB )过定点为原点时，则有 (k_ PA k_ PB = b^ 2 a^ 2 )（第三定义）

结论 3. 抛物线斜率和积

过抛物线 (y^ 2 =2px )上任一点 (P(x_ 0 , y_ 0 ) )引两条弦 (PA,PB ) (1)若 (k_ PA k_ PB = ( 0) )，则直线 (AB )恒过定点 ( (x_ 0 - 2p , -y_ 0 ) )（2017全国I卷文科T20） (2)若 (k_ PA +k_ PB = ( 0) )，则直线 (AB )恒过定点 ( (x_ 0 - 2y_ 0 , 2p -y_ 0 ) ) (3)若直线 (k_ PA +k_ PB =0 )，则直线 (AB )斜率为定值 (- p y_ 0 )

结论 4. 弦中点的轨迹方程导致的定点

如果圆锥曲线两条相互垂直的弦 AB,CD 相交于定点 (P(x_0,y_0) )(不在曲线上)，此时 AB 中点 M 、 CD 中点 N 的连线 MN 一 定会经过一个定点 0.5 对于椭圆 ( x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2 = 1 )定点为： ( ( a^ 2 a^ 2 +b^ 2 x_0, b^ 2 a^ 2 +b^ 2 y_0 ) ) 对于双曲线 ( x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 = 1 )定点为： ( ( a^ 2 a^ 2 -b^ 2 x_0, -b^ 2 a^ 2 -b^ 2 y_0 ) ) 对于抛物线 (y^ 2 =2px )定点为： ((x_0 + p,0) ) 对于抛物线 (x^ 2 =2py )定点为： ((0,y_0 + p) ) 0.29 [>=stealth, scale=0.6, font= , declare function= a=3; b=2; px=1.5; py=1; angleA=25; ] (-3.5,-2.5) rectangle (3.7,2.7); % 轴与原点 [->] (-3.5,0) -- (3.5,0) node[below] x ; [->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; % 椭圆 [name path=ellipse] (0,0) ellipse (a and b); % 点P (P) at (px, py); % 两条垂线 [name path=lineAB] ( (P) + (angleA+180:5) ) -- ( (P) + (angleA:5) ); [name path=lineCD] ( (P) + (angleA+90:5) ) -- ( (P) + (angleA-90:5) ); % 求交点 [name intersections= of=ellipse and lineAB, by= B, A ]; [name intersections= of=ellipse and lineCD, by= C, D ]; % 绘制弦 (A) -- (B); (C) -- (D); % 弦中点 (M) at ( (A)!0.5!(B) ); (N) at ( (C)!0.5!(D) ); % 直角标记(蓝色区域) [blue, semithick, line join=round] ( (P)!0.25cm!(B) ) -- ( ( (P)!0.25cm!(B) )!0.25cm!-90:(B) ) -- ( (P)!0.25cm!(D) ); % 绘制连线MN [blue, thick] (M) -- (N); % 画点并标记 (A) circle (1.2pt) node[left] A ; (B) circle (1.2pt) node[above] B ; (C) circle (1.2pt) node[above] C ; (D) circle (1.2pt) node[right] D ; (P) circle (1.2pt) node[left, xshift=-1pt, yshift=2pt] P ; (M) circle (1.2pt) node[above left, xshift=1pt] M ; (N) circle (1.2pt) node[right, xshift=1pt] N ; 0.2 [>=stealth, scale=0.45, font= , declare function= xP=1.2; yP=0.75; m=1.2; ] (-1, -3.5) rectangle (5.5, 3.5); % 坐标轴 [->] (-0.8,0) -- (5.2,0) node[below] x ; [->] (0,-3.5) -- (0,3.3) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; % 抛物线 y^2 = 2x -> 即 x = y^2 / 2 [samples=100, smooth, domain=-3.8:4.2] plot ( /2 , ); (P) at (xP, yP); % 弦AB: x = m*(y - yP) + xP 联立 y^2 = 2x m + sqrt(m*m - 2*m*yP + 2*xP) m - sqrt(m*m - 2*m*yP + 2*xP) (A) at ( /2 , ); (B) at ( /2 , ); % 弦CD: 垂直所以斜率是 -1/m -1/m + sqrt( - 2* yP + 2*xP) - sqrt( - 2* yP + 2*xP) (C) at ( /2 , ); (D) at ( /2 , ); % 中点 (M) at ( (A)!0.5!(B) ); (N) at ( (C)!0.5!(D) ); % 连线 (A) -- (B); (C) -- (D); [blue, thick] (M) -- (N); % 直角标记(使用向量加法) (PB) at ( (P)!0.25cm!(B) ); (PC) at ( (P)!0.25cm!(C) ); [blue, semithick, line join=round] (PB) -- ( (PB)+(PC)-(P) ) -- (PC); % 画点与标注 (A) circle (1.5pt) node[above] A ; (B) circle (1.5pt) node[right] B ; (C) circle (1.5pt) node[left, yshift=2pt] C ; (D) circle (1.5pt) node[above] D ; (M) circle (1.5pt) node[right, xshift=1pt] M ; (N) circle (1.5pt) node[right] N ; (P) circle (1pt);

