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不等式

知识点

不等式的性质与解不等式

定义 1. 不等关系与不等式

在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系， 例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、 不超过或不少于等.类似于这样的问题，反映在数量关系上， 就是相等与不等.相等用等式表示，不等用不等式表示.

用符号 \(\neq\)、\({\gt}\)、\({\lt}\)、\(\geq\)、\(\leq\) 连接两个数或代数式 所得的式子叫做不等式.

常见文字转化：不大于 \(\Leftrightarrow \leq\)，不小于 \(\Leftrightarrow \geq\)，至少 \(\Leftrightarrow \geq\)，至多 \(\Leftrightarrow \leq\).

定义 2. 实数大小基本事实

关于实数 \(a\) ， \(b\) 大小的比较，有以下基本事实：

\(a {\gt} b \Leftrightarrow a - b {\gt} 0\) ； \(a = b \Leftrightarrow a - b = 0\)； \(a {\lt} b \Leftrightarrow a - b {\lt} 0\)

基于上述事实，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小.

对于两个正数\(a,b\)，有以下结论：

\(\dfrac{a}{b} {\gt} 1 \Leftrightarrow a {\gt} b\)； \(\dfrac{a}{b} = 1 \Leftrightarrow a = b\)； \(\dfrac{a}{b} {\lt} 1 \Leftrightarrow a {\lt} b\)

基于上述结论，要比较两个正数的大小，可以转化为比较它们的商与1的大小.

性质 1. 等式的性质

自反性: 如果 \(a = b\)，那么 \(b = a\)

传递性: 如果 \(a = b\)，\(b = c\)，那么 \(a = c\)

可加性: 如果 \(a = b\)，那么 \(a\pm c = b\pm c\)

可乘性: 如果 \(a = b\)，那么 \(ac = bc\)

可除性: 如果 \(a = b\)，\(c\neq0\)，那么 \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{c}\)

补充：如果 \(b\neq d\)，\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)，那么\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\pm c}{b\pm d}\)

性质 2. 不等式的性质

对称性：\(a {\gt} b\Leftrightarrow b {\lt} a\);  传递性：\(a {\gt} b\)且\(b {\gt} c\Rightarrow a {\gt} c\);

可加性：\(a {\gt} b\Rightarrow a + c {\gt} b + c\)

可乘性：\(a {\gt} b\)且\(c {\gt} 0\Rightarrow \htmlClass{blank}{ac {\gt} bc}\)

     \(a {\gt} b\)且\(c {\lt} 0\Rightarrow \htmlClass{blank}{ac {\lt} bc}\)

同向可加性：\(a {\gt} b\)且\(c {\gt} d\Rightarrow a + c {\gt} b + d\)

同向同正可乘性：\(a {\gt} b {\gt} 0\)且\(c {\gt} d {\gt} 0\Rightarrow ac {\gt} bd\)

可乘方性：\(a {\gt} b {\gt} 0\Rightarrow a^{n}{\gt}b^{n}\quad(n\in\mathbf{N}^{*})\)

定义 3. 分式不等式及其解法

一般地，分式不等式是指含有分式的不等式.

求解分式不等式通常先移项通分，转化为有理整式不等式(组)求解.

设\(f(x),g(x)\)为多项式函数，且\(g(x)\neq0\)，则有：

\(\dfrac{f(x)}{g(x)} {\gt} 0 \iff f(x)g(x) {\gt} 0\)，   \(\dfrac{f(x)}{g(x)} \geq 0 \iff f(x)g(x) \geq 0\)且\(g(x) \neq 0\).

\(\dfrac{f(x)}{g(x)} {\lt} 0 \iff f(x)g(x) {\lt} 0\)，   \(\dfrac{f(x)}{g(x)} \leq 0 \iff f(x)g(x) \leq 0\)且\(g(x) \neq 0\).

定义 4. 绝对值不等式及其解法

一般地，含有绝对值符号的不等式称为绝对值不等式．

绝对值不等式的本质是“距离不等式”，例如 \(|x-a|\) 表示数轴上点 \(x\) 到点 \(a\) 的距离．

  1. 平移型绝对值不等式：当 \(m{\gt}0\) 时，

    \(|x-a|{\lt}m \Longleftrightarrow a-m{\lt}x{\lt}a+m\)；\(|x-a|\leqslant m \Longleftrightarrow a-m\leqslant x\leqslant a+m\)；

    \(|x-a|{\gt}m \Longleftrightarrow x{\gt}a+m\) 或 \(x{\lt}a-m\)；\(|x-a|\geqslant m \Longleftrightarrow x\geqslant a+m\) 或 \(x\leqslant a-m\)．

  2. 一般型绝对值不等式：当 \(m{\gt}0\) 时，

    \(|f(x)|{\lt}m \Longleftrightarrow -m{\lt}f(x){\lt}m\)；\(|f(x)|\leqslant m \Longleftrightarrow -m\leqslant f(x)\leqslant m\)；

    \(|f(x)|{\gt}m \Longleftrightarrow f(x){\gt}m\) 或 \(f(x){\lt}-m\)；\(|f(x)|\geqslant m \Longleftrightarrow f(x)\geqslant m\) 或 \(f(x)\leqslant -m\)．

  3. 右端含变量的不等式：对于形如 \(|f(x)|{\lt}g(x)\) 或 \(|f(x)|\leqslant g(x)\) 的不等式，需先保证右端非负．其中

    \(|f(x)|{\lt}g(x) \Longleftrightarrow g(x){\gt}0\) 且 \(-g(x){\lt}f(x){\lt}g(x)\)；\(|f(x)|\leqslant g(x) \Longleftrightarrow g(x)\geqslant 0\) 且 \(-g(x)\leqslant f(x)\leqslant g(x)\)．

    对于形如 \(|f(x)|{\gt}g(x)\) 或 \(|f(x)|\geqslant g(x)\) 的不等式，若 \(g(x)\) 的符号不确定，先讨论 \(g(x)\) 的正负，再分类求解．

  4. 平方转化法：由于绝对值恒非负，若不等式两边均为非负量，则可平方转化．例如

    \(|f(x)|\leqslant |g(x)| \Longleftrightarrow f^2(x)\leqslant g^2(x)\)， \(|f(x)|{\lt}|g(x)| \Longleftrightarrow f^2(x){\lt}g^2(x)\)．

    常用变形： \(f^2(x)-g^2(x)\leqslant 0 \Longleftrightarrow [f(x)-g(x)][f(x)+g(x)]\leqslant 0\)．

  5. 特殊情况：\(|x|{\lt}0\) 无解，\(|x|\leqslant 0 \Longleftrightarrow x=0\)，\(|x|{\gt}0 \Longleftrightarrow x\neq 0\)，\(|x|\geqslant 0 \Longleftrightarrow x\in\mathbb{R}\)；

    当 \(m{\lt}0\) 时，\(|x|{\lt}m\)，\(|x|\leqslant m\) 均无解，\(|x|{\gt}m\)，\(|x|\geqslant m\) 的解集均为 \(\mathbb{R}\)．

