解三角形

正余弦定理

定理 1. 正弦定理（人教A必修二P48）

[ a A = b B = c C = a+b+c A + B + C = 2R ，其中 R 为 ABC 的外接圆半径 ] 0.8 证明 ：若 ABC 为锐角三角形，如图，作出 ABC 的外接圆 O ，连接 BO 并延长交 O 于点 D ，则线段 BD 为 O 的直径，设 O 的半径为 R ，则 BD=2R . 在 O 中， D 与 C 均为劣弧 AB 所对的圆周角，所以 D = C . 因为 BD 为直径，所以 DAB = 90^ ， 所以在 Rt ABD 中， D = AB BD = c 2R ， 所以 C = D = c 2R ，故 c C = 2R . 同理可得， a A = b B = 2R . 所以 a A = b B = c C = 2R . 当 ABC 为直角三角形或钝角三角形时可同理证明. 0.19 [scale=0.8, >=stealth] [thick] (0,0) circle (1.5); (0,0) circle (1.5pt) node[below=2pt] O ; (B) at (225:1.5); (D) at (45:1.5); (A) at (160:1.5); (C) at (340:1.5); [blue, thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; [thick] (B) -- (D); [thick] (A) -- (D); [left] at (A) A ; [below left] at (B) B ; [right] at (C) C ; [above right] at (D) D ;

定理 2. 余弦定理（人教A必修二P48）

[ a^ 2 =b^ 2 +c^ 2 -2bc A b^ 2 =a^ 2 +c^ 2 -2ac B c^ 2 =a^ 2 +b^ 2 -2ab C ] [ 余弦定理推论： A= b^ 2 +c^ 2 -a^ 2 2bc B= a^ 2 +c^ 2 -b^ 2 2ac C= a^ 2 +b^ 2 -c^ 2 2ab ] 证明 ：以 a^ 2 =b^ 2 +c^ 2 -2bc A 为例，利用平面向量进行证明. 在 ABC 中， BC = AC - AB . 上式两边同取平方，可得： ( BC ^2 = ( AC - AB )^2 = AC ^2 + AB ^2 - 2 AC AB ) 又因为 BC ^2 = BC ^2 = a^2 ， AC ^2 = AC ^2 = b^2 ， AB ^2 = AB ^2 = c^2 ， 且 AC AB = AC AB A = bc A ， 代入上式即得： ( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc A )， 同理可证得另外两式.

结论 1. 面积公式

[S_ ABC = 1 2 ab C= 1 2 ac B= 1 2 bc A= abc 4R （其中 R 是外接圆半径） ]

结论 2. 正余弦定理基本用法

根据 (A + B + C= )，已知任意两角，可求出第三个角；已知一个角，就意味着已知另外两角的关系. 正弦定理： ( a A = b B = c C )，任取其中两项相等，都可以得到一个边与所对角正弦值的关系，所以涉及两边及其对角的解三角形问题都可以考虑正弦定理，常见的有以下两种情况： 已知 两边一对角，求角 ：不妨假设已知 (a )， (b )和 (A )，求 (C )，如图1，可按下述步骤求解. 第1步：由正弦定理 ( a A = b B )解出 ( B = b A a )； 第2步：根据求得的 ( B )计算角 (B )； 第3步：由 (C= -(A + B) )计算出 (C ). 已知 两角及一边，求其余边 ：不妨设已知角 (A )， (B )和边 (a )，如图2，可按下述步骤求解. 第1步：根据 (A + B + C= )求出第三个内角 (C )； 第2步：根据正弦定理 ( a A = b B = c C )求出边 (b )和 (c ). 余弦定理： (a^ 2 =b^ 2 +c^ 2 -2bc A )，反映的是三边与内角余弦值的关系，所以涉及三边一角的问题，都可以考虑使用余弦定理，常见的有以下两种情况： 已知 两边及一角，求第三边 ：可直接对已知的角用余弦定理，求出第三边. 例如，若已知 (a )， (b )和 (C )，如图3，则可直接由 (c^ 2 =a^ 2 +b^ 2 -2ab C )求出 (c ). 已知 三边求角 ：不妨设求角 (A )，可直接由 ( A= b^ 2 +c^ 2 -a^ 2 2bc )求出 ( A )，再求出角 (A ). 0.99 [scale=0.6, >=stealth] % 图1: 已知 a, b, A [shift= (0,0) ] (A) at (0,0); (B) at (3,0); (C) at (1.2, 2.0); [thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; [thick, blue] (A) -- (C); [thick, blue] (B) -- (C); [left] at (A) A ; [right] at (B) B ; [above] at (C) C ; [left, blue] at ( (A)!0.5!(C) ) b ; [above right, blue] at ( (B)!0.5!(C) ) a ; [thick, blue] (0.4,0) arc (0:60:0.4); at (1.5, -0.8) 图1 ; % 图2: 已知 A, B, a [shift= (5,0) ] (B) at (0,0); (C) at (3.5,0); (A) at (2.5, 2.0); [thick] (B) -- (C) -- (A) -- cycle; [thick, blue] (B) -- (C); [left] at (B) B ; [right] at (C) C ; [above] at (A) A ; [below, blue] at ( (B)!0.5!(C) ) a ; [thick, blue] (0.5,0) arc (0:40:0.5); % Angle B [thick, blue] ( (A)!0.5cm!(B) ) arc (220:300:0.5cm); % Angle A approximation at (1.75, -0.8) 图2 ; % 图3: 已知 a, b, C [shift= (10.5,0) ] (B) at (0,0); (C) at (3.5,0); (A) at (2.5, 2.0); [thick] (B) -- (C) -- (A) -- cycle; [thick, blue] (B) -- (C); [thick, blue] (A) -- (C); [left] at (B) B ; [right] at (C) C ; [above] at (A) A ; [below, blue] at ( (B)!0.5!(C) ) a ; [right, blue] at ( (A)!0.5!(C) ) b ; [thick, blue] ( (C)+(-0.5,0) ) arc (180:115:0.5); % Angle C at (1.75, -0.8) 图3 ;

