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圆锥曲线

知识点

曲线与方程

定义 1. 曲线与方程

一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．

在平面直角坐标系中，如果曲线\(C\)与二元方程\(F(x,y)=0\)之间具有如下的关系，则曲线\(C\)叫做方程\(F(x,y)=0\)的曲线．方程\(F(x,y)=0\)叫做曲线\(C\)的方程．

  1. 曲线\(C\)上的点的坐标都是方程\(F(x,y)=0\)的解；

  2. 以方程\(F(x,y)=0\)的解作为坐标的点都在曲线\(C\)上．

轨迹方程的求法：

  1. {直接法}：动点\(P(x,y)\)，直接利用条件建立\(x\)，\(y\)之间的关系\(F(x,y)=0\)；

  2. {相关点法}：动点\(P(x,y)\)依赖于另一动点\(Q(x_0,y_0)\)的变化而变化，并且\(Q(x_0,y_0)\)又在某已知曲线上，则可先用\(x\)，\(y\)的代数式表示\(x_0\)，\(y_0\)，再将\(x_0\)，\(y_0\)代入已知曲线得要求的轨迹方程；

  3. {定义法}：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；

  4. {待定系数法}：已知所求曲线的类型，求曲线方程时先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数．

性质 1. 曲线的性质

  1. 对称性：

    1. 若\(F(x,y) = F(-x,y)\)，则曲线关于 \(y\)轴对称；

    2. 若\(F(x,y) = F(x,-y)\)，则曲线关于 \(x\)轴对称；

    3. 若\(F(x,y) = F(-x,-y)\)，则曲线关于原点对称；

    4. 若\(F(x,y) = F(y,x)\)，则曲线关于直线\(y=x\)对称；

    5. 若\(F(x,y) = F(-y,-x)\)，则曲线关于直线\(y=-x\)对称；

  2. 有界性： 主要关注曲线方程中的平方、根式等非负项，从而列出一些其他部分的不等式，找到曲线的边界．

  3. 定点： 主要看坐标轴上的点或者比较容易判定的整点（如\((1,1)\)等）；

  4. 最值范围： 结合曲线方程、距离或面积等公式，利用不等式或函数求解．如果是封闭图形，可以求曲线上的点到原点距离的最值，从而求出图形的内接圆或外接圆半径，再求得曲线的面积范围．

结论 1. 具有几何意义的取值范围问题

  1. 斜率型：设 \((a, b)\) 为定点，\((x, y)\) 是曲线上的动点或满足某个方程，形如 \(\dfrac{y - b}{x - a}\) 的取值范围问题，

    即求动点 \((x, y)\) 与定点 \((a, b)\) 连线的斜率的取值范围.

  2. 截距型：设 \((x, y)\) 是曲线上的动点或满足某个方程，形如 \(ax + by\) 的取值范围问题，

    可令 \(t = ax + by\)，则 \(y = -\dfrac{a}{b}x + \dfrac{t}{b}\)，即求过曲线上一点的斜率为定值的直线截距的取值范围.

  3. 到点的距离：设 \((a, b)\) 为定点，\((x, y)\) 是曲线上的动点或满足某个方程，形如 \((x - a)^2 + (y - b)^2\) 的取值范围问题，

    可先求 \(\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}\) 的取值范围，即求动点 \((x, y)\) 到定点 \((a, b)\) 的距离的取值范围.

  4. 到直线的距离：设\((x, y)\) 是曲线的动点或满足某个方程，形如 \(|ax + by + c|\) 的取值范围问题，

    可先求 \(\dfrac{|ax + by + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\) 的取值范围，即求动点 \((x, y)\) 到定直线 \(ax + by + c = 0\) 的距离的取值范围.

以上这些问题如果画不出来曲线，也可考虑三角换元转化为代数问题计算，特别地，如果题目上有三角换元的形式，也需反过来考虑几何意义.

结论 2. 曲线表示的方程

方程\(\dfrac{x^2}{m} + \dfrac{y^2}{n} = 1\)中，\(m\)和\(n\)的取值不同时，曲线类型可通过以下分类讨论确定：

图

结论 3. 圆锥曲线方程的设法

  1. 当不确定焦点位置时，可设椭圆方程为 \(mx^2 + ny^2 = 1\)（\(m{\gt}0, n{\gt}0, m\neq n\)），

    可设双曲线方程为 \(mx^2 + ny^2 = 1\)（\(mn{\lt}0\)）

  2. 与椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a{\gt}b{\gt}0\)）共焦点的椭圆可设为 {\(\dfrac{x^2}{a^2 + \lambda} + \dfrac{y^2}{b^2 + \lambda} = 1\)（\(\lambda {\gt} -b^2\)）}

  3. 与椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a{\gt}b{\gt}0\)）同离心率的椭圆可设为 {\(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = \lambda\)（\(\lambda{\gt}0\)）或\(\dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = \lambda\)（\(\lambda{\gt}0\)）}

  4. 与双曲线 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\ (a{\gt}0, b{\gt}0)\) 共焦点的双曲线可设为 { \(\dfrac{x^2}{a^2 + \lambda} - \dfrac{y^2}{b^2 - \lambda} = 1 \quad (-a^2 {\lt} \lambda {\lt} b^2)\) }

  5. 与双曲线 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\ (a{\gt}0, b{\gt}0)\) 同离心率的双曲线可设为 {\(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = \lambda\)（\(\lambda{\gt}0\)） 或 \(\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = \lambda\)（\(\lambda{\gt}0\)） }

  6. 与双曲线 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\ (a{\gt}0, b{\gt}0)\) 共渐近线的双曲线可设为 {\(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = \lambda\)（\(\lambda\neq0\)）}

结论 4. 常见新定义曲线方程及图像

卡西尼卵形线

定义：平面内到两个定点 \(F_1, F_2\)（距为 \(2c\)）的距离之积为常数 \(a^2\) 的动点轨迹.

标准方程：\((x^2+y^2+c^2)^2 - 4c^2x^2 = a^4\)（\(c=1\)）

\(a=c\)时为伯努利双纽线

图

绝对值心形线

定义：通过代数绝对值对称性将二次曲线（旋转椭圆）折叠而成的特殊心形曲线.

标准方程：\(x^2+y^2=1+|x|y\)

图

四叶玫瑰线 (四叶草曲线)

定义：几何极点到曲线的极径等于极角对应常数倍频率正弦值所构成的花瓣轨迹.

标准方程：\((x^2+y^2)^3 = a^2x^2y^2\)

极坐标：\(r = \sin(2\theta)\) （\(a=2\)）

图

椭圆

定义 1. 第一定义

平面内与两个定点 \(F_1, F_2\) 的距离的和等于常数（大于 \(|F_1F_2|\) ）的点的轨迹叫做椭圆. 其中，两个定点 \(F_1, F_2\) 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.

设 \(M(x, y)\) 是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为 \(2c \ (c{\gt}0)\)，则焦点 \(F_1, F_2\) 的坐标分别为 \((-c, 0)\)、\((c, 0)\). 根据定义，点 \(M\) 与焦点 \(F_1, F_2\) 的距离的和等于 \(2a \ (2a {\gt} |F_1F_2|)\)，椭圆可看作点集： \(P = \left\{ M \ \big|\ |MF_1| + |MF_2| = 2a \right\}\)

由\(\sqrt{(x + c)^2 + y^2}+\sqrt{(x - c)^2 + y^2}=2a\)，移项平方得：\(a^2 - cx = a\sqrt{(x - c)^2 + y^2}\)，再平方整理 得：\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\).

注意：若\(2a=\vert F_1F_2\vert\)，则点的轨迹是线段\(F_1F_2\)； 若\(2a{\lt}\vert F_1F_2\vert\)，则点的轨迹不存在．

定义 2. 第二定义（人教A选修一P113例6）

若点 \(M(x, y)\) 与定点 \(F(c, 0)\)（或 \(F'(-c, 0)\) ）的距离，和它到定直线 \(l: x = \dfrac{a^2}{c}\)（或 \(l': x = -\dfrac{a^2}{c}\) ）的距离的比是常数 \(e = \dfrac{c}{a} \ (0 {\lt} c {\lt} a)\)，则点 \(M\) 的轨迹是椭圆. 其中，定点 \(F(c, 0)\) 是椭圆的一个焦点，直线 \(l: x = \dfrac{a^2}{c}\) 称为相应于焦点 \(F\) 的准线； 定点 \(F'(-c, 0)\) 是椭圆的另一个焦点，直线 \(l': x = -\dfrac{a^2}{c}\) 称为相应于焦点 \(F'\) 的准线.

由\(\dfrac{\sqrt{(x - c)^2 + y^2}}{\left|\frac{a^2}{c}-x\right|}=\dfrac{c}{a}\)，平方整理得：\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)

定义 3. 第三定义（人教A选修一P108例3）

平面内到关于原点对称的两个定点连线斜率之积为定值\(-\dfrac{b^2}{a^2}\)或\(e^2 - 1\;(0 {\lt} e {\lt} 1)\)的点的轨迹，通常这两个定点分别为长轴或者短轴顶点.

设\(B(x,y)\)是椭圆上任意一点，两个定点为\(A(x_1,y_1)\)、\(A'(-x_1,-y_1)\)，常数\(e = \dfrac{c}{a}\)，

\(k_{BA}\cdot k_{BA'}=\dfrac{y - y_1}{x - x_1}\cdot\dfrac{y + y_1}{x + x_1}=\dfrac{y^2 - y_1^2}{x^2 - x_1^2} = -\dfrac{b^2}{a^2} \Rightarrow \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = \dfrac{x_1^2}{a^2} + \dfrac{y_1^2}{b^2}\)，

即椭圆上动点到关于原点对称的两个定点的连线的斜率之积等于常数.

垂径定理与点差法： 椭圆上的两点\(A,B\)，\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，\(M(x_0,y_0)\)为\(AB\)中点，\(k_{AB}\cdot k_{OM}=-\dfrac{b^{2}}{a^{2}}\)，

证明：

\(A,B\)在椭圆上，则 \(\dfrac{x_1^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y_1^{2}}{b^{2}} = 1\quad \text{①} \qquad \dfrac{x_2^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y_2^{2}}{b^{2}} = 1\quad \text{②}\)

\[ \text{①} - \text{②}\text{得} \dfrac{x_1^{2}-x_2^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y_1^{2}-y_2^{2}}{b^{2}} = 0 \Rightarrow \dfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}\cdot\dfrac{y_1 + y_2}{x_1 + x_2}=-\dfrac{b^{2}}{a^{2}} \]
\[ \dfrac{x_1 + x_2}{2}=x_0 \quad \text{③}\qquad \dfrac{y_1 + y_2}{2}=y_0 \quad \text{④}\qquad k_{AB}=\dfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \quad \text{⑤} \]

将\(\text{③}\text{④}\text{⑤}\)代入得：\(k_{AB}\cdot k_{OM}=\dfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}\cdot\dfrac{y_1 + y_2}{x_1 + x_2}=\dfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}\cdot\dfrac{y_0}{x_0}=-\dfrac{b^{2}}{a^{2}}\)

图

结论 1. 中点弦方程与弦中点轨迹

  1. 若\(M(x_0,y_0)\)在椭圆\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)内，则以\(M\)点为中点的弦的方程是\(\dfrac{x_0x}{a^{2}}+\dfrac{y_0y}{b^{2}}=\dfrac{x_0^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y_0^{2}}{b^{2}}\).

    证明： 设中点弦方程：\(y - y_0=-\dfrac{b^{2}x_0}{a^{2}y_0}(x - x_0)\Rightarrow a^{2}y_0y - a^{2}y_0^{2}+b^{2}x_0x - b^{2}x_0^{2}=0\) \(\Rightarrow\dfrac{x_0x}{a^{2}}+\dfrac{y_0y}{b^{2}}=\dfrac{x_0^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y_0^{2}}{b^{2}}\)

  2. 若\(M(x_0,y_0)\)在椭圆\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)内，则过\(M\)的弦的中点的轨迹方程是\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=\dfrac{x_0x}{a^{2}}+\dfrac{y_0y}{b^{2}}\)

    证明：设轨迹上的点\((x,y)\)，则\(\dfrac{y - y_0}{x - x_0}\cdot\dfrac{y}{x}=-\dfrac{b^{2}}{a^{2}}\Rightarrow a^{2}y^{2}-a^{2}y_0y + b^{2}x^{2}-b^{2}x_0x = 0\) \(\Rightarrow\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=\dfrac{x_0x}{a^{2}}+\dfrac{y_0y}{b^{2}}\)

性质 1. 椭圆基本性质

图

性质 2. 椭圆焦点三角形内心与旁心

图

图

内心定理：如左图，\(I\)为\(\triangle PF_{1}F_{2}\)内切圆的圆心，\(PI\)和\(F_{1}F_{2}\)相交于点\(N\)，由角平分线性质定理得：

\[ \dfrac{\vert IN\vert}{\vert IP\vert}= \dfrac{\vert F_1N \vert }{\vert F_1P \vert} = \dfrac{\vert F_2N \vert }{\vert F_2P \vert} = \dfrac{\vert F_1N \vert + \vert F_2N \vert }{\vert F_1P \vert + \vert F_2P \vert} = \dfrac{2c}{2a} = e \qquad \dfrac{S_{\triangle IF_{1}F_{2}}}{S_{\triangle PF_{1}F_{2}} - S_{\triangle IF_{1}F_{2}}} = \dfrac{|y_I|}{|y_P| - |y_I|} = \dfrac{|IN|}{|IP|} = e \]

旁心定理：如右图所示，焦点三角形\(PF_{1}F_{2}\)的旁切圆\(J\)和\(F_{1}F_{2}\)的延长线、\(PF_{2}\)、\(F_{1}P\)的延长线分别切于点\(C\)、\(D\)、\(E\)，旁心\(J\)的轨迹为：\(x = \pm a\)，和长轴的顶点相切，其中\(-b {\lt} y {\lt} b\)且\(y\neq0\)．

证明： 由切线长定理有\(2|F_1C| = |F_1E| + |F_1C| = |F_1P| + |PE| + |F_1F_2| + |F_2D| = |F_1P| + 2c + |PF_2| = 2a + 2c\).

