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立体几何

知识点

表面积、体积与直观图

定义 1. 常见几何体

  1. 多面体：由若干平面多边形围成的几何体叫做多面体.

  2. 旋转体：一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转 面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴．

  3. 棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的多面体叫做棱柱.两个互相平行的面叫做棱柱的底面，是全等 的多边形；其余各面叫做棱柱的侧面，是平行四边形；相邻侧面的公共边叫做侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做顶点．

    侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱． 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． 底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体.

  4. 棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥． 多边形面叫做底面；有公共顶点的各个三角形面叫做侧面；相邻侧面的公共边叫做侧棱；各侧面的公共顶 点叫做顶点． 三棱锥又叫四面体． 正棱锥是底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥． 正四面体是侧棱与底面边长相等的正三棱锥，四个面均为等边三角形.

  5. 棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台. 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面． 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面之间的部分叫做正棱台，侧面是全等的等腰梯形，侧棱延长后相交于一点.

  6. 圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱． 旋转轴叫做轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面； 平行于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面； 无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做母线． 圆柱的上下底及平行于底面的截面均为等圆，轴截面是全等的矩形，侧面展开图为矩形，邻边为底面周长和母线长.

  7. 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥. 平行于底面的截面是圆，截面直径与底面直径的比=顶点到截面距离与顶点到底面距离的比. 圆锥轴截面是等腰三角形，母线长满足 \(l^2 = h^2 + r^2\)（\(l\)为母线，\(h\)为高，\(r\)为底面半径）， 侧面展开图是以顶点为圆心、母线长为半径的扇形.

  8. 圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.

  9. 球： 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球． 半圆的圆心叫做球心；连接球心和球面上任意一点的线段叫做半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做直径. 球心与截面圆心的连线垂直于截面，半径满足 \(R^2 = r^2 + d^2\)（\(R\)为球的半径，\(r\)为截面半径，\(d\)为球心到截面的距离）.

结论 1. 多面体的表面积与体积

棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．

棱锥的体积：\(V = \dfrac{1}{3}Sh\)      棱柱的体积：\(V = Sh\)      棱台的体积：\(V=\dfrac{1}{3}(S + S'+\sqrt{SS'})h\)

结论 2. 旋转体的表面积与体积

图

定义 2. 斜二测画法

画直观图的斜二测画法，步骤是：

  1. 在已知图形中取互相垂直的\(x\)轴、\(y\)轴，两轴相交于点\(O\)，画直观图时，把它们画成对应的\(x'\)轴与\(y'\)轴，两轴相交于点\(O'\)，且使\(\angle x'O'y' = 45^{\circ}\)（或\(135^{\circ}\)），它们确定的平面表示水平面；

  2. 已知图形中平行于\(x\)轴或\(y\)轴的线段，在直观图中分别画成平行于\(x'\)轴或\(y'\)轴的线段；

  3. 已知图形中平行于\(x\)轴的线段，在直观图中长度不变，平行于\(y\)轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.

斜二测直观图与原图的面积关系：\(S = \htmlClass{blank}{2\sqrt{2}}S'\)，其中\(S\)和\(S'\)分别为原图和直观图的面积.

结论 3. 求体积的特殊方法

转换顶点：对于三棱锥，任意一个面都可以作为底面.当直接求解某一体积困难，或者需要求解某个点到某平面的距离时， 可以通过转换底面和顶点，利用体积相等（\(V_{C-ABD} = V_{A-BCD}\)）列方程求解.

图

比例放缩：当两个棱锥具有“共高”或“共底”的性质时，或其底面、高之间存在明确比例关系时，可以直接通过面积比、高之比转化为体积比.

图

平行线转化与比例转化：利用线段平行得出等高，或者三点共线得出成比例的高，再配合转换顶点快速求体积.

图

外接球问题

结论 1. 正方体与长方体

  1. 长方体和正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．

    若长方体棱长分别为\(a,b,c\)则\(R = \htmlClass{blank}{\dfrac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{2}}\)

    若正方体棱长为\(a\)，则\(R = \htmlClass{blank}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}a}\)

    图

    图

  2. 补成长方体或正方体

    图

    1. 若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内．

    2. 若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体.

    3. 若三棱锥的顶点投影在底面构成矩形，则此时可构造长方体.

    4. 若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，对于该四面体, 设长方体的棱长分别为\(a,b,c\)

      则\(b^{2}+c^{2}=m^{2}, a^{2}+c^{2}=n^{2}, a^{2}+b^{2}=t^{2}\)，三式相加可得\(a^{2}+b^{2}+c^{2}=\dfrac{m^{2}+n^{2}+t^{2}}{2}\)，

      而显然四面体和长方体有相同的外接球，则\(a^{2}+b^{2}+c^{2}=4R^{2}\)，\(R = \htmlClass{blank}{\sqrt{\dfrac{m^{2}+n^{2}+t^{2}}{8}}}\)

    5. 特别地，对于正四面体可以补形为正方体，若正四面体的棱长为\(a\)，\(R=\htmlClass{blank}{\dfrac{\sqrt{6}}{4}a}\)

    6. 对于直角三角形平面，通常可以扩展为矩形.

结论 2. 柱体

对于圆柱，直棱柱，或侧棱垂直底面的棱锥，

\[ R=\htmlClass{blank}{\sqrt{r^2+\left(\dfrac{h}{2}\right)^2}} \]

其中\(r\)是底面外接圆的半径，\(h\)是高.