结论 3. 三角恒等式的常见变形

因为三角形中 (A+B+C= )，则有 ( (A + B)= ( - C)= C (A + B)= ( - C)=- C ) 正弦定理边角互化及外接圆半径 (R )： a = b A= B a b = A B 2R= a A 涉及 (b^ 2 +c^ 2 -a^ 2 )， (b^ 2 +c^ 2 )这类含边的平方的结构，可以考虑利用余弦定理及其推论； 等式中有 ( A )，且边化角不易，可考虑将 ( A )换成 ( b^ 2 +c^ 2 -a^ 2 2bc )，角化边处理； 涉及 (a b )和 (ab )的关系，考虑将余弦定理配方处理，即 (c^ 2 =(a b)^ 2 -2ab( C 1) ).

结论 4. 角的取舍

解三角形问题中，计算角时，可能会出现增根，常通过以下方式舍增根： 1. 大边对大角，若 (a > b )，则 (A > B )，所以必有 (B )为锐角； 2. 三角形内角和为 ( )，所以任意两角的内角和小于 ( )； 3. 已知角 (A = )，则 (B + C= - )，所以 (B,C (0, - ) ).

结论 5. 三角形形状判断

在 ABC 中, C = 0 a^2 + b^2 = c^2 ^2 A + ^2 B - ^2 C = 0 C = 2 C < 0 a^2 + b^2 < c^2 ^2 A + ^2 B - ^2 C < 0 C > 2 C > 0 a^2 + b^2 > c^2 ^2 A + ^2 B - ^2 C > 0 C < 2 A = B A = B a = b 等腰三角形 A > B A > B a > b B 为锐角 A < B A < B a < b A 为锐角 2A = 2B a A = b B A = B 或 C = 2 等腰三角形或直角三角形 ( 2A = 2B 2A = 2B 或 2A + 2B = 2 （在三角形中不成立） ) ( A = B 等腰三角形 ) ( (A - B) = 1 钝角三角形； ) ( (A - B) = 0 等腰三角形 ) ( (A - B) = 1 等腰三角形； ) ( (A - B) = 0 钝角三角形 ) ( A = B A + B = 2 或 A - B = 2 直角/钝角三角形 ) A > B A > ( 2 - B ) A + B > 2 C 为锐角；在锐角三角形中，任意两角一定满足此式； A < B A < ( 2 - B ) A + B < 2 或 A > 2 + B 钝角三角形 A,B 为锐角， ^2 A + ^2 B = C C 为直角，下面给出两种证明方法： (1)余弦定理证明： ( ^2 A + ^2 B = C 1 ^2 A ^2 B A B A ( 2 -B ) A 2 -B C 2 ) ( ^2 A + ^2 B = C a^2 + b^2 = c^2 C a^2 + b^2 c^2 C = a^2+b^2-c^2 2ab 0 C 2 C = 2 ) (2)正弦定理分类讨论： ( ^2 A + ^2 B = C ^2 A + ^2 B = (A+B) = A B + A B ) ( A( A - B) + B( B - A) = 0 ) [ 若 C < 2 A+B > 2 A > 2 -B, ;B > 2 -A A > B, ; B > A A( A - B) + B( B - A) > 0 ( 矛盾 ) 若 C > 2 A+B < 2 A < 2 -B, ;B < 2 -A A < B, ; B < A A( A - B) + B( B - A) < 0 ( 矛盾 ) ] ( 若 C = 2 A+B = 2 B = A, ; A = B ^2 A + ^2 A = 1 = C = 2 = 1 ( 等式成立 ) )

