导数

知识点

导数的定义、运算法则与几何意义

定义 1. 导数

对于函数\(y = f(x)\)，把\(\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2 - x_1}\)称为函数\(y = f(x)\)从\(x_1\)到\(x_2\)的平均变化率. 令\(\Delta x = x_2 - x_1\)，用\(x_1+\Delta x\)代替\(x_2\)； 类似地，\(\Delta y = f(x_2)-f(x_1)=f(x_1+\Delta x)-f(x_1)\). 平均变化率可表示为

\[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f(x_1+\Delta x)-f(x_1)}{\Delta x} \]

设函数\(y = f(x)\)在\(x_0\)及其附近有定义，当\(\Delta x\)趋近于\(0\)时， 平均变化率\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)趋近于一个常数\(l\)，用符号“\(\to\)”（读作“趋近于”）记作: 当\(\Delta x\to 0\)时，\(\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\to l\)， 称为函数\(f(x)\)在点\(x_0\)的瞬时变化率.通常也记作\(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=l\). 函数\(y = f(x)\)在\(x = x_0\)处的瞬时变化率是\(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)， 称它为函数\(y = f(x)\)在\(x = x_0\)处的导数，记作\(f'(x_0)\)或\(y'\big|_{x = x_0}\)， 即

\[ f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\htmlClass{blank}{\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}} \]

\(y'\big|_{x = x_0}\)表示函数\(y\)关于自变量\(x\)在\(x_0\)处的导数.

\(\text{变形：} \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + m\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = m f'(x_0)\qquad \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x_0 + ah) - f(x_0 + bh)}{ch} = \dfrac{a - b}{c} f'(x_0)\)

定义 2. 导数的几何意义

函数 \(f(x)\)在点 \(x_0\) 处的导数 \(f^\prime(x_0)\) 就是曲线 \(y = f(x)\) 在点 \((x_0,f(x_0))\) 处切线的斜率.

曲线在某一点的切线反映了该点处曲线的变化趋势.当 \(f^\prime(x_0){\gt}0\) 时，函数在 \(x_0\) 处附近单调递增，切线的倾斜角为锐角；当 \(f^\prime(x_0){\lt}0\) 时，函数在 \(x_0\) 处附近单调递减，切线的倾斜角为钝角；当 \(f^\prime(x_0)=0\) 时，切线平行于 \(x\) 轴 .

定义 3. 基本初等函数导数公式

1. 若 \(f(x)=c\) (\(c\) 为常数), 则 \(f'(x)=0\);

2. 若 \(f(x)=x^\alpha\) (\(\alpha \in \mathbf{Q}\), 且 \(\alpha \neq 0\)), 则 \(f'(x)=\htmlClass{blank}{\alpha x^{\alpha-1}}\); 特别地，\(\left(\dfrac{1}{x}\right)'=\htmlClass{blank}{-\dfrac{1}{x^{2}}}\)，\((\sqrt{x})'=\htmlClass{blank}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}\)

3. 若 \(f(x)=\sin x\), 则 \(f'(x)=\htmlClass{blank}{\cos x}\);    若 \(f(x)=\cos x\), 则 \(f'(x)=\htmlClass{blank}{-\sin x}\);

4. 若 \(f(x)=a^x\) (\(a{\gt}0\), 且 \(a \neq 1\)), 则 \(f'(x)=\htmlClass{blank}{a^x \ln a}\); 特别地, 若 \(f(x)=e^x\), 则 \(f'(x)=\htmlClass{blank}{e^x}\);

5. 若 \(f(x)=\log_a x\) (\(a{\gt}0\), 且 \(a \neq 1\)), 则 \(f'(x)=\htmlClass{blank}{\dfrac{1}{x \ln a}}\); 特别地, 若 \(f(x)=\ln x\), 则 \(f'(x)=\htmlClass{blank}{\dfrac{1}{x}}\).

性质 1. 导数运算法则

1. 设\(f(x)\)，\(g(x)\)是可导的，则\([f(x)\pm g(x)]^\prime = \htmlClass{blank}{f^\prime(x)\pm g^\prime(x)}\)

证明： 设\(y = f(x)+g(x)\)， 则\(\Delta y=[f(x + \Delta x)+g(x+\Delta x)]-[f(x)+g(x)]=[f(x+\Delta x)-f(x)]+[g(x+\Delta x)-g(x)]\) 故\(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\left[\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\right]+\left[\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right]\) 所以\([f(x)+g(x)]^\prime = f^\prime(x)+g^\prime(x)\). 减法的相应结论：\([f(x)-g(x)]^\prime = f^\prime(x)-g^\prime(x)\).

1. 设\(f(x)\)，\(g(x)\)是可导的，则\([f(x)g(x)]^\prime=\htmlClass{blank}{f^\prime(x)g(x)+f(x)g^\prime(x)}\)，特别地， \([cf(x)]' = c'f(x) + cf'(x) = cf'(x)\)

证明： 设\(y = f(x)g(x)\)， 则\(\Delta y=f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)\)

\(=f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x+\Delta x)g(x)+f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x)\)

\(=f(x+\Delta x)[g(x+\Delta x)-g(x)]+g(x)[f(x+\Delta x)-f(x)]\)

故\(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\left[\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)[g(x+\Delta x)-g(x)]+g(x)[f(x+\Delta x)-f(x)]}{\Delta x}\right]\)

\(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\left[\lim\limits_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)\cdot\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}+\lim\limits_{\Delta x\to 0}g(x)\cdot\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\right]\)

所以\([f(x)g(x)]^\prime=f^\prime(x)g(x)+f(x)g^\prime(x)\).

1. 设\(f(x)\)，\(g(x)\)是可导的，\(g(x)\neq0\)，则\(\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]^\prime=\htmlClass{blank}{\dfrac{f^\prime(x)g(x)-f(x)g^\prime(x)}{g^{2}(x)}}\)， 特别地，\(\left(\tan x\right)'= \left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)' = \htmlClass{blank}{\dfrac{1}{\cos^2 x}}\)

证明： \(\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)^\prime=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\dfrac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}-\dfrac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x}\) \(=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)}{\Delta xg(x)g(x+\Delta x)}\)

\(=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)}{\Delta xg(x)g(x+\Delta x)}\)

\(=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{1}{g(x)g(x+\Delta x)}\left(\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}g(x)-\dfrac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}f(x+\Delta x)\right)\) \(=\dfrac{f^\prime(x)g(x)-f(x)g^\prime(x)}{g^{2}(x)}\)

1. 一般地, 对于由函数 \(y=f(u)\) 和 \(u=g(x)\) 复合而成的函数 \(y=f(g(x))\), 它的导数与函数 \(y=f(u)\), \(u=g(x)\) 的导数间的关系为 \(y'_x = y'_u \cdot u'_x\) 即 \(y\) 对 \(x\) 的导数等于 \(y\) 对 \(u\) 的导数与 \(u\) 对 \(x\) 的导数的乘积.

   特别地，\(\left(x^x\right)'= (e^{x\ln x})' =\htmlClass{blank}{x^x(\ln x + 1)}\)

结论 1. 多项式特定导数值

若\(f(x) = (x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)\cdots(x-a_n),\quad a_1,a_2,\ldots,a_n\)为常数，求\(f'(a_i),i=1,2,\ldots,n\).

解： 设\(g(x)\)表示把\((x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)\)中第\(i\)个因子\((x-a_i)\)去掉后剩下的乘积. 则 \(f(x)=(x-a_i)\,g(x).\)

求导得 \(f'(x)=1\cdot g(x)+(x-a_i)g'(x).\) 令\(x=a_i\)， \(f'(a_i)=g(a_i), \qquad i=1,2,\ldots,n.\)

结论 2. 与二项式定理结合

若\(f(x)=(ax + b)^n=a_0 + a_1x + a_2x^2+\cdots+a_nx^n\)（\(a,b\)为常数，\(n\in N^*\)），求\(a_1 + 2a_2 + 3a_3+\cdots+na_n\).