特别地，对三角形底面可用正弦定理求外接圆半径\(r\).

图

图

结论 3. 锥体

对于圆锥模型，侧棱相等的棱锥，可放到圆锥中考虑，有

\[ \vert h - R\vert^{2}+r^{2}=R^{2}\Rightarrow R = \htmlClass{blank}{\dfrac{h^{2}+r^{2}}{2h}} \]

，其中\(h\)为高，\(r\)为底面外接圆半径，此模型要求顶点在底面的投影在底面外接圆的圆心上.

图

图

结论 4. 台体

设圆台的上、下底面半径分别为\(r_1\)，\(r_2\)，高\(O_1O_2 = h\)，

左图满足方程 \(\sqrt{R^{2}-r_{1}^{2}}+\sqrt{R^{2}-r_{2}^{2}}=h\)

右图满足方程\(\sqrt{R^{2}-r_{1}^{2}}-\sqrt{R^{2}-r_{2}^{2}}=h\)

事实上，根据上面两个式子，可以化简得：

\[ R^2=\htmlClass{blank}{\dfrac{\left[(r_1+r_2)^2+h^2]\cdot[(r_1-r_2)^2+h^2\right]}{4h^2}} \]

在该结论中令\(r_2=0\)或\(r_2=r_1\)，可得锥体与柱体的结论.棱台模型也可转化为圆台模型处理，只需求出棱台的上、下底面外接圆半径，即可放入圆台分析.

图

图

结论 5. 二面角模型

图

图

给定三棱锥\(C-ABD\)，已知二面角\(C-AB-D\)，则外接球半径\(R\)满足：

\[ R^{2}=\htmlClass{blank}{\left(\dfrac{O_1O_2}{\sin \theta}\right)^2+\left (\dfrac{l}{2}\right)^2=\dfrac{m^{2}+n^{2}-2mn\cos\theta}{\sin^{2}\theta}+\dfrac{l^{2}}{4}} \]

图

其中\(M\)为\(AB\)中点，\(l\)为两平面的交线长度\(AB\) ，

   \(m\) 为\(\triangle ABD\)外接圆圆心\(O_1\)到交线距离\(O_{1}M\)，

   \(n\) 为\(\triangle ABC\)外接圆圆心\(O_2\)到交线距离\(O_{2}M\)，

   \(\theta\) 为\(\angle O_1MO_2\)即\(m\)与\(n\)夹角，

当且仅当\(\angle ACB\)和\(\angle ADB\)有一个为钝角时，\(\theta\)为二面角的补角，其他情况\(\theta\)即为二面角\(C-AB-D\)

证明： 在\(\triangle O_1MO_2\)中由余弦定理得： \(O_{1}O_{2}^{2}=O_{1}M^{2}+O_{2}M^{2}-2O_{1}M\cdot O_{2}M\cdot\cos\theta =m^{2}+n^{2}-2mn\cos\theta\)

易知以\(OM\)为直径的圆经过\(O_{1},O_{2}\)， 在\(\triangle O_1MO_2\)中由正弦定理得: \(OM = \dfrac{O_{1}O_{2}}{\sin\theta}=\dfrac{\sqrt{m^{2}+n^{2}-2mn\cos\theta}}{\sin\theta}\)

在\(Rt \triangle OMA\)中使用勾股定理求外接球半径\(R\)即求\(OA\)， \(OA^2=R^{2}=\dfrac{m^{2}+n^{2}-2mn\cos\theta}{\sin^{2}\theta}+\dfrac{l^{2}}{4}\)

内切球问题

结论 1. 内切球通用结论

对于内切球问题，可选取适当的截面研究，一般会选取切点和轴（或高）所在的截面来分析.

通用公式：设几何体体积为 \(V\)，表面积为 \(S_{\text{表面积}}\)，内切球半径公式

\[ r = \htmlClass{blank}{\dfrac{3V}{S_{\text{表面积}}}} \]

证明（等体积法）：设多面体的体积为 \(V\)，表面积为 \(S_{\text{表面积}}\)，内切球的球心为 \(O\)，半径为 \(r\).

连接球心 \(O\) 与多面体的各个顶点，将多面体分割成若干个以 \(O\) 为顶点、以多面体的各个面为底面的小棱锥.

因为内切球与多面体的各个面相切，所以每个小棱锥的高均等于内切球的半径 \(r\).

多面体的体积 \(V\) 等于所有这些小棱锥的体积之和，即：

\[ V = \dfrac{1}{3}S_{1}r + \dfrac{1}{3}S_{2}r + \cdots + \dfrac{1}{3}S_{n}r = \dfrac{1}{3}r(S_{1} + S_{2} + \cdots + S_{n}) = \dfrac{1}{3}rS_{\text{表面积}} \]

由此即可解得内切球半径公式：\(r = \dfrac{3V}{S_{\text{表面积}}}\)

结论 2. 圆柱与直棱柱的内切球

  1. 圆柱： 当且仅当圆柱的轴截面为正方形（即高等于底面直径 \(h=2r\)）时，圆柱有内切球.

    此时，内切球的半径 \(R\) 既等于圆柱底面半径 \(r\)，也是圆柱高 \(h\) 的一半： \(R = r = \dfrac{h}{2}\)

  2. 直棱柱： 直棱柱要有内切球，必须同时满足两个条件：

    1. 底面多边形有内切圆（例如正多边形、三角形、菱形等）；

    2. 棱柱的高等于底面内切圆的直径（\(h=2r_{\text{底}}\)）.