代数问题

题型 1. 化角类问题

在三角形中研究某三角代数式的范围，往往通过消元将其化为一个角（单变量）的三角函数研究；对于部分有关边长的范围问题，也可由正弦定理边化角，转化成三角代数式来分析范围. 已知某个角或某两个角的关系时，可结合 (A + B + C= )，将目标三角代数式消元化为单变量函数. 对于边的齐次分式，可先用正弦定理边化角，再消元化单变量函数. 对于知道一边一角求有关边长的问题（例如已知 (A )和 (b )，求 (c )的范围），可用正弦定理， 由 ( c C = b B )解出 (c = b C B )，达到化角的目的，再消元化单变量函数. 化为单变量函数后，常需要限定角度范围，以下是常见的限定方式： 锐角 ( ABC )给定某角：如给定角 (A(0 < A< 2 ) )，让求 (B )的范围，应考虑 (B )， (C )两个内角， 由不等式组 ( 0 < B< 2 0 < C= - A - B< 2 )求解 (B )的范围； 钝角 ( ABC )给定某角：如给定角 (A(0 < A< 2 ) )，让求 (B )的范围，应分 (B )或 (C )为钝角讨论. 若 (B )为钝角，则 (C )为锐角，所以 ( 2 < B< 0 < C= - A - B< 2 ) 若 (C )为钝角，则 (B )为锐角，所以 ( 0 < B< 2 2 < C= - A - B< ) 上述两个不等式组的解集取并集，得到 (B )的取值范围. 锐角 ( ABC )结合角的关系限定角的范围：例如给出 (A = 2B )，让求 (B )的范围，则 (C= - A - B= - 3B )，可由不等式组 ( 0 < A = 2B< 2 0 < B< 2 0 < C= - 3B< 2 )求解 (B )的范围. 锐角 ( ABC )结合三角函数关系限定角的范围：例如，由 ( A = 2 B )求 (B )的范围， 可由 ( B= 1 2 A< 1 2 )，结合 (B )为锐角得出 (B )的范围是 ((0, 6 ) ).

题型 2. 化边类问题

在三角形中，对于求值或范围等问题除了化角之外，还可以用正弦定理、余弦定理化边来分析. 当化为了某条边长的代数式时，常需要限定该边的取值范围，下面归纳常见的限定方式： 1. 对于任意三角形，都有任意两边之和大于第三边； 2. 对于锐角三角形，有 ( A= b^ 2 +c^ 2 -a^ 2 2bc >0 B= a^ 2 +c^ 2 -b^ 2 2ac >0 C= a^ 2 +b^ 2 -c^ 2 2ab >0 )，所以 ( b^ 2 +c^ 2 -a^ 2 >0 ^ 2 +c^ 2 -b^ 2 >0 ^ 2 +b^ 2 -c^ 2 >0 )； 3. 对于钝角三角形，例如 (A )为钝角，则 ( A= b^ 2 +c^ 2 -a^ 2 2bc <0 )，故 (b^ 2 +c^ 2 -a^ 2 <0 ).

题型 3. 周长面积范围问题

已知 ABC 一组对边对角， a ， A ，则： [ b + c = a A ( B + C) = a A [ (A+B)+ B ] = 2a A A+2B 2 A 2 2a A A 2 = a A 2 ] 当且仅当 A+2B 2 = 1 ，即 A+2B = ， B = C ， b = c 时取等. [ b c = a B A a C A = a^2 ^2 A [ (A+B) B ] = a^2 2 ^2 A [ A - (A+2B) ] a^2 2 ^2 A ( A + 1 ) ] 当且仅当 (A+2B) = -1 ，即 A+2B = ， B = C ， b = c 时取等. 周长 l ( 2a, a + a A 2 ] ， 面积 S = 1 2 bc A = a^2 ( A - (A+2B) ) 4 A a^2 (1 + A) 4 A = a^2 4 A 2 已知 ABC 的角 B 和邻边 a ，则： [ b+c= a ( B + C ) A = a [ (A+B)+ B ] A = a [ A B + (1 + A) B ] A = a ( B + B A 2 ) ] [ ac = a a C A = a^2 (A + B) A = a^2 A B + A B A = a^2 ( B + B A ) ] 周长 l =a ( 1 + B + B A 2 ) ， 面积 S = 1 2 ac B = a^2 B 2 ( B + B A ) ，根据 A 的范围求解即可.