解： 对两边求导得到\(n\cdot a\cdot(ax + b)^{n - 1}=a_1 + 2a_2x+3a_3x^2+\cdots+na_nx^{n - 1}\) .

令\(x = 1\)，代入得\(a_1 + 2a_2 + 3a_3+\cdots+na_n=n\cdot a\cdot(a + b)^{n - 1}\) .

导数与切线

结论 1. 单个函数的切线

1. 已知切点：求函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处的切线方程

   根据导数几何意义，函数 \(y = f(x)\) 图像上一点 \((x_0,f(x_0))\) 处切线斜率为 \(f^\prime(x_0)\)，切线方程:

   \[ \htmlClass{blank}{y - f(x_0) = f^\prime(x_0)(x - x_0)} \]

   注意：若函数在该点切线斜率不存在，切线方程为 \(x = x_0\)，如 \(f(x)=\sqrt{1 - x^{2}}\) 在 \((1,0)\) 处切线方程为 \(x = 1\).

2. 未知切点：求函数\(f(x)\)过 点\(A(x_1,y_1)\)的切线方程：

   设切点为\(P(x_0,f(x_0))\)，则斜率\(k = f^\prime(x_0)\)，过切点的切线方程为：\(y - f(x_0) = f^\prime(x_0)(x - x_0)\)，又因为过点\(A(x_1,y_1)\)，带入切线方程得\(y_1 - f(x_0) = f^\prime(x_0)(x_1 - x_0)\)，解出\(x_0\)的值.（\(x_0\)有几个值，就有几条切线）

结论 2. 公切线

当\(y = f(x)\)与\(y = g(x)\)具有公切线时，设直线与\(y = f(x)\)切于点\((x_1,f(x_1))\)，与\(y = g(x)\)切于点\((x_2,g(x_2))\)，

1. 当直线与\(y = f(x)\)、\(y = g(x)\)相切于同一点，设切点为\(P(x_0,y_0)\)，则有\(\htmlClass{blank}{\begin{cases}f^\prime(x_0)=g^\prime(x_0)\\f(x_0)=g(x_0)\end{cases}}\)

2. 当直线与\(y = f(x)\)、\(y = g(x)\)相切于不同点，则有：\(\htmlClass{blank}{f^\prime(x_1)=g^\prime(x_2)=\dfrac{f(x_1)-g(x_2)}{x_1 - x_2}}\)，

   两个未知数两个方程求解即可.

结论 3. 平移函数公切线

当\(y = f(x)\)与\(y = g(x)\)为平行曲线，即\(g(x)=f(x + a)-b\)，则有

\[ f^\prime(x_1)=g^\prime(x_2)=\dfrac{f(x_1)-b-f(x_1)}{x_1 - a - x_1}=\dfrac{b}{a} \]

证明：因为\(y = f(x)\)与\(g(x)=f(x + a)-b\)有公切线，设\(y = f(x)\)切点为\((x_1,f(x_1))\)，\(y = g(x)=f(x + a)-b\)切点为\((x_2,f(x_2 + a)-b)\)，则一定有\(f^\prime(x_1)=f^\prime(x_2 + a)\)，所以\(x_1=x_2 + a\)， 根据公切线方程\(y_2 - y_1=k(x_2 - x_1)\) 可得：\(f(x_2 + a)-b - f(x_1)=f^\prime(x_1)(x_2 - x_1)\)，所以\(-b=-af^\prime(x_1)\)，即\(f^\prime(x_1)=k=\dfrac{b}{a}\).

按照数形结合来理解，就是\(y = f(x)\)与\(y = g(x)=f(x + a)-b\)，两切点连线的斜率就是公切线斜率，即将切点\((x_1,f(x_1))\)左移\(a\)单位，再下移\(b\)单位，得到点\((x_1 - a,f(x_1)-b)\)，故公切线斜率\(k=\dfrac{f(x_1)-b - f(x_1)}{x_1 - a - x_1}=\dfrac{b}{a}\)

定义 1. 牛顿法——用导数方法求方程的近似解

牛顿给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法. 下面求方程 \(f(x) = \dfrac{1}{15}x^3 - \dfrac{3}{5}x^2 + 2x - \dfrac{12}{5} = 0\) 的根.

从图形上看, 函数的零点 \(r\) 就是函数图象与 \(x\) 轴的交点的横坐标.

如果可以找到一步一步逼近 \(r\) 的 \(x_0, x_1, \cdots, x_n\), 使得当 \(n\) 很大时, \(|x_n - r|\) 很小很小, 就可以把 \(x_n\) 的值作为 \(r\) 的近似值, 即把 \(x_n\) 作为方程 \(f(x)=0\) 的近似解. 牛顿用“作切线”的方法找到了这一串 \(x_0, x_1, \cdots, x_n\).

起始点比如从 \(x_0=6\) 开始. 如图在横坐标为 \(x_0\) 的点处作 \(f(x)\) 的切线, 切线与 \(x\) 轴交点的横坐标就是 \(x_1\); 用 \(x_1\) 代替 \(x_0\), 重复上面的过程得到 \(x_2\); 一直继续下去, 得到 \(x_0, x_1, \cdots, x_n\). 从图形上可以看到, \(x_1\) 较 \(x_0\) 接近 \(r\), \(x_2\) 较 \(x_1\) 接近 \(r\), 等等. 它们越来越逼近 \(r\). 接下来计算 \(x_n\). 由于\(f(x)\) 在点 \((x_0, f(x_0))\) 处切线的斜率是 \(f'(x_0)\),切线方程为

\(y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0).\) 令 \(y=0\), 得到切线与 \(x\) 轴交点的横坐标 \(x_1\), 即 \(-f(x_0) = f'(x_0)(x_1 - x_0),\) 解得 \(x_1 = x_0 - \dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}\).

继续这个过程, 就可以推导出如下求方程根的牛顿法公式:

如果 \(f'(x_{n-1}) \neq 0\), 那么

\[ x_n = x_{n-1} - \dfrac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})} \]

导数与单调性和极最值

结论 1. 导数与单调性

若函数\(y = f(x)\)在区间\((a,b)\)内可导

1. 如果在\((a,b)\)内，\(f^{\prime}(x) {\gt} 0\)，则\(f(x)\)在此区间是增函数，\((a,b)\)为\(f(x)\)的单调增区间.

2. 如果在\((a,b)\)内，\(f^{\prime}(x) {\lt} 0\)，则\(f(x)\)在此区间是减函数，\((a,b)\)为\(f(x)\)的单调减区间.

3. 如果在\((a,b)\)内，\(f^{\prime}(x) = 0\)恒成立，则\(f(x)\)在此区间是常函数，不具有单调性.

注意： 单调区间不能随意用并集连接. 例如函数在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上均递增，不一定能说它在\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)上递增，应分别写出各单调区间.

结论 2. 利用导数研究函数单调性

1. 求\(f(x)\)的定义域，求\(f'(x)\)，

   若 \(f'(x)\) 有分式结构，可以考虑通分，通常先看分母是否恒正或恒负，再把分子作为主要研究对象；

   若含有三角函数、指数函数、对数函数等结构，可先观察能否因式分解、换元或转化为简单的函数形式。

2. 观察 \(f'(x)\) 的整体正负. 若导函数中有恒正或恒负的因式，可先去掉这些不变号的部分，只研究变号部分函数.

3. 对于变号部分函数，观察其单调性，计算或猜测变号部分函数的零点（也可从猜测的零点反推能否因式分解）

   1. 若能求出变号部分函数的所有零点，若零点含参数，则需要讨论零点本身是否有意义、是否在定义域内，零点与其他零点的大小关系，再根据零点将定义域划分为若干区间，利用穿根法或符号表判断导函数的正负，写出原函数的单调区间.

