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直线与圆

直线

定义 1. 倾斜角与斜率（人教A选必一P51）

直线的倾斜角：直线朝上的方向与 (x )轴正向形成的夹角，叫做直线的倾斜角； 当直线与 (x )轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为 (0^ )，所以直线倾斜角

直线的倾斜角：直线朝上的方向与 (x )轴正向形成的夹角，叫做直线的倾斜角； 当直线与 (x )轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为 (0^ )，所以直线倾斜角 ( )的取值范围为 ( [0, ) ) 直线的斜率：设 (A(x_1,y_1) )， (B(x_2,y_2) )， (x_1 x_2 )，则直线 (AB )的斜率 (k= y_2 - y_1 x_2 - x_1 ) 直线的斜率 (k )与倾斜角 ( )的关系： (k = )，当 ( = 90^ )时，称直线的斜率不存在

定义 2. 直线的方程（人教A选必一P59）

c c c c 名称 条件 方程形式 不能表示的直线 点斜式 斜率 (k )，点 (P(x_0,y_0) ) (y - y_0 = k(x - x_0) ) 斜

c c c c 名称 条件 方程形式 不能表示的直线 点斜式 斜率 (k )，点 (P(x_0,y_0) ) (y - y_0 = k(x - x_0) ) 斜率不存在 的直线 斜截式 斜率 (k )， (y )轴上的截距 (b ) (y = kx + b ) 斜率不存在 的直线 横截式 5cm 倒斜率 (m (m= 1 k 或 m = 0) )， (x )轴上的截距 (t ) (x = my + t ) 斜率为0 的直线 截距式 (x )轴、 (y )轴上的截距 (a )、 (b ) ( x a + y b =1 ) 过原点 或 与坐标轴平行 的直线 两点式 (A(x_1,y_1) )， (B(x_2,y_2) ) ( y - y_1 y_2 - y_1 = x - x_1 x_2 - x_1 ) 与坐标轴垂直 的直线 一般式 / c (Ax + By + C = 0 ) （ (A,B )不同时为 (0 )） 无 【注意】截距式中的 a,b 均不为0,但是过原点的直线横截距和纵截距均为0；截距不是距离，因此可正可负.

题型 1. 直线过定点

若直线方程只含 (1 )个参数，则该直线很可能过定点. 例如，直线 (l )的方程为 (x - my+1 - m = 0 )，则可变形为 (x + 1 - m(

若直线方程只含 (1 )个参数，则该直线很可能过定点. 例如，直线 (l )的方程为 (x - my+1 - m = 0 )，则可变形为 (x + 1 - m(y + 1)=0 )，无论 (m )如何变化，点 (A(-1,-1) )始终满足该方程，所以直线 (l )过定点 (A ). 解决过定点问题常用的方法： 特殊值法：给方程中的参数取两个特殊值,可得关于 (x,y )的两个方程，解出的 (x,y )的值即为所求定点的坐标. 点斜式法：将含参数的直线方程写成点斜式 (y - y_0 = k(x - x_0) )，则直线必过定点 ((x_0,y_0) ). 分离参数法：将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程即 (A_1x + B_1y + C_1+ (A_2x + B_2y + C_2)=0 )的形式，则该方程表示的直线必过直线 (A_1x + B_1y + C_1 = 0 )或 (A_2x + B_2y + C_2 = 0 )的交点，而此交点就是定点. 比较这三种方法可知，方法一计算较繁琐； 方法二适用点斜式方程；方法三适用一般式方程.

定义 3. 直线的方向向量与法向量

方向向量：一般地，如果表示非零向量 ( a )的有向线段所在的直线与直线 (l ) 平行或重合，则称向量 ( a )为直线 (l )的一个方向向量，记作 ( a

方向向量：一般地，如果表示非零向量 ( a )的有向线段所在的直线与直线 (l ) 平行或重合，则称向量 ( a )为直线 (l )的一个方向向量，记作 ( a l ) 法向量：一般地，如果表示非零向量 ( a )的有向线段所在的直线与直线 (l ) 垂直，则称向量 ( a )为直线 (l )的一个法向量，记作 ( a l ) 如果 (A(x_1,y_1),B(x_2,y_2) )是直线 (l )上两个不同的点，则 ( AB =(x_2 - x_1,y_2 - y_1) )是直线 (l )的一个方向向量 若 ( a )为直线 (l )的方向向量，则向量 ( a )（ ( 0 )）也是 (l )的一个方向向量，且直线 (l )的任意方向向量共线 如果直线 (l )的一个方向向量为 ( a =(u,v) )， (u 0 )，则直线斜率 (k = v u )；（ (u = 0 )时，直线 (l )斜率不存在） 当直线 (l )的斜率为 (k )时， (l )的一个方向向量为 ( m = (1,k) ) 当直线 (l )的斜率不存在时， (l )的一个方向向量为 ( m = (0,1) ) 直线 Ax+By+C=0 的一个法向量为 (A,B) 若已知直线过定点 (x_0, y_0) ，法向量为 (A,B) ，则直线方程为 A(x-x_0) + B(y-y_0) = 0

定义 4. 直线与直线的夹角

平面中两条直线的夹角，指的是两条直线相交所形成的四个角中，角度最小的那个角.直线与直线的夹角 [0, 2 ] 0.8 设直线 (l_1 )的一个方向向量为 (

平面中两条直线的夹角，指的是两条直线相交所形成的四个角中，角度最小的那个角.直线与直线的夹角 [0, 2 ] 0.8 设直线 (l_1 )的一个方向向量为 ( m )，直线 (l_2 )的一个方向向量为 ( n )， (l_1 )与 (l_2 )的夹角为 ( )， 则 [ = < m , n > = m n m n ] 到角公式：直线 (l_1 )与直线 (l_2 )相交于一点，将 (l_1 )绕该点按逆时针方向旋转 ( _1 )角，此时两直线重合， ( _1 )角就叫做从 (l_1 )到 (l_2 )的角， 同理， ( _2 )角叫做从 (l_2 )到 (l_1 )的角， ( _1 )和 ( _2 )中较小的角为直线与直线的夹角 ( )，则有： [ _1 = k_2 - k_1 1 + k_1k_2 _2 = k_1 - k_2 1 + k_1k_2 = k_1 - k_2 1 + k_1k_2 ] 0.19 [scale=0.7, thick, >=stealth] % 定义交点和直线的方向角度 (O) at (0,0); 45 % l1 的倾斜角 110 % l2 的倾斜角 3 % 绘制直线 l1 和 l2 (使用暗灰色，突出向量) [gray] ( +180: ) -- ( : ) node[pos=0.9, left, black] l_1 ; [gray] ( +180: ) -- ( : ) node[pos=0.9, right, black] l_2 ; % 绘制 theta_1 (从 l1 到 l2，逆时针) [blue, fill=blue!10] (O) -- ( :0.8) arc ( : :0.8) -- cycle; [blue] at ( ( + )/2 :1.2) _1 ; % 绘制 theta_2 (从 l2 到 l1，逆时针) [red, fill=red!10] (O) -- ( :0.6) arc ( : +180:0.6) -- cycle; [red] at ( ( + +180)/2 :1) _2 ; % 绘制方向向量 m 和 n [->, very thick] (O) -- ( :2) node[below right] m ; [->, very thick] (O) -- ( :2) node[left] n ; % 绘制交点 (O) circle (2pt); %

定理 1. 两条直线的位置关系（人教A选必一P51）

c c c 位置关系 斜截式 一般式 (l_1:y = k_1x + b_1 l_2:y = k_2x + b_2 ) (l_1:A_1x + B_1y + C

c c c 位置关系 斜截式 一般式 (l_1:y = k_1x + b_1 l_2:y = k_2x + b_2 ) (l_1:A_1x + B_1y + C_1 = 0 l_2:A_2x + B_2y + C_2 = 0 ) 平行 (k_1 = k_2 ;且 ; b_1 b_2 ) ( A_1B_2 - A_2B_1 = 0 _1C_2 - B_2C_1 0 )或 ( A_1B_2 - A_2B_1 = 0 _1C_2 - A_2C_1 0 ) 相交 (k_1 k_2 ) (A_1B_2 - A_2B_1 0 ) 垂直 (k_1 k_2 = - 1 ) (A_1A_2 + B_1B_2 = 0 ) 重合 (k_1 = k_2 ;且 ; b_1 = b_2 ) (A_1B_2 - A_2B_1 = A_1C_2 - A_2C_1 = B_1C_2 - B_2C_1 = 0 ) 当用直线的斜率判定两条直线的平行、垂直等时，要注意斜率不存在的情况. 给定两条直线平行，求参数的值时，注意验证两条直线不能重合. 与直线 (Ax + By + C = 0 )平行的直线方程可设为 (Ax + By + M = 0 ;(M C) ). 与直线 (Ax + By + C = 0 )垂直的直线方程可设为 (Bx - Ay + N = 0 ).

定理 2. 两条直线的交点坐标（人教A选必一P70）

1. 已知直线： (l_1:A_1x + B_1y + C_1 = 0 )， (l_2:A_2x + B_2y + C_2 = 0 ) 相交的条件为不平行，即：

1. 已知直线： (l_1:A_1x + B_1y + C_1 = 0 )， (l_2:A_2x + B_2y + C_2 = 0 ) 相交的条件为不平行，即： (A_1B_2 - A_2B_1 0 )或 ( A_1 A_2 B_1 B_2 (A_2B_2 0) ) 联立两条直线的方程 ( A_1x + B_1y + C_1 = 0 _2x + B_2y + C_2 = 0 )，解二元一次方程组即可得到两条直线的交点坐标 2. 两条直线的位置关系与相应直线方程组成的二元一次方程组的解的联系 c c c c 两条直线 (l_1,l_2 )的公共点个数 一个 无数个 零个 方程组 ( A_1x + B_1y + C_1 = 0 _2x + B_2y + C_2 = 0 )的实数解 一组 无数个解 无解 直线 (l_1,l_2 )的位置关系 相交 重合 平行

定义 5. 交点直线系方程

过直线 ( l_1: f_1(x, y) = A_1x + B_1y + C_1 = 0 ) 与直线 ( l_2: f_2(x, y) = A_2x + B_2

过直线 ( l_1: f_1(x, y) = A_1x + B_1y + C_1 = 0 ) 与直线 ( l_2: f_2(x, y) = A_2x + B_2y + C_2 = 0 ) 的交点的直线系方程为： [ A_1x + B_1y + C_1 + (A_2x + B_2y + C_2) = 0 ]

结论 1. 距离公式

两点间的距离：设 (A(x_1,y_1) )， (B(x_2,y_2) )，则 ( AB = (x_1 - x_2)^2+(y_1 - y_2)^2 ) 直线上

两点间的距离：设 (A(x_1,y_1) )， (B(x_2,y_2) )，则 ( AB = (x_1 - x_2)^2+(y_1 - y_2)^2 ) 直线上两点间的距离：设 (A(x_1,y_1) )， (B(x_2,y_2) )， 若 (A )， (B )在直线 (y = kx + b )上，则 ( AB = 1 + k^2 x_1 - x_2 ) 若 (A )， (B )在直线 (x = my + t )上，则 ( AB = 1 + m^2 y_1 - y_2 ) 点到直线的距离：设点 (P(x_0,y_0) )，直线 (l:Ax + By+C = 0 )，则点 (P )到直线 (l )的距离 [d= Ax_0+By_0 + C A^2 + B^2 ] 平行直线间的距离：直线 (l_1:Ax + By+C_1 = 0 )与直线 (l_2:Ax + By+C_2 = 0 )， (C_1 C_2 )平行，之间的距离 [d= C_1 - C_2 A^2 + B^2 ] 【注意】平行线间的距离公式要求两条直线只有 (C_1,C_2 )不同，否则需先化简，或选择计算某点到另一条直线的距离.

