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直线与圆

知识点

直线

定义 1. 倾斜角与斜率

  1. 直线的倾斜角：直线朝上的方向与\(x\)轴正向形成的夹角，叫做直线的倾斜角；

    当直线与\(x\)轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为\(0^{\circ}\)，所以直线倾斜角\(\alpha\)的取值范围为\(\alpha \in \htmlClass{blank}{[0, \pi)}\)

  2. 直线的斜率：设\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，\(x_1\neq x_2\)，则直线\(AB\)的斜率\(k=\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)

  3. 直线的斜率\(k\)与倾斜角\(\alpha\)的关系：\(k = \tan\alpha\)，当\(\alpha = 90^{\circ}\)时，称直线的斜率不存在

定义 2. 直线的方程

图

【注意】截距式中的\(a,b\)均不为0,但是过原点的直线横截距和纵截距均为0；截距不是距离，因此可正可负.

结论 1. 直线过定点

若直线方程只含\(1\)个参数，则该直线很可能过定点. 例如，直线\(l\)的方程为\(x - my+1 - m = 0\)，则可变形为\(x + 1 - m(y + 1)=0\)，无论\(m\)如何变化，点\(A(-1,-1)\)始终满足该方程，所以直线\(l\)过定点\(A\).

解决过定点问题常用的方法：

  1. 特殊值法：给方程中的参数取两个特殊值,可得关于\(x,y\)的两个方程，解出的\(x,y\)的值即为所求定点的坐标.

  2. 点斜式法：将含参数的直线方程写成点斜式\(y - y_0 = k(x - x_0)\)，则直线必过定点\((x_0,y_0)\).

  3. 分离参数法：将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程即\(A_1x + B_1y + C_1+\lambda(A_2x + B_2y + C_2)=0\)的形式，则该方程表示的直线必过直线\(A_1x + B_1y + C_1 = 0\)或\(A_2x + B_2y + C_2 = 0\)的交点，而此交点就是定点.

比较这三种方法可知，方法一计算较繁琐； 方法二适用点斜式方程；方法三适用一般式方程.

定义 3. 直线的方向向量与法向量

方向向量：一般地，如果表示非零向量\(\overrightarrow{a}\)的有向线段所在的直线与直线\(l\) 平行或重合，则称向量\(\overrightarrow{a}\)为直线\(l\)的一个方向向量，记作\(\overrightarrow{a}\parallel l\)

法向量：一般地，如果表示非零向量\(\overrightarrow{a}\)的有向线段所在的直线与直线\(l\) 垂直，则称向量\(\overrightarrow{a}\)为直线\(l\)的一个法向量，记作\(\overrightarrow{a}\perp l\)

  1. 如果\(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\)是直线\(l\)上两个不同的点，则\(\overrightarrow{AB}=(x_2 - x_1,y_2 - y_1)\)是直线\(l\)的一个方向向量

  2. 若\(\overrightarrow{a}\)为直线\(l\)的方向向量，则向量\(\lambda\overrightarrow{a}\)（\(\lambda\neq0\)）也是\(l\)的一个方向向量，且直线\(l\)的任意方向向量共线

  3. 如果直线\(l\)的一个方向向量为\(\overrightarrow{a}=(u,v)\)，\(u\neq0\)，则直线斜率\(k = \htmlClass{blank}{\dfrac{v}{u}}\)；（\(u = 0\)时，直线\(l\)斜率不存在）

  4. 当直线\(l\)的斜率为\(k\)时，\(l\)的一个方向向量为\(\vec{m}=\htmlClass{blank}{(1,k)}\)

  5. 当直线\(l\)的斜率不存在时，\(l\)的一个方向向量为\(\vec{m}=\htmlClass{blank}{(0,1)}\)

  6. 直线\(Ax+By+C=0\)的一个法向量为\((A,B)\)

  7. 若已知直线过定点\((x_0, y_0)\)，法向量为\((A,B)\)，则直线方程为\(A(x-x_0) + B(y-y_0) = 0\)

定义 4. 直线与直线的夹角

平面中两条直线的夹角，指的是两条直线相交所形成的四个角中，角度最小的那个角.直线与直线的夹角\(\theta \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]\)

  1. 设直线\(l_1\)的一个方向向量为\(\vec{m}\)，直线\(l_2\)的一个方向向量为\(\vec{n}\)， \(l_1\)与\(l_2\)的夹角为\(\theta\)， 则

    \[ \cos\theta=\vert\cos{\lt}\vec{m},\vec{n}{\gt}\vert=\dfrac{\vert\vec{m}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\vec{m}\vert\cdot\vert\vec{n}\vert} \]

  2. 到角公式：直线\(l_1\)与直线\(l_2\)相交于一点，将\(l_1\)绕该点按逆时针方向旋转\(\theta_1\)角，此时两直线重合，\(\theta_1\)角就叫做从\(l_1\)到\(l_2\)的角， 同理，\(\theta_2\)角叫做从\(l_2\)到\(l_1\)的角，\(\theta_1\)和\(\theta_2\)中较小的角为直线与直线的夹角\(\theta\)，则有：

    \[ \tan\theta_1 = \dfrac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2}\qquad \tan\theta_2 = \dfrac{k_1 - k_2}{1 + k_1k_2} \qquad \tan \theta = \left|\dfrac{k_1 - k_2}{1 + k_1k_2} \right| \]

图

定理 1. 两条直线的位置关系

图

  1. 当用直线的斜率判定两条直线的平行、垂直等时，要注意斜率不存在的情况.

  2. 给定两条直线平行，求参数的值时，注意验证两条直线不能重合.

  3. 与直线\(Ax + By + C = 0\)平行的直线方程可设为 \(Ax + By + M = 0\;(M\neq C)\).

  4. 与直线\(Ax + By + C = 0\)垂直的直线方程可设为 \(Bx - Ay + N = 0\).

定理 2. 两条直线的交点坐标

  1. 已知直线：\(l_1:A_1x + B_1y + C_1 = 0\)，\(l_2:A_2x + B_2y + C_2 = 0\)

  相交的条件为不平行，即：\(A_1B_2 - A_2B_1\neq0\)或\(\dfrac{A_1}{A_2}\neq\dfrac{B_1}{B_2}(A_2B_2\neq0)\)

  联立两条直线的方程\(\begin{cases}A_1x + B_1y + C_1 = 0\\A_2x + B_2y + C_2 = 0\end{cases}\)，解二元一次方程组即可得到两条直线的交点坐标

  1. 两条直线的位置关系与相应直线方程组成的二元一次方程组的解的联系

图

定义 5. 交点直线系方程

过直线 \(l_1: f_1(x, y) = A_1x + B_1y + C_1 = 0\) 与直线 \(l_2: f_2(x, y) = A_2x + B_2y + C_2 = 0\) 的交点的直线系方程为：

\[ \htmlClass{blank}{A_1x + B_1y + C_1 + \lambda(A_2x + B_2y + C_2) = 0} \]

结论 2. 距离公式

  1. 两点间的距离：设\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，则\(\vert AB\vert=\sqrt{(x_1 - x_2)^2+(y_1 - y_2)^2}\)

  2. 直线上两点间的距离：设\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，

    若\(A\)，\(B\)在直线\(y = kx + b\)上，则\(\vert AB\vert=\htmlClass{blank}{\sqrt{1 + k^2}\cdot\vert x_1 - x_2\vert}\)

    若\(A\)，\(B\)在直线\(x = my + t\)上，则\(\vert AB\vert=\htmlClass{blank}{\sqrt{1 + m^2}\cdot\vert y_1 - y_2\vert}\)

  3. 点到直线的距离：设点\(P(x_0,y_0)\)，直线\(l:Ax + By+C = 0\)，则点\(P\)到直线\(l\)的距离

    \[ d=\htmlClass{blank}{\dfrac{\vert Ax_0+By_0 + C\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}} \]

  4. 平行直线间的距离：直线\(l_1:Ax + By+C_1 = 0\)与直线\(l_2:Ax + By+C_2 = 0\)，\(C_1\neq C_2\)平行，之间的距离

    \[ d=\htmlClass{blank}{\dfrac{\vert C_1 - C_2\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}} \]

【注意】平行线间的距离公式要求两条直线只有\(C_1,C_2\)不同，否则需先化简，或选择计算某点到另一条直线的距离.