所以 \(|F_1C| = a + c\). 又 \(x_C = x_{F_1} + |F_1C| = -c + (a+c) = a\)； 同理若旁切圆在左侧，切点坐标为 \(-a\).故圆心 \(J\) 的横坐标为 \(x_J = x_C = a\) (或 \(-a\)). 故旁心 \(J\) 的轨迹在直线 \(x = \pm a\) 上.

性质 3. 焦点三角形

椭圆\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a{\gt}b {\gt} 0)\)焦点为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，\(P\)为椭圆上的点，\(\angle F_{1}PF_{2}=\theta\)， \(\angle PF_{1}F_{2}=\alpha\)，\(\angle PF_{2}F_{1}=\beta\)，如图， 则

\[ S_{\triangle F_{1}PF_{2}}= \htmlClass{blank}{b^{2}\cdot\dfrac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}=b^{2}\tan\dfrac{\theta}{2}} \]

图

证明： 设\(\vert PF_{1}\vert = m\)，\(\vert PF_{2}\vert = n\)，

由椭圆定义\(m + n = 2a\)，两边平方得\((m + n)^{2}=4a^{2}\)，展开为\(m^{2}+n^{2}+2mn = 4a^{2}\)

由余弦定理，在\(\triangle F_{1}PF_{2}\)中，\(\vert F_{1}F_{2}\vert^{2}=m^{2}+n^{2}-2mn\cos\theta\)，又\(\vert F_{1}F_{2}\vert = 2c\)，即\(m^{2}+n^{2}-2mn\cos\theta=(2c)^{2}\)

两式相减得：

\(m^{2}+n^{2}+2mn-(m^{2}+n^{2}-2mn\cos\theta)=4a^{2}-4c^{2}\Rightarrow2mn + 2mn\cos\theta=4b^{2}\Rightarrow mn=\dfrac{2b^{2}}{1 + \cos\theta}\)

\[ S_{\triangle F_{1}PF_{2}}=\dfrac{1}{2}mn\sin\theta=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2b^{2}}{1 + \cos\theta}\times\sin\theta=b^{2}\dfrac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}=b^{2}\dfrac{2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}{2\cos^{2}\frac{\theta}{2}}=b^{2}\tan\dfrac{\theta}{2} \]

  1. 直角三角等面积法：当\(PF_{1}\perp PF_{2}\)时，有

    \[ S_{\triangle F_{1}PF_{2}} = \htmlClass{blank}{b^{2}}=\dfrac{2c|y_{p}|}{2}\Rightarrow|y_{p}|=\dfrac{b^{2}}{c}\quad \quad S_{\triangle F_{1}PF_{2}} = b^{2}=\dfrac{mn}{2}\Rightarrow mn = 2b^{2}\quad\quad r = \htmlClass{blank}{a - c} \text{ （}r\text{为内切圆半径）} \]

  2. 任意角度的等面积法：

    \[ S_{\triangle F_{1}PF_{2}}=c|y_{p}|=b^{2}\tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1}{2}|PF_1||PF_2|\sin \theta=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{PF_{1}}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}\tan\theta=(a + c)r \text{ （}r\text{为内切圆半径）} \]

  3. 最大面积、最大夹角问题：当点\(P\)位于椭圆的短轴顶点时，\(S_{\triangle F_{1}PF_{2}}=\dfrac{2c|y_{p}|}{2}=c|y_{p}| = bc\)取最大值， 即

    \[ S_{\triangle F_{1}PF_{2}}=b^{2}\tan\dfrac{\theta}{2}\leq bc\Rightarrow\tan\dfrac{\theta}{2}\leq\dfrac{c}{b}\Rightarrow \htmlClass{blank}{\sin \dfrac{\theta}{2 }\leq e} \]

  4. 直角顶点的讨论：当\(S_{\triangle F_{1}PF_{2}}=b^{2}\tan\dfrac{\theta}{2}=bc\)时，\(\theta\)取得最大值

图

（注意：\(PF_{1}\perp PF_{2}\)与\(Rt\triangle PF_{1}F_{2}\)的区别）

  1. 已知椭圆方程为\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a{\gt}b {\gt} 0)\)， 左右两焦点分别为\(F_{1}\)、\(F_{2}\)，\(P\)是椭圆上一点， 在焦点三角形\(PF_{1}F_{2}\)中，\(\angle PF_{1}F_{2}=\alpha\)，\(\angle PF_{2}F_{1}=\beta\)，则有：

    \[ e =\dfrac{2c}{2a}=\dfrac{\vert F_{1}F_{2}\vert}{\vert PF_{1}\vert+\vert PF_{2}\vert}=\dfrac{\sin\theta}{\sin\alpha+\sin\beta}=\htmlClass{blank}{\dfrac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin\alpha+\sin\beta}} \\ =\dfrac{1 - \tan\dfrac{\alpha}{2}\tan\dfrac{\beta}{2}}{1+\tan\dfrac{\alpha}{2}\tan\dfrac{\beta}{2}} \]
    \[ \tan\dfrac{\alpha}{2}\cdot\tan\dfrac{\beta}{2}=\dfrac{a - c}{a + c}=\dfrac{1 - e}{1 + e} \]

定理 1. 椭圆的焦长和焦比

图

\(A\)是椭圆\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a{\gt}b{\gt}0)\)上一点，\(F_1\)、\(F_2\)是左、右焦点，\(\angle AF_{1}F_{2}\)为\(\alpha\)，\(AB\)过\(F_{1}\)，\(c\)是椭圆半焦距，则

\[ |AF_{1}|=\htmlClass{blank}{\dfrac{b^{2}}{a - c\cos\alpha}}\qquad |BF_{1}|=\htmlClass{blank}{\dfrac{b^{2}}{a + c\cos\alpha}}\qquad |AB|=\dfrac{2ab^{2}}{a^{2}-c^{2}\cos^{2}\alpha}\qquad \dfrac{1}{|AF_{1}|}+\dfrac{1}{|BF_{1}|} = \dfrac{2a}{b^2} \]

焦比定理：过椭圆\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)的左焦点\(F_{1}\)的弦，令\(|AF_{1}|=\lambda|F_{1}B|\)，

\[ \dfrac{b^{2}}{a - c\cos\alpha}=\dfrac{\lambda b^{2}}{a + c\cos\alpha}\Rightarrow \htmlClass{blank}{e\cos\alpha=\dfrac{\lambda - 1}{\lambda + 1}} \]

代入焦半径公式可得

\[ |AF_{1}|=\htmlClass{blank}{\dfrac{\lambda + 1}{2}\cdot\dfrac{b^2}{a}}\qquad|BF_{1}|=\htmlClass{blank}{\dfrac{\lambda + 1}{2\lambda}\cdot\dfrac{b^2}{a}} \]

注意：使用图中的方法，总可以使\(\alpha\)为锐角，\(\lambda{\gt}1\).

若\(AB\)、\(CD\)是过焦点\(F\)的相互垂直的弦，则

\[ \frac{1}{|AB|} + \frac{1}{|CD|} = \frac{a^2 - c^2 \cos^2 \alpha}{2ab^2} + \frac{a^2 - c^2 \cos^2 \left( \alpha + \frac{\pi}{2} \right)}{2ab^2} = \frac{2a^2 - c^2}{2ab^2} \]

证明：设\(AF_1=m\)，\(BF_1=n\)，

则\(AF_2=2a-m\)，\(BF_2=2a-n\)， 由余弦定理，有

\(m^2+(2c)^2-(2a-m)^2=2\cdot m\cdot2c\cdot\cos\alpha\Rightarrow m=\dfrac{b^2}{a-c\cos \alpha}\)

\(n^2+(2c)^2-(2a-n)^2=2\cdot n\cdot2c\cdot\cos(\pi-\alpha)\Rightarrow n=\dfrac{b^2}{a+c\cos \alpha}\)

\(AB=m+n=\dfrac{b^2}{a-c\cos \alpha}+\dfrac{b^2}{a+c\cos \alpha}=\dfrac{2ab^{2}}{a^{2}-c^{2}\cos^{2}\alpha}=\dfrac{2ab^{2}}{b^{2}+c^{2}\sin^{2}\alpha}\)

结论 2. 椭圆离心率范围问题

\[ \begin{aligned} & x_P \in [-a, a],\quad y_P \in [-b, b] ,\quad |OP| \in \htmlClass{blank}{[b, a]} \\ & \left| \overrightarrow{PF_1} + \overrightarrow{PF_2} \right|= 2 \left|\overrightarrow{PO}\right|\in \htmlClass{blank}{\left[ 2b, 2a \right]} \\ & |PF_1| \in \htmlClass{blank}{[a-c, a+c]} \\ & |PQ| \in \htmlClass{blank}{\left[\dfrac{2b^2}{a}, 2a\right]} \\ \text{极化恒等式} & \overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2} = |PO|^2-c^2 \in \htmlClass{blank}{[b^2-c^2, b^2]} \\ & \left|PF_1\right|\cdot \left|PF_2\right| = |PF_1|\cdot(2a-|PF_1|) \in \htmlClass{blank}{[b^2, a^2]} \\ & e \in \htmlClass{blank}{\left[\sin \dfrac{\theta}{2}, 1\right)} \\ \text{定义转化最值} & PA - PF_2 = PA - (2a - PF_1) = PA + PF_1 -2a \geq \htmlClass{blank}{AF_1 -2a} \end{aligned} \]

图

双曲线

定义 1. 第一定义

平面内与两个定点 \(F_1, F_2\) 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于 \(|F_1F_2|\) ）的点的轨迹叫做双曲线 . 其中，两个定点 \(F_1, F_2\) 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

设 \(M(x, y)\) 是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为 \(2c \ (c{\gt}0)\)，则焦点 \(F_1, F_2\) 的坐标分别为 \((-c, 0)\)、\((c, 0)\)，点 \(M\) 满足 \(\big| |MF_1| - |MF_2| \big| = 2a \ (0 {\lt} 2a {\lt} |F_1F_2|)\)，双曲线可看作点集： \(P = \left\{ M \ \big|\ \big| |MF_1| - |MF_2| \big| = 2a,\ 0 {\lt} 2a {\lt} |F_1F_2| \right\}\)

由\(\left|\sqrt{(x + c)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x - c)^{2}+y^{2}}\right| = 2a\)，可化简得\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a,b{\gt}0)\)．

注意：\(\vert PF_{1}\vert-\vert PF_{2}\vert = 2a\)与\(\vert PF_{2}\vert-\vert PF_{1}\vert = 2a\)（\(a{\gt}0\)）分别表示双曲线的一支．若有“绝对值”，点的轨迹表示双曲线的两支；若无“绝对值”，点的轨迹仅为双曲线的一支；

若 \(2a = |F_1F_2|\)，则点的轨迹是射线 \(F_1F_2\) 或 \(F_2F_1\)； 若 \(2a = 0\)，则点的轨迹是线段 \(F_1F_2\) 的垂直平分线；

若 \(2a {\gt} |F_1F_2|\)，则点的轨迹不存在；

定义 2. 第二定义（人教A选修一P125例5）

若点 \(M(x, y)\) 与定点 \(F(c, 0)\)（或 \(F'(-c, 0)\) ）的距离，和它到定直线 \(l: x = \dfrac{a^2}{c}\)（或 \(l': x = -\dfrac{a^2}{c}\) ）的距离的比是常数 \(e = \dfrac{c}{a} \ (c {\gt} a {\gt} 0)\)，则点 \(M\) 的轨迹是双曲线 .