题型 2. 最值问题

点 ( A )、 ( B )在直线 ( l )同侧，点 ( P )在直线 ( l )上，则 ( (AP + BP)_ = AB' )（当点 ( A )

点 ( A )、 ( B )在直线 ( l )同侧，点 ( P )在直线 ( l )上，则 ( (AP + BP)_ = AB' )（当点 ( A )、 ( P )、 ( B' )共线时取到）， 点 ( B' )是点 ( B )关于直线 ( l )的对称点； 点 ( A )、 ( B )在直线 ( l )同侧，点 ( P )在直线 ( l )上，则 ( AP - BP _ = AB )（当点 ( A )、 ( P )、 ( B )共线时取到）； 点 ( A )、 ( B )在直线 ( l )异侧，点 ( P )在直线 ( l )上，则 ( AP - BP _ = AB' )（当点 ( A )、 ( P )、 ( B' )共线时取到）， 点 ( B' )是点 ( B )关于直线 ( l )的对称点． 点 ( A )、 ( B )在直线 ( l )异侧，点 ( P )在直线 ( l )上，则 ( (AP + BP)_ = AB )（当点 ( A )、 ( P )、 ( B )共线时取到）. [scale=0.6] % 定义样式 dot =[circle, fill=black, inner sep=0.6pt] mainline =[semithick] helpline =[dashed, darkgray] % --- 图1：同侧和最小 (将军饮马) --- [shift= (0,0) ] (-1,0) -- (4,0) node[right] (l ) ; (A) at (0,2); (B) at (3,1); (B_prime) at (3,-1); % 对称点 (P) at (intersection of A--B_prime and -1,0--4,0); [helpline] (B) -- (B_prime) node[midway, right] ; [helpline] (A) -- (B_prime); [mainline] (A) -- (P) -- (B); [blue, ultra thick] (A) -- (B_prime); [dot, label=left: (A )] at (A) ; [dot, label=above: (B )] at (B) ; [dot, label=below: (B' )] at (B_prime) ; [dot, label= [yshift=2pt]below left: (P ) ] at (P) ; [below] at (1.5, -2) 1. 同侧和最小 ; % --- 图2：同侧差最大 --- [shift= (6,0) ] (-1,0) -- (4,0) node[right] (l ) ; (A) at (0,2); (B) at (1.5,1); % 计算交点 P，使 A, B, P 共线 (P) at (intersection of A--B and -1,0--4,0); [mainline] (P) -- (A); [blue, ultra thick] (A) -- (B); [dot, label=left: (A )] at (A) ; [dot, label=above: (B )] at (B) ; [dot, label=below: (P )] at (P) ; [below] at (1.5, -2) 2. 同侧差最大 ; % --- 图3：异侧差最大 --- [shift= (12,0) ] (-1,0) -- (4,0) node[right] (l ) ; (A) at (0,2); (B) at (1.5,-1); (B_prime) at (1.5,1); % 对称点 (P) at (intersection of A--B_prime and -1,0--4,0); [helpline] (B) -- (B_prime); [helpline] (B_prime) -- (P); [mainline] (A) -- (P); [mainline] (P) -- (B); [blue, ultra thick] (A) -- (B_prime); [dot, label=left: (A )] at (A) ; [dot, label=below: (B )] at (B) ; [dot, label=above: (B' )] at (B_prime) ; [dot, label=below: (P )] at (P) ; [below] at (1.5, -2) 3. 异侧差最大 ; % --- 图4：异侧和最小 --- [shift= (18,0) ] (-1,0) -- (4,0) node[right] (l ) ; (A) at (0,2); (B) at (3,-1); (P) at (intersection of A--B and -1,0--4,0); [mainline] (A) -- (B); [blue, ultra thick] (A) -- (B); [dot, label=left: (A )] at (A) ; [dot, label=below: (B )] at (B) ; [dot, label= [yshift=2pt]above right: (P ) ] at (P) ; [below] at (1.5, -2) 4. 异侧和最小 ;

题型 3. 具有几何意义的表达式

已知 ((x, y) ) 是某曲线上的动点或满足某个方程 斜率型： ( y - b x - a ) 表示动点 ((x, y) ) 与定点 ((a, b) ) 连

已知 ((x, y) ) 是某曲线上的动点或满足某个方程 斜率型： ( y - b x - a ) 表示动点 ((x, y) ) 与定点 ((a, b) ) 连线的斜率. 截距型： (ax + by ) ， 令 (t = ax + by )，则 (y = - a b x + t b )，可求过曲线上一点斜率为定值的直线纵截距，再乘 b . 到点的距离： ((x - a)^2 + (y - b)^2 ) ， 可先求 ( (x - a)^2 + (y - b)^2 ) ，即求动点 ((x, y) ) 到定点 ((a, b) ) 的距离. 到直线的距离： ( Ax + By + C ) ， 可先求 ( Ax + By + C a^2 + b^2 ) ，即求动点 ((x, y) ) 到定直线 (Ax + By + C = 0 ) 的距离. 以上问题也可考虑三角换元转化为代数问题计算，特别地，如果题目上有三角形式，也可考虑几何意义.

定义 6. 曼哈顿距离（湘教版必修二P263；人教B选修一P70-2）

在平面直角坐标系中，设点 (A(x_1,y_1) )， (B(x_2,y_2) )，则两点间的曼哈顿距离定义为： [ d(A,B) = x_1 - x_2 +

在平面直角坐标系中，设点 (A(x_1,y_1) )， (B(x_2,y_2) )，则两点间的曼哈顿距离定义为： [ d(A,B) = x_1 - x_2 + y_1 - y_2 ] 几何意义：从点 (A ) 沿坐标轴方向移动到点 (B ) 的最短路径长度（城市街区距离）. 0.7 等距离轨迹： 到原点曼哈顿距离为常数 (C ) 的点的轨迹方程为 ( x + y = C )，其图像是一个旋转 (45^ ) 的正方形. 点 (P(x_0, y_0) ) 到直线 (l ) 的曼哈顿距离 (d(P, l) ) 定义为： [ d(P, l) = _ Q l ( x_0 - x_Q + y_0 - y_Q ) ] 即从 (P ) 出发，沿水平或竖直方向移动到直线 (l ) 上任意点 (Q ) 的最短路径长度. 0.29 [scale=0.6, >=stealth] [->] (-2,0) -- (2,0) node[right] x ; [->] (0,-2) -- (0,2) node[left] y ; [thick] (1.5,0) -- (0,1.5) -- (-1.5,0) -- (0,-1.5) -- cycle; [below right, blue] at (1.5,0) ; at (2,1) x + y =C ; 求 ( x-a + x-b ) 的最小值：几何意义为数轴上点 (x ) 到 (a,b ) 距离之和，当 (x ) 在 (a,b ) 之间时取最小值 ( a-b ). 不等式 ( x-a + y-b r ) 表示一个中心在 ((a,b) )、旋转 (45^ ) 的正方形区域，面积为 (2r^2 ).

题型 4. 点关于点的对称

0.6 1、中点坐标公式：线段两端 (P(x_1,y_1) )和 (Q(x_2,y_2) )的中点为 [M( x_1 + x_2 2 , y_1 + y_2 2

0.6 1、中点坐标公式：线段两端 (P(x_1,y_1) )和 (Q(x_2,y_2) )的中点为 [M( x_1 + x_2 2 , y_1 + y_2 2 ) ] 2、点关于点对称：反过来， (P(x,y) )关于点 (M(x_0,y_0) )的对称点为 [Q( 2x_0 - x,2y_0 - y ) ] 0.39 [scale=1] % [->] (-2,0) -- (3,0) node[right] (x ) ; % [->] (0,-2) -- (0,3) node[above] (y ) ; (P) at (-1,-1); (M) at (0,0); (Q) at (1,1); [left] at (P) (P(x,y) ) ; [right] at (Q) (Q(2x_0 - x,2y_0 - y) ) ; [right] at (M) (M(x_0,y_0) ) ; [dashed] (P) -- (Q); (P) circle (1.5pt); (Q) circle (1.5pt); (M) circle (1.5pt);

题型 5. 点关于直线的对称

0.6 设 (P(x_0,y_0) )， (l:Ax + By + C = 0(A^2 + B^2 0) )，设 (P )关于 (l )的对称点的坐标 (Q(a

0.6 设 (P(x_0,y_0) )， (l:Ax + By + C = 0(A^2 + B^2 0) )，设 (P )关于 (l )的对称点的坐标 (Q(a,b) )，则 (l )是 (PQ )的垂直平分线，即 (PQ l )且 (PQ )的中点在 (l )上，解方程组 ( y_0 - b x_0 - a (- A B ) = -1 x_0 + a 2 +B y_0 + b 2 +C = 0 )即可. 事实上，点 ((x_0,y_0) )关于直线 (Ax + By + C = 0 )对称点的坐标为 0.39 [scale=1] % [->] (-2,0) -- (3,0) node[right] (x ) ; % [->] (0,-2) -- (0,3) node[above] (y ) ; (P) at (-1,-1); (Q) at (1,1); (M) at ( (P)!0.5!(Q) ); (-1,1) -- (1,-1) node[right] (l ) ; [left] at (P) (P(x_0,y_0) ) ; [right] at (Q) (Q(a,b) ) ; [right] at (M) (M( x_0 + a 2 , y_0 + b 2 ) ) ; [dashed] (P) -- (Q); (P) circle (1.5pt); (Q) circle (1.5pt); (M) circle (1.5pt); (x_0-2A Ax_0+By_0+C A^2+B^2 ,y_0-2B Ax_0+By_0+C A^2+B^2 )

题型 6. 直线关于点的对称

0.6 方法一：（一般性方法）可设所求的直线上任一点坐标为 ((x,y) )，再求它关于 (Q(x_0,y_0) )的对称点坐标，而它 的对称点在已知直线上，将

0.6 方法一：（一般性方法）可设所求的直线上任一点坐标为 ((x,y) )，再求它关于 (Q(x_0,y_0) )的对称点坐标，而它 的对称点在已知直线上，将其代入已知直线方程，便可得到关于 (x,y )的方程，即为所求的直线方程； 方法二：求一条直线关于点 (Q(x_0,y_0) )的对称直线方程时可在该直线上取两个特殊点，再求它们关于点 (Q )的 对称点坐标，然后利用两点式求其直线方程； 方法三：直线关于点（点不在直线上）对称的直线与该直线平行，则可以设出对称直线的方程，根据点到 两条直线的距离相等建立等量关系求解直线方程. 0.39 [scale=0.7, >=stealth, thick] % 定义对称中心 Q (Q) at (0,0); % 定义原直线上的基准点 P1 和直线方向向量的角度 (P1) at (-1,-1); 130 % 原直线的倾斜角设定 % 纯几何计算：P1 关于 Q 的中心对称点 P2 (P2) at ( (Q) + (Q) - (P1) ); % 绘制虚线连接对称点，并在两边稍微延伸 [dashed, thick] ( (P1) ) -- ( (P2) ); % 绘制已知直线 Ax + By + C = 0 (过 P1，向两端延伸) [thick] ( (P1) + ( :2.5) ) -- ( (P1) + ( +180:2.5) ) node[below, inner sep=3pt] Ax+By+C=0 ; % 绘制对称后的未知直线 (过 P2，平行于已知直线，向两端延伸) [dashed, thick] ( (P2) + ( :3) ) -- ( (P2) + ( +180:2) ); % 标注点 (x,y) (P2) circle (2.5pt) node[above right] (x,y) ; % 标注对称中心 Q (Q) circle (2.5pt) node[below] Q(x_0,y_0) ; % 标注已知直线上的对称点 (P1) circle (2.5pt) node[below left=2pt] (2x_0-x, 2y_0-y) ; % 事实上，直线 Ax+By+C=0 关于点 (x_0,y_0) 的对称直线为 Ax+By+C=2(Ax_0+By_0+C)