结论 3. 最值问题

  1. 点\(A\)、\(B\)在直线\(l\)同侧，点\(P\)在直线\(l\)上，则\((AP + BP)_{\min} = \htmlClass{blank}{AB'}\)（当点\(A\)、\(P\)、\(B'\)共线时取到），

    点\(B'\)是点\(B\)关于直线\(l\)的对称点；

  2. 点\(A\)、\(B\)在直线\(l\)同侧，点\(P\)在直线\(l\)上，则\(|AP - BP|_{\max} = \htmlClass{blank}{AB}\)（当点\(A\)、\(P\)、\(B\)共线时取到）；

  3. 点\(A\)、\(B\)在直线\(l\)异侧，点\(P\)在直线\(l\)上，则\(|AP - BP|_{\max} = \htmlClass{blank}{AB'}\)（当点\(A\)、\(P\)、\(B'\)共线时取到），

    点\(B'\)是点\(B\)关于直线\(l\)的对称点．

  4. 点\(A\)、\(B\)在直线\(l\)异侧，点\(P\)在直线\(l\)上，则\((AP + BP)_{\min} = \htmlClass{blank}{AB}\)（当点\(A\)、\(P\)、\(B\)共线时取到）.

图

结论 4. 具有几何意义的表达式

已知\((x, y)\) 是某曲线上的动点或满足某个方程

  1. 斜率型： \(\dfrac{y - b}{x - a}\) 表示动点 \((x, y)\) 与定点 \((a, b)\) 连线的斜率.

  2. 截距型：\(ax + by\) ， 令 \(t = ax + by\)，则 \(y = -\dfrac{a}{b}x + \dfrac{t}{b}\)，可求过曲线上一点斜率为定值的直线纵截距，再乘\(b\).

  3. 到点的距离： \((x - a)^2 + (y - b)^2\) ， 可先求 \(\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}\) ，即求动点 \((x, y)\) 到定点 \((a, b)\) 的距离.

  4. 到直线的距离： \(|Ax + By + C|\) ， 可先求 \(\dfrac{|Ax + By + C|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\) ，即求动点 \((x, y)\) 到定直线 \(Ax + By + C = 0\) 的距离.

以上问题也可考虑三角换元转化为代数问题计算，特别地，如果题目上有三角形式，也可考虑几何意义.

定义 6. 曼哈顿距离（湘教版必修二P263；人教B选修一P70-2）

在平面直角坐标系中，设点 \(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，则两点间的曼哈顿距离定义为：

\[ d(A,B) = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2| \]

几何意义：从点 \(A\) 沿坐标轴方向移动到点 \(B\) 的最短路径长度（城市街区距离）.

  1. 等距离轨迹： 到原点曼哈顿距离为常数 \(C\) 的点的轨迹方程为 \(|x| + |y| = C\)，其图像是一个旋转 \(45^\circ\) 的正方形.

  2. 点 \(P(x_0, y_0)\) 到直线 \(l\) 的曼哈顿距离 \(d(P, l)\) 定义为：

    \[ d(P, l) = \min_{Q \in l} \left( |x_0 - x_Q| + |y_0 - y_Q| \right) \]

    即从 \(P\) 出发，沿水平或竖直方向移动到直线 \(l\) 上任意点 \(Q\) 的最短路径长度.

    图

  3. 求 \(|x-a| + |x-b|\) 的最小值：几何意义为数轴上点 \(x\) 到 \(a,b\) 距离之和，当 \(x\) 在 \(a,b\) 之间时取最小值 \(|a-b|\).

  4. 不等式 \(|x-a| + |y-b| \le r\) 表示一个中心在 \((a,b)\)、旋转 \(45^\circ\) 的正方形区域，面积为 \(2r^2\).

结论 5. 点关于点的对称

1、中点坐标公式：线段两端\(P(x_1,y_1)\)和\(Q(x_2,y_2)\)的中点为

\[ M(\dfrac{x_1 + x_2}{2},\dfrac{y_1 + y_2}{2}) \]

2、点关于点对称：反过来，\(P(x,y)\)关于点\(M(x_0,y_0)\)的对称点为

\[ Q(\htmlClass{blank}{2x_0 - x,2y_0 - y}) \]

图

结论 6. 点关于直线的对称

设\(P(x_0,y_0)\)，\(l:Ax + By + C = 0(A^2 + B^2\neq 0)\)，设\(P\)关于\(l\)的对称点的坐标\(Q(a,b)\)，则\(l\)是 \(PQ\)的垂直平分线，即\(PQ\perp l\)且\(PQ\)的中点在\(l\)上，解方程组\(\begin{cases}\dfrac{y_0 - b}{x_0 - a}\cdot(-\dfrac{A}{B}) = -1\\A\cdot\dfrac{x_0 + a}{2}+B\cdot\dfrac{y_0 + b}{2}+C = 0\end{cases}\)即可.

事实上，点\((x_0,y_0)\)关于直线\(Ax + By + C = 0\)对称点的坐标为

图

\[ \htmlClass{blank}{\left(x_0-2A\dfrac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2},y_0-2B\dfrac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2}\right)} \]

结论 7. 直线关于点的对称

方法一：（一般性方法）可设所求的直线上任一点坐标为\((x,y)\)，再求它关于\(Q(x_0,y_0)\)的对称点坐标，而它 的对称点在已知直线上，将其代入已知直线方程，便可得到关于\(x,y\)的方程，即为所求的直线方程；

方法二：求一条直线关于点\(Q(x_0,y_0)\)的对称直线方程时可在该直线上取两个特殊点，再求它们关于点\(Q\)的 对称点坐标，然后利用两点式求其直线方程；

方法三：直线关于点（点不在直线上）对称的直线与该直线平行，则可以设出对称直线的方程，根据点到 两条直线的距离相等建立等量关系求解直线方程.

图

事实上，直线\(Ax+By+C=0\)关于点\((x_0,y_0)\)的对称直线为

\[ \htmlClass{blank}{Ax+By+C=2(Ax_0+By_0+C)} \]

结论 8. 直线关于直线的对称

此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，

  (1) 若已知直线\(l_1\)与对称轴\(l\)相交，则交点必在与\(l_1\)对称的直线\(l_2\)上，然后再求出\(l_1\)上任一个已知点\(P_1\)关 于对称轴\(l\)对称的点\(P_2\)，那么经过交点及点\(P_2\)的直线就是\(l_2\)；

  (2) 若已知直线\(l_1\)与对称轴\(l\)平行，则与\(l_1\)对称的直线\(l_2\)和\(l_1\)到直线\(l\)的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出\(l_1\)的对称直线\(l_2\).

图

事实上，直线\(Px+Qy+R=0\)关于直线\(Ax+By+C=0\)的对称直线为

\[ \htmlClass{blank}{\dfrac{Px+Qy+R}{Ax+By+C}=\dfrac{2(PA+QB)}{A^2+B^2}} \]

圆

定义 1. 圆的方程（人教A选必一P82）

平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点是圆心，定长是圆的半径.

  1. 标准方程：\((x - a)^2+(y - b)^2=r^2(r{\gt}0)\)，其中圆心为\((a,b)\)，半径为\(r\).