注意： 解绝对值不等式时，若右端为常数，要先判断常数的正负；若右端为含 \(x\) 的式子，不能直接套用基本公式，应先讨论右端符号或转化为等价不等式组．

定义 5. 根式不等式及其解法

根式不等式是指含有根式的未知数的不等式，一般可分为以下几类：

  1. 含有一个根式的不等式，如\(\sqrt{f(x)} {\gt} g(x)\)或\(\sqrt{f(x)} {\lt} g(x)\)；

    \(\sqrt{f(x)} {\gt} g(x) \iff \begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) {\lt} 0 \end{cases} \text{或} \begin{cases} \htmlClass{blank}{f(x) {\gt} 0} \\ \htmlClass{blank}{g(x) \geq 0} \\ \htmlClass{blank}{f(x) {\gt} g(x)^2} \end{cases}\)    \(\sqrt{f(x)} {\lt} g(x) \iff \begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) {\gt} 0 \\ f(x) {\lt} g(x)^2 \end{cases}\)

  2. 含有两个根式的不等式，如\(\sqrt{f(x)} {\gt} \sqrt{g(x)}\)或\(\sqrt{f(x)} {\lt} \sqrt{g(x)}\)；

    \(\sqrt{f(x)} {\gt} \sqrt{g(x)} \iff \begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \\ f(x) {\gt} g(x) \end{cases}\)    \(\sqrt{f(x)} {\lt} \sqrt{g(x)} \iff \begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \\ f(x) {\lt} g(x) \end{cases}\)

定义 6. 高次不等式与穿针引线法

一元高次不等式通常先进行因式分解，化为\((x - x_1)(x - x_2)\dots(x - x_n) {\gt} 0(\text{或} {\lt} 0)\)的形式，然后用穿针引线法求解.首先保证每个因式中\(x\)的系数为正，然后从右侧画起，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负出现，特别要注意“奇穿偶不穿”，“奇”“偶”指的是某个因式的次数.

例如，解\((x + 1)(x - 2)^2(x - 3)(x - 4)^3 \leq 0\)，解集为\(\{x \mid x \leq -1 \text{ 或 } x = 2 \text{ 或 } 3 \leq x \leq 4\}\)，对应的穿针引线图：

图

广义的穿针引线法也适用于多个具有唯一零点且零点两侧符号可判断的函数乘积不等式．

例如 \((e^x-1)(x-2){\gt}0\) 中，\(e^x-1=0\) 的零点为 \(x=0\)，\(x-2=0\) 的零点为 \(x=2\)，两个因式在各自零点两侧均发生符号变化，故解集为 \(\{x\mid x{\lt}0 \text{ 或 } x{\gt}2\}\)．

注意： 穿针引线法的前提是先因式分解并找准各零点及其重数；若某因式写成 \(a-x\) 的形式，应先化为 \(-(x-a)\) 或整体考虑首项系数对最右侧符号的影响．

基本不等式

定义 1. 基本不等式

  1. 重要不等式：\(\forall a, b \in \mathbf{R}\) , \(a^2 + b^2 \geq 2ab\) , 当且仅当 \(a = b\) 时取等号.

  2. 基本（均值）不等式：设\(a {\gt} 0\)，\(b {\gt} 0\)，则

    \[ \htmlClass{blank}{\dfrac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}} \]

    当且仅当\(\htmlClass{blank}{a = b}\)时取等号. 其中\(\dfrac{a + b}{2}\)叫做正数\(a\)，\(b\)的算术平均数， \(\sqrt{ab}\)叫做正数 \(a\)，\(b\) 的几何平均数.

    基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

    当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.

    基本不等式中的 \(a, b\) 可以换成一些复杂的式子，只要保证这些式子是正的即可.

  3. 利用基本不等式求最值： 基本不等式常用求代数式的最值时运用口诀可简记为“一正、二定、三相等”.

    1. 一正：\(a\)，\(b\)均为正数；

    2. 二定：用基本不等式求最值时应满足和为定值或积为定值.

      但需注意，若和或积不为定值，基本不等式仍然是成立的，只是求不出最值；

    3. 三相等：必须验证等号能取到，上述定值才是最值.

  4. 基本不等式的几何表示：

    如图，可证 \(\triangle ACD\sim \triangle DCB\) ，因而 \(CD = \sqrt{ab}\) ．由于 \(CD\) 小于或等于圆的半径，用不等式表示为：

    \[ \sqrt {a b} \leqslant \frac {a + b}{2}. \]

    显然，当且仅当点 \(C\) 与圆心重合，即当 \(a=b\) 时，上述不等式的等号成立.

    图

  5. 基本不等式\(n\)元形式：设\(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\)均为正数，则

    \[ \htmlClass{blank}{\dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}\geq\sqrt[n]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}} \]

    当且仅当\(\htmlClass{blank}{x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}\)时取等号.

    例如，当\(n = 3\)时，可得到三个正数\(x_{1},x_{2},x_{3}\)满足\(\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}\geq\sqrt[3]{x_{1}x_{2}x_{3}}\)，取等条件是\(x_{1}=x_{2}=x_{3}\).

  6. 不等式链： “调和平均 \(\leq\) 几何平均 \(\leq\) 算术平均 \(\leq\) 平方平均”

    \[ \htmlClass{blank}{\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}} \leq \htmlClass{blank}{\sqrt{ab}} \leq \htmlClass{blank}{\frac{a + b}{2}} \leq \htmlClass{blank}{\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}}\text{ （当且仅当 } a = b \text{ 时取等）} \]

    不等式链中比较常用的是后三项的大小关系， 且常以平方形式 \(ab \leq \left(\dfrac{a + b}{2}\right)^2 \leq \dfrac{a^2 + b^2}{2}\) 出现， 此时 \(a, b\) 可以为任意实数。

基本不等式证明：先证重要不等式\(a^{2}+b^{2}\geq2ab\)（\(\forall a,b\in\mathbf{R}\)）：因\((a - b)^{2}\geq0\)，展开即得\(a^{2}+b^{2}-2ab\geq0\)，故\(a^{2}+b^{2}\geq2ab\)，当且仅当\(a = b\)时取等. 再设\(a{\gt}0\)，\(b{\gt}0\)，用\(\sqrt{a}\)，\(\sqrt{b}\)分别代替上式中的\(a\)，\(b\)，得\(a + b\geq2\sqrt{ab}\)，即\(\dfrac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，当且仅当\(a = b\)时取等. （亦可用分析法：要证\(\sqrt{ab}\leq\dfrac{a + b}{2}\)，只需\(2\sqrt{ab}\leq a + b\)，即\((\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\geq0\)，显然成立.）

结论 1. 基本不等式的常用变形与求最值模型

  1. 常见变形 \(a^{2}+b^{2}\geq2ab\)   \(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\geq2 \; (ab{\gt}0)\)   \(\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} \leq -2 \; (ab {\lt} 0)\)

    \(\left( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \right)(a + b) \geq 4 \; (ab {\gt} 0)\)   \(a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca\)

  2. 常见求最值模型

    1. \(m {\gt} 0,n {\gt} 0,mx+\dfrac{n}{x}\geq2\sqrt{mn}\)，当且仅当\(x = \sqrt{\dfrac{n}{m}}\)时取等;

    2. \(m {\gt} 0,n {\gt} 0,mx+\dfrac{n}{x - a}=m(x - a)+\dfrac{n}{x - a}+ma\geq2\sqrt{mn}+ma\)，当且仅当\(x = a + \sqrt{\dfrac{n}{m}}\)时取等;

    3. \(a {\gt} 0,c {\gt} 0,\dfrac{x}{ax^{2}+bx + c}=\dfrac{1}{ax + b+\dfrac{c}{x}}\leq\dfrac{1}{2\sqrt{ac}+b}\)，当且仅当\(x=\sqrt{\dfrac{c}{a}}\)时取等;

    4. \(m {\gt} 0,n {\gt} 0,x \in \left(0,\dfrac{n}{m}\right), \; x(n - mx)=\dfrac{mx(n - mx)}{m}\leq\dfrac{1}{m}\cdot(\dfrac{mx + n - mx}{2})^{2}=\dfrac{n^{2}}{4m}\)，

      当且仅当\(x=\dfrac{n}{2m}\)时取等.