   2. 若变号部分函数的零点无法求出或求出不全，则观察变号部分的函数单调性，若能观察出来，结合特殊值或函数在极限处的取值，根据零点存在性定理，判断零点是否存在， 如果确实存在，则转化为隐零点问题，可以先设出零点再利用穿根法或符号表判断导函数的正负，写出原函数的单调区间.

   3. 若变号部分函数的单调性无法观察出来，零点也求不出或不能确保求出了所有零点，则对变号部分函数再求导，重复上述过程。 如果能确定变号部分函数在某个区间上是不变号的，再求导时只需研究剩余区间。

注： 含参函数单调性讨论不是盲目分类，而是围绕“导数零点是否存在、是否在定义域内、零点谁大谁小、导函数如何变号”来分类.

结论 3. 函数在区间上恒单调或存在单调性

1. 已知函数在定义域或某个区间上的单调性：

   若\(f(x)\)在某个区间上单调递增，则在该区间上\(f^{\prime}(x) \geq 0\)恒成立（但不恒等于\(0\)）；

   若\(f(x)\)在某个区间上单调递减，则在该区间上\(f^{\prime}(x) \leq 0\)恒成立（但不恒等于\(0\)）；

   若没有明确说明该区间上是单调递增还是单调递减，则需要分类讨论.

2. 已知函数在定义域或某个区间上存在单调性：

   若\(f(x)\)在某个区间上有增区间，则在该区间上\(f^{\prime}(x) {\gt} 0\)有解；

   若\(f(x)\)在某个区间上有减区间，则在该区间上\(f^{\prime}(x) {\lt} 0\)有解.

结论 4. 常规抽象函数单调性构造

若题干给出一个含\(f^{\prime}(x)\)的不等式，让我们求解另外的与\(f(x)\)有关的不等式，这类题往往需要 从所给不等式出发，构造一个原函数（若\(F^{\prime}(x)=f(x)\)，则称\(F(x)\)为\(f(x)\)的原函数），并判断其单 调性，用单调性来分析与\(f(x)\)有关的不等式. 下面归纳一些常见的构造.

结论 5. 复杂抽象函数单调性构造

定义 1. 不定积分

设函数\(f(x)\)是定义在某区间\(I\)上的函数，如果存在函数\(F(x)\)，使得在区间\(I\)上的任意一点\(x\)处，都有\(F^{\prime}(x)= f(x)\)，那么\(F(x)\)就称为\(f(x)\)在区间\(I\)上的一个原函数.

函数\(f(x)\)的所有原函数\(F(x)+C\)（\(C\)为任意常数），称为函数\(f(x)\)在区间\(I\)上的不定积分，记作\(\int f(x)dx\)，即\(\int f(x)dx = F(x)+C\) .其中，\(\int\) 是积分号，\(f(x)\)是被积函数，\(x\)是积分变量 ，\(C\)是积分常数.

\[ F(x)=\int f(x)dx \quad\Longleftrightarrow\quad F^{\prime}(x)=f(x) \]

常见函数的不定积分：

\[ \begin{aligned} \int x^n \, dx & = \dfrac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C (n \neq -1) \qquad & \int \dfrac{1}{x} \, dx & = \ln|x| + C \\ \int a^x \, dx & = \dfrac{a^x}{\ln a} + C (a {\gt} 0, a \neq 1) \qquad & \int e^x \, dx & = e^x + C \\ \int \sin x \, dx & = -\cos x + C \qquad & \int \cos x \, dx & = \sin x + C \\ \int \tan x \, dx & = -\ln|\cos x| + C \qquad & \int \dfrac{1}{\tan x} \, dx & = \ln|\sin x| + C \end{aligned} \]

结论 6. 简单积分构造原函数

若题干中出现 \(f^{\prime}(x)+p(x)\cdot f(x)=0\)（或\({\gt}\)、\({\lt}\)），则构造

\[ F(x)=f(x)\cdot e^{\int p(x)dx} \]

\[ \begin{aligned} F^{\prime}(x) & =f^{\prime}(x)\cdot e^{\int p(x)dx}+f(x)\left[e^{\int p(x)dx}\right]^{\prime} =f^{\prime}(x)\cdot e^{\int p(x)dx}+f(x)\cdot e^{\int p(x)dx}\cdot\left[\int p(x)dx\right]^{\prime} \\ & =f^{\prime}(x)\cdot e^{\int p(x)dx}+f(x)\cdot p(x)\cdot e^{\int p(x)dx}=e^{\int p(x)dx}\cdot\left[f^{\prime}(x)+p(x)\cdot f(x)\right] \end{aligned} \]

例如： \(f^{\prime}(x)+kf(x){\gt}0\) 则 \(p(x)=k\)，所以 \(\int p(x)dx = kx\) ， 所以 \(F(x)=f(x)\cdot e^{\int p(x)dx}=f(x)\cdot e^{kx}=e^{kx}\cdot f(x)\)

结论 7. 复杂积分构造原函数

若题干中出现 \(f^{\prime}(x)+p(x)\cdot f(x)=q(x)\)（或\({\gt}\)、\({\lt}\)），则构造

\[ F(x)=f(x)\cdot e^{\int p(x)dx}-\int\left[q(x)\cdot e^{\int p(t)dt}\right]dx \]

\[ F^{\prime}(x) =f^{\prime}(x)\cdot e^{\int p(x)dx}+f(x)\cdot p(x)\cdot e^{\int p(x)dx}-q(x)\cdot e^{\int p(x)dx} =e^{\int p(x)dx}\cdot\left[f^{\prime}(x)+p(x)\cdot f(x)-q(x)\right] \]

例如： \(f^{\prime}(x)-f(x){\gt}k\) ， 则 \(p(x)= -1\)，\(q(x)=k\)，所以 \(\int p(x)dx=-x\)， \(\int\left[q(x)\cdot e^{\int p(t)dt}\right]dx=\int ke^{-x}dx=-ke^{-x}\)

所以 \(F(x)=e^{-x}\cdot f(x)-(-ke^{-x}) = e^{-x}[f(x)+k]\)

定义 2. 函数的极值

已知函数\(y = f(x)\)，设\(x_0\)是定义域内一点，

如果对于\(x_0\)附近的所有点\(x\)，都有\(f(x) {\lt} f(x_0)\)，则称\(f(x)\)在点\(x_0\)处取得极大值，并称\(x_0\)为函数\(f(x)\)的一个极大值点；

如果对于\(x_0\)附近的所有点\(x\)，都有\(f(x) {\gt} f(x_0)\)，则称\(f(x)\)在点\(x_0\)处取得极小值，并称\(x_0\)为函数\(f(x)\)的一个极小值点．

极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．

极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．

结论 8. 利用导数研究函数极值

(1)确定函数的定义域； (2)求导数\(f^{\prime}(x)\)； (3)解出方程\(f^{\prime}(x) = 0\)在定义域内的全部实根； (4)检测每个实根左右两侧导函数的符号，进而判断：

如果在某实根附近导数符号为左负右正，则该实根为极小值点；

如果在某实根附近导数符号为左正右负，则该实根为极大值点；

如果在某实根附近导数符号保持不变，则该实根不是极值点．

注意：导数为0的点不一定是极值点，极值点也不一定是导数为0的点，但是可导函数的极值点一定导数为0.

例如：函数\(f(x) = x^3\)在\(x = 0\)处导数为0，但函数本身在\(R\)上单调递增.

又如：函数\(g(x) = |x|\)的极小值点是\(x = 0\)，但是函数在\(x = 0\)不可导，不存在导数.

定义 3. 函数的最值

一般地，设函数 \(y = f(x)\) 的定义域为 \(I\)，如果存在实数 \(M\) 满足：

1. \(\forall x \in I\)，都有 \(f(x) \leq M\)；

2. \(\exists x_0 \in I\)，使得 \(f(x_0) = M\).

