圆锥曲线

曲线与方程

定义 1. 曲线与方程

一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程． 在平面直角坐标系中，如果曲线 ( C )与二元方程 ( F(x,y)=0 )之间具有如下的关系，则曲线 ( C )叫做方程 ( F(x,y)=0 )的曲线．方程 ( F(x,y)=0 )叫做曲线 ( C )的方程． 曲线 ( C )上的点的坐标都是方程 ( F(x,y)=0 )的解； 以方程 ( F(x,y)=0 )的解作为坐标的点都在曲线 ( C )上． 轨迹方程的求法 ： 直接法 ：动点 ( P(x,y) )，直接利用条件建立 ( x )， ( y )之间的关系 ( F(x,y)=0 )； 相关点法 ：动点 ( P(x,y) )依赖于另一动点 ( Q(x_0,y_0) )的变化而变化，并且 ( Q(x_0,y_0) )又在某已知曲线上，则可先用 ( x )， ( y )的代数式表示 ( x_0 )， ( y_0 )，再将 ( x_0 )， ( y_0 )代入已知曲线得要求的轨迹方程； 定义法 ：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； 待定系数法 ：已知所求曲线的类型，求曲线方程时先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数．

性质 1. 曲线的性质

对称性： 若 ( F(x,y) = F(-x,y) )，则曲线关于 ( y )轴 对称； 若 ( F(x,y) = F(x,-y) )，则曲线关于 ( x )轴 对称； 若 ( F(x,y) = F(-x,-y) )，则曲线关于 原点 对称； 若 ( F(x,y) = F(y,x) )，则曲线关于 直线 ( y=x ) 对称； 若 ( F(x,y) = F(-y,-x) )，则曲线关于 直线 ( y=-x ) 对称； 有界性： 主要关注曲线方程中的平方、根式等非负项，从而列出一些其他部分的不等式，找到曲线的边界． 定点： 主要看坐标轴上的点或者比较容易判定的整点（如 ((1,1) )等）； 最值范围： 结合曲线方程、距离或面积等公式，利用不等式或函数求解．如果是封闭图形，可以求曲线上的点到原点距离的最值，从而求出图形的内接圆或外接圆半径，再求得曲线的面积范围．

题型 1. 具有几何意义的取值范围问题

斜率型：设 ((a, b) ) 为定点， ((x, y) ) 是曲线上的动点或满足某个方程，形如 ( y - b x - a ) 的取值范围问题， 即求 动点 ((x, y) ) 与定点 ((a, b) ) 连线的斜率 的取值范围. 截距型：设 ((x, y) ) 是曲线上的动点或满足某个方程，形如 (ax + by ) 的取值范围问题， 可令 (t = ax + by )，则 (y = - a b x + t b )，即求 过曲线上一点的斜率为定值的直线截距 的取值范围. 到点的距离：设 ((a, b) ) 为定点， ((x, y) ) 是曲线上的动点或满足某个方程，形如 ((x - a)^2 + (y - b)^2 ) 的取值范围问题， 可先求 ( (x - a)^2 + (y - b)^2 ) 的取值范围，即求 动点 ((x, y) ) 到定点 ((a, b) ) 的距离 的取值范围. 到直线的距离：设 ((x, y) ) 是曲线的动点或满足某个方程，形如 ( ax + by + c ) 的取值范围问题， 可先求 ( ax + by + c a^2 + b^2 ) 的取值范围，即求 动点 ((x, y) ) 到定直线 (ax + by + c = 0 ) 的距离 的取值范围. 以上这些问题如果画不出来曲线，也可考虑三角换元转化为代数问题计算，特别地，如果题目上有三角换元的形式，也需反过来考虑几何意义.

结论 1. 曲线表示的方程

方程 ( x^2 m + y^2 n = 1 )中， (m )和 (n )的取值不同时，曲线类型可通过以下分类讨论确定： c c % 定义表格为两列，居中对齐，竖线分隔 % 绘制水平分隔线 表示的曲线 m 和 n 要满足的条件 % 水平分隔线 圆心在坐标原点的圆 m = n > 0 椭圆 m > 0,n > 0, m n 焦点在 x 轴的椭圆 m > n >0 焦点在 y 轴的椭圆 n > m >0 双曲线 mn<0 焦点在 x 轴双曲线 m > 0, n < 0 焦点在 y 轴双曲线 m < 0, n > 0 无实数曲线 m < 0, n < 0

结论 2. 圆锥曲线方程的设法

当不确定焦点位置时，可设椭圆方程为 ( mx^2 + ny^2 = 1 )（ ( m>0, n>0, m n )）， 可设双曲线方程为 ( mx^2 + ny^2 = 1 )（ ( mn<0 )） 与椭圆 ( x^2 a^2 + y^2 b^2 = 1 )（ ( a>b>0 )）共焦点的椭圆可设为 ( x^2 a^2 + + y^2 b^2 + = 1 )（ ( > -b^2 )） 与椭圆 ( x^2 a^2 + y^2 b^2 = 1 )（ ( a>b>0 )）同离心率的椭圆可设为 ( x^2 a^2 + y^2 b^2 = )（ ( >0 )）或 ( y^2 a^2 + x^2 b^2 = )（ ( >0 )） 与双曲线 ( x^2 a^2 - y^2 b^2 = 1 (a>0, b>0) ) 共焦点的双曲线可设为 ( x^2 a^2 + - y^2 b^2 - = 1 (-a^2 < < b^2) ) 与双曲线 ( x^2 a^2 - y^2 b^2 = 1 (a>0, b>0) ) 同离心率的双曲线可设为 ( x^2 a^2 - y^2 b^2 = )（ ( >0 )） 或 ( y^2 a^2 - x^2 b^2 = )（ ( >0 )） 与双曲线 ( x^2 a^2 - y^2 b^2 = 1 (a>0, b>0) ) 共渐近线的双曲线可设为 ( x^2 a^2 - y^2 b^2 = )（ ( 0 )）

结论 3. 常见新定义曲线方程及图像

0.45 卡西尼卵形线 定义 ：平面内到两个定点 F_1, F_2 （距为 2c ）的距离之积为常数 a^2 的动点轨迹. 标准方程 ： (x^2+y^2+c^2)^2 - 4c^2x^2 = a^4 （ (c=1 )） a=c 时为伯努利双纽线 0.5 [scale=1.5, >=stealth] % 坐标轴 [->, thin] (-2.5,0) -- (2.5,0) node[right] x ; [->, thin] (0,-1.3) -- (0,1.5) node[left] y ; in -2,-1,1,2 ( ,0.05) -- ( ,-0.05) node[below] ; in -1,1 (0.05, ) -- (-0.05, ) node[left] ; % 焦点 (-1,0) circle (1.5pt) node[below right] F_1 ; (1,0) circle (1.5pt) node[below left] F_2 ; % 绘制不同a值的卡西尼卵形线 (c=1)，采用极坐标连续参数化避免不连续点 % a=0.9, a^4=0.6561 (两分离卵形) [orange, thick, smooth] plot[variable= , domain=-1:1, samples=60] ( sqrt(sqrt(1-0.6561* ) + 0.81*sqrt(1- ))*cos(0.5*asin(0.81* )) , sqrt(sqrt(1-0.6561* ) + 0.81*sqrt(1- ))*sin(0.5*asin(0.81* )) ) -- plot[variable= , domain=1:-1, samples=60] ( sqrt(sqrt(1-0.6561* ) - 0.81*sqrt(1- ))*cos(0.5*asin(0.81* )) , sqrt(sqrt(1-0.6561* ) - 0.81*sqrt(1- ))*sin(0.5*asin(0.81* )) ) -- cycle; [orange, thick, smooth] plot[variable= , domain=-1:1, samples=60] ( -sqrt(sqrt(1-0.6561* ) + 0.81*sqrt(1- ))*cos(0.5*asin(0.81* )) , sqrt(sqrt(1-0.6561* ) + 0.81*sqrt(1- ))*sin(0.5*asin(0.81* )) ) -- plot[variable= , domain=1:-1, samples=60] ( -sqrt(sqrt(1-0.6561* ) - 0.81*sqrt(1- ))*cos(0.5*asin(0.81* )) , sqrt(sqrt(1-0.6561* ) - 0.81*sqrt(1- ))*sin(0.5*asin(0.81* )) ) -- cycle; % a=1, a^4=1 (双纽线) 经典极坐标对数为参数 [purple, thick, smooth, samples=150, domain=0:360, variable= ] plot ( 1.4142*cos( )/(1+sin( )*sin( )) , 1.4142*cos( )*sin( )/(1+sin( )*sin( )) ); % a=1.2, a^4=2.0736 [blue, thick, smooth, samples=150, domain=0:360, variable= ] plot ( sqrt(cos(2* ) + sqrt(2.0736 - sin(2* )*sin(2* )))*cos( ) , sqrt(cos(2* ) + sqrt(2.0736 - sin(2* )*sin(2* )))*sin( ) ); % a=1.5, a^4=5.0625 [green!60!black, thick, smooth, samples=150, domain=0:360, variable= ] plot ( sqrt(cos(2* ) + sqrt(5.0625 - sin(2* )*sin(2* )))*cos( ) , sqrt(cos(2* ) + sqrt(5.0625 - sin(2* )*sin(2* )))*sin( ) ); % 图例标注 [orange] at (0.85, 0.25) a=0.9 ; [purple] at (0.4, 0.45) a=1 ; [blue] at (0, 0.8) a=1.2 ; [green!60!black] at (0, 1.35) a=1.5 ; 0.29 绝对值心形线 定义 ：通过代数绝对值对称性将二次曲线（旋转椭圆）折叠而成的特殊心形曲线. 标准方程 ： x^2+y^2=1+ x y 0.2 [scale=0.8, >=stealth] % 坐标轴 [->, thin] (-1.5,0) -- (1.5,0) node[right] x ; [->, thin] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[left] y ; in -1,1 ( ,0.05) -- ( ,-0.05) node[below] ; in 1 (0.05, ) -- (-0.05, ) node[left] ; % 绘制心形线 (极坐标连续参数方程：r = 1/sqrt(1 - cos(t) sin(t)) ) [thick, smooth, samples=200, domain=0:360, variable= ] plot ( cos( )/sqrt(1 - abs(cos( ))*sin( )) , sin( )/sqrt(1 - abs(cos( ))*sin( )) ); 0.29 四叶玫瑰线 (四叶草曲线) 定义 ：几何极点到曲线的极径等于极角对应常数倍频率正弦值所构成的花瓣轨迹. 标准方程 ： (x^2+y^2)^3 = a^2x^2y^2 极坐标： r = (2 ) （ a=2 ） 0.2 [scale=1, >=stealth] % 坐标轴 [->, thin] (-1.5,0) -- (1.5,0) node[right] x ; [->, thin] (0,-1.2) -- (0,1.2) node[right] y ; in -1,1 ( ,0.03) -- ( ,-0.03) node[below] ; in -1,1 (0.03, ) -- (-0.03, ) node[left] ; % 绘制四叶草曲线 [black, thick, samples=400, domain=0:360, variable= ] plot ( sin(2* )*cos( ) , sin(2* )*sin( ) );

椭圆

定义 1. 第一定义（人教A选必一P105）

平面内与两个定点 ( F_1, F_2 ) 的距离的和等于常数（大于 ( F_1F_2 ) ）的点的轨迹叫做椭圆. 其中，两个定点 ( F_1, F_2 ) 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 设 ( M(x, y) ) 是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为 ( 2c (c>0) )，则焦点 ( F_1, F_2 ) 的坐标分别为 ( (-c, 0) )、 ( (c, 0) ). 根据定义，点 ( M ) 与焦点 ( F_1, F_2 ) 的距离的和等于 ( 2a (2a > F_1F_2 ) )，椭圆可看作点集： ( P = M MF_1 + MF_2 = 2a ) 由 ( (x + c)^2 + y^2 + (x - c)^2 + y^2 =2a )，移项平方得： (a^2 - cx = a (x - c)^2 + y^2 )，再平方整理 得： ( x^2 a^2 + y^2 b^2 =1 ). 注意 ：若 2a= F_1F_2 ，则点的轨迹是 线段 F_1F_2 ； 若 2a< F_1F_2 ，则点的轨迹 不存在 ．

定义 2. 第二定义（人教A选修一P113例6）

若点 ( M(x, y) ) 与定点 ( F(c, 0) )（或 ( F'(-c, 0) ) ）的距离，和它到定直线 ( l: x = a^2 c )（或 ( l': x = - a^2 c ) ）的距离的比是常数 ( e = c a (0 < c < a) )，则点 ( M ) 的轨迹是椭圆. 其中，定点 ( F(c, 0) ) 是椭圆的一个焦点，直线 ( l: x = a^2 c ) 称为相应于焦点 ( F ) 的准线； 定点 ( F'(-c, 0) ) 是椭圆的另一个焦点，直线 ( l': x = - a^2 c ) 称为相应于焦点 ( F' ) 的准线. 由 ( (x - c)^2 + y^2 a^2 c -x = c a )，平方整理得： ( x^2 a^2 + y^2 b^2 =1 )

定义 3. 第三定义（人教A选修一P108例3）

平面内到关于原点对称的两个定点连线斜率之积为定值 (- b^2 a^2 )或 (e^2 - 1 ;(0 < e < 1) ) 的点的轨迹，通常这两个定点分别为长轴或者短轴顶点. 设 (B(x,y) )是椭圆上任意一点，两个定点为 (A(x_1,y_1) )、 (A'(-x_1,-y_1) )，常数 (e = c a )， (k_ BA k_ BA' = y - y_1 x - x_1 y + y_1 x + x_1 = y^2 - y_1^2 x^2 - x_1^2 = - b^2 a^2 x^2 a^2 + y^2 b^2 = x_1^2 a^2 + y_1^2 b^2 )， 即椭圆上动点到关于原点对称的两个定点的连线的斜率之积等于常数. 垂径定理与点差法： 椭圆上的两点 (A,B )， (A(x_1,y_1) )， (B(x_2,y_2) )， (M(x_0,y_0) )为 (AB )中点， (k_ AB k_ OM =- b^ 2 a^ 2 )， 证明： A,B 在椭圆上，则 ( x_1^ 2 a^ 2 + y_1^ 2 b^ 2 = 1 1 x_2^ 2 a^ 2 + y_2^ 2 b^ 2 = 1 2 ) [ 1 - 2 得 x_1^ 2 -x_2^ 2 a^ 2 + y_1^ 2 -y_2^ 2 b^ 2 = 0 y_1 - y_2 x_1 - x_2 y_1 + y_2 x_1 + x_2 =- b^ 2 a^ 2 ] [ x_1 + x_2 2 =x_0 3 y_1 + y_2 2 =y_0 4 k_ AB = y_1 - y_2 x_1 - x_2 5 ] 将 ( 3 4 5 )代入得： (k_ AB k_ OM = y_1 - y_2 x_1 - x_2 y_1 + y_2 x_1 + x_2 = y_1 - y_2 x_1 - x_2 y_0 x_0 =- b^ 2 a^ 2 ) [scale=0.7, >=stealth] % 第一幅图 [shift= (0,0) ] (0,0) ellipse (2 and 1.2); [->] (-2.5,0) -- (2.5,0) node[right] x ; [->] (0,-1.8) -- (0,1.8) node[left] y ; [below right] at (0,0) O ; (A) at (-2,0); (B) at (2,0); (P) at (-1, 1.039); % 2*cos(120), 1.2*sin(120) [thick, blue] (P) -- (A) node[below left] A' ; [thick, blue] (P) -- (B) node[below right] A ; [above] at (P) B ; % at (0, -2) k_ BA k_ BA' = - b^2 a^2 ; % 第二幅图 [shift= (7,0) ] (0,0) ellipse (2 and 1.2); [->] (-2.5,0) -- (2.5,0) node[right] x ; [->] (0,-1.8) -- (0,1.8) node[left] y ; [below right] at (0,0) O ; (A) at (-1.5, -0.793); % x=-1.5, y=-1.2*sqrt(1 - 1.5^2/4) = -0.793 (B) at (1.5, 0.793); (P) at (-0.8, 1.095); (A) node[below left] A -- (B) node[above right] A' ; [thick, blue] (P) node[above] B -- (A); [thick, blue] (P) -- (B); % at (0, -2) k_ BA k_ BA' = - b^2 a^2 ; % 第三幅图 [shift= (14,0) ] (0,0) ellipse (2 and 1.2); [->] (-2.5,0) -- (2.5,0) node[right] x ; [->] (0,-1.8) -- (0,1.8) node[left] y ; [below right] at (0,0) O ; (A) at (-1.5, -0.793); (B) at (0.5, 1.161); % sqrt(1 - 0.25/4)*1.2 = 1.161 (M) at (-0.5, 0.184); [thick, blue] (A) node[below left] A -- (B) node[above right] B ; [thick, blue] (0,0) -- (M) node[left] M ;

结论 1. 中点弦方程与弦中点轨迹

若 (M(x_0,y_0) )在椭圆 ( x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2 = 1 )内，则以 (M )点为中点的弦的方程是 ( x_0x a^ 2 + y_0y b^ 2 = x_0^ 2 a^ 2 + y_0^ 2 b^ 2 ). 证明： 设中点弦方程： (y - y_0=- b^ 2 x_0 a^ 2 y_0 (x - x_0) a^ 2 y_0y - a^ 2 y_0^ 2 +b^ 2 x_0x - b^ 2 x_0^ 2 =0 ) ( x_0x a^ 2 + y_0y b^ 2 = x_0^ 2 a^ 2 + y_0^ 2 b^ 2 ) 若 (M(x_0,y_0) )在椭圆 ( x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2 = 1 )内，则过 (M )的弦的中点的轨迹方程是 ( x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2 = x_0x a^ 2 + y_0y b^ 2 ) 证明：设轨迹上的点 (x,y) ，则 ( y - y_0 x - x_0 y x =- b^ 2 a^ 2 a^ 2 y^ 2 -a^ 2 y_0y + b^ 2 x^ 2 -b^ 2 x_0x = 0 ) ( x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2 = x_0x a^ 2 + y_0y b^ 2 )

性质 1. 椭圆基本性质（人教A选必一P108）

c c c 标准方程 ( x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2 = 1(a>b>0) ) ( y^ 2 a^ 2 + x^ 2 b^ 2 = 1(a>b>0) ) 焦点 焦点在 (x )轴上 焦点在 (y )轴上 图形 [scale=0.9, >=Stealth] % 阴影三角形 [blue!30] (0,0) -- (1,0) -- (0,1) -- cycle; % 坐标轴 [->] (-2.5, 0) -- (2.5, 0) node[below] x ; [->] (0, -2) -- (0, 2) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; % 准线 [dashed, red, thick] (2, 1.8) -- (2, -1.3) node[below, black] x= a^2 c ; [dashed, red, thick] (-2, 1.8) -- (-2, -1.3) node[below, black] x=- a^2 c ; % 椭圆 [thick] (0,0) ellipse (1.414 and 1); % 顶点 (-1.414, 0) circle (1.5pt) node[below left] A_1 ; (1.414, 0) circle (1.5pt) node[below right] A_2 ; (0, -1) circle (1.5pt) node[below left] B_1 ; (0, 1) circle (1.5pt) node[above left] B_2 ; % 焦点 (-1, 0) circle (1.5pt) node[below] F_1 ; (1, 0) circle (1.5pt) node[below] F_2 ; % 直角边和斜边 (1,0) -- (0,1) node[midway, above right, inner sep=1pt] a ; [below] at (0.5, 0) c ; [left] at (0, 0.5) b ; [scale=0.9, >=Stealth] % 阴影三角形 [blue!30] (0,0) -- (1,0) -- (0,1) -- cycle; % 坐标轴 [->] (-2.2, 0) -- (2.2, 0) node[below] x ; [->] (0, -2.5) -- (0, 2.5) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; % 准线 [dashed, red, thick] (-1.8, 2) -- (1.3, 2) node[right, black] y= a^2 c ; [dashed, red, thick] (-1.8, -2) -- (1.3, -2) node[right, black] y=- a^2 c ; % 椭圆 [thick] (0,0) ellipse (1 and 1.414); % 顶点 (0, 1.414) circle (1.5pt) node[above left] A_2 ; (0, -1.414) circle (1.5pt) node[below left] A_1 ; (-1, 0) circle (1.5pt) node[below left] B_1 ; (1, 0) circle (1.5pt) node[below right] B_2 ; % 焦点 (0, 1) circle (1.5pt) node[left] F_1 ; (0, -1) circle (1.5pt) node[left] F_2 ; % 直角边和斜边 (1,0) -- (0,1) node[midway, above right, inner sep=1pt] a ; [below] at (0.5, 0) b ; [left] at (0, 0.5) c ; 范围 (-a x a )且 (-b y b ) (-b x b )且 (-a y a ) 顶点 (A_1(-a,0),A_2(a,0),B_1(0, - b),B_2(0,b) ) (A_1(0,-a),A_2(0,a),B_1(-b,0),B_2(b,0) ) 轴长 2 c ( 长轴长 = 2a, 短轴长 = 2b, 焦距 = F_1F_2 =2c,c^ 2 =a^ 2 -b^ 2 ) 焦点 (F_1(-c,0),F_2(c,0) ) (F_1(0,-c),F_2(0,c) ) 焦半径 ( PF_1 = ) a + ex_0 , PF_2 = a - ex_0 ( PF_1 =a - ey_0, PF_2 =a + ey_0 ) 焦点弦 2 c ( 左焦点弦 =2a + e(x_1 + x_2), 右焦点弦 =2a - e(x_1 + x_2) ) 离心率 2 c (e= c a = 1- b^ 2 a^ 2 (0 < e<1) )（离心率越大，椭圆越 扁平 ） 准线方程 x= ( a^ 2 c ) (y= a^ 2 c ) 通径 2 c 过椭圆焦点且垂直于对称轴的弦长 AB = ( 2b^ 2 a ) (最短焦点弦)

性质 2. 椭圆焦点三角形内心与旁心

0.49 [scale=1,font= , >=stealth] [->] (-2.5,0) -- (2.5,0) node[right] x ; [->] (0,-1.8) -- (0,1.8) node[left] y ; (0,0) circle (1.2pt) node[below left] O ; -1.5 1.5 2.12 1.5 60 cos( ) sin( ) (F1) at ( ,0); (F2) at ( ,0); (P) at ( , ); veclen( - ,0- ) veclen( - ,0- ) - + + ( + + )/ / - /( - ) + ( - ) (I) at ( , ); (N) at ( ,0); (0,0) ellipse [x radius= , y radius= ]; (F1) -- (P) -- (F2) -- cycle; [thick, blue] (I) circle ( ); [thick, blue] (P) -- (N); [thick, blue] (I) -- (N); [thick] (I) -- (F1); [thick] (I) -- (F2); (F1) circle (1.2pt) node[below] F_1 ; (F2) circle (1.2pt) node[below] F_2 ; (P) circle (1.2pt) node[above] P ; (I) circle (1.2pt) node[right] I ; (N) circle (1.2pt) node[below] N ; 0.49 [scale=1,font= , >=stealth] [->] (-2.5,0) -- (3,0) node[right] x ; [->] (0,-1.8) -- (0,1.8) node[left] y ; (0,0) circle (1.2pt) node[below left] O ; -1.5 1.5 2.12 1.5 60 cos( ) sin( ) (F1) at ( ,0); (F2) at ( ,0); (P) at ( , ); veclen( - ,0- ) veclen( - ,0- ) - - + + (- + + )/ (- 0+ 0+ )/ abs( ) (J) at ( , ); (C) at ( ,0); (D) at ( (P)!(J)!(F2) ); (E) at ( (F1)!(J)!(P) ); (0,0) ellipse [x radius= , y radius= ]; (F1) -- (P) -- (F2); (F1) -- ( (F1)!1.4!(P) ); [thick, blue] (J) circle ( ); [dashed, blue] (J) -- (C); [dashed, blue] (J) -- (D); [dashed, blue] (J) -- (E); (F1) circle (1.2pt) node[below] F_1 ; (F2) circle (1.2pt) node[below] F_2 ; (P) circle (1.2pt) node[above] P ; (J) circle (1.2pt) node[right] J ; (C) circle (1.2pt) node[below] C ; (D) circle (1.2pt) node[left] D ; (E) circle (1.2pt) node[above] E ; 内心定理：如左图， (I )为 ( PF_ 1 F_ 2 )内切圆的圆心， (PI )和 (F_ 1 F_ 2 )相交于点 (N )，由角平分线性质定理得： [ IN IP = F_1N F_1P = F_2N F_2P = F_1N + F_2N F_1P + F_2P = 2c 2a = e S_ IF_ 1 F_ 2 S_ PF_ 1 F_ 2 - S_ IF_ 1 F_ 2 = y_I y_P - y_I = IN IP = e ] 旁心定理：如右图所示，焦点三角形 (PF_ 1 F_ 2 )的旁切圆 (J )和 (F_ 1 F_ 2 )的延长线、 (PF_ 2 )、 (F_ 1 P )的延长线分别切于点 (C )、 (D )、 (E )，旁心 (J )的轨迹为： (x = a )，和长轴的顶点相切，其中 (-b < y < b )且 (y 0 )． 证明： 由切线长定理有 2 F_1C = F_1E + F_1C = F_1P + PE + F_1F_2 + F_2D = F_1P + 2c + PF_2 = 2a + 2c . 所以 F_1C = a + c . 又 x_C = x_ F_1 + F_1C = -c + (a+c) = a ； 同理若旁切圆在左侧，切点坐标为 -a .故圆心 J 的横坐标为 x_J = x_C = a (或 -a ). 故旁心 J 的轨迹在直线 x = a 上.

