直线与圆锥曲线¶
知识点¶
直线与圆锥曲线的位置关系¶
结论 1. 判断直线与圆锥曲线的位置关系¶
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直线与椭圆的位置关系
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相交：直线与椭圆有 两个 公共点；
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相切：直线与椭圆有 一个 公共点；
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相离：直线与椭圆 没有 公共点.
判断位置关系的方法——联立判别式
设直线 \(l: Ax + By + C = 0\)，椭圆方程 \(C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \ (a {\gt} b {\gt} 0)\)，
第一步：联立方程组 \(\begin{cases} Ax + By + C = 0 \\ \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \end{cases}\)
第二步：消去 \(y\)（或消去 \(x\)），整理得一元二次方程：\(mx^2 + nx + t = 0\).
第三步：计算根的判别式 \(\Delta = n^2 - 4mt\)，并判断位置关系：
\[ \begin{aligned} \Delta {\gt} 0 & \iff \text{直线与椭圆 相交}; \\ \Delta = 0 & \iff \text{直线与椭圆 相切}; \\ \Delta {\lt} 0 & \iff \text{直线与椭圆 相离}. \end{aligned} \] -
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直线与双曲线的位置关系
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相交：直线与双曲线有 两个 公共点，或有 一个 公共点（直线与渐近线平行）；
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相切：直线与双曲线 有且只有一个 公共点，且直线与双曲线的渐近线 不平行；
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相离：直线与双曲线 没有 公共点.
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直线与抛物线的位置关系
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相交：直线与抛物线有 两个 公共点，或有一个公共点，直线与抛物线的对称轴 平行（重合）；
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相切：直线与抛物线 有且只有一个 公共点，且直线与抛物线的对称轴 不平行；
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相离：直线与抛物线 没有 公共点.
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结论 2. 中点弦¶
中点弦问题有如下思路：
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利用“待定系数法”结合根与系数的关系求出待定系数\(k\)；
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用“设而不求”法，利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率的关系.
结论：
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若点\(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)\)在曲线\(\dfrac{x^2}{a^2} \pm \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)上，且弦\(AB\)的中点为\(M(x_0, y_0)\)，则
\[ k_{OM} \cdot k_{AB} = \pm \dfrac{b^2}{a^2} = e^2 - 1 \]椭圆（对应曲线\(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)）： \(k_{OM} \cdot k_{AB} = -\dfrac{b^2}{a^2}\)
双曲线（对应曲线\(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)）： \(k_{OM} \cdot k_{AB} = \dfrac{b^2}{a^2}\)
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若点\(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)\)在曲线\(y^2 = 2px\)上，弦\(AB\)的中点为\(M(x_0, y_0)\)，则 对于 抛物线：
\[ k_{AB} \cdot y_0 = \htmlClass{blank}{p} \]证明：设 \(A(x_1, y_1)\)，\(B(x_2, y_2)\) 在抛物线上，则 \(\begin{cases}y_1^2 = 2px_1 \\ y_2^2 = 2px_2\end{cases}\)，两式相减得 \(y_1^2 - y_2^2 = 2p(x_1 - x_2)\)，
即 \((y_1+y_2)(y_1-y_2) = 2p(x_1-x_2)\)， 因为 \(M(x_0, y_0)\) 是 \(AB\) 中点，所以 \(y_1+y_2 = 2y_0\)，
代入得 \(2y_0(y_1-y_2) = 2p(x_1-x_2)\)，故 \(k_{AB} = \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} = \dfrac{p}{y_0}\).
直线与圆锥曲线联立¶
结论 1. 直线与圆锥曲线联立通法¶
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直线的设法：
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若题目明确涉及斜率或直线过\(y\)轴定点，则设直线：\(y = kx + m\)，需考虑直线斜率是否存在，分类讨论；
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若题目没有涉及斜率或直线过\((n,0)\)则设直线：\(x = my + n\)，此时需讨论直线平行\(x\)轴的情况.
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研究通法: 联立\(\begin{cases}y = kx + m \\ F(x,y)=0\end{cases}\)得：\(ax^{2}+bx + c = 0\)
判别式: \(\Delta = b^{2}-4ac\)，韦达定理: \(x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}\)，\(x_{1}x_{2}=\dfrac{c}{a}\)
结论 3. 联立后的\(\Delta\)，\(x_1y_2 + x_2y_1\)¶
设联立后的方程二次项系数为\(A\)，对于直线\(y = kx + m\)截距为\(m\)，对于直线\(x = my + n\)截距为\(n\)，
注意：以上结论要求\(a^2\)和\(b^2\)没有公约数，只针对表格中的联立方程
结论 4. 弦长公式¶
\(\Delta\)与二次项系数\(A\)都是针对上表中直线\(y=kx+m\)或\(x=my+n\)与圆锥曲线联立后的一元二次方程的
结论 5. 点乘双根法：（常用于斜率和积问题）¶
将直线与圆锥曲线方程联立，得到关于\(x\)的一元二次方程\(Ax^{2}+Bx + C = 0\;(A\neq0)\)，该方程的两根为\(x_1\)和\(x_2\)，要计算\((x_1-t)(x_2 - t)\)这个量时，由二次函数的两根式\(Ax^{2}+Bx + C=A(x - x_1)(x - x_2)\)，在两端同时令\(x = t\)，得到\(At^{2}+Bt + C=A(t - x_1)(t - x_2)\)，并设\(f(x)=Ax^{2}+Bx + C\)，从而
结论 6. 非对称韦达定理¶
解析几何中大多数问题都可以描述概括为先联立直线与曲线方程，消元后构造一元二次方程 \(ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)\)
若\(\Delta {\gt} 0\)，可设直线与曲线两交点的横坐标分别为\(x_1,x_2\)，然后再根据根与系数的关系处理\(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\)，\(x_1^2 + x_2^2\)，\(|x_1 - x_2|\)等结构的问题. 比如，对式子进行转化，得到
再将韦达定理整体代入来解决问题，但是存在一些问题不能使用上述方法，故引入非对称韦达定理的处理方法.
【非对称结构】把形如\(\dfrac{x_1}{x_2}=\lambda\)（或\(\dfrac{y_1}{y_2}=\lambda\)），\(mx_1 + nx_2 + t\ (m\neq n)\)（或\(my_1 + ny_2 + t\)），\(\dfrac{mx_1x_2 + nx_1}{ux_1x_2 + vx_2}\)（或\(\dfrac{my_1y_2 + ny_1}{uy_1y_2 + vy_2}\)）等结构的式子，交换两变量的位置后多项式发生改变，无法应用根与系数的关系直接代入求解的问题称为非对称结构问题，对于这些问题，有以下方法：
下面利用一道真题（2023年新高考II卷T21），介绍处理分式非对称韦达的三种做法：
\(\begin{cases} \dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{16} = 1 \\ x = my - 4 \end{cases} \implies (4m^2 - 1)y^2 - 32my + 48 = 0 \qquad y_1 + y_2 = \dfrac{32m}{4m^2 - 1}, \quad y_1 y_2 = \dfrac{48}{4m^2 - 1}\)
\(\text{欲求解：}\dfrac{y_1}{x_1 + 2} \cdot \dfrac{x_2 - 2}{y_2} = \dfrac{y_1}{my_1 - 2} \cdot \dfrac{my_2 - 6}{y_2} = \dfrac{my_1 y_2 - 6y_1}{my_1 y_2 - 2y_2}\)
- 补倒数： 对于商结构\(\dfrac{x_1}{x_2}=\lambda\)，在商后再加一个商的倒数即可转化为对称式，即\(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}\)，通分后就转化为了两根和与积的形式，即
极点极线¶
定义 1. 二次曲线的替换法则¶
对于一般式的二次曲线\(\varphi: Ax^{2}+Bxy + Cy^{2}+Dx + Ey+F = 0\)，
用\(xx_{0}\)代替\(x^{2}\)，用\(yy_{0}\)代替\(y^{2}\)，用\(\dfrac{x_{0}y+xy_{0}}{2}\)代替\(xy\)，用\(\dfrac{x + x_{0}}{2}\)代替\(x\)，用\(\dfrac{y + y_{0}}{2}\)代替\(y\)， 可得方程：
定义 2. 切线切点弦的极点极线代数定义¶
高中阶段，常见的二次曲线的极点极线方程如下：
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圆：
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极点\(P(x_{0}, y_{0})\)关于圆\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)的极线方程是\(xx_{0}+yy_{0}=r^{2}\)；
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极点\(P(x_{0}, y_{0})\)关于圆\((x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}\)的极线方程是\((x - a)(x_{0}-a)+(y - b)(y_{0}-b)=r^{2}\)；
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极点\(P(x_{0}, y_{0})\)关于圆\(x^{2}+y^{2}+Dx + Ey+F = 0\)的极线方程是：\(xx_{0}+yy_{0}+D\cdot\dfrac{x + x_{0}}{2}+E\cdot\dfrac{y + y_{0}}{2}+F = 0\)
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椭圆： 极点\(P(x_{0}, y_{0})\)关于椭圆\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)的极线方程是：\(\dfrac{xx_{0}}{a^{2}}+\dfrac{yy_{0}}{b^{2}} = 1\)
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双曲线： 极点\(P(x_{0}, y_{0})\)关于双曲线\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)的极线方程是：\(\dfrac{xx_{0}}{a^{2}}-\dfrac{yy_{0}}{b^{2}} = 1\)
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抛物线：极点\(P(x_{0}, y_{0})\)关于抛物线\(y^{2}=2px\)的极线方程是：\(y_{0}y=p(x + x_{0})\)
结论 1. 几何意义¶
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若极点\(P\)在二次曲线上，则极线是过点\(P\)的切线方程.