那么，我们称 \(M\) 是函数 \(y = f(x)\) 的最大值. 同理可得最小值.

1. 一般地，如果在区间\([a, b]\)上函数\(y = f(x)\)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

2. 若函数\(y = f(x)\)在区间\((a, b)\)上无极值点，则它必为单调函数

3. 若函数\(y = f(x)\)在区间\((a, b)\)上只有唯一极值点，则它必为最值点

4. 单峰函数\(y = f(x)\)在\((a, b)\)有最值\(\Leftrightarrow f(x)\)在\((a, b)\)有极值\(\Leftrightarrow f'(x) = 0\)在\((a, b)\)有解.

结论 9. 求函数最值

1. 当函数\(f(x)\)单调时，直接利用单调性定义求得；

2. 当函数\(f(x)\)不单调时，若函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)上可导，求其最值的步骤如下：

   1. 求出函数\(f(x)\)在\((a,b)\)上的极值；

   2. 将所求的若干极值与\(f(a)\)和\(f(b)\)比较，数值最大的为最大值，数值最小的为最小值．

导数与具体函数

结论 1. 八大同构函数

结论 2. \(xe^x\) 型函数的切线条数

对于函数 \(f(x)=xe^x\)，有 \(f'(x)=(x+1)e^x\)，\(f''(x)=(x+2)e^x\). 因此函数在 \(I(-2,-2e^{-2})\) 处有拐点，拐点处切线为 \(\ell:\ y=-e^{-2}(x+4).\) 当 \(x\to-\infty\) 时，\(f(x)\to0\)，所以 \(y=0\) 是函数图象的水平渐近线.

曲线 \(y=xe^x\)、拐点切线 \(\ell:y=-e^{-2}(x+4)\) 与水平渐近线 \(y=0\) 共同将平面分成若干区域。过平面内一点作曲线 \(y=xe^x\) 的切线，其条数如下.

1. 各开区域内的切线条数

   区域1、区域4中的任一点可作 \(3\) 条切线；区域2、区域3中的任一点可作 \(1\) 条切线；区域5、区域7中的任一点可作 \(2\) 条切线；区域6中的任一点不能作曲线的切线.

2. 曲线 \(y=xe^x\) 上的点

   当切点横坐标 \(x{\lt}0\) 且 \(x\neq-2\) 时，过该点除本点切线外，还可作一条以曲线另一点为切点的切线，共 \(2\) 条；当 \(x{\gt}0\) 时，只能作本点切线，共 \(1\) 条.

   拐点 \(I(-2,-2e^{-2})\) 处两条切线重合，只能作拐点切线 \(\ell\)，共 \(1\) 条；原点 \(O(0,0)\) 处也只能作本点切线，共 \(1\) 条. 极值点 \((-1,-e^{-1})\) 处仍可作本点切线和另一条远切线，共 \(2\) 条.

3. 渐近线 \(y=0\) 上的点

   当 \(x{\lt}-4\) 或 \(x{\gt}0\) 时，过点 \((x,0)\) 可作 \(2\) 条切线；当 \(-4{\lt}x{\lt}0\) 时，不能作切线；点 \((-4,0)\) 只能作拐点切线 \(\ell\)，共 \(1\) 条；原点 \(O\) 只能作曲线在原点处的切线，共 \(1\) 条.

4. 拐点切线 \(\ell\) 上的点

   在 \(\ell\) 上，当 \(x{\lt}-4\) 时，只能作拐点切线 \(\ell\)，共 \(1\) 条；当 \(x{\gt}-4\) 且点不是拐点 \(I\) 时，除拐点切线 \(\ell\) 外，还可作另一条切线，共 \(2\) 条.

   在 \((-4,0)\) 处只有拐点切线 \(\ell\) 一条；在拐点 \(I\) 处，两条切线合并为拐点切线，也只有 \(1\) 条.

注： 判断这类题时，先画出曲线、拐点切线和水平渐近线，再看点所在区域. 这里的切线条数指过定点能够作出的曲线 \(y=xe^x\) 的切线条数.

结论 3. 同构（相同函数构造）

同构过程：先通过观察原不等式的结构，再对不等式进行变形转化，最后找到这个函数的模型，即找到不等式两边对应的同一个函数，将问题化繁为简． 同构思路可表示为：若\(F(x) \geq 0\)能等价变形为\(f[g(x)] \geq f[h(x)]\)，然后判断\(f(x)\)的单调性，利用函数单调性去掉外函数\(f\)，转化为解不等式\(g(x) \geq (\leq) h(x)\)．

原则：指对分家，紧扣内层.

1. 基础变形

   \(x = \ln{e^x} = e^{\ln x}\)； \(xe^x = e^{x+\ln x}\)； \(\dfrac{e^x}{x} = e^{x-\ln x}\)； \(\dfrac{x}{e^x} = e^{\ln x - x}\)； \(x + \ln x = \ln\left(xe^x\right)\)； \(x - \ln x = \ln\dfrac{e^x}{x}\).

2. 积、商、和差型变形方式

   1. 积型： \(a e^a \leq b \ln b \Rightarrow \begin{cases} a \cdot e^a \leq \ln b \cdot e^{\ln b} \Rightarrow f(x) = x e^x\ & \text{（同左）}, \\ e^a \cdot \ln e^a \leq b \cdot \ln b \Rightarrow f(x) = x \ln x\ & \text{（同右）}, \\ a + \ln a \leq \ln b + \ln(\ln b) \Rightarrow f(x) = x + \ln x\ & \text{（取对数）}. \end{cases}\)

   2. 商型： \(\dfrac{e^a}{a} {\lt} \dfrac{b}{\ln b} \Rightarrow \begin{cases} \dfrac{e^a}{a} {\lt} \dfrac{e^{\ln b}}{\ln b} \Rightarrow f(x) = \dfrac{e^x}{x} & \text{（同左）}, \\ \dfrac{e^a}{\ln e^a} {\lt} \dfrac{b}{\ln b} \Rightarrow f(x) = \dfrac{x}{\ln x} & \text{（同右）}, \\ a - \ln a {\lt} \ln b - \ln(\ln b) \Rightarrow f(x) = x - \ln x & \text{（取对数）}. \end{cases}\)

   3. 和差型： \(e^a \pm a {\gt} b \pm \ln b \Rightarrow \begin{cases} e^a \pm a {\gt} e^{\ln b} \pm \ln b \Rightarrow f(x) = e^x \pm x & \text{（同左）}, \\ e^a \pm \ln e^a {\gt} b + \ln b \Rightarrow f(x) = x \pm \ln x & \text{（同右）}. \end{cases}\)

结论 4. 常见同构函数对的性质

已知 \(h(x)\) 与 \(g(x)\) 满足 \(g(x)=h(\ln x)\)，即 \(x_2=e^{x_1}\) 或 \(x_1=\ln x_2\) 为变换关系：

1. 若 \(h(x)=e^x - x\), 则 \(g(x)=x-\ln x=h(\ln x)\). 当 \(h(x_1)=g(x_2)\) 时，即 \(h(x_1)=h(\ln x_2)\)， 当 \(x_1 {\lt} 0, 0 {\lt} x_2 {\lt} 1\) (或者 \(x_1 {\gt} 0, x_2 {\gt} 1\)) 时，一定有 \(x_1=\ln x_2\) (或者 \(x_2=e^{x_1}\)).

   若 \(h(x)=e^x-x\) 和 \(g(x)=x-\ln x\) 与 \(y=a\) 形成四个交点，即构成 \(\begin{cases}x_1=\ln x_3 \\ x_2=\ln x_4 \end{cases}\)，有 \(x_1+x_4=x_2+x_3\)

   证明：由 \(h(x_1)=a,\ h(x_2)=a\) 得 \(e^{x_1}-x_1=a, e^{x_2}-x_2=a\) 两式相减得 \(e^{x_1}-e^{x_2}=x_1-x_2\)，移项即 \(x_1+e^{x_2}=x_2+e^{x_1}.\) 又由 \(x_1=\ln x_3,\ x_2=\ln x_4\) 得 \(e^{x_1}=x_3,\ e^{x_2}=x_4\)，代入即得 \(x_1+x_4=x_2+x_3\).