性质 3. 焦点三角形

0.7 椭圆 ( x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2 = 1(a>b > 0) )焦点为 (F_ 1 )， (F_ 2 )， (P )为椭圆上的点， ( F_ 1 PF_ 2 = )， ( PF_ 1 F_ 2 = )， ( PF_ 2 F_ 1 = )，如图， 则 [S_ F_ 1 PF_ 2 = b^ 2 1 + =b^ 2 2 ] 0.29 [scale=0.9, >=stealth] % 椭圆参数 2.2 1.7 sqrt( - ) 62 % 点的定义（P 严格在椭圆上） (O) at (0,0); (F1) at (- ,0); (F2) at ( ,0); (P) at ( cos( ) , sin( ) ); % 坐标轴与椭圆 [->] (-2.5,0) -- (2.5,0) node[right] x ; [->] (0,-2) -- (0,2.3) node[left] y ; (O) ellipse [x radius= , y radius= ]; % 焦点三角形 (F1) -- (P) -- (F2) -- cycle; % 角度标注：alpha = ∠PF1F2, beta = ∠PF2F1, theta = ∠F1PF2 F1 center F2 center F1 center P center [blue] (F1) +( :0.42) arc ( : :0.42) node[midway, right, yshift=1pt] ; F2 center P center F2 center F1 center [blue] (F2) +( :0.42) arc ( : :0.42) node[midway, left, yshift=1pt] ; P center F1 center P center F2 center [blue] (P) +( :0.36) arc ( : :0.36) node[midway, below, xshift=-2pt] ; % 点标注 (O) circle (1.2pt) node[below left] O ; (F1) circle (1.2pt) node[below] F_1 ; (F2) circle (1.2pt) node[below] F_2 ; (P) circle (1.2pt) node[above] P ; 证明： 设 ( PF_ 1 = m )， ( PF_ 2 = n )， 由椭圆定义 (m + n = 2a )，两边平方得 ((m + n)^ 2 =4a^ 2 )，展开为 (m^ 2 +n^ 2 +2mn = 4a^ 2 ) 由余弦定理，在 ( F_ 1 PF_ 2 )中， ( F_ 1 F_ 2 ^ 2 =m^ 2 +n^ 2 -2mn )，又 ( F_ 1 F_ 2 = 2c )，即 (m^ 2 +n^ 2 -2mn =(2c)^ 2 ) 两式相减得： m^ 2 +n^ 2 +2mn-(m^ 2 +n^ 2 -2mn )=4a^ 2 -4c^ 2 2mn + 2mn =4b^ 2 mn= 2b^ 2 1 + [S_ F_ 1 PF_ 2 = 1 2 mn = 1 2 2b^ 2 1 + =b^ 2 1 + =b^ 2 2 2 2 2 ^ 2 2 =b^ 2 2 ] 直角三角等面积法：当 (PF_ 1 PF_ 2 )时，有 [S_ F_ 1 PF_ 2 = b^ 2 = 2c y_ p 2 y_ p = b^ 2 c S_ F_ 1 PF_ 2 = b^ 2 = mn 2 mn = 2b^ 2 r = a - c （ r 为内切圆半径） ] 任意角度的等面积法： [S_ F_ 1 PF_ 2 =c y_ p =b^ 2 2 = 1 2 PF_1 PF_2 = 1 2 PF_ 1 PF_ 2 =(a + c)r （ r 为内切圆半径） ] 最大面积、最大夹角问题：当点 (P )位于椭圆的短轴顶点时， (S_ F_ 1 PF_ 2 = 2c y_ p 2 =c y_ p = bc )取最大值， 即 [S_ F_ 1 PF_ 2 =b^ 2 2 bc 2 c b 2 e ] 直角顶点的讨论：当 (S_ F_ 1 PF_ 2 =b^ 2 2 =bc )时， ( )取得最大值 c c c c c 条件 角度关系 (c )与 (b )的关系 离心率 (e )的范围 直角顶点 (P )的个数 ( >90^ ) ( 2 >45^ )， ( 2 = c b >1 ) (c > b ) ( 2 2 <e<1 ) 4个 ( = 90^ ) ( 2 =45^ )， ( 2 = c b =1 ) (c = b ) (e= 2 2 ) 2个 ( <90^ ) ( 2 <45^ )， ( 2 = c b <1 ) (c < b ) (0<e< 2 2 ) 0个 （注意： (PF_ 1 PF_ 2 )与 (Rt PF_ 1 F_ 2 )的区别） 已知椭圆方程为 ( x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2 = 1(a>b > 0) )， 左右两焦点分别为 (F_ 1 )、 (F_ 2 )， (P )是椭圆上一点， 在焦点三角形 (PF_ 1 F_ 2 )中， ( PF_ 1 F_ 2 = )， ( PF_ 2 F_ 1 = )，则有： [ e = 2c 2a = F_ 1 F_ 2 PF_ 1 + PF_ 2 = + = ( + ) + = 1 - 2 2 1+ 2 2 ] [ 2 2 = a - c a + c = 1 - e 1 + e ]

定理 1. 椭圆的焦长和焦比

[scale=1.1, >=stealth, line join=round, line cap=round] 1.35 0.92 sqrt( - ) % 第一幅图 [shift= (0,0) ] - 62 (cos( )^2)/( ) + (sin( )^2)/( ) 2* cos( )/( ) ( )/( ) - 1 sqrt( - 4* ) (- + )/(2* ) (- - )/(2* ) (O1) at (0,0); (F11) at ( ,0); (F21) at (- ,0); (A1) at ( + cos( ) , sin( ) ); (B1) at ( + cos( ) , sin( ) ); [->] (-1.75,0) -- (1.75,0) node[below] x ; [->] (0,-1.18) -- (0,1.35) node[left] y ; (O1) ellipse [x radius= , y radius= ]; [blue] (A1) -- (B1); (F21) -- (A1); (F21) -- (B1); [blue] ( (F11)+(0:0.32) ) arc[start angle=0, end angle= , radius=0.32]; (A1) circle (1.1pt); (B1) circle (1.1pt); (F11) circle (1.15pt); (F21) circle (1.15pt); [text=blue] at ( (F11)+(0.50,0.18) ) ; [above] at (A1) A ; [left] at (B1) B ; [below] at (F11) F_1 ; [below] at (F21) F_2 ; % 第二幅图 [shift= (4,0) ] - -62 (cos( )^2)/( ) + (sin( )^2)/( ) 2* cos( )/( ) ( )/( ) - 1 sqrt( - 4* ) (- + )/(2* ) (- - )/(2* ) (O2) at (0,0); (F12) at ( ,0); (F22) at (- ,0); (A2) at ( + cos( ) , sin( ) ); (B2) at ( + cos( ) , sin( ) ); [->] (-1.75,0) -- (1.75,0) node[below] x ; [->] (0,-1.18) -- (0,1.35) node[left] y ; (O2) ellipse [x radius= , y radius= ]; [blue] (A2) -- (B2); (F22) -- (A2); (F22) -- (B2); [blue] ( (F12)+(0:0.32) ) arc[start angle=0, end angle= , radius=0.32]; (A2) circle (1.1pt); (B2) circle (1.1pt); (F12) circle (1.15pt); (F22) circle (1.15pt); [text=blue] at ( (F12)+(0.50,-0.18) ) ; [below] at (A2) A ; [above left] at (B2) B ; [below] at (F12) F_1 ; [below] at (F22) F_2 ; % 第三幅图 [shift= (8,0) ] 118 (cos( )^2)/( ) + (sin( )^2)/( ) 2* cos( )/( ) ( )/( ) - 1 sqrt( - 4* ) (- + )/(2* ) (- - )/(2* ) (O3) at (0,0); (F13) at ( ,0); (F23) at (- ,0); (A3) at ( + cos( ) , sin( ) ); (B3) at ( + cos( ) , sin( ) ); [->] (-1.75,0) -- (1.75,0) node[below] x ; [->] (0,-1.18) -- (0,1.35) node[left] y ; (O3) ellipse [x radius= , y radius= ]; [blue] (A3) -- (B3); (F23) -- (A3); (F23) -- (B3); [blue] ( (F13)+(180:0.32) ) arc[start angle=180, end angle= , radius=0.32]; (A3) circle (1.1pt); (B3) circle (1.1pt); (F13) circle (1.15pt); (F23) circle (1.15pt); [text=blue] at ( (F13)+(-0.44,0.16) ) ; [above] at (A3) A ; [below right] at (B3) B ; [below] at (F13) F_1 ; [below] at (F23) F_2 ; % 第四幅图 [shift= (12,0) ] 242 (cos( )^2)/( ) + (sin( )^2)/( ) 2* cos( )/( ) ( )/( ) - 1 sqrt( - 4* ) (- + )/(2* ) (- - )/(2* ) (O4) at (0,0); (F14) at ( ,0); (F24) at (- ,0); (A4) at ( + cos( ) , sin( ) ); (B4) at ( + cos( ) , sin( ) ); [->] (-1.75,0) -- (1.75,0) node[below] x ; [->] (0,-1.18) -- (0,1.35) node[left] y ; (O4) ellipse [x radius= , y radius= ]; [blue] (A4) -- (B4); (F24) -- (A4); (F24) -- (B4); [blue] ( (F14)+(180:0.32) ) arc[start angle=180, end angle= , radius=0.32]; (A4) circle (1.1pt); (B4) circle (1.1pt); (F14) circle (1.15pt); (F24) circle (1.15pt); [text=blue] at ( (F14)+(-0.44,-0.16) ) ; [below] at (A4) A ; [above right] at (B4) B ; [below] at (F14) F_1 ; [below] at (F24) F_2 ; A 是椭圆 x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2 = 1(a>b>0) 上一点， F_1 、 F_2 是左、右焦点， AF_ 1 F_ 2 为 ， AB 过 F_ 1 ， c 是椭圆半焦距，则 AF_ 1 = b^ 2 a - c BF_ 1 = b^ 2 a + c AB = 2ab^ 2 a^ 2 -c^ 2 ^ 2 1 AF_ 1 + 1 BF_ 1 = 2a b^2 焦比定理：过椭圆 x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2 = 1 的左焦点 F_ 1 的弦，令 AF_ 1 = F_ 1 B ， b^ 2 a - c = b^ 2 a + c e = - 1 + 1 代入焦半径公式可得 AF_ 1 = + 1 2 b^2 a BF_ 1 = + 1 2 b^2 a 注意 ：使用图中的方法，总可以使 为锐角， >1 . 若 AB 、 CD 是过焦点 F 的相互垂直的弦，则 [ 1 AB + 1 CD = a^2 - c^2 ^2 2ab^2 + a^2 - c^2 ^2 ( + 2 ) 2ab^2 = 2a^2 - c^2 2ab^2 ] 证明：设 AF_1=m ， BF_1=n ， 则 AF_2=2a-m ， BF_2=2a-n ， 由余弦定理，有 m^2+(2c)^2-(2a-m)^2=2 m 2c m= b^2 a-c n^2+(2c)^2-(2a-n)^2=2 n 2c ( - ) n= b^2 a+c AB=m+n= b^2 a-c + b^2 a+c = 2ab^ 2 a^ 2 -c^ 2 ^ 2 = 2ab^ 2 b^ 2 +c^ 2 ^ 2

题型 1. 椭圆离心率范围问题

0.7 x_P [-a, a], y_P [-b, b] , OP [b, a] PF_1 + PF_2 = 2 PO [ 2b, 2a ] PF_1 [a-c, a+c] PQ [ 2b^2 a , 2a ] 极化恒等式 PF_1 PF_2 = PO ^2-c^2 [b^2-c^2, b^2] PF_1 PF_2 = PF_1 (2a- PF_1 ) [b^2, a^2] e [ 2 , 1 ) 定义转化最值 PA - PF_2 = PA - (2a - PF_1) = PA + PF_1 -2a AF_1 -2a 0.29 [scale=0.8, >=Stealth] % 绘制椭圆与坐标轴 (选用 a=2, e=1/2, 则 c=1, b= 3 1.732) (0,0) ellipse (2 and 1.732); [->] (-2.8,0) -- (2.8,0) node[right] x ; [->] (0,-2.4) -- (0,2.4) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; % 焦点 (F1) at (-1,0); (F2) at (1,0); (F1) circle (1.2pt) node[below] F_1 ; (F2) circle (1.2pt) node[below] F_2 ; % 椭圆上的点P及焦点弦对端点Q (P) at (1.414, 1.225); (Q) at (0.429, -1.691); (P) circle (1.2pt) node[above right] P ; (Q) circle (1.2pt) node[below right] Q ; % 基本连线 (P) -- (Q); % 焦点弦PQ (P) -- (F1); (P) -- (0,0); % 标注角度 (P) ++(-153.1:0.4) arc (-153.1:-108.7:0.4); at ([shift= (-131:0.65) ]P) ; % 外部定点A（用于体现最值转化：点P到两点距离之和/差的问题） (A) at (2.6, 1.5); (A) circle (1.2pt) node[right] A ; % [dashed] (P) -- (A) -- (F1);

双曲线

定义 1. 第一定义（人教A选必一P118）

平面内与两个定点 ( F_1, F_2 ) 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于 ( F_1F_2 ) ）的点的轨迹叫做双曲线 . 其中，两个定点 ( F_1, F_2 ) 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 设 ( M(x, y) ) 是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为 ( 2c (c>0) )，则焦点 ( F_1, F_2 ) 的坐标分别为 ( (-c, 0) )、 ( (c, 0) )，点 ( M ) 满足 ( MF_1 - MF_2 = 2a (0 < 2a < F_1F_2 ) )，双曲线可看作点集： ( P = M MF_1 - MF_2 = 2a, 0 < 2a < F_1F_2 ) 由 ( (x + c)^ 2 +y^ 2 - (x - c)^ 2 +y^ 2 = 2a )，可化简得 ( x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 = 1(a,b>0) )． 注意： ( PF_ 1 - PF_ 2 = 2a )与 ( PF_ 2 - PF_ 1 = 2a )（ (a>0 )）分别表示双曲线的一支．若有“绝对值”，点的轨迹表示双曲线的两支；若无“绝对值”，点的轨迹仅为双曲线的 一支 ； 若 ( 2a = F_1F_2 )，则点的轨迹是 射线 F_1F_2 或 F_2F_1 ； 若 ( 2a = 0 )，则点的轨迹是 线段 F_1F_2 的垂直平分线 ； 若 ( 2a > F_1F_2 )，则点的轨迹 不存在 ；

定义 2. 第二定义（人教A选修一P125例5）

若点 ( M(x, y) ) 与定点 ( F(c, 0) )（或 ( F'(-c, 0) ) ）的距离，和它到定直线 ( l: x = a^2 c )（或 ( l': x = - a^2 c ) ）的距离的比是常数 ( e = c a (c > a > 0) )，则点 ( M ) 的轨迹是双曲线 . 由 ( (x - c)^ 2 +y^ 2 a^ 2 c -x = c a )，可化简得 ( x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 = 1(a,b>0) )．

定义 3. 第三定义（人教A选修一P101探究）

到关于原点对称的两个定点连线的斜率之积为定值 ( b^ 2 a^ 2 )或 (e^ 2 -1(e > 1) ) 的点的轨迹是双曲线；通常定点为实轴或虚轴顶点，定值为正值． 设 (B(x,y) )是双曲线上任意一点，两个定点为 (A(x_1,y_1) )、 (A'(-x_1,-y_1) )，常数 (e = c a )， (k_ BA k_ BA' = y - y_1 x - x_1 y + y_1 x + x_1 = y^ 2 -y_1^ 2 x^ 2 -x_1^ 2 )，根据双曲线方程：将 ( x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 = 1(a,b>0) )，变形成 (y^ 2 = b^ 2 x^ 2 a^ 2 -b^ 2 )， 所以 (k_ BA k_ BA' = b^ 2 a^ 2 )，双曲线上动点到关于原点对称的两个定点的连线的斜率之积等于常数． 垂径定理与点差法： 若双曲线与直线 (l )交于 (AB )两点，其中 (A(x_ 1 ,y_ 1 ) )， (B(x_ 2 ,y_ 2 ) )， (M(x_ 0 ,y_ 0 ) )为 (AB )中点， (k_ AB k_ OM = b^ 2 a^ 2 ) 1 证明： 设 (A(x_ 1 ,y_ 1 ) )， (B(x_ 2 ,y_ 2 ) )， (M(x_ 0 ,y_ 0 ) )， 则 ( x_ 1 ^ 2 a^ 2 - y_ 1 ^ 2 b^ 2 = 1 1 x_ 2 ^ 2 a^ 2 - y_ 2 ^ 2 b^ 2 = 1 2 ) 1 - 2 ,得 x_1^ 2 -x_2^ 2 a^ 2 - y_1^ 2 -y_2^ 2 b^ 2 = 0 y_1 - y_2 x_1 - x_2 y_1 + y_2 x_1 + x_2 = b^ 2 a^ 2 [ x_ 1 +x_ 2 2 =x_ 0 3 y_ 1 +y_ 2 2 =y_ 0 4 k_ AB = y_ 1 -y_ 2 x_ 1 -x_ 2 5 ] 将 ( 3 4 5 )代入得： (k_ AB k_ OM = y_ 1 -y_ 2 x_ 1 -x_ 2 y_ 1 +y_ 2 x_ 1 +x_ 2 = y_ 1 -y_ 2 x_ 1 -x_ 2 y_ 0 x_ 0 = b^ 2 a^ 2 ) [scale=0.55, >=stealth] % 图一：横轴顶点，动点B，固定点A', A [shift= (0,0) ] [->] (-2.5,0) -- (2.5,0) node[right] x ; [->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node[left] y ; [below right] at (0,0) O ; [domain=-1.5:1.5, samples=50] plot ( cosh( ) , 1.2*sinh( ) ); [domain=-1.5:1.5, samples=50] plot ( -cosh( ) , 1.2*sinh( ) ); (Ap) at (-1,0); (A) at (1,0); (B) at (-1.543, 1.414); % (-cosh(1), 1.2*sinh(1)) [thick, blue] (B) node[left] B -- (Ap) node[below left] A' ; [thick, blue] (B) -- (A) node[below right] A ; at (0,-3.5) k_ BA' k_ BA = b^2 a^2 ; % 图二：双曲线上对称点A', A，动点B [shift= (6,0) ] [->] (-2.5,0) -- (2.5,0) node[right] x ; [->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node[left] y ; [below right] at (0,0) O ; [domain=-1.5:1.5, samples=50] plot ( cosh( ) , 1.2*sinh( ) ); [domain=-1.5:1.5, samples=50] plot ( -cosh( ) , 1.2*sinh( ) ); (Ap) at (-1.128, -0.624); % (-cosh(0.5), 1.2*sinh(-0.5)) (A) at (1.128, 0.624); (B) at (-1.543, 1.414); [thick, blue] (B) node[left] B -- (Ap) node[below left] A' ; [thick, blue] (B) -- (A) node[right] A ; (Ap) -- (A); at (0,-3.5) k_ BA' k_ BA = b^2 a^2 ; % 图三：交异侧分支A, B，中点M (原图四提到三的位置) [shift= (12,0) ] [->] (-2.5,0) -- (2.5,0) node[right] x ; [->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node[left] y ; [below right] at (0,0) O ; [domain=-1.5:1.5, samples=50] plot ( cosh( ) , 1.2*sinh( ) ); [domain=-1.5:1.5, samples=50] plot ( -cosh( ) , 1.2*sinh( ) ); (A) at (-1.128, 0.624); (B) at (1.76, 1.76); (M) at (0.316, 1.192); [thick, blue] (A) node[left] A -- (B) node[right] B ; [thick, blue] (0,0) -- (M) node[above] M ; at (0,-3.5) k_ AB k_ OM = b^2 a^2 ; % 图四：A、B在渐近线上，中点M [shift= (18,0) ] [->] (-2.5,0) -- (2.5,0) node[right] x ; [->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node[left] y ; [below right] at (0,0) O ; [domain=-1.5:1.5, samples=50] plot ( cosh( ) , 1.2*sinh( ) ); [domain=-1.5:1.5, samples=50] plot ( -cosh( ) , 1.2*sinh( ) ); % 画渐近线 y = 1.2 x 和 y = -1.2 x [thin] (-1.8, -2.16) -- (1.8, 2.16); [thin] (-1.8, 2.16) -- (1.8, -2.16); (A) at (-0.9, 1.08); % y = -1.2x (B) at (1.5, 1.8); % y = 1.2x (M) at (0.3, 1.44); [thick, blue] (A) node[left] A -- (B) node[right] B ; [thick, blue] (0,0) -- (M) node[above] M ; at (0,-3.5) k_ AB k_ OM = b^2 a^2 ;