几何问题

题型 1. 三角形多解问题

由于全等三角形的证明中没有边边角这一类，其实就是两条边和一条边所对的角为已知时，不能确定 一个三角形，即 (a )、 (b )、 (A )，（ (a > b )）当大边所对角为未知量，则会出现两个解的情况，唯一要保证的的是 这个未知角求得的正弦值小于1；当小边所对的角未知时，通常有唯一解. c c c c c c 3 c A 为锐角 2 c A 为钝角或直角 图形 [scale=0.8, >=stealth, baseline=(current bounding box.center)] (A) at (0,0); (B) at (1.5,0); (C) at (1.5,2); (-0.3,0) -- (2.8,0); (A) -- (C) node[midway, above left] b ; (C) -- (B) node[midway, right] a ; [dashed, blue] (C) ++(-50:2) arc (-50:-130:2); (A) circle (1.5pt) node[below] A ; (B) circle (1.5pt) node[below] B ; (C) circle (1.5pt) node[above] C ; [scale=0.8, >=stealth, baseline=(current bounding box.center)] (A) at (0,0); (C) at (1.5,2); 2.1 sqrt( - 4) (B1) at ( 1.5- ,0); (B2) at ( 1.5+ ,0); (-0.3,0) -- (2.8,0); (A) -- (C) node[midway, above left] b ; (C) -- (B1) node[midway, left] a ; (C) -- (B2) node[midway, right] a ; [dashed, blue] (C) ++(-45: ) arc (-45:-135: ); (A) circle (1.5pt) node[below] A ; (B1) circle (1.5pt) node[below] B_1 ; (B2) circle (1.5pt) node[below] B_2 ; (C) circle (1.5pt) node[above] C ; [scale=0.7, >=stealth, baseline=(current bounding box.center)] (A) at (0,0); (C) at (1.5,2); 2.8 sqrt( - 4) (B) at ( 1.5+ ,0); (-1,0) -- (4.5,0); (A) -- (C) node[midway, above left] b ; (C) -- (B) node[midway, right] a ; [dashed, blue] (C) ++(-30: ) arc (-30:-150: ); (A) circle (1.5pt) node[below] A ; (B) circle (1.5pt) node[below] B ; (C) circle (1.5pt) node[above] C ; 2 c [scale=0.7, >=stealth, baseline=(current bounding box.center)] (A) at (0,0); (C) at (-1.2,2); 3 sqrt( - 4) (B) at ( -1.2+ ,0); (B2) at ( -1.2- ,0); (-0.5,0) -- (2.5,0); [dashed] (-0.5,0) -- (-4,0); (A) -- (C) node[midway, below left] b ; (C) -- (B) node[midway, right] a ; [dashed] (C) -- (B2); [dashed, blue] (C) ++(-20: ) arc (-20:-160: ); (A) circle (1.5pt) node[below] A ; (B) circle (1.5pt) node[below] B ; (C) circle (1.5pt) node[above] C ; 关系式 a = b A b A < a < b a b a > b a b 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解

定理 1. 射影定理

在 ( ABC )中， [ a = b C + c B = a C + c A = a B + b A ] 提醒：大题不建议直接用射影定理，可先证再用，下面给出 (a = b C + c B )的证明. 因为 ( A= [ -(B + C)]= (B + C)= B C+ B C )，所以 (a = b C + c B )

题型 2. 中线问题（人教A必修二P53-15）

如图1，在 ( ABC )中， (AD )是边 (BC )上的中线，有关计算常采用下面的几种方法. 双余弦 ：在左右两个三角形中计算 ( ADB )和 ( ADC )，利用 ( ADB )与 ( ADC )互补，建立方程求解. [ ADB + ADC = AD^2 + ( a 2 )^2 - c^2 2 AD a 2 + AD^2 + ( a 2 )^2 - b^2 2 AD a 2 = 0 AD = 1 2 2(b^2 + c^2) - a^2 ] 向量平方 ：借助 ( AD = 1 2 ( AB + AC ) )，并将其平方来计算目标. [ AD = AB + AC 2 AD ^2 = ( AB + AC 2 )^2 = c^2 + b^2 + 2bc BAC 4 ] [ AD = 1 2 b^2 + c^2 + 2bc BAC ] 倍长中线 ：将 ( ABC )补全为如图2所示的平行四边形 (ABEC )，转化到 ( ABE )或 ( ACE )中完成相关的计算. 比例线问题：如图3，在 ( ABC )中， (D )在 (BC )上但不是中点，且已知 (BD )与 (CD )的长度之比，这类问题可采用上面的双余弦和向量平方求解. 0.99 [yscale=0.6,xscale=0.7, >=stealth] % 图1: 中线 AD [shift= (0,0) ] (B) at (0,0); (C) at (4,0); (A) at (1.2, 2.0); (D) at ( (B)!0.5!(C) ); [thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; [thick] (A) -- (D); [above] at (A) A ; [below left] at (B) B ; [below right] at (C) C ; [below] at (D) D ; at (2, -2.0) 图1 ; % 图2: 倍长中线 Parallelogram [shift= (6, 1) ] % 向上平移以居中 (B) at (0,0); (C) at (4,0); (A) at (1.2, 2.0); (D) at ( (B)!0.5!(C) ); (E) at ( (D)!-1!(A) ); % 延长 AD 至 E [thick] (A) -- (B) -- (E) -- (C) -- cycle; [thick] (B) -- (C); [thick] (A) -- (E); [above] at (A) A ; [left] at (B) B ; [right] at (C) C ; [below right] at (D) D ; [below] at (E) E ; at (2, -3) 图2 ; % 图3: 比例线 AD [shift= (12,0) ] (B) at (0,0); (C) at (4,0); (A) at (1.2, 2.0); (D) at ( (B)!0.35!(C) ); [thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; [thick] (A) -- (D); [above] at (A) A ; [below left] at (B) B ; [below right] at (C) C ; [below] at (D) D ; at (2, -2.0) 图3 ;