2. 若 \(h(x)=\dfrac{e^x}{x}\) (或 \(\dfrac{x}{e^x}\)), 则 \(g(x)=\dfrac{x}{\ln x}\) (或 \(g(x)=\dfrac{\ln x}{x}\) ). 当 \(h(x_1)=g(x_2)\) 时，即 \(h(x_1)=h(\ln x_2)\)， 当 \(0{\lt}x_1{\lt}1, 1{\lt}x_2{\lt}e\) (或者 \(x_1{\gt}1, x_2{\gt}e\)) 时，一定有 \(x_1=\ln x_2\) (或者 \(x_2=e^{x_1}\)).

   若 \(h(x)=\dfrac{e^x}{x}\) 和 \(g(x)=\dfrac{x}{\ln x}\) 与 \(y=a\) 形成四个交点，即构成 \(\begin{cases}x_1=\ln x_3 \\ x_2=\ln x_4 \end{cases}\)，有 \(x_1 x_4 = x_2 x_3\)

   证明：由 \(h(x_1)=a,\ h(x_2)=a\) 得 \(\dfrac{e^{x_1}}{x_1}=a, \dfrac{e^{x_2}}{x_2}=a\) 故 \(\dfrac{e^{x_1}}{x_1}=\dfrac{e^{x_2}}{x_2}\)，交叉相乘得 \(x_1e^{x_2}=x_2e^{x_1}.\) 又由 \(x_1=\ln x_3,\ x_2=\ln x_4\) 得 \(e^{x_1}=x_3,\ e^{x_2}=x_4\)，代入即得 \(x_1x_4=x_2x_3\).

例题 1. 指对同构函数处理技巧（解法不唯一）

\[ \begin{aligned} 1. \; & a e^{ax} {\gt} \ln x & \Rightarrow & axe^{ax} {\gt} x\ln x, & f(x) & = x\ln x \1ex] 2. \; & a^x {\gt} \log_a x \Rightarrow e^{x\ln a} {\gt} \frac{\ln x}{\ln a} & \Rightarrow & (x\ln a)e^{x\ln a} {\gt} x\ln x, & f(x) & = x\ln x \1ex] 3. \; & x^2\text{e}^x + \ln x = 0 & \Rightarrow & \text{e}^x \ln \text{e}^x = \dfrac{1}{x} \ln \dfrac{1}{x}, & f(x) & = x\ln x \1ex] 4. \; & \log_2 x - k\cdot 2^{kx} \geq 0 & \Rightarrow & (\log_2 x)\cdot 2^{\log_2 x} \geq kx\cdot 2^{kx}, & f(x) & = x\cdot 2^x \1ex] 5. \; & \text{e}^{2\lambda x} - \dfrac{1}{\lambda} \ln \sqrt{x} \geq 0 & \Rightarrow & 2\lambda x\text{e}^{2\lambda x} \geq (\ln x)\text{e}^{\ln x}, & f(x) & = x\text{e}^x \1ex] 6. \; & x^{a+1}e^x \geq -a\ln x \Rightarrow xe^x \geq \frac{-a\ln x}{x^a} & \Rightarrow & xe^x \geq -a\ln x \cdot e^{-a\ln x}, & f(x) & = xe^x \1ex] 7. \; & x + \frac{1}{e^x} \geq x^a - \ln x^a \ (x {\gt} 0) & \Rightarrow & \frac{1}{e^x} - \ln \frac{1}{e^x} \geq x^a - \ln x^a, & f(x) & = x - \ln x \1ex] 8. \; & x + a\ln x + \text{e}^{-x} \geq x^a\ (x {\gt} 1) & \Rightarrow & \text{e}^{-x} - \ln \text{e}^{-x} \geq x^a - \ln x^a, & f(x) & = x - \ln x \1ex] 9. \; & x^2 \ln x - m\text{e}^{\frac{m}{x}} \geq 0 & \Rightarrow & \ln x + \ln(\ln x) \geq \dfrac{m}{x} + \ln \dfrac{m}{x}, & f(x) & = x + \ln x \1ex] 10. \; & \text{e}^{-x} - 2x - \ln x = 0 & \Rightarrow & \text{e}^{-x} + \ln \text{e}^{-x} = x + \ln x, & f(x) & = x + \ln x \1ex] 11. \; & e^x {\gt} a\ln(ax - a) - a & \Rightarrow & e^{x - \ln a} + x - \ln a {\gt} e^{\ln(x - 1)} + \ln(x - 1), & f(x) & = e^x + x \1ex] 12. \; & a(\text{e}^{ax} + 1) \geq 2\left(x + \dfrac{1}{x}\right)\ln x & \Rightarrow & ax\cdot \text{e}^{ax} + ax \geq \ln x^2 \cdot \text{e}^{\ln x^2} + \ln x^2, & f(x) & = x\text{e}^x + x \1ex] 13. \; & a\ln (x - 1) + 2(x - 1) \geq ax + 2\text{e}^x & \Rightarrow & a\ln (x - 1) + 2(x - 1) \geq a\ln \text{e}^x + 2\text{e}^x, & f(x) & = a\ln x + 2x \end{aligned} \]

定义 1. 三次函数

形如\(f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx + d\ (a,b,c,d\in\mathbb{R}\text{且}a\neq0)\)的函数称为三次函数.

定义域为 \(\mathbb{R}\).值域为 \(\mathbb{R}\)，函数在整个定义域上没有最大值、最小值.

三次函数导函数为二次函数 \(f^{\prime}(x)=3ax^{2}+2bx + c\)，\(\Delta = 4b^{2}-12ac = 4(b^{2}-3ac)\).

性质 1. 三次函数的性质与根的个数

对于三次函数 \(f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx + d\;(a,b,c,d\in\mathbb{R}\text{且}a\neq0)\).

1. \(f(x)\) 不可能为偶函数；当且仅当 \(b = d = 0\) 时\(f(x)\)是奇函数.

2. 三次函数是中心对称曲线，且对称中心是 \(\left(-\dfrac{b}{3a},f\left(-\dfrac{b}{3a}\right)\right)\)；

3. 其导函数为 \(f^{\prime}(x)=3ax^{2}+2bx + c\)，对称轴为 \(x = -\dfrac{b}{3a}\)，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴.

4. 当 \(b^{2}-3ac{\gt}0\)，其导数 \(f^{\prime}(x)=0\) 有两个解 \(x_1\)，\(x_2\)，原方程有两个极值 \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-3ac}}{3a}\)

   当 \(f(x_1)\cdot f(x_2) {\gt} 0\)，原方程有且只有一个实根

   当 \(f(x_1)\cdot f(x_2) = 0\)，则方程有两个实根

   当 \(f(x_1)\cdot f(x_2) {\lt} 0\)，则方程有三个实根

定理 1. 三次函数的韦达定理（人教A必修二P81）

对于一般形式的三次方程\(ax^{3}+bx^{2}+cx + d = 0\)（\(a\neq0\)），设它的三个根分别为\(x_1\)，\(x_2\)，\(x_3\)，则有以下关系：

\[ \begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}=\htmlClass{blank}{-\dfrac{b}{a}} \\ x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=\htmlClass{blank}{\dfrac{c}{a}} \\ x_{1}x_{2}x_{3}=\htmlClass{blank}{-\dfrac{d}{a}} \end{cases} \]

{ 推导过程： 根据因式分解，三次方程\(ax^{3}+bx^{2}+cx + d = 0\)（\(a\neq0\)）可化为\(a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)=0\).