    此时内切球半径： \(R = r_{\text{底}} = \dfrac{h}{2}\). 特别地，棱长为 \(a\) 的正方体的内切球半径为 \(R = \dfrac{a}{2}\).

结论 3. 圆锥的内切球

圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆为内切球的大圆， 内切圆的半径即为内切球的半径，设圆锥底面半径为 \(r\)，高为 \(h\)， 则

\[ S_{\triangle PAB} = \frac{1}{2} \times 2r \times h = rh, \quad C_{\triangle PAB} = 2r + 2\sqrt{h^2+r^2} \]
\[ R = \frac{2S_{\triangle PAB}}{C_{\triangle PAB}} = \frac{rh}{r+\sqrt{h^2+r^2}} \]

\def\scale{0.65} \tdplotsetmaincoords{70}{180}

图

结论 4. 正棱锥的内切球

三棱锥一定有内切球，但四棱锥及以上不一定有内切球.

对于正四、六、八棱锥，通过底面得边中点的轴截面的内切圆为棱锥内切球的大圆， 内切圆的半径为内切球的半径.

以正四棱锥为例推导：

设 \(E\)、\(F\) 分别为棱 \(AB\)、\(CD\) 的中点， 则 \(\triangle PEF\) 的内切圆即为该正四棱锥 \(P-ABCD\) 的内切球的大圆， 内切圆的半径为内切球的半径：

\[ R = r = \frac{2S_{\triangle PEF}}{C_{\triangle PEF}} \quad (\text{等面积法可得}) \]

\def\myscale{0.8}

图

结论 5. 圆台的内切球存在性

存在内切球的圆台满足如下性质：

\[ \begin{cases} \text{内切球半径为上下底面圆半径的等比中项 \quad} R^2 = r_1 \cdot r_2 \\ \text{圆台高对应内切球的直径 \quad} h = 2R \\ \text{圆台母线为上下底面圆半径之和 \quad} l = r_1 + r_2 \end{cases} \]

图

四面体与正方体

性质 1. 四面体的性质

  1. 三组对棱分别相等的四面体必内接于唯一的长方体，且四面体的棱分别为长方体的面对角线；

  2. 若四面体有三条棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内；

  3. 若四面体的四个面均是直角三角形，则可将其放入某个长方体内；

  4. 三组对棱分别相等的四面体的棱长 \(A'B\)、\(BC'\)、\(A'C'\) 必构成锐角三角形；

  5. 任一四面体均内接于唯一的平行六面体，且四面体体积是平行六面体体积的三分之一；

结论 1. 正四面体的性质结论

设正四面体棱长为\(a\)，有以下结论：

对棱垂直

侧棱与底面所成角的余弦值为\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

侧面与相邻底面所成角的余弦值为\(\dfrac{1}{3}\)

高：\(h = \htmlClass{blank}{\dfrac{\sqrt{6}}{3}a}\)

外接球半径：\(R = \htmlClass{blank}{\dfrac{\sqrt{6}}{4}a}\)    内切球半径：\(r = \htmlClass{blank}{\dfrac{\sqrt{6}}{12}a}\)

棱切球半径：\(R_2 = \htmlClass{blank}{\dfrac{\sqrt{2}}{4}a}\)    对棱距离： \(\htmlClass{blank}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}a}\)

表面积：\(S = \htmlClass{blank}{\sqrt{3}a^{2}}\)    体积：\(V = \htmlClass{blank}{\dfrac{\sqrt{2}}{12}a^{3}}\)

\tdplotsetmaincoords{70}{90}

图

性质 2. 正方体的性质

  1. 正方体的体对角线 \(BD_1 \perp\) 平面 \(A_1C_1D\)，且 \(BD_1 \perp\) 平面 \(ACB_1\)；

  2. \(F\) 为 \(\triangle A_1C_1D\) 的中心，\(E\) 为 \(\triangle ACB_1\) 的中心；

  3. 点 \(E\)、\(F\) 是体对角线 \(BD_1\) 的三等分点；

  4. 平面 \(A_1C_1D \parallel\) 平面 \(ACB_1\)；

图

截面问题

结论 1. 扩大截面

扩大截面常用平行线法和延长线法来寻找多面体的完整截面

平行线法：过截面一顶点作对边的平行线

延长线法：延长截面中位于几何体表面的线，使之与几何体的棱相交

图

图

结论 2. \textbf{正方体的截面}

只能是三角形、四边形、五边形、六边形.

当截面是三角形时，不可能是直角三角形和钝角三角形；

当截面是四边形时，则四边形至少有一组对边平行，不可能是直角梯形；

当截面是五边形时，则必有两组分别平行的边，不可能是正五边形；

当截面是六边形时，则必有三组平行的边，特别地，可以是正六边形.

正方体截面面积最大时，截面为体对角面（矩形）

图

图

图

图

图

图

图

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结论 3. 球面与正方体表面的交线

考虑一个球心位于正方体一个顶点的球体与正方体表面的交线，设正方体棱长为 \(a\)，球半径为 \(r\)

  1. 若\(0 {\lt} r \leq a\)，球面只与三个平面相交，每个面上的交线为四分之一圆，半径为 \(r\)；

  2. 若\(a {\lt} r \leq \sqrt{2}a\)，球面与六个面都相交， 与较近平面的交线为半径为 \(r\) 的圆弧， 与较远平面的交线为半径为 \(\sqrt{r^2 - a^2}\) 的圆弧；

    图

  3. 若\(\sqrt{2}a {\lt} r \leq \sqrt{3}a\)，所有交线都小于90°圆弧，每条弧都从一条棱延伸到相邻的另一条棱；

  4. 若\(r {\gt} \sqrt{3}a\)，球面完全包围正方体，无交线.

