不等式

不等式的性质与解不等式

定义 1. 实数大小基本事实

关于实数 a ， b 大小的比较，有以下基本事实： a > b a - b > 0 ； a = b a - b = 0 ； a < b a - b < 0

性质 1. 等式的性质

自反性: 如果 (a = b )，那么 (b = a ) 传递性: 如果 (a = b )， (b = c )，那么 (a = c ) 可加性: 如果 (a = b )，那么 (a c = b c ) 可乘性: 如果 (a = b )，那么 (ac = bc ) 可除性: 如果 (a = b )， (c 0 )，那么 ( a c = b c ) 补充：如果 (b d )， ( a b = c d )，那么 ( a b = c d = a c b d )

性质 2. 不等式的性质

对称性： (a > b b < a ); 传递性： (a > b )且 (b > c a > c ); 可加性： (a > b a + c > b + c ) 可乘性： (a > b )且 (c > 0 ac > bc ) (a > b )且 (c < 0 ac < bc ) 同向可加性： (a > b )且 (c > d a + c > b + d ) 同向同正可乘性： (a > b > 0 )且 (c > d > 0 ac > bd ) 可乘方性： (a > b > 0 a^ n >b^ n (n N ^ * ) )

题型 1. 绝对值不等式的解法

一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式． 当 m > 0 时，关于 x 的不等式 x > m 的解为 x > m 或 x < -m ，因此解集为 (- , - m) (m, + ); 关于 x 的不等式 x m 的解为 -m x m ，因此解集为 [-m, m] .

题型 2. 根式不等式的解法

根式不等式是指含有根式的未知数的不等式，一般可分为以下几类： 含有一个根式的不等式，如 ( f(x) > g(x) )或 ( f(x) < g(x) )； ( f(x) > g(x) f(x) 0 g(x) < 0 或 f(x) > 0 g(x) 0 f(x) > g(x)^2 ) ( f(x) < g(x) f(x) 0 g(x) > 0 f(x) < g(x)^2 ) 含有两个根式的不等式，如 ( f(x) > g(x) )或 ( f(x) < g(x) )； ( f(x) > g(x) f(x) 0 g(x) 0 f(x) > g(x) )

题型 3. 高次不等式的解法

一元高次不等式通常先进行因式分解，化为 ((x - x_1)(x - x_2) (x - x_n) > 0( 或 < 0) )的形式，然后用穿针引线法求解.首先 保证每个因式中 (x )的系数为正，然后从右侧画起 ，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负出现，特别要注意“奇穿偶不穿”，“奇”“偶”指的是某个因式的次数. 例1. 解 ((x + 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) 0 )，解集为 ( x x 4 或 2 x 3 或 x -1 )，对应的穿针引线图： [scale=0.8, >=stealth] [->] (-2.5,0) -- (5.5,0) node[right] x ; in -1,2,3,4 ( ,0) circle(1.5pt) node[below=3pt] ; % 示意图：从右向左依次穿过 4, 3, 2, -1 [thick, smooth] plot coordinates (-2, 0.5) (-1, 0) (0.5, -0.5) (2, 0) (2.5, 0.5) (3, 0) (3.5, -0.5) (4, 0) (5, 0.5) ; 例2. 解 ((x + 1)(x - 2)^2(x - 3)(x - 4)^3 0 )，解集为 ( x x -1 或 x = 2 或 3 x 4 )，对应的穿针引线图： [scale=0.8, >=stealth] [->] (-2.5,0) -- (5.5,0) node[right] x ; in -1,2,3,4 ( ,0) circle(1.5pt) node[below=3pt] ; % 示意图：从右向左穿过 4, 穿过 3, 在 2 处相切(偶不穿), 穿过 -1 [thick, smooth] plot coordinates (-2, -0.5) (-1, 0) (0.5, 0.5) (2, 0) (2.5, 0.5) (3, 0) (3.5, -0.5) (4, 0) (5, 0.5) ; 广义的穿针引线法，也适用于多个单调单零点函数乘积的不等式求解. 例如： (e^x - 1)(x - 2) > 0 的解集为 ( x x > 2 或 x < 0 ).