由\(\dfrac{\sqrt{(x - c)^{2}+y^{2}}}{\left|\dfrac{a^{2}}{c}-x\right|}=\dfrac{c}{a}\)，可化简得\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a,b{\gt}0)\)．

定义 3. 第三定义（人教A选修一P101探究）

到关于原点对称的两个定点连线的斜率之积为定值\(\dfrac{b^{2}}{a^{2}}\)或\(e^{2}-1(e {\gt} 1)\)的点的轨迹是双曲线；通常定点为实轴或虚轴顶点，定值为正值．

设\(B(x,y)\)是双曲线上任意一点，两个定点为\(A(x_1,y_1)\)、\(A'(-x_1,-y_1)\)，常数\(e = \dfrac{c}{a}\)，

\(k_{BA}\cdot k_{BA'}=\dfrac{y - y_1}{x - x_1}\cdot\dfrac{y + y_1}{x + x_1}=\dfrac{y^{2}-y_1^{2}}{x^{2}-x_1^{2}}\)，根据双曲线方程：将\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a,b{\gt}0)\)，变形成\(y^{2}=\dfrac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}-b^{2}\)，

所以\(k_{BA}\cdot k_{BA'}=\dfrac{b^{2}}{a^{2}}\)，双曲线上动点到关于原点对称的两个定点的连线的斜率之积等于常数．

垂径定理与点差法：

若双曲线与直线\(l\)交于\(AB\)两点，其中\(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})\)，\(M(x_{0},y_{0})\)为\(AB\)中点，\(k_{AB}\cdot k_{OM}=\dfrac{b^{2}}{a^{2}}\)

证明： 设\(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})\)，\(M(x_{0},y_{0})\)，

则 \(\dfrac{x_{1}^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y_{1}^{2}}{b^{2}} = 1 \quad \text{①} \qquad \dfrac{x_{2}^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y_{2}^{2}}{b^{2}} = 1 \quad \text{②}\)

\(\text{①}-\text{②}\),得\(\dfrac{x_1^{2}-x_2^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y_1^{2}-y_2^{2}}{b^{2}} = 0\) \(\Rightarrow \dfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}\cdot\dfrac{y_1 + y_2}{x_1 + x_2}=\dfrac{b^{2}}{a^{2}}\)

\[ \dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}=x_{0} \quad \text{③} \qquad \dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}=y_{0} \quad \text{④} \qquad k_{AB}=\dfrac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}} \quad \text{⑤} \]

将\(\text{③}\text{④}\text{⑤}\)代入得：\(k_{AB}\cdot k_{OM}=\dfrac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\cdot\dfrac{y_{1}+y_{2}}{x_{1}+x_{2}}=\dfrac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\cdot\dfrac{y_{0}}{x_{0}}=\dfrac{b^{2}}{a^{2}}\)

图

性质 1. 双曲线基本性质

图

定义 4. 等轴双曲线

在双曲线方程\(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a {\gt} 0\)，\(b {\gt} 0\)）中，如果\(a = b\)，那么方程变为\(x^2 - y^2 = a^2\)，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于\(2a\).这时，四条直线\(x = \pm a\)，\(y = \pm a\)围成正方形，渐近线方程为\(y = \pm x\)，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.

等轴双曲线具有以下主要性质：

  1. 因 \(a = b\)，则 \(c^2 = 2a^2\)，即 \(c = \sqrt{2}a\)，代入得离心率：\(e = \htmlClass{blank}{\sqrt{2}}\).

  2. 对双曲线上任意一点 \(P\)，设中心为 \(O\)，两焦点为 \(F_1, F_2\)，则 \(P\) 到中心 \(O\) 的距离 \(|PO|\)，是 \(P\) 到两焦点距离 \(|PF_1|, |PF_2|\) 的比例中项，即： \(|PO|^2 = |PF_1| \cdot |PF_2|\).

  3. 过焦点作两条互相垂直的直线与双曲线相交，所得两条焦点弦长度相等.

  4. 若两条焦点弦倾斜角互余（和为 \(90^\circ\) ），则它们的长度相等.

  5. 等轴双曲线上任取不同三点构成内接三角形，该三角形的垂心也在这条等轴双曲线上.

  6. 等轴双曲线绕其中心以逆时针方向旋转\(45^{\circ}\)后，可得\(xy = \dfrac{a^{2}}{2}\)，故反比例函数\(y=\dfrac{k}{x}(k\neq0)\)是等轴双曲线.

性质 2. 焦点三角形

双曲线\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a {\gt} 0, b {\gt} 0)\)的焦点为\(F_1\)、\(F_2\)，\(P\)为双曲线上的点，\(\angle F_1PF_2 = \theta\)， \(\angle PF_{1}F_{2}=\alpha\)，\(\angle PF_{2}F_{1}=\beta\)，如图，则

\[ S_{\triangle F_1PF_2}=\htmlClass{blank}{b^{2}\cdot\dfrac{\sin\theta}{1 - \cos\theta}=\dfrac{b^{2}}{\tan\dfrac{\theta}{2}}} \]

图

证明： 设\(\vert PF_1\vert=m\)，\(\vert PF_2\vert=n\)，\(\vert F_1F_2\vert = 2c\)， 由双曲线定义：\(\vert m - n\vert=2a\)，平方得\(m^{2}+n^{2}-2mn = 4a^{2}\)

余弦定理：\((2c)^{2}=m^{2}+n^{2}-2mn\cos\theta\)

两式相减得： \((m^{2}+n^{2}-2mn\cos\theta)-(m^{2}+n^{2}-2mn)=4c^{2}-4a^{2}\)，即\(2mn(1 - \cos\theta)=4b^{2}\)，所以\(mn=\dfrac{2b^{2}}{1 - \cos\theta}\)

故\(S_{\triangle F_1PF_2}=\dfrac{1}{2}mn\sin\theta=b^{2}\cdot\dfrac{\sin\theta}{1 - \cos\theta}=\dfrac{b^{2}}{\tan\dfrac{\theta}{2}}\)

  1. 直角三角等面积法：当\(PF_1\perp PF_2\)时，有\(S_{\triangle F_1PF_2}=b^{2}=\dfrac{2c|y_P|}{2}\Rightarrow|y_P|=\dfrac{b^{2}}{c}\quad \quad b^{2}=\dfrac{mn}{2}\Rightarrow mn = 2b^{2}\)

  2. 任意角度的等面积法：\(S_{\triangle F_1PF_2}=c|y_P|=\dfrac{b^{2}}{\tan\dfrac{\theta}{2}}=\dfrac{1}{2}|PF_1||PF_2|\sin \theta=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}\tan\theta\)

  3. 设双曲线方程为\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a{\gt}0,b{\gt}0)\)， 其左右两焦点分别为\(F_1,F_2\)，\(P\)是双曲线上一点，在焦点三角形\(PF_1F_2\)中， \(\angle PF_{1}F_{2}=\alpha\)，\(\angle PF_{2}F_{1}=\beta\)，有：

    \[ e=\dfrac{2c}{2a}= \dfrac{\vert F_1F_2\vert}{\vert\vert PF_1\vert - \vert PF_2\vert\vert}=\dfrac{\sin\theta}{\vert\sin\alpha - \sin\beta\vert}=\htmlClass{blank}{\dfrac{\sin(\alpha + \beta)}{\vert\sin \alpha- \sin\beta\vert}}=\dfrac{\sin\dfrac{\alpha + \beta}{2}}{\sin\dfrac{\vert\alpha - \beta\vert}{2}}=\dfrac{\tan\dfrac{\beta}{2}-\tan\dfrac{\alpha}{2}}{1 + \tan\dfrac{\alpha}{2}\tan\dfrac{\beta}{2}} \]

性质 3. 双曲线焦点三角形的内心和旁心

内心定理：已知双曲线\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a {\gt} 0,b {\gt} 0)\)，则焦点三角形\(PF_1F_2\)的内心\(I\)的轨迹是： \(x = \htmlClass{blank}{\pm a}\;(-b {\lt} y {\lt} b,y\neq 0)\)，和实轴的两个顶点相切.

证明：设内切圆分别与\(PF_1,PF_2,F_1F_2\)切于\(E,T,D\). 由切线长定理：\(|PE|=|PT|\), \(|F_1E|=|F_1D|\),

\(|F_2T|=|F_2D|\)， 故 \(|PF_1|-|PF_2|=(|PE|+|F_1E|)-(|PT|+|F_2T|)=|F_1D|-|F_2D|\).

当\(P\)在右支时，\(|PF_1|-|PF_2|=2a\)，所以

\[ |F_1D|-|F_2D|=2a,\qquad |F_1D|+|F_2D|=|F_1F_2|=2c. \]

联立得\(|F_1D|=c+a\), \(|F_2D|=c-a\). 又

\[ x_D=x_{F_1}+|F_1D|=-c+(c+a)=a. \]

因\(ID\perp F_1F_2\)，故\(x_I=x_D=a\). 同理，当\(P\)在左支时可得\(x_I=-a\).

图

旁心定理：\(I\)是\(\triangle PF_1F_2\)的旁心，\(D\)为\(\angle F_1PF_2\)外角平分线与\(x\)轴的交点. 由角平分线性质定理得：

\[ \dfrac{\vert ID\vert}{\vert IP\vert}= \dfrac{\vert DF_1 \vert }{\vert PF_1 \vert} = \dfrac{\vert DF_2 \vert }{\vert PF_2 \vert} = \dfrac{\vert DF_1 \vert - \vert DF_2 \vert }{\vert PF_1 \vert - \vert PF_2 \vert} = \dfrac{2c}{2a} = e \]
\[ \dfrac{S_{\triangle IF_1D}}{S_{\triangle PF_1I}} = \dfrac{|y_I|}{|y_P|-|y_I|} = \dfrac{|ID|}{|IP|} = e \]

图

性质 4. 双曲线焦点三角形的内心推论

推论1 如图，点\(P\)是双曲线\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a {\gt} 0,b {\gt} 0)\)左支上除顶点外的一点，\(F_1\)、\(F_2\)分别是双曲线的左、右焦点，\(\angle PF_1F_2=\alpha\)，\(\angle PF_2F_1=\beta\)，双曲线的离心率为\(e\)，\(\triangle PF_1F_2\)内切圆半径为\(r\)，则

\[ \dfrac{\tan\dfrac{\alpha}{2}}{\tan\dfrac{\beta}{2}}=\dfrac{r}{c - a}\cdot\dfrac{c + a}{r}=\dfrac{e + 1}{e - 1} \]
\[ \begin{aligned} r & = \dfrac{2S_{\triangle PF_1F_2}}{|PF_1| + |PF_2| + |F_1F_2|} = \dfrac{2 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot 2c \cdot |y_P| \right)}{(ex_P + a) + (ex_P - a) + 2c} = \dfrac{c \cdot |y_P|}{ex_P + c} \\ & = \dfrac{c \cdot \frac{b}{a}\sqrt{x_P^2 - a^2}}{ex_P + c} = \dfrac{b\sqrt{x_P^2 - a^2}}{x_P + a} = b\sqrt{\dfrac{x_P - a}{x_P + a}} = b\sqrt{1 - \dfrac{2a}{x_P + a}} \in (0, b) \end{aligned} \]

图

推论 2 如图，过\(F_2\)的直线与双曲线的右支交于\(M\)、\(N\)两点，\(O_1\)为焦点三角形\(MF_1F_2\)的内心，\(O_2\)为焦点三角形\(NF_1F_2\)的内心，直线\(MN\)倾斜角为\(\alpha\)， 令\(\vert AO_1\vert = r_1\)，\(\vert AO_2\vert = r_2\)，（这里不妨设\(r_1 {\gt} r_2\)，\(\alpha\)始终为锐角） 直线与双曲线右支相交两点则 \(\tan\alpha {\gt} \dfrac{b}{a} = \sqrt{e^2 - 1} \implies \cos\alpha {\lt} \dfrac{1}{e}\)

\[ \begin{aligned} r_1 & =(c-a)\tan \angle O_1F_2A = (c-a)\tan (\dfrac{\pi - \alpha}{2})=\dfrac{c-a}{\tan \frac{\alpha}{2}} \\ r_2 & =(c-a)\tan \angle O_2F_2A = (c-a)\tan \dfrac{\alpha}{2} \qquad \qquad r_1r_2=(c - a)^2 \\ r_1+r_2 & = (c - a)\left(\frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}} + \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}\right) = (c - a)\frac{\cos^2\frac{\alpha}{2} + \sin^2\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} =\dfrac{2(c - a)}{\sin\alpha} \\ r_1-r_2 & = (c - a)\left(\frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}} - \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}\right) = (c - a)\frac{\cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} =\dfrac{2(c - a)}{\tan\alpha} \\ \dfrac{r_1}{r_2} & = \dfrac{1}{(\tan \frac{\alpha}{2})^2} = \left(\dfrac{\cos \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}}\right)^2 = \dfrac{1+\cos \alpha}{1- \cos \alpha} {\lt} \dfrac{1+\frac{1}{e}}{1- \frac{1}{e}} = \dfrac{e + 1}{e - 1} \end{aligned} \]