    5. 和积共存：对于\(m(a + b) + nab = c\)，其中\(a, b, m, n, c \in R^{*}\).

      若求\(a + b\)或\(ab\)的最值，由\(a + b \geq 2\sqrt{ab} \Rightarrow ab \leq \dfrac{(a + b)^2}{4}\)，转化为\(2m\sqrt{ab} + nab \leq c\)或\(m(a + b) + n\dfrac{(a + b)^2}{4} \geq c\).

      若求\(ma + nb\)的最值，将\(m(a + b) + nab = c\)因式分解成为\((a + x)(b + y) = z\)形式，再用基本不等式求出\(ma + nb\)最值. 也可以考虑进行因式分解\((a + x)(b + y) = z\)，再用柯西不等式分析.

    6. “1”的代换：已知\(ax + by = m\)，求\(\dfrac{c}{x} + \dfrac{d}{y}\)的最值. 或已知\(\dfrac{c}{x} + \dfrac{d}{y}=m\)，求\(ax + by\)的最值.

      （\(a, b, c, d,m\)为正常数，\(x, y {\gt} 0\)）可利用不等式： \(\left( ax + by \right)\left( \dfrac{c}{x} + \dfrac{d}{y} \right) = ac + bd + \dfrac{adx}{y} + \dfrac{bcy}{x} \geq (\sqrt{ac} + \sqrt{bd})^2\)

其他常见不等式

定义 1. 绝对值三角不等式

绝对值三角不等式是数学中关于绝对值运算的重要不等式，其核心形式为：

\[ \htmlClass{blank}{||a| - |b|| \leq |a \pm b| \leq |a| + |b|} \]

\(|a + b| \leq |a| + |b|\) 等号成立条件： \(a, b\) 同号； \(||a| - |b|| \leq |a + b|\) 等号成立条件： \(a, b\) 异号

\(|a - b| \leq |a| + |b|\) 等号成立条件： \(a, b\) 异号； \(||a| - |b|| \leq |a - b|\) 等号成立条件： \(a, b\) 同号

几何意义： 从向量角度看，若将 \(a, b\) 视为向量，\(|a + b|\) 和 \(|a - b|\) 可看作三角形的边.根据三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边的性质，绝对值三角不等式可理解为向量模长的关系，这也是其名称的由来.

证明：由\((|a| + |b|)^{2} - |a + b|^{2} = 2(|ab| - ab)\geq0\)，且\(|a + b|\)、\(|a| + |b|\)均非负，得\(|a + b|\leq|a| + |b|\)（\(a\)，\(b\)同号时取等）. 在此式中用\(a + b\)、\(-b\)分别代替\(a\)、\(b\)，得\(|a|\leq|a + b| + |b|\)，即\(|a + b|\geq|a| - |b|\)；同理\(|a + b|\geq|b| - |a|\)，故\(|a + b|\geq\big||a| - |b|\big|\). 将\(b\)换成\(-b\)即得关于\(|a - b|\)的相应结论.

定义 2. 柯西不等式（人教A必修二P37-16）

  1. 柯西不等式：

    \[ (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2})\cdot(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots +b_{n}^{2})\geq(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n})^{2} \]

    当且仅当\(b_{i}=0(i = 1,2,\cdots,n)\)或存在实数\(\lambda\)使得\(a_{i}=\lambda b_{i}(i = 1,2,\cdots,n)\)时等号成立. 实际操作时，二维、三维形式的柯西不等式用得较多.

  2. 二维形式的柯西不等式：

    \[ \htmlClass{blank}{(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})\geq(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})^{2}} \text{ ，当且仅当 } \htmlClass{blank}{x_{1}y_{2}=x_{2}y_{1}} \text{ 时取等号} \]

  3. 三维形式的柯西不等式：

    \[ (x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2})(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2})\geq(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2})^{2} \]

    当且仅当\(x_{1}=y_{1}=z_{1}=0\)或存在实数\(\lambda\)使得\(\begin{cases}x_{2}=\lambda x_{1}\\y_{2}=\lambda y_{1}\\z_{2}=\lambda z_{1}\end{cases}\)时等号成立.

提示：用柯西不等式求最值的核心在于凑出柯西不等式的形式以及凑定值，在一些带有平方和结构的求最值问题中，使用柯西不等式可以快速调节系数，凑出定值.

  1. 一高一低和式配凑类型

    已知\(mx^2 + ny^2\)的值，求\(sx + ty\)的最值(\(m,n,s,t\)为常数)，可利用不等式： \((mx^2 + ny^2)(\dfrac{s^2}{m} + \dfrac{t^2}{n}) \geq (sx + ty)^2\)

  2. 同次积式配凑类型

    已知\(xy\)的值，求\((x + m)(y + n)\)的最值(\(m,n\)为常数)，可利用不等式： \((x + m)(y + n) \geq \left( \sqrt{xy} + \sqrt{mn} \right)^2\)

二维形式证明：作差\((x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})-(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})^{2}=(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})^{2}\geq0\)，即得二维柯西不等式，当且仅当\(x_{1}y_{2}=x_{2}y_{1}\)时取等.（一般形式可由判别式法证：构造\(f(t)=\sum(a_{i}t - b_{i})^{2}\geq0\)，其判别式\(\leq0\)即得.）

定义 3. 权方和不等式

设\(x\)，\(y\)均为正数，则

\[ \dfrac{a^{2}}{x}+\dfrac{b^{2}}{y}\geq \htmlClass{blank}{\dfrac{(a + b)^{2}}{x + y}},\text{ 当且仅当 }\htmlClass{blank}{\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}}\text{ 时取等号 } \]

权方和不等式常用于速求一些分式和的最值. 事实上，权方和不等式有更复杂、更一般化的形式，但高考范畴内上述特定条件下的权方和不等式用得最多，故其它形式此处不再给出.

证明：由柯西不等式\(\left(\dfrac{a^{2}}{x}+\dfrac{b^{2}}{y}\right)(x + y)\geq\left(\sqrt{\dfrac{a^{2}}{x}\cdot x}+\sqrt{\dfrac{b^{2}}{y}\cdot y}\right)^{2}=(a + b)^{2}\)，两边除以\(x + y\)即得\(\dfrac{a^{2}}{x}+\dfrac{b^{2}}{y}\geq\dfrac{(a + b)^{2}}{x + y}\)，当且仅当\(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\)时取等.