基本不等式

定义 1. 基本不等式

基本（均值）不等式：设 (a > 0 )， (b > 0 )，则 [ a + b 2 ab ]当且仅当 ( a = b )时取等号. 其中 ( a + b 2 )叫做正数 (a )， (b )的算术平均数， ( ab )叫做正数 a ， b 的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值. 基本不等式常用于求一些代数式的最大、最小值，其运用口诀可简记为“一正、二定、三相等”. 一正： (a )， (b )均为正数； 二定：用基本不等式求最值时应满足和为定值或积为定值. 但需注意，若和或积不为定值，基本不等式仍然是成立的，只是求不出最值； 三相等：必须验证等号能取到，上述定值才是最值. 基本不等式的几何表示： 0.7 如图，可证 ACD DCB ，因而 CD = ab ．由于 CD 小于或等于圆的半径，用不等式表示为： a b a + b 2 . 显然，当且仅当点 C 与圆心重合，即当 a=b 时，上述不等式的等号成立. 0.29 [scale=0.5] (O) at (0,0); (A) at (-2.5,0); (B) at (2.5,0); (D) at (60:2.5); (E) at (-60:2.5); (C) at (D - O); [thick] (O) circle (2.5cm); [thick, blue] (A) -- (D) -- (B); % [thick, blue] (A) -- (E) -- (B); [thick] (A) -- (B); [thick] (D) -- (E); [thick] (C) ++(0,0.2) -- ++(0.2,0) -- ++(0,-0.2); [above right] at (D) D ; [below left] at (A) A ; [below right] at (B) B ; [below left] at (C) C ; [below] at (E) E ; [below] at ( (A)!0.5!(C) ) a ; [below] at ( (C)!0.5!(B) ) b ; 基本不等式 (n )元形式：设 (x_ 1 ,x_ 2 , ,x_ n )均为正数，则 [ x_ 1 +x_ 2 + +x_ n n [n] x_ 1 x_ 2 x_ n ]当且仅当 ( x_ 1 =x_ 2 = =x_ n )时取等号. 例如，当 (n = 3 )时，可得到三个正数 (x_ 1 ,x_ 2 ,x_ 3 )满足 ( x_ 1 +x_ 2 +x_ 3 3 [3] x_ 1 x_ 2 x_ 3 )，取等条件是 (x_ 1 =x_ 2 =x_ 3 ). 不等式链： “调和平均 ( ) 几何平均 ( ) 算术平均 ( ) 平方平均” [ 2 1 a + 1 b ab a + b 2 a^2 + b^2 2 （当且仅当 a = b 时取等） ] 基本不等式证明 ：先证重要不等式 (a^ 2 +b^ 2 2ab )（ ( a,b R )）：因 ((a - b)^ 2 0 )，展开即得 (a^ 2 +b^ 2 -2ab 0 )，故 (a^ 2 +b^ 2 2ab )，当且仅当 (a = b )时取等. 再设 (a>0 )， (b>0 )，用 ( a )， ( b )分别代替上式中的 (a )， (b )，得 (a + b 2 ab )，即 ( a + b 2 ab )，当且仅当 (a = b )时取等. （亦可用分析法：要证 ( ab a + b 2 )，只需 (2 ab a + b )，即 (( a - b )^ 2 0 )，显然成立.）