性质 1. 双曲线基本性质（人教A选必一P121）

c Y Y 标准方程 ( x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 = 1(a > 0,b > 0) ) ( y^ 2 a^ 2 - x^ 2 b^ 2 = 1(a > 0,b > 0) ) 焦点 焦点在 (x )轴上 焦点在 (y )轴上 图形 [scale=1.2, >=Stealth] % 渐近线 [dashed, black, thick] (2, 2) -- (-2, -2) node[below] y= b a x ; [dashed, black, thick] (-2, 2) -- (2, -2) node[below] y=- b a x ; % 阴影三角形 [blue!30] (0,0) -- (1,0) -- (1,1) -- cycle; [blue!30] (0,0) -- (-1.414, 0) -- (-0.707, 0.707) -- cycle; % 坐标轴 [->, thick] (-2.5, 0) -- (2.5, 0) node[below] x ; [->, thick] (0, -2.5) -- (0, 2.5) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; % 双曲线 (a=1, b=1, c=1.414) [thick, black, domain=-1.5:1.5, smooth, samples=50] plot ( cosh( ) , sinh( ) ); [thick, black, domain=-1.5:1.5, smooth, samples=50] plot ( -cosh( ) , sinh( ) ); % 准线 [dashed, red, thick] (0.707, 1.8) -- (0.707, -1.8) node[below, black] x= a^2 c ; [dashed, red, thick] (-0.707, 1.8) -- (-0.707, -1.8) node[below, black] x=- a^2 c ; % 顶点与焦点 (-1, 0) circle (1.5pt) node[below] A_1 ; (1, 0) circle (1.5pt) node[below] A_2 ; (0, -1) circle (1.5pt) node[below left] B_1 ; (0, 1) circle (1.5pt) node[above left] B_2 ; (-1.414, 0) circle (1.5pt) node[below] F_1 ; (1.414, 0) circle (1.5pt) node[below] F_2 ; % 辅助矩形 (实轴虚轴边界) [dotted, black, thick] (-1, -1) rectangle (1, 1); % 基础矩形直角三角形 (a, b, c) [thick, black] (1,0) -- (1,1) node[midway, right] b ; [thick, black] (0,0) -- (1,0) node[midway, below] a ; [thick, black] (0,0) -- (1,1) node[midway, above left] c ; % F1焦点到渐近线距离的直角三角形 (a, b, c) 位于第二象限 [thick, black] (0,0) -- (-0.707, 0.707) node[midway, above right] a ; [thick, black] (-1.414, 0) -- (-0.707, 0.707) node[midway, above left] b ; [thick, black] (0,0) -- (-1.414, 0) node[midway, below] c ; % 直角符号 (精确沿着边缘) [black, thin] (-0.636, 0.636) -- (-0.707, 0.565) -- (-0.778, 0.636); [scale=1.2, >=Stealth] % 渐近线 [dashed, black, thick] (-2, -2) -- (2, 2) node[right] y= a b x ; [dashed, black, thick] (-2, 2) -- (2, -2) node[right] y=- a b x ; % 阴影三角形 [blue!30] (0,0) -- (0,1) -- (1,1) -- cycle; % 蓝底 F1 到渐近线的三角形 (F1 在 y轴负半轴, 射影在第三象限) [blue!30] (0,0) -- (0, -1.414) -- (-0.707, -0.707) -- cycle; % 坐标轴 [->, thick] (-2.5, 0) -- (2.5, 0) node[below] x ; [->, thick] (0, -2.5) -- (0, 2.5) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; % 双曲线 (a=1, b=1, c=1.414) [thick, black, domain=-1.5:1.5, smooth, samples=50] plot ( sinh( ) , cosh( ) ); [thick, black, domain=-1.5:1.5, smooth, samples=50] plot ( sinh( ) , -cosh( ) ); % 准线 [dashed, red, thick] (-1.8, 0.707) -- (1.8, 0.707) node[right, black] y= a^2 c ; [dashed, red, thick] (-1.8, -0.707) -- (1.8, -0.707) node[right, black] y=- a^2 c ; % 顶点与焦点 (0, -1) circle (1.5pt) node[left] A_1 ; (0, 1) circle (1.5pt) node[left] A_2 ; (-1, 0) circle (1.5pt) node[below left] B_1 ; (1, 0) circle (1.5pt) node[below right] B_2 ; (0, -1.414) circle (1.5pt) node[left] F_1 ; (0, 1.414) circle (1.5pt) node[left] F_2 ; % 辅助矩形 (实轴虚轴边界) [dotted, black, thick] (-1, -1) rectangle (1, 1); % 基础矩形直角三角形 (a, b, c) [thick, black] (0,1) -- (1,1) node[midway, above] b ; [thick, black] (0,0) -- (0,1) node[midway, left] a ; [thick, black] (0,0) -- (1,1) node[midway, below right] c ; % F1焦点到渐近线距离的直角三角形 (a, b, c) [thick, black] (0,-1.414) -- (-0.707, -0.707) node[midway, below left] b ; [thick, black] (0,0) -- (-0.707, -0.707) node[midway,left] a ; [thick, black] (0,0) -- (0, -1.414) node[midway, right] c ; % 直角符号 (精确沿着边缘) [black, thin] (-0.636, -0.636) -- (-0.565, -0.707) -- (-0.636, -0.778); 范围 (x -a )或 (x a,y R ) (y -a )或 (y a,x R ) 顶点 (A_1(-a,0) )、 (A_2(a,0) ) (A_1(0,-a) )、 (A_2(0,a) ) 轴长 2 c 虚轴长 ( = 2b ), 实轴长 ( = 2a ), 焦距 (= F_1F_2 = 2c ), (c^ 2 =a^ 2 +b^ 2 ) 焦点 (F_1(-c,0) )、 (F_2(c,0) ) (F_1(0,-c) )、 (F_2(0,c) ) 焦半径 (P )在右支 ( PF_ 1 = ex_ 0 +a PF_ 2 = ex_ 0 -a ) (P )在左支 ( PF_ 1 = - ex_ 0 - a PF_ 2 = a - ex_ 0 ) (P )在上支 ( PF_ 1 = ey_ 0 + a PF_ 2 = ey_ 0 - a ) (P )在下支 ( PF_ 1 =-a - ey_ 0 PF_ 2 =a - ey_ 0 ) 离心率 2 c ( e = c a = 1 + b^ 2 a^ 2 ( e >1) )（离心率越大，开口越 开阔 ） 准线方程 (x= a^ 2 c ) (y= a^ 2 c ) 渐近线 (y = b a x ) (y = a b x ) 通径 2 c 过双曲线焦点且垂直于对称轴的弦长 ( AB = 2b^ 2 a )

定义 4. 等轴双曲线

在双曲线方程 ( x^2 a^2 - y^2 b^2 = 1 )（ (a > 0 )， (b > 0 )）中，如果 (a = b )，那么方程变为 (x^2 - y^2 = a^2 )，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于 (2a ).这时，四条直线 (x = a )， (y = a )围成正方形，渐近线方程为 (y = x )，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. 等轴双曲线具有以下主要性质： % 编号样式：(1)、(2)、(3)... 因 ( a = b )，则 ( c^2 = 2a^2 )，即 ( c = 2 a )，代入得离心率： (e = 2 ). 对双曲线上任意一点 ( P )，设中心为 ( O )，两焦点为 ( F_1, F_2 )，则 ( P ) 到中心 ( O ) 的距离 ( PO )，是 ( P ) 到两焦点距离 ( PF_1 , PF_2 ) 的比例中项，即： ( PO ^2 = PF_1 PF_2 ). 过焦点作两条互相垂直的直线与双曲线相交，所得两条焦点弦长度相等. 若两条焦点弦倾斜角互余（和为 ( 90^ ) ），则它们的长度相等. 等轴双曲线上任取不同三点构成内接三角形，该三角形的垂心也在这条等轴双曲线上. 等轴双曲线绕其中心以逆时针方向旋转 (45^ )后，可得 (xy = a^ 2 2 )，故反比例函数 (y= k x (k 0) )是等轴双曲线.

性质 2. 焦点三角形

0.7 双曲线 ( x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 = 1(a > 0, b > 0) )的焦点为 (F_1 )、 (F_2 )， (P )为双曲线上的点， ( F_1PF_2 = )， ( PF_ 1 F_ 2 = )， ( PF_ 2 F_ 1 = )，如图，则 [S_ F_1PF_2 = b^ 2 1 - = b^ 2 2 ] 0.29 [scale=0.78, >=stealth] % 双曲线参数 1 1.5 sqrt( + ) 0.9 % 关键点（P 严格在右支双曲线上） (O) at (0,0); (F1) at (- ,0); (F2) at ( ,0); (P) at ( cosh( ) , sinh( ) ); % 坐标轴 [->] (-2.5,0) -- (2.5,0) node[right] x ; [->] (0,-2.0) -- (0,2) node[left] y ; % 双曲线两支 [samples=120, domain=-1.05:1.05] plot ( cosh( ) , sinh( ) ); [samples=120, domain=-1.05:1.05] plot ( - cosh( ) , sinh( ) ); % 焦点三角形 (F1) -- (P) -- (F2) -- cycle; % 底角 alpha = ∠PF1F2 F1 center F2 center F1 center P center [blue] (F1) +( :0.6) arc ( : :0.6) node[midway, right, xshift=1pt, yshift=1pt] ; % 底角 beta = ∠PF2F1 F2 center P center F2 center F1 center [blue] (F2) +( :0.38) arc ( : :0.38) node[midway, left, yshift=1pt] ; % 顶角 theta = ∠F1PF2（由坐标自动计算） P center F1 center P center F2 center [blue] (P) +( :0.34) arc ( : :0.34) node[midway, below, xshift=-5pt] ; % 点标注 (O) circle (1.2pt) node[below left] O ; (F1) circle (1.2pt) node[below] F_1 ; (F2) circle (1.2pt) node[below] F_2 ; (P) circle (1.2pt) node[above] P ; 证明： 设 ( PF_1 =m )， ( PF_2 =n )， ( F_1F_2 = 2c )， 由双曲线定义： ( m - n =2a )，平方得 (m^ 2 +n^ 2 -2mn = 4a^ 2 ) 余弦定理： ((2c)^ 2 =m^ 2 +n^ 2 -2mn ) 两式相减得： ((m^ 2 +n^ 2 -2mn )-(m^ 2 +n^ 2 -2mn)=4c^ 2 -4a^ 2 )，即 (2mn(1 - )=4b^ 2 )，所以 (mn= 2b^ 2 1 - ) 故 (S_ F_1PF_2 = 1 2 mn =b^ 2 1 - = b^ 2 2 ) 直角三角等面积法：当 (PF_1 PF_2 )时，有 (S_ F_1PF_2 =b^ 2 = 2c y_P 2 y_P = b^ 2 c b^ 2 = mn 2 mn = 2b^ 2 ) 任意角度的等面积法： (S_ F_1PF_2 =c y_P = b^ 2 2 = 1 2 PF_1 PF_2 = 1 2 PF_1 PF_2 ) 设双曲线方程为 ( x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 = 1(a>0,b>0) )， 其左右两焦点分别为 (F_1,F_2 )， (P )是双曲线上一点，在焦点三角形 (PF_1F_2 )中， ( PF_ 1 F_ 2 = )， ( PF_ 2 F_ 1 = )，有： [e= 2c 2a = F_1F_2 PF_1 - PF_2 = - = ( + ) - = + 2 - 2 = 2 - 2 1 + 2 2 ]

性质 3. 双曲线焦点三角形的内心和旁心

内心定理 ：已知双曲线 ( x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 = 1(a > 0,b > 0) )，则焦点三角形 (PF_1F_2 )的内心 (I )的轨迹是： (x = a ;(-b < y < b,y 0) )，和实轴的两个顶点相切. 证明：设内切圆分别与 (PF_1,PF_2,F_1F_2 )切于 (E,T,D ). 由切线长定理： ( PE = PT ), ( F_1E = F_1D ), ( F_2T = F_2D )， 故 ( PF_1 - PF_2 =( PE + F_1E )-( PT + F_2T )= F_1D - F_2D ). 0.6 当 (P )在右支时， ( PF_1 - PF_2 =2a )，所以 [ F_1D - F_2D =2a, F_1D + F_2D = F_1F_2 =2c. ] 联立得 ( F_1D =c+a ), ( F_2D =c-a ). 又 [ x_D=x_ F_1 + F_1D =-c+(c+a)=a. ] 因 (ID F_1F_2 )，故 (x_I=x_D=a ). 同理，当 (P )在左支时可得 (x_I=-a ). 0.39 [scale=1.1, >=stealth] (-2.2, -0.7) rectangle (2.6, 2.2); 1 1.5 sqrt( + ) 0.9 cosh( ) sinh( ) (O) at (0,0); (F1) at (- ,0); (F2) at ( ,0); (P) at ( , ); veclen(- - ,- ) veclen( - ,- ) 2* + + ( (- )+ ( )+ )/ ( )/ abs( ) (I) at ( , ); (D) at ( ,0); (E) at ( (F1)!(I)!(P) ); (T) at ( (P)!(I)!(F2) ); [->] (-2.2,0) -- (2.2,0) node[right] x ; [->] (0,-1.8) -- (0,2) node[left] y ; [below left] at (O) O ; [samples=120, domain=-1.05:1.05] plot ( cosh( ) , sinh( ) ); [samples=120, domain=-1.05:1.05] plot ( - cosh( ) , sinh( ) ); (F1) -- (P) -- (F2) -- cycle; [blue] (I) circle ( ); [dashed, blue] (I) -- (D); [dashed, blue] (I) -- (E); [dashed, blue] (I) -- (T); (F1) circle (1.2pt) node[below] F_1 ; (F2) circle (1.2pt) node[below] F_2 ; (P) circle (1.2pt) node[above] P ; (I) circle (1.2pt) node[left] I ; (D) circle (1.2pt) node[below] D ; (E) circle (1.2pt) node[above] E ; (T) circle (1.2pt) node[right] T ; 0.6 旁心定理 ： (I )是 ( PF_1F_2 )的旁心， (D )为 ( F_1PF_2 )外角平分线与 (x )轴的交点. 由角平分线性质定理得： [ ID IP = DF_1 PF_1 = DF_2 PF_2 = DF_1 - DF_2 PF_1 - PF_2 = 2c 2a = e ] [ S_ IF_1D S_ PF_1I = y_I y_P - y_I = ID IP = e ] 0.39 [scale=0.35, >=stealth] % 添加裁剪框 (-6.5, -3.8) rectangle (12, 5.5); (O) at (0,0); (F1) at (-5,0); (F2) at (5,0); (P) at (3.75, 3); (I) at (6.25, 1.875); (D) at (10.417, 0); % Axes [->] (-6, 0) -- (11.5, 0) node[below] x ; [->] (0, -3.5) -- (0, 5) node[left] y ; [below left] at (O) O ; % Hyperbola [ domain=-1.5:1.5, samples=50] plot ( 3*cosh( ) , 4*sinh( ) ); [ domain=-1.5:1.5, samples=50] plot ( -3*cosh( ) , 4*sinh( ) ); % Extended line coordinate E on F1-P ray (E) at (8.125, 4.5); % Triangle and bisector lines (Blue) (F1) -- (E); (F1) -- (D); (P) -- (F2); [blue] (P) -- (D); % 连接 IF1 和 IF2 (I) -- (F1); (I) -- (F2); % Excircle (I) circle (1.875); % Tangency points (T1) at (5.642, 3.649); (T2) at (4.519, 1.154); (T3) at (6.25, 0); % Tangency radii [dashed] (I) -- (T1); [dashed] (I) -- (T2); [dashed] (I) -- (T3); % Perpendicular symbols (T1p1) at ( (T1)!10pt!(F1) ); (T1p2) at ( (T1)!10pt!(I) ); (T1p3) at ( (T1p1)+(T1p2)-(T1) ); [ thin] (T1p1) -- (T1p3) -- (T1p2); (T2p1) at ( (T2)!10pt!(F2) ); (T2p2) at ( (T2)!10pt!(I) ); (T2p3) at ( (T2p1)+(T2p2)-(T2) ); [ thin] (T2p1) -- (T2p3) -- (T2p2); (T3p1) at ( (T3)!10pt!(F1) ); (T3p2) at ( (T3)!10pt!(I) ); (T3p3) at ( (T3p1)+(T3p2)-(T3) ); [ thin] (T3p1) -- (T3p3) -- (T3p2); % Points and labels (F1) circle (1.5pt) node[below] F_1 ; (F2) circle (1.5pt) node[below left] F_2 ; (P) circle (1.5pt) node[above left] P ; (I) circle (1.5pt) node[above right] I ; (D) circle (1.5pt) node[below] D ; [blue] (T1) circle (1.5pt); [blue] (T2) circle (1.5pt); [blue] (T3) circle (1.5pt);

性质 4. 双曲线焦点三角形的内心推论

0.7 推论1 如图，点 (P )是双曲线 ( x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 = 1(a > 0,b > 0) )左支上除顶点外的一点， (F_1 )、 (F_2 )分别是双曲线的左、右焦点， ( PF_1F_2= )， ( PF_2F_1= )，双曲线的离心率为 (e )， PF_1F_2 内切圆半径为 r ，则 [ 2 2 = r c - a c + a r = e + 1 e - 1 ] r = 2S_ PF_1F_2 PF_1 + PF_2 + F_1F_2 = 2 ( 1 2 2c y_P ) (ex_P + a) + (ex_P - a) + 2c = c y_P ex_P + c = c b a x_P^2 - a^2 ex_P + c = b x_P^2 - a^2 x_P + a = b x_P - a x_P + a = b 1 - 2a x_P + a (0, b) 0.29 [scale=0.74, >=stealth, line join=round, line cap=round] 1 1.7 sqrt( + ) 0.95 - cosh( ) sinh( ) veclen( + , ) veclen( - , ) (2* )/( + +2* ) (O) at (0,0); (F1) at (- ,0); (F2) at ( ,0); (P) at ( , ); (D) at (- ,0); (I) at (- , ); (-2.2,-2.2) rectangle (3.2,3.2); [->] (-3,0) -- (3,0) node[below] x ; [->] (0,-3.0) -- (0,3) node[left] y ; [below left] at (O) O ; [dashed] (-3, - / 3 ) -- (3, / 3 ); [dashed] (-3, / 3 ) -- (3, - / 3 ); [samples=120, domain=-2:2] plot ( cosh( ) , sinh( ) ); [samples=120, domain=-2:2] plot ( - cosh( ) , sinh( ) ); (P) -- (F1) -- (F2) -- cycle; (F1) -- (I) -- (F2); (I) circle ( ); (I) -- (D); ( (D)+(0,0.15) ) -- ++(0.15,0) -- ++(0,-0.15); F1 center P center [blue] (F1)+(0:0.32) arc[start angle=0, end angle= , radius=0.32]; [text=blue] at ( (F1)+(0.58,0.44) ) ; F2 center P center [blue] (F2)+( :0.35) arc[start angle= , end angle=180, radius=0.35]; [text=blue] at ( (F2)+(-0.62,0.30) ) ; (F1) circle (1.4pt) node[below] F_1 ; (F2) circle (1.4pt) node[below] F_2 ; (P) circle (1.4pt) node[left] P ; (I) circle (1.4pt) node[above] I ; (D) circle (1.4pt); 0.7 推论 2 如图，过 F_2 的直线与双曲线的右支交于 M 、 N 两点， (O_1 )为焦点三角形 (MF_1F_2 )的内心， (O_2 )为焦点三角形 (NF_1F_2 )的内心，直线 (MN )倾斜角为 ( )， 令 ( AO_1 = r_1 )， ( AO_2 = r_2 )，（这里不妨设 r_1 > r_2 ， 始终为锐角） 直线与双曲线右支相交两点则 > b a = e^2 - 1 < 1 e r_1 =(c-a) O_1F_2A = (c-a) ( - 2 )= c-a 2 r_2 =(c-a) O_2F_2A = (c-a) 2 r_1r_2=(c - a)^2 r_1+r_2 = (c - a) ( 2 2 + 2 2 ) = (c - a) ^2 2 + ^2 2 2 2 = 2(c - a) r_1-r_2 = (c - a) ( 2 2 - 2 2 ) = (c - a) ^2 2 - ^2 2 2 2 = 2(c - a) r_1 r_2 = 1 ( 2 )^2 = ( 2 2 )^2 = 1+ 1- < 1+ 1 e 1- 1 e = e + 1 e - 1 0.29 [scale=0.7, >=stealth, line join=round, line cap=round] 1.1 1.55 sqrt( + ) 8.0 1/( ) - ( )/( ) 2* /( ) -( )/( ) - 1 sqrt( - 4* ) (- + )/(2* ) (- - )/(2* ) max( , ) min( , ) ( - ) ( - ) veclen( + , ) veclen( - , ) veclen( + , ) veclen( - , ) (2* )/( + +2* ) -(2* )/( + +2* ) (O) at (0,0); (F1) at (- ,0); (F2) at ( ,0); (M) at ( , ); (N) at ( , ); (A) at ( ,0); (O1) at ( , ); (O2) at ( ,- ); (-3.2,-3.2) rectangle (3.2,3.2); [->] (-3.0,0) -- (3,0) node[below] x ; [->] (0,-3) -- (0,3) node[left] y ; [below left] at (O) O ; [dashed] (-2.75, - / 2.75 ) -- (2.75, / 2.75 ); [dashed] (-2.75, / 2.75 ) -- (2.75, - / 2.75 ); [samples=120, domain=-2:2] plot ( cosh( ) , sinh( ) ); [samples=120, domain=-2:2] plot ( - cosh( ) , sinh( ) ); (F1) -- (M); (F1) -- (N); (M) -- (N); (O1) circle ( ); (O2) circle ( ); (O1) -- (A); (O2) -- (A); (F2) -- (O1); (F2) -- (O2); F2 center M center [blue] (F2)+(0:0.35) arc[start angle=0, end angle= , radius=0.35]; [text=blue] at ( (F2)+(0.52,0.22) ) ; (F1) circle (1.4pt) node[below] F_1 ; (F2) circle (1.4pt) node[below] F_2 ; (A) circle (1.4pt) node[below left] A ; (M) circle (1.4pt) node[right] M ; (N) circle (1.4pt) node[right] N ; (O1) circle (1.4pt) node[left] O_1 ; (O2) circle (1.4pt) node[left] O_2 ;