定义 4. 糖水不等式（人教A必修一P43-10、P141-13）

  1. 糖水不等式： 若\(a {\gt} b {\gt} 0, m {\gt} 0\)，则一定有

    \[ \htmlClass{blank}{\frac{b + m}{a + m} {\gt} \frac{b}{a}} \]

    解释：\(a\) 克糖水中含有 \(b\) 克糖 \((a {\gt} b {\gt} 0)\) ，再添加 \(m\) 克糖 \((m {\gt} 0)\) （假设全部溶解），糖水变甜了.

  2. 糖水不等式的倒数形式： 设\(a {\gt} b {\gt} 0, m {\gt} 0\)，则有：\(\dfrac{a}{b} {\gt} \dfrac{a + m}{b + m}\)

  3. 对数型糖水不等式： 设 \(a {\gt} b {\gt} 1\)，\(m {\gt} 0\)，则有：

    \[ \log_{a}b \htmlClass{blank}{{\lt}} \log_{a + m}(b + m) \Leftrightarrow \dfrac{\ln b}{\ln a} {\lt} \dfrac{\ln (b + m)}{\ln (a + m)} \]

    直观理解： 类比普通糖水不等式（往糖水中加糖更甜），对数型糖水不等式可理解为：当底数 \(a\) 和真数 \(b\) 同时增加正数 \(m\)（\(a {\gt} b {\gt} 1\)，\(m {\gt} 0\)），对数的值会增大.

    应用：\(\log_3{2} {\lt} \log_4{3} {\lt} \log_5{4} {\lt} \log_6{5} {\lt} \log_7{6}\)

对勾(双勾)函数与飘带(双刀)函数

定义 1. 对勾函数（人教A必修一P92）

图

定义 2. 飘带函数（人教A必修一P101-12）

图

性质 1. 对勾、飘带函数与双曲线

从圆锥曲线的视角来看，对勾函数与飘带函数 \(y = ax + \frac{b}{x}\) 均可转化为二次曲线的一般方程 \(x y - a x^2 - b = 0\)，其本质上都是中心在原点的双曲线（可通过坐标轴旋转化为标准方程）.

  1. 离心率的求解：双曲线的离心率由其渐近线的夹角决定. 对勾、飘带函数的渐近线分别为 \(x = 0\) 和 \(y = ax\). 求出两渐近线的夹角后， 根据双曲线渐近线倾斜角与离心率的关系，即可求得该双曲线的离心率.

  2. 实半轴长的求解：双曲线的实轴所在直线是两条渐近线所成夹角的平分线（经过函数图象所在区域的平分线）. 联立该角平分线方程与函数解析式，求出的交点即为双曲线的顶点，交点到原点的距离即为实半轴长.

题型

不等式性质与比较大小

题型 1. 利用不等式性质判断结论

题型识别： 这类题通常给出 \(a{\gt}b\)、\(a{\gt}b{\gt}0\)、\(0{\lt}a{\lt}b{\lt}1\)、\(c{\gt}d\) 等条件，要求判断若干不等式是否一定成立. 选项中常见加减、乘除、倒数、平方、开方、乘方、分式变形等.

核心思路： 每一步不等式变形都要核对使用条件：加减同数方向不变；乘除正数方向不变，乘除负数方向改变；同向不等式相乘一般要求两边同正；平方、开方、倒数都要特别关注正负和单调性.

解题步骤：

  1. 先标出题设中每个量的正负、大小顺序以及是否可能为 \(0\)；

  2. 对每个选项判断它用了哪条不等式性质；

  3. 条件满足时直接推导，条件不足时优先构造反例；

  4. 含分母、倒数、平方、根式时，重点检查分母是否为 \(0\)、符号是否固定；

  5. 若选项难以直接判断，可先用特殊值排除明显错误选项，再用性质证明剩余选项.

易错点：

  1. 看到 \(a{\gt}b\) 就误以为 \(a^2{\gt}b^2\)，忽略负数情形；

  2. 两边同时乘除含参数式时，没有讨论该式正负；

  3. 同向不等式相乘时忘记要求两边为正；

  4. 特殊值验证成立就误以为结论一定成立.

方法反思： 特殊值法只能用于“排除”或“寻找反例”，不能代替证明. 若某个特殊值代入后不成立，则该结论一定不恒成立；若特殊值代入后成立，还必须回到不等式性质本身进行严格推导.

题型 2. 作差法比较代数式大小

题型识别： 题目要求比较 \(A\) 与 \(B\) 的大小，或证明 \(A{\gt}B\)、\(A\ge B\)，代数式可能含平方、根式、分式、参数或多个变量，表面上不容易直接套用不等式性质.

核心思路： 作差法的本质是把比较大小转化为判断符号：

\[ A{\gt}B\Longleftrightarrow A-B{\gt}0. \]

得到差式后，常通过因式分解、配方、通分、平方差、有理化等方式判断符号.

解题步骤：

  1. 写出 \(A-B\)；

  2. 观察差式结构，选择因式分解、配方、通分或有理化；

  3. 利用题设条件判断每个因式、平方项或分母的符号；

  4. 得到 \(A-B\) 与 \(0\) 的关系，从而判断 \(A\) 与 \(B\) 的大小；

  5. 若要证明不等式，最后写清等号成立条件.

易错点：

  1. 差式化简方向不明确，越化越复杂；

  2. 因式分解后忽略某个因式可能变号；

  3. 根式有理化后没有检查分母为正；

  4. 只写“显然大于零”，却没有说明依据.

方法反思： 作差比较不一定一上来就硬展开. 如果差式含平方结构，要优先考虑配方；如果含根式，要考虑有理化或先观察根号内结构；如果通分后分子复杂，也可以换方向作差，选择更容易判断符号的一边.

题型 3. 作商法比较代数式大小

题型识别： 这类题中的两个代数式通常均为正，或题设能保证其为正，要求比较它们大小. 常见于幂、指数、对数、正分式、乘积型表达式的比较.

核心思路： 当 \(A{\gt}0\)、\(B{\gt}0\) 时，可用作商法：

\[ \frac AB{\gt}1\Longleftrightarrow A{\gt}B. \]

若商式能化为简单因式或已知单调函数，就比直接作差更方便.

解题步骤：

  1. 先确认 \(A\)、\(B\) 均为正；

  2. 构造 \(\dfrac AB\)，并化简；

  3. 判断 \(\dfrac AB\) 与 \(1\) 的大小关系；

  4. 将结论转化回 \(A\) 与 \(B\) 的大小；

  5. 若 \(A\)、\(B\) 的符号不固定，不宜直接作商，应回到作差或分类讨论.

易错点：

  1. 未确认两式同正就直接作商；

  2. 把 \(\dfrac AB{\lt}1\) 与 \(A{\lt}B\) 混用到负数情形；

  3. 分母可能为零却没有排除；

  4. 作商后化简不彻底，导致符号判断错误.

方法反思： 判断两个复杂不等式之间的充分、必要关系时，也可先把它们化成更简单的等价形式，再比较. 尤其遇到幂、指数、对数型表达式，作商往往比作差更自然.

题型 4. 由不等式条件求代数式取值范围

题型识别： 题目给出 \(m{\lt}A{\lt}n\)、\(p{\lt}B{\lt}q\) 或若干线性不等式，要求求 \(\lambda A+\mu B\)、\(ax+by\)、\(a-b\) 等式子的范围.