题型 1. 基本不等式的应用

【拓展变形】 (a^ 2 +b^ 2 2ab ) ( b a + a b 2 (ab>0) ) ( b a + a b -2 (ab < 0) ) ( ( 1 a + 1 b )(a + b) 4(ab > 0) ) (a^ 2 +b^ 2 +c^ 2 ab+bc+ca ) 【常见求最值模型】 (m > 0,n > 0,mx+ n x 2 mn )，当且仅当 (x = n m )时取等; (m > 0,n > 0,mx+ n x - a =m(x - a)+ n x - a +ma 2 mn +ma )，当且仅当 (x = a + n m )时取等; (a > 0,c > 0, x ax^ 2 +bx + c = 1 ax + b+ c x 1 2 ac +b )，当且仅当 (x= c a )时取等; (m > 0,n > 0,x (0, n m ),x(n - mx)= mx(n - mx) m 1 m ( mx + n - mx 2 )^ 2 = n^ 2 4m )， 当且仅当 (x= n 2m )时取等. 和积共存：对于 ( m(a + b) + nab = c )，其中 ( a, b, m, n, c R^ * ). 若求 ( a + b )、 ( ab )的取值范围，由 ( a + b 2 ab ab (a + b)^2 4 )，转化为 ( 2m ab + nab c )或 ( m(a + b) + n (a + b)^2 4 c ). 若求 ( ma + nb )取值范围，将 ( m(a + b) + nab = c )因式分解成为 ( (a + x)(b + y) = z )形式，再用基本不等式求出 ( ma + nb )最值. 也可以考虑进行因式分解 ( (a + x)(b + y) = z )，再用柯西不等式分析. “1”的代换：已知 (ax + by = m )，求 ( c x + d y )的最值. 或已知 ( c x + d y =m )，求 (ax + by )的最值. （ (a, b, c, d,m )为正常数， (x, y > 0 )）可利用不等式： ( ( ax + by ) ( c x + d y ) = ac + bd + adx y + bcy x ( ac + bd )^2 )

其他常见不等式

定义 1. 绝对值三角不等式

绝对值三角不等式是数学中关于绝对值运算的重要不等式，其核心形式为： [ a - b a b a + b ] ( a + b a + b ) 等号成立条件： ( a, b ) 同号； ( a - b a + b ) 等号成立条件： ( a, b ) 异号 ( a - b a + b ) 等号成立条件： ( a, b ) 异号； ( a - b a - b ) 等号成立条件： ( a, b ) 同号 几何意义： 从向量角度看，若将 ( a, b ) 视为向量， ( a + b ) 和 ( a - b ) 可看作三角形的边.根据三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边的性质，绝对值三角不等式可理解为向量模长的关系，这也是其名称的由来. 证明 ：由 (( a + b )^ 2 - a + b ^ 2 = 2( ab - ab) 0 )，且 ( a + b )、 ( a + b )均非负，得 ( a + b a + b )（ (a )， (b )同号时取等）. 在此式中用 (a + b )、 (-b )分别代替 (a )、 (b )，得 ( a a + b + b )，即 ( a + b a - b )；同理 ( a + b b - a )，故 ( a + b a - b ). 将 (b )换成 (-b )即得关于 ( a - b )的相应结论.