结论 1. 双曲线焦比定理之交一支类型

[scale=0.75, >=stealth, line join=round, line cap=round] 1.2 1.2 sqrt( + ) % 第一幅图 [shift= (0,0) ] - -80 (cos( )^2)/( ) - (sin( )^2)/( ) 2* cos( )/( ) ( )/( ) - 1 sqrt( - 4* ) (- + )/(2* ) (- - )/(2* ) (F11) at ( ,0); (F21) at (- ,0); (A1) at ( + cos( ) , sin( ) ); (B1) at ( + cos( ) , sin( ) ); [->] (-2.6,0) -- (2.6,0) node[below] x ; [->] (0,-2.25) -- (0,2.25) node[left] y ; [samples=120, domain=-1.25:1.25] plot ( cosh( ) , sinh( ) ); [samples=120, domain=-1.25:1.25] plot ( - cosh( ) , sinh( ) ); [blue, thick] (A1) -- (B1); (F21) -- (A1); (F21) -- (B1); [blue, thick] ( (F11)+(0:0.38) ) arc[start angle=0, end angle= , radius=0.38]; (A1) circle (1.15pt); (B1) circle (1.15pt); (F11) circle (1.15pt); (F21) circle (1.15pt); [left] at (A1) A ; [below right] at (B1) B ; [below left] at (F11) F_1 ; [below] at (F21) F_2 ; [text=blue] at ( (F11)+(0.55,-0.42) ) ; % 第二幅图 [shift= (6,0) ] - 80 (cos( )^2)/( ) - (sin( )^2)/( ) 2* cos( )/( ) ( )/( ) - 1 sqrt( - 4* ) (- + )/(2* ) (- - )/(2* ) (F12) at ( ,0); (F22) at (- ,0); (A2) at ( + cos( ) , sin( ) ); (B2) at ( + cos( ) , sin( ) ); [->] (-2.6,0) -- (2.6,0) node[below] x ; [->] (0,-2.25) -- (0,2.25) node[left] y ; [samples=120, domain=-1.25:1.25] plot ( cosh( ) , sinh( ) ); [samples=120, domain=-1.25:1.25] plot ( - cosh( ) , sinh( ) ); [blue, thick] (A2) -- (B2); (F22) -- (A2); (F22) -- (B2); [blue, thick] ( (F12)+(0:0.38) ) arc[start angle=0, end angle= , radius=0.38]; (A2) circle (1.15pt); (B2) circle (1.15pt); (F12) circle (1.15pt); (F22) circle (1.15pt); [below left] at (A2) A ; [above left] at (B2) B ; [below left] at (F12) F_1 ; [below] at (F22) F_2 ; [text=blue] at ( (F12)+(0.55,0.42) ) ; % 第三幅图 [shift= (12,0) ] 262 (cos( )^2)/( ) - (sin( )^2)/( ) 2* cos( )/( ) ( )/( ) - 1 sqrt( - 4* ) (- + )/(2* ) (- - )/(2* ) (F13) at ( ,0); (F23) at (- ,0); (A3) at ( + cos( ) , sin( ) ); (B3) at ( + cos( ) , sin( ) ); [->] (-2.6,0) -- (2.6,0) node[below] x ; [->] (0,-2.25) -- (0,2.25) node[left] y ; [samples=120, domain=-1.25:1.25] plot ( cosh( ) , sinh( ) ); [samples=120, domain=-1.25:1.25] plot ( - cosh( ) , sinh( ) ); [blue, thick] (A3) -- (B3); (F23) -- (A3); (F23) -- (B3); [blue, thick] ( (F13)+(180:0.38) ) arc[start angle=180, end angle= , radius=0.38]; (A3) circle (1.15pt); (B3) circle (1.15pt); (F13) circle (1.15pt); (F23) circle (1.15pt); [above right] at (A3) A ; [below] at (B3) B ; [below right] at (F13) F_1 ; [below] at (F23) F_2 ; [text=blue] at ( (F13)+(-0.55,-0.42) ) ; % 第四幅图 [shift= (18,0) ] 98 (cos( )^2)/( ) - (sin( )^2)/( ) 2* cos( )/( ) ( )/( ) - 1 sqrt( - 4* ) (- + )/(2* ) (- - )/(2* ) (F14) at ( ,0); (F24) at (- ,0); (A4) at ( + cos( ) , sin( ) ); (B4) at ( + cos( ) , sin( ) ); [->] (-2.6,0) -- (2.6,0) node[below] x ; [->] (0,-2.25) -- (0,2.25) node[left] y ; [samples=120, domain=-1.25:1.25] plot ( cosh( ) , sinh( ) ); [samples=120, domain=-1.25:1.25] plot ( - cosh( ) , sinh( ) ); [blue, thick] (A4) -- (B4); (F24) -- (A4); (F24) -- (B4); [blue, thick] ( (F14)+(180:0.38) ) arc[start angle=180, end angle= , radius=0.38]; (A4) circle (1.15pt); (B4) circle (1.15pt); (F14) circle (1.15pt); (F24) circle (1.15pt); [below left] at (A4) A ; [above right] at (B4) B ; [below right] at (F14) F_1 ; [below] at (F24) F_2 ; [text=blue] at ( (F14)+(-0.55,0.42) ) ; (A )、 (B )是双曲线 ( x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 = 1 )左支上两点， (F_1 )是左焦点， ( BF_ 1 F_2 )为 ( )， (AB )过 (F_ 1 )， (c )是双曲线半焦距，则 AF_ 1 = b^ 2 a - c BF_ 1 = b^ 2 a + c AB = 2ab^ 2 a^ 2 -c^ 2 ^ 2 1 AF_ 1 + 1 BF_ 1 = 2a b^2 （根据长减短加判断符号）， 令 ( AF_ 1 = BF_ 1 )，即 b^ 2 a - c = b^ 2 a + c e = -1 + 1 代入焦半径公式可得 AF_ 1 = + 1 2 b^2 a BF_ 1 = + 1 2 b^ 2 a

结论 2. 双曲线焦比定理之交两支类型

0.3 [scale=0.72, >=stealth, line join=round, line cap=round] 1 2 sqrt( + ) 35 (cos( )^2)/( ) - (sin( )^2)/( ) -2* cos( )/( ) ( )/( ) - 1 sqrt( - 4* ) (- + )/(2* ) (- - )/(2* ) (F15) at (- ,0); (F25) at ( ,0); (A5) at ( - + cos( ) , sin( ) ); (B5) at ( - + cos( ) , sin( ) ); (-2.6,-1.05) rectangle (3,3.5); [->] (-2.6,0) -- (2.7,0) node[below] x ; [->] (0,-1) -- (0,3) node[left] y ; [samples=120, domain=-1.25:1.25] plot ( cosh( ) , sinh( ) ); [samples=120, domain=-1.25:1.25] plot ( - cosh( ) , sinh( ) ); (F15) -- (B5); [blue, thick] (B5) -- (A5); (F25) -- (A5); (F25) -- (B5); [blue, thick] ( (F15)+(0:0.34) ) arc[start angle=0, end angle= , radius=0.34]; (A5) circle (1.15pt); (B5) circle (1.15pt); (F15) circle (1.15pt); (F25) circle (1.15pt); [above right] at (A5) A ; [above left] at (B5) B ; [below] at (F15) F_1 ; [below] at (F25) F_2 ; [text=blue] at ( (F15)+(0.56,0.2) ) ; 0.69 (A )是双曲线 ( x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 = 1 )右支上一点， (B )是双曲线左支上一点， (F_1 )是左焦点， ( AF_ 1 F_2 )为 ( )， (AB )过 (F_ 1 )， (c )是双曲线半焦距， 由于交两支时，有 ( k < b a )，平方得： ( ^ 2 < b^ 2 a^ 2 )，即 ( > a c )，故 (a - c <0 ) AF_ 1 = b^ 2 c - a BF_ 1 = b^ 2 c + a AB = 2ab^ 2 c^ 2 ^ 2 - a^ 2 （根据长减短加判断符号）， 令 ( AF_ 1 = BF_ 1 )，即 b^ 2 c - a = b^ 2 c +a e = + 1 - 1 代入焦半径公式可得 AF_ 1 = - 1 2 b^2 a BF_ 1 = - 1 2 b^2 a

定义 5. 渐近线（人教A选必一P121）

当曲线上一点 (M )沿曲线无限远离原点时，如果 (M )到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线. 对于双曲线 ( x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 = 1 )（ (a>0,b>0 )），其渐近线方程为 (y= b a x ).直观地说，双曲线在无限远处会无限靠近这两条渐近线，但永远不会与它们相交.从几何角度来看，渐近线为双曲线的形状和走向提供了一种边界或极限的描述，它反映了双曲线在无穷远处的行为特征. 对于双曲线 ( y^ 2 a^ 2 - x^ 2 b^ 2 = 1 )（ (a>0,b>0 )），其渐近线方程则为 (y = a b x ). 双曲线渐进线的二次曲线方程： x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 = 0 ，可用于联立求韦达定理

性质 5. 特征三角形1

0.7 过双曲线焦点 F 作双曲线渐近线的垂线，垂足为第一象限点 P ，则 FP = b P ( a^2 c , ab c ) 证明: 考虑右焦点 (F(c,0) )到渐近线 (y = b a x )的距离. 将 (y= b a x )化为 (bx - ay = 0 ), 则点 (F(c,0) )到直线 (bx - ay = 0 )的距离为 (d = bc - 0 a^ 2 +b^ 2 = bc c =b ). 0.29 [scale=0.7, >=stealth] 2 1.2 sqrt( + ) / / (-3.2, -2.2) rectangle (3.5, 2.2); [->] (-3.2, 0) -- (3.3, 0) node[below] x ; [->] (0, -2) -- (0, 2) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; [dashed, thin] (-3, -3* / ) -- (3, 3* / ); [dashed, thin] (-3, 3* / ) -- (3, -3* / ); [domain=-1.2:1.2, samples=100] plot ( cosh( ) , sinh( ) ); [domain=-1.2:1.2, samples=100] plot ( - cosh( ) , sinh( ) ); (F) at ( , 0); (P) at ( , ); [thin] ( , 2) -- ( , -1.2) node[below] x= a^2 c ; [blue, thick] (0,0) -- (P) -- (F) -- cycle; ( (P)!5pt!(0,0) ) -- ( (P)!5pt!(0,0)!5pt!90:(0,0) ) -- ( (P)!5pt!(F) ); [decorate,decoration= brace,amplitude=4pt,raise=2pt , brown] (0,0) -- (P) node[midway, above left, xshift=-2pt, yshift=2pt, black] a ; [decorate,decoration= brace,amplitude=4pt,raise=2pt , brown] (P) -- (F) node[midway, above right, xshift=2pt, yshift=2pt, black] b ; (F) circle (1.5pt) node[below right] F ; (P) circle (1.5pt) node[above left] P ;

性质 6. 渐近线圆与特征三角形2

0.7 以双曲线焦点 (F_1F_2 )为直径的圆与双曲线 (C )的渐近线在第一象限的交点为 ( (a,b) ). 证明: 将 (y = b a x )代入 (x^ 2 +y^ 2 =c^ 2 )，得 (x^ 2 + ( b a x )^ 2 =c^ 2 )解得 (x= a ). 取第一象限的 (x = a )，代入 (y= b a x )得 (y = b ). 0.29 [scale=0.7, >=stealth] 2 1.2 sqrt( + ) (-3.5, -3) rectangle (3.5, 3); [->] (-3.5, 0) -- (3.3, 0) node[below] x ; [->] (0, -2.5) -- (0, 2.7) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; [dashed, thin] (-3, -3* / ) -- (3, 3* / ); [dashed, thin] (-3, 3* / ) -- (3, -3* / ); [domain=-1.2:1.2, samples=100] plot ( cosh( ) , sinh( ) ); [domain=-1.2:1.2, samples=100] plot ( - cosh( ) , sinh( ) ); (0,0) circle ( ); (F1) at (- , 0); (F2) at ( , 0); (A) at ( , ); (Ax) at ( , 0); [blue, thick] (0,0) -- (A) -- (Ax) -- cycle; (Ax) rectangle ++(-5pt, 5pt); (F1) circle (1.5pt) node[below left] F_1 ; (F2) circle (1.5pt) node[below right] F_2 ; (A) circle (1.5pt) node[above] A(a,b) ; (Ax) circle (1.5pt); [decorate,decoration= brace,amplitude=4pt,raise=2pt,mirror , brown] (0,0) -- (Ax) node[midway, below=5pt, black] a ; [decorate,decoration= brace,amplitude=4pt,raise=2pt,mirror , brown] (Ax) -- (A) node[midway, right=5pt, black] b ; [decorate,decoration= brace,amplitude=4pt,raise=4pt , brown] (0,0) -- (A) node[midway, above left=4pt, black] c ;

性质 7. 到渐近线的距离三角形（人教A选修一P128-11）

0.7 如图所示， (P )是双曲线 (C: x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 = 1 )上一点，过 (P )分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为 (A )、 (B )，则有： ( PA PB = a^ 2 b^ 2 c^ 2 )； ( PAB )的面积为定值 ( a^ 3 b^ 3 c^ 4 ). 0.29 [scale=0.7, >=stealth] 2 1.6 (-3.5, -2.2) rectangle (3.5, 2.4); [->] (-3.5, 0) -- (3.3, 0) node[below] x ; [->] (0, -2.2) -- (0, 2.2) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; [dashed, thick] (-3.5, -3.5* / ) -- (3.5, 3.5* / ); [dashed, thick] (-3.5, 3.5* / ) -- (3.5, -3.5* / ); [domain=-1.3:1.3, samples=100] plot ( cosh( ) , sinh( ) ); [domain=-1.3:1.3, samples=100] plot ( - cosh( ) , sinh( ) ); 0.4 cosh( ) sinh( ) (P) at ( , ); ( + )/( + ) ( + )/( + ) (A) at ( , ); ( - )/( + ) (- + )/( + ) (B) at ( , ); [blue, thick] (P) -- (A) -- (B) -- cycle; (Aout) at ( (0,0)!2!(A) ); (Bout) at ( (0,0)!2!(B) ); [thin] ( (A)!5pt!(P) ) -- ( ( (A)!5pt!(P) )+( (A)!5pt!(Aout) )-(A) ) -- ( (A)!5pt!(Aout) ); [thin] ( (B)!5pt!(P) ) -- ( ( (B)!5pt!(P) )+( (B)!5pt!(Bout) )-(B) ) -- ( (B)!5pt!(Bout) ); (P) circle (1.5pt) node[right] P ; (A) circle (1.5pt) node[above left] A ; (B) circle (1.5pt) node[below left] B ; 证明: 双曲线 (C: x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 = 1 )的两条渐近线为 (y = b a x ), 即 (bx ay = 0 ). 设 (P(x_0,y_0) ), 则 ( PA PB = bx_0 + ay_0 a^ 2 +b^ 2 bx_0 - ay_0 a^ 2 +b^ 2 = b^ 2 x_0^ 2 -a^ 2 y_0^ 2 c^ 2 = a^ 2 b^ 2 c^ 2 ); 设渐近线 (y = b a x )的倾斜角为 ( ), 则 ( AOB= 2 = 2 ^2 + ^2 = 2 1 + ^ 2 = 2b a 1+ b^ 2 a^ 2 = 2ab a^ 2 +b^ 2 = 2ab c^ 2 ), 从而 (S_ PAB = 1 2 PA PB APB ) (= 1 2 PA PB AOB= 1 2 a^ 2 b^ 2 c^ 2 2ab c^ 2 = a^ 3 b^ 3 c^ 4 ).

性质 8. 渐近线平行四边形

如图, 过双曲线上任意一点 (P )作两条渐近线的平行线, 它们与两条渐近线围成一个平行四边形 (OMPN )，则 0.7 (x_Mx_N= a^ 2 4 ) ( OM ON = c^ 2 4 ) ( OM ON = a^ 2 -b^ 2 4 ) ( 平行四边形 OMPN )的面积是定值 ( ab 2 ) 0.29 [scale=0.6, >=stealth] 2 1.6 (-4.2, -2.2) rectangle (4.2, 2.2); [->] (-4.0, 0) -- (4.0, 0) node[below] x ; [->] (0, -2.0) -- (0, 2.0) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; [dashed, thin] (-4, -4* / ) -- (4, 4* / ); [dashed, thin] (-4, 4* / ) -- (4, -4* / ); [domain=-1.3:1.3, samples=100] plot ( cosh( ) , sinh( ) ); [domain=-1.3:1.3, samples=100] plot ( - cosh( ) , sinh( ) ); 0.3 cosh( ) sinh( ) (P) at ( , ); /2*exp( ) /2*exp( ) (M) at ( , ); /2*exp(- ) - /2*exp(- ) (N) at ( , ); [blue, thick] (M) -- (P) -- (N); (P) circle (1.5pt) node[right] P ; (M) circle (1.5pt) node[above left] M ; (N) circle (1.5pt) node[below left] N ; 证明: 双曲线 (C: x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 = 1 )的两条渐近线为 (y = b a x ), 不妨设 (M(x_1, b a x_1),N(x_2,- b a x_2) ), 因为 (OMPN )是平行四边形, 所以 ( OP = OM + ON ), 故 (P(x_1 + x_2, b a (x_1 - x_2)) ), 代入 ( x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 = 1 )可得： ( (x_1 + x_2)^ 2 a^ 2 - [ b a (x_1 - x_2)]^ 2 b^ 2 = 1 ), 化简得： (x_1x_2= a^ 2 4 ). 从而有： ( OM ON = 1 + k^ 2 x_1 1 + k^ 2 x_2 =(1 + k^ 2 ) x_1x_2 =(1+ b^ 2 a^ 2 ) a^ 2 4 = c^ 2 4 ); ( OM ON =x_1x_2+( b a x_1)(- b a x_2)=(1- b^ 2 a^ 2 )x_1x_2=(1 - b^ 2 a^ 2 ) a^ 2 4 = a^ 2 -b^ 2 4 ); (S_ OMPN = x_1 (- b a x_2)-x_2 b a x_1 = 2b a x_1x_2 = 2b a a^ 2 4 = ab 2 ).

性质 9. 渐近线三角形

如图所示, 双曲线 (C )上任意一点 (P )处的切线与 (C )的两条渐近线分别交于 (A )和 (B )两点, 则 0.7 x_Ax_B= a^2 (P )为 (AB )的 中点 ( OA OB = a^ 2 -b^ 2 ) ( OA OB = a^ 2 +b^ 2 = c^ 2 ) ( AOB )的面积为定值 ( ab ) (由上一个性质，过 P 作渐近线的平行线交于 M,N ，立即证) 0.29 [scale=0.6, >=stealth] 2 1.6 (-4.2, -2.7) rectangle (4.2, 2.7); [->] (-4.0, 0) -- (4.0, 0) node[below] x ; [->] (0, -2.5) -- (0, 2.5) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; [dashed, thin] (-4, -4* / ) -- (4, 4* / ); [dashed, thin] (-4, 4* / ) -- (4, -4* / ); [domain=-1.3:1.3, samples=100] plot ( cosh( ) , sinh( ) ); [domain=-1.3:1.3, samples=100] plot ( - cosh( ) , sinh( ) ); 0.3 cosh( ) sinh( ) (P) at ( , ); /2*exp( ) /2*exp( ) (M) at ( , ); /2*exp(- ) - /2*exp(- ) (N) at ( , ); (A) at (2* , 2* ); (B) at (2* , 2* ); [thin] (M) -- (P) -- (N); [blue, thick] (A) -- (B); (P) circle (1.5pt) node[right] P ; (M) circle (1.5pt) node[above left] M ; (N) circle (1.5pt) node[below left] N ; (A) circle (1.5pt) node[left] A ; (B) circle (1.5pt) node[below right] B ; 证明: 双曲线 (C: x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 = 1 )的两条渐近线为 (y = b a x ), 不妨设 (A(x_1, b a x_1) ), (B(x_2,- b a x_2) ), (P(x_0,y_0) ). 过 (P(x_0,y_0) )的切线方程为 ( x_0x a^ 2 - y_0y b^ 2 = 1 ), 由 ( x_0x a^ 2 - y_0y b^ 2 = 1 x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 = 0 )得： ((b^ 2 x_0^ 2 -a^ 2 y_0^ 2 )x^ 2 -2a^ 2 b^ 2 x_0x + a^ 4 b^ 2 =0 ), 由于 (b^ 2 x_0^ 2 -a^ 2 y_0^ 2 =a^ 2 b^ 2 ), 故上式可化为 (x^ 2 -2x_0x + a^ 2 =0 ). 所以 ( x_1 + x_2 2 =x_0 ), 说明点 (P )为 (AB )的中点. 且 (S_ AOB = 1 2 x_1 (- b a x_2)-x_2 b a x_1 = b a x_1x_2 = b a a^ 2 =ab ).

性质 10. 双曲线渐近线共中点

作双曲线的割线 (CD )并交渐近线于 (A )， (B )两点，则 ( AC = BD )． 0.6 推论： 若 (M )是 (CD )中点，则一定也是 (AB )中点，反之亦然； 证明：设直线为 (x = ty + m )，代入双曲线方程 (b^ 2 x^ 2 -a^ 2 y^ 2 =a^ 2 b^ 2 )得： [(b^ 2 t^ 2 -a^ 2 )y^ 2 +2b^ 2 tmy + b^ 2 m^ 2 -a^ 2 b^ 2 =0 ] 代入双曲线渐近线的二次曲线方程 (b^ 2 x^ 2 -a^ 2 y^ 2 =0 )得： [(b^ 2 t^ 2 -a^ 2 )y^ 2 +2b^ 2 tmy + b^ 2 m^ 2 =0 ] 所以 y_A+y_B=y_C+y_D ， (AB )中点坐标和 (CD )中点坐标重合， 所以 ( AM = BM )， ( CM = DM )． 0.39 [scale=0.6, >=stealth] 2 1.6 (-4.2, -3.2) rectangle (5.2, 4.2); [->] (-4.0, 0) -- (5.0, 0) node[below] x ; [->] (0, -3.0) -- (0, 4.0) node[left] y ; (O) at (0,0); [below left] at (0,0) O ; [dashed, thin] (-4, -4* / ) -- (4, 4* / ); [dashed, thin] (-4, 4* / ) -- (4, -4* / ); [domain=-1.3:1.3, samples=100] plot ( cosh( ) , sinh( ) ); [domain=-1.3:1.3, samples=100] plot ( - cosh( ) , sinh( ) ); % Line 1: interects one branch (slope > b/a) 2 -5 [blue, thick, domain=1:4.8] plot ( , + ); % Calculate intersections for Line 1 - -2* - - sqrt( - 4* ) (- - )/(2* ) + (- + )/(2* ) + (C) at ( , ); (D) at ( , ); /( / - ) + /(- / - ) + (A) at ( , ); (B) at ( , ); % [thin] (A) -- (C); % [thin] (B) -- (D); (A) circle (2pt) node[right] A ; (B) circle (2pt) node[below right] B ; (C) circle (2pt) node[right] C ; (D) circle (2pt) node[right] D ; (M) at ( ( + )/2 , ( + )/2 ); (M) circle (2pt) node[right] M ; [blue] (O) -- (M); % Line 2: intersects both branches (slope < b/a) 0.2 1 [blue, thick, domain=-3:3.5] plot ( , + ); % Calculate intersections for Line 2 - -2* - - sqrt( - 4* ) (- - )/(2* ) + (- + )/(2* ) + (C2) at ( , ); (D2) at ( , ); /( / - ) + /(- / - ) + (A2) at ( , ); (B2) at ( , ); % [thin] (A2) -- (C2); % [thin] (B2) -- (D2); (A2) circle (2pt) node[above] A' ; (B2) circle (2pt) node[above] B' ; (C2) circle (2pt) node[above] C' ; (D2) circle (2pt) node[above] D' ; (M2) at ( ( + )/2 , ( + )/2 ); (M2) circle (2pt) node[above] M' ; [blue] (O) -- (M2);