结论 5. 等角定理与斜率等差

已知椭圆 ( : x^2 a^2 + y^2 b^2 =1 (a > b > 0) )，定点 (T(t,0) )，定点 (N(n,0) (n t) )，过定点 (T )的直线与椭圆相交于点 (A )和 (B )，动点 (P )在定直线 (x = n )上，点 (P )不在直线 (AB )上，则以下 (3 )个命题是等价的（从任意一个命题可推导出另外两个），该结论对于双曲线也成立，只需将 b^2 换成 -b^2 ，不影响最终的结论： 直线 (PA )， (PT )， (PB )的斜率成等差数列，也即 (k_ PA + k_ PB = 2k_ PT ) 直线 (NA )和直线 (NB )的斜率互为相反数，也即 (k_ NA + k_ NB = 0 )， TNA = TNB (nt = a^2 ) [>=stealth, baseline=(current bounding box.center), line cap=round, line join=round, font= ] 2 1.5 1.2 -0.5 1.5 -2.5 4 -2 2.5 -0.42 / + 2* ( - ) sqrt( -4* ) (- + )/(2* ) (- - )/(2* ) + + atan2( , - ) 360+atan2( , - ) [->] ( ,0) -- ( ,0) node[below] x ; [->] (0, ) -- (0, ) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; (0,0) ellipse [x radius= , y radius= ]; (T) at ( ,0); (N) at ( ,0); (P) at ( , ); (A) at ( , ); (B) at ( , ); (A) -- (B); [dashed] ( , ) -- ( , +0.5) node[below] x=n ; (N) -- (A) (N) -- (B); [blue, thick] (P) -- (A) (P) -- (T) (P) -- (B); (A) circle (1.2pt) node[above] A ; (B) circle (1.2pt) node[below] B ; (T) circle (1.2pt) node[below] T ; (N) circle (1.2pt) node[below] N ; (P) circle (1.2pt) node[right] P ; [xshift=5.5cm] 1.5 1 2.5 0.4 1.5 -0.5 4 -2 2.5 0.4 / - 2* ( - ) sqrt( -4* ) (- - )/(2* ) (- + )/(2* ) + + atan2( , - ) atan2( , - ) [->] ( ,0) -- ( ,0) node[below] x ; [->] (0, ) -- (0, ) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; [samples=160, smooth, domain= +0.2: -0.4, variable= ] plot ( sqrt(1+ /( )) , ); (T) at ( ,0); (N) at ( ,0); (P) at ( , ); (A) at ( , ); (B) at ( , ); (A) -- (B); [ dashed] ( , ) -- ( , +0.5) node[below] x=n ; (N) -- (A) (N) -- (B); [blue, thick] (P) -- (A) (P) -- (T) (P) -- (B); (A) circle (1.2pt) node[above] A ; (B) circle (1.2pt) node[below] B ; (T) circle (1.2pt) node[below] T ; (N) circle (1.2pt) node[below] N ; (P) circle (1.2pt) node[left] P ; [xshift=12cm] 1 1.2 0.4 1.5 -1.5 2.5 -2 2.5 0.42 - 1 -2* -2* sqrt( -4* ) (- + )/(2* ) (- - )/(2* ) + + atan2( , - ) atan2( , - ) [->] ( ,0) -- ( ,0) node[below] x ; [->] (0, ) -- (0, ) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; [samples=160, smooth, domain= +0.1: -0.2, variable= ] plot ( /(2* ) , ); (T) at ( ,0); (N) at ( ,0); (P) at ( , ); (A) at ( , ); (B) at ( , ); (A) -- (B); [dashed] ( , ) -- ( , +0.5) node[below] x=n ; (N) -- (A) (N) -- (B); [blue, thick] (P) -- (A) (P) -- (T) (P) -- (B); (A) circle (1.2pt) node[above] A ; (B) circle (1.2pt) node[below] B ; (T) circle (1.2pt) node[below] T ; (N) circle (1.2pt) node[below] N ; (P) circle (1.2pt) node[left] P ; 设 (T(t,0) )， (N(n,0) )， (A(x_1,y_1) )， (B(x_2,y_2) )， (P(n,y_0) )，设直线 (AB:x = my + t )，则: 联立椭圆 ( : x^2 a^2 + y^2 b^2 = 1 )与直线 (AB: x = my + t )，两边同乘 (a^2b^2 )消分母： [ b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2 x = my + t (b^2m^2 + a^2)y^2 + 2b^2mty + b^2(t^2 - a^2) = 0 ] 由韦达定理， (y_1 + y_2 = -2b^2mt b^2m^2 + a^2 )， (y_1y_2 = b^2(t^2 - a^2) b^2m^2 + a^2 )， x_1y_2+x_2y_1= -2ma^2b^2 b^2m^2 + a^2 k_ NA + k_ NB = y_1 n - x_1 + y_2 n - x_2 = y_1(n - x_2) + y_2(n - x_1) (n - x_1)(n - x_2) = n(y_1 + y_2) - (x_1y_2 + x_2y_1) (n - x_1)(n - x_2) = n ( -2b^2mt b^2m^2 + a^2 ) - ( -2ma^2b^2 b^2m^2 + a^2 ) (n - x_1)(n - x_2) = 2mb^2(a^2 - nt) (b^2m^2 + a^2)(n - x_1)(n - x_2) = 0 ( 当且仅当 nt = a^2) k_ PA + k_ PB - 2k_ PT = y_0 - y_1 n - x_1 + y_0 - y_2 n - x_2 - 2 y_0 n - t = ( y_0 - y_1 n - x_1 - y_0 n - t ) + ( y_0 - y_2 n - x_2 - y_0 n - t ) = (y_0 - y_1)(n - t) - y_0(n - x_1) (n - x_1)(n - t) + (y_0 - y_2)(n - t) - y_0(n - x_2) (n - x_2)(n - t) = y_0(x_1 - t) - y_1(n - t) (n - x_1)(n - t) + y_0( x_2-t ) - y_2(n - t) (n - x_2)(n - t) = my_0y_1 - y_1(n - t) (n - x_1)(n - t) + my_0y_2 - y_2(n - t) (n - x_2)(n - t) = (my_0 - n + t)y_1 (n - x_1)(n - t) + (my_0 - n + t)y_2 (n - x_2)(n - t) = (my_0 - n + t) n - t ( y_1 n - x_1 + y_2 n - x_2 ) = (my_0 - n + t) n - t (k_ NA + k_ NB ) 故： k_ PA + k_ PB = 2k_ PT k_ NA + k_ NB = 0 ，证毕.（该结论对于双曲线也成立，只需将 b^2 换成 -b^2 ，其他过程不变）

结论 6. 抛物线等角定理与斜率等差

已知抛物线 ( : y^2 = 2px (p > 0) )，定点 (T(t, 0) )，定点 (N(n, 0) (n t) )，过定点 (T )的直线与抛物线相交于点 (A )和 (B )，动点 (P )在定直线 (x = n )上，且点 (P )不在直线 (AB )上，则以下 (3 )个命题是等价的（从任意一个命题可推导出另外两个）： 直线 (PA )， (PT )， (PB )的斜率成等差数列，即满足 (k_ PA + k_ PB = 2k_ PT ) 直线 (NA )和直线 (NB )的斜率互为相反数，即 (k_ NA + k_ NB = 0 )，也等价于 ( TNA = TNB ) (n = -t ) 证明：联立抛物线 y^2 = 2px 与直线 AB: x = my + t 得： y^2 = 2px x = my + t y^2 - 2pmy - 2pt = 0 y_1 + y_2 = 2pm y_1y_2 = -2pt k_ NA + k_ NB = y_1 n - x_1 + y_2 n - x_2 = y_1(n - my_2 - t) + y_2(n - my_1 - t) (n - x_1)(n - x_2) = (n - t)(y_1 + y_2) - 2my_1y_2 (n - x_1)(n - x_2) = 2pmn - 2pmt + 4mpt (n - x_1)(n - x_2) = 2pm(n + t) (n - x_1)(n - x_2) = 0 （当且仅当 ( n = -t ) 时成立） k_ PA + k_ PB = 2k_ PT k_ NA + k_ NB = 0 与椭圆证明一致.