图

结论 1. 双曲线焦比定理之交一支类型

图

\(A\)、\(B\)是双曲线\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)左支上两点，\(F_1\)是左焦点，\(\angle BF_{1}F_2\)为\(\alpha\)，\(AB\)过\(F_{1}\)，\(c\)是双曲线半焦距，则

\[ |AF_{1}|=\htmlClass{blank}{\dfrac{b^{2}}{a - c\cos\alpha}}\qquad |BF_{1}|=\htmlClass{blank}{\dfrac{b^{2}}{a + c\cos\alpha}}\qquad |AB|=\dfrac{2ab^{2}}{a^{2}-c^{2}\cos^{2}\alpha}\qquad \dfrac{1}{|AF_{1}|}+\dfrac{1}{|BF_{1}|} = \dfrac{2a}{b^2} \]

（根据长减短加判断符号）， 令\(|AF_{1}|=\lambda|BF_{1}|\)，即

\[ \dfrac{b^{2}}{a - c\cos\alpha}=\dfrac{\lambda b^{2}}{a + c\cos\alpha}\Rightarrow \htmlClass{blank}{e\cos\alpha=\dfrac{\lambda -1}{\lambda + 1}} \]

代入焦半径公式可得

\[ |AF_{1}|=\htmlClass{blank}{\dfrac{\lambda + 1}{2}\cdot\dfrac{b^2}{a}}\qquad|BF_{1}|=\htmlClass{blank}{\dfrac{\lambda + 1}{2\lambda }\cdot\dfrac{b^{2}}{a}} \]

结论 2. 双曲线焦比定理之交两支类型

图

\(A\)是双曲线\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)右支上一点，\(B\)是双曲线左支上一点，\(F_1\)是左焦点，\(\angle AF_{1}F_2\)为\(\alpha\)，\(AB\)过\(F_{1}\)，\(c\)是双曲线半焦距， 由于交两支时，有\(|k|{\lt}\dfrac{b}{a}\)，平方得：\(\tan^{2}\alpha{\lt}\dfrac{b^{2}}{a^{2}}\)，即\(\cos\alpha{\gt}\dfrac{a}{c}\)，故\(a - c\cos\alpha{\lt}0\)

\[ |AF_{1}|=\htmlClass{blank}{\dfrac{b^{2}}{ c\cos\alpha - a}}\qquad |BF_{1}|=\htmlClass{blank}{\dfrac{b^{2}}{c\cos\alpha + a}}\qquad |AB|=\dfrac{2ab^{2}}{c^{2}\cos^{2}\alpha - a^{2}} \]

（根据长减短加判断符号）， 令\(|AF_{1}|=\lambda|BF_{1}|\)，即

\[ \dfrac{b^{2}}{c\cos\alpha - a}=\dfrac{\lambda b^{2}}{ c\cos\alpha+a}\Rightarrow \htmlClass{blank}{e\cos\alpha=\dfrac{\lambda + 1}{\lambda - 1}} \]

代入焦半径公式可得

\[ |AF_{1}|=\htmlClass{blank}{\dfrac{\lambda - 1}{2}\cdot\dfrac{b^2}{a}}\qquad|BF_{1}|=\htmlClass{blank}{\dfrac{\lambda - 1}{2\lambda }\cdot\dfrac{b^2}{a}} \]

定义 5. 渐近线

当曲线上一点\(M\)沿曲线无限远离原点时，如果\(M\)到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线.

对于双曲线\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)（\(a{\gt}0,b{\gt}0\)），其渐近线方程为\(y=\pm\dfrac{b}{a}x\).直观地说，双曲线在无限远处会无限靠近这两条渐近线，但永远不会与它们相交.从几何角度来看，渐近线为双曲线的形状和走向提供了一种边界或极限的描述，它反映了双曲线在无穷远处的行为特征.

对于双曲线\(\dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{x^{2}}{b^{2}} = 1\)（\(a{\gt}0,b{\gt}0\)），其渐近线方程则为\(y = \pm\dfrac{a}{b}x\).

双曲线渐进线的二次曲线方程：\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = \htmlClass{blank}{0}\)，可用于联立求韦达定理

性质 5. 特征三角形1

过双曲线焦点\(F\)作双曲线渐近线的垂线，垂足为第一象限点\(P\)，则

\[ |FP| = \htmlClass{blank}{b}\qquad P\left(\htmlClass{blank}{\dfrac{a^2}{c}}, \htmlClass{blank}{\dfrac{ab}{c}}\right) \]

证明: 考虑右焦点\(F(c,0)\)到渐近线\(y = \dfrac{b}{a}x\)的距离. 将\(y=\dfrac{b}{a}x\)化为\(bx - ay = 0\), 则点\(F(c,0)\)到直线\(bx - ay = 0\)的距离为\(d = \dfrac{|bc - 0|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\dfrac{bc}{c}=b\).

图

性质 6. 渐近线圆与特征三角形2

以双曲线焦点\(F_1F_2\)为直径的圆与双曲线\(C\)的渐近线在第一象限的交点为\(\htmlClass{blank}{(a,b)}\).

证明: 将\(y = \dfrac{b}{a}x\)代入\(x^{2}+y^{2}=c^{2}\)，得\(x^{2}+\left(\dfrac{b}{a}x\right)^{2}=c^{2}\)解得\(x=\pm a\). 取第一象限的\(x = a\)，代入\(y=\dfrac{b}{a}x\)得\(y = b\).

图

性质 7. 到渐近线的距离三角形（人教A选修一P128-11）

如图所示，\(P\)是双曲线\(C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)上一点，过\(P\)分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为\(A\)、\(B\)，则有：

  1. \(|PA|\cdot|PB|=\htmlClass{blank}{\dfrac{a^{2}b^{2}}{c^{2}}}\)；

  2. \(\triangle PAB\)的面积为定值\(\htmlClass{blank}{\dfrac{a^{3}b^{3}}{c^{4}}}\).

图

证明: 双曲线\(C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)的两条渐近线为\(y = \pm\dfrac{b}{a}x\), 即\(bx\pm ay = 0\).

设\(P(x_0,y_0)\), 则\(|PA|\times|PB|=\dfrac{|bx_0 + ay_0|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\times\dfrac{|bx_0 - ay_0|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\dfrac{b^{2}x_0^{2}-a^{2}y_0^{2}}{c^{2}}=\dfrac{a^{2}b^{2}}{c^{2}}\);

设渐近线\(y = \dfrac{b}{a}x\)的倾斜角为\(\theta\), 则 \(\sin\angle AOB=\sin2\theta= \dfrac{2\sin \theta \cos \theta}{\sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta} =\dfrac{2\tan\theta}{1 + \tan^{2}\theta}=\dfrac{\dfrac{2b}{a}}{1+\dfrac{b^{2}}{a^{2}}}=\dfrac{2ab}{a^{2}+b^{2}}=\dfrac{2ab}{c^{2}}\),

从而\(S_{\triangle PAB}=\dfrac{1}{2}|PA|\times|PB|\sin\angle APB\) \(=\dfrac{1}{2}|PA|\times|PB|\sin\angle AOB=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{a^{2}b^{2}}{c^{2}}\times\dfrac{2ab}{c^{2}}=\dfrac{a^{3}b^{3}}{c^{4}}\).

性质 8. 渐近线平行四边形

如图, 过双曲线上任意一点\(P\)作两条渐近线的平行线, 它们与两条渐近线围成一个平行四边形\(OMPN\)，则

  1. \(x_Mx_N=\htmlClass{blank}{\dfrac{a^{2}}{4}}\)

  2. \(|OM|\cdot|ON|=\htmlClass{blank}{\dfrac{c^{2}}{4}}\)

  3. \(\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=\htmlClass{blank}{\dfrac{a^{2}-b^{2}}{4}}\)

  4. \(\text{平行四边形} OMPN\)的面积是定值\(\htmlClass{blank}{\dfrac{ab}{2}}\)

图

证明: 双曲线\(C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)的两条渐近线为\(y = \pm\dfrac{b}{a}x\), 不妨设\(M(x_1,\dfrac{b}{a}x_1),N(x_2,-\dfrac{b}{a}x_2)\), 因为\(OMPN\)是平行四边形, 所以\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}\), 故\(P(x_1 + x_2,\dfrac{b}{a}(x_1 - x_2))\), 代入\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)可得：\(\dfrac{(x_1 + x_2)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{[\dfrac{b}{a}(x_1 - x_2)]^{2}}{b^{2}} = 1\),

化简得：\(x_1x_2=\dfrac{a^{2}}{4}\). 从而有： \(|OM|\times|ON|=\sqrt{1 + k^{2}}|x_1|\cdot\sqrt{1 + k^{2}}|x_2|=(1 + k^{2})|x_1x_2|=(1+\dfrac{b^{2}}{a^{2}})\times\dfrac{a^{2}}{4}=\dfrac{c^{2}}{4}\);

\(\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=x_1x_2+(\dfrac{b}{a}x_1)(-\dfrac{b}{a}x_2)=(1-\dfrac{b^{2}}{a^{2}})x_1x_2=(1 - \dfrac{b^{2}}{a^{2}})\times\dfrac{a^{2}}{4}=\dfrac{a^{2}-b^{2}}{4}\);

\(S_{\square OMPN}=\left|x_1\cdot(-\dfrac{b}{a}x_2)-x_2\cdot\dfrac{b}{a}x_1\right|=\dfrac{2b}{a}|x_1x_2|=\dfrac{2b}{a}\times\dfrac{a^{2}}{4}=\dfrac{ab}{2}\).

性质 9. 渐近线三角形

如图所示, 双曲线\(C\)上任意一点\(P\)处的切线与\(C\)的两条渐近线分别交于\(A\)和\(B\)两点, 则

  1. \(x_Ax_B=\htmlClass{blank}{a^2}\)

  2. \(P\)为\(AB\)的中点

  3. \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\htmlClass{blank}{a^{2}-b^{2}}\)

  4. \(\vert OA\vert\cdot\vert OB\vert=\htmlClass{blank}{a^{2}+b^{2}}=\htmlClass{blank}{c^{2}}\)

  5. \(\triangle AOB\)的面积为定值\(\htmlClass{blank}{ab}\)

(由上一个性质，过\(P\)作渐近线的平行线交于\(M,N\)，立即证)

图

证明: 双曲线\(C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)的两条渐近线为\(y = \pm\dfrac{b}{a}x\), 不妨设\(A(x_1,\dfrac{b}{a}x_1)\), \(B(x_2,-\dfrac{b}{a}x_2)\), \(P(x_0,y_0)\). 过\(P(x_0,y_0)\)的切线方程为\(\dfrac{x_0x}{a^{2}}-\dfrac{y_0y}{b^{2}} = 1\), 由\(\begin{cases} \dfrac{x_0x}{a^{2}}-\dfrac{y_0y}{b^{2}} = 1 \\ \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 0 \end{cases}\)得：\((b^{2}x_0^{2}-a^{2}y_0^{2})x^{2}-2a^{2}b^{2}x_0x + a^{4}b^{2}=0\),

由于\(b^{2}x_0^{2}-a^{2}y_0^{2}=a^{2}b^{2}\), 故上式可化为\(x^{2}-2x_0x + a^{2}=0\). 所以\(\dfrac{x_1 + x_2}{2}=x_0\), 说明点\(P\)为\(AB\)的中点.

且\(S_{\triangle AOB}=\dfrac{1}{2}\left|x_1\cdot(-\dfrac{b}{a}x_2)-x_2\cdot\dfrac{b}{a}x_1\right|=\dfrac{b}{a}|x_1x_2|=\dfrac{b}{a}\times a^{2}=ab\).

性质 10. 双曲线渐近线共中点

作双曲线的割线\(CD\)并交渐近线于\(A\)，\(B\)两点，则\(\vert AC\vert=\htmlClass{blank}{\vert BD\vert}\)．

推论： 若\(M\)是\(CD\)中点，则一定也是\(AB\)中点，反之亦然；

证明：设直线为\(x = ty + m\)，代入双曲线方程\(b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}\)得：

\[ (b^{2}t^{2}-a^{2})y^{2}+2b^{2}tmy + b^{2}m^{2}-a^{2}b^{2}=0 \]

代入双曲线渐近线的二次曲线方程\(b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0\)得：

\[ (b^{2}t^{2}-a^{2})y^{2}+2b^{2}tmy + b^{2}m^{2}=0 \]

所以\(y_A+y_B=y_C+y_D\)，\(AB\)中点坐标和\(CD\)中点坐标重合，

所以\(\vert AM\vert=\vert BM\vert\)，\(\vert CM\vert=\vert DM\vert\)．

图

性质 11. 过定点直线与双曲线交点个数问题

设斜率为\(k\)的直线\(l\)过定点\(P(0,t)(t \neq 0)\)，双曲线方程为\(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1(a {\gt} 0, b {\gt} 0)\)，过点\(P\)与双曲线相切时的斜率为\(k_0\).