性质 11. 过定点直线与双曲线交点个数问题

0.64 设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(0,t)(t 0) ，双曲线方程为 x^2 a^2 - y^2 b^2 = 1(a > 0, b > 0) ，过点 P 与双曲线相切时的斜率为 k_0 . 当 0 k < b a 时，直线 l 与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的两支上； 当 k = b a 时，直线 l 与双曲线只有一个交点（平行于渐近线）； 当 b a < k < k_0 时，直线 l 与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的同一支上； 当 k = k_0 时，直线 l 与双曲线只有一个交点（相切）； 当 k > k_0 时，直线 l 与双曲线没有交点. 0.35 [scale=0.6, >=stealth] % 定义参数 a=1.5, b=1.2 1.5 1.2 1.5 % t need to be < b for some visual effects if P is inside, but here P(0,t) implies P is on y-axis. % If t < b, P is between vertices, might simplify drawing tangents. % Let's keep P outside "inside" region visually. % Actually, for P(0,t) with standard hyperbola x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1, P is on conjugate axis. % Any line from P(0,t) can intersect. 2.0 % Move P down a bit from 2.7 to 2.0 to make intersections easier to see % 坐标轴 [->,name path=yaxis] (0,-4) -- (0,4) node[left] (y ) ; [->] (-4,0) -- (4,0) node[below] (x ) ; % 双曲线 (左右支) % x = a * cosh(t), y = b * sinh(t) % range roughly -1.8 to 1.8 covers y from -3 to 3 approx [thick, domain=-1.8:1.8, samples=50] plot ( cosh( ) , sinh( ) ); [thick, domain=-1.8:1.8, samples=50] plot ( - cosh( ) , sinh( ) ); % 渐近线 (虚线) y = +/- (b/a)x [dashed, gray] (-4, -4* / ) -- (4, 4* / ); [dashed, gray] (-4, 4* / ) -- (4, -4* / ); % 定点 P (在y轴上方) (P) at (0, ); [black] (P) circle (2pt) node[below left, font= ] (P(0,t) ) ; % Calculates tangent point roughly. % Tangent from (0,t) to x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 % Tangent equation y = kx + t. % Condition: a^2 k^2 - b^2 = - t^2 for ellipse? No. % Condition for standard hyperbola x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1: c^2 = a^2 k^2 - b^2 is for y=kx+c. % Here c=t. So t^2 = a^2 k^2 - b^2 => k^2 = (t^2 + b^2)/a^2. % So k = +/- sqrt(t^2 + b^2)/a. % P is (0, ). sqrt( + )/ % Tangent line y = -kTan * x + Py (tangent to right branch lower part) % Let's draw tangent to right branch. It touches at x0, y0. % Tangent at (x0, y0): x0 x / a^2 - y0 y / b^2 = 1. % Passes through (0, t): - y0 t / b^2 = 1 => y0 = - b^2 / t. % x0^2/a^2 = 1 + y0^2/b^2 = 1 + b^2/t^2 = (t^2+b^2)/t^2. % x0 = a/t * sqrt(t^2+b^2). (positive for right branch) - / / * sqrt( + ) % --- 各类直线 --- % 1. 交两支 (绿色) - 斜率小 ( k < b/a) % slope 0 is easiest [green!60!black, thick] (-4, ) -- (4, ) node[right, font= ] 1 ; % 2. 只有一个交点 (青色) - 平行渐近线 ( k = b/a) % Line: y - t = -(b/a) x (slope negative) -> y = -0.8x + t [cyan, thick] (-2, + 2* / ) -- (4, - 4* / ) node[right, font= ] 2 ; % 4.相切 (红色) ( k = k0) % Tangent point calculated above ( , ) % Draw line from P extended through ( , ) [red, thick] ( (P)!-0.5!( , ) ) -- ( (P)!2!( , ) ) node[below, font= ] 4 ; [red] ( , ) circle (1.5pt); % 3. 交同支 (紫色) - 介于平行和切线之间 (b/a < k < k0) % We need a point on the curve between asymptotic infinity and tangent point. % Or just pick a slope. % Tangent slope is quite steep negative. Asymptote is less steep negative. % Let's aim for a point on the right branch lower than tangent point? No, standard hyperbola P(0,t) tangents are on x > 0, y < 0 (if t>0). % Calculated yTan is negative (-b^2/t). % Let's pick a point on the curve below the tangent point, say y = -3. % x = a * sqrt(1 + (-3)^2/b^2) -3.2 * sqrt(1 + /( )) [violet, thick] (P) -- ( , ) node[right, font= ] 3 ; % 5. 无交点 (橙色) - 陡峭 ( k > k0) % Just draw a very steep line through P [orange, thick] ( (P) + (-1, 2) ) -- ( (P) + (3, -6) ) node[below, font= ] 5 ;

性质 12. 中点弦存在问题（人教A选修一P128-13）

设双曲线方程为 ( x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 = 1(a>0,b>0) )，弦 (AB )的两个端点为 (A(x_1,y_1) )， (B(x_2,y_2) )，弦 (AB )的中点为 (P(x_0,y_0) )，由点差法得 (AB )的斜率 ( k = b^ 2 x_0 a^ 2 y_0 ) 设直线 (AB )的方程为 (y - y_0 = k(x - x_0) )，代入双曲线方程并消去 (y )， 可得 ( (b^ 2 -a^ 2 k^ 2 )x^ 2 -2ka^ 2 (y_0 - kx_0)x - a^ 2 (y_0 - kx_0)^ 2 -a^ 2 b^ 2 =0 ) 当 (b^ 2 -a^ 2 k^ 2 =0 )时，方程没有两实根； 当 (b^ 2 -a^ 2 k^ 2 0 )时， = [-2ka^ 2 (y_0 - kx_0)]^ 2 -4(b^ 2 -a^ 2 k^ 2 )[-a^ 2 (y_0 - kx_0)^ 2 -a^ 2 b^ 2 ] = 4k^2 a^4 (y_0 - kx_0)^2 + 4a^2 (b^2 - a^2 k^2)[(y_0 - kx_0)^2 + b^2] = 4a^2 [ k^2 a^2 (y_0 - kx_0)^2 + (b^2 - a^2 k^2)((y_0 - kx_0)^2 + b^2) ] = 4a^2 [ b^2 (y_0 - kx_0)^2 + b^4 - a^2 k^2 b^2 ]= 4a^2 b^2 [ (y_0 - kx_0)^2 + b^2 - a^2 k^2 ] 代入 k = b^ 2 x_0 a^ 2 y_0 = 4a^2 b^2 [ ( a^2 y_0^2 - b^2 x_0^2 a^2 y_0 )^2 + b^2 - b^4 x_0^2 a^2 y_0^2 ] = 4a^2 b^2 (a^2 y_0^2 - b^2 x_0^2)^2 + a^4 b^2 y_0^2 - a^2 b^4 x_0^2 a^4 y_0^2 = 4a^2 b^2 a^4 b^4 ( x_0^ 2 a^ 2 - y_0^ 2 b^ 2 ) ( x_0^ 2 a^ 2 - y_0^ 2 b^ 2 - 1 ) a^4 y_0^2 = 4a^ 2 b^ 6 y_0^ 2 ( x_0^ 2 a^ 2 - y_0^ 2 b^ 2 ) ( x_0^ 2 a^ 2 - y_0^ 2 b^ 2 - 1 ) 0.69 点 P 位于双曲线上、位于渐近线上时，方程没有两实根. 点 (P )位于区域 (I )时， (0 < x_0^ 2 a^ 2 - y_0^ 2 b^ 2 < 1 )， ( < 0 )，方程没有两实根； 点 (P )位于区域 (III )时， ( x_0^ 2 a^ 2 - y_0^ 2 b^ 2 < 0 )， ( > 0 )，方程有两不等实根； 点 (P )位于区域 (II )时， ( x_0^ 2 a^ 2 - y_0^ 2 b^ 2 > 1 )， ( > 0 )，方程有两不等实根； 综上，当 (P )位于区域 (I )，位于双曲线上，位于渐近线上时，即 (0 x_0^ 2 a^ 2 - y_0^ 2 b^ 2 1 ) ，以 (P )为中点的弦不存在. 当 (P )位于区域 (II,III ) 时即 ( x_0^ 2 a^ 2 - y_0^ 2 b^ 2 < 0 ) 或 ( x_0^ 2 a^ 2 - y_0^ 2 b^ 2 > 1 )，以 (P )为中点的弦存在. 0.3 [scale=0.5, >=stealth] % 使用 clip 限制整个图形的边界，避免因为计算填充导致左右空白过大 (-4.2, -4.2) rectangle (4.2, 4.2); 1.7 2.0 % 填充区域I (使用浅蓝色) [blue!15] (0,0) -- (4, 4* / ) -- (4, -4* / ) -- cycle; [blue!15] (0,0) -- (-4, 4* / ) -- (-4, -4* / ) -- cycle; % 挖去右侧区域II [white, domain=-1.8:1.8, samples=50] plot ( cosh( ) , sinh( ) ) -- (7, 6) -- (7, -6) -- cycle; % 挖去左侧区域II [white, domain=-1.8:1.8, samples=50] plot ( - cosh( ) , sinh( ) ) -- (-7, 6) -- (-7, -6) -- cycle; % 坐标轴 [->] (-4, 0) -- (4, 0) node[below] x ; [->] (0, -4) -- (0, 4) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; % 渐近线 [dashed] (-3.8, -3.8* / ) -- (3.8, 3.8* / ); [dashed] (-3.8, 3.8* / ) -- (3.8, -3.8* / ); % 双曲线 [thick, domain=-1.6:1.6, samples=50] plot ( cosh( ) , sinh( ) ); [thick, domain=-1.6:1.6, samples=50] plot ( - cosh( ) , sinh( ) ); % 区域标记 at (1.2, 0.4) I ; at (-1.2, 0.4) I ; at (3, 0.5) II ; at (-3, 0.5) II ; at (0, 2.5) III ; at (0, -2.5) III ;

性质 13. 双曲线与对勾、飘带函数互化

双曲线方程 ( x^2 a^2 - y^2 b^2 = 1 ) 与函数 (y = mx + n x ) 可通过旋转变换相互转化. 0.49 将双曲线绕原点旋转参数关系： ( m = a^2 - b^2 2ab , n = ab 2 ) 反之，已知函数参数求双曲线参数： ( a^2 b^2 = 4n^2 a^2 - b^2 = 4mn ) 形状分类： 当 (a > b ) 时， (m > 0 )，函数 (y=mx + n x )为对勾函数； 当 (a < b ) 时， (m < 0 )，函数 (y=mx + n x )为飘带函数. 0.25 [scale=0.66, >=stealth] [->] (-3,0) -- (3,0) node[right] x ; [->] (0,-3) -- (0,3) node[left] y ; % Hyperbola a=2, b=1 (Wider x) [blue, thick, domain=-1:1] plot ( 2*cosh( ) , 1*sinh( ) ); [blue, thick, domain=-1:1] plot ( -2*cosh( ) , 1*sinh( ) ); % Asymptotes of Hyperbola [blue!80, dashed] (-3, -1.5) -- (3, 1.5); [blue!80, dashed] (-3, 1.5) -- (3, -1.5); % Mark theta [-] (0, 1) arc (90: atan(0.5) :1) node[midway, above right=-2pt] ( ) ; % Graph 1: a > b -> 对勾 (Checkmark) % y = x + 1/x (m=1, n=1 requires specific a,b but shape is generic) [red, thick, samples=100, domain=0.4:2.8] plot ( , 0.75* + 1/ ); [red, thick, samples=100, domain=-2.8:-0.4] plot ( , 0.75* + 1/ ); % Asymptote of Hook function y = 0.75x [red!80, dashed] (-3, -2.25) -- (3, 2.25); 0.25 [scale=0.66, >=stealth] [->] (-3,0) -- (3,0) node[right] x ; [->] (0,-3) -- (0,3) node[left] y ; % Hyperbola a=1, b=2 (Narrower x, steeper asymptotes) [blue, thick, domain=-1.2:1.2] plot ( 1*cosh( ) , 2*sinh( ) ); [blue, thick, domain=-1.2:1.2] plot ( -1*cosh( ) , 2*sinh( ) ); % Asymptotes of Hyperbola [blue!80, dashed] (-1.5, -3) -- (1.5, 3); [blue!80, dashed] (-1.5, 3) -- (1.5, -3); % Mark theta [-] (0, 0.8) arc (90: atan(2) :0.8) node[midway, above] ( ) ; [red, thick, samples=100, domain=0.3:2.8] plot ( , -0.75* + 1/ ); [red, thick, samples=100, domain=-2.8:-0.3] plot ( , -0.75* + 1/ ); % Asymptote of Ribbon function y = -0.75x [red!80, dashed] (-3, 2.25) -- (3, -2.25); 证明：将双曲线上的点 ((x_0,y_0) ) 绕原点逆时针旋转 ( ) 后得到 ((x,y) )， ( = a c , = b c ). 则： ( x = x_0 - y_0 y = x_0 + y_0 x = b c x_0 - a c y_0 y = a c x_0 + b c y_0 x_0 = bx+ay c y_0 = by - ax c ) 此处 ((x_0, y_0) ) 为双曲线 ( x_0^2 a^2 - y_0^2 b^2 = 1 ) 上的点，代入方程： [ (bx+ay)^2 a^2 c^2 - (by-ax)^2 b^2 c^2 = 1 b^2 (bx+ay)^2 - a^2 (by-ax)^2 = a^2 b^2 c^2 ] [ (b^4 - a^4)x^2 + 2ab(a^2 + b^2)xy = a^2 b^2 (a^2 + b^2) ] 因 (b^4 - a^4 = (b^2-a^2)(b^2+a^2) )，两边同除 ((a^2 + b^2) ) 得： [ (b^2 - a^2)x^2 + 2ab xy = a^2 b^2 y = a^2 - b^2 2ab x + ab 2x ]

抛物线

定义 1. 抛物线的定义（人教A选必一P130）

平面内与一个定点 (F )和一条定直线 (l )（ (l )不经过点 (F )）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线；定点 (F )叫做抛物线的焦点，定直线 (l )叫做抛物线的准线． 以 (y^ 2 =2px ;(p > 0) )为例，焦点在 (x )轴上，开口向右.参数 (p )是焦点到准线的距离，称为焦准距，故 (p )恒为正数．

性质 1. 抛物线基本性质（人教A选必一P133）

c c c c c 方程 y^ 2 =2px ;(p > 0) y^ 2 =-2px ;(p > 0) x^ 2 =2py ;(p > 0) x^ 2 =-2py ;(p > 0) 图形 [scale=0.7, >=stealth, baseline=(current bounding box.center)] [->] (-1,0) -- (1.6,0) node[right] x ; [->] (0,-1.8) -- (0,1.8) node[left] y ; [smooth, samples=100, domain=-1.6:1.6] plot ( ( )/2 , ); (F) at (0.5,0); (P) at (1, 1.414); (M) at (-0.5, 1.414); [blue, dashed] (-0.5,1.6) -- (-0.5,-1.2) node[below, black, scale=0.6] x=- p 2 ; [blue] (F) -- (P) -- (M); [blue] (F) circle (1pt) node[below, black, scale=0.8] F ; [blue] (P) circle (1pt); [blue] (M) circle (1pt); [scale=0.7, >=stealth, baseline=(current bounding box.center)] [->] (-1.6,0) -- (1,0) node[right] x ; [->] (0,-1.8) -- (0,1.8) node[left] y ; [smooth, samples=100, domain=-1.6:1.6] plot ( -( )/2 , ); (F) at (-0.5,0); (P) at (-1, 1.414); (M) at (0.5, 1.414); [blue, dashed] (0.5,1.6) -- (0.5,-1.2) node[below, black, scale=0.6] x= p 2 ; [blue] (F) -- (P) -- (M); [blue] (F) circle (1pt) node[below, black, scale=0.8] F ; [blue] (P) circle (1pt); [blue] (M) circle (1pt); [scale=0.7, >=stealth, baseline=(current bounding box.center)] [->] (-1.8,0) -- (1.8,0) node[right] x ; [->] (0,-1) -- (0,1.6) node[left] y ; [smooth, samples=100, domain=-1.6:1.6] plot ( , ( )/2 ); (F) at (0,0.5); (P) at (1.414, 1); (M) at (1.414, -0.5); [blue, dashed] (1.6,-0.5) -- (-1,-0.5) node[left, black, scale=0.6] y=- p 2 ; [blue] (F) -- (P) -- (M); [blue] (F) circle (1pt) node[above left, black, scale=0.8] F ; [blue] (P) circle (1pt); [blue] (M) circle (1pt); [scale=0.7, >=stealth, baseline=(current bounding box.center)] [->] (-1.8,0) -- (1.8,0) node[right] x ; [->] (0,-1.6) -- (0,1) node[left] y ; [smooth, samples=100, domain=-1.6:1.6] plot ( , -( )/2 ); (F) at (0,-0.5); (P) at (1.414, -1); (M) at (1.414, 0.5); [blue, dashed] (1.6,0.5) -- (-1,0.5) node[left, black, scale=0.6] y= p 2 ; [blue] (F) -- (P) -- (M); [blue] (F) circle (1pt) node[below left, black, scale=0.8] F ; [blue] (P) circle (1pt); [blue] (M) circle (1pt); 顶点 4 c (0,0) 对称轴 2 c x 轴 2 c y 轴 焦点 F ( p 2 ,0 ) F (- p 2 ,0 ) F (0, p 2 ) F (0,- p 2 ) 准线方程 x = - p 2 x = p 2 y = - p 2 y = p 2 离心率 4 c e = 1 范围 x 0 x 0 y 0 y 0 通径 4 c 过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦 AB = 2p (最短焦点弦)

结论 1. 焦半径与焦点弦

设 (AB )为过 (y^ 2 =2px(p > 0) )焦点的弦， (A(x_1,y_1) )、 (B(x_2,y_2) )，倾斜角为 ( )，则： 坐标： AF = x_1+ p 2 BF = x_2+ p 2 AB = x_1 + x_2 + p x_1x_2= p^ 2 4 y_1y_2= -p^ 2 角度： AF = p 1 - BF = p 1 + AB = 2p ^ 2 1 AF + 1 BF = 2 p S_ AOB = p^ 2 2 比值： 设 AF = BF p 1 - = p 1 + = - 1 + 1 AF = +1 2 p BF = + 1 2 p 中点弦： 设 M(x_0,y_0) 为 AB 的中点，则 k_ AB = y_1 - y_2 x_1 - x_2 = y_1 - y_2 y_1^2 2p - y_2^2 2p = 2p(y_1 - y_2) (y_1 + y_2)(y_1 - y_2) = 2p y_1 + y_2 = 2p 2y_0 = p y_0

结论 2. 抛物线焦点弦（人教A选修一P146-16；人教B选修一P158-7）

0.57 以 AF 为直径的圆 O_1 和以 BF 为直径的圆 O_2 均与 y 轴 相切 以 AB 为直径的圆 O_3 与 准线 相切，设切点为 P PA,PB 为抛物线的切线，且 PA PB ， PO_3 x 轴 作 A,B 在准线上的投影点 A',B' ， PO_3 为梯形 AA'B'B 的中位线， P 为 A'B' 中点 PF AB ， PA'=PB'=PF ， A'F B'F ， 以 PF 为半径的圆 P 与 AB 相切于点 F S_ PAB = 1 2 PF AB = 1 2 p 2p ^2 = p^2 ^3 p^2 0.42 [scale=1, >=stealth, line join=round, line cap=round, font= ] 2 1.5 atan(2* /( -1)) ( +1)/4 ( +1)/(4* ) veclen( /2- /(2* ), + / )/2 veclen( ,- ( -1/ )/2) (F) at ( /2 ,0); (A) at ( /2 , ); (B) at ( /(2* ) , - / ); (P) at ( - /2 , ( -1/ )/2 ); (Aprime) at ( - /2 , ); (Bprime) at ( - /2 , - / ); (O1) at ( (A)!0.5!(F) ); (O2) at ( (B)!0.5!(F) ); (O3) at ( (A)!0.5!(B) ); (FtoA) at ( (F)!0.25cm!(A) ); (FtoP) at ( (F)!0.25cm!(P) ); (PtoA) at ( (P)!0.25cm!(A) ); (PtoB) at ( (P)!0.25cm!(B) ); (-3.5,-2) rectangle (4.2,4.2); [->] (-2,0) -- (4,0) node[below] x ; [->] (0,-3) -- (0,3.5) node[left] y ; [dashed] ( - /2 ,-3) -- ( - /2 ,3.5); [samples=220, domain=-3:3.5] plot ( /(2* ) , ); [dashed] (O1) circle ( ); [dashed] (O2) circle ( ); [dashed] (O3) circle ( ); [gray, dashed] (P) circle ( ); (A) -- (B); (P) -- (F); [blue, thick] (Aprime) -- (A); [blue, thick] (Bprime) -- (B); [blue, thick] (P) -- (A); [blue, thick] (P) -- (B); [blue, thick] (P) -- (O3); (FtoA) -- ( (FtoA)+(FtoP)-(F) ) -- (FtoP); (PtoA) -- ( (PtoA)+(PtoB)-(P) ) -- (PtoB); [blue, thick] ( (F)+(0:0.3) ) arc[start angle=0, end angle= , radius=0.3]; [text=blue] at ( (F)+( /2 :0.5) ) ; (A) circle (1.2pt) node[right] A ; (B) circle (1.2pt) node[right] B ; (F) circle (1.2pt) node[below right] F ; (P) circle (1.2pt) node[left] P ; (Aprime) circle (1.1pt) node[above left] A' ; (Bprime) circle (1.1pt) node[below left] B' ; (O1) circle (1.1pt) node[right] O_1 ; (O2) circle (1.1pt) node[right] O_2 ; (O3) circle (1.1pt) node[right] O_3 ;

定义 2. 抛物线两点式方程

过抛物线 (y^ 2 =2px )上两点 (A(x_ 1 ,y_ 1 ) )、 (B(x_ 2 ,y_ 2 ) )的直线 (AB )方程是： ((y_ 1 + y_ 2 )y = 2px + y_ 1 y_ 2 ). 证明： (k_ AB = y_ 2 -y_ 1 x_ 2 -x_ 1 = y_ 2 -y_ 1 y_ 2 ^ 2 2p - y_ 1 ^ 2 2p = 2p y_ 1 +y_ 2 )，直线 (AB )方程为： (y - y_ 1 = 2p y_ 1 +y_ 2 (x - y_ 1 ^ 2 2p ) )， 化简得： ((y_ 1 + y_ 2 )y = 2px + y_ 1 y_ 2 ). 同理，如果抛物线的形式是 (x^ 2 =2py(p > 0) )，直线 (AB )的方程是： ((x_ 1 + x_ 2 )x = 2py + x_ 1 x_ 2 )