  2. 一般方程：\(x^{2}+y^{2}+Dx + Ey+F = 0\)，其中\(\htmlClass{blank}{D^{2}+E^{2}-4F}{\gt}0\).

    1. \(x^{2}\)和\(y^{2}\)项的系数相等且都不为零.

    2. 没有\(xy\)这样的二次项.

    图

一般方程\(x^{2}+y^{2}+Dx + Ey+F = 0\)可化为\(\left(x+\dfrac{D}{2}\right)^{2}+\left(y+\dfrac{E}{2}\right)^{2}=\dfrac{D^{2}+E^{2}-4F}{4}\)

(1)当\(D^{2}+E^{2}-4F{\gt}0\)时，方程表示以\(\htmlClass{blank}{\left(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2}\right)}\)为圆心，\(\htmlClass{blank}{\dfrac{1}{2}\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}}\)为半径的圆.

(2)当\(D^{2}+E^{2}-4F = 0\)时，方程只有一根，它表示一个点\(\left(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2}\right)\).

(3)当\(D^{2}+E^{2}-4F{\lt}0\)时，方程没有实根，因而它不表示任何图形.

结论 1. 求圆的方程

  1. 设一般式方程\(x^{2}+y^{2}+Dx + Ey+F = 0\)，建立关于系数\(D\)，\(E\)，\(F\)的方程组，解方程组.当已知圆上三点时，常用这种方法.

  2. 设圆心，利用圆心到圆上点的距离都等于半径建立方程求圆心.已知圆心性质时常用此法.

  3. 找圆心（弦的中垂线过圆心）、求半径.

定义 2. 圆系方程

  1. 过直线 \(l: Ax + By + C = 0\) 与圆 \(C: x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) 交点的圆系方程：

    \[ \htmlClass{blank}{x^2 + y^2 + Dx + Ey + F + \lambda(Ax + By + C) = 0} \]

    若已知直线与已知圆有两个交点，则 \(f_1(x, y) + \lambda f_2(x, y) = 0\)，表示一系列过这两个交点的圆，

    若已知直线与已知圆相切，则 \(f_1(x, y) + \lambda f_2(x, y) = 0\)，表示一系列过这个切点且与已知直线和已知圆相切的圆．

  2. 过两已知圆 \(C_1: x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0\) 和 \(C_2: x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0\) 交点的圆系方程为：

    \[ \htmlClass{blank}{x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 + \lambda(x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2) = 0} \]

    (\(\lambda \neq -1\)) 若 \(\lambda = -1\) 时，变为 \((D_1 - D_2)x + (E_1 - E_2)y + F_1 - F_2 = 0\)，则表示过两圆的交点的直线．

结论 2. 圆的对称性问题

  1. 圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称.

  2. 圆关于点对称

    1. 求已知圆关于某点的对称的圆的方程，只需要确定所求圆的圆心，即可写出标准方程；

    2. 两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.

  3. 圆关于直线对称

    1. 求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程；

    2. 两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.

结论 3. 点与圆的位置关系

{ 几何法： 已知点\(M(x_0,y_0)\)，圆\(C:(x - a)^2+(y - b)^2=r^2\)，记\(\vert CM\vert = d\).

图

} 代数法：设\(P(x_0,y_0)\)，圆\(C:(x - a)^2+(y - b)^2=r^2\)（或\(x^{2}+y^{2}+Dx + Ey+F = 0\)）

  点\(P\)在圆\(C\)外\(\Leftrightarrow(x_0 - a)^2+(y_0 - b)^2{\gt} r^2\)（或\(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+Dx_0 + Ey_0+F{\gt}0\)）；

  点\(P\)在圆\(C\)上\(\Leftrightarrow(x_0 - a)^2+(y_0 - b)^2= r^2\)（或\(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+Dx_0 + Ey_0+F = 0\)）；

  点\(P\)在圆\(C\)内\(\Leftrightarrow(x_0 - a)^2+(y_0 - b)^2{\lt} r^2\)（或\(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+Dx_0 + Ey_0+F{\lt}0\)）.

结论 4. 直线与圆的位置关系

{ 代数法： 判断直线\(Ax + By + C = 0\)和圆\(x^{2}+y^{2}+Dx + Ey+F = 0\)的位置关系时，联立方程

\(\begin{cases} Ax + By + C = 0 \\ x^{2}+y^{2}+Dx + Ey+F = 0 \end{cases}\)，消去\(y\)（或\(x\)），得\(mx^{2}+nx + p = 0\)或（\(my^{2}+ny + p = 0\)），

  当方程组有两组实数解，即\(\Delta{\gt} 0\)时，直线与圆相交，有两个公共点；

  当方程组有一组实数解，即\(\Delta = 0\)时，直线与圆相切，有一个公共点；

  当方程组没有实数解，即\(\Delta{\lt} 0\)时，直线与圆相离，没有公共点. }

几何法：判断直线\(l:Ax + By + C = 0\)与圆\(C:(x - a)^2+(y - b)^2=r^2\)的位置关系的步骤

  计算圆心\(C(a,b)\)到直线\(l\)的距离\(d=\dfrac{\vert Aa + Bb + C\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\)，将\(d\)和\(r\)进行比较：

    若\(d{\gt} r\)，则直线和圆相离，有0个公共点；

    若\(d = r\)，则直线和圆相切，有1个公共点；

    若\(d{\lt} r\)，则直线和圆相交，有2个公共点.

弦长计算：当直线与圆相交于\(A\),\(B\)两点时 ，设圆心\(C\)到直线\(l\)的距离\(d\)，则弦长\(\vert AB\vert = \htmlClass{blank}{2\sqrt{r^{2}-d^{2}}}\).

结论 5. 点在圆外引出的切线问题

如图，点\(P(x_0, y_0)\)在圆\(C:(x - a)^2+(y - b)^2=r^2\)外，过点\(P\)可做圆的两条切线，设切点为\(A\)、\(B\)，连接\(AB\).

  1. 求切线方程： 设切线方程为\(y - y_0 = k(x-x_0)\)（需考虑斜率不存在），由圆心到切线的距离等于半径求解\(k\).

  2. 求切线长：\(\vert PA\vert=\vert PB\vert=\htmlClass{blank}{\sqrt{\vert PC\vert^{2}-r^{2}}}\).（\(PC\)最短时，切线长最短）

  3. 求切点弦方程：\(P\)，\(A\)，\(C\)，\(B\)四点都在以\(PC\)为直径的圆上，\(AB\)恰好为该圆与圆\(C\)的公共弦，可由两圆的方程作差即可求得直线\(AB\)的方程.

    结论：直线\(AB\)方程为：\(\htmlClass{blank}{(x_0 - a)(x - a)+(y_0 - b)(y - b)=r^2}\)

  4. 求切点弦长：\(|AB| = 2\sqrt{r^2 - d^2}\)，\(d\)为圆心到直线\(AB\)的距离.

  5. 四边形\(PACB\)的面积 \(S = \dfrac{1}{2}\vert PC\vert\cdot\vert AB\vert = r\cdot |PA|\)

图

结论 6. 点在圆上或圆内引出的弦问题

如图，点\(P(x_0, y_0)\)在圆\(C:(x - a)^2+(y - b)^2=r^2\)上，过点\(P\)可做圆的一条切线，

该切线方程为：\(\htmlClass{blank}{(x_0 - a)(x - a)+(y_0 - b)(y - b)=r^2}\)

图

如图，点\(P(x_0, y_0)\)在圆\(C:(x - a)^2+(y - b)^2=r^2\)内，过点\(P\)的弦中：

最长弦为直径，所在直线方程为：\({y - y_0 = \dfrac{y_0 - b}{x_0 - a}(x-x_0)}\)

最短弦与\(PC\)垂直，所在直线方程为：\(\htmlClass{blank}{(x_0 - a)(x - x_0)+(y_0 - b)(y - y_0)=0}\)

图

【总结】设点\(P(x_0,y_0)\)，将圆的标准方程\((x - a)^2+(y - b)^2=r^2\)变成

\[ {(x - a)(x_0 - a)+(y - b)(y_0 - b)=r^2} \]

或将一般方程\(x^{2}+y^{2}+Dx + Ey+F = 0\)变成

\[ \htmlClass{blank}{x_0x+y_0y+D\dfrac{x+x_0}{2} + E\dfrac{y+y_0}{2}+F = 0} \]

当\(P\)在圆上时，该方程表示过\(P\)点的切线方程； 当\(P\)在圆外时，该方程表示切点弦所在直线的方程.