  1. 当\(0 \leq |k| {\lt} \dfrac{b}{a}\)时，直线\(l\)与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的两支上；

  2. 当\(|k| = \dfrac{b}{a}\)时，直线\(l\)与双曲线只有一个交点（平行于渐近线）；

  3. 当\(\dfrac{b}{a} {\lt} |k| {\lt} |k_0|\)时，直线\(l\)与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的同一支上；

  4. 当\(|k| = |k_0|\)时，直线\(l\)与双曲线只有一个交点（相切）；

  5. 当\(|k| {\gt} |k_0|\)时，直线\(l\)与双曲线没有交点.

图

性质 12. 中点弦存在问题（人教A选修一P128-13）

设双曲线方程为\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a{\gt}0,b{\gt}0)\)，弦\(AB\)的两个端点为\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，弦\(AB\)的中点为\(P(x_0,y_0)\)，由点差法得\(AB\)的斜率 \(k = \dfrac{b^{2}x_0}{a^{2}y_0}\) 设直线\(AB\)的方程为\(y - y_0 = k(x - x_0)\)，代入双曲线方程并消去\(y\)，

可得 \((b^{2}-a^{2}k^{2})x^{2}-2ka^{2}(y_0 - kx_0)x - a^{2}(y_0 - kx_0)^{2}-a^{2}b^{2}=0\)

当\(b^{2}-a^{2}k^{2}=0\)时，方程没有两实根；

当\(b^{2}-a^{2}k^{2}\neq0\)时，

\[ \begin{aligned} \Delta & = [-2ka^{2}(y_0 - kx_0)]^{2}-4(b^{2}-a^{2}k^{2})[-a^{2}(y_0 - kx_0)^{2}-a^{2}b^{2}] \\ & = 4k^2 a^4 (y_0 - kx_0)^2 + 4a^2 (b^2 - a^2 k^2)[(y_0 - kx_0)^2 + b^2] \\ & = 4a^2 \left[ k^2 a^2 (y_0 - kx_0)^2 + (b^2 - a^2 k^2)((y_0 - kx_0)^2 + b^2) \right] \\ & = 4a^2 \left[ b^2 (y_0 - kx_0)^2 + b^4 - a^2 k^2 b^2 \right]= 4a^2 b^2 \left[ (y_0 - kx_0)^2 + b^2 - a^2 k^2 \right] \quad \text{代入 } k = \dfrac{b^{2}x_0}{a^{2}y_0} \\ & = 4a^2 b^2 \left[ \left( \frac{a^2 y_0^2 - b^2 x_0^2}{a^2 y_0} \right)^2 + b^2 - \frac{b^4 x_0^2}{a^2 y_0^2} \right] = 4a^2 b^2 \cdot \frac{(a^2 y_0^2 - b^2 x_0^2)^2 + a^4 b^2 y_0^2 - a^2 b^4 x_0^2}{a^4 y_0^2} \\ & = 4a^2 b^2 \cdot \frac{a^4 b^4 \left( \dfrac{x_0^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y_0^{2}}{b^{2}} \right) \left( \dfrac{x_0^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y_0^{2}}{b^{2}} - 1 \right)}{a^4 y_0^2} = \frac{4a^{2}b^{6}}{y_0^{2}}\left(\dfrac{x_0^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y_0^{2}}{b^{2}}\right)\left(\dfrac{x_0^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y_0^{2}}{b^{2}} - 1\right) \end{aligned} \]

  1. 点\(P\)位于双曲线上、位于渐近线上时，方程没有两实根.

  2. 点\(P\)位于区域\(I\)时，\(0 {\lt} \dfrac{x_0^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y_0^{2}}{b^{2}} {\lt} 1\)，\(\Delta {\lt} 0\)，方程没有两实根；

  3. 点\(P\)位于区域\(III\)时，\(\dfrac{x_0^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y_0^{2}}{b^{2}} {\lt} 0\)，\(\Delta {\gt} 0\)，方程有两不等实根；

  4. 点\(P\)位于区域\(II\)时，\(\dfrac{x_0^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y_0^{2}}{b^{2}} {\gt} 1\)，\(\Delta {\gt} 0\)，方程有两不等实根；

综上，当\(P\)位于区域\(I\)，位于双曲线上，位于渐近线上时，即 \(0\leq \dfrac{x_0^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y_0^{2}}{b^{2}} \leq 1\)，以\(P\)为中点的弦不存在.

当\(P\)位于区域\(II,III\)时即\(\dfrac{x_0^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y_0^{2}}{b^{2}} {\lt} 0\) 或 \(\dfrac{x_0^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y_0^{2}}{b^{2}} {\gt} 1\)，以\(P\)为中点的弦存在.

图

性质 13. 双曲线与对勾、飘带函数互化

双曲线方程 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) 与函数 \(y = mx + \dfrac{n}{x}\) 可通过旋转变换相互转化.

将双曲线绕原点旋转参数关系： \(m = {\dfrac{a^2 - b^2}{2ab}}, n = {\dfrac{ab}{2}}\)

反之，已知函数参数求双曲线参数： \(\begin{cases} {a^2 b^2 = 4n^2} \\ {a^2 - b^2 = 4mn} \end{cases}\)

形状分类：

  1. 当 \(a {\gt} b\) 时，\(m {\gt} 0\)，函数\(y=mx + \dfrac{n}{x}\)为对勾函数；

  2. 当 \(a {\lt} b\) 时，\(m {\lt} 0\)，函数\(y=mx + \dfrac{n}{x}\)为飘带函数.

图

图

证明：将双曲线上的点 \((x_0,y_0)\) 绕原点逆时针旋转 \(\theta\) 后得到 \((x,y)\)， \(\sin\theta = \dfrac{a}{c}, \cos\theta = \dfrac{b}{c}\). 则：

\(\begin{cases} x = x_0 \cos\theta - y_0 \sin\theta \\ y = x_0 \sin\theta + y_0 \cos\theta \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = \dfrac{b}{c}x_0 - \dfrac{a}{c}y_0 \\ y = \dfrac{a}{c}x_0 + \dfrac{b}{c}y_0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_0 = \dfrac{bx+ay}{c} \\ y_0 = \dfrac{by - ax}{c} \end{cases}\)

此处 \((x_0, y_0)\) 为双曲线 \(\dfrac{x_0^2}{a^2} - \dfrac{y_0^2}{b^2} = 1\) 上的点，代入方程：

\[ \frac{(bx+ay)^2}{a^2 c^2} - \frac{(by-ax)^2}{b^2 c^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad b^2 (bx+ay)^2 - a^2 (by-ax)^2 = a^2 b^2 c^2 \]
\[ \Rightarrow (b^4 - a^4)x^2 + 2ab(a^2 + b^2)xy = a^2 b^2 (a^2 + b^2) \]

因 \(b^4 - a^4 = (b^2-a^2)(b^2+a^2)\)，两边同除 \((a^2 + b^2)\) 得：

\[ (b^2 - a^2)x^2 + 2ab xy = a^2 b^2 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{a^2 - b^2}{2ab}x + \frac{ab}{2x} \]

抛物线

定义 1. 抛物线的定义

平面内与一个定点\(F\)和一条定直线\(l\)（\(l\)不经过点\(F\)）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线；定点\(F\)叫做抛物线的焦点，定直线\(l\)叫做抛物线的准线．

以\(y^{2}=2px\;(p {\gt} 0)\)为例，焦点在\(x\)轴上，开口向右.参数\(p\)是焦点到准线的距离，称为焦准距，故\(p\)恒为正数．

性质 1. 抛物线基本性质

图

结论 1. 焦半径与焦点弦

设\(AB\)为过\(y^{2}=2px(p {\gt} 0)\)焦点的弦，\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，倾斜角为\(\alpha\)，则：

\[ \begin{aligned} \text{坐标：} & |AF| = \htmlClass{blank}{x_1+\dfrac{p}{2}} \qquad |BF| = \htmlClass{blank}{x_2+\dfrac{p}{2}} \qquad |AB| = \htmlClass{blank}{x_1 + x_2 + p} \qquad x_1x_2=\htmlClass{blank}{\dfrac{p^{2}}{4}} \qquad y_1y_2=\htmlClass{blank}{-p^{2}} \\ \text{角度：} & |AF|=\htmlClass{blank}{\dfrac{p}{1 - \cos\alpha}} \qquad |BF|=\htmlClass{blank}{\dfrac{p}{1 + \cos\alpha}}\qquad |AB|=\htmlClass{blank}{\dfrac{2p}{\sin^{2}\alpha}} \qquad \dfrac{1}{|AF|}+\dfrac{1}{|BF|}=\htmlClass{blank}{\dfrac{2}{p}}\qquad S_{\triangle AOB}=\htmlClass{blank}{\dfrac{p^{2}}{2\sin\alpha}} \\ \text{比值：} & \text{设}|AF|=\lambda|BF|\Rightarrow \dfrac{p}{1 - \cos\alpha} = \lambda \dfrac{p}{1 + \cos\alpha} \Rightarrow \htmlClass{blank}{\cos \alpha = \dfrac{\lambda - 1}{\lambda + 1}} \qquad |AF| = \htmlClass{blank}{\dfrac{\lambda+1}{2}p} \qquad |BF|=\htmlClass{blank}{\dfrac{\lambda + 1}{2\lambda} p}\\ \text{中点弦：} & \text{设}M(x_0,y_0)\text{为}AB\text{的中点，则}k_{AB} = \dfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = \dfrac{y_1 - y_2}{\frac{y_1^2}{2p} - \frac{y_2^2}{2p}} = \dfrac{2p(y_1 - y_2)}{(y_1 + y_2)(y_1 - y_2)} = \dfrac{2p}{y_1 + y_2} = \dfrac{2p}{2y_0} = \htmlClass{blank}{\dfrac{p}{y_0}} \end{aligned} \]

结论 2. 抛物线焦点弦（人教A选修一P146-16；人教B选修一P158-7）

  1. 以\(AF\)为直径的圆\(O_1\)和以\(BF\)为直径的圆\(O_2\)均与\(y\)轴相切

  2. 以\(AB\) 为直径的圆\(O_3\)与准线相切，设切点为\(P\)

  3. \(PA,PB\)为抛物线的切线，且\(PA \perp PB\)，\(PO_3 \parallel x\)轴

  4. 作\(A,B\)在准线上的投影点\(A',B'\)，\(PO_3\)为梯形\(AA'B'B\)的中位线，\(P\)为\(A'B'\)中点

  5. \(PF \htmlClass{blank}{\perp} AB\) ，\(PA'=PB'=PF\)，\(A'F \perp B'F\)， 以\(PF\)为半径的圆\(P\)与\(AB\)相切于点\(F\)

  6. \(S_{\triangle PAB}=\dfrac{1}{2}|PF|\cdot |AB|=\dfrac{1}{2}\dfrac{p}{\sin \alpha}\dfrac{2p}{\sin ^2 \alpha}=\htmlClass{blank}{\dfrac{p^2}{\sin ^3 \alpha}}\ge p^2\)

图

定义 2. 抛物线两点式方程

过抛物线\(y^{2}=2px\)上两点\(A(x_{1},y_{1})\)、\(B(x_{2},y_{2})\)的直线\(AB\)方程是：\((y_{1} + y_{2})y = 2px + y_{1}y_{2}\).

证明：\(k_{AB}=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{\dfrac{y_{2}^{2}}{2p}-\dfrac{y_{1}^{2}}{2p}}=\dfrac{2p}{y_{1}+y_{2}}\)，直线\(AB\)方程为：\(y - y_{1}=\dfrac{2p}{y_{1}+y_{2}}(x - \dfrac{y_{1}^{2}}{2p})\)，

化简得：\((y_{1} + y_{2})y = 2px + y_{1}y_{2}\).

同理，如果抛物线的形式是\(x^{2}=2py(p {\gt} 0)\)，直线\(AB\)的方程是：\((x_{1} + x_{2})x = 2py + x_{1}x_{2}\)

结论 3. 抛物线相似三角形

由抛物线定义可知，\(AF = AA'\)，\(BF = BB'\)，

\[ \begin{aligned} k_{AB}=\sqrt{3} & \Longleftrightarrow \angle AFx = \dfrac{\pi}{3} \Longleftrightarrow AF : BF = 3 : 1 \\ & \Longleftrightarrow BC : BB' = 2 : 1 \Longleftrightarrow AF = FC = 2p \end{aligned} \]

\(BB':BF:F'F:BC:AF:AA':A'F:CF = 2:2:3:4:6:6:6:6\)

若\(\angle AFx = \theta \neq \dfrac{\pi}{3}\)， 则有相似关系：\(\triangle CBB' \sim \triangle CFF' \sim \triangle CAA'\)，

进而有比例式：\(\dfrac{BB'}{CB} = \dfrac{FF'}{CF} = \dfrac{AA'}{CA} = \cos\theta\).