核心思路： 目标式能直接由已知不等式同向相加、相减、数乘得到时，直接组合；若不能直接得到，则用待定系数把目标式表示为已知式的线性组合.

解题步骤：

  1. 明确目标式和已知式之间的结构关系；

  2. 若目标式是已知式的线性组合，先解出组合系数；

  3. 正系数保持不等号方向，负系数改变方向；

  4. 对所得不等式同向相加，得到目标范围；

  5. 检查端点能否取到，必要时说明变量之间是否能同时取到端点.

易错点：

  1. 机械地把两个范围相减，忽略变量相关性；

  2. 乘以负数时不等号方向没有改变；

  3. 求出的只是粗范围，没有判断是否为准确范围；

  4. 开闭端点处理不准确.

方法反思： 当目标式与条件式关系不明显时，可以“设法凑目标”. 例如把 \(5x+y\) 写成 \((4x-y)\) 与 \((2x+y)\) 的线性组合，本质是用已知条件控制目标式，不要只凭直觉相加减.

不等式求解

题型 1. 含绝对值不等式的解法

题型识别： 题目中含 \(|x-a|\)、\(|f(x)|\)、\(|x-a|{\lt}m\)、\(|x-a|{\gt}m\) 或多个绝对值，要求求解集或参数范围.

核心思路： 简单绝对值不等式用距离意义或标准结论；复杂绝对值不等式用零点分段、整体换元、平方或几何意义处理.

解题步骤：

  1. 先判断右端常数的正负，\(m{\lt}0\)、\(m=0\) 要单独处理；

  2. 对 \(|x-a|{\lt}m\) 写为 \(a-m{\lt}x{\lt}a+m\)，对 \(|x-a|{\gt}m\) 写为 \(x{\lt}a-m\) 或 \(x{\gt}a+m\)；

  3. 含 \(|f(x)|\) 时，把 \(f(x)\) 看成整体；

  4. 多个绝对值时，找零点并分段去绝对值；

  5. 合并区间，并代回检查端点.

易错点：

  1. 把 \(|x-a|{\gt}m\) 错写成夹逼区间；

  2. 右端为负数时仍按普通公式处理；

  3. 分段后忘记与当前分段范围取交集；

  4. 平方时没有保证两边非负.

方法反思： 绝对值不等式本质上是“距离”与“分段”的结合. 低阶题优先用距离意义，高阶题再考虑分段；不要一看到绝对值就盲目平方.

题型 2. 根式不等式的解法

题型识别： 题目中含 \(\sqrt{f(x)}\)，如 \(\sqrt{f(x)}{\gt}g(x)\)、\(\sqrt{f(x)}{\lt}g(x)\)、\(\sqrt{f(x)}{\gt}\sqrt{g(x)}\)，要求求解集.

核心思路： 根式不等式首先保证根式有意义，其次判断能否平方. 平方前必须保证两边非负；若右端符号不确定，要分类讨论.

解题步骤：

  1. 先写出根式有意义条件，如 \(f(x)\ge0\)；

  2. 判断右端 \(g(x)\) 的符号；

  3. 若两边非负，再平方转化为普通不等式；

  4. 若右端可能为负，要分 \(g(x){\lt}0\) 与 \(g(x)\ge0\) 讨论；

  5. 求解后与定义域条件取交集.

易错点：

  1. 忘记根式有意义条件；

  2. 两边符号不明就直接平方；

  3. 解出平方后的不等式后忘记取交集；

  4. 对 \(\sqrt{f(x)}{\lt}g(x)\) 忽略必须有 \(g(x){\gt}0\).

方法反思： 根式不等式的关键不是“平方”，而是“能不能平方”. 先确定定义域和符号，再平方，能避免产生增根或漏解.

题型 3. 一元高次不等式与穿针引线法

题型识别： 题目给出若干一次因式或可因式分解的高次多项式，如 \((x-a)(x-b)^2(x-c){\gt}0\)，要求求解集.

核心思路： 先因式分解，找到所有零点及其重数，再用符号图或穿针引线法判断各区间符号. 奇数重根穿过数轴，偶数重根不穿过数轴.

解题步骤：

  1. 将不等式移项，化为一边为 \(0\)；

  2. 因式分解，并把每个一次因式的 \(x\) 系数化为正；

  3. 标出零点，按从小到大排列；

  4. 从最右侧区间判断符号，一般最高次项系数为正时右侧为正；

  5. 按“奇穿偶不穿”确定各区间符号，选出满足不等号的部分.

易错点：

  1. 忘记先把一次因式的 \(x\) 系数化正；

  2. 偶数重根处误以为符号改变；

  3. 含等号时忘记把使原式为 \(0\) 的点加入解集；

  4. 分母为零的点不能加入解集.

方法反思： 穿针引线法本质是符号分析. 初学时可画完整符号表，熟练后用曲线辅助判断. 遇到分式或含重根不等式时，仍然要遵守“零点可取、间断点不可取”的原则.

题型 4. 分式不等式的解法

题型识别： 题目含 \(\dfrac{f(x)}{g(x)}{\gt}0\)、\(\dfrac{f(x)}{g(x)}\le0\)，或多个分式相加减后形成不等式，要求求解集.

核心思路： 分式不等式通常先移项、通分，化为一个分式与 \(0\) 比较，再转化为分子分母符号分析. 不能随意两边同乘分母，因为分母符号可能变化.

解题步骤：

  1. 移项通分，化为 \(\dfrac{F(x)}{G(x)}\gtrless0\)；

  2. 标出分子零点和分母零点；

  3. 分母零点必须排除；

  4. 用符号表或穿针引线法判断各区间符号；

  5. 根据不等号选择区间，含等号时只加入分子零点.

易错点：

  1. 直接两边同乘分母而不讨论正负；

  2. 分母为 \(0\) 的点误加入解集；

  3. 通分时漏掉定义域限制；

  4. 含等号时没有区分分子零点和分母零点.

方法反思： 分式不等式可以等价转化为乘法不等式，但前提是始终保留分母不为零的限制. 处理时可把“分子零点”和“分母禁点”在数轴上用不同标记区分.

题型 5. 一元二次不等式的解法

题型识别： 题目为 \(ax^2+bx+c{\gt}0\)、\(ax^2+bx+c{\lt}0\) 或可化为一元二次不等式，要求求解集.

核心思路： 一元二次不等式与对应方程、二次函数图象密切相关. 先求根，再结合开口方向判断“根外”还是“根内”.

解题步骤：

  1. 移项，使一边为 \(0\)；

  2. 若二次项系数为负，可先乘以 \(-1\)，同时改变不等号方向；

  3. 求对应方程的根，或判断判别式；

  4. 画简图或使用口诀：开口向上时“大于取两边，小于取中间”；

  5. 根据 \({\gt}\)、\({\lt}\)、\(\ge\)、\(\le\) 决定端点是否取到.

易错点：

  1. 乘以 \(-1\) 后忘记改变不等号方向；

  2. 忽略判别式小于 \(0\) 的情形；

  3. 端点是否取等处理错误；

  4. 把方程的根误认为不等式的解集.

方法反思： 参考资料中多次强调，一元二次函数、方程、不等式是紧密联系的. 熟练后不必每次完整解释图象原理，但脑中一定要有二次函数草图，才能正确判断解集.