结论 3. 抛物线相似三角形

0.7 由抛物线定义可知， AF = AA' ， BF = BB' ， k_ AB = 3 AFx = 3 AF : BF = 3 : 1 BC : BB' = 2 : 1 AF = FC = 2p BB':BF:F'F:BC:AF:AA':A'F:CF = 2:2:3:4:6:6:6:6 若 AFx = 3 ， 则有相似关系： CBB' CFF' CAA' ， 进而有比例式： BB' CB = FF' CF = AA' CA = . 进而有： BF CB = p CB + BF = AF CB + BF + AF = . 0.29 [scale=0.4, >=stealth] % 取 p=3，抛物线 y^2=2px 即 y^2=6x 3 (O) at (0,0); (F) at ( /2 ,0); (Fp) at ( - /2 ,0); % 当 AFx= /3 时，过焦点斜率为 3 的焦点弦与抛物线交于 A,B (A) at ( 3* /2 , sqrt(3)* ); (B) at ( /6 , -sqrt(3)* /3 ); (Ap) at ( - /2 , sqrt(3)* ); (Bp) at ( - /2 , -sqrt(3)* /3 ); (C) at ( - /2 , -sqrt(3)* ); % 坐标轴与准线 [->] (-2.4,0) -- (6.2,0) node[right] x ; [->] (0,-6.2) -- (0,6.2) node[left] y ; [dashed] ( - /2 ,6) -- ( - /2 ,-6); % 抛物线 [samples=200, domain=-5.8:5.8] plot ( /(2* ) , ); % 主线段 [blue] (C) -- (B) -- (Bp); [blue] (C) -- (F) -- (Fp); [blue] (C) -- (A) -- (Ap); [blue] (Ap) -- (F); % 角标： AFx= /3 [blue] (F) +(0.9,0) arc (0:60:0.9); [blue] at ( (F)+(1.5,0.8) ) 3 ; % 点标注 (F) circle (1.2pt) node[below right] F ; (Fp) circle (1.2pt) node[below left] F' ; (A) circle (1.2pt) node[above] A ; (B) circle (1.2pt) node[right] B ; (Ap) circle (1.2pt) node[left] A' ; (Bp) circle (1.2pt) node[left] B' ; (C) circle (1.2pt) node[below left] C ;

定义 3. 抛物线的阿基米德三角形

0.5 设抛物线 ( x^2 = 2py (p > 0) ) 上两个不同的点 ( A(x_1, y_1) )， ( B(x_2, y_2) )，以 ( A )， ( B ) 为切点的切线相交于点 ( P )，称 ( PAB ) 为阿基米德三角形. 注：对于抛物线 y^2 = 2px (p > 0) ，有如下结论: P ( y_1y_2 2p , y_1+y_2 2 ) S_ PAB = y_1-y_2 ^3 8p 0.49 [scale=0.78, >=stealth] % 抛物线 x^2=2py，按文本公式精确计算 A,B,P,Q,R,C,D 1.5 3.5 -2 /(2* ) /(2* ) % P 为 A、B 两点切线交点 ( + )/2 /(2* ) % Q 为 AB 中点 ( + )/2 ( + )/2 % R 为 PQ 与抛物线交点（且为 PQ 中点） ( + )/2 ( + )*( + )/(8* ) % C,D 分别为切线(过R)与 PA,PB 交点（文本结论中为中点） ( + )/2 ( + )/2 ( + )/2 ( + )/2 (O) at (0,0); (A) at ( , ); (B) at ( , ); (P) at ( , ); (Q) at ( , ); (R) at ( , ); (C) at ( , ); (D) at ( , ); % 坐标轴 [->] (-4.5,0) -- (4.5,0) node[right] x ; [->] (0,-2.5) -- (0,4.8) node[left] y ; [below left] at (O) O ; % 抛物线 x^2=2py [samples=260, domain=-3.7:3.7] plot ( , /(2* ) ); % 关键线：弦 AB、切线 PA/PB、过R切线 CD、以及 PQ (A) -- (B); (P) -- (A); (P) -- (B); [blue] (C) -- (D); [blue] (P) -- (Q); % [dashed] (Q) -- (R); % 点 (A) circle (1.2pt) node[right] A ; (B) circle (1.2pt) node[left] B ; (P) circle (1.2pt) node[below] P ; (Q) circle (1.2pt) node[above] Q ; (R) circle (1.2pt) node[right] R ; (C) circle (1.2pt) node[right] C ; (D) circle (1.2pt) node[left] D ; 由 ( y = x^2 2p )， ( y' = x p )，设 ( l_ PA : y - x_1^2 2p = x_1 p (x - x_1) )，化简得 ( x_1x = p(y + y_1) )；同理 ( l_ PB : x_2x = p(y + y_2) ). 联立解得交点坐标 ( P ( x_1 + x_2 2 , x_1x_2 2p ) ). 设 ( Q ) 为 ( AB ) 中点，则 ( x_Q = x_1 + x_2 2 = x_P )， ( PQ ) 与 ( y ) 轴平行或重合. ( y_Q = y_1 + y_2 2 = x_1^2 2p + x_2^2 2p 2 = x_1^2 + x_2^2 4p ). ( S_ PAB = 1 2 x_1 - x_2 y_Q - y_P = x_1 - x_2 2 x_1^2 + x_2^2 4p - x_1x_2 2p = x_1 - x_2 ^3 8p AB ^3 8p ). ( PQ ) 与抛物线交于 ( R ) 点， ( x_R = x_1 + x_2 2 )， ( y_R = y_P + y_Q 2 = (x_1 + x_2)^2 8p )， ( R ( x_1 + x_2 2 , (x_1 + x_2)^2 8p ) ) 在抛物线上. 过 ( R ) 作抛物线的切线交 ( PA ) 于点 ( C )，交 ( PB ) 于点 ( D ). ( k_ CD = x_1 + x_2 2p = k_ AB )，故 ( CD AB )且 C , D 均为中点. 若 ( P ) 点坐标为 ( (x_0, y_0) )，在直线 ( AB ) 两点式方程 ( (x_1 + x_2)x = 2py + x_1x_2 ) 中， ( x_1 + x_2 2 = x_0 )， ( x_1x_2 2p = y_0 )，代入得直线 ( AB ) 为 ( x_0x = p(y + y_0) ). 若 ( AB ) 过抛物线内的定点 ( (x_0, y_0) )，由于 ( P ) 在 ( PA )， ( PB ) 上， ( x_1x_P = p(y_P + y_1) ) 且 ( x_2x_P = p(y_P + y_2) )，这表明 ( AB ) 均在直线 ( x_Px = p(y_P + y) ) 上，即 ( x_Px_0 = p(y_P + y_0) )，即 ( P ) 的轨迹方程为 ( x_0x = p(y + y_0) ).

性质 2.

% 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴 % % 证明：如图，设点 (N )为弦 (AB )中点，则点 (N )的纵坐标为 ( y_1 + y_2 2 ) % 进而由性质1可知 (QN x )轴. %

性质 3.

% 若 (N )为弦 (AB )的中点， (QN )与抛物线交于 (P )点，则 (P )为 (QN )的中点； % % 证明：如图，由于 (Q ( y_1y_2 2p , y_1 + y_2 2 ),N ( x_1 + x_2 2 , y_1 + y_2 2 ) ) % 设 (QN )的中点为 (P )，易得 (P ( (y_1 + y_2)^2 8p , y_1 + y_2 2 ) )，此点显然在抛物线上. %

性质 4.

% 过 (P )的切线交 (QA )于 (C )点，交 (QB )于 (D )点，则 (CD AB )， (C )是 (QA )的中点， (D )是 (QB )的中点， (P )是 (CD )的中点. % % 证明：计算过 (P )点切线斜率 ( 2p y_ 1 +y_ 2 )，与 (AB )斜率相等，得 (CD AB )，再由相似三角形或平行关系可证其他中点关系. %

性质 5.

% 设 (Q(x_ 0 , y_ 0 ) )，则切点弦 (AB )的方程为 (yy_ 0 =p(x + x_ 0 ) ). % % 证明：因为点 (Q(x_ 0 , y_ 0 ) )在过 (A )、 (B )的切线上，所以 (y_ 1 y_ 0 =p(x_ 1 +x_ 0 ) )且 (y_ 2 y_ 0 =p(x_ 2 +x_ 0 ) )，即 (A )、 (B )均在直线 (yy_ 0 =p(x + x_ 0 ) )上，由两点确定一条直线得证. %

性质 6.

% 若阿基米德三角形的底边即弦 (AB )过抛物线内的定点 (C(m,n) )，则另一顶点 (Q )的轨迹为一条直线 (ny = p(x + m) ). % % 证明：设 (Q(x_ 0 , y_ 0 ) )，由性质5得直线 (AB )方程为 (yy_ 0 =p(x + x_ 0 ) )，因为弦 (AB )过定点 ((m,n) )，代入可得 (ny_ 0 =p(x_ 0 +m) )，即 (Q )的轨迹方程. %

性质 7.

% 抛物线以定点 (C(m,n) )为中点的弦平行于 (Q )点的轨迹. % % 证明：由性质6知 (Q )的轨迹方程为 (ny = p(x + m) )，其斜率为 ( p n )；设弦 (AB )中点为 ((m,n) )，根据中点坐标公式和抛物线方程可得弦 (AB )所在直线方程，进而求得其斜率也为 ( p n )，且两直线不重合，所以平行. %

性质 8.

% 若直线 (l )与抛物线没有公共点，以 (l )上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点；若直线 (l )方程为 (ax + by + c = 0 )，则定点的坐标为 (C( c a ,- bp a ) ). % % 证明：因为 (Q )点的极线为直线 (AB )， (C )在直线 (AB )上， (C )点的极线为 (Q )点的轨迹 (l )，设 (C(m,n) )，其极线方程 (ny = p(x + m) )与 (l )为同一条直线，对比系数可得 (m= c a )， (n=- bp a ). %

性质 9.

% 弦 (AB )绕着定点 (T(t,0) )转动，则其所对顶点 (Q )落在直线 (x = -t )上；特别地，当 (t= p 2 )时，定点为焦点， (Q )点落在准线上. % % 证明：设直线 (AB )方程 (x = ky + t )，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到 (y_ 1 +y_ 2 )和 (y_ 1 y_ 2 )的值，再代入 (Q )点横坐标表达式 (x_ Q = x_ 2 y_ 1 -x_ 1 y_ 2 y_ 2 -y_ 1 )，化简可得 (x_ Q =-t ).当 (t= p 2 )时， (Q )点横坐标为 (- p 2 )，即 (Q )点落在准线上. %

性质 10.

% 直线 (QT )、 (AB )斜率之积为定值 (- p 2t )；且当 (T )为焦点时，斜率之积为 (-1 )，即 (QT AB ). % % 证明：根据两点间斜率公式表示出 (k_ QT )和 (k_ AB )，将 (y_ 1 +y_ 2 )和 (y_ 1 y_ 2 )（由性质9联立方程所得）代入 (k_ QT k_ AB )化简得 (- p 2t )，当 (t= p 2 )时， (k_ QT k_ AB =-1 )，即 (QT AB ). %

性质 11.

% 直线 (QA )、 (QB )斜率之积为定值 (- p 2t )；且当 (T )为焦点时，斜率之积为 (-1 )，即 (QA QB ). % % 证明：由性质9知 (y_ 1 y_ 2 =-2pt )，根据两点间斜率公式表示出 (k_ QA = p y_ 1 )， (k_ QB = p y_ 2 )，则 (k_ QA k_ QB = p^ 2 y_ 1 y_ 2 =- p 2t )，当 (t= p 2 )时， (k_ QA k_ QB =-1 )，即 (QA QB ) . %

性质 12.

% 直线 (QA )， (QT )， (QB )的斜率成等差数列. % % 证明：分别计算 (k_ QA +k_ QB = p(y_ 1 +y_ 2 ) y_ 1 y_ 2 )， (2k_ QT =2 y_ 1 +y_ 2 2 -0 -t - t )，将 (y_ 1 y_ 2 =-2pt )代入化简，可得 (k_ QA +k_ QB =2k_ QT )，所以直线 (QA )， (QT )， (QB )的斜率成等差数列. %

性质 13.

% 若 (Q )是不在 (x )轴上的一个动点，当 (QO AB )时，直线 (AB )过定点 ((p,0) ). % % 证明：设 (Q(x_ 0 , y_ 0 ) )，直线 (AB )的方程为 (y_ 0 y = p(x + x_ 0 ) )，分别计算直线 (QO )与直线 (AB )的斜率，由 (QO AB )得斜率之积为 (-1 )，进而求得 (x_ 0 =-p )，所以直线 (AB )的方程为 (y= p y_ 0 (x - p) )，即直线 (AB )过定点 ((p,0) ). %

性质 14.

% 底边长为 (a )的阿基米德三角形的面积最大值为 ( a^ 3 8p ). % % 证明：设 (A(x_ 1 , y_ 1 ) )， (B(x_ 2 , y_ 2 ) )， ( AB = a )，设 (Q )到直线 (AB )的距离为 (d )，通过计算得出 (d (y_ 1 -y_ 2 )^ 2 4p )，又由直线 (AB )方程 (x = my + n )及弦长公式 (a= (1 + m^ 2 )(y_ 1 -y_ 2 )^ 2 )得 ((y_ 1 -y_ 2 )^ 2 a^ 2 )，所以 (d a^ 2 4p ) ，根据三角形面积公式 (S_ ABQ = 1 2 ad )，可得 (S_ ABQ a^ 3 8p ). %

性质 15.

% 若阿基米德三角形的底边过焦点时，阿基米德三角形顶点 (Q )的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小值为 (p^ 2 ). % % 证明：设抛物线的准线与 (x )轴交于 (F_ 1 )，直线 (AB )的倾斜角为 ( )，利用几何关系和焦点弦倾斜角公式可得 (QF= p )， (AB= 2p ^ 2 )，由性质10知 (QF AB )，则 (S_ ABQ = 1 2 p 2p ^ 2 = p^ 2 ^ 3 )，当 ( = 2 )时， (S_ ABQ )最小为 (p^ 2 )；同时根据性质9，当底边过焦点即 (t = p 2 )时， (Q )点落在准线上. %

性质 16.

% 在阿基米德三角形中， ( QFA= QFB ). % % 证明：过 (A )、 (B )分别作抛物线准线的垂线 (AA_ 1 )、 (BB_ 1 )，连结相关线段，通过证明 (FA_ 1 QA )，由抛物线定义及中垂线性质得 ( QA_ 1 = QF )， ( QA_ 1 A= QFA )，同理 ( QB_ 1 = QF )， ( QB_ 1 B= QFB )，再根据角度关系可得 ( QFA= QFB ).特别地，若底边过焦点， ( QFA= QFB )，即 (MF AB ). %

性质 17.

% ( AF BF = QF ^ 2 ). % % 证明：根据抛物线的焦半径公式表示出 ( AF BF )，将 (y_ 1 ^ 2 =2px_ 1 )， (y_ 2 ^ 2 =2px_ 2 )代入化简；再计算 ( QF ^ 2 )，将 (Q( y_ 1 y_ 2 2p , y_ 1 +y_ 2 2 ) )， (F( p 2 ,0) )代入两点间距离公式并化简，可得 ( AF BF = QF ^ 2 )，这也说明了 ( QFA BFQ ). %

性质 18.

% 抛物线上任取一点 (I )（不与 (A )， (B )重合），过 (I )作抛物线切线交 (QA )、 (QB )于 (S )、 (T )，连接 (AI )， (BI )，则 ( ABI )的面积是 ( QST )面积的 (2 )倍. %

性质 19.

% 过抛物线外一点 (Q )作抛物线的两条切线，切点分别为 (A )， (B ).又设 ( QAB )的外接圆圆心为 (O' )，抛物线焦点为 (F )，则有 (O'F QF ). %

性质 20.

% 在抛物线上任取一点 (I )（不与 (A )、 (B )重合），过 (I )作抛物线切线交 (QA )、 (QB )于 (S )、 (T )，则 ( QST )的垂心在准线上. %

统一结论

定义 1. 垂直平分线定义（人教A选必一P115-6、P127-5）

0.73 设圆 O 的半径为 r ， A 为平面内一定点， P 为圆 O 上任意一点，线段 AP 的垂直平分线 l 与直线 OP 交于点 Q .由垂直平分线性质知 QA = QP ，又点 P 在圆上，则 OP = r . 点 Q 的轨迹由点 A 与圆 O 的位置关系决定： 若 A 在圆内， Q 在线段 OP 上，有 OQ + QA = OQ + QP = OP = r . 满足距离和等于常数 r> OA ，点 Q 的轨迹为以 O,A 为焦点，长轴长为 r 的 椭圆 ； 若 A 在圆外， Q 在 OP 延长线上，有 QA - QO = QP - QO = OP = r . 满足距离差的绝对值等于常数 r< OA ，点 Q 的轨迹为以 O,A 为焦点，实轴长为 r 的 双曲线 . 拓展：此时 (l )与椭圆或双曲线相切，可以对应光学性质. 0.26 [scale=0.55, >=stealth] % --- 椭圆情形 (A在圆内) --- [shift= (0,0) ] (O) at (0,0); (A) at (2,0); 2.5 (P) at (60: ); cos(60) sin(60) 2 0 % k = ( ^2 - ^2 - ^2) / (2*( ^2 - - )) ( - - ) / (2*( - - )) (Q) at ( , ); % 画椭圆轨迹 a=1.25, c=1, b=sqrt(1.25^2-1^2)=0.75, center=(1,0) [blue, thick] (1,0) ellipse (1.25 and 0.75); % 绘图 (O) circle ( ); (O) -- (P); [dashed] (A) -- (P); [dashed] (A) -- (Q); % 垂直平分线 (M) at ( (A)!0.5!(P) ); ( (M)!1.6!90:(A) ) node[right] l -- ( (M)!2!-90:(A) ); (O) circle (2pt) node[left] O ; (A) circle (2pt) node[right] A ; (P) circle (2pt) node[above right] P ; (Q) circle (2pt) node[above left, inner sep=1pt] Q ; % --- 双曲线情形 (A在圆外) --- [shift= (0,-5.5) ] (O) at (0,0); (A) at (2.5,0); 2 (P) at (80: ); cos(80) sin(80) 2.5 0 % k = ( ^2 - ^2 - ^2) / (2*( ^2 - - )) ( - - ) / (2*( - - )) (Q) at ( , ); % 画双曲线轨迹 a=1, c=1.25, b=0.75, center=(1.25,0) [blue, thick, samples=50, domain=-1.5:1.5] plot ( 1.25 - cosh( ) , 0.75*sinh( ) ); [blue, thick, samples=50, domain=-1.5:1.5] plot ( 1.25 + cosh( ) , 0.75*sinh( ) ); % 绘图 (O) circle ( ); (P) -- (Q); % 射线OP，Q在P的外侧 [dashed] (A) -- (P); % 连结AP以显示垂直平分线 [dashed] (A) -- (Q); % 连结AQ % 垂直平分线 (M) at ( (A)!0.5!(P) ); ( (M)!1.5!90:(A) ) node[right] l -- ( (M)!2.5!-90:(A) ); (O) circle (2pt) node[left] O ; (A) circle (2pt) node[right] A ; (P) circle (2pt) node[above left] P ; (Q) circle (2pt) node[below] Q ;

定义 2. 双圆相切定义（人教A选必一P115-10）

0.73 设圆 O_1 的半径为 R ， O_2 为平面内一定点，动圆 P 过定点 O_2 且与圆 O_1 相切，则动圆圆心 P 的轨迹由点 O_2 与圆 O_1 的位置关系决定： 设动圆 P 的半径为 r . 若 O_2 在圆 O_1 内，则动圆 P 必与圆 O_1 内切，有 PO_1 = R - r . 又 P 过定点 O_2 ，则 PO_2 = r . 故 PO_1 + PO_2 = R - r + r = R> O_1O_2 ，点 P 的轨迹为以 O_1,O_2 为焦点，长轴长为 R 的 椭圆 ； 若 O_2 在圆 O_1 外，动圆 P 与圆 O_1 外切或内切. 由于动圆 P 过定点 O_2 ，有 PO_2 = r . 若动圆 P 与圆 O_1 外切，有 PO_1 = R + r .此时 PO_1 - PO_2 = R + r - r = R ； 若动圆 P 与圆 O_1 内切，有 PO_1 = r - R .此时 PO_2 - PO_1 = r - (r - R) = R . 综上， PO_1 - PO_2 = R< O_1O_2 ，点 P 的轨迹为以 O_1,O_2 为焦点，实轴长为 R 的 双曲线 . 0.26 [scale=0.55, >=stealth] % --- 椭圆情形 (内切) --- [shift= (0,0) ] (O1) at (0,0); (O2) at (1.5,0); 3 % 选取 P 以便与O1, O2构成良好比例 (P) at (0,1.125); 1.875 % 绘图 (O1) circle ( ); [red] (P) circle ( ); (O1) -- (P); (O2) -- (P); [dashed] (O1) -- (O2); % 画椭圆轨迹 a=1.5, c=0.75, b=sqrt(1.5^2-0.75^2)=1.299, center=(0.75,0) [blue, thick] (0.75,0) ellipse (1.5 and 1.299); (O1) circle (2pt) node[left] O_1 ; (O2) circle (2pt) node[right] O_2 ; (P) circle (2pt) node[left] P ; % --- 双曲线情形 (外切) --- [shift= (0,-6) ] (O1) at (0,0); (O2) at (3,0); 2 % 选取 P 使其代表外切情形 (P) at (3,1.25); 1.25 % 绘图 (O1) circle ( ); [red] (P) circle ( ); (O1) -- (P); (O2) -- (P); [dashed] (O1) -- (O2); % 画双曲线轨迹 a=1, c=1.5, b=sqrt(1.5^2-1^2)=1.118, center=(1.5,0) [blue, thick, samples=50, domain=-1.5:1.5] plot ( 1.5 - cosh( ) , 1.118*sinh( ) ); [blue, thick, samples=50, domain=-1.5:1.5] plot ( 1.5 + cosh( ) , 1.118*sinh( ) ); (O1) circle (2pt) node[left] O_1 ; (O2) circle (2pt) node[below right] O_2 ; (P) circle (2pt) node[above right] P ;

定义 3. 抛物线的垂直平分线与相切定义

抛物线同样具有类似于椭圆和双曲线的定义方式，此时定义中的“定圆”退化为“定直线”（即准线）： 0.73 垂直平分线定义： 设 l 为平面内必定直线， F 为 l 外一定点， P 为直线 l 上任意一点.作线段 FP 的垂直平分线 m ，过点 P 作 l 的垂线交 m 于点 Q . 由垂直平分线性质知 QF = QP .由于 QP l ， QP 即为点 Q 到直线 l 的距离.点 Q 到定点 F 的距离等于到定直线 l 的距离，其轨迹是以 F 为焦点， l 为准线的 抛物线 . 动圆相切定义： 设 l 为平面内必定直线， F 为 l 外一定点.动圆 Q 过定点 F 且与定直线 l 相切. 设动圆半径为 r ，因圆过定点 F ，故 QF = r ；因圆与定直线 l 相切，点 Q 到 l 的距离也为 r .点 Q 到定点 F 的距离等于到定直线 l 的距离，动圆圆心 Q 的轨迹是 抛物线 . 0.26 [scale=0.55, >=stealth] % --- 抛物线垂直平分线与相切 --- (F) at (0, 1); % 焦点 (P) at (2, -1); % 准线上的点 (Q) at (2, 1); % 抛物线上的点 (x^2=4y) % 准线 l [thick] (-3,-1) -- (3,-1) node[right] l ; % 动圆 Q, 焦点 F, 动点 P [red] (Q) circle (2); % 半径为2 (F) -- (Q); (P) -- (Q); [dashed] (F) -- (P); % 垂直平分线 m (M) at ( (F)!0.5!(P) ); % m的斜率与FP垂直 ( (M)!2!-90:(F) ) -- ( (M)!2!90:(F) ) node[below] m ; % 抛物线轨迹 [blue, thick, samples=50, domain=-2.8:2.8] plot ( , /4 ); (F) circle (2pt) node[left] F ; (P) circle (2pt) node[below] P ; (Q) circle (2pt) node[right] Q ;