结论 7. 圆与圆的位置关系

几何法: 设两圆\(C_1\)和\(C_2\)的半径分别为\(r_1\)和\(r_2\)（\(r_1 {\gt} r_2\)），记圆心距为\(d\)， 则从两圆圆心重合开始，小圆向外运动的过程中两圆位置关系如下：

图

{

代数法: 两圆的位置关系也可以利用两圆方程所构成的方程组的解判断：

  当方程组无解时，两圆外离或者内含；

  当方程组只有一解时，两圆外切或者内切；

  当方程组有两解时，两圆相交.

图

}

结论 8. 圆上到直线距离为定值的点的个数

设圆心\(C\)到直线\(l\)的距离为\(d\)，圆\(C\)半径为\(r\)，圆上到直线距离为定值\(m\)的点的个数的情况如下：

图

结论 9. 圆与圆的公共弦方程

当两圆相交时，设两圆的一般方程为： \(\begin{cases} C_1: {x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0} \\ C_2: {x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0} \end{cases}\) 将两方程作差消去 \(x^2\) 和 \(y^2\) 项，得到的一次直线方程：

\[ \htmlClass{blank}{(D_1 - D_2)x + (E_1 - E_2)y + (F_1 - F_2) = 0} \]

即为两圆公共弦所在直线的方程（公共弦是两圆交点连成的线段，其所在直线由上述方程表示）.

证明： 必要性：公共弦上的点满足相减后的方程 设两圆的交点为 \(A(x_1, y_1)\) 和 \(B(x_2, y_2)\)，由于 \(A\)、\(B\) 同时在两圆上，故满足： {

\[ \begin{cases} x_1^2 + y_1^2 + D_1x_1 + E_1y_1 + F_1 = 0 \quad (1) \\ x_1^2 + y_1^2 + D_2x_1 + E_2y_1 + F_2 = 0 \quad (2) \end{cases}\qquad \begin{cases} x_2^2 + y_2^2 + D_1x_2 + E_1y_2 + F_1 = 0 \quad (3) \\ x_2^2 + y_2^2 + D_2x_2 + E_2y_2 + F_2 = 0 \quad (4) \end{cases} \]

}

将 (1) \(-\) (2)，消去 \(x_1^2 + y_1^2\)，得： \((D_1 - D_2)x_1 + (E_1 - E_2)y_1 + (F_1 - F_2) = 0 \quad (5)\)

同理，(3) \(-\) (4) 得： \((D_1 - D_2)x_2 + (E_1 - E_2)y_2 + (F_1 - F_2) = 0 \quad (6)\)

式 (5) 和 (6) 表明：交点 \(A,B\) 都在直线 \((D_1 - D_2)x + (E_1 - E_2)y + (F_1 - F_2) = 0\) 上，即公共弦所在直线必为该方程.

充分性：相减后的直线是公共弦所在直线 两圆相交时，相减得到的方程是 一次方程（直线）. 由于两圆仅交于 \(A,B\) 两点，而直线与圆的交点最多为 2 个，因此： 该直线与两圆的交点只能是 \(A,B\)，即直线恰好是公共弦所在的直线.

【注意】： 若两圆 相切，相减得到的是公切线（切点在直线上）； 若两圆 相离，相减得到的是根轴（与两圆连心线垂直，到两圆切线长相等的点的轨迹）.

若两圆的 \(x^2,y^2\) 项系数不同（如 \(C_1: A_1x^2 + A_1y^2 + \dots = 0\)，\(C_2: A_2x^2 + A_2y^2 + \dots = 0\)），需先统一系数（如两边同除以 \(A_1,A_2\)），再作差.

结论 10. 两圆的公切线方程

内公切线：两圆圆心在直线两侧 ； 外公切线：两圆圆心在直线一侧

两圆内切或外切时的公切线

联立\(C_1, C_2\)，求公共点坐标，利用 \(k_{O_1O_2} \cdot k = -1\)求直线斜率，用点斜式求直线方程 .

事实上可以证明，直接用两圆方程作差消去平方项所得直线方程即为公切线方程.

图

图

两圆相交，外切，相离时的公切线

  1. 代数方法：设直线为 \(Ax + By + C = 0\) 为公切线. 圆 \(C_1\) 的圆心 \(\left( -\dfrac{D_1}{2},\ -\dfrac{E_1}{2} \right)\)，半径 \(r_1\)； 圆 \(C_2\) 的圆心 \(\left( -\dfrac{D_2}{2},\ -\dfrac{E_2}{2} \right)\)，半径 \(r_2\).

    由点到直线的距离公式，公切线到两圆心的距离分别等于半径，故有：

    \[ \dfrac{\left| A \cdot \left(-\dfrac{D_1}{2}\right) + B \cdot \left(-\dfrac{E_1}{2}\right) + C \right|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = r_1 \quad \text{\textcircled{\small 1}} \qquad \dfrac{\left| A \cdot \left(-\dfrac{D_2}{2}\right) + B \cdot \left(-\dfrac{E_2}{2}\right) + C \right|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = r_2 \quad \text{\textcircled{\small 2}} \]

    将两式两边同乘 \(\sqrt{A^2 + B^2}\) 后，整理得：

    \[ r_2 \cdot \left| -\dfrac{AD_1}{2} - \dfrac{BE_1}{2} + C \right| = r_1 \cdot \left| -\dfrac{AD_2}{2} - \dfrac{BE_2}{2} + C \right| \]

    可通过分类讨论去除绝对值符号（避免平方引入增根），求解参数 \(A,B\)（利用比例关系，可设其中一个系数为1简化计算）.

  2. 几何方法：

    对称法： 若存在一条公切线的斜率为 \(0\)（水平直线）或斜率不存在（垂直直线），则另一条公切线与此直线关于两圆圆心的连线 \(l_{C_1C_2}\) 对称. 问题转化为求关于直线对称的直线方程问题（可通过对称点公式或几何对称性推导）.

    交点法：若两个圆半径不相等，两条公切线一定交于一点， 设交点坐标为 \(P(x, y)\)，构造相似三角形（如 \(\triangle PC_2 T \sim \triangle PC_1 S\)，其中 \(T,S\) 为公切线与两圆的切点）有：

    \[ \dfrac{PC_1}{PC_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \implies \dfrac{\overrightarrow{C_1P}}{\overrightarrow{PC_2}} = \pm \dfrac{r_1}{r_2} \]

    求出 \(P\) 坐标， 问题转化为求过圆外一点的切线方程问题，按切线方程的常规方法（如点斜式结合距离公式、代数法等）求解.