结论 7. 等角定理与斜率倒数等差

已知椭圆 ( : x^2 a^2 + y^2 b^2 =1 (a > b > 0) )，定点 (T(0,t) )，定点 (N(0,n) (n t) )，过定点 (T )的直线与椭圆相交于点 (A )和 (B )，动点 (P )在定直线 (y = n )上，点 (P )不在直线 (AB )上，则以下 (3 )个命题是等价的（从任意一个命题可推导出另外两个）： 直线 (PA )， (PT )， (PB )的斜率倒数成等差数列，也即 ( 1 k_ PA + 1 k_ PB = 2 k_ PT ) 直线 (NA )和直线 (NB )的斜率倒数互为相反数，也即 ( 1 k_ NA + 1 k_ NB = 0 ) (nt = b^2 ) 设 (T(0,t) )， (H(0,n) )， (A(x_1,y_1) )， (B(x_2,y_2) )， (P(x_0,n) )，设直线 (AB: y = mx + t )，则: 联立椭圆 ( : x^2 a^2 + y^2 b^2 = 1 )与直线 (AB: y = mx + t )，两边同乘 (a^2b^2 )消分母： [ b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2 y = mx + t (b^2 + a^2m^2)x^2 + 2a^2mtx + a^2(t^2 - b^2) = 0 ] 由韦达定理， (x_1 + x_2 = -2a^2mt b^2 + a^2m^2 )， (x_1x_2 = a^2(t^2 - b^2) b^2 + a^2m^2 )， (x_1y_2 + x_2y_1 = -2mb^2a^2 b^2 + a^2m^2 ) 1 k_ HA + 1 k_ HB = x_1 y_1 - n + x_2 y_2 - n = x_1(y_2 - n) + x_2(y_1 - n) (y_1 - n)(y_2 - n) = x_1y_2 + x_2y_1 - n(x_1 + x_2) (y_1 - n)(y_2 - n) = ( -2mb^2a^2 b^2 + a^2m^2 ) - n ( -2a^2mt b^2 + a^2m^2 ) (y_1 - n)(y_2 - n) = 2a^2m(nt - b^2) (b^2 + a^2m^2)(y_1 - n)(y_2 - n) = 0 ( 当且仅当 nt = b^2) 1 k_ PA + 1 k_ PB - 2 k_ PT = x_0 - x_1 n - y_1 + x_0 - x_2 n - y_2 - 2 x_0 n - t = ( x_0 - x_1 n - y_1 - x_0 n - t ) + ( x_0 - x_2 n - y_2 - x_0 n - t ) = (x_0 - x_1)(n - t) - x_0(n - y_1) (n - y_1)(n - t) + (x_0 - x_2)(n - t) - x_0(n - y_2) (n - y_2)(n - t) = x_0(y_1 - t) - x_1(n - t) (n - y_1)(n - t) + x_0(y_2 - t) - x_2(n - t) (n - y_2)(n - t) = (mx_0x_1 - x_1(n - t)) (n - y_1)(n - t) + (mx_0x_2 - x_2(n - t)) (n - y_2)(n - t) = (mx_0 - n + t)x_1 (n - y_1)(n - t) + (mx_0 - n + t)x_2 (n - y_2)(n - t) = (mx_0 - n + t) n - t ( x_1 n - y_1 + x_2 n - y_2 ) = (mx_0 - n + t) n - t ( 1 k_ HA + 1 k_ HB ) 故： ( 1 k_ PA + 1 k_ PB = 2 k_ PT 1 k_ HA + 1 k_ HB = 0 )

结论 8. 平行于坐标系的中点斜率等差

0.56 如图， PC 为 PAB 的中线 若 AB 与 x 轴平行，则： 1 k_ PA + 1 k_ PB = 2 k_ PC （2022全国乙） 若 AB 与 y 轴平行，则： k_ PA + k_ PB = 2k_ PC （2023全国乙） 该模型要求能将题目中点的条件翻译为斜率的条件 0.43 [scale=0.8, >=stealth] % 坐标轴 [->] (0,0) -- (3.5,0) node[right] x ; [->] (0,0) -- (0,2) node[left] y ; at (0,0) [below] O ; % 点的坐标 (A) at (0.5,0.5); (B) at (2.5,0.5); (C) at (1.5,0.5); % AB 中点 (P) at (2, 1.5); % 绘制三角形 (A) -- (B) -- (P) -- (A); (C) -- (P); % 中线 PC % 标注点 at (A) [below left] A ; at (B) [below right] B ; at (C) [below] C ; at (P) [above] P ; [scale=0.8, >=stealth] % 坐标轴 [->] (0,0) -- (3.5,0) node[right] x ; [->] (0,0) -- (0,2) node[left] y ; at (0,0) [below] O ; % 点的坐标 (A) at (1,2); (B) at (1,0.5); (C) at (1,1.25); % AB 中点 (P) at (3,1.5); % 绘制三角形 (A) -- (B) -- (P) -- (A); (C) -- (P); % 中线 PC % 标注点 at (A) [left] A ; at (B) [left] B ; at (C) [left] C ; at (P) [right] P ; 证明： ( AB x ) 轴时， 设 ( A(x_A, y_0) ), ( B(x_B, y_0) )，则 ( C ( x_A+x_B 2 , y_0 ) )，设 ( P(x_P, y_P) )， 斜率满足： [ 1 k_ PA = x_P-x_A y_P-y_0 , 1 k_ PB = x_P-x_B y_P-y_0 , 2 k_ PC = 2x_P-x_A-x_B y_P-y_0 , 1 k_ PA + 1 k_ PB = 2x_P-x_A-x_B y_P-y_0 = 2 k_ PC . ] ( AB y ) 轴时， 设 ( A(x_0, y_A) ), ( B(x_0, y_B) )，则 ( C (x_0, y_A+y_B 2 ) )，设 ( P(x_P, y_P) )， 斜率满足： [ k_ PA = y_P-y_A x_P-x_0 , k_ PB = y_P-y_B x_P-x_0 , 2k_ PC = 2y_P-y_A-y_B x_P-x_0 , k_ PA + k_ PB = 2y_P-y_A-y_B x_P-x_0 = 2k_ PC . ]