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若极点\(P\)在二次曲线内部，则极线是过点\(P\)的弦两端端点的切线交点的轨迹.如图所示，过点\(P\)的弦\(AB\)、\(CD\)的两端端点作切线，得到的直线\(MN\)即为点\(P\)对应的极线轨迹.【极线和二次曲线必定相离】
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若极点\(P\)在二次曲线外部，分成两种情况：
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极线在二次曲线内的部分是点\(P\)对二次曲线的切点弦；【极线和二次曲线必定相交】
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极线在二次曲线外的部分是过点\(P\)的弦两端端点的切线交点的轨迹(也在切点弦上).
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结论 2. 切线切点弦考试写法及证明¶
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切线方程写法：
椭圆\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)，点\(P(x_{0},y_{0})\)在椭圆上，设过\(P\)点直线\(y - y_{0}=k(x - x_{0})\)，即\(y = kx + y_{0}-kx_{0}\)
联立得：\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{(kx + y_{0}-kx_{0})^{2}}{b^{2}} = 1\) ，整理得\((a^{2}k^{2}+b^{2})x^{2}+2a^{2}k(y_{0}-kx_{0})x + a^{2}((y_{0}-kx_{0})^{2}-b^{2}) = 0\)
令\(\Delta =[2a^{2}k(y_{0}-kx_{0})]^{2}-4(a^{2}k^{2}+b^{2})\cdot a^{2}((y_{0}-kx_{0})^{2}-b^{2}) = 0\)
解得\(k =-\dfrac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}\)，代入\(y - y_{0}=k(x - x_{0})\)，整理得切线方程\(\dfrac{x_{0}x}{a^{2}}+\dfrac{y_{0}y}{b^{2}} = 1\)
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切点弦方程写法：
过点\(P(x_{0}, y_{0})\)作椭圆\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)的两条切线\(PA\)和\(PB\)，设\(A(x_1, y_1)\),\(B(x_2, y_2)\)
点\(A(x_{1},y_{1})\)满足方程\(\dfrac{x_{0}x_{1}}{a^{2}}+\dfrac{y_{0}y_{1}}{b^{2}} = 1\)，点\(B(x_{2},y_{2})\)也满足方程\(\dfrac{x_{0}x_{2}}{a^{2}}+\dfrac{y_{0}y_{2}}{b^{2}} = 1\)，
故\(A,B\)均在方程\(\dfrac{x_{0}x}{a^{2}}+\dfrac{y_{0}y}{b^{2}} = 1\)上，两点确定一条直线，所以切点弦\(AB\)方程为\(\dfrac{x_{0}x}{a^{2}}+\dfrac{y_{0}y}{b^{2}} = 1\).
定理 1. 极点极线定理¶
设非中心点\(P\)不在椭圆\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)上， 过\(P\)作椭圆的两割线\(PAB\)和\(PCD\)，连接\(AD\)和\(BC\)交于\(Q\)，则
双曲线的结论相同.该结论证明较复杂，不做要求，但可用于快速得出答案. 即：\(P\)为极点，\(Q\)在极线上；\(Q\)为极点，\(P\)在极线上.
推广：取圆锥曲线上的四个点，两两任意连接，形成的三个交点，任选一点作为极点，另外两点连线即为极线.
例题 1. 2020·新课标I¶
已知\(A\)，\(B\)分别为椭圆\(E\)：\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1(a {\gt} 1)\)的左、右顶点，\(G\)为\(E\)的上顶点， \(\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{GB}=8\).\(P\)为直线\(x = 6\)上的动点， \(PA\)与\(E\)的另一交点为\(C\)，\(PB\)与\(E\)的另一交点为\(D\).
(1)求\(E\)的方程；\(\dfrac{x^{2}}{9}+y^{2}=1\) (2)证明：直线\(CD\)过定点.
解析： \(CD\)与\(AB\)交点\(Q\)，\(AC\)与\(BD\)交点\(P\)， \(P\)在直线\(x = 6\)上，\(Q\)为其极点，所以\(\dfrac{x_{P}x_{Q}}{9}+y_{P}y_{Q}=1\)，即\(Q\left(\dfrac{3}{2},0\right)\).
例题 2. 2023·新高考II¶
已知双曲线\(C\)中心为坐标原点，左焦点为\((-2\sqrt{5},0)\)，离心率为\(\sqrt{5}\).
(1)求\(C\)的方程；\(\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{y^{2}}{16}=1\)；
(2)记\(C\)的左、右顶点分别为\(A_1\)，\(A_2\)，过点\((-4,0)\)的直线与\(C\)的左支交于\(M\)，\(N\)两点，\(M\)在第二象限，直线\(MA_1\)与\(NA_2\)交于\(P\)，证明\(P\)在定直线上.
解析 ： (2)由于\(Q\)是\(A_1A_2\)和\(MN\)的交点，\(P\)是\(MA_1\)和\(NA_2\)的交点，即\(\dfrac{x_{P}x_{Q}}{4}- \dfrac{y_{P}y_{Q}}{16}=1\)，所以\(x_{P}x_{Q}=4\Rightarrow x_{P}=-1\).
结论 3. 双切线轨迹¶
过\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a{\gt}b{\gt}0)\)外一点\(P(x_{0}, y_{0})\)作椭圆两条切线. 切点分别为\(A,B\)，\(k_{PA}\cdot k_{PB}=\lambda\). 讨论\(P\)的轨迹.
联立\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1,y = kx + m\Rightarrow (a^{2}k^{2}+b^{2})x^{2}+2kma^{2}x + a^{2}(m^{2}-b^{2}) = 0\)，\(\Delta = a^{2}k^{2}+b^{2}-m^{2}=0\)
将\(m = y_{0}-kx_{0}\)代入得关于\(k\)的一元二次方程：\((a^{2}-x_{0}^{2})k^{2}+2x_{0}y_{0}k + b^{2}-y_{0}^{2}=0\)
\(k_{PA}\)、\(k_{PB}\)是方程的两个根 ，\(k_{PA}\cdot k_{PB}=\dfrac{b^{2}-y_{0}^{2}}{a^{2}-x_{0}^{2}}=\lambda \implies \lambda x_{0}^{2}-y_{0}^{2}=\lambda a^{2}-b^{2}\)
定义 3. 蒙日圆¶
过圆锥曲线外一点作两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是一个圆，这个圆被称为蒙日圆，又叫外准圆.
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椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a {\gt} b {\gt} 0\)）的蒙日圆方程为：\(x^2 + y^2 = a^2 + b^2\)
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圆 \(x^2 + y^2 = r^2\) 的蒙日圆方程为：\(x^2 + y^2 = 2r^2\)
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双曲线 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a {\gt} 0, b {\gt} 0\)）的蒙日圆方程为：\(x^2 + y^2 = a^2 - b^2\)
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抛物线 \(y^2 = 2px\)（\(p {\gt} 0\)）的蒙日圆方程为：\(x = -\dfrac{p}{2}\)
注意：双曲线中只有当 \(a {\gt} b\) 时才有蒙日圆，此时离心率满足 \(1 {\lt} e {\lt} \sqrt{2}\)；抛物线的蒙日圆恰好为其准线（直线是半径为无穷大的圆）.
定理 2. 蒙日圆性质定理¶
设椭圆 \(E: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \ (a {\gt} b {\gt} 0)\)，其蒙日圆为 \(O: x^2 + y^2 = a^2 + b^2\).
过圆 \(O\) 上任意一点 \(P\) 作椭圆 \(E\) 的两条切线，切点分别为 \(A\)、\(B\)，连接 \(AB\) 形成切点弦，\(O\) 为坐标原点，延长 \(PA\)、\(PB\) 交圆 \(O\) 于 \(C\)、\(D\)则：
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\(PA \perp PB\)
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\(k_{OP} \cdot k_{AB} = -\dfrac{b^2}{a^2}\)
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\(k_{OA} \cdot k_{PA} = k_{OB} \cdot k_{PB} = -\dfrac{b^2}{a^2}\)
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\(PO\) 平分 \(AB\)
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\(AB \parallel CD\)
证明：切点弦 \(AB\) 的方程为 \(\dfrac{x_0x}{a^2} + \dfrac{y_0y}{b^2} = 1\)，整理得 \(y = -\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}x + \dfrac{b^2}{y_0}\)（\(y_0 \neq 0\)），故 \(k_{AB} = -\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}\)；
又 \(k_{OP} = \dfrac{y_0}{x_0}\)，因此 \(k_{OP} \cdot k_{AB} = \dfrac{y_0}{x_0} \cdot \left(-\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}\right) = -\dfrac{b^2}{a^2}\).