结论 11. 公切线长度

外公切线长：平移一条公切线使之过圆心，则切线长\(ST = \sqrt{|C_1C_2|^2 - (r_2 - r_1)^2}\)

内公切线长：平移一条公切线使之过圆心，则切线长\(ST = \sqrt{|C_1C_2|^2 - (r_2 + r_1)^2}\)

图

图

结论 12. 圆中的最值问题

  1. 几何法（五个基本模型，\(r\)为圆\(C\)的半径）

模型1：\(M\)为圆\(C\)外一定点，\(P\)为圆\(C\)上的动点，则\(\htmlClass{blank}{\vert\vert MC\vert - r\vert} \leqslant\vert PM\vert\leqslant \htmlClass{blank}{\vert MC\vert + r}\)

模型2：\(M\)为圆\(C\)内一定点，\(P\)为圆\(C\)上的动点，则\(\htmlClass{blank}{r-\vert CM\vert} \leqslant \vert PM\vert \leqslant \htmlClass{blank}{r+\vert CM\vert}\)

模型3：设直线\(l\)与圆\(C\)相离，圆心\(C\)到直线\(l\)的距离为\(d\)，则圆上动点\(P\)到直线\(l\)的距离的取值范围为\([d - r,d + r]\)

模型4：设直线\(l\)与圆\(C\)相交，圆心\(C\)到直线\(l\)的距离为\(d\)，则圆上动点\(P\)到直线\(l\)的距离的最大值为\(d + r\)

模型5：过圆\(C\)内一定点\(P\)作圆的弦，最长的弦为圆的直径，最短的弦与\(PC\)垂直，弦长\(L = 2\sqrt{r^{2}-d^{2}}\)（\(d\)为圆心\(C\)到弦的距离）.

图

  1. 代数法：设圆\(C:(x - a)^2+(y - b)^2=r^2(r{\gt}0)\)，可将其方程变形成\((\dfrac{x - a}{r})^2+(\dfrac{y - b}{r})^2 = 1\)，在 三角函数那部分，我们知道\(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta = 1\)，所以可据此进行三角换元，

令\(\begin{cases} \dfrac{x - a}{r}=\cos\theta \\ \dfrac{y - b}{r}=\sin\theta \end{cases}\)，从而 \(\begin{cases} x = \htmlClass{blank}{a + r\cos\theta} \\ y = \htmlClass{blank}{b + r\sin\theta} \end{cases}\)，

故对于圆\(C\)上的动点\(P\)，可将其坐标设为\((a + r\cos\theta,b + r\sin\theta)\)（这种设法中\(\theta\)的几何意义可参考下图），将求最值的目标表示成关于\(\theta\)的三角函数，借助三角函数求最值.

图

结论 13. 隐圆问题

  1. 定长对定点：平面上到定点\(C(a,b)\)的距离等于定长\(r\)的点\(P\)的轨迹是圆，如图1.

  2. 定长对定角

    平面上过两定点\(A\)和\(B\)的直线\(l_1\)、\(l_2\)互相垂直，则它们交点\(P\)的轨迹为圆，如图2.

    平面上与两定点\(A\)和\(B\)所成视角为固定锐角或钝角的点的轨迹为一段圆弧，如图3.

  3. 定长对定比（阿氏圆）：设\(A\)和\(B\)是平面内两定点，若点\(P\)满足\(\dfrac{\vert PA\vert}{\vert PB\vert}=\lambda(\lambda {\gt} 0\text{且}\lambda\neq1)\)，则点\(P\)的轨迹是圆，该圆被称为阿氏圆，如图4.

图

定义 3. 阿波罗尼斯圆及其轨迹方程

在平面上给定两点\(A,B\)，设点\(P\)在同一平面上且满足\(\dfrac{PA}{PB}=\lambda\)， 当\(\lambda {\gt} 0\)且\(\lambda\neq 1\)时，\(P\)点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆， 当\(\lambda = 1\)时\(P\)点的轨迹是线段\(AB\)的中垂线.

设\(P(x,y)\)，\(A(-a,0)\)，\(B(a,0)\). 若\(\dfrac{PA}{PB}=\lambda\)（\(\lambda {\gt} 0\)且\(\lambda\neq 1\)），则点\(P\)的轨迹方程是

\[ \left(x - \dfrac{\lambda^{2}+1}{\lambda^{2}-1}a\right)^{2}+y^{2}=\left(\dfrac{2a\lambda}{\lambda^{2}-1}\right)^{2} \]

其轨迹是以\((\dfrac{\lambda^{2}+1}{\lambda^{2}-1}a,0)\)为圆心， 半径为\(r = \left|\dfrac{2a}{\lambda^-\dfrac{1}{\lambda}}\right| = \htmlClass{blank}{\left|\dfrac{AB}{\lambda - \dfrac{1}{\lambda}}\right|}\)的圆.

图

证明：由\(PA=\lambda PB\)及两点间距离公式，可得 \((x + a)^{2}+y^{2}=\lambda^{2}[(x - a)^{2}+y^{2}]\)

化简可得 \((1 - \lambda^{2})x^{2}+(1 - \lambda^{2})y^{2}+2(1 + \lambda^{2})ax+(1 - \lambda^{2})a^{2}=0\)

(1)当\(\lambda = 1\)时，得\(x = 0\)，此时动点的轨迹是线段\(AB\)的垂直平分线；

(2)当\(\lambda\neq 1\)时，方程两边都除以\((1 - \lambda^{2})\)得 \(x^{2}+y^{2}+\dfrac{2a(1 + \lambda^{2})x}{1 - \lambda^{2}}+a^{2}=0\) 化为标准形式即为：

\[ \left(x - \dfrac{\lambda^{2}+1}{\lambda^{2}-1}a\right)^{2}+y^{2}=\left(\dfrac{2a\lambda}{\lambda^{2}-1}\right)^{2} \]

性质 1. 阿氏圆常见性质

  1. 当\(\lambda{\gt}1\)时，点\(B\)在圆\(C\)内，点\(A\)在圆\(C\)外；当\(0{\lt}\lambda{\lt}1\)时，点\(A\)在圆\(C\)内，点\(B\)在圆\(C\)外.

  2. 设阿波罗尼斯圆的圆心为\(C\)，半径\(CM = CN = r\)，则有\(\dfrac{PA}{PB} = \dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AN}{NB} = \lambda\)，

    即\(\dfrac{CA - r}{r - CB} = \dfrac{CA + r}{CB + r} = \lambda\)，解得\(\dfrac{CA}{r} = \dfrac{r}{CB} = \lambda\)，即\(CA \cdot CB = \htmlClass{blank}{r^2}\).

    若已知圆及圆外一点\(A\)，可以作出与之对应的点\(B\)，反之亦然.

  3. 因\(AQ^{2}=AM\cdot AN\)，故\(AQ\)是圆的一条切线，也可得\(CA\cdot CB = r^2\)

  4. 所作出的阿波罗尼斯圆的直径为\(MN=\dfrac{4a\lambda}{|\lambda^{2}-1|}\)，面积为\(\dfrac{4\pi a^{2}\lambda^{2}}{(\lambda^{2}-1)^{2}}\).

  5. 三角形\(ABQ\)的面积存在最大值，即当\(CQ\perp AB\)时，三角形\(ABQ\)面积取得最大值

    \[ S_{\triangle ABQ}=\dfrac{1}{2}\times 2a\cdot\left|\dfrac{2a\lambda}{\lambda^{2}-1}\right|=\left|\dfrac{2a^{2}\lambda}{\lambda^{2}-1}\right| \]

  6. 过点\(A\)作圆\(C\)的切线\(AQ\)（\(Q\)为切点），则\(QM\)，\(QN\)分别为\(\angle AQB\)的内、外角平分线.

定理 1. 阿氏圆逆定理

\(A,B\)为两已知点，\(M,N\)分别为线段\(AB\)的定比为\(\lambda\)（\(\lambda\neq 1\)）的内外分点，则以\(MN\)为直径的圆\(C\)上任意点\(P\)到\(A,B\)两点的距离之比为\(\lambda\).

①\(A,M,B,N\)为调和点列；

②\(PM,PN\)分别为\(\angle APB\)的内、外角平分线；

③\(PM \perp PN\)

以上三个条件中，知道任意两个都可以推得第三个.