进而有：\(\dfrac{|BF|}{|CB|} = \dfrac{p}{|CB| + |BF|} = \dfrac{|AF|}{|CB| + |BF| + |AF|} = \cos\theta\).

图

定义 3. 抛物线的阿基米德三角形

设抛物线 \(x^2 = 2py \ (p {\gt} 0)\) 上两个不同的点 \(A(x_1, y_1)\)，\(B(x_2, y_2)\)，以 \(A\)，\(B\) 为切点的切线相交于点 \(P\)，称 \(\triangle PAB\) 为阿基米德三角形.

注：对于抛物线\(y^2 = 2px (p {\gt} 0)\)，有如下结论:

\[ P\left(\dfrac{y_1y_2}{2p},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\qquad S_{\triangle PAB} = \dfrac{|y_1-y_2|^3}{8p} \]

图

  1. 由 \(y = \dfrac{x^2}{2p}\)，\(y' = \dfrac{x}{p}\)，设 \(l_{PA}: y - \dfrac{x_1^2}{2p} = \dfrac{x_1}{p}(x - x_1)\)，化简得 \(x_1x = p(y + y_1)\)；同理\(l_{PB}: x_2x = p(y + y_2)\).

    联立解得交点坐标 \(P\htmlClass{blank}{\left( \dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{x_1x_2}{2p} \right)}\).

  2. 设 \(Q\) 为 \(AB\) 中点，则 \(x_Q = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = x_P\)，\(PQ\) 与 \(y\) 轴平行或重合. \(y_Q = \dfrac{y_1 + y_2}{2} = \dfrac{\frac{x_1^2}{2p} + \frac{x_2^2}{2p}}{2} = \dfrac{x_1^2 + x_2^2}{4p}\).

  3. \(S_{\triangle PAB} = \dfrac{1}{2} |x_1 - x_2| \cdot |y_Q - y_P| = \dfrac{|x_1 - x_2|}{2} \cdot \left| \dfrac{x_1^2 + x_2^2}{4p} - \dfrac{x_1x_2}{2p} \right| = \htmlClass{blank}{\dfrac{|x_1 - x_2|^3}{8p}} \leq \dfrac{|AB|^3}{8p}\).

  4. \(PQ\) 与抛物线交于 \(R\) 点，\(x_R = \dfrac{x_1 + x_2}{2}\)，\(y_R = \dfrac{y_P + y_Q}{2} = \dfrac{(x_1 + x_2)^2}{8p}\)，\(R\left( \dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{(x_1 + x_2)^2}{8p} \right)\) 在抛物线上.

  5. 过 \(R\) 作抛物线的切线交 \(PA\) 于点 \(C\)，交 \(PB\) 于点 \(D\). \(k_{CD} = \dfrac{x_1 + x_2}{2p} = k_{AB}\)，故 \(CD \parallel AB\)且\(C\),\(D\)均为中点.

  6. 若 \(P\) 点坐标为 \((x_0, y_0)\)，在直线 \(AB\) 两点式方程 \((x_1 + x_2)x = 2py + x_1x_2\) 中，\(\dfrac{x_1 + x_2}{2} = x_0\)，\(\dfrac{x_1x_2}{2p} = y_0\)，代入得直线 \(AB\) 为 \(x_0x = p(y + y_0)\).

  7. 若 \(AB\) 过抛物线内的定点 \((x_0, y_0)\)，由于 \(P\) 在 \(PA\)，\(PB\) 上， \(x_1x_P = p(y_P + y_1)\) 且 \(x_2x_P = p(y_P + y_2)\)，这表明 \(AB\) 均在直线 \(x_Px = p(y_P + y)\) 上，即 \(x_Px_0 = p(y_P + y_0)\)，即 \(P\) 的轨迹方程为 \(x_0x = p(y + y_0)\).

性质 2.

性质 3.

性质 4.

性质 5.

性质 6.

性质 7.

性质 8.

性质 9.

性质 10.

性质 11.

性质 12.

性质 13.

性质 14.

性质 15.

性质 16.

性质 17.

性质 18.

性质 19.

性质 20.

统一结论

定义 1. 垂直平分线定义（人教A选必一P115-6、P127-5）

设圆\(O\)的半径为\(r\)，\(A\)为平面内一定点，\(P\)为圆\(O\)上任意一点，线段\(AP\)的垂直平分线\(l\)与直线\(OP\)交于点\(Q\).由垂直平分线性质知 \(|QA| = |QP|\)，又点\(P\)在圆上，则 \(|OP| = r\). 点\(Q\)的轨迹由点\(A\)与圆\(O\)的位置关系决定：

  1. 若\(A\)在圆内，\(Q\)在线段\(OP\)上，有 \(|OQ| + |QA| = |OQ| + |QP| = |OP| = r\).

    满足距离和等于常数\(r{\gt}|OA|\)，点\(Q\)的轨迹为以\(O,A\)为焦点，长轴长为\(r\)的椭圆；

  2. 若\(A\)在圆外，\(Q\)在\(OP\)延长线上，有 \(||QA| - |QO|| = ||QP| - |QO|| = |OP| = r\).

    满足距离差的绝对值等于常数\(r{\lt}|OA|\)，点\(Q\)的轨迹为以\(O,A\)为焦点，实轴长为\(r\)的双曲线.

拓展：此时\(l\)与椭圆或双曲线相切，可以对应光学性质.

图

定义 2. 双圆相切定义（人教A选必一P115-10）

设圆\(O_1\)的半径为\(R\)，\(O_2\)为平面内一定点，动圆\(P\)过定点\(O_2\) 且与圆\(O_1\)相切，则动圆圆心\(P\)的轨迹由点\(O_2\)与圆\(O_1\)的位置关系决定： 设动圆\(P\)的半径为\(r\).

  1. 若\(O_2\)在圆\(O_1\)内，则动圆\(P\)必与圆\(O_1\)内切，有 \(|PO_1| = R - r\). 又\(P\)过定点\(O_2\)，则 \(|PO_2| = r\). 故 \(|PO_1| + |PO_2| = R - r + r = R{\gt}|O_1O_2|\)，点\(P\)的轨迹为以\(O_1,O_2\)为焦点，长轴长为\(R\)的椭圆；

  2. 若\(O_2\)在圆\(O_1\)外，动圆\(P\)与圆\(O_1\)外切或内切. 由于动圆\(P\)过定点\(O_2\)，有 \(|PO_2| = r\).

    若动圆\(P\)与圆\(O_1\)外切，有 \(|PO_1| = R + r\).此时 \(|PO_1| - |PO_2| = R + r - r = R\)；

    若动圆\(P\)与圆\(O_1\)内切，有 \(|PO_1| = r - R\).此时 \(|PO_2| - |PO_1| = r - (r - R) = R\).

    综上，\(||PO_1| - |PO_2|| = R{\lt}|O_1O_2|\)，点\(P\)的轨迹为以\(O_1,O_2\)为焦点，实轴长为\(R\)的双曲线.

图

定义 3. 抛物线的垂直平分线与相切定义

抛物线同样具有类似于椭圆和双曲线的定义方式，此时定义中的“定圆”退化为“定直线”（即准线）：

  1. 垂直平分线定义：设\(l\)为平面内必定直线，\(F\)为\(l\)外一定点，\(P\)为直线\(l\)上任意一点.作线段\(FP\)的垂直平分线\(m\)，过点\(P\)作\(l\)的垂线交\(m\)于点\(Q\). 由垂直平分线性质知 \(|QF| = |QP|\).由于\(QP \perp l\)，\(|QP|\)即为点\(Q\)到直线\(l\)的距离.点\(Q\)到定点\(F\)的距离等于到定直线\(l\)的距离，其轨迹是以\(F\)为焦点，\(l\)为准线的抛物线.

  2. 动圆相切定义：设\(l\)为平面内必定直线，\(F\)为\(l\)外一定点.动圆\(Q\)过定点\(F\)且与定直线\(l\)相切. 设动圆半径为\(r\)，因圆过定点\(F\)，故 \(|QF| = r\)；因圆与定直线\(l\)相切，点\(Q\)到\(l\)的距离也为\(r\).点\(Q\)到定点\(F\)的距离等于到定直线\(l\)的距离，动圆圆心\(Q\)的轨迹是抛物线.

图

结论 1. 椭圆、双曲线、抛物线的焦半径与焦点弦

图

定义到焦点的距离与到准线的距离的比值为定值\(e\)的点的轨迹为圆锥曲线，

当\(0{\lt}e{\lt}1\)表示椭圆，当\(e=1\)表示抛物线，当\(e{\gt}1\)表示双曲线.

设焦点到准线的距离为焦准距\(p\)，易得对于椭圆与双曲线，\(p=\dfrac{b^2}{c}\) , \(ep=\dfrac{b^2}{a}\)(半通径).若\(F\)内分弦\(AB\),

根据定义有\(\dfrac{|AF|}{p+|AF|\cos \alpha} = e\)，可得

\[ |AF| = \dfrac{ep}{1-e\cos \alpha}\qquad|BF|=\dfrac{ep}{1+e\cos \alpha}\qquad|AB| = \dfrac{2ep}{1 - e^2\cos^2 \alpha}\qquad\dfrac{1}{|AF|} + \dfrac{1}{|BF|} = \dfrac{2}{ep} \]

设 \(|AF| = \lambda|BF|\)，可得

\[ e\cos \alpha = \dfrac{\lambda - 1}{\lambda + 1} \qquad |AF| = \dfrac{\lambda+1}{2} ep \qquad |BF| = \dfrac{\lambda+1}{2\lambda} ep \qquad|AB|=\dfrac{(\lambda+1)^2}{2\lambda}ep \]

结论 2. 椭圆与双曲线共焦点问题

若椭圆 \(C_1: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \ (a {\gt} b {\gt} 0)\) 与双曲线 \(C_2: \dfrac{x^2}{m^2} - \dfrac{y^2}{n^2} = 1 \ (m {\gt} 0, n {\gt} 0)\)

共焦点 \(F_1(-c,0)\)、\(F_2(c,0) \ (c {\gt} 0)\)，

椭圆离心率 \(e_1 = \dfrac{c}{a}\)，双曲线离心率\(e_2 = \dfrac{c}{m}\)， \(\angle F_1PF_2 = \theta\),

点 \(P(x_0, y_0)\) 为两曲线的公共点.

图

  1. 坐标关系： \(|x_0| = \dfrac{am}{c}\)，\(|y_0| = \dfrac{bn}{c}\)，\(\left| \dfrac{y_0}{x_0} \right| = \dfrac{bn}{am}\).

  2. 焦点三角形量： \(|PF_1| \cdot |PF_2| = a^2 - m^2\)， \(\overrightarrow{PF_1} \cdot \overrightarrow{PF_2} = b^2 - n^2\)， \(S_{\triangle PF_1F_2} = bn\).

  3. 角度关系： \(\tan \dfrac{\theta}{2} = \dfrac{n}{b}\)，\(\cos \theta = \dfrac{b^2 - n^2}{a^2 - m^2}\).

  4. 离心率恒等式： \(\left( \dfrac{n}{e_1} \right)^2 + \left( \dfrac{b}{e_2} \right)^2 = b^2 + n^2\).

  5. 角度-离心率关系： 若 \(\angle F_1PF_2 = \theta\)，则 \(\left( \dfrac{\sin \frac{\theta}{2}}{e_1} \right)^2 + \left( \dfrac{\cos \frac{\theta}{2}}{e_2} \right)^2 = 1\)， 即 \(\dfrac{1 - \cos \theta}{e_1^2} + \dfrac{1 + \cos \theta}{e_2^2} = 2\).

  6. 切线垂直性： 椭圆 \(C_1\) 与双曲线 \(C_2\) 在点 \(P(x_0, y_0)\) 处的切线相互垂直.

  7. 切线垂直的充要条件： 若两曲线在 \(P(x_0, y_0)\) 处切线相互垂直，则它们共焦点（即满足 \(a^2 - b^2 = m^2 + n^2\)）.

性质 1. 椭圆的光学性质（人教A选修一P113例5）

从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射，反射光线过椭圆的另一个焦点.

椭圆 \(C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a {\gt} b {\gt} 0\)），\(F_1, F_2\) 为焦点，\(l\) 是过椭圆上点 \(D(x_0, y_0)\) 的切线，\(A, B \in l\)（\(A, B \neq D\)），则

\[ \angle F_1DA = \angle F_2DB \]

图

证明： 设 \(D\) 处的法向量为 \(\vec{n} = \left(\dfrac{x_0}{a^2}, \dfrac{y_0}{b^2}\right)\). \(\vec{DF_1} = (-c-x_0, -y_0)\) , \(\vec{DF_2} = (c-x_0, -y_0)\).