题型 7. 直线关于直线的对称

0.6 此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决， (1) 若已知直线 (l_1 )与对称轴 (l )相交，则交点必在与 (l_1 )对称的直线 (l_2

0.6 此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决， (1) 若已知直线 (l_1 )与对称轴 (l )相交，则交点必在与 (l_1 )对称的直线 (l_2 )上，然后再求出 (l_1 )上任一个已知点 (P_1 )关 于对称轴 (l )对称的点 (P_2 )，那么经过交点及点 (P_2 )的直线就是 (l_2 )； (2) 若已知直线 (l_1 )与对称轴 (l )平行，则与 (l_1 )对称的直线 (l_2 )和 (l_1 )到直线 (l )的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出 (l_1 )的对称直线 (l_2 ). 0.39 [scale=0.7, >=stealth, thick] % 定义交点 (O) at (0,0); % 定义对称轴的角度和长度 150 % 定义已知直线的角度和长度 15 % 几何推算：对称直线的角度 = 2*对称轴角度 - 原始直线角度 2* - % 绘制对称轴 Ax + By + C = 0 (向两端延伸) [thick] ( (O) + ( :2.2) ) node[above left] Ax+By+C=0 -- ( (O) + ( +180:2.5) ); % 绘制已知直线 Px + Qy + R = 0 (实线，向两端延伸) [thick] ( (O) + ( +180:2.4) ) node[below] Px+Qy+R=0 -- ( (O) + ( :2.5) ); % 绘制对称后的未知直线 (虚线，向两端延伸) [dashed, thick] ( (O) + ( :2.5) ) -- ( (O) + ( +180:3) ); % 标出三线交点 (O) circle (2.5pt); 事实上，直线 Px+Qy+R=0 关于直线 Ax+By+C=0 的对称直线为 Px+Qy+R Ax+By+C = 2(PA+QB) A^2+B^2

圆

定义 1. 圆的方程（人教A选必一P82）

0.72 平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点是圆心，定长是圆的半径. 标准方程： ((x - a)^2+(y - b)^2=r^2(r>0)

0.72 平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点是圆心，定长是圆的半径. 标准方程： ((x - a)^2+(y - b)^2=r^2(r>0) )，其中圆心为 ((a,b) )，半径为 (r ). 一般方程： (x^ 2 +y^ 2 +Dx + Ey+F = 0 )，其中 ( D^ 2 +E^ 2 -4F >0 ). (x^ 2 )和 (y^ 2 )项的系数相等且都不为零. 没有 (xy )这样的二次项. 0.27 [scale=0.5, >=stealth] % 坐标轴 [->] (-0.5,0) -- (4,0) node[right] x ; [->] (0,-0.5) -- (0,4) node[left] y ; % 圆心和半径参数 (C) at (2,2); 1.5 % 绘制圆 [thick] (C) circle ( ); % 绘制半径和点 (M) at ( (C) + (30: ) ); % 圆上一点 M [dashed] (C) -- (M) node[midway, above left] r ; [dashed] (C) -- (2,0) node[below] a ; [dashed] (C) -- (0,2) node[left] b ; % 标记点 (C) circle (1.5pt) node[below right] (a,b) ; (M) circle (1.5pt) node[above right] (x,y) ; % 原点 [below left] at (0,0) O ; 一般方程 (x^ 2 +y^ 2 +Dx + Ey+F = 0 )可化为 ( (x+ D 2 )^ 2 + (y+ E 2 )^ 2 = D^ 2 +E^ 2 -4F 4 ) (1)当 (D^ 2 +E^ 2 -4F>0 )时，方程表示以 ( (- D 2 ,- E 2 ) )为圆心， ( 1 2 D^ 2 +E^ 2 -4F )为半径的圆. (2)当 (D^ 2 +E^ 2 -4F = 0 )时，方程只有一根，它表示一个点 ( (- D 2 ,- E 2 ) ). (3)当 (D^ 2 +E^ 2 -4F<0 )时，方程没有实根，因而它不表示任何图形.

题型 1. 求圆的方程

设一般式方程 (x^ 2 +y^ 2 +Dx + Ey+F = 0 )，建立关于系数 (D )， (E )， (F )的方程组，解方程组.当已知圆上三点时，常用

设一般式方程 (x^ 2 +y^ 2 +Dx + Ey+F = 0 )，建立关于系数 (D )， (E )， (F )的方程组，解方程组.当已知圆上三点时，常用这种方法. 设圆心，利用圆心到圆上点的距离都等于半径建立方程求圆心.已知圆心性质时常用此法. 找圆心（弦的中垂线过圆心）、求半径.

定义 2. 圆系方程

过直线 ( l: Ax + By + C = 0 ) 与圆 ( C: x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 ) 交点的圆系方程： [ x^2

过直线 ( l: Ax + By + C = 0 ) 与圆 ( C: x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 ) 交点的圆系方程： [ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F + (Ax + By + C) = 0 ] 若已知直线与已知圆有两个交点，则 ( f_1(x, y) + f_2(x, y) = 0 )，表示一系列过这两个交点的圆， 若已知直线与已知圆相切，则 ( f_1(x, y) + f_2(x, y) = 0 )，表示一系列过这个切点且与已知直线和已知圆相切的圆． 过两已知圆 ( C_1: x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0 ) 和 ( C_2: x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0 ) 交点的圆系方程为： [ x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 + (x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2) = 0 ] ( ( -1 )) 若 ( = -1 ) 时，变为 ( (D_1 - D_2)x + (E_1 - E_2)y + F_1 - F_2 = 0 )，则表示过两圆的交点的直线．

题型 2. 圆的对称性问题

圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. 圆关于点对称 求已知圆关于某点的对称的圆的方程，只需要确定所求圆的圆心，即可写出标准方程； 两圆关于某点对称，则此点为

圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. 圆关于点对称 求已知圆关于某点的对称的圆的方程，只需要确定所求圆的圆心，即可写出标准方程； 两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. 圆关于直线对称 求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程； 两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.

结论 1. 点与圆的位置关系

几何法： 已知点 (M(x_0,y_0) )，圆 (C:(x - a)^2+(y - b)^2=r^2 )，记 ( CM = d ). c c c c 点到圆心

几何法： 已知点 (M(x_0,y_0) )，圆 (C:(x - a)^2+(y - b)^2=r^2 )，记 ( CM = d ). c c c c 点到圆心的距离 (d < r ) (d = r ) (d > r ) 点和圆的位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外 过点可作切线数量 无 1 2 代数法 ：设 (P(x_0,y_0) )，圆 (C:(x - a)^2+(y - b)^2=r^2 )（或 (x^ 2 +y^ 2 +Dx + Ey+F = 0 )） 点 (P )在圆 (C ) 外 ( (x_0 - a)^2+(y_0 - b)^2> r^2 )（或 (x_ 0 ^ 2 +y_ 0 ^ 2 +Dx_0 + Ey_0+F>0 )）； 点 (P )在圆 (C ) 上 ( (x_0 - a)^2+(y_0 - b)^2= r^2 )（或 (x_ 0 ^ 2 +y_ 0 ^ 2 +Dx_0 + Ey_0+F = 0 )）； 点 (P )在圆 (C ) 内 ( (x_0 - a)^2+(y_0 - b)^2< r^2 )（或 (x_ 0 ^ 2 +y_ 0 ^ 2 +Dx_0 + Ey_0+F<0 )）.

结论 2. 直线与圆的位置关系

代数法： 判断直线 (Ax + By + C = 0 )和圆 (x^ 2 +y^ 2 +Dx + Ey+F = 0 )的位置关系时，联立方程 ( Ax + By

代数法： 判断直线 (Ax + By + C = 0 )和圆 (x^ 2 +y^ 2 +Dx + Ey+F = 0 )的位置关系时，联立方程 ( Ax + By + C = 0 x^ 2 +y^ 2 +Dx + Ey+F = 0 )，消去 (y )（或 (x )），得 (mx^ 2 +nx + p = 0 )或（ (my^ 2 +ny + p = 0 )）， 当方程组有两组实数解，即 ( > 0 )时，直线与圆相交，有两个公共点； 当方程组有一组实数解，即 ( = 0 )时，直线与圆相切，有一个公共点； 当方程组没有实数解，即 ( < 0 )时，直线与圆相离，没有公共点. 几何法 ：判断直线 (l:Ax + By + C = 0 )与圆 (C:(x - a)^2+(y - b)^2=r^2 )的位置关系的步骤 计算圆心 (C(a,b) )到直线 (l )的距离 (d= Aa + Bb + C A^ 2 +B^ 2 )，将 (d )和 (r )进行比较： 若 (d> r )，则直线和圆 相离 ，有 0 个公共点； 若 (d = r )，则直线和圆 相切 ，有 1 个公共点； 若 (d< r )，则直线和圆 相交 ，有 2 个公共点. 弦长计算 ：当直线与圆相交于 A , B 两点时 ，设圆心 (C )到直线 (l )的距离 (d )，则弦长 ( AB = 2 r^ 2 -d^ 2 ).