\[ \begin{aligned} a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) & = a(x^{2}-x_2x - x_1x+x_1x_2)(x - x_3) \\ & = a(x^{3}-x_3x^{2}-x_2x^{2}+x_2x_3x - x_1x^{2}+x_1x_3x+x_1x_2x-x_1x_2x_3) \\ & = a(x^{3}-(x_1 + x_2 + x_3)x^{2}+(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x - x_1x_2x_3) \\ & = ax^{3}-a(x_1 + x_2 + x_3)x^{2}+a(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x - ax_1x_2x_3 \end{aligned} \]

与\(ax^{3}+bx^{2}+cx + d = 0\)对比系数可得： \(-a(x_1 + x_2 + x_3)=b\)，即\(x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\dfrac{b}{a}\) ;

\(a(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)=c\)，即\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=\dfrac{c}{a}\) ; \(-ax_1x_2x_3=d\)，即\(x_{1}x_{2}x_{3}=-\dfrac{d}{a}\)}

性质 2. 三次函数四段论

如图，对于\(f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx + d(a{\gt}0)\)且导函数\(\Delta{\gt}0\)，有

极大值到对称中心距离为 \(\Delta x\)，极小值点到对称中心距离为 \(\Delta x\)，极小值等值点到极大值点距离为 \(\Delta x\)，极大值等值点到极小值点距离为 \(\Delta x\)；设 \(f(x)\) 的极大值为 \(M\)，当 \(f(x)=M\) 的两根为 \(x_1\)，\(x_2(x_1 {\lt} x_2)\) 时，区间 \([x_1,x_2]\) 被中心 \(\left(-\dfrac{b}{3a},f\left(-\dfrac{b}{3a}\right)\right)\) 和极小值点三等分，类似的，对极小值 \(N\) 也有此结论.

性质 3. 三次函数切线条数问题

一般地，如图，过三次函数 \(f(x)\) 图象的拐点 \(\left(-\dfrac{b}{3a},f\left(-\dfrac{b}{3a}\right)\right)\)（对称中心或拐点）作切线 \(l\)，则坐标平面被切线 \(l\) 和函数 \(f(x)\) 的图象分割为四个区域，有以下结论：

1. 由于区域 I、IV 属于外弧区域，过区域 I、IV 内的点作 \(f(x)\) 的切线，有 3 条

2. 由于区域 II、III 属于内弧区域，过区域 II、III 内的点或者对称中心作 \(f(x)\) 的切线，有 1 条

3. 过切线 \(l\) 或函数 \(f(x)\) 图象（除对称中心）上的点作 \(f(x)\) 的切线，有 2 条

4. 过对称中心 \(\left(-\dfrac{b}{3a},f\left(-\dfrac{b}{3a}\right)\right)\) 有1条切线，且平行于此切线的直线与 \(f(x)\) 仅有1个交点

导数与恒成立

结论 1. 指对函数研究处理技巧

在处理含\(e^x\)的方程或不等式时，若直接构造函数求导较复杂，可尝试把式子变成\(e^x\varphi(x)\)或\(\dfrac{\varphi(x)}{e^x}\)的结构，使指数函数与其余部分相乘或相除，再求导分析.

1. 若式中出现\(e^x+u(x)\)，可考虑同除以\(e^x\)，转化为\(1+\dfrac{u(x)}{e^x}\)；

2. 若式中出现\(xe^x\)、\((x-a)e^x\)等结构，可考虑保留乘积形式，求导后常能因式分解；

3. 若要证明\(e^x\)大于某个多项式，常可作差构造函数，必要时多次求导；

4. 若直接求导层数过多，应考虑先变形或放缩，再构造函数.

在处理含\(u(x)\ln x\)的方程或不等式时，若直接求导较复杂，可尝试把式子等价变形成\(\ln x+\varphi(x)\)的结构，即将\(\ln x\)尽量单独留下，求导后就不再含\(\ln x\)，分析通常更简单.

1. 若式中出现\(x\ln x\)，可考虑两边同除以\(x\)，把\(x\)与\(\ln x\)分离；

2. 若式中出现\((x+1)\ln(x+1)\)，可考虑同除以\(x+1\)，把\(\ln(x+1)\)单独留下；

3. 若出现\(\ln x\)与有理式混合，常先整理成“对数项 + 有理项”，再求导.

总结： 指数找基友，对数单身狗，含\(e^x\)或\(\ln x\)的问题，若“直接求导”不好走，不要一直机械求高阶导，应先观察能否等价变形，降低求导复杂度.

结论 2. 无参不等式恒成立证明

无参不等式恒成立证明，核心是构造函数并讨论单调性.

1. 将目标不等式移项变形，化为证明 \(F(x)\geq0\) 或 \(F(x)\leq0\).

2. 求导研究 \(F(x)\) 的单调性，找出最大值或最小值.

3. 若 \(F'(x)\) 不易判号，可继续研究 \(F''(x)\)，或只研究导函数中的关键变号部分.

4. 结合端点值、极值、特殊点或极限，判断 \(F(x)\) 是否恒大于等于 \(0\) 或恒小于等于 \(0\).

注： 无参恒成立证明的本质是：通过单调性确定函数最值，再由最值推出不等式恒成立.

结论 3. 含参不等式恒成立证明

含参不等式恒成立证明，通常先明确主元与参数：把 \(x\) 作为主元时，参数看作常数；若直接研究困难，可变换主元利用参数范围放缩.

1. 将目标不等式变形化为 \(F_a(x)\geq0\) 或 \(F_a(x)\leq0\)，再对主元 \(x\) 求导分析.

2. 若已知参数范围，可变换主元，用参数端点进行放缩. 例如当 \(a\leq a_0\) 且 \(F_a(x)\leq F_{a_0}(x)\) 时，只需证明 \(F_{a_0}(x)\leq0\)；当 \(a\geq a_0\) 且 \(F_a(x)\geq F_{a_0}(x)\) 时，只需证明 \(F_{a_0}(x)\geq0\).

3. 分类讨论：若参数无法放缩，则通过单调性确定函数最值，最值通常是关于参数的一个函数，再构造函数求最值证明不等式恒成立。

结论 4. 累加与累乘型不等式恒成立证明

累加与累乘型不等式，核心都是先研究单项放缩，再逐项相加或逐项相乘. 判断方法时，先看右边是常数，还是关于 \(n\) 的函数.

1. 累加型，右边为常数： 若要证 \(a_1+a_2+\cdots+a_n\leqslant B\)，通常把每一项放缩成相邻两式之差，如 \(a_k\leqslant b_k-b_{k+1}\). 逐项相加后中间项相消，得到 \(a_1+a_2+\cdots+a_n\leqslant b_1-b_{n+1}\)，再证明 \(b_1-b_{n+1}\leqslant B\).

2. 累加型，右边为关于 \(n\) 的函数： 若右边为 \(B_n\)，可把 \(B_n\) 写成相邻差的累加，如 \(B_n=B_0+(B_1-B_0)+(B_2-B_1)+\cdots+(B_n-B_{n-1})\). 若 \(B_0=0\)，则只需证明 \(a_k\leqslant B_k-B_{k-1}\)，再逐项相加即可. 若要证下界，则反向放缩.

3. 累乘型，右边为常数： 若要证 \(a_1a_2\cdots a_n\leqslant B\)，先保证各项为正，再尝试把每一项放缩成相邻两式之比，如 \(a_k\leqslant \dfrac{b_k}{b_{k+1}}\). 逐项相乘后中间项约去，得到 \(a_1a_2\cdots a_n\leqslant \dfrac{b_1}{b_{n+1}}\)，再证明 \(\dfrac{b_1}{b_{n+1}}\leqslant B\).