图

证明：如右图，以\(\lambda{\gt}1\)为例 设\(AB = 2a\)，\(\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AN}{NB}=\lambda\)， 则\(AM=\dfrac{2a\lambda}{1 + \lambda}\)，\(AN=\dfrac{2a\lambda}{\lambda - 1}\)， 因为 \(BN=\dfrac{2a\lambda}{\lambda - 1}-2a=\dfrac{2a}{\lambda - 1} \qquad BM=2a-\dfrac{2a\lambda}{1 + \lambda}=\dfrac{2a}{1 + \lambda}\)

过\(B\)作\(AB\)的垂线交圆\(C\)于\(Q,R\)两点， 由相交弦定理及勾股定理得

\[ QB^{2}=MB\cdot BN=\dfrac{4a^{2}}{\lambda^{2}-1} \qquad QA^{2}=AB^{2}+QB^{2}=\dfrac{4a^{2}\lambda^{2}}{\lambda^{2}-1} \]

图

于是\(QB = \dfrac{2a}{\sqrt{\lambda^{2}-1}}\)，\(QA=\dfrac{2a\lambda}{\sqrt{\lambda^{2}-1}}\) 所以\(\dfrac{QA}{QB}=\lambda\). 因为\(M,Q,N\)同时在到\(A,B\)两点距离之比等于\(\lambda\)的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的， 所以圆\(C\)上任意一点\(P\)到\(A,B\)两点的距离之比恒为\(\lambda\)．同理可证\(0{\lt}\lambda{\lt}1\)的情形．

结论 14. 垂直弦问题

如图，过半径为\(r\)的圆\(O\)内一点\(P\)作两条互相垂直的弦分别与圆交于\(A,B\),\(C,D\)四点，四边形\(ABCD\)边上的中点分别为\(E,F,G,H\)，\(O_1\)为\(OP\)中点，则

  1. 点\(E,F,G,H\)在以\(O_1\)为圆心的圆上；

  2. 点\(M,N\)在以\(O_1\)为圆心的圆上；

  3. \(\text{四边形}ACBD\)的面积存在最值，\(OM=ON\)即\(AB=CD\)时面积最大，\(OM\)、\(ON\)有一个为0取最小，即\(AB\)、\(CD\)有一个为直径时，面积最小.

\[ \begin{aligned} S_{\text{四边形}ACBD} & =\dfrac{1}{2}AB\cdot CD=\dfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{r^2-OM^2}\cdot 2\sqrt{r^2-ON^2}=2\sqrt{r^4-r^2(OM^2+ON^2)+OM^2\cdot ON^2} \\ & =2\sqrt{r^4-r^2\cdot OP^2+OM^2\cdot ON^2}\in \left[2\sqrt{r^4-r^2\cdot OP^2}, 2\sqrt{r^4-r^2\cdot OP^2+\dfrac{OP^4}{4}}\right] \\ & \in \left[2r\sqrt{r^2-OP^2}, 2\left(r^2-\dfrac{OP^2}{2}\right)\right]\text{（因为0 \leq OM^2 \cdot ON^2 \leq \left(\tfrac{OM^2+ON^2}{2}\right)^2 = \tfrac{OP^4}{4}）} \end{aligned} \]

证明： \(OM^2+MP^2=ON^2+NP^2=OP^2\)，\(OMPN\)为矩形，所以点\(M,N\)在以\(O_1\)为圆心的圆上，半径为\(\dfrac{OP}{2}\)； 因为 \(OM^2+ON^2=OP^2\)； \(OM^2+\dfrac{AB^2}{4}+ON^2+\dfrac{CD^2}{4}=r^2+r^2=2r^2\)

容易知道\(EFGH\)为矩形,所以\(EG^2=EH^2+HG^2=\dfrac{AB^2+CD^2}{4}=2r^2-OP^2\) 同理\(FH^2=2r^2-OP^2\)，

故\(EFGH\)在圆心为\(O_1\)，半径为\(\sqrt{\dfrac{r^2}{2}-\dfrac{OP^2}{4}}\)的圆上

图

图

定理 2. 托勒密定理（苏教版必修二P76）

圆的内接四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.

若四边形\(ABCD\)是圆的内接四边形，则

\[ AB\cdot CD + AD\cdot BC = AC\cdot BD \]

证明： 设圆内接四边形为 \(ABCD\)，在 \(AC\) 上取点 \(E\)，使得 \(\angle ABE = \angle CBD\).

由于 \(\angle BAE = \angle BDC\)，且 \(\angle ABE = \angle CBD\)， 故 \(\triangle ABE \sim \triangle DBC\). 得：

\[ \frac{AB}{DB} = \frac{AE}{DC} \implies AB \cdot DC = DB \cdot AE \quad \text{(1)} \]

由 \(\angle ABE = \angle CBD\)，两边同时加上 \(\angle EBD\)，得 \(\angle ABD = \angle EBC\). 又 \(\angle ADB = \angle ECB\)， 故 \(\triangle ABD \sim \triangle EBC\). 由相似比得：

\[ \frac{AD}{EC} = \frac{DB}{BC} \implies AD \cdot BC = DB \cdot EC \quad \text{(2)} \]

图

将 (1) 和 (2) 相加： \(AB \cdot DC + AD \cdot BC = DB \cdot (AE + EC) = DB \cdot AC\) 即 \(AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC\)，得证.

定理 3. 圆中蝴蝶定理（湘教版选修一P165-20）

过圆内一点 \(M\)，引出三条弦 \(AB\)、\(CD\)、\(PQ\)，且 \(M\) 是 \(PQ\) 的中点， 直线 \(AD\) 与直线 \(BC\) 交直线 \(PQ\) 于 \(E\)、\(F\)，则

\[ ME = MF \]

证法一：曲线系法

以 \(M\) 为原点，弦 \(PQ\) 所在直线为 \(x\) 轴，建立直角坐标系.

设圆 \(O\) 的方程为 \(x^2 + (y-a)^2 = r^2\)，

直线 \(AB\)、\(CD\) 的方程分别为 \(y = k_1x\)、\(y = k_2x\). 由圆和直线组成的二次曲线系方程为

\[ \mu \left[ x^2 + (y-a)^2 - r^2 \right] + \lambda (y-k_1x)(y-k_2x) = 0 \]

令 \(y = 0\)，则 \(E, F\) 的横坐标 \(x_E, x_F\) 满足方程

\[ [\mu + \lambda k_1k_2]x^2 + \mu (a^2 - r^2) = 0 \]

由韦达定理得 \(x_E + x_F = 0\)，即 \(x_E = -x_F\)，故 \(ME = MF\).

图

证法二：坐标法（韦达定理+共线条件）

设 \(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3), D(x_4, y_4)\). 设直线 \(AB\) 方程为 \(x = my\)，直线 \(CD\) 方程为 \(x = ny\).

联立圆与直线 \(AB\)：\(\begin{cases} x^2 + (y-a)^2 = r^2 \\ x = my \end{cases} \Rightarrow (m^2 + 1)y^2 - 2ay + a^2 - r^2 = 0\).