题型 3. 点在圆外引出的切线问题

如图，点 P(x_0, y_0) 在圆 (C:(x - a)^2+(y - b)^2=r^2 )外，过点 P 可做圆的两条切线，设切点为 A 、 B ，连接 A

如图，点 P(x_0, y_0) 在圆 (C:(x - a)^2+(y - b)^2=r^2 )外，过点 P 可做圆的两条切线，设切点为 A 、 B ，连接 AB . 0.7 [label= . ] 求切线方程： 设切线方程为 (y - y_0 = k(x-x_0) )（需考虑斜率不存在），由圆心到切线的距离等于半径求解 (k ). 求切线长： ( PA = PB = PC ^ 2 -r^ 2 ).（ PC 最短时，切线长最短） 求切点弦方程： (P )， (A )， (C )， (B )四点都在以 (PC )为直径的圆上， (AB )恰好为该圆与圆 (C )的公共弦，可由两圆的方程作差即可求得直线 (AB )的方程. 结论：直线 AB 方程为： ( (x_0 - a)(x - a)+(y_0 - b)(y - b)=r^2 ) 求切点弦长： AB = 2 r^2 - d^2 ， d 为圆心到直线 AB 的距离. 四边形 (PACB )的面积 (S = 1 2 PC AB = r PA ) 0.29 [scale=0.6, >=stealth] % 定义圆心 C 和圆外一点 P (C) at (0,0); (P) at (5,0); 2.5 % 圆 C 的半径 % 计算 PC 距离，用于后续推算 5 % 利用反三角计算切点角度 theta，满足 cos(theta) = r / PC acos( / ) (A) at ( : ); (B) at (- : ); % 定义弦 AB 与 PC 的交点 D (D) at ( cos( ) , 0); % 1. 绘制基准圆 C (C) circle ( ); % 3. 连线 (C) -- (P); % 连心线 (P) -- (A) -- (C); % 上半部分三角形 (P) -- (B) -- (C); % 下半部分三角形 (A) -- (B); % 切点弦 % 将切点弦向两端延长一点，体现是一条“直线” ( (A)!-0.2!(B) ) -- ( (B)!-0.2!(A) ); % 4. 标注点 (C) circle (2.5pt) node[left] C ; (P) circle (2.5pt) node[right] P ; (A) circle (2.5pt) node[above right] A ; (B) circle (2.5pt) node[below right] B ; (D) circle (2.5pt) node[below left=2pt] D ;

题型 4. 点在圆上或圆内引出的弦问题

0.7 如图，点 P(x_0, y_0) 在圆 (C:(x - a)^2+(y - b)^2=r^2 )上，过点 P 可做圆的一条切线， 该切线方程为： ( (

0.7 如图，点 P(x_0, y_0) 在圆 (C:(x - a)^2+(y - b)^2=r^2 )上，过点 P 可做圆的一条切线， 该切线方程为： ( (x_0 - a)(x - a)+(y_0 - b)(y - b)=r^2 ) 0.29 [scale=0.7, >=stealth] (C) at (0,0); 1.4 (C) circle ( ); (C) circle (1.5pt) node[below] C ; (P) at (120: ); [dashed] (C) -- (P); (P) circle (1.5pt) node[above left] P ; % 绘制切线 ( (P)!1cm!90:(C) ) -- ( (P)!1cm!-90:(C) ); 0.7 如图，点 P(x_0, y_0) 在圆 (C:(x - a)^2+(y - b)^2=r^2 )内，过点 P 的弦中： 最长弦为直径，所在直线方程为： y - y_0 = y_0 - b x_0 - a (x-x_0) 最短弦与 PC 垂直，所在直线方程为： ( (x_0 - a)(x - x_0)+(y_0 - b)(y - y_0)=0 ) 0.29 [scale=0.7, >=stealth] (C) at (0,0); 1.4 (C) circle ( ); (C) circle (1.5pt) node[right] C ; (P) at (120:0.7); (P) circle (1.5pt) node[left] P ; % 最长弦（直径） (120: ) -- (300: ); % 最短弦（垂直于CP的弦） % r=1.4, d=0.7, half_len = sqrt(1.4^2 - 0.7^2) approx 1.212 ( (P) + (30:1.212) ) -- ( (P) + (210:1.212) ); 【总结】设点 (P(x_0,y_0) )，将圆的标准方程 ((x - a)^2+(y - b)^2=r^2 )变成 [ (x - a)(x_0 - a)+(y - b)(y_0 - b)=r^2 ] 或将一般方程 (x^ 2 +y^ 2 +Dx + Ey+F = 0 )变成 [ x_0x+y_0y+D x+x_0 2 + E y+y_0 2 +F = 0 ] 当 (P )在圆上时，该方程表示过 P 点的切线方程； 当 (P )在圆外时，该方程表示切点弦所在直线的方程.

结论 3. 圆与圆的位置关系

几何法 : 设两圆 (C_1 )和 (C_2 )的半径分别为 (r_1 )和 (r_2 )（ (r_1 > r_2 )），记圆心距为 (d )， 则从两圆

几何法 : 设两圆 (C_1 )和 (C_2 )的半径分别为 (r_1 )和 (r_2 )（ (r_1 > r_2 )），记圆心距为 (d )， 则从两圆圆心重合开始，小圆向外运动的过程中两圆位置关系如下： c c c c c c 圆心距范围 ((0,r_1 - r_2) ) (r_1 - r_2 ) ((r_1 - r_2,r_1 + r_2) ) (r_1 + r_2 ) ((r_1 + r_2,+ ) ) 位置关系 内含 内切 相交 外切 外离 公切线数量 无 1 2 3 4 0.60 代数法: 两圆的位置关系也可以利用两圆方程所构成的方程组的解判断： 当方程组无解时，两圆外离或者内含； 当方程组只有一解时，两圆外切或者内切； 当方程组有两解时，两圆相交. 0.39 [scale=0.55, >=stealth] % 大圆半径 R = 3.5, 小圆半径 r = 1 (O) at (0,0); (O) circle (3.5); (O) circle (2pt) node[above] O ; % D: 外切 (角度 75) (D) at (75:4.5); (D) circle (1); (D) circle (2pt) node[right=2pt] D ; [dashed] (O) -- (75:3.5); (75:3.5) -- (D); (75:3.5) circle (2pt); % E: 外离 (角度 0) (E) at (0:6); (E) circle (1); (E) circle (2pt) node[right] E ; [dashed] (O) -- (0:5); (0:5) -- (E); (0:3.5) circle (2pt); (0:5) circle (2pt); % C: 相交 (角度 145) (C) at (145:3); (C) circle (1); (C) circle (2pt) node[right=2pt] C ; [dashed] (O) -- (C); (C) -- (145:4); (145:3.5) circle (2pt); (145:4) circle (2pt); % B: 内切 (角度 215) (B) at (215:2.5); (B) circle (1); (B) circle (2pt) node[left=2pt] B ; [dashed] (O) -- (B); (B) -- (215:3.5); (215:3.5) circle (2pt); % A: 内含 (角度 290) (A) at (290:1.3); (A) circle (1); (A) circle (2pt) node[left=2pt] A ; [dashed] (O) -- (A); (A) -- (290:2.3); [dashed] (290:2.3) -- (290:3.5); (290:2.3) circle (2pt); (290:3.5) circle (2pt);

题型 5. 圆上到直线距离为定值的点的个数

设圆心 ( C )到直线 ( l )的距离为 ( d )，圆 ( C )半径为 ( r )，圆上到直线距离为定值 ( m )的点的个数的情况如下： c c c

设圆心 ( C )到直线 ( l )的距离为 ( d )，圆 ( C )半径为 ( r )，圆上到直线距离为定值 ( m )的点的个数的情况如下： c c c 直线与圆位置关系 ( m ) 的范围 圆上点的个数 4 * [scale=0.35] mycircle =[draw=black, thick] line =[draw=black, thick] point =[circle, fill=black, inner sep=1pt] % 绘制圆和直线 [mycircle] (0,0) circle (2cm); [line] (-3,0) -- (3,0); % 标注圆心 [point] (C) at (0,0) ; [above right] at (C) (C ) ; % 标注情况 [below] at (0,-1.8) 过圆心 ( (d=0 )) ; ( m = 0 ) 2 个 ( 0 < m < r ) 4 个 ( m = r ) 2 个 ( m > r ) 0 个 6 * [scale=0.35] mycircle =[draw=black, thick] line =[draw=black, thick] point =[circle, fill=black, inner sep=1pt] % 绘制圆和直线 [mycircle] (0,0) circle (2cm); [line] (-3,-1) -- (3,-1); % 标注圆心 [point] (C) at (0,0) ; [above right] at (C) (C ) ; % 标注交点 [point] (A) at (-1.732,-1) ; [point] (B) at (1.732,-1) ; [below left] at (A) (A ) ; [below right] at (B) (B ) ; % 标注情况 [below=0.5cm] at (0,-2) 相交且不过圆心（ ( 0 < d < r )） ; ( m = 0 ) 2 个 ( 0 < m < r - d ) 4 个 ( m = r - d ) 3 个 ( r - d < m < r + d ) 2 个 ( m = r + d ) 1 个 ( m > r + d ) 0 个 4 * [scale=0.35] mycircle =[draw=black, thick] line =[draw=black, thick] point =[circle, fill=black, inner sep=1pt] % 绘制圆和直线 [mycircle] (0,0) circle (2cm); [line] (-3,-2) -- (3,-2); % 标注圆心 [point] (C) at (0,0) ; [above right] at (C) (C ) ; % 标注切点 [point] (T) at (0,-2) ; [above right] at (T) (T ) ; % 标注情况 [below] at (0,-1.8) 相切（ ( d = r )） ; ( m = 0 ) 1 个 ( 0 < m < 2r ) 2 个 ( m = 2r ) 1 个 ( m > 2r ) 0 个 5 * [scale=0.35] mycircle =[draw=black, thick] line =[draw=black, thick] point =[circle, fill=black, inner sep=1pt] % 绘制圆和直线 [mycircle] (0,0) circle (2cm); [line] (-3,-3) -- (3,-3); % 标注圆心 [point] (C) at (0,0) ; [above right] at (C) (C ) ; % 标注情况 [below=0.6cm] at (0,-1.8) 相离 ( (d > r )) ; ( 0 m < d - r ) 0 个 ( m = d - r ) 1 个 ( d - r < m < d + r ) 2 个 ( m = d + r ) 1 个 ( m > d + r ) 0 个

结论 4. 圆与圆的公共弦方程

当两圆相交时，设两圆的一般方程为： C_1: x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0 C_2: x^2 + y^2 + D_2x +

当两圆相交时，设两圆的一般方程为： C_1: x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0 C_2: x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0 将两方程作差消去 ( x^2 ) 和 ( y^2 ) 项，得到的一次直线方程： [ (D_1 - D_2)x + (E_1 - E_2)y + (F_1 - F_2) = 0 ] 即为两圆公共弦所在直线的方程（公共弦是两圆交点连成的线段，其所在直线由上述方程表示）. 证明： 必要性：公共弦上的点满足相减后的方程 设两圆的交点为 ( A(x_1, y_1) ) 和 ( B(x_2, y_2) )，由于 ( A )、 ( B ) 同时在两圆上，故满足： [ x_1^2 + y_1^2 + D_1x_1 + E_1y_1 + F_1 = 0 (1) x_1^2 + y_1^2 + D_2x_1 + E_2y_1 + F_2 = 0 (2) x_2^2 + y_2^2 + D_1x_2 + E_1y_2 + F_1 = 0 (3) x_2^2 + y_2^2 + D_2x_2 + E_2y_2 + F_2 = 0 (4) ] 将 (1) - (2)，消去 ( x_1^2 + y_1^2 )，得： (D_1 - D_2)x_1 + (E_1 - E_2)y_1 + (F_1 - F_2) = 0 (5) 同理，(3) - (4) 得： (D_1 - D_2)x_2 + (E_1 - E_2)y_2 + (F_1 - F_2) = 0 (6) 式 (5) 和 (6) 表明：交点 ( A,B ) 都在直线 ( (D_1 - D_2)x + (E_1 - E_2)y + (F_1 - F_2) = 0 ) 上，即公共弦所在直线必为该方程. 充分性：相减后的直线是公共弦所在直线 两圆相交时，相减得到的方程是 一次方程（直线）. 由于两圆仅交于 ( A,B ) 两点，而直线与圆的交点最多为 2 个，因此： 该直线与两圆的交点只能是 ( A,B )，即直线恰好是公共弦所在的直线. 【注意】： 若两圆 相切，相减得到的是公切线（切点在直线上）； 若两圆 相离，相减得到的是根轴（与两圆连心线垂直，到两圆切线长相等的点的轨迹）. 若两圆的 ( x^2,y^2 ) 项系数不同（如 ( C_1: A_1x^2 + A_1y^2 + = 0 )， ( C_2: A_2x^2 + A_2y^2 + = 0 )），需先统一系数（如两边同除以 ( A_1,A_2 )），再作差.