题型 3. 角平分线问题（人教B必修四P6-6）

在 ( ABC )中， (AD )是 ( BAC )的平分线，有关问题常用下面两种方法求解. 角平分线性质定理 ： ( AB AC = BD CD )来研究 (BD )和 (CD )的比例关系，从而将问题转化为上述第2类问题. 大题中，可先用面积比证明该定理， [ S_ ABD S_ ACD = 1 2 AB AD BAD 1 2 AC AD CAD = 1 2 BD h 1 2 CD h AB AC = BD CD （其中 h 为 ABC 的边 BC 上的高） ] 0.6 面积和 ：设 ( BAC = 2 )，由 (S_ ABD +S_ ACD =S_ ABC )可得 [ 1 2 c AD + 1 2 b AD = 1 2 bc 2 AD= 2bc b + c ]很多时候我们可以运用这一关于 (b )， (c )， (AD )和 ( )的方程来解决问题. 0.39 [scale=0.8, >=stealth] % 定义顶点 A=(1.5, 2.5), B=(0,0), C=(4,0) (B) at (0,0); (C) at (4,0); (A) at (1.5, 2.5); % 1. 精确计算 D 点 (利用角平分线定理 AB/AC = BD/CD) % 计算边长 c = AB, b = AC % veclen(x,y) 计算向量模长，注意 veclen 可能在某些版本的 PGF 中需要两个参数 veclen(1.5, 2.5) % AB veclen(4-1.5, 0-2.5) % AC % D 点分 BC 的比率为 c : b => BD/BC = c / (b+c) / ( + ) (D) at ( (B)! !(C) ); % 2. 绘制图形 [thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; [thick] (A) -- (D); % 3. 标注文本 [above] at (A) A ; [left] at (B) B ; [right] at (C) C ; [below] at (D) D ; [left] at ( (A)!0.5!(B) ) c ; [right] at ( (A)!0.5!(C) ) b ; % 4. 动态计算角度并精确标注 alpha A center B center A center D center A center C center [blue] (A) +( :0.5) arc ( : :0.5) node[midway, below, xshift=-1pt] ; [blue] (A) +( :0.6) arc ( : :0.6) node[midway, below, xshift=3pt] ; % at (2, -0.8) 图4 ;

定理 2. 张角定理（北师大必修二P131-1）

0.74 如图，在 ( ABC )中， (D )为 (BC )边上的一点，连接 (AD )，设 (AD = l )， ( BAD= )， ( CAD = )， 则一定有 [ ( + ) l = b + c ] 证明： 由 (S_ ABC =S_ ABD +S_ ACD )可得 ( 1 2 bc ( + )= 1 2 cl + 1 2 bl )， 两边同除以 ( 1 2 bcl ) 即得 ( ( + ) l = b + c ). 0.23 [scale=1, >=stealth] (B) at (0,0); (C) at (3,0); (A) at (1,2.2); (D) at (1.8,0); [thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; [thick] (A) -- (D) node[midway, left] l ; [above] at (A) A ; [left] at (B) B ; [right] at (C) C ; [below] at (D) D ; [above left] at ( (A)!0.5!(B) ) c ; [above right] at ( (A)!0.5!(C) ) b ; A center B center A center D center A center C center [blue] (A) +( :0.5) arc ( : :0.5) node[midway, below] ; [blue] (A) +( :0.7) arc ( : :0.7) node[midway, below, xshift=4pt] ;