由韦达定理：\(y_1 + y_2 = \dfrac{2a}{m^2 + 1},\quad y_1 y_2 = \dfrac{a^2 - r^2}{m^2 + 1} \Rightarrow \dfrac{y_1 + y_2}{y_1 y_2} = \dfrac{2a}{a^2 - r^2}\). 同理可得 \(\dfrac{y_3 + y_4}{y_3 y_4} = \dfrac{2a}{a^2 - r^2}\).

\[ \dfrac{y_1 + y_2}{y_1 y_2} = \dfrac{y_3 + y_4}{y_3 y_4} \Rightarrow \dfrac{1}{y_1} + \dfrac{1}{y_2} = \dfrac{1}{y_3} + \dfrac{1}{y_4} \Rightarrow \dfrac{y_1 - y_4}{y_1 y_4} = \dfrac{y_3 - y_2}{y_2 y_3} \Rightarrow \dfrac{y_1y_4}{y_1 - y_4} = \dfrac{y_3y_2}{y_2-y_3} \quad \text{①} \]

设 \(E(p, 0), F(q, 0)\). 因\(A, D, E\) 三点共线，故

\(k_{AE} = k_{DE} \Rightarrow \dfrac{y_1 - 0}{x_1 - p} = \dfrac{y_4 - 0}{x_4 - p} \Rightarrow p = \dfrac{x_1y_4 - x_4y_1}{y_4 - y_1} = \dfrac{my_1y_4 - ny_4y_1}{y_4 - y_1} = \dfrac{y_1 y_4 (m - n)}{y_4 - y_1}\).

因 \(B, C, F\) 三点共线，同理可得 \(q = \dfrac{x_2y_3 - x_3y_2}{y_3 - y_2} = \dfrac{y_2 y_3 (m - n)}{y_3 - y_2}\). 由①可得 \(p = -q\)， 即 \(x_E = -x_F\)，故 \(ME = MF\).

定理 4. 二次曲线的蝴蝶定理

设二次曲线 \(\Gamma\) 上有一弦 \(PQ\)，\(M\) 为 \(PQ\) 的中点，过 \(M\) 作任意两条弦 \(AB\)、\(CD\)，直线 \(AD\) 与 \(PQ\) 交于 \(E\)，直线 \(BC\) 与 \(PQ\) 交于 \(F\)，则 \(M\) 为 \(EF\) 的中点.

证明：建立平面直角坐标系，令 \(M\) 为坐标原点 \(O(0,0)\)，弦 \(PQ\) 落在 \(x\)-轴上，故 \(P(-t, 0)\)、\(Q(t, 0)\)（\(t \neq 0\)）； 二次曲线的一般方程为 \(Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0\)，代入 \(P, Q\) 坐标得 \(D=0\)、\(F=-At^2\)，方程简化为：

\[ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Ey - At^2 = 0 \]

过原点 \(M\) 的两条弦 \(AB\)、\(CD\) 斜率分别为 \(k_1, k_2\)，其方程为 \(y = k_1x\)、\(y = k_2x\)； 联立 \(y = k_1x\) 与简化后的二次曲线方程得 \((A + Bk_1 + Ck_1^2)x^2 + Ek_1x - At^2 = 0\)，设 \(A(x_1, k_1x_1)\)、\(B(x_2, k_1x_2)\)，由韦达定理得：

\[ x_1 + x_2 = -\frac{Ek_1}{A + Bk_1 + Ck_1^2}, \quad x_1x_2 = -\frac{At^2}{A + Bk_1 + Ck_1^2} \]

直线 \(AD\) 过 \(A(x_1, k_1x_1)\)、\(D(x_4, k_2x_4)\)，代入 \(y=0\) 解得 \(E\) 的横坐标：

\[ x_E = \frac{x_1x_4(k_1 - k_2)}{k_2x_4 - k_1x_1} \text{\quad 同理 \quad} x_F = \frac{x_2x_3(k_1 - k_2)}{k_2x_3 - k_1x_2} \]

要证 \(M\) 为 \(EF\) 中点，只需证 \(x_E + x_F = 0\)，等价于：

\[ \frac{x_1x_4}{k_2x_4 - k_1x_1} + \frac{x_2x_3}{k_2x_3 - k_1x_2} = 0 \]

通分整理得 \(k_2x_3x_4(x_1 + x_2) - k_1x_1x_2(x_3 + x_4) = 0\)，将韦达定理结果代入该式左边：

\[ k_2 \cdot \left(-\frac{At^2}{A + Bk_2 + Ck_2^2}\right) \cdot \left(-\frac{Ek_1}{A + Bk_1 + Ck_1^2}\right) - k_1 \cdot \left(-\frac{At^2}{A + Bk_1 + Ck_1^2}\right) \cdot \left(-\frac{Ek_2}{A + Bk_2 + Ck_2^2}\right) = 0 \]

等式成立，故 \(x_E = -x_F\)，即原点 \(M(0,0)\) 为 \(EF\) 的中点； 该推导未限制二次曲线类型（圆、椭圆、双曲线、抛物线均满足），且若弦 \(AB/CD\) 斜率不存在（垂直于 \(x\)-轴），重复上述步骤仍可证明结论成立.

定理 5. 圆幂定理

设圆的圆心为 \(O\)，半径为 \(r\). 点 \(P\) 到圆心 \(O\) 的距离为 \(d\)（即 \(OP = d\)）.

则点 \(P\) 关于该圆的 幂 (Power) 定义为： \(Power(P) = d² - r²\)

结论： 对于过点 \(P\) 的任意一条直线，若它与圆相交于两点 \(X\) 和 \(Y\)（当直线与圆相切时，\(X\) 和 \(Y\) 重合为切点 \(T\)），则：

\[ PX · PY = |Power(P)| \]

\begin{spacing}{2.0}

  1. 相交弦定理： 弦\(AB\)与弦\(CD\)相交于圆内点\(P\)，则\(PA·PB = PC·PD\)

    证明： 连接 \(AC, BD\)， \(\because\) \(\angle APC = \angle DPB\)（对顶角）， \(\angle PAC = \angle PDB\)（同弧圆周角），

    \(\therefore\) \(\triangle PAC \sim \triangle PDB\)（AA）， \(\therefore\) \(\dfrac{PA}{PD} = \dfrac{PC}{PB} \implies PA \cdot PB = PC \cdot PD\)

  2. 切割线定理： 从圆外点\(P\)引圆的切线\(PA\)（\(A\)为切点）和割线\(PBC\)（\(B\)、\(C\)为割线与圆的交点），则 \(PA^2 = PB·PC\)

    证明： 连接 \(AB, AC\)， \(\because\) \(\angle PAB = \angle ACB\)（弦切角定理）， 且 \(\angle APB = \angle CPA\)（公共角），

    \(\therefore\) \(\triangle PAB \sim \triangle PCA\)（AA）， \(\therefore\) \(\dfrac{PA}{PC} = \dfrac{PB}{PA} \implies PA^2 = PB \cdot PC\)

  3. 割线定理：从圆外一点\(P\)引两条割线与圆分别交于\(A,B\)和\(C,D\)，则有\(PA\cdot PB = PC\cdot PD\)

    证明： 连接 \(AD, BC\)， \(\because\) \(\angle APD = \angle CPB\)（公共角）， \(\angle PAD = \angle PCB\)（同弧圆周角），

    \(\therefore\) \(\triangle PDA \sim \triangle PBC\)（AA）， \(\therefore\) \(\dfrac{PA}{PC} = \dfrac{PD}{PB} \implies PA \cdot PB = PC \cdot PD\)

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图

题型

直线与距离

题型 1. 斜率、倾斜角与方向向量

题型识别：给出两点、直线方程或含参数直线，要求斜率、倾斜角、方向或参数范围.

核心思路：斜率反映直线方向，竖直线斜率不存在. 含参数直线要先判断是否隐藏过定点、平行或旋转关系，再讨论斜率存在性.

解题步骤：

  1. 由两点坐标写\(k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)，先检查\(x_2=x_1\)；

  2. 由一般式或参数式读出方向向量；

  3. 将斜率与倾斜角、平行垂直条件相互转化；

  4. 参数问题按竖直线和非竖直线分类检查.

易错点：竖直线强行赋斜率；把倾斜角范围写成闭区间；斜率相等时未排除两线重合.