结论 5. 两圆的公切线方程

内公切线：两圆圆心在直线两侧 ； 外公切线：两圆圆心在直线一侧 两圆内切或外切时的公切线 联立 C_1, C_2 ，求公共点坐标，利用 k_ O_1O_2 k

内公切线：两圆圆心在直线两侧 ； 外公切线：两圆圆心在直线一侧 两圆内切或外切时的公切线 联立 C_1, C_2 ，求公共点坐标，利用 k_ O_1O_2 k = -1 求直线斜率，用点斜式求直线方程 . 事实上可以证明，直接用两圆方程作差消去平方项所得直线方程即为公切线方程. 0.49 [scale=0.6, >=stealth] (O1) at (-1.5, 0); (O2) at (2, 0); (O1) circle (1.5); (O2) circle (2); [dashed] (O1) -- (O2); (O1) circle (1.5pt); (O2) circle (1.5pt); (0, -2.4) -- (0, 2.4); 0.49 [scale=0.6, >=stealth] (O1) at (0, 0); (O2) at (1, 0); (O1) circle (2.5); (O2) circle (1.5); [dashed] (O1) -- (O2); (O1) circle (1.5pt); (O2) circle (1.5pt); (2.5, -2.9) -- (2.5, 2.9); 两圆相交，外切，相离时的公切线 代数方法：设直线为 ( Ax + By + C = 0 ) 为公切线. 圆 ( C_1 ) 的圆心 ( ( - D_1 2 , - E_1 2 ) )，半径 ( r_1 )； 圆 ( C_2 ) 的圆心 ( ( - D_2 2 , - E_2 2 ) )，半径 ( r_2 ). 由点到直线的距离公式，公切线到两圆心的距离分别等于半径，故有： [ A (- D_1 2 ) + B (- E_1 2 ) + C A^2 + B^2 = r_1 1 A (- D_2 2 ) + B (- E_2 2 ) + C A^2 + B^2 = r_2 2 ] 将两式两边同乘 ( A^2 + B^2 ) 后，整理得： [ r_2 - AD_1 2 - BE_1 2 + C = r_1 - AD_2 2 - BE_2 2 + C ] 可通过分类讨论去除绝对值符号（避免平方引入增根），求解参数 ( A,B )（利用比例关系，可设其中一个系数为1简化计算）. 几何方法： 对称法： 若存在一条公切线的斜率为 ( 0 )（水平直线）或斜率不存在（垂直直线），则另一条公切线与此直线关于两圆圆心的连线 ( l_ C_1C_2 ) 对称. 问题转化为求关于直线对称的直线方程问题（可通过对称点公式或几何对称性推导）. 交点法：若两个圆半径不相等，两条公切线一定交于一点， 设交点坐标为 ( P(x, y) )，构造相似三角形（如 ( PC_2 T PC_1 S )，其中 ( T,S ) 为公切线与两圆的切点）有： [ PC_1 PC_2 = r_1 r_2 C_1P PC_2 = r_1 r_2 ] 求出 ( P ) 坐标， 问题转化为求过圆外一点的切线方程问题，按切线方程的常规方法（如点斜式结合距离公式、代数法等）求解.

结论 6. 公切线长度

外公切线长：平移一条公切线使之过圆心，则切线长 ( ST = C_1C_2 ^2 - (r_2 - r_1)^2 ) 内公切线长：平移一条公切线使之过圆心，则切

外公切线长：平移一条公切线使之过圆心，则切线长 ( ST = C_1C_2 ^2 - (r_2 - r_1)^2 ) 内公切线长：平移一条公切线使之过圆心，则切线长 ( ST = C_1C_2 ^2 - (r_2 + r_1)^2 ) 0.59 [scale=0.55, >=stealth] (P) at (0,0); (C1) at (2.5,0); (C2) at (6.25,0); 1 2.5 asin(0.4) (C1) circle ( ); (C2) circle ( ); (S1) at ( (C1) + (90+ : ) ); (T1) at ( (C2) + (90+ : ) ); (S2) at ( (C1) + (-90- : ) ); (T2) at ( (C2) + (-90- : ) ); ( (P) + (180+ :1) ) -- ( (T1) + ( :1.5) ); ( (P) + (180- :1) ) -- ( (T2) + (- :1.5) ); [dashed] ( (P) + (180:1) ) -- (C1); (H) at ( (C2) + (90+ : - ) ); [thick, blue] (C1) -- (C2) -- (H) -- cycle; (C1) -- (S1); (H) -- (T1); [left=1pt] at ( (C1)!0.5!(S1) ) r_1 ; [right=1pt] at ( (H)!0.5!(T1) ) r_2 ; (P) circle (2pt) node[below] P ; (C1) circle (2pt) node[below] C_1 ; (C2) circle (2pt) node[below] C_2 ; (S1) circle (2pt) node[above left=-2pt] S ; (T1) circle (2pt) node[above] T ; (H) circle (2pt); 0.39 [scale=0.55, >=stealth] (P) at (0,0); (C1) at (-2.6,0); (C2) at (3.5,0); 1.3 1.75 30 (C1) circle ( ); (C2) circle ( ); (S) at ( (C1) + (90- : ) ); (T) at ( (C2) + (-90- : ) ); (S2) at ( (C1) + (-90+ : ) ); (T2) at ( (C2) + (90+ : ) ); ( (S) + (180- :1.5) ) -- ( (T) + (- :1.5) ); ( (S2) + (180+ :1.5) ) -- ( (T2) + ( :1.5) ); (H) at ( (S) + (90- : ) ); [thick, blue] (C1) -- (C2) -- (H) -- cycle; (C2) -- (T); [above left=-2pt] at ( (C1)!0.5!(S) ) r_1 ; [below right=-2pt] at ( (C2)!0.5!(T) ) r_2 ; (P) circle (2pt) node[below] P ; (C1) circle (2pt) node[below] C_1 ; (C2) circle (2pt) node[below] C_2 ; (S) circle (2pt) node[above] S ; (T) circle (2pt) node[below] T ; (H) circle (2pt);

题型 6. 圆中的最值问题

1. 几何法（五个基本模型， (r )为圆 (C )的半径） 模型1： (M )为圆 (C )外一定点， (P )为圆 (C )上的动点，则 ( MC - r

1. 几何法（五个基本模型， (r )为圆 (C )的半径） 模型1： (M )为圆 (C )外一定点， (P )为圆 (C )上的动点，则 ( MC - r PM MC + r ) 模型2： (M )为圆 (C )内一定点， (P )为圆 (C )上的动点，则 ( r- CM PM r+ CM ) 模型3：设直线 (l )与圆 (C )相离，圆心 (C )到直线 (l )的距离为 (d )，则圆上动点 (P )到直线 (l )的距离的取值范围为 ([d - r,d + r] ) 模型4：设直线 (l )与圆 (C )相交，圆心 (C )到直线 (l )的距离为 (d )，则圆上动点 (P )到直线 (l )的距离的最大值为 (d + r ) 模型5：过圆 (C )内一定点 (P )作圆的弦，最长的弦为 圆的直径 ，最短的弦与 (PC ) 垂直，弦长 (L = 2 r^ 2 -d^ 2 )（ (d )为圆心 (C )到弦的距离）. [scale=0.85, >=stealth] % 图1 [xshift=-8cm] (C) at (0,0); (C) circle (1); 145 (M) at ( :2); (P1) at ( :1); (P2) at ( -180:1); (M) -- (P2); (P) at (200:1); [thick, blue] (M) -- (P); (C) circle (1.5pt) node[below] C ; (M) circle (1.5pt) node[left] M ; (P1) circle (1.5pt) node[above left=-2pt] P_1 ; (P2) circle (1.5pt) node[below right=-2pt] P_2 ; (P) circle (1.5pt) node[below left=-2pt] P ; at (0, -1.6) 图1 ; % 图2 [xshift=-4cm] (C) at (0,0); (C) circle (1); 145 (M) at ( :0.5); (P1) at ( :1); (P2) at ( -180:1); (P1) -- (P2); (P) at (40:1); [thick, blue] (M) -- (P); (C) circle (1.5pt) node[below right=-2pt] C ; (M) circle (1.5pt) node[below left=-2pt] M ; (P1) circle (1.5pt) node[above left=-2pt] P_1 ; (P2) circle (1.5pt) node[below right=-2pt] P_2 ; (P) circle (1.5pt) node[above right=-2pt] P ; at (0, -1.6) 图2 ; % 图3 [xshift=0cm] (C) at (0,0); (C) circle (1); 130 (H) at ( :1.6); ( (H)+( -90:0.8) ) -- ( (H)+( +90:1.4) ) node[left] l ; (P1) at ( :1); (P2) at ( -180:1); (P2) -- (H); (P) at (210:1); (PH) at ( (H)!(P)!( (H)+( +90:1) ) ); [thick, blue] (P) -- (PH); (HC) at ( (H)!0.15cm!(C) ); (HL) at ( (H)!0.15cm!( (H)+( -90:1) ) ); (HC) -- ( (HC)+(HL)-(H) ) -- (HL); (dirP) at ( (PH)!0.15cm!(P) ); (dirL) at ( (PH)!0.15cm!( (PH)+( -90:1) ) ); [thick, blue] (dirP) -- ( (dirP)+(dirL)-(PH) ) -- (dirL); (C) circle (1.5pt) node[below] C ; (P1) circle (1.5pt) node[above right=-2pt] P_1 ; (P2) circle (1.5pt) node[below right=-2pt] P_2 ; (P) circle (1.5pt) node[below left=-2pt] P ; at (0, -1.6) 图3 ; % 图4 [xshift=4cm] (C) at (0,0); (C) circle (1); 130 (H) at ( :0.5); ( (H)+( -90:1.4) ) -- ( (H)+( +90:1.4) ) node[right] l ; (P1) at ( :1); (P0) at ( -180:1); (P0) -- (P1); (P) at (-10:1); (PH) at ( (H)!(P)!( (H)+( +90:1) ) ); [thick, blue] (P) -- (PH); (HC) at ( (H)!0.15cm!(C) ); (HL) at ( (H)!0.15cm!( (H)+( -90:1) ) ); (HC) -- ( (HC)+(HL)-(H) ) -- (HL); (dirP) at ( (PH)!0.15cm!(P) ); (dirL) at ( (PH)!0.15cm!( (PH)+( -90:1) ) ); [thick, blue] (dirP) -- ( (dirP)+(dirL)-(PH) ) -- (dirL); (C) circle (1.5pt) node[below] C ; (P0) circle (1.5pt) node[below right=-2pt] P_0 ; (P) circle (1.5pt) node[right=1pt] P ; at (0, -1.6) 图4 ; % 图5 [xshift=8cm] (C) at (0,0); (C) circle (1); 135 0.6 (P) at ( : ); sqrt(1 - ) (A') at ( (P)+( +90: ) ); (B') at ( (P)+( -90: ) ); (A') node[left] A' -- (B') node[right] B' ; 80 cos( - ) - - sqrt( - + 1) - + sqrt( - + 1) (A) at ( (P)+( : ) ); (B) at ( (P)+( : ) ); (H) at ( (A)!(C)!(B) ); [gray!40] (C) -- (P) -- (H) -- cycle; [thick, blue] (A) node[below left=-3pt] A -- (B) node[above right=-3pt] B ; (C) -- (P); (C) -- (H); at ( (C)!0.5!(H) ) [below left=-2pt] d ; (C) circle (1.5pt) node[below] C ; (P) circle (1.5pt) node[left=-2pt] P ; at (0, -1.6) 图5 ; 2. 代数法：设圆 (C:(x - a)^2+(y - b)^2=r^2(r>0) )，可将其方程变形成 (( x - a r )^2+( y - b r )^2 = 1 )，在 三角函数那部分，我们知道 ( ^ 2 + ^ 2 = 1 )，所以可据此进行三角换元， 0.7 令 ( x - a r = y - b r = )，从而 ( x = a + r y = b + r )， 故对于圆 (C )上的动点 (P )，可将其坐标设为 ((a + r ,b + r ) )（这种设法中 ( )的几何意义可参考下图），将求最值的目标表示成关于 ( )的三角函数，借助三角函数求最值. 0.29 [scale=0.85, >=stealth] [->] (-0.5, 0) -- (3.8, 0) node[right] x ; [->] (0, -0.5) -- (0, 3.8) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; (C) at (2.5, 2); [dashed] (C) -- (2.5, 0) node[below] a ; [dashed] (C) -- (0, 2) node[left] b ; (C) circle (1.5pt) node[below left=0pt] C ; 1.5 (C) circle ( ); (CR) at ( (C)+( ,0) ); (C) -- (CR); 45 (P) at ( (C)+( : ) ); (Px) at ( (C)+( cos( ) ,0) ); (C) -- (P) node[midway, above left=-3pt] r ; (P) -- (Px); [above right=-2pt] at (P) P ; ( (C)+(0.35,0) ) arc (0: :0.35) node[midway, right=0pt, yshift=2pt] ; % r cos theta notation [<->] ( (C)+(0,-0.3) ) -- ( (Px)+(0,-0.3) ); (rcos) at ( (C)+(1.5,-1.2) ) r ; [->] (rcos) -- ( (C)!0.5!(Px)+(0.1,-0.35) ); % r sin theta notation [<->] ( (Px)+(0.3,0) ) -- ( (P)+(0.3,0) ); [right] at ( (Px)!0.5!(P)+(0.3,0) ) r ;