定义 2. 柯西不等式（人教A必修二P37-16）

柯西不等式： [(a_ 1 ^ 2 +a_ 2 ^ 2 + +a_ n ^ 2 ) (b_ 1 ^ 2 +b_ 2 ^ 2 + +b_ n ^ 2 ) (a_ 1 b_ 1 +a_ 2 b_ 2 + +a_ n b_ n )^ 2 ] 当且仅当 (b_ i =0(i = 1,2, ,n) )或存在实数 ( )使得 (a_ i = b_ i (i = 1,2, ,n) )时等号成立. 实际操作时，二维、三维形式的柯西不等式用得较多. 二维形式的柯西不等式： [ (x_ 1 ^ 2 +y_ 1 ^ 2 )(x_ 2 ^ 2 +y_ 2 ^ 2 ) (x_ 1 x_ 2 +y_ 1 y_ 2 )^ 2 ，当且仅当 x_ 1 y_ 2 =x_ 2 y_ 1 时取等号 ] 三维形式的柯西不等式： [(x_ 1 ^ 2 +y_ 1 ^ 2 +z_ 1 ^ 2 )(x_ 2 ^ 2 +y_ 2 ^ 2 +z_ 2 ^ 2 ) (x_ 1 x_ 2 +y_ 1 y_ 2 +z_ 1 z_ 2 )^ 2 ] 当且仅当 (x_ 1 =y_ 1 =z_ 1 =0 )或存在实数 ( )使得 ( x_ 2 = x_ 1 _ 2 = y_ 1 _ 2 = z_ 1 )时等号成立. 提示：用柯西不等式求最值的核心在于凑出柯西不等式的形式以及凑定值，在一些带有平方和结构的求最值问题中，使用柯西不等式可以快速调节系数，凑出定值. 一高一低和式配凑类型 已知 (mx^2 + ny^2 )的值，求 (sx + ty )的最值( m,n,s,t 为常数)，可利用不等式： ((mx^2 + ny^2)( s^2 m + t^2 n ) (sx + ty)^2 ) 同次积式配凑类型 已知 (xy )的值，求 ((x + m)(y + n) )的最值( m,n 为常数)，可利用不等式： ( (x + m)(y + n) ( xy + mn )^2 ) 二维形式证明 ：作差 ((x_ 1 ^ 2 +y_ 1 ^ 2 )(x_ 2 ^ 2 +y_ 2 ^ 2 )-(x_ 1 x_ 2 +y_ 1 y_ 2 )^ 2 =(x_ 1 y_ 2 -x_ 2 y_ 1 )^ 2 0 )，即得二维柯西不等式，当且仅当 (x_ 1 y_ 2 =x_ 2 y_ 1 )时取等.（一般形式可由判别式法证：构造 (f(t)= (a_ i t - b_ i )^ 2 0 )，其判别式 ( 0 )即得.）

定义 3. 权方和不等式

设 (x )， (y )均为正数，则 [ a^ 2 x + b^ 2 y (a + b)^ 2 x + y , 当且仅当 a x = b y 时取等号 ] 权方和不等式常用于速求一些分式和的最值. 事实上，权方和不等式有更复杂、更一般化的形式，但高考范畴内上述特定条件下的权方和不等式用得最多，故其它形式此处不再给出. 证明 ：由柯西不等式 ( ( a^ 2 x + b^ 2 y )(x + y) ( a^ 2 x x + b^ 2 y y )^ 2 =(a + b)^ 2 )，两边除以 (x + y )即得 ( a^ 2 x + b^ 2 y (a + b)^ 2 x + y )，当且仅当 ( a x = b y )时取等.

定义 4. 糖水不等式（人教A必修一P43-10、P141-13）

糖水不等式： 若 ( a > b > 0, m > 0 )，则一定有 [ b + m a + m > b a ] 解释： a 克糖水中含有 b 克糖 (a > b > 0) ，再添加 m 克糖 (m > 0) （假设全部溶解），糖水变甜了. 糖水不等式的倒数形式： 设 ( a > b > 0, m > 0 )，则有： ( a b > a + m b + m ) 对数型糖水不等式： 设 ( a > b > 1 )， ( m > 0 )，则有： [ _ a b < _ a + m (b + m) b a < (b + m) (a + m) ] 直观理解： 类比普通糖水不等式（往糖水中加糖更甜），对数型糖水不等式可理解为：当底数 ( a ) 和真数 ( b ) 同时增加正数 ( m )（ ( a > b > 1 )， ( m > 0 )），对数的值会增大. 应用： ( _3 2 < _4 3 < _5 4 < _6 5 < _7 6 )