定义 1. 三角测量中的基本术语

% 1.5 c c c 术语名称 术语意义 图形表示 仰角、俯角 l 在目标视线与水平视线所成的角中， 目标视线在水平视线上方的叫做仰角， 目标视线在水平视线下方的叫做俯角. [scale=0.8, >=stealth, baseline=(current bounding box.center)] (0,-1.2) -- (0,1.2) node[above] 铅垂线 ; (0,0) -- (2.5,0) node[right] 水平视线 ; [->] (0,0) -- (2,1) node[right] 目标视线 ; [->] (0,0) -- (2,-1) node[right] 目标视线 ; (0.8,0) arc (0:26.5:0.8) node[midway, right, yshift=2pt] 仰角 ; (0.8,0) arc (0:-26.5:0.8) node[midway, right, yshift=-2pt] 俯角 ; 方位角 l 从某点的指北方向线起按 顺时针 方向 到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角. 方位角 的范围是 0^ < 360^ . [scale=0.8, >=stealth, baseline=(current bounding box.center)] [->] (-1.5,0) -- (1.5,0) node[below] 东 ; [->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[left] 北 ; [thick, ->] (0,0) -- (1,-1) node[right] A ; [->] (0,0.3) arc (90:-45:0.3); at (0.8,0.5) 135^ ; 方向角 l 正北或正南方向线与目标方向线所成的 锐角 ， 通常表达为北(南)偏东(西) 度. [scale=0.8, >=stealth, baseline=(current bounding box.center)] [->] (-1,0) -- (1.5,0) node[below] 东 ; [->] (0,-1) -- (0,1.5) node[left] 北 ; (0,0) -- (1,1); (0,0.5) arc (90:45:0.5); at (0.3,0.8) m^ ; [scale=0.8, >=stealth, baseline=(current bounding box.center)] [->] (-1.5,0) -- (1,0) node[above] 东 ; [->] (0,-1.5) -- (0,1) node[left] 北 ; (0,0) -- (-1,-1); (0,-0.5) arc (270:225:0.5); at (-0.3,-0.8) n^ ; 坡角、坡度 l 坡角：坡面与水平面的夹角. 坡度：坡面的垂直高度 h 和水平宽度 l 的比. 设坡角为 ，坡度为 i ，则 i = h l = . [scale=0.8, baseline=(current bounding box.center)] (0,0) -- (2.5,0) node[midway, below] l -- (2.5,1.2) node[midway, right] h -- cycle; (0.6,0) arc (0:25.6:0.6); at (1,0.2) ; at (1.5,1.5) i = h l ;

二级结论

定理 1. 倍角定理

在 ( ABC )中，内角 (A,B,C )的对边分别为 (a,b,c )，则有 [A = 2B a^ 2 =b^ 2 +bc B = 2C b^ 2 =c^ 2 +ca C = 2A c^ 2 =a^ 2 +ab ] 证明： 因为 (A = 2B )，所以 ( A= 2B = 2 B B )， 所以 (a = 2b a^ 2 +c^ 2 -b^ 2 2ac )， 所以 (a^ 2 c=a^ 2 b + c^ 2 b - b^ 3 )， 所以 (a^ 2 (c - b)=b(c^ 2 -b^ 2 )=b(c - b)(c + b) )， 当 (c b )时， (a^ 2 =b(c + b)=b^ 2 +bc )， 当 (c = b )时， (B = C= 4 )， (A= 2 )，所以 (a^ 2 =b^ 2 +c^ 2 =b^ 2 +bc )， 得证.

定理 2. 正弦平方差公式

[ ^2 - ^2 = ( + ) ( - ) ] 证明： ( ( + ) ( - ) = ( + )( - ) ) (= ^2 ^2 - ^2 ^2 = ^2 (1 - ^2 ) - (1 - ^2 ) ^2 ) (= ^2 - ^2 )，得证.

定理 3. 正切恒等式

在斜 ( ABC )中： ( A + B + C = A B C ) 证明： ( (A + B) = ( - C) = - C ). 由正切和角公式 ( (A + B) = A + B 1 - A B )， 可得 ( A + B 1 - A B = - C )， 整理即得 ( A + B + C = A B C ). 半角恒等式: ( A 2 B 2 + A 2 C 2 + B 2 C 2 = 1 ) 证明： ( ( A 2 + B 2 ) = ( - C 2 ) = C 2 ). 由正切和角公式 ( A 2 + B 2 1 - A 2 B 2 = 1 C 2 )， 交叉相乘得 ( A 2 C 2 + B 2 C 2 = 1 - A 2 B 2 )，移项即证. 万能公式： ( 2 = 2 ^2 + ^2 = 2 1 + ^2 )， ( 2 = ^2 - ^2 ^2 + ^2 = 1 - ^2 1 + ^2 )； ( 2 = 2 1 - ^2 )

定理 4. 三角形的正切定理

设 ( ABC )的内角 (A )、 (B )、 (C )的对边分别为 (a )、 (b )、 (c )，且 ( ABC )的面积为 (S )，则有： [ A = 4S b^2 + c^2 - a^2 , B = 4S c^2 + a^2 - b^2 , C = 4S a^2 + b^2 - c^2 ] 证明： 由 ( A = A A )， ( A = b^2 + c^2 - a^2 2bc )， ( A = 2S bc )，代入即得 ( A = 4S b^2 + c^2 - a^2 ) .