\(\vec{n} \cdot \vec{DF_1} = -\dfrac{cx_0}{a^2} - \dfrac{x_0^2}{a^2} - \dfrac{y_0^2}{b^2} = -\dfrac{a+ex_0}{a}\). 而\(|DF_1| = a + ex_0\)，故 \(\dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{DF_1}|}{|\vec{DF_1}|} = \dfrac{1}{a}\).

\(\vec{n} \cdot \vec{DF_2} = \dfrac{cx_0}{a^2} - \left(\dfrac{x_0^2}{a^2} + \dfrac{y_0^2}{b^2}\right) = \dfrac{ex_0-a}{a}\). \(|DF_2| = a - ex_0\)，\(\dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{DF_2}|}{|\vec{DF_2}|} = \dfrac{1}{a}\).

故 \(\cos\langle\vec{n}, \vec{DF_1}\rangle = \pm\cos\langle\vec{n}, \vec{DF_2}\rangle\)，即法线是 \(\angle F_1DF_2\) 的角平分线.

图

性质 2. 双曲线光学性质

从双曲线一个焦点发出的光，反射光线的反向延长线汇聚到另一焦点.

双曲线 \(C: \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a, b {\gt} 0\)），\(F_1, F_2\) 为焦点，\(l\) 切于 \(D(x_0, y_0)\)，\(A, B \in l\)（\(A, B \neq D\)），延长 \(F_1D\) 至 \(C\)，则

\[ \angle F_2DB = \angle CDA \]

证明： 设 \(D\) 在双曲线右支上（\(x_0 \geq a\)），法向量为 \(\vec{n} = \left(\dfrac{x_0}{a^2}, -\dfrac{y_0}{b^2}\right)\). \(\vec{DF_1} = (-c-x_0, -y_0)\) , \(\vec{DF_2} = (c-x_0, -y_0)\).

\(\vec{n} \cdot \vec{DF_1} = -\dfrac{cx_0}{a^2} - \dfrac{x_0^2}{a^2} + \dfrac{y_0^2}{b^2} = -\dfrac{cx_0}{a^2} - 1 = -\dfrac{ex_0+a}{a}\). \(|DF_1| = ex_0 + a\)， \(\dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{DF_1}|}{|\vec{DF_1}|} = \dfrac{1}{a}\).

\(\vec{n} \cdot \vec{DF_2} = \dfrac{cx_0}{a^2} - \dfrac{x_0^2}{a^2} + \dfrac{y_0^2}{b^2} = \dfrac{cx_0}{a^2} - 1 = \dfrac{ex_0-a}{a}\). \(|DF_2| = ex_0 - a\)， \(\dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{DF_2}|}{|\vec{DF_2}|} = \dfrac{1}{a}\).

所以 \(\cos\langle\vec{n}, \vec{DF_1}\rangle = \pm\cos\langle\vec{n}, \vec{DF_2}\rangle\)，即法线平分 \(\angle F_1DF_2\)，光线反射的反向延长线必过另一焦点.

图

图

性质 3. 抛物线光学性质（人教A选修一P139-13）

从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴（主光轴）.

设抛物线 \(C: y^2 = 2px \ (p {\gt} 0)\)，焦点为 \(F\left( \dfrac{p}{2}, 0 \right)\)，直线 \(l\) 是 \(C\) 在点 \(P(x_0, y_0)\) 处的切线. 若光线从 \(F\) 射向 \(P\)，经 \(P\) 点反射后得到光线 \(PQ\)，则反射光线满足： \(PQ \parallel x\text{-轴（抛物线的对称轴）}\)

证明： \(P\)处的法向量为 \(\vec{n} = (p, -y_0)\), \(\vec{PF} = \left(\dfrac{p}{2}-x_0, -y_0\right)\). 记平行于 \(x\)轴的主光轴方向向量为 \(\vec{v} = (1, 0)\).

\(\vec{n} \cdot \vec{PF} = p\left(\dfrac{p}{2}-x_0\right) + y_0^2 = \dfrac{p^2}{2} - px_0 + 2px_0 = p\left(x_0 + \dfrac{p}{2}\right)\).

所以 \(\dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{PF}|}{|\vec{PF}|} = \dfrac{p\left(x_0 + \frac{p}{2}\right)}{\sqrt{\left(\frac{p}{2}-x_0\right)^2 + y_0^2}} = \dfrac{p\left(x_0 + \frac{p}{2}\right)}{x_0 + \frac{p}{2}} = p\).

另一方面，\(\dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{v}|}{|\vec{v}|} = \dfrac{p \times 1 + (-y_0) \times 0}{1} = p\).

\(\cos\langle\vec{n}, \vec{PF}\rangle \propto \cos\langle\vec{n}, \vec{v}\rangle\)，法线平分它们夹角，反射光线过点\(F\).

图

图

定理 1. 圆柱形物体的斜截口是椭圆

圆柱被不平行于母线的斜截面所截，截口曲线为椭圆；取与圆柱内切且与斜截面相切的两个球面， 球面与斜截面的切点分别为 \(F_1, F_2\)，则 \(F_1, F_2\) 为该椭圆的两个焦点， 且截口上任意一点 \(P\) 满足 \(PF_1 + PF_2 = \text{定值}\).

证明： 当 \(P\) 与 \(G_2\) 重合时，由轴截面结论，得 \(G_2F_1 + G_2F_2 = AD\).

当 \(P\) 不在端点时，连接 \(PF_1, PF_2\)（为两球面的切线）；过 \(P\) 作母线，与两球面交于 \(K_1, K_2\)（\(PK_1, PK_2\) 为两球面的切线）.

由切线长定理，\(PF_1 = PK_1\)，\(PF_2 = PK_2\)，故： \(PF_1 + PF_2 = PK_1 + PK_2 = AD\).

因 \(AD\) 为定值，故点 \(P\) 的轨迹是椭圆.

图

椭圆的准线与离心率： 设球 \(O_1, O_2\) 与圆柱交线（圆）所在平面为 \(\alpha, \gamma\)，椭圆所在斜截面 \(\beta\) 与 \(\alpha, \gamma\) 的交线为 \(l_1, l_2\)；\(\alpha, \gamma\) 与 \(\beta\) 所成二面角为 \(\theta\)，母线与平面 \(\beta\) 的交角为 \(\varphi\). 则直线 \(l_1, l_2\)为椭圆的两条准线，椭圆离心率 \(e = \cos\varphi\)

对椭圆长轴端点 \(G_2\)，有： \(\dfrac{G_2F_1}{G_2E} = \cos\varphi = \text{定值}\)

当 \(P\) 为椭圆任意点时，过 \(P\) 作 \(l_1\) 的垂线，垂足为 \(Q\)；过 \(P\) 作平面 \(\alpha\) 的垂线，垂足为 \(K_1\)，连接 \(K_1Q\)，得 \(\text{Rt}\triangle PK_1Q\)，故 \(\angle QPK_1 = \varphi\).从而： \(\dfrac{PF_1}{PQ} = \dfrac{PK_1}{PQ} = \cos\varphi = \text{定值}\)

称直线 \(l_1\) 为椭圆的一条准线；同理，椭圆上任意点到焦点 \(F_2\) 的距离与到直线 \(l_2\) 的距离之比也为 \(\cos\varphi\)，\(l_2\) 是另一准线. 记 \(e = \cos\varphi\)，称 \(e\) 为椭圆的离心率.

图

定理 2. 圆锥截线是椭圆、抛物线或双曲线（人教A选修一P104）

在空间中，取直线 \(l\) 为轴，直线 \(l'\) 与 \(l\) 相交于 \(O\) 点，夹角为 \(\alpha\)；\(l'\) 绕 \(l\) 旋转得到以 \(O\) 为顶点、\(l'\) 为母线的圆锥面.任取平面 \(\pi\)，记它与轴 \(l\) 的交角为 \(\beta\)（\(\pi\) 与 \(l\) 平行时 \(\beta=0\)），则：

  1. 当 \(\beta {\gt} \alpha\) 时，平面 \(\pi\) 与圆锥的交线为椭圆；

  2. 当 \(\beta = \alpha\) 时，平面 \(\pi\) 与圆锥的交线为抛物线；

  3. 当 \(\beta {\lt} \alpha\) 时，平面 \(\pi\) 与圆锥的交线为双曲线.

图

结论 3.

截得的圆锥曲线的离心率等于截面和圆锥轴的夹角的余弦与圆锥顶角一半的余弦之比.

设截面与圆锥轴的夹角为\(\beta\)，圆锥顶角的一半（圆锥轴与母线的夹角）为\(\alpha\)，则离心率

\[ e = \dfrac{\cos \beta }{\cos \alpha} = \dfrac{\cos \text{轴面角}}{\cos \text{轴线角}} \]

定理 3. 圆锥截线是椭圆

在圆锥内部嵌入双球，一个位于平面\(\pi\)的上方，一个位于平面\(\pi\)的下方，并且与平面\(\pi\)及圆锥均相切.

当\(\beta {\gt} \alpha\)时，平面\(\pi\)与圆锥的交线是一个封闭曲线.

设两个球与平面\(\pi\)的切点分别为\(F_1\)、\(F_2\)，与圆锥相切于圆\(S_1\)、\(S_2\).

在截口的曲线上任取一点\(P\)，连接\(PF_1\)、\(PF_2\).过\(P\)作母线交\(S_1\)于\(Q_1\)，交\(S_2\)于\(Q_2\)，于是\(PF_1\)和\(PQ_1\)是从\(P\)到上方球的两条切线，因此\(PF_1 = PQ_1\).同理，\(PF_2 = PQ_2\).所以\(PF_1 + PF_2 = PQ_1 + PQ_2 = Q_1Q_2\).

由正圆锥的对称性，\(Q_1Q_2\)的长度等于两圆\(S_1\)、\(S_2\)所在平行平面间的母线段的长度，与点\(P\)的位置无关.由此可知截口的曲线是以\(F_1\)、\(F_2\)为焦点的椭圆.

图

上面一个球与圆锥面的交线为圆\(S\)，记圆\(S\)所在的平面为\(\pi'\). 设\(\pi\)与\(\pi'\)的交线为\(m\). 在椭圆上任取一点\(P\)，连接\(PF_1\). 在\(\pi\)中过\(P\)作\(m\)的垂线，垂足为\(A\). 过\(P\)作\(\pi'\)的垂线，垂足为\(B\)，连接\(AB\)，则\(AB\)是\(PA\)在平面\(\pi'\)上的射影. 容易证明，\(m \perp AB\).故\(\angle PAB\)是平面\(\pi\)与平面\(\pi'\)交成的二面角的平面角.

在\(\text{Rt}\triangle ABP\)中，\(\angle APB = \beta\)，所以

\[ PB = PA\cos\beta. \tag{1} \]

设过\(P\)的母线与圆\(S\)交于点\(Q_1\)，则在\(\text{Rt}\triangle PQ_1B\)中，\(\angle Q_1PB = \alpha\)，所以

\[ PB = PQ_1\cos\alpha = PF_1\cos\alpha. \tag{2} \]

由(1)(2)得：

\[ \frac{PF_1}{PA} = \frac{\cos\beta}{\cos\alpha}. \]

因为 \(0 {\lt} \alpha {\lt} \beta {\lt} \dfrac{\pi}{2}\)， 所以 \(\dfrac{PF_1}{PA} = \dfrac{\cos\beta}{\cos\alpha} {\lt} 1\).

图

由上所述可知，椭圆的准线为\(m\)，椭圆上任一点到焦点的距离与到准线的距离之比为常数\(\dfrac{\cos\beta}{\cos\alpha}\)，因此椭圆的离心率\(e = \dfrac{\cos\beta}{\cos\alpha}\)，即椭圆的离心率等于截面和圆锥的轴的交角的余弦与圆锥的母线和轴所成角的余弦之比.

定理 4. 圆锥截线是双曲线

当\(\beta {\lt} \alpha\)时，平面\(\pi\)与圆锥的两部分相交. 在圆锥的两部分分别嵌入球，与平面\(\pi\)的两个切点分别是\(F_1\)、\(F_2\)，与圆锥两部分截得的圆分别为\(S_1\)、\(S_2\).

在截口上任取一点\(P\)，连接\(PF_1\)、\(PF_2\). 过\(P\)和圆锥的顶点\(O\)作母线，分别与两个球相切于\(Q_1\)、\(Q_2\)，则\(PF_1 = PQ_1\)，\(PF_2 = PQ_2\). 所以\(|PF_1 - PF_2| = |PQ_1 - PQ_2| = Q_1Q_2\).