设切点 \(A(x_1,y_1)\)，则椭圆在 \(A\) 处的切线方程为 \(\dfrac{x_1x}{a^2} + \dfrac{y_1y}{b^2} = 1\)，因切线过 \(P(x_0,y_0)\)，故 \(\dfrac{x_1x_0}{a^2} + \dfrac{y_1y_0}{b^2} = 1\)；由椭圆方程 \(\dfrac{x_1^2}{a^2} + \dfrac{y_1^2}{b^2} = 1\) 得 \(y_1^2 = b^2\left(1 - \dfrac{x_1^2}{a^2}\right)\)； \(k_{OA} = \dfrac{y_1}{x_1}\)，\(k_{PA} = \dfrac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}\)，则 \(k_{OA} \cdot k_{PA} = \dfrac{y_1(y_1 - y_0)}{x_1(x_1 - x_0)}\)；代入 \(y_1y_0 = b^2 - \dfrac{b^2x_1x_0}{a^2}\) 化简得 \(y_1^2 - y_1y_0 = \dfrac{b^2x_1(x_0 - x_1)}{a^2}\)，故 \(k_{OA} \cdot k_{PA} = \dfrac{\dfrac{b^2x_1(x_0 - x_1)}{a^2}}{-x_1(x_0 - x_1)} = -\dfrac{b^2}{a^2}\)，同理\(k_{OB} \cdot k_{PB} = -\dfrac{b^2}{a^2}\)
设 \(AB\) 中点为 \(M(x_M,y_M)\)，由点差法知 \(k_{AB} \cdot k_{OM} = -\dfrac{b^2}{a^2}\)，结合结论2的 \(k_{AB} \cdot k_{OP} = -\dfrac{b^2}{a^2}\)，得 \(k_{AB} \cdot k_{OM} = k_{AB} \cdot k_{OP}\)；若 \(k_{AB} \neq 0\)，则 \(k_{OM} = k_{OP}\)，即 \(O, M, P\) 共线，故 \(PO\) 平分 \(AB\)；
若 \(k_{AB} = 0\)，则 \(AB \parallel x\) 轴，此时 \(P\) 在 \(y\) 轴上，\(PO\) 为 \(y\) 轴，显然平分 \(AB\).
\(M\) 为 \(AB\) 的中点, 由蒙日圆的性质可知 \(\angle APB = 90^\circ\)，所以 \(MA = MB = MP\) 同理: \(OP = OC = OD\) 因此有 \(\angle PAM = \angle APM = \angle CPO = \angle PCO\)，因而: \(AB \parallel CD\).
解析几何大题条件翻译¶
结论 1. 角度问题¶
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在解析几何大题中，锐角、直角、钝角的条件可通过向量的数量积来翻译：
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\(\angle APB\)为直角：可翻译为\(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB} = 0\)，但需单独排除 \(P\) 与 \(A\) 或 \(B\) 重合的情况；也可翻译为 \(k_{PA}\cdot k_{PB}=-1\)，但需单独考虑 \(PA\)，\(PB\) 斜率不存在的情况；
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\(\angle APB\)为锐角：可翻译为\(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}{\gt}0\)，但需单独排除\(\angle APB = 0^{\circ}\)的情况；
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\(\angle APB\)为钝角 或 \(P\) 在以\(AB\)为直径的圆内：可翻译为\(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}{\lt}0\)，但需单独排除\(\angle APB = 180^{\circ}\)的情况.
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角度的具体计算：①使用向量计算余弦值 \(\cos\angle APB = \dfrac{\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{PA}| \cdot |\overrightarrow{PB}|}\)；②找直角三角形直接计算；
③使用斜率计算正切值\(|\tan\angle APB| = \left|\dfrac{k_{PA} - k_{PB}}{1 + k_{PA}k_{PB}}\right|\)
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倾斜角互补：当两直线倾斜角互补时，根据\(\tan(\pi - \alpha)=-\tan\alpha\)，可以得出两直线斜率互为相反数，所以倾斜角互补的问题，在解析几何中往往采用斜率和为零来进行计算.
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角平分线问题：若有\(PA\)平分\(\angle BPC\)，有以下思路：
①计算\(\angle APB = \angle APC\)； ②在三角形中利用角平分线性质定理；
③\(PA\)上的点到\(PB,PC\)的距离相等； ④存在\(\lambda\)使得\(\overrightarrow{PA} = \lambda \left(\dfrac{\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{PB}|} + \dfrac{\overrightarrow{PC}}{|\overrightarrow{PC}|}\right)\)
结论 2. 定点定值问题¶
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定值问题主要有证明类定值问题、探究类定值问题两类，解题的一般步骤为：
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设出直线的方程 \(y = kx + b\) 或 \(x = my + t\) 、点的坐标；
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通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如长度、面积、斜率等）用引入的参数（\(k\)，\(t\)，\(m\)，\(b\) 等）表示出来；
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将上述中间结果代入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的参数无关，是一个常数.
注：对于探究类定值问题，在参数关系复杂，不好直接正面计算时，可考虑先用特值探路，猜出问题的答案，再进行证明，从而将探究类定值问题转化成证明类定值问题处理.
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证明动直线在一定条件下过定点是解析几何中的一类重要题型，这类问题一般有两种解题方法.
方法1：设直线，求解参数关系. 一般的解题步骤为：
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设出直线的方程 \(y = kx + b\) 或 \(x = my + t\)；
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通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，找到 \(k\) 和 \(b\)，\(m\) 和 \(t\) 的关系，或者解出 \(b\)，\(t\) 的值；
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根据(2)中得出的结果，找出直线过的定点.
方法2：求两点，猜定点，证向量共线. 一般的解题步骤为：
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通过题干条件，求出直线上的两个点 \(A\)，\(B\) 的坐标（含参）；
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取两个具体的参数值，分别求出对应的直线 \(AB\)，并求出它们的交点 \(P\)，该点即为直线过的定点；
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证明 \(\overrightarrow{PA}\) 与 \(\overrightarrow{PB}\) 共线，得出直线 \(AB\) 过定点 \(P\).
注：上面的两个解法中，解法2的计算量通常要大一些，故一般首选解法1.
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结论 3. 特殊图形条件翻译¶
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特殊四边形
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平行四边形：常按对角线互相平分来翻译. 例如，若 \(ABCD\) 是平行四边形，则对角线 \(AC\) 的中点也是 \(BD\) 的中点，由此可建立方程，求解需要的量.
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菱形：常抓住其对角线互相垂直平分来进行翻译.
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以\(AB\)为直径的圆过点\(O \Leftrightarrow OA \perp OB \Leftrightarrow \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0 \Leftrightarrow x_1x_2 + y_1y_2 = 0\)
-
弦\(AB\)的垂直平分线经过点\(C(p, q) \Leftrightarrow |AC| = |BC| \Leftrightarrow (x_1 - p)^2 + (y_1 - q)^2 = (x_2 - p)^2 + (y_2 - q)^2\)
或设弦\(AB\)的中点为\(M(x_0, y_0)\)，则弦\(AB\)的垂直平分线经过点\(C(p, q) \Leftrightarrow CM \perp AB \Leftrightarrow k_{CM} \cdot k_{AB} = -1\)
弦\(AB\)的垂直平分线经过点\(C(p, q)\)，设出弦\(AB\)的中点坐标\((x_0, y_0)\)后，还可以考虑用点差法.
-
证明动弦\(AB\)的斜率为定值，这个定值实际上是将\(AB\)平移到与圆锥曲线相切时切线的斜率.
-
证明\(A,B,C,D\)四点共圆，①证明对角互补；②找到一点，证明它到\(A,B,C,D\)四点距离相等.
面积问题¶
结论 1. 三角形面积（人教B必修三P84-1）¶
对于三角形面积的计算，常见的方法有五种：
-
\(S = \dfrac{1}{2}\text{底}\times\text{高}\)，在题干没有特殊条件的情况下，常 用此法算三角形的面积.
-
用“水平宽”或“铅垂高”算面积： \(S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}|AE|\cdot|x_B - x_C|=\dfrac{1}{2}|BD|\cdot|y_A - y_C|\).
-
用两边及夹角：\(S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}|AB|\cdot|AC|\cdot\sin\angle BAC\)，此法常用于内角已知的情况.
-
转化：当直接计算某三角形的面积不方便时，还可以考虑利用其它条件（如相似等）转化 为其它容易求面积的三角形来算面积.
-
向量三角形面积公式：在\(\triangle ABC\)中，\(\overrightarrow{AB}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{AC}=(x_2,y_2)\)，则 \(S_{\triangle ABC}=\htmlClass{blank}{\dfrac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|}\).证明如下：
结论 2. 四边形面积（湘教版必修二P53-13）¶
对于四边形面积的计算，常见的方法如下：
-
特殊四边形，若四边形\(ABCD\)的对角线\(AC\)与\(BD\)互相垂直，则\(S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}|AC|\cdot|BD|\)；
-
一般的四边形，可用一条对角线分割成两个三角形分别算面积，\(S_{ABCD} = S_1 + S_2 = \dfrac{1}{2}|AC|\cdot (d_1+d_2)\)；
-
一般的四边形，若四边形\(ABCD\)的对角线夹角为\(\theta\)，则\(S_{ABCD}=\htmlClass{blank}{\dfrac{1}{2}|AC|\cdot|BD|\sin \theta}\)， 其中\(\theta\)可以利用向量求余弦值或利用斜率求正切值.