结论 9. 斜率等差结论2

0.6 已知椭圆 (C: x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2 = 1(a>b>0) )，过定点 (N(n,0)(0< n <a) )作一直线交椭圆 (C )于 (A )， (B )两点，交 (N )点的极线 (l:x= a^ 2 n )于点 (M )， (P )是椭圆 (C )上一点，且点 (P )横坐标为 (n )，则直线 (PA )， (PM )， (PB )的斜率成等差数列. 0.39 [x=0.85cm, y=0.85cm, >=stealth, baseline=(current bounding box.center), line cap=round, line join=round, font= ] 2 1.5 1 1.5 -2.4 4.3 -2 2.5 / sqrt(1- /( )) + 2* ( - ) sqrt( -4* ) (- + )/(2* ) (- - )/(2* ) + + ( - )/ [->] ( ,0) -- ( ,0) node[below] x ; [->] (0, ) -- (0, ) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; (0,0) ellipse [x radius= , y radius= ]; % at (-1.45,1.05) C ; (N) at ( ,0); (P) at ( , ); (A) at ( , ); (B) at ( , ); (M) at ( , ); [dashed] ( ,0) -- (P); [dashed] ( , +0.1) -- ( , -0.1); (A) -- (B) -- (M); [blue, thick] (P) -- (A) (P) -- (M) (P) -- (B); (A) circle (1.2pt) node[above] A ; (B) circle (1.2pt) node[below left] B ; (M) circle (1.2pt) node[above right] M ; (N) circle (1.2pt) node[below] N ; (P) circle (1.2pt) node[above] P ;

结论 10. 抛物线蝴蝶定理

抛物线 C: y^2 = 2px (x>0) 的弦 A_1A_2 过点 (a,0) ，弦 A_2A_3 和弦 A_1A_4 都过点 (b,0) ， 设弦 A_3A_4 过点 (c,0) ， A_1A_2 与 A_3A_4 的斜率 k_ 12 , k_ 34 都存在且非零. 0.55 联立 y^2 = 2px x = my + n ，得 y^2 - 2pmy - 2pn = 0 ，故 y_1y_2 = -2pn . 对于四条直线，依次有 y_1y_2 = -2p a 1 y_2y_3 = -2p b 2 y_1y_4 = -2p b 3 y_3y_4 = -2p c 4 由 2 3 = 1 4 ，得 b^2 = ac ，故 a,b,c 成等比数列. 2 1 = 3 1 = y_3 y_1 = y_4 y_2 = y_3 + y_4 y_1 + y_2 = b a 0.4 [scale=1, >=stealth] % 坐标轴 [->] (-0.5,0) -- (5.5,0) node[right] x ; [->] (0,-2) -- (0,3) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; % 抛物线 y^2=2px (取p=1, y^2=2x) [domain=-2.4:3.2, smooth, variable= ] plot ( 0.5* , ); % 定义关键点坐标 (参数设定: a=0.75, b=1.5, c=3, p=1) (P) at (0.75,0); % 点(a,0) (Q) at (1.5,0); % 点(b,0) (R) at (3,0); % 点(c,0) % 抛物线上的四个点 (根据斜率关系计算得出) (A1) at (1.125, 1.5); (A2) at (0.5, -1); (A3) at (4.5, 3); (A4) at (2, -2); % 绘制弦 (A1) -- (A2); % 过a (A1) -- (A4); % 过b (A2) -- (A3); % 过b (A3) -- (A4); % 过c % 标记点 (A1) circle (1.5pt) node[above] A_1 ; (A2) circle (1.5pt) node[below] A_2 ; (A3) circle (1.5pt) node[above] A_3 ; (A4) circle (1.5pt) node[below] A_4 ; (P) circle (1.2pt) node[below right=-2pt] a ; (Q) circle (1.2pt) node[below right=-2pt] b ; (R) circle (1.2pt) node[below] c ; k_ 12 = y_1 - y_2 x_1 - x_2 = y_1 - y_2 y_1^2 2p - y_2^2 2p = 2p y_1 + y_2 , k_ 34 = 2p y_3 + y_4 , k_ 12 k_ 34 = 2p y_1 + y_2 2p y_3 + y_4 = y_3 + y_4 y_1 + y_2 = b a ( 公比 ).

仿射变换

定义 1. 仿射变换

在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间. 在平面解析几何中，仿射变换常体现为坐标的水平缩放、铅垂缩放、旋转或平移. 利用仿射变换，我们可以将复杂的二次曲线（如椭圆）转化为简单的二次曲线（如圆），从而在一套更为简单的度量体系中快速且直观地解决长度比、面积以及斜率关系等问题.

性质 1. 仿射变换中的不变量

在代数方程通过坐标单纯的伸缩（如 x = ax', y = by' ）进行仿射变换的过程中，图形的具体线面尺寸（长度、角度、绝对面积）会发生改变，但以下性质严格保持不变： 点的共线性、直线的平行性不变； 线段上的分点比（特别是中点特性）不变，进而图形的重心依然是重心； 平行线段的长度之比不变； 几何体之间的拓扑关系不变（直线与曲线相交、相切、相离，变换后维持不变）； 不同的两个封闭图形之间的面积比值保持不变.

结论 1. 椭圆仿射为单位圆及其变化量

将椭圆 ( x^2 a^2 + y^2 b^2 = 1 (a>b>0) )，仿射变换为单位圆，原坐标系中的代数与几何量产生如下特定变化： c c 项目 变换关系 变换内容 ( x' = x a y' = y b x = ax' y = by' ) ( ( 椭圆 单位圆 x' ^2 + y' ^2 = 1 ) ) 图示 [scale=0.45, >=stealth, baseline=0] [->] (-3.5,0) -- (3.5,0) node[right, scale=0.8] x ; [->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node[left, scale=0.8] y ; [below right, scale=0.8] at (0,0) O ; [thick, purple!70!black] (0,0) ellipse (3 and 1.5); % 填色三角形 (AB过原点) (A) at (-2.6,-0.75); (C) at (-1.5, 1.3); (B) at (2.6, 0.75); [cyan!30, opacity=0.5] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; [blue] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; [below left, scale=0.8] at (A) A ; [above, scale=0.8] at (C) C ; [right, scale=0.8] at (B) B ; ( ) [scale=0.45, >=stealth, baseline=0] [->] (-3.5,0) -- (3.5,0) node[right, scale=0.8] x' ; [->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node[left, scale=0.8] y' ; [below right, scale=0.8] at (0,0) O' ; [thick, purple!70!black] (0,0) circle (2); % 填色三角形 (A'B'过原点O') (A') at (-1.732,-1); (C') at (-1, 1.732); (B') at (1.732, 1); [magenta!30, opacity=0.5] (A') -- (B') -- (C') -- cycle; [blue] (A') -- (B') -- (C') -- cycle; [below left, scale=0.8] at (A') A' ; [above left, scale=0.8] at (C') C' ; [right, scale=0.8] at (B') B' ; 点坐标 点 (A(x_0, y_0) ) ( ) 点 (A' ( x_0 a , y_0 b ) ). 直线方程 直线 (l: Ax + By + C = 0 ) ( ) 直线 (l': (Aa)x' + (Bb)y' + C = 0 ). 斜率 @ c@ 设原斜率为 (k )，映射后斜率为 (k' )，则 ( k = b a k' k' = a b k ) 由于 (k_ A'C' k_ B'C' = -1 k_ AC k_ BC = b a k_ A'C' b a k_ B'C' = - b^2 a^2 ) 弦长 (AB = 1+k^2 x_1 - x_2 ) ( ) (A'B' = 1+k'^2 x_1' - x_2' = 1+ ( a b k )^2 1 a x_1 - x_2 ). 面积 (S_ ABC = ab S'_ A'B'C' )

定比点差

定义 1. 定比分点

(M(x,y) )为经过两个不同的定点 (A(x_1,y_1) )、 (B(x_2,y_2) )的直线上的一点，且满足 ( AM = MB )， 则 (M ( x_1+ x_2 1+ , y_1+ y_2 1+ ) )（ ( )为参数， ( -1 )）. 证明：因为 ( AM = MB )，所以 ( x - x_1= (x_2 - x) - y_1= (y_2 - y) )，整理得： ( x = x_1+ x_2 1+ = y_1+ y_2 1+ )， 1 当 ( >0 )时， (M )为内分点； 2 当 ( <0 )，且 ( -1 )时， (M )为外分点； 3 当 ( = 0 )时，点 (M )与 (A )重合.