由于\(Q_1Q_2\)为两圆\(S_1\)、\(S_2\)所在平行平面之间的母线段长，因此\(Q_1Q_2\)的长为定值.

由上所述可知，双曲线的结构特点是：双曲线上任意一点到两个定点（即双曲线的两个焦点）的距离之差的绝对值为常数.

图

在截口上任取一点\(P\)，连接\(PF_2\)，过\(P\)和圆锥顶点\(O\)作母线，与球相切于\(Q_2\)，球与圆锥的交线为圆\(S_1\)、\(S_2\)， 记圆\(S_2\)所在的平面为\(\pi'\)，截面\(\pi\)与平面\(\pi'\)相交于直线\(m\)，过点\(P\)在\(\pi\)中作\(PA \perp m\)，交\(m\)于点\(A\)，过点\(P\)作平面\(\pi'\)的垂线，垂足为\(B\)： 连接\(Q_2B\)，\(AB\)，则\(\triangle PBQ_2\)为直角三角形，且\(\angle Q_2PB=\alpha\)．

\(\therefore \triangle PAB\)也是直角三角形，且\(\angle APB=\beta\)．

在\(\text{Rt}\triangle PBQ_2\)中，\(PB=PQ_2\cos\alpha\)，

在\(\text{Rt}\triangle PAB\)中，\(PB=PA\cos\beta\)．

\(\therefore \dfrac{PQ_2}{PA} = \dfrac{\cos\beta}{\cos\alpha}\)．

\(\because PF_2=PQ_2\)， \(\therefore \dfrac{PF_2}{PA} = \dfrac{\cos\beta}{\cos\alpha}=\)定值．

\(\because 0 {\lt} \beta {\lt} \alpha {\lt} \dfrac{\pi}{2}\)， \(\therefore \cos\beta {\gt} \cos\alpha\)． \(\therefore \dfrac{PF_2}{PA} = \dfrac{\cos\beta}{\cos\alpha} {\gt} 1\)．

\(\therefore m\)是双曲线的一条准线，且\(e = \dfrac{\cos\beta}{\cos\alpha} {\gt} 1\)．

图

定理 5. 圆锥截线是抛物线

当\(\beta = \alpha\)时，设平面\(\pi\)与圆锥内切球相切于点\(F_1\)，球与圆锥的交线为\(S\)，过该交线的平面为\(\pi'\)，\(\pi\)与\(\pi'\)相交于直线\(m\)， 在平面\(\pi\)与圆锥的截线上任取一点\(P\)，连接\(PF_1\)，过点\(P\)作\(PA \perp m\)，交\(m\)于点\(A\)，过点P作\(\pi'\)的垂线，垂足为\(B\)，连接\(AB\)，则\(AB \perp m\)，故\(\angle PAB\)是\(\pi\)与\(\pi'\)所成二面角的平面角.连接点\(P\)与圆锥的顶点，与\(S\)相交于点\(Q_1\)，连接\(BQ_1\)，则设\(\angle BPQ_1=\alpha\)，\(\angle APB=\beta\)．

在\(\text{Rt}\triangle APB\)中，\(PB = PA\cos\beta\)，

在\(\text{Rt}\triangle PBQ_1\)中，\(PB = PQ_1\cos\alpha\)，

\(\therefore \dfrac{PQ_1}{PA} = \dfrac{\cos\beta}{\cos\alpha}\)，

又\(\because PQ_1 = PF_1\)，\(\alpha = \beta\)， \(\therefore \dfrac{PF_1}{PA} = 1\)，

\(\therefore\)动点P到定点\(F_1\)的距离等于它到定直线\(m\)的距离，

故当\(\alpha = \beta\)时平面\(\pi\)与圆锥的交线为抛物线.

图

题型

曲线与方程

题型 1. 由条件求轨迹与曲线方程

题型识别：给出点到定点、定直线距离或比例条件，要求判断轨迹、求方程、参数范围.

核心思路：先把几何语言翻译为距离式，再根据定义识别圆、椭圆、双曲线、抛物线. 坐标法中注意平方后的范围和退化情形.

解题步骤：

  1. 设动点\(P(x,y)\)，写出距离或比例；

  2. 化简、平方并配方为标准形式；

  3. 根据系数符号与参数关系判断曲线类型；

  4. 补充原条件产生的范围、端点与退化限制.

易错点：平方后不检验增根；将焦点落在曲线上等退化情形忽略；标准方程长短轴方向判断错误.

椭圆

题型 1. 椭圆定义与标准方程

题型识别：给出焦点、长轴长、短轴长、离心率或椭圆上一点，要求标准方程、参数或点的坐标范围.

核心思路：牢记\(a^2=b^2+c^2\)、\(e=\dfrac ca\)及焦点到椭圆上点距离和为\(2a\). 先确定长轴方向，再设置正确的分母位置.

解题步骤：

  1. 判断焦点在\(x\)轴还是\(y\)轴；

  2. 由已知量列\(a,b,c,e\)的关系；

  3. 求出参数后写标准方程；

  4. 代入已知点或检查焦点位置验证.

易错点：将\(a,b\)大小颠倒；焦点坐标写为\(\pm a\)；离心率范围未检查\(0{\lt}e{\lt}1\).

题型 2. 椭圆焦点三角形

题型识别：椭圆上一点\(P\)与两焦点构成三角形，要求边长、面积、角度、中线或最值.

核心思路：设\(PF_1=m,PF_2=n\)，则\(m+n=2a\)，焦边\(F_1F_2=2c\). 将问题转为边长固定和的三角形，再结合余弦定理、面积公式或中线公式.

解题步骤：

  1. 在焦点三角形中标出\(m+n=2a\)与底边\(2c\)；

  2. 将目标量改写为\(m,n\)或夹角的函数；

  3. 使用余弦定理、海伦公式或面积\(\dfrac12mn\sin\theta\)；

  4. 利用\(m,n{\gt}0\)和三角形不等式确定范围及等号.

易错点：把焦距\(2c\)误作\(c\)；只用\(m+n=2a\)却忽略焦点三角形存在条件；面积取等位置不在椭圆上.

题型 3. 椭圆设点、设线与最值

题型识别：椭圆上动点、动弦或动直线，要求距离、数量积、斜率、面积的最值或范围.

核心思路：点可设为\((x_0,y_0)\)并用椭圆方程消元，或用三角参数\((a\cos\theta,b\sin\theta)\)处理有界最值. 先选能让目标式最简的设法.

解题步骤：

  1. 判断目标更适合坐标设点还是三角参数；

  2. 将曲线方程作为约束，消去一个变量；

  3. 化为单变量函数、二次式或三角式求范围；

  4. 检查取等点是否满足椭圆及题目额外条件.

易错点：只设点不使用曲线方程；参数角范围不完整；除以\(x_0,y_0\)前未排除为零.

题型 4. 椭圆离心率与参数范围

题型识别：由焦点、弦、面积、斜率或不等式条件，求椭圆离心率\(e\)的范围或最值.

核心思路：将所有参数统一为\(a,c\)或\(e=\dfrac ca\)，再用\(a^2=b^2+c^2\)和椭圆存在条件\(0{\lt}e{\lt}1\). 几何条件常先转为焦点三角形或坐标关系.

解题步骤：

  1. 确定以\(a\)还是\(c\)为主元；

  2. 用基本关系消去\(b\)或比例常数；

  3. 将不等式化为关于\(e\)的范围；

  4. 与\(0{\lt}e{\lt}1\)取交并检查端点可取性.

易错点：只解代数不等式而漏椭圆定义域；端点导致\(b=0\)仍保留；焦点位置方向没有统一.

双曲线

题型 1. 双曲线定义与标准方程

题型识别：给出焦点、实轴、虚轴、渐近线、离心率或点的距离差，要求方程或参数.

核心思路：双曲线满足\(|PF_1-PF_2|=2a\)、\(c^2=a^2+b^2\)、\(e=\dfrac ca{\gt}1\). 先辨认实轴方向，再按横轴、纵轴分别写标准方程.

解题步骤：

  1. 判断实轴方向及焦点坐标；

  2. 由距离差、渐近线或离心率建立\(a,b,c\)关系；

  3. 求参数后写出标准方程；

  4. 核对\(c{\gt}a{\gt}0,b{\gt}0,e{\gt}1\).

易错点：误用椭圆关系\(c^2=a^2-b^2\)；绝对值距离差去绝对值时不分支；渐近线斜率写倒.

题型 2. 双曲线焦点三角形

题型识别：双曲线上一点与两焦点构成三角形，要求边长、面积、角度或范围.

核心思路：两焦半径之差绝对值为\(2a\)，底边为\(2c\). 需按点所在左右支或两焦半径大小决定去绝对值方向，再用三角形计算.

解题步骤：

  1. 设\(PF_1=m,PF_2=n\)，写\(|m-n|=2a\)；

  2. 根据分支位置确定\(m-n\)的正负；

  3. 用余弦定理、面积公式或中线公式处理目标；

  4. 结合三角形不等式与焦点三角形存在条件取值.

易错点：忽略距离差的绝对值；把两支混在同一套符号中；忘记焦点三角形可能退化的边界.

题型 3. 渐近线的图形分析与运算

题型识别：双曲线与渐近线、平行线、三角形或面积结合，要求求参数、斜率、面积或证明关系.

核心思路：渐近线\(x^2/a^2-y^2/b^2=0\)提供双曲线的方向骨架. 题目中点远离中心、直线斜率或面积结构常可通过渐近线补形、相似或坐标关系简化.

解题步骤：

  1. 写出两条渐近线并标明斜率；

  2. 将给定直线、点与渐近线作平行、交点或面积联系；

  3. 用相似三角形、斜率或面积比转化；

  4. 最后回代双曲线方程验证点、线位置.

易错点：将渐近线当作双曲线的一部分；横、纵轴型渐近线公式混用；只凭图像判断不做代数验证.

抛物线

题型 1. 抛物线标准方程与定义

题型识别：给出焦点、准线、顶点、开口方向、点到焦点或准线距离，要求标准方程或参数.

核心思路：以\(y^2=2px\)为例，焦点\(\left(\dfrac p2,0\right)\)、准线\(x=-\dfrac p2\). 先确定开口方向与顶点位置，再由焦点到准线距离确定\(p\).

解题步骤：

  1. 判断顶点是否在原点及开口轴方向；

  2. 写出对应焦点和准线的一般关系；

  3. 由已知距离、点坐标或切线条件求\(p\)；

  4. 检查\(p{\gt}0\)及方程开口方向.

易错点：把\(p\)当作焦点横坐标；\(y^2=2px\)与\(y^2=4px\)体系混用；准线符号写反.

题型 2. 抛物线定义与焦半径

题型识别：抛物线上点与焦点、准线、切线或特殊三角形结合，要求长度、比例、面积或角度.

核心思路：焦半径等于点到准线距离. 对\(y^2=2px\)上点\((x_0,y_0)\)，\(|PF|=x_0+\dfrac p2\)，可把斜边或距离直接化为横坐标.

解题步骤：

  1. 标出焦点、准线及点到准线的垂足；

  2. 用定义将\(PF\)替换为到准线的距离；

  3. 将长度关系与坐标或直角三角形结合；

  4. 用抛物线方程消去\(y_0\)或\(x_0\).

易错点：焦半径误写为横坐标\(x_0\)；点在不同开口方向时公式未调整；垂足取到错误的准线.

题型 3. 抛物线动点、动弦与韦达

题型识别：直线与抛物线相交于两点，要求弦长、中点、斜率、面积、定值或最值.

核心思路：设直线为\(y=kx+m\)或参数式，与抛物线联立得到一元二次方程. 用韦达定理处理横坐标和、积，避免直接解根；竖直弦需单独讨论.

解题步骤：

  1. 判断直线是否可设斜率，必要时单列竖直线；

  2. 联立曲线与直线，整理为关于\(x\)或\(y\)的二次方程；

  3. 用韦达定理求\(x_1+x_2,x_1x_2\)；

  4. 将弦长、面积或中点坐标化为对称式并消元.

易错点：默认斜率存在漏竖直弦；只用判别式不保证两点不同；韦达公式与二次项系数对应错误.

题型 4. 圆锥曲线的二级结论调用

题型识别：题目出现焦点弦、中点弦、焦半径、第三定义、斜率积或焦点三角形面积等典型结构.

核心思路：先识别结论适用的曲线和前提，再直接调用已有二级结论；若条件与标准模型有偏移，先通过平移、对称或坐标替换还原模型.

解题步骤：

  1. 确定曲线类型、轴向与焦点位置；

  2. 对照结论检查是否满足焦点弦、过中心弦或中点条件；

  3. 代入参数并完成计算；

  4. 若不满足前提，退回联立韦达或定义法，不强套结论.

易错点：椭圆、双曲线的符号结论互用；未验证弦是否过焦点；将特殊结论当成任意弦结论.