结论 3. 面积中最值的求解¶
-
\(\dfrac{\text{二次}}{\text{一次}}\)型：\(f(x)=\dfrac{\alpha x^{2}+\beta x+\varphi}{x + n}\)型：令\(t = x + n\Rightarrow x=t - n\)进行代换后裂项转化为：\(y = at+\dfrac{b}{t}\)
-
\(\dfrac{\text{一次}}{\text{二次}}\)型：\(f(x)=\dfrac{x + n}{\alpha x^{2}+\beta x+\varphi}\)型：先在分母中配出分子式\(f(x)=\dfrac{x + n}{\alpha(x + n)^{2}+\lambda(x + n)+\nu}\)
令\(t = x + n\)，\(y=\dfrac{t}{\alpha t^{2}+\lambda t+\nu}\)，分子分母同时除\(t\)，此时\(y=\dfrac{1}{\alpha t+\frac{\nu}{t}+\lambda}\)，再利 用对勾函数或不等式分析最值.
-
\(f(x)=\dfrac{\alpha x+\beta}{\sqrt{x + n}}\)型：令\(t=\sqrt{x + n}\Rightarrow x=t^{2}-n\)进行代换后裂项，可转化为：\(y = at+\dfrac{b}{t}\)
-
二次/二次 型：分离常数转化为 一次/二次 型.
例题 1.¶
\(S=\dfrac{(4 + 2\sqrt{2})\sqrt{m^{2}+2}}{m^{2}+4}\) （\(\sqrt{m^{2}+2}\)可看成一次式，可化为“\(\dfrac{\text{一次}}{\text{二次}}\)”，将一次换元成 \(t\)，上下同除以 \(t\)分析），
令 \(t = \sqrt{m^{2}+2}\)，则 \(t\geq\sqrt{2}\)，且 \(m^{2}=t^{2}-2\)，代入得 \(S=\dfrac{(4 + 2\sqrt{2})t}{t^{2}+2}=\dfrac{4 + 2\sqrt{2}}{t+\dfrac{2}{t}}\leq\dfrac{4 + 2\sqrt{2}}{2\sqrt{t\cdot\dfrac{2}{t}}}=\sqrt{2}+1\)，
当且仅当 \(t=\dfrac{2}{t}\)，即 \(t = \sqrt{2}\) 时取等号，此时 \(m = 0\)，满足题意.
例题 2.¶
\(S_{ABCD}=\dfrac{24(m^{2}+1)^{2}}{(2m^{2}+3)(2 + 3m^{2})}\)， （怎样求上式的最值？不妨把分母展开，观察它与分子的联系）
\(S_{ABCD}=\dfrac{24(m^{2}+1)^{2}}{6m^{4}+13m^{2}+6}=\dfrac{24(m^{2}+1)^{2}}{6(m^{2}+1)^{2}+m^{2}}=\dfrac{24}{6+\dfrac{m^{2}}{(m^{2}+1)^{2}}}\)， 因为 \(\dfrac{m^{2}}{(m^{2}+1)^{2}}{\gt}0\)，所以 \(6+\dfrac{m^{2}}{(m^{2}+1)^{2}}{\gt}6\)， 故 \(0{\lt}S_{ABCD}=\dfrac{24}{6+\dfrac{m^{2}}{(m^{2}+1)^{2}}}{\lt}4\)
例题 3.¶
\(S_{ACBD}=\dfrac{8(k^{2}+1)}{\sqrt{(1 + 4k^{2})(k^{2}+4)}}\) ， （怎样求上式的最小值？可尝试先把分子的 \(k^{2}+1\) 也拿到根号里面，再做观察）
法1:\(S_{ACBD}=\dfrac{8}{\sqrt{\frac{(1 + 4k^{2})(k^{2}+4)}{(k^{2}+1)^{2}}}}=\dfrac{8}{\sqrt{\frac{4k^{4}+17k^{2}+4}{k^{4}+2k^{2}+1}}}=\dfrac{8}{\sqrt{\frac{4(k^{4}+2k^{2}+1)+9k^{2}}{k^{4}+2k^{2}+1}}}=\dfrac{8}{\sqrt{4+\frac{9k^{2}}{k^{4}+2k^{2}+1}}}=\dfrac{8}{\sqrt{4+\dfrac{9}{k^{2}+\frac{1}{k^{2}}+2}}}\)，
因为 \(k^{2}+\dfrac{1}{k^{2}}\geq2\sqrt{k^{2}\cdot\dfrac{1}{k^{2}}}=2\)，取等条件是 \(k^{2}=\dfrac{1}{k^{2}}\)，即 \(k = \pm1\)，所以 \(S_{ACBD}\geq\dfrac{8}{\sqrt{4+\frac{9}{2 + 2}}}=\dfrac{16}{5}\)；
法2:因为 \(0{\lt}\sqrt{(1 + 4k^{2})(k^{2}+4)}\leq\dfrac{1 + 4k^{2}+k^{2}+4}{2}=\dfrac{5}{2}(k^{2}+1)\)，
所以 \(S_{ABCD}=\dfrac{8(k^{2}+1)}{\sqrt{(1 + 4k^{2})(k^{2}+4)}}\geq\dfrac{8(k^{2}+1)}{\frac{5}{2}(k^{2}+1)}=\dfrac{16}{5}\)，取等条件是 \(1 + 4k^{2}=k^{2}+4\)，即 \(k = \pm1\)，
齐次化与斜率问题¶
结论 1. 椭圆斜率和积为定值¶
已知点\(P(x_{0}, y_{0})\)是椭圆上一个定点，椭圆\(C\)：\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a{\gt}b{\gt}0)\)上有两动点\(A,B\)
(1)若\(k_{PA}+k_{PB}=\lambda(\lambda\neq0)\)，则直线\(AB\)过定点\(\left(x_{0}-\dfrac{2y_{0}}{\lambda}, -y_{0}-\dfrac{2b^{2}x_{0}}{\lambda a^{2}}\right)\)（2017全国I卷理科T20）
(2)若\(k_{PA}+k_{PB}=0\)，则直线\(AB\)斜率为定值\(\dfrac{x_{0}b^{2}}{y_{0}a^{2}}\)，此时\(k_{OP}\cdot k_{AB} = \dfrac{b^2}{a^2}\)
(3)若\(k_{PA}\cdot k_{PB}=\lambda\left(\lambda\neq\dfrac{b^{2}}{a^{2}}\right)\)，则直线\(AB\)过定点\(\left(\dfrac{\lambda a^{2}+b^{2}}{\lambda a^{2}-b^{2}}x_{0}, -\dfrac{\lambda a^{2}+b^{2}}{\lambda a^{2}-b^{2}}y_{0}\right)\)（2020新高考I卷T22）
(4)若\(k_{PA}\cdot k_{PB}=\dfrac{b^{2}}{a^{2}}\)，则直线\(AB\)斜率为定值\(-\dfrac{y_{0}}{x_{0}}\)，此时\(k_{OP}+ k_{AB} = 0\)
(5)若直线\(AB\)过定点为原点时，则有\(k_{PA}\cdot k_{PB}=-\dfrac{b^{2}}{a^{2}}\)（第三定义）
结论 2. 双曲线斜率和积为定值¶
已知点\(P(x_{0}, y_{0})\)是双曲线上一个定点，双曲线\(C\)：\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a,b{\gt}0)\)上有两动点\(A,B\)
(1)若\(k_{PA}+k_{PB}=\lambda(\lambda\neq0)\)，则直线\(AB\)过定点\(\left(x_{0}-\dfrac{2y_{0}}{\lambda}, -y_{0}+\dfrac{2b^{2}x_{0}}{\lambda a^{2}}\right)\)
(2)若\(k_{PA}+k_{PB}=0\)，则直线\(AB\)斜率为定值\(-\dfrac{x_{0}b^{2}}{y_{0}a^{2}}\)（2022新高考I卷T21）
(3)若\(k_{PA}\cdot k_{PB}=\lambda\left(\lambda\neq-\dfrac{b^{2}}{a^{2}}\right)\)，则直线\(AB\)过定点\(\left(\dfrac{\lambda a^{2}-b^{2}}{\lambda a^{2}+b^{2}}x_{0}, -\dfrac{\lambda a^{2}-b^{2}}{\lambda a^{2}+b^{2}}y_{0}\right)\)
(4)若\(k_{PA}\cdot k_{PB}=-\dfrac{b^{2}}{a^{2}}\)，则直线\(AB\)斜率为定值\(-\dfrac{y_{0}}{x_{0}}\)；
(5)若直线\(AB\)过定点为原点时，则有\(k_{PA}\cdot k_{PB}=\dfrac{b^{2}}{a^{2}}\)（第三定义）
结论 3. 抛物线斜率和积¶
过抛物线\(y^{2}=2px\)上任一点\(P(x_{0}, y_{0})\)引两条弦\(PA,PB\)
(1)若\(k_{PA}\cdot k_{PB}=\lambda(\lambda\neq0)\)，则直线\(AB\)恒过定点\(\left(x_{0}-\dfrac{2p}{\lambda}, -y_{0}\right)\)（2017全国I卷文科T20）
(2)若\(k_{PA}+k_{PB}=\lambda(\lambda\neq0)\)，则直线\(AB\)恒过定点\(\left(x_{0}-\dfrac{2y_{0}}{\lambda}, \dfrac{2p}{\lambda}-y_{0}\right)\)
(3)若直线\(k_{PA}+k_{PB}=0\)，则直线\(AB\)斜率为定值\(-\dfrac{p}{y_{0}}\)
结论 4. 弦中点的轨迹方程导致的定点¶
如果圆锥曲线两条相互垂直的弦\(AB,CD\)相交于定点 \(P(x_0,y_0)\)(不在曲线上)，此时\(AB\)中点\(M\)、\(CD\)中点\(N\)的连线\(MN\)一 定会经过一个定点