结论 1. 椭圆、双曲线、抛物线的焦半径与焦点弦

[scale=0.8, >=stealth] % ---------- 椭圆 ---------- [shift= (-7,0) ] 2.6 1.8 sqrt( - ) 0.85 1/( )+ /( ) 2* /( ) /( )-1 sqrt( -4* ) (- + )/(2* ) (- - )/(2* ) ( + ) ( + ) - / (OE) at (0,0); (FE) at (- ,0); (AEp) at ( , ); (BEp) at ( , ); [->] (-4,0) -- (3,0) node[right] x ; [->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node[left] y ; [dashed] ( ,-2.5) -- ( ,2) node[above] l ; (OE) ellipse [x radius= , y radius= ]; [thick, blue] (AEp) -- (BEp); [blue] (FE) +(0.55,0) arc (0: atan( ) :0.55); [blue] at ( (FE)+(0.92,0.23) ) ; (FE) circle (1.2pt) node[below] F ; (AEp) circle (1.2pt) node[above right] A ; (BEp) circle (1.2pt) node[below left] B ; (0,0) circle (1.2pt) node[below left] O ; % ---------- 双曲线 ---------- [shift= (0,0) ] 1.5 1.5 sqrt( + ) 4 1/( )- /( ) 2* /( ) - /( )-1 sqrt( -4* ) (- + )/(2* ) (- - )/(2* ) ( - ) ( - ) / (OH) at (0,0); (FH) at ( ,0); (BHp) at ( , ); (AHp) at ( , ); [->] (-3.0,0) -- (3,0) node[right] x ; [->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node[left] y ; [dashed] ( ,-2.5) -- ( ,2) node[above] l ; [samples=160, domain=-1.25:1.25] plot ( cosh( ) , sinh( ) ); [samples=160, domain=-1.25:1.25] plot ( - cosh( ) , sinh( ) ); [thick, blue] (AHp) -- (BHp); [blue] (FH) +(0.55,0) arc (0: atan( ) :0.55); [blue] at ( (FH)+(0.9,0.26) ) ; (FH) circle (1.2pt) node[below] F ; (AHp) circle (1.2pt) node[right] A ; (BHp) circle (1.2pt) node[below left] B ; (0,0) circle (1.2pt) node[below left] O ; % ---------- 抛物线 ---------- [shift= (6,0) ] 1.3 /2 2 -2* -2* sqrt( -4* ) (- + )/(2* ) (- - )/(2* ) ( - ) ( - ) - (OP) at (0,0); (FP) at ( ,0); (APp) at ( , ); (BPp) at ( , ); [->] (-1.5,0) -- (2.5,0) node[right] x ; [->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node[left] y ; [dashed] ( ,-2.5) -- ( ,2) node[above] l ; [samples=220, domain=-2.45:2.45] plot ( /(2* ) , ); [thick, blue] (APp) -- (BPp); [blue] (FP) +(0.55,0) arc (0: atan( ) :0.55); [blue] at ( (FP)+(0.93,0.24) ) ; (FP) circle (1.2pt) node[below] F ; (APp) circle (1.2pt) node[right] A ; (BPp) circle (1.2pt) node[below left] B ; (0,0) circle (1.2pt) node[below left] O ; 定义到焦点的距离与到准线的距离的比值为定值 e 的点的轨迹为圆锥曲线， 当 0<e<1 表示椭圆，当 e=1 表示抛物线，当 e>1 表示双曲线. 设焦点到准线的距离为焦准距 p ，易得对于椭圆与双曲线， p= b^2 c , ep= b^2 a (半通径).若 F 内分弦 AB , 根据定义有 AF p+ AF = e ，可得 AF = ep 1-e BF = ep 1+e AB = 2ep 1 - e^2 ^2 1 AF + 1 BF = 2 ep 设 AF = BF ，可得 e = - 1 + 1 AF = +1 2 ep BF = +1 2 ep AB = ( +1)^2 2 ep

结论 2. 椭圆与双曲线共焦点问题

0.7 若椭圆 ( C_1: x^2 a^2 + y^2 b^2 = 1 (a > b > 0) ) 与双曲线 ( C_2: x^2 m^2 - y^2 n^2 = 1 (m > 0, n > 0) ) 共焦点 ( F_1(-c,0) )、 ( F_2(c,0) (c > 0) )， 椭圆离心率 ( e_1 = c a )，双曲线离心率 ( e_2 = c m )， ( F_1PF_2 = ), 点 ( P(x_0, y_0) ) 为两曲线的公共点. 0.29 [scale=0.62, >=stealth] 3 2 sqrt( - ) 1 sqrt( - ) / / atan2(- ,- - ) atan2(- , - ) ( + )/2 (O) at (0,0); (F1) at (- ,0); (F2) at ( ,0); (P) at ( , ); [->] (-3.5,0) -- (3.5,0) node[right] x ; [->] (0,-3) -- (0,3) node[left] y ; [samples=220, domain=0:360] plot ( cos( ) , sin( ) ); [samples=180, domain=-1.2:1.2] plot ( cosh( ) , sinh( ) ); [samples=180, domain=-1.2:1.2] plot ( - cosh( ) , sinh( ) ); [thick, blue] (F1) -- (P) -- (F2); [blue] ( (P)+( :0.5) ) arc[start angle= , end angle= , radius=0.5]; (O) circle (1.2pt) node[below left] O ; (F1) circle (1.2pt) node[below] F_1 ; (F2) circle (1.2pt) node[below] F_2 ; (P) circle (1.2pt) node[above right] P ; [blue, xshift=-2pt] at ( (P)+( :0.9) ) ; 坐标关系： ( x_0 = am c )， ( y_0 = bn c )， ( y_0 x_0 = bn am ). 焦点三角形量： ( PF_1 PF_2 = a^2 - m^2 )， ( PF_1 PF_2 = b^2 - n^2 )， ( S_ PF_1F_2 = bn ). 角度关系： ( 2 = n b )， ( = b^2 - n^2 a^2 - m^2 ). 离心率恒等式： ( ( n e_1 )^2 + ( b e_2 )^2 = b^2 + n^2 ). 角度-离心率关系： 若 ( F_1PF_2 = )，则 ( ( 2 e_1 )^2 + ( 2 e_2 )^2 = 1 ) ， 即 ( 1 - e_1^2 + 1 + e_2^2 = 2 ). 切线垂直性： 椭圆 ( C_1 ) 与双曲线 ( C_2 ) 在点 ( P(x_0, y_0) ) 处的切线相互垂直. 切线垂直的充要条件： 若两曲线在 ( P(x_0, y_0) ) 处切线相互垂直，则它们共焦点（即满足 ( a^2 - b^2 = m^2 + n^2 )）.

性质 1. 椭圆的光学性质（人教A选修一P113例5）

0.68 从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射，反射光线过椭圆的另一个焦点. 椭圆 ( C: x^2 a^2 + y^2 b^2 = 1 )（ ( a > b > 0 )）， ( F_1, F_2 ) 为焦点， ( l ) 是过椭圆上点 ( D(x_0, y_0) ) 的切线， ( A, B l )（ ( A, B D )），则 [ F_1DA = F_2DB ] 0.31 [scale=0.65, >=Stealth] % 坐标轴与椭圆 [->] (-3.8, 0) -- (3.8, 0) node[below] x ; [->] (0, -2.5) -- (0, 2.5) node[left] y ; [below right] at (0,0) O ; [thick] (0,0) ellipse (3 and 2); % 焦点 (-2.236, 0) circle (1.5pt) node[above left] F_1 ; (2.236, 0) circle (1.5pt) node[above right] F_2 ; % 多条带箭头光线 % 光线 1 (-1.5, 1.732) [thick, blue, ->] (-2.236, 0) -- (-1.868, 0.866); [thick, blue] (-1.868, 0.866) -- (-1.5, 1.732); [thick, blue, ->] (-1.5, 1.732) -- (0.368, 0.866); [thick, blue] (0.368, 0.866) -- (2.236, 0); % 光线 2 (1.5, 1.732) [thick, blue, ->] (-2.236, 0) -- (-0.368, 0.866); [thick, blue] (-0.368, 0.866) -- (1.5, 1.732); [thick, blue, ->] (1.5, 1.732) -- (1.868, 0.866); [thick, blue] (1.868, 0.866) -- (2.236, 0); % 光线 3 (-2.598, -1) [thick, blue, ->] (-2.236, 0) -- (-2.417, -0.5); [thick, blue] (-2.417, -0.5) -- (-2.598, -1); [thick, blue, ->] (-2.598, -1) -- (-0.181, -0.5); [thick, blue] (-0.181, -0.5) -- (2.236, 0); % 光线 4 (0, -2) [thick, blue, ->] (-2.236, 0) -- (-1.118, -1); [thick, blue] (-1.118, -1) -- (0, -2); [thick, blue, ->] (0, -2) -- (1.118, -1); [thick, blue] (1.118, -1) -- (2.236, 0); % 光线 5 (2.598, 1) [thick, blue, ->] (-2.236, 0) -- (0.181, 0.5); [thick, blue] (0.181, 0.5) -- (2.598, 1); [thick, blue, ->] (2.598, 1) -- (2.417, 0.5); [thick, blue] (2.417, 0.5) -- (2.236, 0); 0.68 证明： 设 (D ) 处的法向量为 ( n = ( x_0 a^2 , y_0 b^2 ) ). ( DF_1 = (-c-x_0, -y_0) ) , ( DF_2 = (c-x_0, -y_0) ). ( n DF_1 = - cx_0 a^2 - x_0^2 a^2 - y_0^2 b^2 = - a+ex_0 a ). 而 ( DF_1 = a + ex_0 )，故 ( n DF_1 DF_1 = 1 a ). ( n DF_2 = cx_0 a^2 - ( x_0^2 a^2 + y_0^2 b^2 ) = ex_0-a a ). ( DF_2 = a - ex_0 )， ( n DF_2 DF_2 = 1 a ). 故 ( n , DF_1 = n , DF_2 )，即法线是 ( F_1DF_2 ) 的角平分线. 0.31 [scale=0.65, >=Stealth] % 坐标轴与椭圆 [->] (-3.8, 0) -- (3.8, 0) node[below] x ; [->] (0, -2.5) -- (0, 2.5) node[above] y ; [below right] at (0,0) O ; [thick] (0,0) ellipse (3 and 2); % 焦点与切点 (-2.236, 0) circle (1.5pt) node[below] F_1 ; (2.236, 0) circle (1.5pt) node[below] F_2 ; (-1.5, 1.732) circle (1.5pt) node[above left] D ; % 切线与点A,B [thick](1.5, 2.887)-- (-3, 1.155) node[left] l ; (-2.5, 1.347) circle (1.5pt) node[above left] A ; (-0.5, 2.117) circle (1.5pt) node[above left] B ; % 焦半径与法线 [thick] (-2.236, 0) -- (-1.5, 1.732); [thick] (2.236, 0) -- (-1.5, 1.732); [dashed, thick] (-1.5, 1.732) -- (-0.833, 0); % 法线(角平分线)

性质 2. 双曲线光学性质

从双曲线一个焦点发出的光，反射光线的反向延长线汇聚到另一焦点. 双曲线 ( C: x^2 a^2 - y^2 b^2 = 1 )（ ( a, b > 0 )）， ( F_1, F_2 ) 为焦点， ( l ) 切于 ( D(x_0, y_0) )， ( A, B l )（ ( A, B D )），延长 ( F_1D ) 至 ( C )，则 [ F_2DB = CDA ] 0.5 证明： 设 (D ) 在双曲线右支上（ (x_0 a )），法向量为 ( n = ( x_0 a^2 , - y_0 b^2 ) ). ( DF_1 = (-c-x_0, -y_0) ) , ( DF_2 = (c-x_0, -y_0) ). ( n DF_1 = - cx_0 a^2 - x_0^2 a^2 + y_0^2 b^2 = - cx_0 a^2 - 1 = - ex_0+a a ). ( DF_1 = ex_0 + a )， ( n DF_1 DF_1 = 1 a ). ( n DF_2 = cx_0 a^2 - x_0^2 a^2 + y_0^2 b^2 = cx_0 a^2 - 1 = ex_0-a a ). ( DF_2 = ex_0 - a )， ( n DF_2 DF_2 = 1 a ). 所以 ( n , DF_1 = n , DF_2 )，即法线平分 ( F_1DF_2 )，光线反射的反向延长线必过另一焦点. 0.23 [scale=0.65, >=Stealth] % 坐标轴与双曲线 [->] (-3, 0) -- (3, 0) node[below] x ; [->] (0, -4) -- (0, 4) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; % 绘制双曲线 (a=1, b=2, c=2.236) [thick, domain=-1.4:1.4, smooth, samples=50] plot ( cosh( ) , 2*sinh( ) ); [thick, domain=-1.4:1.4, smooth, samples=50] plot ( -cosh( ) , 2*sinh( ) ); % 焦点与切点 (-2.236, 0) circle (1.5pt) node[below] F_1 ; (2.236, 0) circle (1.5pt) node[below] F_2 ; (1.5, 2.236) circle (1.5pt) node[above left] D ; % 切线与点A,B (y = 2.683 x - 1.789) [thick] (2.1, 3.845)--(0.3, -0.984) node[below] l ; (2.0, 3.577) circle (1.5pt) node[left] A ; (0.6, -0.179) circle (1.5pt) node[below] B ; % 焦半径与延长线 [thick] (-2.236, 0) -- (1.5, 2.236); [thick] (1.5, 2.236) -- (2.62, 2.906); (2.25, 2.68) circle (1.5pt) node[above] C ; [thick] (2.236, 0) -- (1.5, 2.236); 0.23 [scale=0.65, >=Stealth] % 坐标轴与双曲线 [->] (-3, 0) -- (3, 0) node[below] x ; [->] (0, -4) -- (0, 4) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; % 绘制双曲线 [thick, domain=-1.4:1.4, smooth, samples=50] plot ( cosh( ) , 2*sinh( ) ); [thick, domain=-1.4:1.4, smooth, samples=50] plot ( -cosh( ) , 2*sinh( ) ); % 焦点 (-2.236, 0) circle (1.5pt) node[below] F_1 ; (2.236, 0) circle (1.5pt) node[below] F_2 ; % 多条带箭头光线 (从 F2 射出，并沿 F1 反向延长线反射) % 光线 1 (上方 P1: 1.5, 2.236) [thick, blue, ->] (2.236, 0) -- (1.868, 1.118); [thick, blue] (1.868, 1.118) -- (1.5, 2.236); [thick, blue, ->] (1.5, 2.236) -- (2.434, 2.795); [thick, blue] (2.434, 2.795) -- (3.368, 3.354); [dashed, blue] (-2.236, 0) -- (1.5, 2.236); % 光线 2 (偏中 P2: 1.1, 0.916) [thick, blue, ->] (2.236, 0) -- (1.668, 0.458); [thick, blue] (1.668, 0.458) -- (1.1, 0.916); [thick, blue, ->] (1.1, 0.916) -- (1.934, 1.145); [thick, blue] (1.934, 1.145) -- (2.768, 1.374); [dashed, blue] (-2.236, 0) -- (1.1, 0.916); % 光线 3 (偏中 -P2: 1.1, -0.916) [thick, blue, ->] (2.236, 0) -- (1.668, -0.458); [thick, blue] (1.668, -0.458) -- (1.1, -0.916); [thick, blue, ->] (1.1, -0.916) -- (1.934, -1.145); [thick, blue] (1.934, -1.145) -- (2.768, -1.374); [dashed, blue] (-2.236, 0) -- (1.1, -0.916); % 光线 4 (下方 -P1: 1.5, -2.236) [thick, blue, ->] (2.236, 0) -- (1.868, -1.118); [thick, blue] (1.868, -1.118) -- (1.5, -2.236); [thick, blue, ->] (1.5, -2.236) -- (2.434, -2.795); [thick, blue] (2.434, -2.795) -- (3.368, -3.354); [dashed, blue] (-2.236, 0) -- (1.5, -2.236);

性质 3. 抛物线光学性质（人教A选修一P139-13）

从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴（主光轴）. 设抛物线 ( C: y^2 = 2px (p > 0) )，焦点为 ( F ( p 2 , 0 ) )，直线 ( l ) 是 ( C ) 在点 ( P(x_0, y_0) ) 处的切线. 若光线从 ( F ) 射向 ( P )，经 ( P ) 点反射后得到光线 ( PQ )，则反射光线满足： ( PQ x -轴（抛物线的对称轴） ) 0.55 证明： (P )处的法向量为 ( n = (p, -y_0) ), ( PF = ( p 2 -x_0, -y_0 ) ). 记平行于 (x )轴的主光轴方向向量为 ( v = (1, 0) ). ( n PF = p ( p 2 -x_0 ) + y_0^2 = p^2 2 - px_0 + 2px_0 = p (x_0 + p 2 ) ). 所以 ( n PF PF = p (x_0 + p 2 ) ( p 2 -x_0 )^2 + y_0^2 = p (x_0 + p 2 ) x_0 + p 2 = p ). 另一方面， ( n v v = p 1 + (-y_0) 0 1 = p ). ( n , PF n , v )，法线平分它们夹角，反射光线过点 (F ). 0.22 [scale=0.6, >=Stealth] % 坐标轴与抛物线 [->] (-1.5, 0) -- (4.5, 0) node[below] x ; [->] (0, -3.5) -- (0, 3.5) node[left] y ; [below right] at (0,0) O ; % 抛物线 y^2 = 4x (x = y^2/4) [thick, domain=-3.6:3.6, smooth, samples=50] plot ( /4 , ); % 焦点与切点 (1, 0) circle (1.5pt) node[below right] F ; (1, 2) circle (1.5pt) node[above left] P ; % 切线与点A,B (y = x + 1) [thick] (-0.5, 0.5) -- (2.5, 3.5) node[right] l ; (2.0, 3.0) circle (1.5pt) node[left] A ; (0, 1.0) circle (1.5pt) node[above left] B ; % 焦半径与反射线 [thick] (1, 0) -- (1, 2); [thick] (1, 2) -- (4.2, 2); (3.5, 2) circle (1.5pt) node[above] Q ; % 法线 (y = -x + 3) [dashed, thick] (1, 2) -- (2.2, 0.8); 0.22 [scale=0.6, >=Stealth] % 坐标轴与抛物线 [->] (-1.5, 0) -- (4.5, 0) node[below] x ; [->] (0, -3.5) -- (0, 3.5) node[left] y ; [below right] at (0,0) O ; % 抛物线 y^2 = 4x [thick, domain=-3.6:3.6, smooth, samples=50] plot ( /4 , ); % 焦点 (1, 0) circle (1.5pt) node[below right] F ; % 多条带箭头光线 % 光线1 P(1, 2) [thick, blue, ->] (1, 0) -- (1, 1); [thick, blue] (1, 1) -- (1, 2); [thick, blue, ->] (1, 2) -- (2.5, 2); [thick, blue] (2.5, 2) -- (4.2, 2); % 光线2 P(1, -2) [thick, blue, ->] (1, 0) -- (1, -1); [thick, blue] (1, -1) -- (1, -2); [thick, blue, ->] (1, -2) -- (2.5, -2); [thick, blue] (2.5, -2) -- (4.2, -2); % 光线3 P(2.25, 3) [thick, blue, ->] (1, 0) -- (1.625, 1.5); [thick, blue] (1.625, 1.5) -- (2.25, 3); [thick, blue, ->] (2.25, 3) -- (3.25, 3); [thick, blue] (3.25, 3) -- (4.2, 3); % 光线4 P(2.25, -3) [thick, blue, ->] (1, 0) -- (1.625, -1.5); [thick, blue] (1.625, -1.5) -- (2.25, -3); [thick, blue, ->] (2.25, -3) -- (3.25, -3); [thick, blue] (3.25, -3) -- (4.2, -3); % 光线5 P(0.25, 1) [thick, blue, ->] (1, 0) -- (0.625, 0.5); [thick, blue] (0.625, 0.5) -- (0.25, 1); [thick, blue, ->] (0.25, 1) -- (2.25, 1); [thick, blue] (2.25, 1) -- (4.2, 1); % 光线6 P(0.25, -1) [thick, blue, ->] (1, 0) -- (0.625, -0.5); [thick, blue] (0.625, -0.5) -- (0.25, -1); [thick, blue, ->] (0.25, -1) -- (2.25, -1); [thick, blue] (2.25, -1) -- (4.2, -1);