题型 7. 隐圆问题

定长对定点：平面上到定点 (C(a,b) )的距离等于定长 (r )的点 (P )的轨迹是圆，如图1. 定长对定角 平面上过两定点 (A )和 (B )的直线

定长对定点：平面上到定点 (C(a,b) )的距离等于定长 (r )的点 (P )的轨迹是圆，如图1. 定长对定角 平面上过两定点 (A )和 (B )的直线 (l_1 )、 (l_2 )互相垂直，则它们交点 (P )的轨迹为圆，如图2. 平面上与两定点 (A )和 (B )所成视角为固定锐角或钝角的点的轨迹为一段圆弧，如图3. 定长对定比（阿氏圆）：设 (A )和 (B )是平面内两定点，若点 (P )满足 ( PA PB = ( > 0 且 1) )，则点 (P )的轨迹是圆，该圆被称为阿氏圆，如图4. [scale=0.85, >=stealth] % 图1 [xshift=-7cm] [->] (-0.5, 0) -- (3, 0) node[right] x ; [->] (0, -0.5) -- (0, 3) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; (C) at (1.5, 1.5); (C) circle (1); (P) at ( (C)+(30:1) ); (C) -- (P) node[midway, above left=-2pt] r ; [dashed] (C) -- (1.5, 0) node[below] a ; [dashed] (C) -- (0, 1.5) node[left] b ; (C) circle (1.5pt) node[below left=-2pt] C ; (P) circle (1.5pt) node[right] P ; at (1.2, -0.8) 图1 ; % 图2 [xshift=-1cm] (Center) at (0, 1); (Center) circle (1.2); (A) at (-1.2, 1); (B) at (1.2, 1); 60 (P) at ( (Center)+( :1.2) ); (-1.8, 1) -- (1.8, 1); % 直线 l1, l2 ( (P)!1.3!(A) ) -- ( (A)!1.3!(P) ) node[above right] l_2 ; ( (P)!1.4!(B) ) -- ( (B)!1.4!(P) ) node[above left] l_1 ; % 垂直符号 - 使用精确的长度而非比例 (dirA) at ( (P)!0.18cm!(A) ); (dirB) at ( (P)!0.18cm!(B) ); (dirA) -- ( (dirA)+(dirB)-(P) ) -- (dirB); (A) circle (1.5pt) node[below left] A ; (B) circle (1.5pt) node[below right] B ; (P) circle (1.5pt) node[above=2pt] P ; at (0, -0.8) 图2 ; % 图3 [xshift=3cm] (Center) at (0, 1); (Center) ++(-30:1.2) arc (-30:210:1.2); [dashed] (Center) ++(210:1.2) arc (210:330:1.2); (A) at ( (Center)+(-30:1.2) ); (B) at ( (Center)+(210:1.2) ); (P) at ( (Center)+(70:1.2) ); (A) -- (P) -- (B) -- cycle; % 角度 - 同样使用绝对长度0.35cm，确保圆弧均匀 (dirA3) at ( (P)!0.35cm!(A) ); (dirB3) at ( (P)!0.35cm!(B) ); % 利用控制点拉出一条自然的圆弧 (dirA3) to[bend left=30] (dirB3); % 将夹角符号 放在对应的角平分线位置 (angleSub) at ( (dirA3)!0.5!(dirB3) ); at ( (P)!2!(angleSub) ) ; (A) circle (1.5pt) node[right] A ; (B) circle (1.5pt) node[left] B ; (P) circle (1.5pt) node[above] P ; at (0, -0.8) 图3 ; % 图4 [xshift=7cm] (M) at (0, 1); (M) circle (1.2); (B) at (0.6, 1); (A) at (2.4, 1); (P) at ( (M)+(50:1.2) ); (M) -- (A); (P) -- (A); (P) -- (B); (M) circle (1.5pt) node[left] M ; (B) circle (1.5pt) node[below] B ; (A) circle (1.5pt) node[right] A ; (P) circle (1.5pt) node[above right=-2pt] P ; at (0.6, -0.8) 图4 ;

定义 3. 阿波罗尼斯圆及其轨迹方程

在平面上给定两点 (A,B )，设点 (P )在同一平面上且满足 ( PA PB = )， 当 ( > 0 )且 ( 1 )时， (P )点的轨迹是个圆，

在平面上给定两点 (A,B )，设点 (P )在同一平面上且满足 ( PA PB = )， 当 ( > 0 )且 ( 1 )时， (P )点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆， 当 ( = 1 )时 (P )点的轨迹是线段 (AB )的中垂线. 0.62 设 (P(x,y) )， (A(-a,0) )， (B(a,0) ). 若 ( PA PB = )（ ( > 0 )且 ( 1 )），则点 (P )的轨迹方程是 [ (x - ^ 2 +1 ^ 2 -1 a )^ 2 +y^ 2 = ( 2a ^ 2 -1 )^ 2 ] 其轨迹是以 (( ^ 2 +1 ^ 2 -1 a,0) )为圆心， 半径为 (r = 2a ^- 1 = AB - 1 )的圆. 0.37 [scale=0.8, >=stealth] (A) at (-1.5,0); (B) at (1.5,0); (M) at (0.5,0); (N) at (4.5,0); (O) at (2.5,0); % 圆心 (M+N)/2 (P) at (2.5, 2); % 绘制圆和轴 (O) circle (2); [->] (-2,0) -- (5,0) node[right] (x ) ; % axis [->] (0,-2) -- (0,2.5) node[left] (y ) ; % axis % 绘制连线 [blue] (P) -- (A); [blue] (P) -- (B); % 绘制点和标签 (A) circle (1.5pt) node[below] (A ) ; (B) circle (1.5pt) node[below] (B ) ; (M) circle (1.5pt) node[below] (M ) ; (N) circle (1.5pt) node[below] (N ) ; (O) circle (1.5pt) node[below] (C ) ; % 圆心 C (P) circle (1.5pt) node[above] (P ) ; [below left] at (0,0) (O ) ; % Origin 证明：由 (PA= PB )及两点间距离公式，可得 ( (x + a)^ 2 +y^ 2 = ^ 2 [(x - a)^ 2 +y^ 2 ] ) 化简可得 ( (1 - ^ 2 )x^ 2 +(1 - ^ 2 )y^ 2 +2(1 + ^ 2 )ax+(1 - ^ 2 )a^ 2 =0 ) (1)当 ( = 1 )时，得 (x = 0 )，此时动点的轨迹是线段 (AB )的垂直平分线； (2)当 ( 1 )时，方程两边都除以 ((1 - ^ 2 ) )得 ( x^ 2 +y^ 2 + 2a(1 + ^ 2 )x 1 - ^ 2 +a^ 2 =0 ) 化为标准形式即为： [ (x - ^ 2 +1 ^ 2 -1 a )^ 2 +y^ 2 = ( 2a ^ 2 -1 )^ 2 ]

性质 1. 阿氏圆常见性质

当 ( >1 )时，点 (B )在圆 (C )内，点 (A )在圆 (C )外；当 (0< <1 )时，点 (A )在圆 (C )内，点 (B

当 ( >1 )时，点 (B )在圆 (C )内，点 (A )在圆 (C )外；当 (0< <1 )时，点 (A )在圆 (C )内，点 (B )在圆 (C )外. 设阿波罗尼斯圆的圆心为 ( C )，半径 ( CM = CN = r )，则有 ( PA PB = AM MB = AN NB = )， 即 ( CA - r r - CB = CA + r CB + r = )，解得 ( CA r = r CB = )，即 ( CA CB = r^2 ). 若已知圆及圆外一点 (A )，可以作出与之对应的点 (B )，反之亦然. 因 (AQ^ 2 =AM AN )，故 (AQ )是圆的一条切线，也可得 CA CB = r^2 所作出的阿波罗尼斯圆的直径为 (MN= 4a ^ 2 -1 )，面积为 ( 4 a^ 2 ^ 2 ( ^ 2 -1)^ 2 ). 三角形 (ABQ )的面积存在最大值，即当 (CQ AB )时，三角形 (ABQ )面积取得最大值 [ S_ ABQ = 1 2 2a 2a ^ 2 -1 = 2a^ 2 ^ 2 -1 ] 过点 (A )作圆 (C )的切线 (AQ )（ (Q )为切点），则 (QM )， (QN )分别为 ( AQB )的内、外角平分线.