对于椭圆\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)定点为：\(\left(\dfrac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}x_0,\dfrac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}y_0\right)\)
对于双曲线\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)定点为：\(\left(\dfrac{a^{2}}{a^{2}-b^{2}}x_0,\dfrac{-b^{2}}{a^{2}-b^{2}}y_0\right)\)
对于抛物线\(y^{2}=2px\)定点为：\((x_0 + p,0)\)
对于抛物线\(x^{2}=2py\)定点为：\((0,y_0 + p)\)
结论 5. 等角定理与斜率等差¶
已知椭圆\(\Gamma :\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a {\gt} b {\gt} 0)\)，定点\(T(t,0)\)，定点\(N(n,0)\ (n\neq t)\)，过定点\(T\)的直线与椭圆相交于点\(A\)和\(B\)，动点\(P\)在定直线\(x = n\)上，点\(P\)不在直线\(AB\)上，则以下\(3\)个命题是等价的（从任意一个命题可推导出另外两个），该结论对于双曲线也成立，只需将\(b^2\)换成\(-b^2\)，不影响最终的结论：
-
直线\(PA\)，\(PT\)，\(PB\)的斜率成等差数列，也即\(k_{PA} + k_{PB} = 2k_{PT}\)
-
直线\(NA\)和直线\(NB\)的斜率互为相反数，也即\(k_{NA} + k_{NB} = 0\)，\(\angle TNA = \angle TNB\)
-
\(nt = a^2\)
设\(T(t,0)\)，\(N(n,0)\)，\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，\(P(n,y_0)\)，设直线\(AB:x = my + t\)，则:
联立椭圆\(\Gamma: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)与直线\(AB: x = my + t\)，两边同乘\(a^2b^2\)消分母：
由韦达定理，\(y_1 + y_2 = \dfrac{-2b^2mt}{b^2m^2 + a^2}\)，\(y_1y_2 = \dfrac{b^2(t^2 - a^2)}{b^2m^2 + a^2}\)，\(x_1y_2+x_2y_1=\dfrac{-2ma^2b^2}{b^2m^2 + a^2}\)
故：\(k_{PA} + k_{PB} = 2k_{PT} \Leftrightarrow k_{NA} + k_{NB} = 0\)，证毕.（该结论对于双曲线也成立，只需将\(b^2\)换成\(-b^2\)，其他过程不变）
结论 6. 抛物线等角定理与斜率等差¶
已知抛物线\(\Gamma: y^2 = 2px \ (p {\gt} 0)\)，定点\(T(t, 0)\)，定点\(N(n, 0) \ (n \neq t)\)，过定点\(T\)的直线与抛物线相交于点\(A\)和\(B\)，动点\(P\)在定直线\(x = n\)上，且点\(P\)不在直线\(AB\)上，则以下\(3\)个命题是等价的（从任意一个命题可推导出另外两个）：
-
直线\(PA\)，\(PT\)，\(PB\)的斜率成等差数列，即满足\(k_{PA} + k_{PB} = 2k_{PT}\)
-
直线\(NA\)和直线\(NB\)的斜率互为相反数，即\(k_{NA} + k_{NB} = 0\)，也等价于\(\angle TNA = \angle TNB\)
-
\(n = -t\)
证明：联立抛物线\(y^2 = 2px\)与直线 \(AB: x = my + t\)得：
\(k_{PA} + k_{PB} = 2k_{PT} \Leftrightarrow k_{NA} + k_{NB} = 0\)与椭圆证明一致.
结论 7. 等角定理与斜率倒数等差¶
已知椭圆\(\Gamma :\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a {\gt} b {\gt} 0)\)，定点\(T(0,t)\)，定点\(N(0,n)\ (n\neq t)\)，过定点\(T\)的直线与椭圆相交于点\(A\)和\(B\)，动点\(P\)在定直线\(y = n\)上，点\(P\)不在直线\(AB\)上，则以下\(3\)个命题是等价的（从任意一个命题可推导出另外两个）：
-
直线\(PA\)，\(PT\)，\(PB\)的斜率倒数成等差数列，也即\(\dfrac{1}{k_{PA}} + \dfrac{1}{k_{PB}} = \dfrac{2}{k_{PT}}\)
-
直线\(NA\)和直线\(NB\)的斜率倒数互为相反数，也即\(\dfrac{1}{k_{NA}} + \dfrac{1}{k_{NB}} = 0\)
-
\(nt = b^2\)
设\(T(0,t)\)，\(H(0,n)\)，\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，\(P(x_0,n)\)，设直线\(AB: y = mx + t\)，则:
联立椭圆\(\Gamma: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)与直线\(AB: y = mx + t\)，两边同乘\(a^2b^2\)消分母：
由韦达定理，\(x_1 + x_2 = \dfrac{-2a^2mt}{b^2 + a^2m^2}\)，\(x_1x_2 = \dfrac{a^2(t^2 - b^2)}{b^2 + a^2m^2}\)，\(x_1y_2 + x_2y_1 = \dfrac{-2mb^2a^2}{b^2 + a^2m^2}\)
故：\(\dfrac{1}{k_{PA}} + \dfrac{1}{k_{PB}} = \dfrac{2}{k_{PT}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{k_{HA}} + \dfrac{1}{k_{HB}} = 0\)
结论 8. 平行于坐标系的中点斜率等差¶
如图，\(PC\) 为 \(\triangle PAB\) 的中线
-
若 \(AB\) 与 \(x\) 轴平行，则：\(\dfrac{1}{k_{PA}} + \dfrac{1}{k_{PB}} = \dfrac{2}{k_{PC}}\)（2022全国乙）
-
若 \(AB\) 与 \(y\) 轴平行，则：\(k_{PA} + k_{PB} = 2k_{PC}\)（2023全国乙）
该模型要求能将题目中点的条件翻译为斜率的条件
证明：\(AB \parallel x\) 轴时， 设 \(A(x_A, y_0)\), \(B(x_B, y_0)\)，则 \(C\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}, y_0\right)\)，设 \(P(x_P, y_P)\)， 斜率满足：
\(AB \parallel y\) 轴时， 设 \(A(x_0, y_A)\), \(B(x_0, y_B)\)，则 \(C\left(x_0, \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)\)，设 \(P(x_P, y_P)\)， 斜率满足：
结论 9. 斜率等差结论2¶
已知椭圆\(C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a{\gt}b{\gt}0)\)，过定点\(N(n,0)(0{\lt}|n|{\lt}a)\)作一直线交椭圆\(C\)于\(A\)，\(B\)两点，交\(N\)点的极线\(l:x=\dfrac{a^{2}}{n}\)于点\(M\)，\(P\)是椭圆\(C\)上一点，且点\(P\)横坐标为\(n\)，则直线\(PA\)，\(PM\)，\(PB\)的斜率成等差数列.
结论 10. 抛物线蝴蝶定理¶
抛物线\(C: y^2 = 2px \ (x{\gt}0)\)的弦\(A_1A_2\)过点\((a,0)\)，弦\(A_2A_3\)和弦\(A_1A_4\)都过点\((b,0)\)，
设弦\(A_3A_4\)过点\((c,0)\)，\(A_1A_2\)与\(A_3A_4\)的斜率\(k_{12}\),\(k_{34}\)都存在且非零.
联立\(\begin{cases} y^2 = 2px \\ x = my + n \end{cases}\)，得\(y^2 - 2pmy - 2pn = 0\)，故\(y_1y_2 = -2pn\).
对于四条直线，依次有 \(\begin{cases} y_1y_2 = -2p \cdot a \quad \text{①} \\ y_2y_3 = -2p \cdot b \quad \text{②} \\ y_1y_4 = -2p \cdot b \quad \text{③} \\ y_3y_4 = -2p \cdot c \quad \text{④} \end{cases}\)
由\(\text{②} \times \text{③} = \text{①} \times \text{④}\)，得\(b^2 = ac\)，故\(a,b,c\)成等比数列.
仿射变换¶
定义 1. 仿射变换¶
在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间.
在平面解析几何中，仿射变换常体现为坐标的水平缩放、铅垂缩放、旋转或平移. 利用仿射变换，我们可以将复杂的二次曲线（如椭圆）转化为简单的二次曲线（如圆），从而在一套更为简单的度量体系中快速且直观地解决长度比、面积以及斜率关系等问题.