题型 6. 含参数一元二次不等式分类讨论

题型识别： 题目中二次不等式含参数，如 \(x^2-ax+1{\lt}0\)、\(ax^2+bx+c{\gt}0\)，要求求解集或参数范围.

核心思路： 含参数问题要先看“它是否始终是二次不等式”，再看根的个数和大小关系是否随参数变化. 参数可能影响二次项系数、判别式、根的顺序和端点位置.

解题步骤：

  1. 先讨论二次项系数是否可能为 \(0\)；

  2. 计算判别式，判断根的个数是否随参数变化；

  3. 若可求根，比较根的大小并写出区间；

  4. 若根式复杂，可考虑判别式、韦达定理或图象位置；

  5. 最后把各类参数情形合并，检查是否漏掉临界值.

易错点：

  1. 忘记讨论 \(a=0\) 导致二次不等式退化；

  2. 根的大小随参数变化时没有分类；

  3. 临界参数取等时解集发生变化却没有单独处理；

  4. 只看判别式，不看开口方向和端点限制.

方法反思： 含参数二次不等式的难点不在公式，而在分类标准. 参考资料中的反思指出，遇到根的个数、根的位置、区间限制时，要把判别式、对称轴、端点值结合起来看.

恒成立、存在性与实际应用

题型 1. 不等式恒成立求参数

题型识别： 题目常出现“对任意 \(x\in D\)，不等式恒成立”“在区间上恒成立”，要求求参数范围.

核心思路： 恒成立问题本质是最值问题：若 \(f(x,a)\ge0\) 对所有 \(x\in D\) 恒成立，常转化为 \(f(x,a)\) 的最小值不小于 \(0\)；若 \(f(x,a)\le0\) 恒成立，则转化为最大值不大于 \(0\).

解题步骤：

  1. 明确变量范围 \(D\) 和参数；

  2. 选择方法：图象法、判别式法、端点与顶点法、分离参数法；

  3. 若是二次函数，重点看开口、对称轴、端点值；

  4. 若能分离参数，化为 \(a\ge g(x)\) 或 \(a\le g(x)\)；

  5. 求 \(g(x)\) 的最值并写出参数范围.

易错点：

  1. 把“恒成立”误当成“有解”；

  2. 只检查端点，忘记顶点可能在区间内；

  3. 分离参数时不等号方向变错；

  4. 忽略定义域或区间开闭.

方法反思： 恒成立问题要从“所有 \(x\) 都满足”出发. 若区间有限，二次函数通常要看端点和顶点；若分离参数后目标函数简单，分离参数往往更清晰.

题型 2. 不等式有解、无解与存在性求参数

题型识别： 题目出现“存在 \(x\) 使不等式成立”“不等式有解”“不等式无解”，要求求参数范围.

核心思路： 存在性与恒成立方向相反：有解通常对应最大值或最小值能达到某一侧；无解则表示所有 \(x\) 都不满足，即转化为另一个恒成立问题.

解题步骤：

  1. 明确是“至少存在一个 \(x\)”还是“对任意 \(x\)”；

  2. 将“有解”转化为某函数最大值或最小值满足条件；

  3. 将“无解”转化为相反不等式恒成立；

  4. 若含参数位置复杂，可优先分离参数；

  5. 注意区间开闭对最值能否取到的影响.

易错点：

  1. 把存在性问题按恒成立处理；

  2. 忽略“至少有一个”和“所有”之间的逻辑差异；

  3. 开区间上只有上确界或下确界，却当成最值取到；

  4. 参数分离后最大值、最小值方向判断错误.

方法反思： 参考资料中“存在性”的处理常与“恒成立”互为反面. 做题时先翻译量词，再决定取最大值还是最小值，不要直接套公式.

题型 3. 分离参数法处理不等式

题型识别： 含参数不等式中，参数与变量混在一起，但可整理成 \(a{\gt}f(x)\)、\(a{\lt}f(x)\)、\(a\ge f(x)\)、\(a\le f(x)\) 的形式.

核心思路： 把参数单独放在一边，把问题转化为求函数 \(f(x)\) 在指定范围内的最大值或最小值.

解题步骤：

  1. 先确认能否等价分离参数，分母、根式、对数等条件要同步保留；

  2. 化成 \(a\ge f(x)\) 或 \(a\le f(x)\)；

  3. 根据恒成立或存在性决定取 \(\max f(x)\) 还是 \(\min f(x)\)；

  4. 求出 \(f(x)\) 的取值范围；

  5. 检查等号能否取到以及原式定义域是否满足.

易错点：

  1. 分离过程中两边乘除未知符号表达式；

  2. 忘记原不等式的定义域；

  3. \(a\ge f(x)\) 恒成立时误取 \(\min f(x)\)；

  4. 忽略等号能否取到.

方法反思： 分离参数法适合“参数只出现一次”或能整理为单边参数的题. 若分离后函数结构比原式更复杂，就应考虑图象法、判别式法或换元法.

题型 4. 一元二次不等式的实际应用

题型识别： 题目以利润、面积、费用、销量、几何长度等实际背景出现，最终需要建立一元二次不等式并求变量范围.

核心思路： 先把文字条件转化为代数关系，再列出目标不等式，最后解一元二次不等式. 关键不是计算，而是变量选择和限制条件.

解题步骤：

  1. 设出合适变量，并写明变量实际意义；

  2. 根据题意写出变量的基本范围；

  3. 建立目标量与变量之间的关系；

  4. 根据“大于”“不少于”“不超过”等文字列不等式；

  5. 解不等式后与实际范围取交集.

易错点：

  1. 变量范围没有根据实际意义限制；

  2. “至少”“至多”“不低于”“不超过”翻译错误；

  3. 解出数学范围后忘记回到实际问题；

  4. 单位和端点取舍处理不清.

方法反思： 实际应用题的核心是审题. 选取合适变量，把文字条件转化为数学不等式，再把解集翻译回实际含义，往往比求解本身更重要.

基本不等式求最值

题型 1. 直接利用基本不等式求最值

题型识别： 题目中出现正数 \(a,b\)，目标式形如 \(a+b\)、\(ab\)、\(x+\dfrac1x\)、\(mx+\dfrac n x\)，且条件中有明显的定和或定积.

核心思路： 基本不等式使用前先检查“一正、二定、三相等”：变量为正，和或积为定值，等号能取到.

解题步骤：

  1. 确认参与基本不等式的各项为正；

  2. 找到定和或定积；

  3. 套用 \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) 或 \(ab\le\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)；

  4. 写出等号成立条件；

  5. 检验等号条件是否与题设相容.

易错点：

  1. 项不为正就直接用基本不等式；

  2. 没有定值却强行求最值；

  3. 等号条件无法满足却仍把界值当最值；

  4. 忽略变量范围导致取等点不在定义域内.

方法反思： 参考资料反复强调，基本不等式不是看到两个正数就能求最值. 若和或积不为定值，不等式仍成立，但所得结果不一定是最值.

题型 2. 凑定值求最值

题型识别： 题目表面没有明显定和或定积，但经过拆项、配系数、补常数后，可凑出定值，如 \(2x+\dfrac1x\)、\(2(x-1)+\dfrac1{x-1}+2\).