定理 5. 角平分线之斯库顿定理

0.65 如图， (AD )是 ( ABC )的角平分线，则 [AD^ 2 =AB AC - BD CD ]就其位置关系而言，可记忆：中方=上积一下积. 证明：作 (ABC )的外接圆，延长 (AD )交圆于 (E )，连 (BE )，如图 ( E= C )、 ( 1 = 2 ) ( ABE ADC ) ( AB AD = AE AC ) 即 (AD AE=AB AC ) ( AD(AD + DE)=AB AC ) ( AD^ 2 +AD DE=AB AC )， 由相交弦定理得： (BD DC=AD DE )， ( AD^ 2 +BD DC=AB AC )， 可得 (AD^ 2 =AB AC - BD CD ). 0.34 [scale=0.8, >=stealth] [thick] (0,0) circle (2); (A) at (70:2); (B) at (200:2); (C) at (340:2); (E) at (270:2); (D) at (intersection of A--E and B--C); [thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; [thick] (A) -- (D); [thick, dashed] (D) -- (E); [thick, dashed] (B) -- (E); [above] at (A) A ; [left] at (B) B ; [right] at (C) C ; [below right] at (D) D ; [below] at (E) E ; A center B center A center D center A center C center [blue] (A) +( :0.7) arc ( : :0.7) node[midway, below, xshift=-2pt] 1 ; [blue] (A) +( :0.8) arc ( : :0.8) node[midway, below, xshift=2pt] 2 ;

定理 6. 海伦公式与秦九韶公式（人教A必修二P54-20、P55阅读与思考）

1. 海伦公式： 若 ( ABC )的三边长为 (a )， (b )， (c )， (p = a + b + c 2 )（半周长）， [ S_ ABC = (a + b + c)(-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c) 4 = p(p - a)(p - b)(p - c) ] 2. 秦九韶公式 [ S = 1 4 [a^2b^2 - ( a^2 + b^2 - c^2 2 )^2 ] , S = 1 4 [a^2c^2 - ( a^2 + c^2 - b^2 2 )^2 ] , S = 1 4 [b^2c^2 - ( b^2 + c^2 - a^2 2 )^2 ] ]

定理 7. 布洛卡点定理

0.7 已知 ( ABC )中， (P )是内部一点，当 ( PAB = PBC = PCA = )时，点 (P )为 ( ABC )的布洛卡点，角 ( )为布洛卡角．则 [ 1 = 1 A + 1 B + 1 C ] 0.29 [scale=0.9, >=stealth] (C) at (0,0); (B) at (3.5,0); (A) at (2,3); (P) at (2.1,1); [thick] (C) -- (B) -- (A) -- cycle; [thick] (P) -- (A); [thick] (P) -- (B); [thick] (P) -- (C); (A) circle (1.5pt) node[above] A ; (B) circle (1.5pt) node[below right] B ; (C) circle (1.5pt) node[below left] C ; (P) circle (1.5pt) node[left, xshift=-1pt, yshift=2pt] P ; % Angle PCA C center P center C center A center [blue] (C) +( :0.6) arc ( : :0.6) node[pos=0.5, right, xshift=-2pt, yshift=4pt] ; % Angle PBC B center P center B center C center [blue] (B) +( :0.6) arc ( : :0.6) node[pos=0.5, above left, xshift=2pt, yshift=-5pt] ; % Angle PAB A center P center A center B center [blue] (A) +( :0.6) arc ( : :0.6) node[pos=0.5, below,xshift=1pt, yshift=1pt] ; 证明： 设 ( ABC )的面积为 (S )，且 (AP = x )， (BP = y )， (CP = z )． 由正切定理: ( 1 A = b^2 + c^2 - a^2 4S , 1 B = a^2 + c^2 - b^2 4S , 1 C = a^2 + b^2 - c^2 4S ) [ 1 A + 1 B + 1 C = a^2 + b^2 + c^2 4S ] 在 ( PAB ), ( PBC ), ( PCA )中，同样使用正切定理，有： [ 1 = c^2 + x^2 - y^2 4S_ PAB , 1 = a^2 + y^2 - z^2 4S_ PBC , 1 = b^2 + z^2 - x^2 4S_ PCA ] 对以上 ( 1 )的三个式子使用合比定理可得： [ 1 = c^2 + x^2 - y^2 4S_ PAB = a^2 + y^2 - z^2 4S_ PBC = b^2 + z^2 - x^2 4S_ PCA = c^2 + x^2 - y^2 + a^2 + y^2 - z^2 + b^2 + z^2 - x^2 4 (S_ PAB + S_ PBC + S_ PCA ) = a^2 + b^2 + c^2 4S = 1 A + 1 B + 1 C ]