性质 1. 仿射变换中的不变量¶
在代数方程通过坐标单纯的伸缩（如 \(x = ax', y = by'\)）进行仿射变换的过程中，图形的具体线面尺寸（长度、角度、绝对面积）会发生改变，但以下性质严格保持不变：
-
点的共线性、直线的平行性不变；
-
线段上的分点比（特别是中点特性）不变，进而图形的重心依然是重心；
-
平行线段的长度之比不变；
-
几何体之间的拓扑关系不变（直线与曲线相交、相切、相离，变换后维持不变）；
-
不同的两个封闭图形之间的面积比值保持不变.
结论 1. 椭圆仿射为单位圆及其变化量¶
将椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \ (a{\gt}b{\gt}0)\)，仿射变换为单位圆，原坐标系中的代数与几何量产生如下特定变化：
定比点差¶
定义 1. 定比分点¶
\(M(x,y)\)为经过两个不同的定点\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)的直线上的一点，且满足\(\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{MB}\)，
则\(M\left(\dfrac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}, \dfrac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}\right)\)（\(\lambda\)为参数，\(\lambda\neq -1\)）.
证明：因为\(\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{MB}\)，所以\(\begin{cases}x - x_1=\lambda(x_2 - x)\\y - y_1=\lambda(y_2 - y)\end{cases}\)，整理得：\(\begin{cases}x = \dfrac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}\\y = \dfrac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}\end{cases}\)，
①当\(\lambda{\gt}0\)时，\(M\)为内分点； ②当\(\lambda{\lt}0\)，且\(\lambda\neq -1\)时，\(M\)为外分点； ③当\(\lambda = 0\)时，点\(M\)与\(A\)重合.
定义 2. 调和点列的概念¶
如下图①，点 \(P\) 在线段 \(AB\) 上，则满足\(\dfrac{|\overrightarrow{AP}|}{|\overrightarrow{PB}|}=\lambda(\lambda {\gt} 0)\)的点 \(P\) 是唯一存在的. 但是，如果将线段 \(AB\) 改为直线 \(AB\)，此时，满足\(\dfrac{|\overrightarrow{AP}|}{|\overrightarrow{PB}|}=\lambda\)的点有两个，如下图②，不妨记另一个点为 \(Q\)，则\(\dfrac{AP}{PB}=\dfrac{AQ}{QB}=\lambda(\lambda\neq1)\)，在此种情况下，我们称点 \(A\)、\(P\)、\(B\)、\(Q\) 为调和点列，或者称点 \(P\)、\(Q\) 调和分割点 \(A\)、\(B\).
特别的，当\(\lambda = 1\)时，即点 \(P\) 为 \(AB\) 的中点，则 \(Q\) 为无穷远点.
性质 1. 调和点列的性质¶
如图所示：对于线段 \(AB\) 的内分点 \(C\) 和外分点 \(D\) 满足 \(C\)、\(D\) 调和分割线段 \(AB\)，即\(\dfrac{AC}{CB}=\dfrac{AD}{DB}\)，设 \(O\) 为线段 \(AB\) 的中点，则有以下结论成立：
①点 \(A\)、\(B\) 也调和分割 \(C\)、\(D\)，即\(\dfrac{CA}{AD}=\dfrac{CB}{BD}\)； ②\(\dfrac{2}{AB}=\dfrac{1}{AC}+\dfrac{1}{AD}\)（\(AB\) 是 \(AC\) 与 \(AD\) 的调和平均数）.
定理 1. 椭圆双曲定比点差¶
设 \(A\)，\(B\) 为椭圆或双曲线两点. 若存在 \(P\)，\(Q\) 两点，满足\(\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PB}\)，\(\overrightarrow{AQ}=-\lambda\overrightarrow{QB}\)，一定有
证明：若 \(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，\(\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PB}\)，则 \(P\left(\dfrac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\dfrac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}\right)\)，\(\overrightarrow{AQ}=-\lambda\overrightarrow{QB}\)，则 \(Q\left(\dfrac{x_1 - \lambda x_2}{1 - \lambda},\dfrac{y_1 - \lambda y_2}{1 - \lambda}\right)\)，有\(\begin{cases}\dfrac{x_1^{2}}{a^{2}}\pm\dfrac{y_1^{2}}{b^{2}} = 1\text{ \text{①}}\\\dfrac{\lambda^{2}x_2^{2}}{a^{2}}\pm\dfrac{\lambda^{2}y_2^{2}}{b^{2}}=\lambda^{2}\text{ \text{②}}\end{cases}\) ①\(-\)② 得：\(\dfrac{(x_1+\lambda x_2)(x_1 - \lambda x_2)}{a^{2}}\pm\dfrac{(y_1+\lambda y_2)(y_1 - \lambda y_2)}{b^{2}}=1 - \lambda^{2}\)
即\(\dfrac{1}{a^{2}}\cdot\dfrac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}\cdot\dfrac{x_1 - \lambda x_2}{1 - \lambda}\pm\dfrac{1}{b^{2}}\cdot\dfrac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}\cdot\dfrac{y_1 - \lambda y_2}{1 - \lambda}=1\Rightarrow\dfrac{x_Px_Q}{a^{2}}\pm\dfrac{y_Py_Q}{b^{2}} = 1\)
定理 2. 抛物线定比点差¶
在抛物线 \(y^{2}=2px\) 中，设 \(A\)，\(B\) 为抛物线上的两点. 若存在 \(P\)，\(Q\) 两点，满足\(\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PB}\)，\(\overrightarrow{AQ}=-\lambda\overrightarrow{QB}\)，一定有
证明：若 \(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，\(\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PB}\)，则 \(P\left(\dfrac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\dfrac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}\right)\)，\(\overrightarrow{AQ}=-\lambda\overrightarrow{QB}\)，则 \(Q\left(\dfrac{x_1 - \lambda x_2}{1 - \lambda},\dfrac{y_1 - \lambda y_2}{1 - \lambda}\right)\)，
有\(\begin{cases}y_1^{2}=2px_1 \text{ \text{①}} \\ \lambda^{2}y_2^{2}=2\lambda^{2}px_2 \text{ \text{②}}\end{cases}\) ①\(-\)② 得：\(y_1^{2}-\lambda^{2}y_2^{2}=p(x_1 + x_1-\lambda^{2}x_2-\lambda^{2}x_2)\)
即\((y_1+\lambda y_2)(y_1 - \lambda y_2)=p(x_1+\lambda x_2 + x_1 - \lambda x_2+\lambda x_1-\lambda^{2}x_2-\lambda x_1-\lambda^{2}x_2)\)，
所以\(\dfrac{(y_1+\lambda y_2)(y_1 - \lambda y_2)}{(1 + \lambda)(1 - \lambda)}=\dfrac{p(x_1+\lambda x_2)(1 - \lambda)}{(1 - \lambda)(1 + \lambda)}+\dfrac{p(x_1 - \lambda x_2)(1 + \lambda)}{(1 - \lambda)(1 + \lambda)}\Rightarrow y_Py_Q=p(x_P + x_Q)\).
定理 3. 轴点弦坐标与比值转换定理¶
类型一：定点在\(x\)轴
过定点 \(P(x_P, 0)\) 的直线与椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \ (a {\gt} b {\gt} 0)\) 相交于 \(A,B\) 两点，设 \(\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB} \ (\lambda \neq \pm 1)\)，\(A(x_1, y_1)\)，\(B(x_2, y_2)\)，则在直线 \(AB\) 上一定存在点 \(Q\) 满足 \(\overrightarrow{AQ} = -\lambda \overrightarrow{QB}\)，根据定比点差法可知 \(x_Q = \dfrac{a^2}{x_P}\). 一定有：
类型二：定点在\(y\)轴
过定点 \(P(0, y_p)\) 的直线与椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \ (a {\gt} b {\gt} 0)\) 相交于 \(A,B\) 两点，设 \(\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB} \ (\lambda \neq \pm 1)\)，\(A(x_1, y_1)\)，\(B(x_2, y_2)\)，则在直线 \(AB\) 上一定存在点 \(Q\) 满足 \(\overrightarrow{AQ} = -\lambda \overrightarrow{QB}\)，根据定比点差法可知 \(y_Q = \dfrac{b^2}{y_P}\).