结论 4. \textbf{圆锥的截面积}

圆锥过顶点的截面是一个等腰三角形，当这个截面同时过圆锥的轴时，截面就成了轴截面.在所有过圆锥顶点的截面中，面积最大的不一定是轴截面，

设圆锥的母线是 \(l\)，轴截面的顶角为 \(\alpha\)，截面等腰三角形的顶角为 \(\theta\)，\(0 {\lt} \theta \leq \alpha\)，则截面面积为 \(\dfrac{1}{2}l^{2}\sin\theta\).

当 \(0 {\lt} \alpha \leq 90^{\circ}\) 时，面积最大的截面就是轴截面，最大截面面积为: \(\dfrac{1}{2}l^{2}\sin\alpha\)

当 \(\alpha {\gt} 90^{\circ}\) 时，面积最大的截面不是轴截面，而是过顶点且顶角为 \(\dfrac{\pi}{2}\) 的截面，最大截面面积为 \(\dfrac{1}{2}l^{2}\).

图

空间点、直线、平面之间的位置关系

定理 1. 基本事实与推论

  1. 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.

  2. 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.

  3. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

  4. 平行于同一条直线的两条直线平行．

推论:

  1. 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．

  2. 经过两条相交直线，有且只有一个平面．

  3. 经过两条平行直线，有且只有一个平面．

直线上\(n\)个点最多可分直线为 \(C_{n}^0 + C_{n}^1 = n + 1\)段.

平面上\(n\)条直线最多可分平面为 \(C_{n}^0 + C_{n}^1 + C_{n}^2=\dfrac{n^{2}+n + 2}{2}\) 部分.

空间里\(n\)个平面最多可分空间为 \(C_{n}^0 + C_{n}^1 + C_{n}^2 + C_{n}^3\) 部分.

定理 2. 空间中点、直线、平面的位置关系

把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．于是，空间两条直线的位置关系有三种：

\[ \begin{cases} \text{共面直线：} \begin{cases} \text{相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；}\\ \text{平行直线：在同一平面内，没有公共点；} \end{cases}\\ \text{异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．} \end{cases} \]

直线与平面的位置关系有且只有三种：

  1. 直线在平面内，有无数个公共点；

  2. 直线与平面相交，有且只有一个公共点；

  3. 直线与平面平行，没有公共点．

两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：

  1. 两个平面平行，没有公共点；

  2. 两个平面相交，有一条公共直线．

定理 3. 平行关系的判定和性质定理

  1. 线面平行的判定定理：如图1，若\(a\not\subset\alpha\)，\(b\subset\alpha\)，\(a\parallel b\)，则\(a \parallel\alpha\).

  2. 面面平行的判定定理：如图2，若\(a\subset\alpha\)，\(b\subset\alpha\)，\(a\cap b = P\)，\(a\parallel\beta\)，\(b\parallel\beta\)，则\(\alpha\parallel\beta\).

  3. 线面平行的性质定理：如图3，若\(a\parallel\alpha\)，\(a\subset\beta\)，\(\alpha\cap\beta = l\)，则\(a\parallel l\).

  4. 面面平行的性质定理1：如图4，若\(\alpha\parallel\beta\)，\(\gamma\cap\alpha = a\)，\(\gamma\cap\beta = b\)，则\(a\parallel b\).

  5. 面面平行的性质定理2：如图2，若\(\alpha\parallel\beta\)，\(a\subset\alpha\)，则\(a\parallel\beta\).

图

结论 1. 平行关系的证明

平行关系的证明题中，最常见的是证线面平行，以下是三大作辅助线的思路：

  1. 找平行四边形：可先在面内作一条与已知直线平行的直线，观察构成的图形像不像平行四边形，若像，就尝试去找理由，进行论证即可.

  2. 两个重要图形的运用（其原理是上面的线面平行的性质定理，运用时选(1)还是(2)，一般看图就知道）

    1. 点线位于面的两侧：如图5，要证\(AB\parallel\alpha\)，可在\(\alpha\)的另一侧尝试找一点\(P\)，连接\(PA\)，\(PB\)，则面\(PAB\)与\(\alpha\)的交线就是我们证线面平行要找的\(\alpha\)内的直线.

    2. 点线位于面的同侧：如图6，要证\(AB\parallel\alpha\)，可在\(\alpha\)的同侧尝试找一点\(P\)，连接\(PA\)，\(PB\)，则面\(PAB\)与\(\alpha\)的交线就是我们证线面平行要找的\(\alpha\)内的直线.

    \resizebox{0.9\linewidth}{!}{

    图

    }

  3. 造面面平行：若前面的两个方法都不易解决问题，那么还可以考虑通过证面面平行，来证明线面平行.

定理 4. 垂直关系的判定和性质

  1. 线面垂直的判定定理：如图1，若\(l\perp a\)，\(l\perp b\)，\(a,b\subset\alpha\)，\(a\cap b = P\)，则\(l\perp\alpha\).

  2. 面面垂直的判定定理：如图2，若\(a\perp\beta\)，\(a\subset\alpha\)，则\(\alpha\perp\beta\).