核心思路： 把目标式改写成“两个正项，且乘积为定值”或“两个正项，且和为定值”的结构，再用基本不等式.

解题步骤：

  1. 观察目标式中是否有 \(x\) 与 \(\dfrac1x\)、\(x-a\) 与 \(\dfrac1{x-a}\) 等互倒结构；

  2. 通过拆项、补项、换元将变量部分凑成正项；

  3. 检查正性与定值；

  4. 应用基本不等式并写出取等条件；

  5. 回代检验取等点是否满足原条件.

易错点：

  1. 只看到形式相似，忽略 \(x-a\) 的正负；

  2. 拆项后改变了原式；

  3. 取等条件解出后不在定义域；

  4. 把下界误当最小值，未验证能取到.

方法反思： 很多题的“定值”是隐藏的. 参考资料中的例题常通过拆项、补常数、换元把隐藏定值暴露出来；遇到不明显的 \(x+\dfrac1x\) 型结构，不要急着套，先整理成标准正项.

题型 3. 和定积最大、积定和最小

题型识别： 条件给出 \(a+b=S\) 或 \(ab=P\)，要求求 \(ab\) 的最大值或 \(a+b\) 的最小值，或目标式可转化为这两类问题.

核心思路： 正数和为定值时，积有最大值；正数积为定值时，和有最小值. 本质仍是基本不等式及其等号条件.

解题步骤：

  1. 确认变量为正；

  2. 判断题目给的是定和还是定积；

  3. 定和求积最大，用 \(ab\le\left(\dfrac S2\right)^2\)；

  4. 定积求和最小，用 \(a+b\ge2\sqrt P\)；

  5. 检查取等条件 \(a=b\) 是否可实现.

易错点：

  1. 变量不为正时仍用该结论；

  2. 条件只是范围，不是定值；

  3. 等号条件与附加条件冲突；

  4. 定和、定积方向记反.

方法反思： 若题目没有直接给定和或定积，可以尝试通过条件变形得到. 若既没有定和也没有定积，基本不等式只能给出估计，不能直接给出最值.

题型 4. “1”的代换

题型识别： 题目给出 \(ax+by=1\)、\(\dfrac ax+\dfrac by=1\)、\(x+y=1\) 等条件，目标式为若干分式和，如 \(\dfrac m x+\dfrac n y\)，常要求最值.

核心思路： 把目标式乘以条件中的 \(1\)，制造可用基本不等式的交叉项，如

\[ \left(\frac m x+\frac n y\right)(ax+by). \]

展开后常出现 \(\dfrac{x}{y}\) 与 \(\dfrac{y}{x}\) 的结构.

解题步骤：

  1. 确认条件等式可看成 \(1\)；

  2. 将目标式写为“目标式 \(\times 1\)”；

  3. 展开，整理出常数项和互为倒数的正项；

  4. 用基本不等式求界；

  5. 检查多个等号条件能否同时成立.

易错点：

  1. 条件不是正项条件时直接使用；

  2. 展开后漏项；

  3. 多个等号条件不一致却仍认为取等；

  4. 忘记由取等条件回求原变量.

方法反思： “1”的代换是基本不等式中非常核心的模型. 资料中的反思指出，许多复杂分式题都能通过换元或拆分，化成“已知一个表达式等于 \(1\)，求另一个表达式最值”的结构.

题型 5. 消元思想处理基本不等式

题型识别： 条件中有等式约束，例如 \(x^2+xy-3=0\)、\(x+2y=1\)，目标式含两个变量，但其中一个变量可以用另一个表示.

核心思路： 当条件等式能方便地解出一个变量时，可先消元，把二元最值问题化为一元问题，再使用基本不等式、函数单调性或配方求解.

解题步骤：

  1. 判断能否由条件解出一个变量；

  2. 消元后代入目标式；

  3. 化简为一元表达式；

  4. 根据表达式结构选择基本不等式、对勾函数、配方或单调性；

  5. 回代检验变量范围与取等条件.

易错点：

  1. 消元后忘记新变量的取值范围；

  2. 消元使式子更复杂仍强行推进；

  3. 分母可能为零没有排除；

  4. 最值点回代后不满足原条件.

方法反思： 消元并不一定总是最优. 参考资料中指出，若消元后的式子反而复杂，应考虑换元、齐次化或统一结构；做题时要先判断消元后的目标是否更容易处理.

题型 6. 齐次化思想处理分式最值

题型识别： 目标式是分式和，分子分母次数不一致，条件中有 \(x+y=1\)、\(ax+by=1\) 等可用来统一次数的等式.

核心思路： 利用条件把低次项升次，使分子分母次数统一，进而凑出 \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\) 或 \(\dfrac{ax}{by}+\dfrac{by}{ax}\) 等结构.

解题步骤：

  1. 观察分式中分子、分母次数是否不齐；

  2. 利用已知等式把常数或一次项替换成同次表达式；

  3. 整理出可用基本不等式的互倒型结构；

  4. 使用基本不等式求界；

  5. 检查齐次化过程中是否引入额外条件.

易错点：

  1. 为齐次化随意乘除变量，造成等价性丢失；

  2. 忽略变量正性；

  3. 只追求形式相似，没有得到定值；

  4. 取等条件与原条件不一致.

方法反思： 资料中的“齐次化思想”强调：分式最值难题常不是因为基本不等式难，而是因为结构没整理出来. 先把次数统一，再找互倒结构，往往能把复杂题变成标准题.

题型 7. 统一结构思想

题型识别： 条件和目标看似不同，如条件含 \(ab\)，目标含 \(a+b\)；或条件含平方和，目标含一次式. 题目要求求最大值、最小值或范围.

核心思路： 将条件和目标统一到同一种结构中，例如都化成 \(a+b\)、都化成 \(ab\)、都化成平方和，或都化成某个整体变量.

解题步骤：

  1. 找出目标式真正需要控制的核心结构；

  2. 观察条件能否通过配方、因式分解、换元变成同一结构；

  3. 用基本不等式把条件结构和目标结构联系起来；

  4. 得到目标式范围；

  5. 检验等号成立条件.

易错点：

  1. 条件和目标结构不统一就直接套不等式；

  2. 只得到一个估计，未说明它是最值；

  3. 多次放缩后等号条件不能同时满足；

  4. 忽略隐藏变量范围.

方法反思： 很多基本不等式题的关键是“把已知条件化为目标结构”. 只要所给等式能转化成关于目标式的不等式，就能从结构上解决问题.

题型 8. 多次使用基本不等式

题型识别： 目标式含多个正项、多个分式或平方结构，一次基本不等式无法直接得到结果，需要分组多次使用.

核心思路： 多次使用基本不等式时，不仅要每一步成立，还要最终所有等号条件能够同时成立. 若不能同时成立，得到的界可能不是最值.

解题步骤：

  1. 先观察目标式能分成几组；

  2. 对每一组分别使用基本不等式；

  3. 写出每一步等号成立条件；

  4. 检查这些等号条件能否同时满足；

  5. 若不能同时满足，应重新分组或换用其他方法.

易错点：

  1. 每一步都成立，但等号条件互相矛盾；

  2. 分组方式不合理，得到的不是最优界；

  3. 忽略某一组正性条件；

  4. 把“下界”直接当成“最小值”.