类型三：抛物线
过定点 \(P(m, 0)\) 的直线 \(AB\) 和抛物线 \(y^2 = 2px \ (p {\gt} 0)\) 相交，设 \(\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB}\)，\(A(x_1, y_1)\)，\(B(x_2, y_2)\)，则有：
证明：由 \(\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB}\) 可得：\(\dfrac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda} = m\) ,由 \(\begin{cases} y_1^2 = 2px_1 \\ \lambda^2 y_2^2 = 2\lambda^2 px_2 \end{cases}\)
\(\implies \dfrac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda} \cdot \dfrac{y_1 - \lambda y_2}{1 - \lambda} = p\left( \dfrac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda} + \dfrac{x_1 - \lambda x_2}{1 + \lambda} \right) \implies \dfrac{x_1 - \lambda x_2}{1 - \lambda} = -m\), 所以 \(\begin{cases} x_1 = m\lambda \\ x_2 = \dfrac{m}{\lambda} \\ y_1 = -\lambda y_2 \end{cases}\)
定义 3. 焦弦常数¶
设点 \(P\) 为椭圆或双曲线上任一点，过焦点 \(F_1\)、\(F_2\) 分别作弦 \(PA\)、\(PB\)，设 \(\overrightarrow{PF_1} = \lambda \overrightarrow{F_1 A}, \quad \overrightarrow{PF_2} = \mu \overrightarrow{F_2 B},\) 则
推广：如果将焦点 \(F_1\)、\(F_2\) 换成 \(M_1(-m, 0)\)、\(M_2(m, 0)\)，则
证明：对 \(\begin{cases} \overrightarrow{PM_1} = \lambda \overrightarrow{M_1 A} \\ \overrightarrow{PM_2} = \mu \overrightarrow{M_2 A} \end{cases},\) 由定比点差法得： \(\begin{cases} 2x_p = -m - \dfrac{a^2}{m} + \left( -m + \dfrac{a^2}{m} \right) \lambda \\ 2x_p = m + \dfrac{a^2}{m} + \left( m - \dfrac{a^2}{m} \right) \mu \end{cases}\) 作差得： \(\lambda + \mu = \dfrac{2(a^2 + m^2)}{a^2 - m^2}.\)
参数方程¶
定义 1. 直线的参数方程¶
直线：经过点\(P_0(x_0, y_0)\)，倾斜角为\(\alpha\)的直线的参数方程是\(\begin{cases} x = x_0 + t \cos \alpha \\ y = y_0 + t \sin \alpha \end{cases}\)（\(t\)为参数）.
-
在直线的参数方程\(\begin{cases} x = x_0 + t \cos \alpha \\ y = y_0 + t \sin \alpha \end{cases}\)（\(t\)为参数）中\(t\)的几何意义是表示在直线上过定点\(P_0(x_0, y_0)\)与直线上的任一点\(P(x, y)\)构成的有向线段\(P_0P\)的模，且在直线上任意两点\(P_1\)、\(P_2\)的距离为\(|P_1P_2| = |t_1 - t_2| = \sqrt{(t_1 + t_2)^2 - 4t_1t_2}\).
-
若直线与已知二次曲线相交于\(A\)、\(B\)两点时，则将此直线代入二次曲线，得到两根\(t_1\)和\(t_2\)，则\(|AB| = |t_1 - t_2|\).
-
定点\(P_0\)是线段\(AB\)的中点可得\(t_1 + t_2 = 0\)；设线段\(AB\)中点为\(M\)，则点\(M\)对应的参数值\(t_M = \frac{t_1 + t_2}{2}\)（由此可求\(|AB|\)及中点坐标）.
注意：这里的参数\(t\)不一定是正数，关于\(|P_1P_2| = |t_1 - t_2| = \sqrt{(t_1 + t_2)^2 - 4t_1t_2}\)， 当\(P_0\)位于线段\(P_1P_2\)外时，\(t_1\)和\(t_2\)同号（可以都为负）， 当\(P_0\)位于线段\(P_1P_2\)内时，\(t_1\)和\(t_2\)异号（一正一负）.
定义 2. 圆锥曲线的参数方程¶
-
圆：圆心\((a,b)\)，半径\(r\)的圆\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\)的参数方程是\(\begin{cases} x = a + r \cos \alpha \\ y = b + r \sin \alpha \end{cases}\)，其中\(\alpha\)是参数.
注意：圆的参数方程换元，\(\alpha\)表示x轴正方向到圆心和圆上任意一点的半径所成的角.
-
椭圆：\(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a {\gt} b {\gt} 0)\)的参数方程是\(\begin{cases} x = a \cos \alpha \\ y = b \sin \alpha \end{cases}\)，其中\(\alpha\)是参数.
参数\(\alpha\)的几何意义：参数\(\alpha\)表示椭圆上某一点的离心角.
如图所示，点\(P\)对应的离心角为\(\alpha = \angle QOx\)（过\(P\)作\(PQ \perp x\)轴，交大圆即以\(2a\)为直径的圆于\(Q\)），
-
双曲线：\(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a {\gt} 0, b {\gt} 0)\)的参数方程是\(\begin{cases} x = \dfrac{a}{\cos \alpha} \\ y = b \tan \alpha \end{cases}\)，其中\(\alpha\)是参数.
定义 3. 万能公式与三角换元¶
参数方程换元通常用于单个动点在曲线上运动的最值问题，对于椭圆和双曲线，这是推荐的做法.
曲线系¶
定义 1. 直线系方程¶
过直线 \(l_1: f_1(x, y) = A_1x + B_1y + C_1 = 0\) 与 \(l_2: f_2(x, y) = A_2x + B_2y + C_2 = 0\) 的交点的直线系方程：
这里 \(f_1(x, y) = 0\) 和 \(f_2(x, y) = 0\) 都属于一次曲线方程，所以 \(f_1(x, y) + \lambda f_2(x, y) = 0\) 表示过两直线交点的一系列方程，也叫做直线系方程.
定义 2. 过直线与圆交点的圆系方程¶
过直线 \(l: f_2(x, y) = Ax + By + C = 0\) 与圆 \(C: f_1(x, y) = x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) 交点的圆系方程：
这里 \(f_1(x, y) = 0\) 属于二次曲线方程，\(f_2(x, y) = 0\) 属于一次曲线方程，所以 \(f_1(x, y) + \lambda f_2(x, y) = 0\) 表示过直线与圆交点的一系列圆方程，也叫做圆系方程；
若已知直线与已知圆有两个交点，则 \(f_1(x, y) + \lambda f_2(x, y) = 0\)，表示一系列过这两个交点的圆，
若已知直线与已知圆相切，则 \(f_1(x, y) + \lambda f_2(x, y) = 0\)，这表示一系列过这个切点且与已知直线和已知圆相切的圆．
次方高的二次方程决定形状，次方低的一次方程只能决定圆心位置和半径，所有曲线系方程都满足此原理．
定义 3. 相交两圆的公共弦¶
若圆 \(C_1: x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0\) 与圆 \(C_2: x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0\) 相交，则两圆方程相减，即可得到两圆的公共弦 \(AB\) 所在的直线方程为：
证明：\(A\)、\(B\) 的坐标都满足方程：\((D_1 - D_2)x + (E_1 - E_2)y + F_1 - F_2 = 0\)．又过 \(A\)、\(B\) 两点的直线是唯一的，故上述方程即为公共弦 \(AB\) 所在直线的方程．
-
当两圆相切时，它为内公切线方程；
-
当两圆相离或包含时，它为到两圆的与连心线垂直的切线段相等的点的集合；显然，当两圆相离且半径相等时，它为两圆的对称轴．
定义 4. 过圆与圆交点的圆系方程¶
过两已知圆 \(C_1: f_1(x,y) = x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0\) 和 \(C_2: f_2(x, y) = x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0\) 交点的圆系方程为：
，若 \(\lambda = -1\) 时，变为 \((D_1 - D_2)x + (E_1 - E_2)y + F_1 - F_2 = 0\)，则表示过两圆的交点的直线．
定义 5. 与圆相切于某点的圆系方程¶
与圆 \(C: x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) 相切于点 \((x_0, y_0)\) 的圆系方程可设为：
定理 1. 四点共圆的曲线系¶
若经过圆锥曲线 \(f_{1}(x,y) = Ax^{2} + By^{2} + Dx + Ey + F = 0\) 上的四个点可以形成一个圆，不妨设这四点所在的两条直线为 \(l_{MN}: k_{1}x - y + m_{1} = 0\) 与 \(l_{PQ}: k_{2}x - y + m_{2} = 0\).
此时 \(f_{2}(x,y) = (k_{1}x - y + m_{1})(k_{2}x - y + m_{2}) = 0\) 表示过这两条直线的退化二次曲线方程.
过该圆锥曲线与这两条直线的四个交点的二次曲线系方程可表示为：
即 \(Ax^{2} + By^{2} + Dx + Ey + F + \lambda(k_{1}x - y + m_{1})(k_{2}x - y + m_{2}) = 0\).
由于这四点共圆，该曲线系中必定存在一个表示圆的方程，即 \(x^2\) 与 \(y^2\) 的系数相等且不含 \(xy\) 交叉项. 因为原圆锥曲线中没有 \(xy\) 项，所以在展开式中 \(xy\) 交叉项的系数必定为零，即 \(-\lambda(k_1 + k_2) = 0 \implies k_{1} + k_{2} = 0\). 即：若圆锥曲线上四点共圆，则这四点所在的两条相交直线的斜率互为相反数.
定理 2. 四点共圆总定理¶
当不含交叉项 \(xy\) 的任意两条圆锥曲线交于四个点时，若它们存在两条平行的对称轴，则这四个交点一定共圆.
例如，任意以坐标轴（或其平行线）为对称轴的椭圆和双曲线，它们的四个交点一定共圆.