  3. 面面垂直的性质定理：如图3，若\(\alpha\perp\beta\)，\(\alpha\cap\beta = AB\)，\(a\subset\alpha\)，\(a\perp AB\)，则\(a\perp\beta\).

  4. 三垂线定理：如图4，\(a\subset\alpha\)，\(l\)在\(\alpha\)内的射影是\(b\)，若\(a\perp b\)，则\(a\perp l\)，此结论反过来也成立.

    1. 作用：如图4，想证明\(l\)垂直于面\(\alpha\)内的\(a\)，只需证\(l\)在面\(\alpha\)内的射影与\(a\)垂直，这就将异面垂直问题转化为了共面垂直问题. 注意，三垂线定理在大题中要给出证明过程，再使用.

    2. 定理的证明：因为\(c\perp\alpha\)，\(a\subset\alpha\)，所以\(a\perp c\)，故\(a\perp b\Leftrightarrow a\perp\)图中的三角形所在平面\(\Leftrightarrow a\perp l\).

\resizebox{0.98\linewidth}{!}{

图

}

结论 2. 空间中证明垂直关系的常见思路

  1. 证线面垂直：证明直线垂直于平面内的两条相交直线即可.

  2. 证线线垂直：若线与线是共面的，则考虑用平面几何的方法来证；若异面，如图5，要证异面直线\(l\)和\(a\)垂直， 可证明\(l\)垂直于\(a\)所在的某个平面\(\alpha\)，找到\(\alpha\)是解决问题的关键，常用两种方法来找：

    1. 逆推法：把要证的结论与给出的某垂直条件结合，看能得出什么样的线面垂直，这样我们就找到了面\(\alpha\)，再来分析怎么证\(l\perp\alpha\)，问题就回到证线面垂直了.

    2. 三垂线定理法：如图6，若\(l\)在平面\(\beta\)内，\(a\)在\(\beta\)内的射影\(b\)很好找，由三垂线定理，\(l\perp b\Leftrightarrow l\perp a\)，所以\(a\)和射影\(b\)构成的平面（图中三角形所在平面）即为要找的\(\alpha\).

    \resizebox{0.95\linewidth}{!}{

    图

    }

  3. 证面面垂直：核心是证线面垂直，若不会找线，可通过在其中一个面内找与交线垂直的直线，如上面图3中的\(a\)，找到这条直线，问题就回到前面1的证线面垂直了.

  4. 已知面面垂直：常过一个面内的点作交线的垂线，得到线面垂直，再得到我们需要的线线垂直.

结论 3. 常见垂直几何模型

图

几何法求距离和角度

定理 1. 对角线向量定理（空间余弦定理）

\[ \cos\langle \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BD} \rangle = \dfrac{(\overrightarrow{AD}^2 + \overrightarrow{BC}^2) - (\overrightarrow{AB}^2 + \overrightarrow{CD}^2)}{2|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{BD}|} \]

说明：该定理既适用于平面向量（如四边形 \(ABCD\) 的对角线 \(AC\)、\(BD\)），也适用于空间向量（如三棱锥 \(D - ABC\) 的对棱 \(AC\)、\(BD\)）.

图

\(\text{证明：} \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CA} \cdot (\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CD}) = \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CD}\)

   \(= \dfrac{|\overrightarrow{CA}|^2 + |\overrightarrow{CB}|^2 - |\overrightarrow{AB}|^2}{2} - \dfrac{|\overrightarrow{CA}|^2 + |\overrightarrow{CD}|^2 - |\overrightarrow{AD}|^2}{2} = \dfrac{\left(|\overrightarrow{AD}|^2 + |\overrightarrow{BC}|^2\right) - \left(|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{CD}|^2 \right)}{2}\)

结论 1. 等体积法

当直接计算某三棱锥体积不方便时，可考虑转换顶点来算体积.

在求点到平面的距离时，也可用等体积法. 例如，要求点\(A\)到平面\(BCD\)的距离\(d\)，若能求得\(S_{\triangle BCD}\)，以及转换顶点后的三棱锥\(D - ABC\)的体积\(V_{D - ABC}\)，则可由\(\dfrac{1}{3}S_{\triangle BCD}\cdot d=V_{D - ABC}\)解出\(d\).

结论 2. 二面角的几何法

  1. 定义法：直接在两个半平面内找到与棱垂直的射线，它们的夹角即为二面角的平面角.

  2. 三垂线法：先过其中一个半平面的点作另一个半平面的垂线，再用三垂线定理作二面角的平面角.

  3. 垂面法：作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角. 关键在于找与二面角的棱垂直且与二面角两半平面都有交线的平面.

  4. 垂直转化： 若已知平面\(\alpha\)内与棱\(l\)垂直的直线\(a\)和平面\(\beta\)的垂线\(b\)，则可用\(a\)和\(b\)求夹角， 该夹角与二面角\(\alpha - l-\beta\)互余（或与其补角互余）.

  5. 射影面积法： 设 \(\triangle ABC\) 的面积为 \(S\)， \(\triangle ABC\) 在平面 \(\alpha\) 内的射影三角形 为 \(\triangle A'B'C'\)，其面积为 \(S'\)，则平面 \(ABC\) 与平面 \(\alpha\) 所成锐二面角的余弦值 \(\cos\theta = \dfrac{S'}{S}\).