定义 2. 调和点列的概念

如下图 1 ，点 (P ) 在线段 (AB ) 上，则满足 ( AP PB = ( > 0) )的点 (P ) 是唯一存在的. 但是，如果将线段 (AB ) 改为直线 (AB )，此时，满足 ( AP PB = )的点有两个，如下图 2 ，不妨记另一个点为 (Q )，则 ( AP PB = AQ QB = ( 1) )，在此种情况下，我们称点 (A )、 (P )、 (B )、 (Q ) 为调和点列，或者称点 (P )、 (Q ) 调和分割点 (A )、 (B ). 0.49 [scale=1] [thick] (0,0) -- (3,0); (0,0) circle (1.5pt) node[below] A ; (2,0) circle (1.5pt) node[below] P ; (3,0) circle (1.5pt) node[below] B ; at (1.5,-0.7) 图 1 ; 0.49 [scale=1] [thick] (0,0) -- (6,0); (0,0) circle (1.5pt) node[below] A ; (2,0) circle (1.5pt) node[below] P ; (3,0) circle (1.5pt) node[below] B ; (6,0) circle (1.5pt) node[below] Q ; at (3,-0.7) 图 2 ; 特别的，当 ( = 1 )时，即点 (P ) 为 (AB ) 的中点，则 (Q ) 为无穷远点.

性质 1. 调和点列的性质

如图所示：对于线段 (AB ) 的内分点 (C ) 和外分点 (D ) 满足 (C )、 (D ) 调和分割线段 (AB )，即 ( AC CB = AD DB )，设 (O ) 为线段 (AB ) 的中点，则有以下结论成立： [scale=1] [thick] (0,0) -- (6,0); (0,0) circle (1.5pt) node[below] A ; (2,0) circle (1.5pt) node[below] C ; (3,0) circle (1.5pt) node[below] B ; (6,0) circle (1.5pt) node[below] D ; (1.5,0) circle (1.5pt) node[below] O ; 1 点 (A )、 (B ) 也调和分割 (C )、 (D )，即 ( CA AD = CB BD )； 2 ( 2 AB = 1 AC + 1 AD )（ (AB ) 是 (AC ) 与 (AD ) 的调和平均数）.

定理 1. 椭圆双曲定比点差

设 (A )， (B ) 为椭圆或双曲线两点. 若存在 (P )， (Q ) 两点，满足 ( AP = PB )， ( AQ =- QB )，一定有 [ x_Px_Q a^ 2 y_Py_Q b^ 2 = 1 ] 证明：若 (A(x_1,y_1) )， (B(x_2,y_2) )， ( AP = PB )，则 (P ( x_1+ x_2 1+ , y_1+ y_2 1+ ) )， ( AQ =- QB )，则 (Q ( x_1 - x_2 1 - , y_1 - y_2 1 - ) )，有 ( x_1^ 2 a^ 2 y_1^ 2 b^ 2 = 1 1 ^ 2 x_2^ 2 a^ 2 ^ 2 y_2^ 2 b^ 2 = ^ 2 2 ) 1 - 2 得： ( (x_1+ x_2)(x_1 - x_2) a^ 2 (y_1+ y_2)(y_1 - y_2) b^ 2 =1 - ^ 2 ) 即 ( 1 a^ 2 x_1+ x_2 1+ x_1 - x_2 1 - 1 b^ 2 y_1+ y_2 1+ y_1 - y_2 1 - =1 x_Px_Q a^ 2 y_Py_Q b^ 2 = 1 )

定理 2. 抛物线定比点差

在抛物线 (y^ 2 =2px ) 中，设 (A )， (B ) 为抛物线上的两点. 若存在 (P )， (Q ) 两点，满足 ( AP = PB )， ( AQ =- QB )，一定有 [y_Py_Q=p(x_P + x_Q) ] 证明：若 (A(x_1,y_1) )， (B(x_2,y_2) )， ( AP = PB )，则 (P ( x_1+ x_2 1+ , y_1+ y_2 1+ ) )， ( AQ =- QB )，则 (Q ( x_1 - x_2 1 - , y_1 - y_2 1 - ) )， 有 ( y_1^ 2 =2px_1 1 ^ 2 y_2^ 2 =2 ^ 2 px_2 2 ) 1 - 2 得： (y_1^ 2 - ^ 2 y_2^ 2 =p(x_1 + x_1- ^ 2 x_2- ^ 2 x_2) ) 即 ((y_1+ y_2)(y_1 - y_2)=p(x_1+ x_2 + x_1 - x_2+ x_1- ^ 2 x_2- x_1- ^ 2 x_2) )， 所以 ( (y_1+ y_2)(y_1 - y_2) (1 + )(1 - ) = p(x_1+ x_2)(1 - ) (1 - )(1 + ) + p(x_1 - x_2)(1 + ) (1 - )(1 + ) y_Py_Q=p(x_P + x_Q) ).