4. 累乘型，右边为关于 \(n\) 的函数： 若右边为 \(B_n\)，且 \(B_k{\gt}0\)，可把 \(B_n\) 写成相邻比的累乘，如 \(B_n=B_0\cdot\dfrac{B_1}{B_0}\cdot\dfrac{B_2}{B_1}\cdots\dfrac{B_n}{B_{n-1}}\). 若 \(B_0=1\)，则只需证明 \(a_k\leqslant \dfrac{B_k}{B_{k-1}}\)，再逐项相乘即可.

5. 累乘转累加： 若乘积型不等式中各项均为正，也可两边取对数，把乘积转化为对数和，再按累加型不等式处理.

6. 单项放缩来源： 单项放缩常来自前面小问的结论，或来自常用不等式，如 \(\ln(1+x)\leqslant x\)，\(\ln x\leqslant x-1\)，\(e^x\geqslant1+x\). 若没有现成结论，可构造函数，用导数证明一般项放缩.

结论 5. 分类讨论求参

分类讨论求参的核心仍然是讨论函数单调性.

1. 将原不等式化为 \(F_a(x)\geq0\) 或 \(F_a(x)\leq0\).

2. 求导，分析 \(F_a'(x)\) 的零点和符号.

3. 按参数对导函数零点、定义域、开口方向、单调区间的影响分类.

4. 在每一类中求出 \(F_a(x)\) 的最值，并使最值满足恒成立要求.

5. 对不满足条件的参数，可通过取点、端点附近分析或极限排除.

结论 6. 参变分离求参

参变分离适用于参数容易从不等式中分离出来的问题，可分为全分参和半分参.

1. 全分参： 将原不等式等价变形为 \(a\leqslant \varphi(x) \quad\text{或}\quad a\geqslant \varphi(x),\) 其中右侧只含 \(x\)，参数完全分离.

   若 \(a\leqslant \varphi(x)\) 对一切 \(x\in D\) 恒成立，则 \(a\leqslant \min\limits_{x\in D}\varphi(x)\)；若 \(a\geqslant \varphi(x)\) 对一切 \(x\in D\) 恒成立，则 \(a\geqslant \max\limits_{x\in D}\varphi(x)\).

   全分参后，重点是求 \(\varphi(x)\) 在区间 \(D\) 上的最值. 若最值出现在端点或无穷远处，需要计算极限；

   若极限为 \(\dfrac00\) 型或 \(\dfrac{\infty}{\infty}\) 型，可结合洛必达法则辅助计算.

2. 半分参： 当参数不能完全分离，或全分参后函数难以研究时，可将不等式变形成 \(f(x)\leq g_a(x)\)、\(f(x)\geq g_a(x)\) 或 \(F(x,a)\geq0\) 的形式， 保留一部分参数在函数图象中，通过图象位置关系求参.

   半分参常见模型是：一边为固定函数，另一边为含参直线、含参曲线或绕定点旋转的图象. 此时应观察参数变化时图象如何平移、旋转或变形， 并寻找端点、相切、相交个数变化等临界状态.

   半分参中若临界状态为相切，常设切点 \(x_0\)，列 \(f(x_0)=g_a(x_0)\)，\(f'(x_0)=g_a'(x_0)\).

注： 全分参重在“分离参数后求最值”，半分参重在“保留图象结构找临界”.

定义 1. 必要探路法

必要探路法是解决含参不等式恒成立问题的重要策略. 其核心思想基于“局部成立系整体恒成立的必要条件”：即通过在给定区间内选取若干特殊点代入不等式，可以获得关于参数的必要约束条件，进而大幅缩减参数的可能取值范围，有效避免或减少繁琐的分类讨论.

所得结论仅为必要条件，解题时须补充充分性证明！ 一般在探路确立并猜测出参数临界值或范围后，需将参数代回原式（或利用主元变换、适当放缩等技巧），进行严谨的代数或导数论证，最终转化为常规的无参不等式证明问题.

定理 1. 显点（特殊点）效应

若\(f(x)\geq0\)在区间\([a,b]\)上恒成立，则对于任意的\(x_0 \in [a,b]\)，都有\(f(x_0)\geq0\)成立，\(x_0\)称为特殊点或显点，一般取\(0\)，\(\pm1\)，\(e\)，\(e^{2}\) 等特殊值，从而确定参数至少需要满足的范围.

若显点不易观察，可尝试利用\(\begin{cases} f(x_0)=0 \\ f^\prime(x_0)=0 \\ \end{cases}\)求解\(x_0\)，再代入求解参数的必要范围.

例题 1. 2020新高考I、II，T21/22

已知函数\(f(x)=ae^{x - 1}-\ln x+\ln a\). (2) 若\(f(x)\geq1\)，求\(a\)的取值范围

解：（尝试代入\(x=1\)），\(f(1)=a+\ln a\geq1\)，解得\(a\geq1\)，即\(a\geq1\)是\(f(x)\geq1\)的必要条件.

再证充分性：当\(a\geq1\)时\(f(x)\geq e^{x - 1}-\ln x\geq x-(x - 1)=1\)成立，因此\(a\geq1\).

定理 2. 极点效应（零点效应）

若 \(f(x)\geq0\) 在区间 \([a,b]\) 上恒成立，且在区间内部存在点 \(x_0 \in (a,b)\) 使得 \(f(x_0)=0\) 成立，则 \(x_0\) 一定是 \(f(x)\) 的极小值点，此时必定有 \(f'(x_0)=0\)，从而可以确定参数的必要条件.

1. 若可导函数 \(f(x)\) 在 \(x = x_0\) 处取得极值，则必定有 \(f'(x_0)=0\). 进一步地，若 \(f(x)\) 具有二阶连续导数：

   1. \(f(x)\) 在 \(x = x_0\) 处取得极小值的必要条件为 \(f''(x_0) \geq 0\). 若 \(f'(x_0)=0\) 且 \(f''(x_0){\gt}0\)，则是充分条件.

   2. \(f(x)\) 在 \(x = x_0\) 处取得极大值的必要条件为 \(f''(x_0) \leq 0\). 若 \(f'(x_0)=0\) 且 \(f''(x_0){\lt}0\)，则是充分条件.

2. 高阶导数情形：当 \(f''(x_0)=0\) 时，若 \(f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0\)，且 \(f^{(n)}(x_0) \neq 0\)，则：

   若 \(n\) 为偶数，当 \(f^{(n)}(x_0) {\gt} 0\) 时取得极小值；当 \(f^{(n)}(x_0) {\lt} 0\) 时取得极大值.

   即非零的最先出现的偶数阶导数决定极值性质.

证明: \(f'(x_0)=0\) 且 \(f''(x_0){\gt}0\) 时 \(x_0\) 为极小值点：

由于 \(f''(x)\) 在 \(x_0\) 处连续且 \(f''(x_0){\gt}0\)，则 \(\exists\delta {\gt} 0\)，使得 \(f''(x)\) 在 \((x_0-\delta, x_0+\delta)\) 上恒大于 \(0\). 这表明 \(f'(x)\) 在 \((x_0-\delta, x_0+\delta)\) 上单调递增. 又因为 \(f'(x_0)=0\)，所以当 \(x \in (x_0-\delta, x_0)\) 时 \(f'(x){\lt}0\)；当 \(x \in (x_0, x_0+\delta)\) 时 \(f'(x){\gt}0\). 故 \(f(x)\) 在 \((x_0-\delta, x_0)\) 单调递减，在 \((x_0, x_0+\delta)\) 单调递增，\(x_0\) 为极小值点.

例题 2. 2023新高考II卷T22\ (2)

已知函数\(f(x)=\cos ax-\ln(1 - x^{2})\)，若\(x = 0\)为\(f(x)\)的极大值点，求\(a\)的取值范围.