定理 1. 圆柱形物体的斜截口是椭圆

0.7 圆柱被不平行于母线的斜截面所截，截口曲线为椭圆；取与圆柱内切且与斜截面相切的两个球面， 球面与斜截面的切点分别为 ( F_1, F_2 )，则 ( F_1, F_2 ) 为该椭圆的两个焦点， 且截口上任意一点 ( P ) 满足 ( PF_1 + PF_2 = 定值 ). 证明： 当 ( P ) 与 ( G_2 ) 重合时，由轴截面结论，得 ( G_2F_1 + G_2F_2 = AD ). 当 ( P ) 不在端点时，连接 ( PF_1, PF_2 )（为两球面的切线）；过 ( P ) 作母线，与两球面交于 ( K_1, K_2 )（ ( PK_1, PK_2 ) 为两球面的切线）. 由切线长定理， ( PF_1 = PK_1 )， ( PF_2 = PK_2 )，故： ( PF_1 + PF_2 = PK_1 + PK_2 = AD ). 因 ( AD ) 为定值，故点 ( P ) 的轨迹是椭圆. 0.29 [scale=0.8, >=stealth, line join=round, line cap=round] % 使用纯正的正交等距投影矩阵 x= (-0.7071cm, -0.4082cm) , y= (0.7071cm, -0.4082cm) , z= (0cm, 0.8165cm) 1.6 0.8 sqrt(1+ ) 3.8 % 将原来的 4.2 改小，刚好包裹住球体 % 圆柱底面的不可见背面半圆轮廓 [dashed] plot[domain=135:315, samples=40] ( cos( ) , sin( ) , - ); % ================= O2 及下球 ================= (O2) at (0, 0, - ); (O2) circle (1pt) node[right=1pt, scale=0.7] O_2 ; [ball color=cyan!15, opacity=0.4] (O2) circle ( cm); % 核心修正：利用圆柱的左右母线（135度和-45度方向）来构建斜截面. % 这样椭圆最高点和最低点就会刚巧顶在原图左、右的视觉轮廓边界上！ / cos(-45) / sin(-45) / (F2) at ( , , - ); (F2) circle (1.5pt) node[below, scale=0.8] F_2 ; % 球与圆柱切线：下圆 [dashed, opacity=0.6] plot[domain=135:315, samples=40] ( cos( ) , sin( ) , - ); [thick, opacity=0.6] plot[domain=-45:135, samples=40] ( cos( ) , sin( ) , - ); % ================= 辅助点AD与长轴端点 ================= % 椭圆最高点 G1 和最低点 G2，现在的极值严格生成在 135° 和 -45° 母线上 (G1) at ( cos(135) , sin(135) , ); (G2) at ( cos(-45) , sin(-45) , - ); (A) at ( cos(-45) , sin(-45) , ); (D) at ( cos(-45) , sin(-45) , - ); % A,D落在右侧母线上（因为 G2 在右侧轮廓线上） [dashed, thin] (A) -- (D); (A) circle (1pt) node[left, scale=0.7] A ; (D) circle (1pt) node[left, scale=0.7] D ; (G2) circle (1.5pt) node[left, scale=0.8] G_2 ; % ================= 截面椭圆与长轴 ================= [blue!10, opacity=0.5] plot[domain=0:360, samples=60] ( cos( ) , sin( ) , cos( -135) ); [thick, blue, dashed, opacity=0.8] plot[domain=135:315, samples=40] ( cos( ) , sin( ) , cos( -135) ); [thick, blue, opacity=0.8] plot[domain=-45:135, samples=40] ( cos( ) , sin( ) , cos( -135) ); [dashed, blue] (G1) -- (G2); (G1) circle (1.5pt) node[right, scale=0.8] G_1 ; % ================= O1 及上球 ================= (O1) at (0, 0, ); / cos(135) / sin(135) (F1) at ( , , ); (O1) circle (1pt) node[right=1pt, scale=0.7] O_1 ; [ball color=cyan!15, opacity=0.4] (O1) circle ( cm); (F1) circle (1.5pt) node[above left=-1pt, scale=0.8] F_1 ; % 球与圆柱切线：上圆 [dashed, opacity=0.6] plot[domain=135:315, samples=40] ( cos( ) , sin( ) , ); [thick, opacity=0.6] plot[domain=-45:135, samples=40] ( cos( ) , sin( ) , ); % ================= 圆柱外扩与可见线 ================= ( cos(135) , sin(135) , - ) -- ( cos(135) , sin(135) , ); ( cos(-45) , sin(-45) , - ) -- ( cos(-45) , sin(-45) , ); plot[domain=-45:135, samples=40] ( cos( ) , sin( ) , - ); plot[domain=0:360, samples=60] ( cos( ) , sin( ) , ); % ================= 动点 P 外置及相关证明虚线 ================= 30 (P) at ( cos( ) , sin( ) , cos( -135) ); (K1) at ( cos( ) , sin( ) , ); (K2) at ( cos( ) , sin( ) , - ); % 连接 PK1, PK2 母线，连接焦半径 PF1, PF2 [thin] (K1) -- (P) -- (K2); [dashed, blue] (F2) -- (P) -- (F1); (P) circle (1.5pt) node[right=1pt, scale=0.8] P ; (K1) circle (1pt) node[above=2pt, scale=0.7] K_1 ; (K2) circle (1pt) node[below=2pt, scale=0.7] K_2 ; % 0.2cm % [width= ] 圆柱截面椭圆.png 0.5 椭圆的准线与离心率： 设球 ( O_1, O_2 ) 与圆柱交线（圆）所在平面为 ( , )，椭圆所在斜截面 ( ) 与 ( , ) 的交线为 ( l_1, l_2 )； ( , ) 与 ( ) 所成二面角为 ( )，母线与平面 ( ) 的交角为 ( ). 则直线 ( l_1, l_2 )为椭圆的两条准线，椭圆离心率为 [ e = ] 对椭圆长轴端点 ( G_2 )，有： ( G_2F_1 G_2E = = 定值 ) 当 ( P ) 为椭圆任意点时，过 ( P ) 作 ( l_1 ) 的垂线，垂足为 ( Q )；过 ( P ) 作平面 ( ) 的垂线，垂足为 ( K_1 )，连接 ( K_1Q )，得 ( Rt PK_1Q )，故 ( QPK_1 = ).从而： ( PF_1 PQ = PK_1 PQ = = 定值 ) 称直线 ( l_1 ) 为椭圆的一条准线；同理，椭圆上任意点到焦点 ( F_2 ) 的距离与到直线 ( l_2 ) 的距离之比也为 ( )， ( l_2 ) 是另一准线. 记 ( e = )，称 ( e ) 为椭圆的离心率. 0.49 [width= ] 圆柱截面椭圆与准线.png

定理 2. 圆锥截线是椭圆、抛物线或双曲线（人教A选修一P104）

0.8 在空间中，取直线 ( l ) 为轴，直线 ( l' ) 与 ( l ) 相交于 ( O ) 点，夹角为 ( )； ( l' ) 绕 ( l ) 旋转得到以 ( O ) 为顶点、 ( l' ) 为母线的圆锥面.任取平面 ( )，记它与轴 ( l ) 的交角为 ( )（ ( ) 与 ( l ) 平行时 ( =0 )），则： 1. 当 ( > ) 时，平面 ( ) 与圆锥的交线为椭圆； 2. 当 ( = ) 时，平面 ( ) 与圆锥的交线为抛物线； 3. 当 ( < ) 时，平面 ( ) 与圆锥的交线为双曲线. 0.19 [width= ] 圆锥截面.png

结论 3.

截得的圆锥曲线的离心率等于截面和圆锥轴的夹角的余弦与圆锥顶角一半的余弦之比. 设截面与圆锥轴的夹角为 ( )，圆锥顶角的一半（圆锥轴与母线的夹角）为 ( )，则离心率 [ e = = 轴面角 轴线角 ]

定理 3. 圆锥截线是椭圆

0.69 在圆锥内部嵌入双球，一个位于平面 ( )的上方，一个位于平面 ( )的下方，并且与平面 ( )及圆锥均相切. 当 ( > )时，平面 ( )与圆锥的交线是一个封闭曲线. 设两个球与平面 ( )的切点分别为 ( F_1 )、 ( F_2 )，与圆锥相切于圆 ( S_1 )、 ( S_2 ). 在截口的曲线上任取一点 ( P )，连接 ( PF_1 )、 ( PF_2 ).过 ( P )作母线交 ( S_1 )于 ( Q_1 )，交 ( S_2 )于 ( Q_2 )，于是 ( PF_1 )和 ( PQ_1 )是从 ( P )到上方球的两条切线，因此 ( PF_1 = PQ_1 ).同理， ( PF_2 = PQ_2 ).所以 ( PF_1 + PF_2 = PQ_1 + PQ_2 = Q_1Q_2 ). 由正圆锥的对称性， ( Q_1Q_2 )的长度等于两圆 ( S_1 )、 ( S_2 )所在平行平面间的母线段的长度，与点 ( P )的位置无关.由此可知截口的曲线是以 ( F_1 )、 ( F_2 )为焦点的椭圆. 0.3 [scale=0.5, >=stealth, line join=round, line cap=round] % 1. 纯正等距正交投影 x= (-0.7071cm, -0.4082cm) , y= (0.7071cm, -0.4082cm) , z= (0cm, 0.8165cm) % 2. 核心方程参数化 (更瘦的圆锥模型) % 圆锥设定：顶点 V(0,0,10)，半顶角正切 tan(alpha)=1/3 10 -5 5 % 新的截平面：z = 1/3*t + 2 (t为沿-45度母线的方向) % 解析推导出球体几何：下球O1和上球O2的半径比为2:1，更加匀称 sqrt(14.4) sqrt(3.6) (O1) at (0,0,-2); (O2) at (0,0,4); (V) at (0,0, ); % 焦点计算 (F1) at ( -1.2*cos(-45) , -1.2*sin(-45) , 1.6); (F2) at ( 0.6*cos(-45) , 0.6*sin(-45) , 2.2); % 长轴端点绝对坐标 G1, G2 (G1) at ( 3*cos(135) , 3*sin(135) , 1); (G2) at ( 2.4*cos(-45) , 2.4*sin(-45) , 2.8); % ---------------- % 隐藏/背面图层绘制 % 利用视野视线推导可视轮廓切断点为 -59度至149度 [dashed, thin] plot[domain=149:301, samples=40] ( cos( ) , sin( ) , ); % S1, S2 切割圆的背面 [dashed, opacity=0.5] plot[domain=149:301, samples=40] ( 3.6*cos( ) , 3.6*sin( ) , -0.8); [dashed, opacity=0.5] plot[domain=149:301, samples=40] ( 1.8*cos( ) , 1.8*sin( ) , 4.6); % 截面椭圆背面方程: 代入极坐标得 u(the) = 24/(9+cos(the+45)) [thick, blue, dashed, opacity=0.8] plot[domain=149:301, samples=40] ( 24*cos( )/(9+cos( +45)) , 24*sin( )/(9+cos( +45)) , 10-72/(9+cos( +45)) ); % ---------------- % 立体球体与球心绘制 (采用投影半径原相切性) [ball color=cyan!15, opacity=0.35] (O1) circle ( cm); [ball color=cyan!15, opacity=0.35] (O2) circle ( cm); (O1) circle (1.5pt) node[right=1pt, scale=0.7] O_1 ; (O2) circle (1.5pt) node[right=1pt, scale=0.7] O_2 ; (F1) circle (1.5pt) node[below, scale=0.8] F_1 ; (F2) circle (1.5pt) node[below, scale=0.8] F_2 ; % ---------------- % 截面实线、填充与截面要素 [blue!10, opacity=0.5] plot[domain=0:360, samples=60] ( 24*cos( )/(9+cos( +45)) , 24*sin( )/(9+cos( +45)) , 10-72/(9+cos( +45)) ); [thick, blue, opacity=0.8] plot[domain=-59:149, samples=40] ( 24*cos( )/(9+cos( +45)) , 24*sin( )/(9+cos( +45)) , 10-72/(9+cos( +45)) ); [dashed, blue] (G1) -- (G2); (G1) circle (1.5pt) node[right=2pt, scale=0.8] G_1 ; (G2) circle (1.5pt) node[left=2pt, scale=0.8] G_2 ; % S1, S2 切割圆前侧及标识 [thick, opacity=0.6] plot[domain=-59:149, samples=40] ( 3.6*cos( ) , 3.6*sin( ) , -0.8); [right, scale=0.8] at ( 3.6*cos(149) , 3.6*sin(149) , -0.8) S_1 ; [thick, opacity=0.6] plot[domain=-59:149, samples=40] ( 1.8*cos( ) , 1.8*sin( ) , 4.6); [right, scale=0.8] at ( 1.8*cos(149) , 1.8*sin(149) , 4.6) S_2 ; % ---------------- % 母线上动点 P 焦半径推导验证(取偏离中心的 15度 母线) 15 24/(9+cos( +45)) (P) at ( cos( ) , sin( ) , 10-3* ); (Q1) at ( 3.6*cos( ) , 3.6*sin( ) , -0.8); (Q2) at ( 1.8*cos( ) , 1.8*sin( ) , 4.6); [thin] (V) -- (Q1); [dashed, blue] (P) -- (F1); [dashed, blue] (P) -- (F2); (P) circle (1.5pt) node[left=2pt, scale=0.8] P ; (Q1) circle (1.5pt) node[below right=-2pt, scale=0.7] Q_1 ; (Q2) circle (1.5pt) node[right=1pt, scale=0.7] Q_2 ; % ---------------- % 圆锥外壳与外边缘绝对母线(完美的内外相边切线) [thick] (V) -- ( 5*cos(149) , 5*sin(149) , ); [thick] (V) -- ( 5*cos(-59) , 5*sin(-59) , ); [thick] plot[domain=-59:149, samples=40] ( 5*cos( ) , 5*sin( ) , ); % 0.2cm % [width= ,trim=850pt 100pt 340pt 100pt,clip] 圆锥截面椭圆.png 0.5 上面一个球与圆锥面的交线为圆 ( S )，记圆 ( S )所在的平面为 ( ' ). 设 ( )与 ( ' )的交线为 ( m ). 在椭圆上任取一点 ( P )，连接 ( PF_1 ). 在 ( )中过 ( P )作 ( m )的垂线，垂足为 ( A ). 过 ( P )作 ( ' )的垂线，垂足为 ( B )，连接 ( AB )，则 ( AB )是 ( PA )在平面 ( ' )上的射影. 容易证明， ( m AB ).故 ( PAB )是平面 ( )与平面 ( ' )交成的二面角的平面角. 在 ( Rt ABP )中， ( APB = )，所以 [ PB = PA . 1 ] 设过 ( P )的母线与圆 ( S )交于点 ( Q_1 )，则在 ( Rt PQ_1B )中， ( Q_1PB = )，所以 [ PB = PQ_1 = PF_1 . 2 ] 由(1)(2)得： [ PF_1 PA = . ] 因为 ( 0 < < < 2 )， 所以 ( PF_1 PA = < 1 ). 0.49 [width= ] 圆锥截面椭圆与准线.png 由上所述可知，椭圆的准线为 ( m )，椭圆上任一点到焦点的距离与到准线的距离之比为常数 ( )，因此椭圆的离心率 ( e = )，即椭圆的离心率等于截面和圆锥的轴的交角的余弦与圆锥的母线和轴所成角的余弦之比.

定理 4. 圆锥截线是双曲线

0.69 当 ( < )时，平面 ( )与圆锥的两部分相交. 在圆锥的两部分分别嵌入球，与平面 ( )的两个切点分别是 ( F_1 )、 ( F_2 )，与圆锥两部分截得的圆分别为 ( S_1 )、 ( S_2 ). 在截口上任取一点 ( P )，连接 ( PF_1 )、 ( PF_2 ). 过 ( P )和圆锥的顶点 ( O )作母线，分别与两个球相切于 ( Q_1 )、 ( Q_2 )，则 ( PF_1 = PQ_1 )， ( PF_2 = PQ_2 ). 所以 ( PF_1 - PF_2 = PQ_1 - PQ_2 = Q_1Q_2 ). 由于 ( Q_1Q_2 )为两圆 ( S_1 )、 ( S_2 )所在平行平面之间的母线段长，因此 ( Q_1Q_2 )的长为定值. 由上所述可知，双曲线的结构特点是：双曲线上任意一点到两个定点（即双曲线的两个焦点）的距离之差的绝对值为常数. 0.3 % [width=0.75 ] 圆锥截面双曲线.png % 0.5cm [scale=0.4, >=stealth, line join=round, line cap=round] % 1. 纯正等距正交投影 (与左图完全一致) x= (-0.7071cm, -0.4082cm) , y= (0.7071cm, -0.4082cm) , z= (0cm, 0.6cm) % 2. 核心方程参数化 % 适当调宽的圆锥模型：顶点 V(0,0,0)，母线满足 r/z = 5/12 即 z = 2.4 * sqrt(x^2+y^2). 10 % 截平面：x = 1.8 % 解析推导出球体几何：与 x=1.8 相切，且与圆锥曲面相切 % 球心 Oi(0,0, z_0). 半径 R = 1.8 % z_0 = R * sqrt(1 + 2.4^2) = 1.8 * 2.6 = 4.68 (O1) at (0, 0, 4.68); (O2) at (0, 0, -4.68); (V) at (0,0,0); % 焦点 F1, F2 是球与截平面 x=1.8 的切点 (F1) at (1.8, 0, 4.68); (F2) at (1.8, 0, -4.68); % ---------------- % 隐藏/背面图层绘制 % 上圆锥顶盖背面遮挡 (117.865 到 332.135) [dashed, thin, opacity=0.6] plot[domain=117.865:332.135, samples=40] ( 4.1667*cos( ) , 4.1667*sin( ) , ); % S1 切割圆的背面 (中心 z = 3.9877, 半径 r = 1.6615) [dashed, opacity=0.5] plot[domain=117.865:332.135, samples=40] ( 1.6615*cos( ) , 1.6615*sin( ) , 3.9877); % 圆锥下底面背面 (下圆背面，r = 10/2.4 = 4.1667) % 视角轮廓母线切点：下圆由 -62.135 到 152.135 为前（遮面背面为 152.135 到 297.865） [dashed, thin, opacity=0.6] plot[domain=152.135:297.865, samples=40] ( 4.1667*cos( ) , 4.1667*sin( ) , - ); % S2 切割圆的背面 (中心 z = -3.9877, 半径 r = 1.6615) [dashed, opacity=0.5] plot[domain=152.135:297.865, samples=40] ( 1.6615*cos( ) , 1.6615*sin( ) , -3.9877); % ---------------- % 立体球体与球心绘制 % 根据等距投影特性，球的投影即为二维圆，无需外加系数 [ball color=cyan!15, opacity=0.5] (O1) circle (1.8cm); [ball color=cyan!15, opacity=0.5] (O2) circle (1.8cm); (O1) circle (1.5pt) node[right=1pt, scale=0.5] O_1 ; (O2) circle (1.5pt) node[right=1pt, scale=0.5] O_2 ; [blue] (F1) circle (3pt) node[blue, above=2pt, scale=0.85] F_1 ; [blue] (F2) circle (3pt) node[blue, below=2pt, scale=0.85] F_2 ; % ---------------- % 截面实线、平面 与截面要素 % 明确画出更大的截面平面 ，并标注范围 (y 宽至 4.5, z 高至 11) [green!15, opacity=0.2] (1.8, 5, 11) -- (1.8, -5, 11) -- (1.8, -5, -11) -- (1.8, 5, -11) -- cycle; [green!60!black, thick, opacity=0.6] (1.8, 5, 11) -- (1.8, -5, 11) -- (1.8, -5, -11) -- (1.8, 5, -11) -- cycle; [green!50!black, right] at (1.8, -5, 10) ; % 截平面在圆锥表面的边界框隐藏 % 双曲线的上支: z = sqrt(18.6624 + 5.76*y^2), 10出界点为 y = +- 3.7578 [blue!10, opacity=0.5] plot[domain=-3.7578:3.7578, samples=40] (1.8, , sqrt(18.6624+5.76* ) ) -- (1.8, 3.7578, 10) -- (1.8, -3.7578, 10) -- cycle; [thick, blue] plot[domain=-3.7578:3.7578, samples=40] (1.8, , sqrt(18.6624+5.76* ) ); % 上支截面外包平齐顶部弦 [thick, blue] (1.8, 3.7578, 10) -- (1.8, -3.7578, 10); % 双曲线的下支: z = -sqrt(18.6624 + 5.76*y^2) [blue!10, opacity=0.5] plot[domain=-3.7578:3.7578, samples=40] (1.8, , -sqrt(18.6624+5.76* ) ) -- (1.8, 3.7578, -10) -- (1.8, -3.7578, -10) -- cycle; [thick, blue] plot[domain=-3.7578:3.7578, samples=40] (1.8, , -sqrt(18.6624+5.76* ) ); [thick, blue] (1.8, 3.7578, -10) -- (1.8, -3.7578, -10); % S1, S2 切割圆前侧及标识 % S1 可见部分 (-27.865 到 117.865 为前侧可见) [thick, opacity=0.6] plot[domain=-27.865:117.865, samples=40] ( 1.6615*cos( ) , 1.6615*sin( ) , 3.9877); [right=2pt, scale=0.8] at ( 1.6615*cos(80) , 1.6615*sin(80) , 3.9877) S_1 ; % S2 可见部分 (-62.135 到 152.135 为前侧可见) [thick, opacity=0.6] plot[domain=-62.135:152.135, samples=40] ( 1.6615*cos( ) , 1.6615*sin( ) , -3.9877); [right, scale=0.8] at ( 1.6615*cos(149) , 1.6615*sin(149) , -3.9877) S_2 ; % 母线上动点 P 推导验证 (将其置于下半支，位于前侧外部可视区域，向右侧偏移) % P(1.8, 2.4, -7.2) (P) at (1.8, 2.4, -7.2); % Q1 在上半锥背侧 (x,y为负), Q2 在下半锥前侧 (x,y为正) (Q1) at (-0.9969, -1.3292, 3.9877); (Q2) at (0.9969, 1.3292, -3.9877); % 上半锥背侧的虚线母线 (连通 V 和 Q1，不再向上延长) [thin, dashed, red] (V) -- (Q1); % 下半锥前侧的实线母线 (连通 V, Q2, P，不再向下延长) [thick, red] (V) -- (P); [dashed, blue, thick] (P) -- (F1); [dashed, blue, thick] (P) -- (F2); (P) circle (3pt) node[right=2pt, scale=0.8] P ; [red] (Q1) circle (3pt) node[red, above=2pt, scale=0.8] Q_1 ; [red] (Q2) circle (3pt) node[red, below right, scale=0.8] Q_2 ; % ---------------- % 圆锥外壳与外边缘绝对母线(通过视场遮盖推导的相切极限点) % 上圆锥前侧挡线切点为：117.865, -27.865 [thick] (V) -- ( 4.1667*cos(117.865) , 4.1667*sin(117.865) , ); [thick] (V) -- ( 4.1667*cos(-27.865) , 4.1667*sin(-27.865) , ); % 上圆前侧可见边缘 (-27.865 到 117.865) [thick] plot[domain=-27.865:117.865, samples=40] ( 4.1667*cos( ) , 4.1667*sin( ) , ); % 下圆锥前侧挡线切点为：152.135, -62.135 [thick] (V) -- ( 4.1667*cos(152.135) , 4.1667*sin(152.135) , - ); [thick] (V) -- ( 4.1667*cos(-62.135) , 4.1667*sin(-62.135) , - ); % 下圆锥可见的为偏前部分弧线 (-62.135 to 152.135) [thick] plot[domain=-62.135:152.135, samples=40] ( 4.1667*cos( ) , 4.1667*sin( ) , - ); (V) circle (1.5pt) node[right=2pt, scale=0.8] O ; 0.5 在截口上任取一点 P ，连接 PF_2 ，过 P 和圆锥顶点 O 作母线，与球相切于 Q_2 ，球与圆锥的交线为圆 S_1 、 S_2 ， 记圆 S_2 所在的平面为 ' ，截面 与平面 ' 相交于直线 m ，过点 P 在 中作 PA m ，交 m 于点 A ，过点 P 作平面 ' 的垂线，垂足为 B ： 连接 Q_2B ， AB ，则 PBQ_2 为直角三角形，且 Q_2PB= ． PAB 也是直角三角形，且 APB= ． 在 Rt PBQ_2 中， PB=PQ_2 ， 在 Rt PAB 中， PB=PA ． PQ_2 PA = ． PF_2=PQ_2 ， PF_2 PA = = 定值． 0 < < < 2 ， > ． PF_2 PA = > 1 ． m 是双曲线的一条准线，且 e = > 1 ． 0.49 [width= , trim=600pt 50pt 5pt 0pt,clip] 圆锥截面双曲线与准线.png

定理 5. 圆锥截线是抛物线

0.5 当 = 时，设平面 与圆锥内切球相切于点 F_1 ，球与圆锥的交线为 S ，过该交线的平面为 ' ， 与 ' 相交于直线 m ， 在平面 与圆锥的截线上任取一点 P ，连接 PF_1 ，过点 P 作 PA m ，交 m 于点 A ，过点P作 ' 的垂线，垂足为 B ，连接 AB ，则 AB m ，故 PAB 是 与 ' 所成二面角的平面角.连接点 P 与圆锥的顶点，与 S 相交于点 Q_1 ，连接 BQ_1 ，则设 BPQ_1= ， APB= ． 在 Rt APB 中， PB = PA ， 在 Rt PBQ_1 中， PB = PQ_1 ， PQ_1 PA = ， 又 PQ_1 = PF_1 ， = ， PF_1 PA = 1 ， 动点P到定点 F_1 的距离等于它到定直线 m 的距离， 故当 = 时平面 与圆锥的交线为抛物线. 0.49 [width=0.9 , trim=0pt 100pt 0pt 0pt,clip] 圆锥截面抛物线.png