定理 3. 轴点弦坐标与比值转换定理

类型一：定点在 x 轴 过定点 ( P(x_P, 0) ) 的直线与椭圆 ( x^2 a^2 + y^2 b^2 = 1 (a > b > 0) ) 相交于 ( A,B ) 两点，设 ( AP = PB ( 1) )， ( A(x_1, y_1) )， ( B(x_2, y_2) )，则在直线 ( AB ) 上一定存在点 ( Q ) 满足 ( AQ = - QB )，根据定比点差法可知 ( x_Q = a^2 x_P ). 一定有： [ x_1 + x_2 1 + = x_P x_1 - x_2 1 - = x_Q y_1 + y_2 1 + = 0 x_1 + x_2 = x_P(1 + ) x_1 - x_2 = x_Q(1 - ) y_1 + y_2 = 0 x_1 = x_P + x_Q 2 + x_P - x_Q 2 x_2 = x_P + x_Q 2 + x_P - x_Q 2 y_1 + y_2 = 0 ] 类型二：定点在 y 轴 过定点 ( P(0, y_p) ) 的直线与椭圆 ( x^2 a^2 + y^2 b^2 = 1 (a > b > 0) ) 相交于 ( A,B ) 两点，设 ( AP = PB ( 1) )， ( A(x_1, y_1) )， ( B(x_2, y_2) )，则在直线 ( AB ) 上一定存在点 ( Q ) 满足 ( AQ = - QB )，根据定比点差法可知 ( y_Q = b^2 y_P ). [ 同理： y_1 = y_P + y_Q 2 + y_P - y_Q 2 y_2 = y_P + y_Q 2 + y_P - y_Q 2 x_1 + x_2 = 0 ] 类型三：抛物线 过定点 ( P(m, 0) ) 的直线 ( AB ) 和抛物线 ( y^2 = 2px (p > 0) ) 相交，设 ( AP = PB )， ( A(x_1, y_1) )， ( B(x_2, y_2) )，则有： [ m = x_1 + x_2 1 + -m = x_1 - x_2 1 - y_1 = - y_2 x_1 = m x_2 = m y_1 = - y_2 ] 证明：由 ( AP = PB ) 可得： ( x_1 + x_2 1 + = m ) ,由 ( y_1^2 = 2px_1 ^2 y_2^2 = 2 ^2 px_2 ) ( y_1 + y_2 1 + y_1 - y_2 1 - = p ( x_1 + x_2 1 + + x_1 - x_2 1 + ) x_1 - x_2 1 - = -m ), 所以 ( x_1 = m x_2 = m y_1 = - y_2 )

定义 3. 焦弦常数

设点 ( P ) 为椭圆或双曲线上任一点，过焦点 ( F_1 )、 ( F_2 ) 分别作弦 ( PA )、 ( PB )，设 ( PF_1 = F_1 A , PF_2 = F_2 B , ) 则 0.59 [ + = 2(a^2 + c^2) a^2 - c^2 = 2(1 + e^2) 1 - e^2 . ] 推广：如果将焦点 ( F_1 )、 ( F_2 ) 换成 ( M_1(-m, 0) )、 ( M_2(m, 0) )，则 [ + = 2(a^2 + m^2) a^2 - m^2 . ] 0.4 [>=Stealth, baseline=(current bounding box.center), scale=0.55] % 坐标轴 (-4,-3) rectangle (4,3); [->] (-3.8,0) -- (3.8,0) node[below] x ; [->] (0,-2.8) -- (0,2.8) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; % 椭圆 3 2 [name path=ellipse] (0,0) ellipse ( and ); % 焦点/定点 (M1) at (-1.5,0); (M2) at (1.5,0); % 动点 P（设在第一象限） (P) at ( 3*cos(70) , 2*sin(70) ); % 获取射线交点 A, B [name path=lineA] ( (P)!-0.2!(M1) ) -- ( (P)!3!(M1) ); [name path=lineB] ( (P)!-0.2!(M2) ) -- ( (P)!3!(M2) ); [name intersections= of=ellipse and lineA, sort by=lineA, by= P1, A ]; [name intersections= of=ellipse and lineB, sort by=lineB, by= P2, B ]; % 连线 (P) -- (A); (P) -- (B); % 强调点与标签 (P) circle (1.2pt) node[above] P ; (M1) circle (1.2pt) node[below] M_1 ; (M2) circle (1.2pt) node[below left] M_2 ; (A) circle (1.2pt) node[below left] A ; (B) circle (1.2pt) node[below right] B ; 证明：对 ( PM_1 = M_1 A PM_2 = M_2 A , ) 由定比点差法得： ( 2x_p = -m - a^2 m + ( -m + a^2 m ) 2x_p = m + a^2 m + ( m - a^2 m ) ) 作差得： ( + = 2(a^2 + m^2) a^2 - m^2 . )

参数方程

定义 1. 直线的参数方程

直线：经过点 ( P_0(x_0, y_0) )，倾斜角为 ( )的直线的参数方程是 ( x = x_0 + t y = y_0 + t )（ ( t )为参数）. [>=stealth, scale=0.7] % 图1：直线的参数方程 [xshift=0cm] [->] (-1,0) -- (3.5,0) node[below] x ; [->] (0,-1) -- (0,3) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; [thick, blue] (-0.5,-0.5) -- (3,3) node[pos=0.7, above left, black] l ; (P0) at (0.5,0.5); (P) at (2.5,2.5); (Q) at (2.5,0.5); [dashed, blue, thick] (P0) -- (Q) -- (P); [above] at (P0) P_0 ; [right] at (P) P(x,y) ; [right] at (Q) Q ; [blue, thick] (1,0.5) arc (0:45:0.5); at (1.3,0.75) ; % 图2左：P0在线段P1P2外 [xshift=5.5cm] [->] (-1.5,0) -- (3,0) node[below] x ; [->] (0,-1) -- (0,3) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; [thick, blue] (-1,-1) -- (2.5,2.5); (2.2,2.2) circle (1.5pt) node[right] P_0 ; (1,1) circle (1.5pt) node[right] P_1 ; (-0.8,-0.8) circle (1.5pt) node[right] P_2 ; % 图2右：P0在线段P1P2内 [xshift=10.5cm] [->] (-1.5,0) -- (3,0) node[below] x ; [->] (0,-1) -- (0,3) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; [thick, blue] (-1,-1) -- (2.5,2.5); (2.2,2.2) circle (1.5pt) node[right] P_1 ; (1,1) circle (1.5pt) node[right] P_0 ; (-0.8,-0.8) circle (1.5pt) node[right] P_2 ; 在直线的参数方程 ( x = x_0 + t y = y_0 + t )（ ( t )为参数）中 ( t )的几何意义是表示在直线上过定点 ( P_0(x_0, y_0) )与直线上的任一点 ( P(x, y) )构成的有向线段 ( P_0P )的模，且在直线上任意两点 ( P_1 )、 ( P_2 )的距离为 ( P_1P_2 = t_1 - t_2 = (t_1 + t_2)^2 - 4t_1t_2 ). 若直线与已知二次曲线相交于 ( A )、 ( B )两点时，则将此直线代入二次曲线，得到两根 ( t_1 )和 ( t_2 )，则 ( AB = t_1 - t_2 ). 定点 ( P_0 )是线段 ( AB )的中点可得 ( t_1 + t_2 = 0 )；设线段 ( AB )中点为 ( M )，则点 ( M )对应的参数值 ( t_M = t_1 + t_2 2 )（由此可求 ( AB )及中点坐标）. 注意：这里的参数 ( t )不一定是正数，关于 ( P_1P_2 = t_1 - t_2 = (t_1 + t_2)^2 - 4t_1t_2 )， 当 ( P_0 )位于线段 ( P_1P_2 )外时， ( t_1 )和 ( t_2 )同号（可以都为负）， 当 ( P_0 )位于线段 ( P_1P_2 )内时， ( t_1 )和 ( t_2 )异号（一正一负）.