图

图

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二级结论

结论 1. 四面体体积公式

已知异面直线段 \(AB = a\)，\(CD = b\)，异面直线夹角为 \(\theta\)，且异面直线的距离为 \(d\)，则四面体 \(ABCD\) 的体积为：

\[ V_{ABCD} = \frac{1}{6}abd\sin\theta \]

结论 2. 三棱锥与向量四心（人教A必修二P152）

在三棱锥\(P - ABC\)中，点\(P\)在平面\(ABC\)中的射影为点\(O\).

  1. 若\(PA = PB = PC\)，则点\(O\)是\(\triangle ABC\)的外心.

  2. 若侧棱\(PA\)，\(PB\)，\(PC\)与底面\(ABC\)所成的角相等，则点\(O\)是\(\triangle ABC\)的外心.

  3. 若\(PA\perp PB\)，\(PB\perp PC\)，\(PC\perp PA\)，則点\(O\)是\(\triangle ABC\)的垂心.

  4. 若\(P\)到\(\triangle ABC\)三边的距离相等，则点\(O\)是\(\triangle ABC\)的内心.

  5. 若侧面\(PAB\)，\(PBC\)，\(PCA\)与底面\(ABC\)所成的角相等，则点\(O\)是\(\triangle ABC\)的内心.

  6. 若\(PA = PB = PC\)，\(\angle ACB = 90^\circ\)，则\(O\)是\(AB\)边的中点.

图

定理 1. 三正弦定理（最大角定理）

直线 \(AB \perp\) 平面 \(BCD\)，直线 \(CD \perp\) 平面 \(ABC\)，则 \(\alpha\) 为直线 \(AD\) 与平面 \(ABC\) 所成线面角，\(\beta\) 为直线 \(AD\) 与棱 \(AB\)（二面角 \(D\text{-}AB\text{-}C\) 的棱）所成线棱角，\(\gamma\) 为二面角 \(D\text{-}AB\text{-}C\) 的平面角，则

\[ \sin\alpha = \sin\beta\sin\gamma \]
\[ \text{证明：}\sin\alpha = \frac{|DC|}{|DA|}, \, \sin\beta = \frac{|DB|}{|DA|},\, \sin\gamma = \frac{|DC|}{|DB|} = \frac{\frac{|DC|}{|DA|}}{\frac{|DB|}{|DA|}} = \frac{\sin\alpha}{\sin\beta} \]

图

注： 由 \(\sin\alpha = \sin\beta\sin\gamma\)，且 \(\sin\beta \leq 1\) 知，\(\sin\alpha \leq \sin\gamma\)，即 \(\alpha \leq \gamma\)，故二面角 \(D\text{-}AB\text{-}C\) 的半平面 \(ABD\) 内直线与半平面 \(ABC\) 所成线面角 \(\alpha\) 不大于二面角 \(\gamma\)，即二面角是线面角中最大的.

定理 2. 三余弦定理（最小角定理）

直线 \(AB \perp\) 平面 \(BCD\)，直线 \(CD \perp\) 平面 \(ABC\)，则 \(\alpha\) 为直线 \(AD\) 与平面 \(ABC\) 所成线面角，\(\beta\) 为直线 \(AD\) 与棱 \(AB\)（二面角 \(D\text{-}AB\text{-}C\) 的棱）所成线棱角，\(\gamma\) 为直线 \(AD\) 在平面 \(ABC\) 的射影 \(AC\) 与棱 \(AB\) 所成射影角，则

\[ \cos\beta = \cos\alpha \cdot \cos\gamma \]
\[ \text{证明：}\cos\beta = \frac{|AB|}{|DA|}, \quad \cos\alpha = \frac{|CA|}{|DA|},\quad \cos\gamma = \frac{|AB|}{|CA|} = \frac{\frac{|AB|}{|DA|}}{\frac{|CA|}{|DA|}} = \frac{\cos\beta}{\cos\alpha} \]

图

注： 由 \(\cos\beta = \cos\alpha\cos\gamma\)，且 \(\cos\gamma \leq 1\) 知，\(\cos\beta \leq \cos\alpha\)，即 \(\beta \geq \alpha\).在三角度中，\(\beta\) 最大（余弦值最小），等于另两角余弦值的乘积.斜线与平面所成角 \(\alpha\) 是斜线与平面内直线所成角中最小的.

定理 3. 祖暅原理（人教A必修二P121；人教B必修四P85）

祖暅（gèng）于 5 世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”. 这就是 “祖暅原理”. “势” 即是高，“幂” 是面积，祖暅原理用现代语言可以描述为：

夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.

如图，夹在平行平面间的两个几何体（它们的形状可以不同），被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面（阴影部分）的面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等.

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图

}

基于祖暅原理推导球体积：

设半球半径为 \(R\)，构造辅助体 \(\Omega\)：底面半径 \(R\)、高 \(R\) 的圆柱挖去同底等高圆锥，记半球为 \(\Gamma\)，两几何体均夹于平面 \(z = 0\)（底面）与 \(z = R\)（半球顶/圆柱上底）间. 取任意平面 \(z = h\)（\(0 \leq h \leq R\) ）截两几何体：

半球轴截面为半圆，由勾股定理，截面圆半径 \(r_1 = \sqrt{R^2 - h^2}\)，截面面积 \(S_\Gamma(h) = \pi r_1^2 = \pi (R^2 - h^2)\) .