证明：这两条圆锥曲线方程过交点的二次曲线系可以表示为：
该曲线系要表示一个圆，当且仅当交叉项系数为零（因原方程均无该项，故自然满足），并且 \(x^{2}\) 和 \(y^{2}\) 的系数相等，即存在 \(\lambda, \mu\) 使 \(\lambda A_{1} + \mu A_{2} = \lambda B_{1} + \mu B_{2}\). 因为具备两平行的对称轴，总能找到一组特定的系数组合构成圆的标准方程.
定理 3. 四点共圆的充要条件¶
-
充要条件一：已知中心在原点的圆锥曲线 \(Ax^{2} + By^{2} + Dx + Ey + F = 0\)，若直线 \(l_{1}: y = k_{1}x + m_{1}\) 与 \(l_{2}: y = k_{2}x + m_{2}\) 被该曲线截得的四个交点共圆，其充要条件是两直线斜率互为相反数，即 \(k_{1} + k_{2} = 0\).
证明：由曲线系定理，两直线构成的退化二次曲线方程中没有 \(xy\) 交叉项的条件即为 \(k_1 + k_2 = 0\).
-
充要条件二：对于方程 \(Ax^{2} + By^{2} + Dx + Ey + F + \lambda(kx - y + m_{1})(-kx - y + m_{2}) = 0\)，若方程表示一个圆，则必定满足二次项系数相等，即 \(A - \lambda k^{2} = B + \lambda\).
证明： \(x^2\) 的系数为 \(A - \lambda k^2\)，\(y^2\) 的系数为 \(B + \lambda\). 若代表圆则二者必定相等，此时参数 \(\lambda\) 与 \(k^{2}\) 一一对应.
-
推论：若圆锥曲线上存在四个点 \(P, Q, M, N\) 共圆，它们构成的相交直线斜率必定互为相反数. 若直线 \(PQ\) 还是直线 \(MN\) 的垂直平分线，且 \(k_{PQ} + k_{MN} = 0\)、\(k_{PQ} \cdot k_{MN} = -1\)，则这两条直线的斜率一定满足 \(k = \pm 1\).
题型¶
直线与曲线的交点和弦¶
题型 1. 直线与圆锥曲线的位置关系¶
题型识别：判断直线与椭圆、双曲线、抛物线相交、相切或相离，或求参数范围.
核心思路：直线与曲线联立，化为一元二次方程，以判别式\(\Delta\)判断交点个数. 斜率式不适用于竖直线，需单独讨论或直接用一般式、参数式.
解题步骤：
-
先判断直线能否设为\(y=kx+m\)；
-
联立后整理为一元二次方程；
-
比较\(\Delta\)与\(0\)，得到相交、相切、相离条件；
-
参数题结合二次项非零与题设范围筛选.
易错点：竖直线漏解；二次项为\(0\)时仍套判别式；只写\(\Delta\ge0\)却未要求两交点时\(\Delta{\gt}0\).
题型 2. 设直线、联立韦达¶
题型识别：动直线与圆锥曲线交于\(A,B\)两点，要求弦长、中点、斜率、面积、比例、定值或参数关系.
核心思路：设直线后联立，用韦达定理保留\(x_1+x_2,x_1x_2\)，避免直接求两根. 所求量尽量改写成根的对称式，再结合直线方程消元.
解题步骤：
-
选合适的直线设法，并单独检查特殊方向；
-
联立化为关于交点横坐标的一元二次方程；
-
写出韦达关系和两点纵坐标表达式；
-
将目标化为和、积、差平方后代入韦达关系.
易错点：把根的和积公式写成首一式形式；过早解根导致计算膨胀；未写两点不同条件.
题型 3. 中点弦与弦长¶
题型识别：给出弦中点、弦斜率、弦长或过定点条件，要求直线、端点或相关范围.
核心思路：弦中点常由两交点坐标的平均表示，用韦达关系消去端点；对中心对称曲线，过中心的弦、中点为原点的关系尤其简洁. 弦长用\(|AB|^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2\)，再改写为和积.
解题步骤：
-
设弦所在直线并联立；
-
用\(\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\)表达中点；
-
利用韦达将中点条件化为直线参数关系；
-
求弦长时将差平方化为\((x_1+x_2)^2-4x_1x_2\).
易错点：中点纵坐标未用直线方程同步计算；斜率为零或不存在时遗漏；弦长平方开方时未取非负根.
解析几何大题条件翻译¶
题型 1. 角度与斜率条件翻译¶
题型识别：题目给两直线夹角、三角形角度、垂直、平行或定角，要求证明定值、求参数或求范围.
核心思路：平行、垂直优先翻译为斜率相等、乘积为\(-1\)或方向向量数量积为\(0\)；定角用斜率夹角公式或向量余弦公式. 遇到竖直线时改用方向向量更稳妥.
解题步骤：
-
选择斜率法或方向向量法；
-
将角度条件化为斜率关系或数量积关系；
-
与交点坐标、韦达关系联立消元；
-
检查分母、斜率不存在及夹角锐钝的取值.
易错点：直接用\(k_1k_2=-1\)漏竖直线；夹角公式未取绝对值；反正切主值与实际夹角不符.
题型 2. 定点、定值与存在性¶
题型识别：动直线或动弦产生的交点、交线、面积、比值要求证明过定点、为定值，或判断是否存在.
核心思路：将目标表达为直线参数的代数式后，消去动参数；过定点可将直线族整理为\(L(x,y)+\lambda M(x,y)=0\)，令\(L=M=0\)求公共点. 存在性最后转化为参数范围或判别式条件.
解题步骤：
-
明确动参数并写出交点或目标表达式；
-
用韦达、曲线方程消去交点变量；
-
将直线族或目标量化为参数无关的形式；
-
对定点代回验证，对存在性检查参数与交点条件.
易错点：消参时除以可能为零的参数；只求出候选定点未验证；将“恒成立”误作“存在某参数成立”.
题型 3. 特殊图形与比例条件翻译¶
题型识别：交点构成平行四边形、等腰三角形、直角三角形、中点、定比分点等，要求求参数、证明关系或最值.
核心思路：把图形条件翻译为向量、中点坐标、距离平方、斜率或面积关系. 优先使用不含根式的平方距离、向量平行和中点公式.
解题步骤：
-
选择最直接的坐标表达：中点、向量、距离平方或斜率；
-
将几何条件列为代数等式；
-
结合交点韦达关系消元；
-
回到图形检查非退化、点不重合等限制.
易错点：只满足边长相等却未保证图形类型；比例内分外分符号混乱；用斜率判平行漏竖直边.
题型 4. 面积问题¶
题型识别：直线与圆锥曲线交点、焦点、坐标轴或定点构成三角形、四边形，要求面积表达式、范围或定值.
核心思路：优先选固定底边，将面积转为点到定直线的距离；坐标法用行列式或底乘高，含两交点时用韦达求横坐标差、纵坐标差平方.
解题步骤：
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判断是否存在固定边、固定高或可拆分面积；
-
用坐标面积公式写出目标；
-
将交点差、和、积改写为韦达对称式；
-
求最值时结合直线参数的范围和取等条件.
易错点：有向面积未取绝对值；把曲边区域误当三角形；两交点顺序交换导致符号错误.
进阶方法¶
题型 1. 齐次化与斜率统一¶
题型识别：交点坐标、斜率、直线方程中出现高次齐次式，或需要处理过原点、方向固定的线族.
核心思路：对有共同次数的\(x,y\)表达式，可令\(t=\dfrac yx\)或以斜率参数统一方向，使二元关系降为一元. 使用前需单独讨论\(x=0\)或相应分母为零的情况.
解题步骤：
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判断式子是否可按次数齐次化；
-
写\(y=tx\)或\(x=ty\)并列出分母非零条件；
-
代入后化为关于\(t\)的方程或不等式；
-
单独补检被除去的坐标轴方向.
易错点：未讨论\(x=0\)便除以\(x\)；斜率参数与直线截距参数混淆；降次后遗漏曲线原有范围.
题型 2. 极点极线与对偶结构¶
题型识别：题目出现极点、极线、切点弦、两点连线与切线交点等圆锥曲线的对偶结构.
核心思路：先确认曲线标准形式和极线公式的适用模型. 通过“点的极线”“线的极点”把难处理的切线、共线关系转化为对偶的代数方程或调和关系.
解题步骤：
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将曲线和点、线化到对应标准模型；
-
写出极线或极点的代数表达；
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利用对偶关系处理共线、共点或切线交点；
-
最后代回原坐标系检查特殊点不在曲线上等前提.
易错点：在非标准形式下直接套公式；极点在曲线上时忽略退化为切线；将极线概念与普通法线混淆.
题型 3. 定比点差与仿射、参数法¶
题型识别：题目出现定比分点、平行弦、线性变换、参数方程或曲线系，要求证明平行、求轨迹、面积或参数关系.
核心思路：定比分点优先用向量或坐标线性组合；平行与比例在仿射变换下保持，可将复杂图形化到更易计算的标准位置；参数方程适合把交点统一为单参数表示.
解题步骤：
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判断条件是分点、平行还是曲线参数结构；
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用内分外分公式或参数点坐标表达关键点；
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将平行、共线、面积比化为线性代数关系；
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回代原曲线或原参数范围验证.
易错点：内外分公式权重写反；参数取值导致重复点或无穷远方向未讨论；将仿射变换误认为保长度、保角度.