定义 2. 圆锥曲线的参数方程

圆：圆心 ((a,b) )，半径 (r )的圆 ((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 )的参数方程是 ( x = a + r y = b + r )，其中 ( )是参数. 注意：圆的参数方程换元， ( )表示x轴正方向到圆心和圆上任意一点的半径所成的角. 椭圆： ( x^2 a^2 + y^2 b^2 = 1 (a > b > 0) )的参数方程是 ( x = a y = b )，其中 ( )是参数. 0.65 参数 ( )的几何意义：参数 ( )表示椭圆上某一点的离心角. 如图所示，点 ( P )对应的离心角为 ( = QOx )（过 ( P )作 ( PQ x )轴，交大圆即以 ( 2a )为直径的圆于 ( Q )）， 0.3 [scale=0.7, >=stealth] % 坐标轴 [->, thick, purple!80!black] (-2.5,0) -- (2.5,0) node[below] x ; [->, thick, purple!80!black] (0,-2.5) -- (0,2.5) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; % 椭圆和大小圆 [thick, purple!80!black] (0,0) ellipse (2 and 1.2); [dashed, purple!80!black] (0,0) circle (2); [dashed, purple!80!black] (0,0) circle (1.2); % 参数 alpha = 45度 45 (Q) at ( 2*cos( ) , 2*sin( ) ); (P) at ( 2*cos( ) , 1.2*sin( ) ); (Px) at ( 2*cos( ) , 0); % 连接线 [blue, thick] (0,0) -- (Q); [blue, thick] (Q) -- (Px); % 点 [blue] (Q) circle (1.2pt) node[black, above right] Q ; [blue] (P) circle (1.2pt) node[black, right] P ; % 角度 [blue] (0,0) -- (0.35,0) arc (0: :0.35) -- cycle; at (0.55, 0.15) ; 双曲线： ( x^2 a^2 - y^2 b^2 = 1 (a > 0, b > 0) )的参数方程是 ( x = a y = b )，其中 ( )是参数.

定义 3. 万能公式与三角换元

[ 椭圆： x = a = a ^2 2 - ^2 2 ^2 2 + ^2 2 = a 1 - ^2 2 1 + ^2 2 = a 1 - t^2 1 + t^2 y = b = b 2 2 2 ^2 2 + ^2 2 = b 2 2 1 + ^2 2 = b 2t 1 + t^2 ] [ 双曲线： x_1 = a = a ^2 2 + ^2 2 ^2 2 - ^2 2 = a 1 + ^2 2 1 - ^2 2 = a 1 + t^2 1 - t^2 y_1 = b = b = 2b 2 2 ^2 2 - ^2 2 = b 2 2 1 - ^2 2 = b 2t 1 - t^2 ] 参数方程换元通常用于单个动点在曲线上运动的最值问题，对于椭圆和双曲线，这是推荐的做法.

曲线系

定义 1. 直线系方程

过直线 ( l_1: f_1(x, y) = A_1x + B_1y + C_1 = 0 ) 与 ( l_2: f_2(x, y) = A_2x + B_2y + C_2 = 0 ) 的交点的直线系方程： [ A_1x + B_1y + C_1 + (A_2x + B_2y + C_2) = 0 ] 这里 ( f_1(x, y) = 0 ) 和 ( f_2(x, y) = 0 ) 都属于一次曲线方程，所以 ( f_1(x, y) + f_2(x, y) = 0 ) 表示过两直线交点的一系列方程，也叫做直线系方程.

定义 2. 过直线与圆交点的圆系方程

过直线 ( l: f_2(x, y) = Ax + By + C = 0 ) 与圆 ( C: f_1(x, y) = x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 ) 交点的圆系方程： [ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F + (Ax + By + C) = 0 ] 这里 ( f_1(x, y) = 0 ) 属于二次曲线方程， ( f_2(x, y) = 0 ) 属于一次曲线方程，所以 ( f_1(x, y) + f_2(x, y) = 0 ) 表示过直线与圆交点的一系列圆方程，也叫做圆系方程； 若已知直线与已知圆有两个交点，则 ( f_1(x, y) + f_2(x, y) = 0 )，表示一系列过这两个交点的圆， 若已知直线与已知圆相切，则 ( f_1(x, y) + f_2(x, y) = 0 )，这表示一系列过这个切点且与已知直线和已知圆相切的圆． 次方高的二次方程决定形状，次方低的一次方程只能决定圆心位置和半径，所有曲线系方程都满足此原理．

定义 3. 相交两圆的公共弦

若圆 ( C_1: x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0 ) 与圆 ( C_2: x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0 ) 相交，则两圆方程相减，即可得到两圆的公共弦 ( AB ) 所在的直线方程为： [ (D_1 - D_2)x + (E_1 - E_2)y + F_1 - F_2 = 0 ] 证明： ( A )、 ( B ) 的坐标都满足方程： ( (D_1 - D_2)x + (E_1 - E_2)y + F_1 - F_2 = 0 )．又过 ( A )、 ( B ) 两点的直线是唯一的，故上述方程即为公共弦 ( AB ) 所在直线的方程． 当两圆相切时，它为内公切线方程； 当两圆相离或包含时，它为到两圆的与连心线垂直的切线段相等的点的集合；显然，当两圆相离且半径相等时，它为两圆的对称轴．

定义 4. 过圆与圆交点的圆系方程

过两已知圆 ( C_1: f_1(x,y) = x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0 ) 和 ( C_2: f_2(x, y) = x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0 ) 交点的圆系方程为： [ x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 + (x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2) = 0 ( -1) ]，若 ( = -1 ) 时，变为 ( (D_1 - D_2)x + (E_1 - E_2)y + F_1 - F_2 = 0 )，则表示过两圆的交点的直线．

定义 5. 与圆相切于某点的圆系方程

与圆 ( C: x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 ) 相切于点 ( (x_0, y_0) ) 的圆系方程可设为： [ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F + [(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2] = 0 ]