圆柱截面面积 \(\pi R^2\)，圆锥截面因相似性（高与半径比 \(1:1\) ），半径 \(r_2 = h\)，截面面积 \(\pi h^2\)，故 \(\Omega\) 截面面积 \(S_\Omega(h) = \pi R^2 - \pi h^2 = \pi (R^2 - h^2)\) . 由于\({S_\Gamma(h) = S_\Omega(h)}\) 对任意 \(h \in [0,R]\) 成立. 故 \({V_\Gamma = V_\Omega}\) .

半球体积 \(V_{\text{半球}}= V_\Omega = V_{\text{圆柱}} - V_{\text{圆锥}} = \pi R^3 - \dfrac{1}{3} \pi R^3 = \dfrac{2}{3} \pi R^3\) ，从而球体积 \(V_{\text{球}} = \dfrac{4}{3} \pi R^3\).

图

题型

几何体的结构、表面积与体积

题型 1. 简单几何体的表面积与体积

题型识别： 题目给出柱、锥、台、球等单个几何体的底面参数、高或母线，要求表面积、体积或相关参数.

核心思路： 先辨认几何体类型，再选用对应公式. 体积公式中的高必须是到底面的垂直距离，表面积需逐面计数，不能只写侧面积.

解题步骤：

  1. 标出底面积、底面周长、高、母线和半径等关键量；

  2. 选择\(V=Sh\)、\(V=\dfrac{1}{3}Sh\)、\(V=\dfrac{4}{3}\pi R^3\)等对应公式；

  3. 表面积按“侧面积加所有外露底面”计算；

  4. 检查单位：体积为立方单位，表面积为平方单位.

易错点： 把斜高当作锥高；漏掉组合体的内切公共面；圆锥侧面积中漏写\(\pi rl\).

题型 2. 组合体的切割、拼补与体积

题型识别： 几何体由多个柱、锥、球或旋转体拼接、挖去或相交而成，要求表面积、体积或比例关系.

核心思路： 体积按可加减关系分割；表面积只统计暴露在外的面. 图形复杂时先用辅助线把它拆成标准几何体，再逐块计算.

解题步骤：

  1. 标明每个组成部分及公共面、挖去部分；

  2. 分别计算各部分体积，再按拼补关系加减；

  3. 表面积逐个检查外露面，公共接触面不计入；

  4. 若含相似体，先用线性比、面积比、体积比建立比例.

易错点： 把公共面重复计入表面积；体积相减时漏掉截去部分；相似比与体积比同次使用.

题型 3. 球的截面与规则几何体计算

题型识别： 球被平面截得圆，或规则棱锥、棱柱中出现球心、截面圆心、半径与高的关系.

核心思路： 连接球心\(O\)与截面圆心\(O_1\)，得到\(OO_1\perp\)截面，且\(R^2=OO_1^2+r^2\). 规则几何体优先找对称轴、底面中心和截面中的直角三角形.

解题步骤：

  1. 画出球心、截面圆心和截面上一点；

  2. 在直角三角形中建立球半径、截面半径和球心距关系；

  3. 对规则棱锥再利用底面中心到顶点、边中点的距离；

  4. 回代计算体积、表面积或所求长度.

易错点： 把截面圆半径当作球半径；球心到截面距离没有作垂线；规则体中的高与侧棱混淆.

题型 4. 锥体、台体的“一高”模型

题型识别： 正棱锥、圆锥、棱台或截锥的计算中，多个量都围绕顶点到底面或截面的垂线.

核心思路： 先锁定唯一的高，再在经过高和关键顶点、边中点的截面中计算. 台体常通过延长侧棱还原成完整锥体，再利用相似关系.

解题步骤：

  1. 找到顶点在底面的射影或轴线，作出高；

  2. 选择包含高的截面，转化为平面直角三角形；

  3. 台体问题必要时补成原锥，写出相似比；

  4. 用高、底面积和侧面参数完成计算.

易错点： 误以为任一侧棱都是高；台体上下底对应关系写反；相似比平方、立方关系混淆.

球的内切与外接

题型 1. 外接球的模型识别

题型识别： 棱锥、柱、台或正方体的各顶点在同一球面上，要求外接球半径、球的体积或表面积.

核心思路： 优先识别长方体、圆柱、圆锥、台体等可补形模型；看不出模型时，先找一个底面的外心，过外心作底面垂线，利用球心到各顶点距离相等列方程.

解题步骤：

  1. 判断能否补成规则长方体、直圆柱或直圆锥；

  2. 若不能，选取外接圆易求的一个面，作其外心；

  3. 过该外心作垂线设球心，利用\(OS=OA=R\)建立方程；

  4. 求出\(R\)后再计算球的相关量.

易错点： 将底面外接圆半径直接当球半径；补形后选错对角线；未验证所设球心到全部顶点等距.

题型 2. 内切球的半径

题型识别： 球与柱、锥、台或多面体的若干面相切，要求内切球半径、体积或存在性.

核心思路： 球心到各相切面的距离相等. 对直棱柱、圆柱优先看轴截面；对正棱锥、圆锥优先在经过轴线的截面内转为圆与三角形的内切关系；通用时可用\(V_{\text{多面体}}=\dfrac{1}{3}rS_{\text{表}}\).

解题步骤：

  1. 判断相切的是全部面还是部分面，确定球心位置；

  2. 作含轴线或高的截面，转化为平面内切圆问题；

  3. 必要时将多面体分为以球心为顶点的小棱锥，使用体积关系；

  4. 检查所得半径是否满足全部相切条件.