定理 1. 阿氏圆逆定理

0.7 (A,B )为两已知点， (M,N )分别为线段 (AB )的定比为 ( )（ ( 1 )）的内外分点，则以 (MN )为直径的圆 (C )上任意点 (

0.7 (A,B )为两已知点， (M,N )分别为线段 (AB )的定比为 ( )（ ( 1 )）的内外分点，则以 (MN )为直径的圆 (C )上任意点 (P )到 (A,B )两点的距离之比为 ( ). 1 ( A,M,B,N )为调和点列； 2 ( PM,PN )分别为 ( APB )的内、外角平分线； 3 ( PM PN ) 以上三个条件中，知道任意两个都可以推得第三个. 0.29 [scale=0.65, >=stealth] (A) at (-1.5,0); (B) at (1.5,0); (M) at (0.5,0); (N) at (4.5,0); (O) at (2.5,0); % 圆心 (M+N)/2 (P) at (2.5, 2); % 绘制圆和轴 (O) circle (2); [->] (-2,0) -- (5,0) node[right] (x ) ; % axis [->] (0,-2) -- (0,2.5) node[left] (y ) ; % axis % 绘制连线 [blue] (P) -- (A); [blue] (P) -- (B); % 绘制点和标签 (A) circle (1.5pt) node[below] (A ) ; (B) circle (1.5pt) node[below] (B ) ; (M) circle (1.5pt) node[below] (M ) ; (N) circle (1.5pt) node[below] (N ) ; (O) circle (1.5pt) node[below] (C ) ; % 圆心 C (P) circle (1.5pt) node[above] (P ) ; [below left] at (0,0) (O ) ; % Origin 0.7 证明：如右图，以 ( >1 )为例 设 (AB = 2a )， ( AM MB = AN NB = )， 则 (AM= 2a 1 + )， (AN= 2a - 1 )， 因为 ( BN= 2a - 1 -2a= 2a - 1 BM=2a- 2a 1 + = 2a 1 + ) 过 (B )作 (AB )的垂线交圆 (C )于 (Q,R )两点， 由相交弦定理及勾股定理得 [ QB^ 2 =MB BN= 4a^ 2 ^ 2 -1 QA^ 2 =AB^ 2 +QB^ 2 = 4a^ 2 ^ 2 ^ 2 -1 ] 0.29 [scale=0.65, >=stealth, font= ] % 坐标轴 [->] (-2,0) -- (5,0) node[right] x ; [->] (0,-2) -- (0,2.5) node[left] y ; % 定义坐标（以 a=1.5, lambda=2 为例） (A) at (-1.5,0); (B) at (1.5,0); (M) at (0.5,0); (N) at (4.5,0); (C) at (2.5,0); (Q) at (1.5, 1.732); (R) at (1.5, -1.732); (O) at (0,0); % 绘制阿氏圆 (C) circle (2); % 绘制其他线段 (A) -- (Q); (M) -- (Q) -- (N); [dashed] (Q) -- (R); % 绘制点与标记 (A) circle (1.5pt) node[below] A ; (O) circle (1.5pt) node[below left] O ; (M) circle (1.5pt) node[below] M ; (B) circle (1.5pt) node[below] B ; (C) circle (1.5pt) node[below] C ; (N) circle (1.5pt) node[below] N ; (Q) circle (1.5pt) node[above] Q ; (R) circle (1.5pt) node[below] R ; 于是 (QB = 2a ^ 2 -1 )， (QA= 2a ^ 2 -1 ) 所以 ( QA QB = ). 因为 (M,Q,N )同时在到 (A,B )两点距离之比等于 ( )的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的， 所以圆 (C )上任意一点 (P )到 (A,B )两点的距离之比恒为 ( )．同理可证 (0< <1 )的情形．

题型 8. 垂直弦问题

如图，过半径为 r 的圆 O 内一点 P 作两条互相垂直的弦分别与圆交于 A,B , C,D 四点，四边形 ABCD 边上的中点分别为 E,F,G,H ， O_

如图，过半径为 r 的圆 O 内一点 P 作两条互相垂直的弦分别与圆交于 A,B , C,D 四点，四边形 ABCD 边上的中点分别为 E,F,G,H ， O_1 为 OP 中点，则 点 E,F,G,H 在以 O_1 为圆心的圆上； 点 M,N 在以 O_1 为圆心的圆上； 四边形 ACBD 的面积存在最值， OM=ON 即 AB=CD 时面积最大， OM 、 ON 有一个为0取最小，即 AB 、 CD 有一个为直径时，面积最小. S_ 四边形 ACBD = 1 2 AB CD= 1 2 2 r^2-OM^2 2 r^2-ON^2 =2 r^4-r^2(OM^2+ON^2)+OM^2 ON^2 =2 r^4-r^2 OP^2+OM^2 ON^2 [2 r^4-r^2 OP^2 , 2 r^4-r^2 OP^2+ OP^4 4 ] [2r r^2-OP^2 , 2 (r^2- OP^2 2 ) ] （因为 0 OM^2 ON^2 ( OM^2+ON^2 2 )^2 = OP^4 4 ） 证明： OM^2+MP^2=ON^2+NP^2=OP^2 ， OMPN 为矩形，所以点 M,N 在以 O_1 为圆心的圆上，半径为 OP 2 ； 因为 OM^2+ON^2=OP^2 ； OM^2+ AB^2 4 +ON^2+ CD^2 4 =r^2+r^2=2r^2 容易知道 EFGH 为矩形,所以 EG^2=EH^2+HG^2= AB^2+CD^2 4 =2r^2-OP^2 同理 FH^2=2r^2-OP^2 ， 故 EFGH 在圆心为 O_1 ，半径为 r^2 2 - OP^2 4 的圆上 0.49 [scale=0.7, >=stealth] -2 0 3.5 (O) at (0,0); (P) at ( , ); 25 cos( ) sin( ) + sqrt( - ( + - )) - - - + (A) at ( + , + ); (B) at ( + , + ); + 90 cos( ) sin( ) + sqrt( - ( + - )) - - - + (C) at ( + , + ); (D) at ( + , + ); (M) at ( (A)!0.5!(B) ); (N) at ( (C)!0.5!(D) ); (E) at ( (D)!0.5!(B) ); (F) at ( (A)!0.5!(D) ); (G) at ( (A)!0.5!(C) ); (H) at ( (C)!0.5!(B) ); (O1) at ( (O)!0.5!(P) ); (O) circle ( ); (A) -- (B); (C) -- (D); (A) -- (D) -- (B) -- (C) -- cycle; (E) -- (F) -- (G) -- (H) -- cycle; (O) -- (M) -- (P) -- (N) -- cycle; (O) -- (P); (D) circle (1.5pt) node[above left] D ; (B) circle (1.5pt) node[above right] B ; (A) circle (1.5pt) node[left] A ; (C) circle (1.5pt) node[below] C ; (P) circle (1.5pt) node[above left=-2pt] P ; (O) circle (1.5pt) node[right=1pt] O ; (O1) circle (1.5pt) node[below=0pt, scale=0.85] O_1 ; [red] (E) circle (1.5pt) node[above, text=black] E ; [red] (F) circle (1.5pt) node[left, text=black] F ; [red] (G) circle (1.5pt) node[below left, text=black] G ; [red] (H) circle (1.5pt) node[below right, text=black] H ; [orange] (M) circle (1.5pt) node[above=1pt, text=black] M ; [orange] (N) circle (1.5pt) node[left=1pt, text=black] N ; 0.49 [scale=0.7, >=stealth] -2 0 3.5 (O) at (0,0); (P) at ( , ); 25 cos( ) sin( ) + sqrt( - ( + - )) - - - + (A) at ( + , + ); (B) at ( + , + ); + 90 cos( ) sin( ) + sqrt( - ( + - )) - - - + (C) at ( + , + ); (D) at ( + , + ); (M) at ( (A)!0.5!(B) ); (N) at ( (C)!0.5!(D) ); (E) at ( (D)!0.5!(B) ); (F) at ( (A)!0.5!(D) ); (G) at ( (A)!0.5!(C) ); (H) at ( (C)!0.5!(B) ); (O1) at ( (O)!0.5!(P) ); % 绘制轨迹圆（先画在底层，避免遮挡） 0.5*sqrt( + ) sqrt(0.5* - 0.25*( + )) [thick, orange] (O1) circle ( ); [thick, red] (O1) circle ( ); (O) circle ( ); (A) -- (B); (C) -- (D); (A) -- (D) -- (B) -- (C) -- cycle; (E) -- (F) -- (G) -- (H) -- cycle; (O) -- (M) -- (P) -- (N) -- cycle; (O) -- (P); (D) circle (1.5pt) node[above left] D ; (B) circle (1.5pt) node[above right] B ; (A) circle (1.5pt) node[left] A ; (C) circle (1.5pt) node[below] C ; (P) circle (1.5pt) node[above left=-2pt] P ; (O) circle (1.5pt) node[right=1pt] O ; (O1) circle (1.5pt) node[below=0pt, scale=0.85] O_1 ; [red] (E) circle (1.5pt) node[above, text=black] E ; [red] (F) circle (1.5pt) node[left, text=black] F ; [red] (G) circle (1.5pt) node[below left, text=black] G ; [red] (H) circle (1.5pt) node[below right, text=black] H ; [orange] (M) circle (1.5pt) node[above=1pt, text=black] M ; [orange] (N) circle (1.5pt) node[left=1pt, text=black] N ;

定理 2. 托勒密定理（苏教版必修二P76）

圆的内接四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积. 若四边形 (ABCD )是圆的内接四边形，则 [AB CD + AD BC = AC BD ] 0.69

圆的内接四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积. 若四边形 (ABCD )是圆的内接四边形，则 [AB CD + AD BC = AC BD ] 0.69 证明： 设圆内接四边形为 (ABCD )，在 (AC ) 上取点 (E )，使得 ( ABE = CBD ). 由于 ( BAE = BDC )，且 ( ABE = CBD )， 故 ( ABE DBC ). 得： [ AB DB = AE DC AB DC = DB AE (1) ] 由 ( ABE = CBD )，两边同时加上 ( EBD )，得 ( ABD = EBC ). 又 ( ADB = ECB )， 故 ( ABD EBC ). 由相似比得： [ AD EC = DB BC AD BC = DB EC (2) ] 0.3 [scale=0.8, >=stealth] 2.5 (O) at (0,0); cos(80) sin(80) cos(165) sin(165) cos(250) sin(250) cos(315) sin(315) sqrt(( - )^2+( - )^2) sqrt(( - )^2+( - )^2) sqrt(( - )^2+( - )^2) sqrt(( - )^2+( - )^2) ( )/( ) (A) at (80: ); (B) at (165: ); (C) at (250: ); (D) at (315: ); (E) at ( (A)! !(C) ); (O) circle ( ); (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle; (A) -- (C); (B) -- (D); [dashed] (B) -- (E); % Angle marks (B) -- (A) -- (E) -- cycle; (B) circle (0.5); (A') at ( (B)!1cm!(A) ); (E') at ( (B)!1cm!(E) ); (BisA) at ( (A')!0.5!(E') ); ( (B)!0.35cm!(BisA) ) -- ( (B)!0.65cm!(BisA) ); (B) -- (C) -- (D) -- cycle; (B) circle (0.5); (C') at ( (B)!1cm!(C) ); (D') at ( (B)!1cm!(D) ); (BisC) at ( (C')!0.5!(D') ); ( (B)!0.35cm!(BisC) ) -- ( (B)!0.65cm!(BisC) ); (O) circle (1.5pt); (A) circle (1.5pt) node[above] A ; (B) circle (1.5pt) node[left] B ; (C) circle (1.5pt) node[below left] C ; (D) circle (1.5pt) node[below right] D ; (E) circle (1.5pt) node[right=2pt] E ; 将 (1) 和 (2) 相加： ( AB DC + AD BC = DB (AE + EC) = DB AC ) 即 (AC BD = AB CD + AD BC )，得证.