定理 1. 四点共圆的曲线系

若经过圆锥曲线 ( f_ 1 (x,y) = Ax^ 2 + By^ 2 + Dx + Ey + F = 0 ) 上的四个点可以形成一个圆，不妨设这四点所在的两条直线为 ( l_ MN : k_ 1 x - y + m_ 1 = 0 ) 与 ( l_ PQ : k_ 2 x - y + m_ 2 = 0 ). 此时 ( f_ 2 (x,y) = (k_ 1 x - y + m_ 1 )(k_ 2 x - y + m_ 2 ) = 0 ) 表示过这两条直线的退化二次曲线方程. 过该圆锥曲线与这两条直线的四个交点的二次曲线系方程可表示为： [ f_ 1 (x,y) + f_ 2 (x,y) = 0 ] 即 ( Ax^ 2 + By^ 2 + Dx + Ey + F + (k_ 1 x - y + m_ 1 )(k_ 2 x - y + m_ 2 ) = 0 ). 由于这四点共圆，该曲线系中必定存在一个表示圆的方程，即 ( x^2 ) 与 ( y^2 ) 的系数相等且不含 ( xy ) 交叉项. 因为原圆锥曲线中没有 ( xy ) 项，所以在展开式中 ( xy ) 交叉项的系数必定为零，即 ( - (k_1 + k_2) = 0 k_ 1 + k_ 2 = 0 ). 即：若圆锥曲线上四点共圆，则这四点所在的两条相交直线的斜率互为相反数. [>=stealth, scale=0.7] % 图1：椭圆情况 (严格计算交点和半径) [xshift=0cm] [->] (-4.5,0) -- (4.5,0) node[below] x ; [->] (0,-3.5) -- (0,3.5) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; % 绘制椭圆 x^2/16 + y^2/9 = 1 [thick, black] (0,0) ellipse (4cm and 3cm); % 绘制圆 圆心(-0.28, 0.14)，半径3.3776 [thick, dashed, blue] (-0.28, 0.14) circle (3.3776); % 绘制相交直线 y = x + 0.5 和 y = -x - 1.5 [thick, blue] (-4, -3.5) -- (3, 3.5); [thick, blue] (-4, 2.5) -- (2, -3.5); % 标点 (严格交点坐标) (-3.249, 1.749) circle (1.5pt) node[above] P ; (1.329, -2.829) circle (1.5pt) node[below] Q ; (-2.708, -2.208) circle (1.5pt) node[below] M ; (2.068, 2.568) circle (1.5pt) node[above] N ; (-1, -0.5) circle (1.5pt) node[left] T ; % 图2：双曲线情况 (严格计算交点和半径) [xshift=9.5cm] [->] (-2.5,0) -- (7.5,0) node[below] x ; [->] (0,-3.5) -- (0,3.5) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; (-2.5, -3.5) rectangle (7, 3.5); % 绘制双曲线 x^2 - y^2 = 1 [thick, black, domain=-2.5:2.5, samples=50] plot ( cosh( ) , sinh( ) ); [thick, black, domain=-2.5:2.5, samples=50] plot ( -cosh( ) , sinh( ) ); % 绘制圆 圆心(4, 0)，半径2.8868 [thick, dashed, blue] (4,0) circle (2.8868); % 绘制相交直线 y = 2x - 3 和 y = -2x + 3 [thick, blue] (0, -3) -- (3.25, 3.5); [thick, blue] (0, 3) -- (3.25, -3.5); % 标点 (严格交点坐标) (1.183, 0.633) circle (1.5pt) node[above left] P ; (2.817, 2.633) circle (1.5pt) node[right] Q ; (1.183, -0.633) circle (1.5pt) node[below left] M ; (2.817, -2.633) circle (1.5pt) node[right] N ; (1.5, 0) circle (1.5pt) node[below left] T ;

定理 2. 四点共圆总定理

当不含交叉项 ( xy ) 的任意两条圆锥曲线交于四个点时，若它们存在两条平行的对称轴，则这四个交点一定共圆. 例如，任意以坐标轴（或其平行线）为对称轴的椭圆和双曲线，它们的四个交点一定共圆. [>=stealth, scale=0.7] (-3.5, -2.5) rectangle (3.5, 2.5); % 裁剪框限制延伸范围 % 交叉的一对圆锥曲线 [thick, black] (0,0) ellipse (3cm and 1.8cm); % 椭圆 x^2/9 + y^2/3.24 = 1 [thick, black, domain=-2:2, samples=50] plot ( 1.5 * cosh( ) , 2 * sinh( ) ); % 双曲线右支 x^2/2.25 - y^2/4 = 1 [thick, black, domain=-2:2, samples=50] plot ( -1.5 * cosh( ) , 2 * sinh( ) ); % 双曲线左支 % 共圆 (半径严格计算) [thick, dashed, blue] (0,0) circle (2.3254cm); % 交点严格定位 (1.840, 1.421) circle (1.5pt); (1.840, -1.421) circle (1.5pt); (-1.840, 1.421) circle (1.5pt); (-1.840, -1.421) circle (1.5pt); 证明：这两条圆锥曲线方程过交点的二次曲线系可以表示为： [ (A_ 1 x^ 2 + B_ 1 y^ 2 + D_ 1 x + E_ 1 y + F_ 1 ) + (A_ 2 x^ 2 + B_ 2 y^ 2 + D_ 2 x + E_ 2 y + F_ 2 ) = 0 ] 该曲线系要表示一个圆，当且仅当交叉项系数为零（因原方程均无该项，故自然满足），并且 ( x^ 2 ) 和 ( y^ 2 ) 的系数相等，即存在 ( , ) 使 ( A_ 1 + A_ 2 = B_ 1 + B_ 2 ). 因为具备两平行的对称轴，总能找到一组特定的系数组合构成圆的标准方程.

定理 3. 四点共圆的充要条件

充要条件一：已知中心在原点的圆锥曲线 ( Ax^ 2 + By^ 2 + Dx + Ey + F = 0 )，若直线 ( l_ 1 : y = k_ 1 x + m_ 1 ) 与 ( l_ 2 : y = k_ 2 x + m_ 2 ) 被该曲线截得的四个交点共圆，其充要条件是两直线斜率互为相反数，即 ( k_ 1 + k_ 2 = 0 ). 证明：由曲线系定理，两直线构成的退化二次曲线方程中没有 ( xy ) 交叉项的条件即为 ( k_1 + k_2 = 0 ). 充要条件二：对于方程 ( Ax^ 2 + By^ 2 + Dx + Ey + F + (kx - y + m_ 1 )(-kx - y + m_ 2 ) = 0 )，若方程表示一个圆，则必定满足二次项系数相等，即 ( A - k^ 2 = B + ). 证明： ( x^2 ) 的系数为 ( A - k^2 )， ( y^2 ) 的系数为 ( B + ). 若代表圆则二者必定相等，此时参数 ( ) 与 ( k^ 2 ) 一一对应. 推论：若圆锥曲线上存在四个点 ( P, Q, M, N ) 共圆，它们构成的相交直线斜率必定互为相反数. 若直线 ( PQ ) 还是直线 ( MN ) 的垂直平分线，且 ( k_ PQ + k_ MN = 0 )、 ( k_ PQ k_ MN = -1 )，则这两条直线的斜率一定满足 ( k = 1 ).