易错点： 外接球与内切球混淆；把球半径误作几何体高的一半；台体未先判断是否存在内切球.

截面、直观图与几何计算

题型 1. 斜二测画法与空间还原

题型识别： 题目给出几何体的直观图，要求判断原图形、求长度、面积或体积.

核心思路： 斜二测画法中平行于\(x\)轴的线段长度不变，平行于\(y\)轴的线段长度减半；平行关系保持，垂直、角度和长度一般不保持. 先还原关键平面图形再计算.

解题步骤：

  1. 确定直观图中的水平轴、斜轴及对应原图方向；

  2. 按“横向不变、纵向减半”还原长度；

  3. 识别底面和侧面原有的平行、垂直、相似关系；

  4. 在还原后的标准几何体上计算.

易错点： 把直观图中看起来的直角当作空间直角；所有边都机械减半；忽略斜二测仅是示意图.

题型 2. 多面体截面

题型识别： 平面截多面体，要求画截面、求截面形状、面积或由截面建立新的几何关系.

核心思路： 截面边来自截平面与各面的交线. 先在相邻面中找两个交点并连线，再按“进一个面、出一个面”的规则逐面延伸；必要时扩大截面或补全几何体.

解题步骤：

  1. 标出截平面已知经过的点或线；

  2. 在同一面内连接两个截点，得到一条截线；

  3. 沿相邻面继续寻找下一交点，直至回到起点形成闭合多边形；

  4. 判定截面边的平行、垂直或长度关系，再计算所求量.

易错点： 连接不在同一面内的两点；漏掉截面的一条边；把截面画到几何体外部却未说明辅助延长.

题型 3. 最短路径与展开

题型识别： 点在棱柱、圆柱或多面体表面运动，要求沿表面的最短路径长度或路径形状.

核心思路： 将经过的侧面展开到同一平面，空间表面路径转化为平面内两点间线段最短. 展开前先确定路径实际经过哪些面，避免跨越错误棱线.

解题步骤：

  1. 枚举或判断可能经过的相邻面；

  2. 沿公共棱展开这些面，保持边长和角度；

  3. 在展开图中连接起终点，计算线段长度；

  4. 比较不同展开方案，取最小者并检查路径未越界.

易错点： 只画一种展开图便断定最短；将不能相邻展开的面硬拼在一起；忘记比较多条候选路径.

题型 4. 等体积法求距离

题型识别： 求点到面距离、两平行面距离或棱锥高，已知或易求同一棱锥的体积和底面积.

核心思路： 同一棱锥体积可按不同底面表示：\(V=\dfrac{1}{3}S_1h_1=\dfrac{1}{3}S_2h_2\). 选择面积容易求的面作底面，就能把难求距离转化为体积比.

解题步骤：

  1. 选定包含所求距离的平面作为新底面；

  2. 用另一容易计算的底面和高先求棱锥体积；

  3. 写出以新底面表示的体积公式并解出距离；

  4. 确认顶点到新底面的垂线确为所求距离.

易错点： 两次体积对应的顶点不相同；面积取成侧面面积；忘记棱锥体积中的\(\dfrac{1}{3}\).

位置关系的证明与角度

题型 1. 平行关系的证明

题型识别： 证明线线、线面或面面平行，题中常给中点、比例、平行四边形或两个平面相交.

核心思路： 线面平行常先在该面内找一条与已知直线平行的直线；面面平行常转化为一个平面内两相交直线分别平行于另一平面. 中点连线、平行四边形和相似比例是最常用入口.

解题步骤：

  1. 明确待证的平行类型及可使用的判定定理；

  2. 在已知面内构造或寻找平行线，常用中位线、平行四边形；

  3. 验证所用直线不在目标平面内的必要条件；

  4. 按判定定理完整写出结论.

易错点： 只证一条线平行于面内某线却未说明不在该面内；面面平行时所选两线不相交；把性质定理倒用为判定定理.

题型 2. 垂直关系的证明

题型识别： 证明线线、线面或面面垂直，题中给出直角、等腰、正多面体、面面垂直或中点结构.

核心思路： 优先逆推到线面垂直：证明一条直线垂直于平面内两条相交直线. 面面垂直可转化为一个平面内直线垂直于另一个平面；已知面面垂直常作过点的垂线作为辅助线.

解题步骤：

  1. 明确目标垂直类型，逆推所需的线面垂直条件；

  2. 在相关平面内寻找两条相交直线，或作辅助垂线；

  3. 用等腰三角形三线合一、勾股逆定理或已知垂直逐步证明；

  4. 最后应用对应判定定理得出目标结论.

易错点： 两条被证垂直的面内直线并不相交；由线线垂直直接推出线面垂直；辅助线未说明所在平面.

题型 3. 二面角的几何法

题型识别： 求二面角或证明二面角大小，题目给出棱、两个半平面及对称、垂直或截面条件.

核心思路： 作垂直于棱的平面，截得的两条交线所成角就是二面角的平面角. 关键在于构造两条都垂直于棱、且分别位于两个半平面内的射线.

解题步骤：

  1. 找到二面角的棱；

  2. 过棱上一点在两个半平面内分别作垂直于棱的线；

  3. 证明这两线构成二面角的平面角；

  4. 在所得平面三角形中用三角函数、余弦定理或勾股定理求角.

易错点： 截面未垂直于棱；把线面角当作二面角；平面角取其补角却未说明.