定理 3. 圆中蝴蝶定理（湘教版选修一P165-20）

过圆内一点 ( M )，引出三条弦 ( AB )、 ( CD )、 ( PQ )，且 ( M ) 是 ( PQ ) 的中点， 直线 ( AD ) 与直线 ( B

过圆内一点 ( M )，引出三条弦 ( AB )、 ( CD )、 ( PQ )，且 ( M ) 是 ( PQ ) 的中点， 直线 ( AD ) 与直线 ( BC ) 交直线 ( PQ ) 于 ( E )、 ( F )，则 [ ME = MF ] 0.65 证法一：曲线系法 以 ( M ) 为原点，弦 ( PQ ) 所在直线为 ( x ) 轴，建立直角坐标系. 设圆 ( O ) 的方程为 ( x^2 + (y-a)^2 = r^2 )， 直线 ( AB )、 ( CD ) 的方程分别为 ( y = k_1x )、 ( y = k_2x ). 由圆和直线组成的二次曲线系方程为 [ [ x^2 + (y-a)^2 - r^2 ] + (y-k_1x)(y-k_2x) = 0 ] 令 ( y = 0 )，则 ( E, F ) 的横坐标 ( x_E, x_F ) 满足方程 [ [ + k_1k_2]x^2 + (a^2 - r^2) = 0 ] 由韦达定理得 ( x_E + x_F = 0 )，即 ( x_E = -x_F )，故 ( ME = MF ). 0.34 [scale=0.7, >=stealth] 3 1.2 0.8 (O) at (0,0); (M) at (0, ); [->] (- - , ) -- ( + , ) node[right] x ; [->] (0,- -0.6) -- (0, +0.6) node[left] y ; [name path=circle] (O) circle ( ); [name path=PQline] (- - , ) -- ( + , ); [name intersections= of=circle and PQline, by= Q,P ]; % 关键修改：添加 overlay 选项，避免过长的辅助线撑大空白区域 [name path=ABline, overlay] ( (M)+(300:6) ) -- ( (M)+(120:6) ); [name intersections= of=circle and ABline, by= A,B ]; [name path=CDline, overlay] ( (M)+(220:6) ) -- ( (M)+(40:6) ); [name intersections= of=circle and CDline, by= C,D ]; [name path=ADline] (A) -- (D); [name intersections= of=ADline and PQline, by=E ]; [name path=BCline] (B) -- (C); [name intersections= of=BCline and PQline, by=F ]; (O) circle ( ); % [black] (P) -- (Q); [thick] (A) -- (B); [thick] (C) -- (D); [dashed] (A) -- (D); [dashed] (B) -- (C); [very thick, blue] (E) -- (F); in A,B,C,D,P,Q,E,F,M,O ( ) circle (1.2pt); [below left] at (O) O ; [below right] at (M) M ; [below left] at (P) P ; [below right] at (Q) Q ; [above] at (A) A ; [above] at (C) C ; [below right] at (B) B ; [below left] at (D) D ; [below] at (E) E ; [below right] at (F) F ; 证法二：坐标法（韦达定理+共线条件） 设 ( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3), D(x_4, y_4) ). 设直线 ( AB ) 方程为 ( x = my )，直线 ( CD ) 方程为 ( x = ny ). 联立圆与直线 ( AB )： ( x^2 + (y-a)^2 = r^2 x = my (m^2 + 1)y^2 - 2ay + a^2 - r^2 = 0 ). 由韦达定理： ( y_1 + y_2 = 2a m^2 + 1 , y_1 y_2 = a^2 - r^2 m^2 + 1 y_1 + y_2 y_1 y_2 = 2a a^2 - r^2 ). 同理可得 ( y_3 + y_4 y_3 y_4 = 2a a^2 - r^2 ). [ y_1 + y_2 y_1 y_2 = y_3 + y_4 y_3 y_4 1 y_1 + 1 y_2 = 1 y_3 + 1 y_4 y_1 - y_4 y_1 y_4 = y_3 - y_2 y_2 y_3 y_1y_4 y_1 - y_4 = y_3y_2 y_2-y_3 1 ] 设 ( E(p, 0), F(q, 0) ). 因 ( A, D, E ) 三点共线，故 ( k_ AE = k_ DE y_1 - 0 x_1 - p = y_4 - 0 x_4 - p p = x_1y_4 - x_4y_1 y_4 - y_1 = my_1y_4 - ny_4y_1 y_4 - y_1 = y_1 y_4 (m - n) y_4 - y_1 ). 因 ( B, C, F ) 三点共线，同理可得 ( q = x_2y_3 - x_3y_2 y_3 - y_2 = y_2 y_3 (m - n) y_3 - y_2 ). 由 1 可得 ( p = -q )， 即 ( x_E = -x_F )，故 ( ME = MF ).

定理 4. 二次曲线的蝴蝶定理

设二次曲线 ( ) 上有一弦 ( PQ )， ( M ) 为 ( PQ ) 的中点，过 ( M ) 作任意两条弦 ( AB )、 ( CD )，直线 ( AD

设二次曲线 ( ) 上有一弦 ( PQ )， ( M ) 为 ( PQ ) 的中点，过 ( M ) 作任意两条弦 ( AB )、 ( CD )，直线 ( AD ) 与 ( PQ ) 交于 ( E )，直线 ( BC ) 与 ( PQ ) 交于 ( F )，则 ( M ) 为 ( EF ) 的中点. 证明： 建立平面直角坐标系，令 ( M ) 为坐标原点 ( O(0,0) )，弦 ( PQ ) 落在 ( x )-轴上，故 ( P(-t, 0) )、 ( Q(t, 0) )（ ( t 0 )）； 二次曲线的一般方程为 ( Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 )，代入 ( P, Q ) 坐标得 ( D=0 )、 ( F=-At^2 )，方程简化为： [ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Ey - At^2 = 0 ] 过原点 ( M ) 的两条弦 ( AB )、 ( CD ) 斜率分别为 ( k_1, k_2 )，其方程为 ( y = k_1x )、 ( y = k_2x )； 联立 ( y = k_1x ) 与简化后的二次曲线方程得 ( (A + Bk_1 + Ck_1^2)x^2 + Ek_1x - At^2 = 0 )，设 ( A(x_1, k_1x_1) )、 ( B(x_2, k_1x_2) )，由韦达定理得： [ x_1 + x_2 = - Ek_1 A + Bk_1 + Ck_1^2 , x_1x_2 = - At^2 A + Bk_1 + Ck_1^2 ] 直线 ( AD ) 过 ( A(x_1, k_1x_1) )、 ( D(x_4, k_2x_4) )，代入 ( y=0 ) 解得 ( E ) 的横坐标： [ x_E = x_1x_4(k_1 - k_2) k_2x_4 - k_1x_1 同理 x_F = x_2x_3(k_1 - k_2) k_2x_3 - k_1x_2 ] 要证 ( M ) 为 ( EF ) 中点，只需证 ( x_E + x_F = 0 )，等价于： [ x_1x_4 k_2x_4 - k_1x_1 + x_2x_3 k_2x_3 - k_1x_2 = 0 ] 通分整理得 ( k_2x_3x_4(x_1 + x_2) - k_1x_1x_2(x_3 + x_4) = 0 )，将韦达定理结果代入该式左边： [ k_2 (- At^2 A + Bk_2 + Ck_2^2 ) (- Ek_1 A + Bk_1 + Ck_1^2 ) - k_1 (- At^2 A + Bk_1 + Ck_1^2 ) (- Ek_2 A + Bk_2 + Ck_2^2 ) = 0 ] 等式成立，故 ( x_E = -x_F )，即原点 ( M(0,0) ) 为 ( EF ) 的中点； 该推导未限制二次曲线类型（圆、椭圆、双曲线、抛物线均满足），且若弦 ( AB/CD ) 斜率不存在（垂直于 ( x )-轴），重复上述步骤仍可证明结论成立.

定理 5. 圆幂定理

设圆的圆心为 ( O )，半径为 ( r ). 点 ( P ) 到圆心 ( O ) 的距离为 ( d )（即 ( OP = d )）. 则点 ( P ) 关于该

设圆的圆心为 ( O )，半径为 ( r ). 点 ( P ) 到圆心 ( O ) 的距离为 ( d )（即 ( OP = d )）. 则点 ( P ) 关于该圆的 幂 (Power) 定义为： Power(P) = d² - r² 结论： 对于过点 ( P ) 的任意一条直线，若它与圆相交于两点 ( X ) 和 ( Y )（当直线与圆相切时， ( X ) 和 ( Y ) 重合为切点 ( T )），则： PX · PY = Power(P) 2.0 相交弦定理： 弦 AB 与弦 CD 相交于圆内点 P ，则 PA·PB = PC·PD 证明： 连接 (AC, BD )， ( APC = DPB )（对顶角）， ( PAC = PDB )（同弧圆周角）， ( PAC PDB )（AA）， ( PA PD = PC PB PA PB = PC PD ) 切割线定理： 从圆外点 P 引圆的切线 PA （ A 为切点）和割线 PBC （ B 、 C 为割线与圆的交点），则 PA^2 = PB·PC 证明： 连接 (AB, AC )， ( PAB = ACB )（弦切角定理）， 且 ( APB = CPA )（公共角）， ( PAB PCA )（AA）， ( PA PC = PB PA PA^2 = PB PC ) 割线定理：从圆外一点 P 引两条割线与圆分别交于 A,B 和 C,D ，则有 PA PB = PC PD 证明： 连接 (AD, BC )， ( APD = CPB )（公共角）， ( PAD = PCB )（同弧圆周角）， ( PDA PBC )（AA）， ( PA PC = PD PB PA PB = PC PD ) -0.7cm [scale=0.9, >=stealth] % 图1：相交弦定理 (O) at (0,0); (O) circle (1.5); (A) at (110:1.5); (B) at (-45:1.5); (C) at (210:1.5); (D) at (30:1.5); (P) at (intersection of A--B and C--D); [blue] (A) -- (B); [blue] (C) -- (D); [dashed] (A) -- (C); [dashed] (B) -- (D); (O) circle (1.5pt); (P) circle (1.5pt) node[above=2pt] P ; (A) circle (1.5pt) node[above=1pt] A ; (B) circle (1.5pt) node[below right=-2pt] B ; (C) circle (1.5pt) node[below left=-1pt] C ; (D) circle (1.5pt) node[above right=-1pt] D ; % 图2：切割线定理 [xshift=6cm] (O) at (0,0); (O) circle (1.5); (P) at (-3, 0); (B) at (-1.5, 0); (C) at (1.5, 0); (A) at (120:1.5); [blue] (P) -- (A); [blue] (P) -- (C); [dashed] (A) -- (B); [dashed] (A) -- (C); (O) circle (1.5pt); (P) circle (1.5pt) node[left=1pt] P ; (A) circle (1.5pt) node[above=1pt] A ; (B) circle (1.5pt) node[below left=0pt and -2pt] B ; (C) circle (1.5pt) node[right=1pt] C ; % 图3：割线定理 [xshift=12cm] (O) at (0,0); (O) circle (1.5); (A) at (160:1.5); (B) at (60:1.5); (C) at (-160:1.5); (D) at (-60:1.5); (P) at (intersection of A--B and C--D); [blue] (P) -- (B); [blue] (P) -- (D); [dashed] (A) -- (D); [dashed] (B) -- (C); (O) circle (1.5pt); (P) circle (1.5pt) node[left=1pt] P ; (A) circle (1.5pt) node[above left=-2pt and -2pt] A ; (B) circle (1.5pt) node[above right=-2pt and -2pt] B ; (C) circle (1.5pt) node[below left=-1pt and -2pt] C ; (D) circle (1.5pt) node[below right=-1pt and -2pt] D ;