方法反思： 参考资料中特别提醒：多次使用基本不等式时，最后必须检查等号能否同时取到. 这是判断答案是否真正为最值的关键.

拓展不等式与常见模型

题型 1. 柯西不等式的应用

题型识别： 题目含平方和，如已知 \(x^2+y^2\) 求 \(ax+by\) 的最大值，或已知 \(a+2b+3c\) 求 \(a^2+4b^2+9c^2\) 的最值.

核心思路： 柯西不等式适合“平方和”和“一次线性式”之间的最值问题. 关键是凑出

\[ (a_1^2+a_2^2+\cdots)(b_1^2+b_2^2+\cdots)\ge(a_1b_1+a_2b_2+\cdots)^2 \]

的结构.

解题步骤：

  1. 判断题中是否有平方和结构；

  2. 将目标式写成两个向量的内积形式；

  3. 选择合适的系数配凑已知定值；

  4. 应用柯西不等式得到上界或下界；

  5. 根据比例关系写出等号成立条件.

易错点：

  1. 系数配凑错误；

  2. 等号成立条件写错，应满足对应比例关系；

  3. 只得到平方后的范围，忘记还原正负；

  4. 没有注意目标式最大值和最小值可能同时存在.

方法反思： 柯西不等式的优势是“调系数、凑定值”. 当题目出现 \(Ax^2+By^2+Cz^2\) 与 \(ax+by+cz\) 的组合时，应优先想到柯西，而不是硬套基本不等式.

题型 2. 权方和不等式的应用

题型识别： 题目含 \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\)、\(\dfrac{x^2}{m}+\dfrac{y^2}{n}\) 等分式平方和，且分母之和或相关量为定值.

核心思路： 利用权方和不等式：

\[ \frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge \frac{(a+b)^2}{x+y}\quad(x{\gt}0,y{\gt}0). \]

它适合处理分式求和的最小值.

解题步骤：

  1. 确认分母为正；

  2. 将各项整理成 \(\dfrac{a^2}{x}\) 的形式；

  3. 判断 \(x+y\) 是否为定值或可控；

  4. 套用权方和不等式；

  5. 检查等号条件 \(\dfrac ax=\dfrac by\) 是否可满足.

易错点：

  1. 分母不是正数就使用权方和；

  2. 分子没有写成平方形式；

  3. 忘记检查等号条件；

  4. 分母之和不是定值时直接下结论.

方法反思： 权方和本质上是柯西不等式的常用变形. 遇到分式和较难拆时，先看能否整体套权方和，往往比逐项用基本不等式更简洁.

题型 3. 三角换元处理取值范围

题型识别： 条件中出现 \(x^2+y^2=r^2\)、\(x^2+y^2+z^2=r^2\) 或根式中隐藏平方和，目标式为一次式、二次式或根式和.

核心思路： 把平方和条件转化为三角函数：\(x=r\cos\theta\)，\(y=r\sin\theta\)，再利用正弦、余弦的有界性求范围.

解题步骤：

  1. 判断是否有圆或平方和结构；

  2. 选择合适三角换元；

  3. 将目标式化为 \(A\sin\theta+B\cos\theta\) 或其变形；

  4. 利用 \(A\sin\theta+B\cos\theta\) 的范围求解；

  5. 根据原变量限制调整角度范围.

易错点：

  1. 换元后没有考虑角度范围；

  2. 原变量有正负限制却按完整圆处理；

  3. 只求出三角式范围，未判断端点能否取到；

  4. 平方差结构误用平方和换元.

方法反思： 三角换元不一定是高中不等式的首选，但在平方和、根式和、圆形约束中非常有效. 资料中的例题提示：当配方后出现固定平方和时，可以把问题转成三角函数范围.

题型 4. 糖水不等式的应用

题型识别： 题目涉及比例、浓度、分式大小比较，或需要证明类似

\[ \frac{x}{y}{\lt}\frac{x+m}{y+m} \]

的结论，其中 \(y{\gt}x{\gt}0\)、\(m{\gt}0\).

核心思路： 糖水不等式表达的是“向较淡的糖水中加糖，浓度升高但仍低于纯糖”. 数学上常用作差法证明，也可作为比例放缩结论使用.

解题步骤：

  1. 判断分式是否表示“部分/整体”型比例；

  2. 明确哪个量对应糖，哪个量对应糖水总量；

  3. 写出糖水不等式或直接作差证明；

  4. 若用于证明其他不等式，先把目标式变形成糖水形式；

  5. 注意各量必须为正，且整体大于部分.

易错点：

  1. 把 \(a{\gt}b{\gt}0\) 的顺序写反；

  2. 加到分子分母上的量不一致却直接套用；

  3. 忽略分母为正；

  4. 将糖水不等式用于不满足比例意义的式子.

方法反思： 糖水不等式的结论可以直接记住，但更重要的是理解作差证明. 遇到比例型不等式时，先看它是否能转化为“分子、分母同时加正数”的结构.

题型 5. 对勾函数型最值

题型识别： 目标式形如 \(ax+\dfrac bx\)、\(a(x-c)+\dfrac b{x-c}+d\)，或化简后能得到对勾函数结构，要求求最大值、最小值或值域.

核心思路： 当 \(a,b{\gt}0\) 且变量所在区间使两项同正时，可用基本不等式；若变量范围跨过零点或区间不完整，要结合对勾函数的单调性和图象.

解题步骤：

  1. 将式子整理成 \(a t+\dfrac bt+c\) 的形式；

  2. 明确 \(t\) 的取值范围；

  3. 若 \(t{\gt}0\) 且取等点在范围内，直接用基本不等式；

  4. 若取等点不在范围内，利用单调性判断端点或区间最值；

  5. 必要时结合对勾函数图象写出完整值域.

易错点：

  1. 只套基本不等式，不检查取等点是否在定义域；

  2. 忽略 \(x=0\) 或 \(x=c\) 处无定义；

  3. 区间跨过零点时仍按单一区间处理；

  4. 把下界、上界与实际最值混淆.

方法反思： 对勾函数是基本不等式与函数单调性的结合. 若取等点能取到，用基本不等式最快；若不能取到，就要回到函数图象和单调性分析.

题型 6. 不等式证明中的放缩与结构观察

题型识别： 题目要求证明一个不等式，直接作差或套基本不等式不明显，需要通过中间量、已知不等式、结构变形进行放缩.

核心思路： 证明不等式时，先判断目标式结构：是平方和、分式和、比例型、根式型，还是和积型. 再选择作差、作商、基本不等式、柯西、糖水不等式等工具.

解题步骤：

  1. 先观察目标式两边的结构差异；

  2. 若两边结构相近，优先作差或作商；

  3. 若有平方和，考虑柯西或配方；

  4. 若有分式和，考虑通分、齐次化、权方和；

  5. 若有比例结构，考虑糖水不等式或交叉相乘.

易错点：

  1. 放缩方向错误；

  2. 多次放缩后等号条件无法统一；

  3. 只记公式，不看题目结构；

  4. 忽略正负条件导致使用工具不合法.

方法反思： 参考资料中的反思贯穿一个共同点：不等式题不是“见公式套公式”，而是先看结构. 结构决定方法，方法服务于结构；真正的难点往往在于把题目变形成可用工具的样子.