定理 8. 嵌入不等式

三角形内角的嵌入不等式 对任意实数 (x, y, z ) 以及任意角 (A, B, C )，且 (A + B + C = )，都有： [x^2 + y^2 + z^2 2xy C + 2xz B + 2yz A ] 当且仅当 (x:y:z = A : B : C ) 时，取得等号. 证明： 考虑与 ( AB , BC , CA ) 同向的单位向量 ( e_1 , e_2 , e_3 )，则对任意实数 (x, y, z ) 都有： (z e_1 + x e_2 + y e_3 )^2 0 x^2 + y^2 + z^2 - 2xy C - 2xz B - 2yz A 0 取等条件可理解为以 (x, y, z ) 为边长的三角形与 ( ABC ) 相似. 三角形边长的嵌入不等式 在 ( ABC )中，角 (A )， (B )， (C )对边为 (a )， (b )， (c )，面积为 (S )， (x > 0 )， (y > 0 )， (z > 0 )，则 [xa^2 + yb^2 + zc^2 4S xy + yz + xz ] 当且仅当 (x:y:z = (b^2 + c^2 - a^2) : (a^2 + c^2 - b^2) : (a^2 + b^2 - c^2) ) 时，取得等号. 证明： xa^2 + yb^2 + zc^2 = xa^2 + yb^2 + z(a^2 + b^2 - 2ab C) = (x + z)a^2 + (y + z)b^2 - 2abz C 2ab (x + z)(y + z) - 2abz C = 2ab (xy + xz + yz + z^2)( ^2 C + ^2 C) - 2abz C 2ab ( xy + xz + yz C + z C ) - 2abz C （柯西不等式） = 2ab C xy + xz + yz = 4S xy + xz + yz 当且仅当 (x:y:z = (b^2 + c^2 - a^2) : (a^2 + c^2 - b^2) : (a^2 + b^2 - c^2) ) 时，等号成立. 外森比克不等式 设 ( ABC )三边为 (a )， (b )， (c )，面积为 (S )，则 [a^2 + b^2 + c^2 4 3 S ]当且仅当 ( ABC )为正三角形时等号成立. 几何意义: 以三边分别做等边三角形, 其面积之和大于等于原三角形的面积的3倍. 证明：在三角形边长的嵌入不等式令 x=y=z=1 即证.

结论 1. 三角恒等式（人教B必修三P103-例4；P105练习B-5；P109复习题B组-10）

0.49 [ A + B + C = 2 A+B 2 A-B 2 + 2 C 2 C 2 = 2 C 2 A-B 2 + 2 C 2 A+B 2 = 2 C 2 ( A-B 2 + A+B 2 ) = 4 A 2 B 2 C 2 ] 0.49 [ A + B + C = 2 A+B 2 A-B 2 + 1 - 2 ^2 C 2 = 1 + 2 C 2 A-B 2 - 2 C 2 A+B 2 = 1 + 2 C 2 ( A-B 2 - A+B 2 ) = 1 + 4 A 2 B 2 C 2 ] 0.49 [ 2A + 2B + 2C = 2 (A+B) (A-B) + 2C = 2 C (A-B) + 2 C C = 2 C [ (A-B) - (A+B) ] = 4 A B C ] 0.49 [ 2A + 2B + 2C = 2 (A+B) (A-B) + 2C = -2 C (A-B) + 2 ^2 C - 1 = -2 C [ (A-B) + (A+B) ] - 1 = -1 - 4 A B C ] 0.49 [ ^2 A + ^2 B + ^2 C = 1 - (A+B) (A-B) + 1 - ^2 C = 2 + C (A-B) + C (A+B) = 2 + C [ (A-B) + (A+B) ] = 2 + 2 A B C ] 0.49 [ ^2 A + ^2 B + ^2 C = (A+B) (A-B) + 1 + ^2 C = 1 - C (A-B) - C (A+B) = 1 - C[ (A-B) + (A+B)] = 1 - 2 A B C ] 0.49 [ ^2 A 2 + ^2 B 2 + ^2 C 2 = 1 - A+B 2 A-B 2 + 1 - ^2 C 2 = 2 - C 2 A-B 2 - (1 - ^2 C 2 ) = 1 - C 2 ( A-B 2 - C 2 ) = 1 - C 2 ( A-B 2 - A+B 2 ) = 1 - 2 A 2 B 2 C 2 ] 0.49 [ ^2 A 2 + ^2 B 2 + ^2 C 2 = A+B 2 A-B 2 + 1 + ^2 C 2 = 2 + C 2 A-B 2 - ^2 C 2 = 2 + C 2 ( A-B 2 - C 2 ) = 2 + C 2 ( A-B 2 - A+B 2 ) = 2 + 2 A 2 B 2 C 2 ]