对勾(双勾)函数与飘带(双刀)函数

定义 1. 对勾函数（人教A必修一P92）

[ 0.95 c Y Y (a > 0, b > 0 ) (a < 0, b < 0 ) 图象 [>=stealth, scale=0.75, baseline=(current bounding box.center)] [->] (-3,0) -- (3,0) node[right] x ; [->] (0,-3) -- (0,3) node[left] y ; [below right] at (0,0) O ; [dashed] (-2.5,-1.5) -- (2.5,1.5) node[right] y=ax ; [thick, domain=0.25:2.8, smooth, samples=100] plot ( , 0.6* + 0.6/ ); [thick, domain=-2.8:-0.25, smooth, samples=100] plot ( , 0.6* + 0.6/ ); (1, 1.2) circle (1.5pt); [below] at (1, 1.2) ( b a , 2 ab ) ; [right] at (0.5, 2.8) y=ax+ b x ; [>=stealth, scale=0.75, baseline=(current bounding box.center)] [->] (-3,0) -- (3,0) node[right] x ; [->] (0,-3) -- (0,3) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; [dashed] (-2.5,1.5) -- (2.5,-1.5) node[right] y=ax ; [thick, domain=0.25:2.8, smooth, samples=100] plot ( , -0.6* - 0.6/ ); [thick, domain=-2.8:-0.25, smooth, samples=100] plot ( , -0.6* - 0.6/ ); (-1, 1.2) circle (1.5pt); [below] at (-1, 1.2) (- b a , 2 ab ) ; [left] at (-0.5, 2.8) y=ax+ b x ; 值域 2 c ((- , -2 ab ] [2 ab , + ) )，当且仅当 (ax = b x )时取等 奇偶性 2 c 奇函数 渐近线 2 c (x = 0 ) 和 (y = ax ) 顶点 2 c 一个下顶点和一个上顶点，满足 (ax = b x ) 单调性 l 增区间： ((- , - b a ) )， (( b a , + ) )； 减区间： ((- b a , 0) )， ((0, b a ) ) l 增区间： ((- b a , 0) )， ((0, b a ) )； 减区间： ((- , - b a ) )， (( b a , + ) ) ]

定义 2. 飘带函数（人教A必修一P101-12）

[ 0.95 c Y Y ( a > 0, b < 0 ) ( a < 0, b > 0 ) 图象 [>=stealth, scale=0.75, baseline=(current bounding box.center)] [->] (-3,0) -- (3,0) node[right] x ; [->] (0,-3) -- (0,3) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; [dashed] (-2.5,-2) -- (2.5,2) node[right] y=ax ; [thick, domain=0.18:2.8, smooth, samples=100] plot ( , 0.8* - 0.5/ ); [thick, domain=-2.8:-0.18, smooth, samples=100] plot ( , 0.8* - 0.5/ ); [left] at (2.5, -1) y=ax+ b x ; [>=stealth, scale=0.75, baseline=(current bounding box.center)] [->] (-3,0) -- (3,0) node[right] x ; [->] (0,-3) -- (0,3) node[left] y ; [below right] at (0,0) O ; [dashed] (-2.5,2) -- (2.5,-2) node[right] y=ax ; [thick, domain=0.18:2.8, smooth, samples=100] plot ( , -0.8* + 0.5/ ); [thick, domain=-2.8:-0.18, smooth, samples=100] plot ( , -0.8* + 0.5/ ); [right] at (0.5, 1.5) y=ax+ b x ; 值域 2 c ( R ) 奇偶性 2 c 奇函数 渐近线 2 c ( x = 0 ) 和 ( y = ax ) 单调性 在 ( (- , 0) ) 和 ( (0, + ) ) 上单调递增 在 ( (- , 0) ) 和 ( (0, + ) ) 上单调递减 ]

性质 1. 对勾、飘带函数与双曲线

从圆锥曲线的视角来看，对勾函数与飘带函数 y = ax + b x 均可转化为二次曲线的一般方程 x y - a x^2 - b = 0 ，其本质上都是中心在原点的双曲线（可通过坐标轴旋转化为标准方程）. 离心率的求解：双曲线的离心率由其渐近线的夹角决定. 对勾、飘带函数的渐近线分别为 x = 0 和 y = ax . 求出两渐近线的夹角后， 根据双曲线渐近线倾斜角与离心率的关系，即可求得该双曲线的离心率. 实半轴长的求解：双曲线的实轴所在直线是两条渐近线所成夹角的平分线（经过函数图象所在区域的平分线）. 联立该角平分线方程与函数解析式，求出的交点即为双曲线的顶点，交点到原点的距离即为实半轴长.