题型 2. 求直线方程

题型识别：已知一点、两点、斜率、截距、平行垂直或距离条件，要求直线方程.

核心思路：根据条件选最省参数的形式：点斜式适合一点一斜率，两点式适合两点，一般式适合平行垂直和距离，截距式适合坐标轴截距.

解题步骤：

  1. 判断直线是否可能竖直，避免漏解；

  2. 选择方程形式并代入已知条件；

  3. 化为一般式，必要时统一系数；

  4. 回代关键点或方向条件验证.

易错点：用斜截式漏掉竖直线；一般式系数全为零；平行垂直条件中的系数关系写反.

题型 3. 直线的平行、垂直与夹角

题型识别：两直线方程或方向向量已知，要求判断位置关系、求夹角或求参数.

核心思路：一般式\(A_1x+B_1y+C_1=0\)中，平行看\(A_1B_2-A_2B_1=0\)，垂直看\(A_1A_2+B_1B_2=0\). 夹角用方向向量或斜率公式，最终取锐角.

解题步骤：

  1. 写出两线的法向量或方向向量；

  2. 先判断平行、重合、相交；

  3. 相交时计算夹角的正切或余弦；

  4. 对参数解逐一检查是否出现退化或重合.

易错点：夹角不取锐角；平行条件只能说明平行或重合；斜率乘积法漏掉斜率不存在情况.

题型 4. 两点、点线与平行线距离

题型识别：求两点距离、点到直线距离、两平行线距离，或由距离建立参数方程.

核心思路：先将直线统一为一般式. 点线距离是法向量方向的投影长度；平行线需先使\(A,B\)对应成比例，再比较常数项.

解题步骤：

  1. 两点距离直接使用坐标距离公式；

  2. 点线距离代入\(\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)；

  3. 平行线先统一\(A,B\)，再计算常数项之差；

  4. 参数题保留绝对值，分情况解出参数.

易错点：点线距离分母漏根号；未统一平行线系数；绝对值方程只取一支.

对称与最值

题型 1. 点、直线的对称变换

题型识别：求点关于点、直线的对称点，或求直线关于点、直线的对称直线.

核心思路：点关于点对称用中点公式；点关于直线对称利用连线垂直于对称轴且中点在轴上. 直线对称可取线上两个特殊点分别作对称，再连成像直线.

解题步骤：

  1. 点对点：直接用中点坐标反解；

  2. 点对线：设像点，列中点在线上和连线垂直条件；

  3. 线对称：选取两点或利用方向向量和一点分别变换；

  4. 验证原像连线的中垂线关系.

易错点：只保证中点在线上却未保证垂直；直线关于直线对称只取一个点；特殊竖直、水平对称轴符号处理错误.

题型 2. 具有几何意义的式子最值

题型识别：代数式可识别为两点距离、点线距离、向量模或其和差，要求最值或范围.

核心思路：先将式子翻译为几何距离，再用三角不等式、点到直线最短距离或圆的几何关系处理，避免直接展开复杂根式.

解题步骤：

  1. 配方、平移或识别模，写出对应点、线、圆；

  2. 判断动点所在轨迹与定点、定线的位置；

  3. 用最短距离或三角不等式给出界；

  4. 写出取等位置，确认其在允许轨迹上.

易错点：只写不等式不写取等；将距离差机械取绝对值；忽略动点活动范围.

圆与直线

题型 1. 求圆的方程

题型识别：已知圆心半径、直径端点、三点、切线或系数条件，要求圆的标准方程或一般方程.

核心思路：圆心半径已知用标准式；三点一般设\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)代入；直径端点先求中点和半径；切线条件可用圆心到直线距离.

解题步骤：

  1. 判断给定条件最适合标准式还是一般式；

  2. 三点问题代入列三元一次方程；

  3. 切线条件令圆心距等于半径；

  4. 配方或回代检查圆半径平方为正.

易错点：三点共线仍求圆；一般式漏掉\(x^2+y^2\)同系数；半径平方算出负数未排除.

题型 2. 直线与圆的位置关系及弦长

题型识别：求直线与圆相离、相切、相交的条件，或求被截弦长、参数范围.

核心思路：比较圆心到直线距离\(d\)与半径\(r\)；相交时弦长\(2\sqrt{r^2-d^2}\). 也可联立直线与圆，用判别式判断，但距离法通常更直接.

解题步骤：

  1. 求圆心到直线距离\(d\)；

  2. 比较\(d\)与\(r\)判断位置关系；

  3. 求弦长时作圆心到弦的垂线，使用勾股关系；

  4. 参数问题按\(d{\lt}r,d=r,d{\gt}r\)分情况解不等式.

易错点：弦长漏乘\(2\)；把圆心到直线距离当半弦长；判别式法中忽略斜率不存在的直线.

题型 3. 圆的切线、切点弦与切线长

题型识别：过圆上一点或圆外一点作切线，求切线方程、切点、切线长或切点弦关系.

核心思路：切线垂直于半径. 圆上一点的切线由“过该点且法向量为半径向量”写出；圆外点切线可设直线后令圆心距为半径，或利用切线长平方\(PT^2=PO^2-r^2\).

解题步骤：

  1. 先判断给定点在圆上、圆外还是圆内；

  2. 圆上点用半径垂直条件直接写切线；

  3. 圆外点设斜率或一般式，令圆心距等于\(r\)；

  4. 计算长度时使用直角三角形\(POT\).

易错点：圆内点误求实切线；圆上点切线漏掉竖直情形；切线长公式中把\(PO^2-r^2\)写反.

题型 4. 圆与圆的位置关系

题型识别：两圆的半径、圆心距或方程已知，要求判断相离、相切、相交，求公切线或公共弦.

核心思路：令圆心距为\(d\)，半径为\(r_1,r_2\)，比较\(d\)与\(r_1+r_2\)、\(|r_1-r_2|\). 公共弦是两圆方程相减得到的根轴，垂直于连心线.

解题步骤：

  1. 读出圆心、半径并计算\(d\)；

  2. 分类比较外离、外切、相交、内切、内含；

  3. 求公共弦时两圆一般式相减消去二次项；

  4. 公切线问题结合圆心到直线距离分别等于两半径.

易错点：内含与内切边界混淆；公共弦方程未检查相交；半径大小未先比较就去绝对值.

题型 5. 圆上动点最值

题型识别：动点在圆上、圆内或圆外，要求到定点、定线距离，弦长、面积或代数式的最值.

核心思路：将目标转化为圆心到定点、定线距离与半径的和差. 过定点弦长由圆心到该直线的距离决定；面积常转化为点到定线的距离.

解题步骤：

  1. 识别目标是点点距离、点线距离还是弦长；

  2. 计算圆心到定点或定线的距离\(d\)；

  3. 用\(d-r,d+r\)或\(2\sqrt{r^2-d^2}\)建立范围；

  4. 写出取到最值时的共线、垂直或直径位置.

易错点：圆心在目标线两侧时距离下界误写；弦长最值未限制过定点；面积底边与高对应错误.

题型 6. 隐圆与阿氏圆

题型识别：条件给出到两定点距离之比、定长与定角、含模的等式，要求求动点轨迹或圆的方程.

核心思路：先将条件转为距离关系. \(|PA|:|PB|=\lambda\ne1\)对应阿氏圆，\(\lambda=1\)对应中垂线；定长对定角常借助圆周角或相似转为圆.

解题步骤：

  1. 设动点坐标或直接用距离符号翻译条件；

  2. 平方、配方得到标准圆方程，或识别中垂线；

  3. 写出圆心和半径，并检查半径为正；

  4. 排除原条件中分母为零、端点等额外限制.

易错点：比值为\(1\)仍按阿氏圆处理；平方后引入不满足原式的点；忘记排除作为分母的距离为\(0\).