解：\(f^{\prime}(x)=-a\sin ax+\dfrac{2x}{1 - x^{2}}\)，\(f^{\prime\prime}(x)=-a^{2}\cos ax+\dfrac{2 + 2x^{2}}{(1 - x^{2})^{2}}\)， \(f^{\prime}(0)=0\)，\(f^{\prime\prime}(0)=-a^{2}+2\)，

①若\(f^{\prime\prime}(0)=2 - a^{2}{\gt}0\)，即\(-\sqrt{2}{\lt}a{\lt}\sqrt{2}\)时，存在\(t_1{\gt}0\)，使得\(x\in(0,t_1)\)时，\(f^{\prime\prime}(x){\gt}0\)，\(f^{\prime}(x)\)在\((0,t_1)\)上单调递增，所以\(f^{\prime}(x){\gt}f^{\prime}(0)=0\)，\(f(x)\)在\((0,t_1)\)上单调递增，与\(x = 0\)为函数的极大值点相矛盾，故舍去；

②若\(f^{\prime\prime}(0)=2 - a^{2}{\lt}0\)，即\(a{\lt}-\sqrt{2}\)或\(a{\gt}\sqrt{2}\)时，存在\(t_2{\gt}0\)，使得\(x\in(-t_2,t_2)\)时，\(f^{\prime\prime}(x){\lt}0\)，\(f^{\prime}(x)\)在\((-t_2,t_2)\)上单调递减，又\(f^{\prime}(0)=0\)，所以当\(-t_2{\lt}x{\lt}0\)时，\(f^{\prime}(x){\gt}0\)，\(f(x)\)单调递增；当\(0{\lt}x{\lt}t_2\)时，\(f^{\prime}(x){\lt}0\)，\(f(x)\)单调递减，满足\(x = 0\)为\(f(x)\)的极大值点，符合题意；

③若\(f^{\prime\prime}(0)=2 - a^{2}=0\)，即\(a = \pm\sqrt{2}\)时，因为\(f(x)\)为偶函数，所以只考虑\(a = \sqrt{2}\)的情况，

当\(x \in (0,1)\)，\(f^{\prime\prime}(x)=-2\cos (\sqrt{2}x)+\dfrac{2(1+x^{2})}{(1 - x^{2})^{2}} {\gt} -2 + 2 = 0\)，\(f^{\prime}(x)\)在\((0,1)\)上单调递增，\(f^{\prime}(x){\gt}f^{\prime}(0)=0\)，\(f(x)\)在\((0,1)\)上单调递增，与\(x = 0\)为函数的极大值点相矛盾，故舍去.

综合可得：\(a\)的取值范围为\((-\infty,-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},+\infty)\).

定理 3. 端点效应

如果函数\(f(x)\)在某一点\(x_0\)处的函数值\(f(x_0)\)恰好为零，则当\(x {\gt} x_0\)时，\(f(x){\gt}0\)成立的一个必要条件为端点\(x_0\)处的导数值\(f^{\prime}(x_0) \geq 0\)，如左图所示， 因为如果\(f^{\prime}(x_0){\lt}0\)，那么函数会在\(x_0\)右侧的一个小区间内先递减，会出现右图情况，此时函数\(f(x)\)有负值不满足要求.

类似的，如果函数\(f(x)\)在某一点\(x_0\)处的函数值\(f(x_0)\)恰好为零，当\(x {\gt} x_0\)时，\(f(x){\lt}0\)成立的一个必要条件为\(x_0\)处的导数值\(f^{\prime}(x_0) \leq 0\)

1. 如果函数\(f(x)\)在区间\([a,+\infty)\)上，\(f(x)\geq0\)恒成立，则必定有\(f(a)\geq0\).

2. 如果函数\(f(x)\)在区间\([a,+\infty)\)上，\(f(x)\geq0\)恒成立，且\(f(a)=0\)，则必定有\(f^{\prime}(a)\geq 0\).

3. 如果函数\(f(x)\)在区间\([a,+\infty)\)上，\(f(x)\geq0\)恒成立，且\(f(a)=0\)，\(f^{\prime}(a)=0\)，则必定有\(f^{\prime\prime}(a)\geq0\),以此类推.

结论 7. \textbf{端点效应判断}

当端点处的\(f^{(n - 1)}(x)=0\)，\(f^{(n)}(x)\neq0\)时，如果\(f^{(n)}(x)\)是能看出正负或者含有参数而且单调的函数，则一定满足是端点效应，否则极有可能不是端点效应，建议考虑分离参数的方法.

例题 3. 2024全国甲卷理科T21

已知函数\(f(x)=(1 - ax)\ln(1 + x)-x\).  (2) 当\(x\geq0\)时，\(f(x)\geq0\)，求\(a\)的取值范围

解：\(f(0)=0\)，\(f^{\prime}(x)=-a\ln(1 + x)-\dfrac{(a + 1)x}{1 + x}\)，\(f^{\prime}(0)=0\)，

\(f^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{a}{1 + x}-\dfrac{a + 1}{(1 + x)^2}=-\dfrac{ax + 2a + 1}{(1 + x)^2}\)， \(f^{\prime\prime}(0)=-1-2a\)，

①当\(a\leq-\dfrac{1}{2}\)时，\(f^{\prime\prime}(x)\geq0\)，即\(f^{\prime}(x)\)递增，\(f^{\prime}(x)\geq f^{\prime}(0)=0\)，\(f(x)\)递增，\(f(x)\geq f(0)=0\)，符合题意；

②当\(0 {\gt} a {\gt} -\dfrac{1}{2}\)时，\(f^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{ax + 2a + 1}{(1 + x)^2}\)，取\(x = \dfrac{-1 - 2a}{a}\)，使得\(f^{\prime\prime}\left(\dfrac{-1 - 2a}{a}\right)=0\)，\(f^{\prime}(x)\)在\(\left(0,\dfrac{-1 - 2a}{a}\right)\)递减，\(f^{\prime}\left(\dfrac{-1 - 2a}{a}\right){\lt}f^{\prime}(0)=0\Rightarrow f\left(\dfrac{-1 - 2a}{a}\right){\lt}f(0)=0\)，矛盾；

③当\(a\geq0\)时，\(f^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{ax + 2a + 1}{(1 + x)^2}{\lt}0\)恒成立，\(f^{\prime}(x)\)在\((0,+\infty)\)递减，\(f^{\prime}(x){\lt}f^{\prime}(0)=0\Rightarrow f(x){\lt}f(0)=0\)，矛盾. 综上\(a\leq-\dfrac{1}{2}\).

定理 4. 内点效应

主要解决端点效应失效的问题，如图，尽管\(f(x)\)在\(0\)处满足\(f(x)=0\)，但是\(f(x)\)后续不是单调递增，需要找到极值点（内点）使得\(f(x)\)的极值点也大于等于\(0\).

这类题目也可使用分离参数求解，但是端点效应题目分离参数一定会需要洛必达法则，一般不建议使用.

例题 4. 2020全国I卷理科T21

已知\(f(x)=e^{x}+ax^{2}-x\). (2) 当\(x\geq0\)，\(f(x)\geq\dfrac{1}{2}x^{3}+1\)，求\(a\)的取值范围.

（分离参数）： ①当\(x = 0\)时，不等式恒成立，

②当\(x {\gt} 0\)时，由\(f(x)\geq\dfrac{1}{2}x^{3}+1\)分参可得； \(a \geq \dfrac{\frac{1}{2}x^3 + x + 1 - e^x}{x^2}\)恒成立， 设\(h(x) = \dfrac{\frac{1}{2}x^3 + x + 1 - e^x}{x^2}\)，则

\(h'(x) = \dfrac{(2 - x)e^x + (\frac{1}{3}x^3 - x - 2)}{x^3} = \dfrac{(2 - x)\left(e^x - \frac{1}{2}x^2 - x - 1\right)}{x^3}\)

设\(m(x) = e^x - \dfrac{1}{2}x^2 - x - 1\)，可得\(m'(x) = e^x - x - 1\)， 设\(k(x) = e^x - x - 1\)，\(k'(x) = e^x - 1\)， 由\(x {\gt} 0\)，可得\(k'(x) {\gt} 0\)恒成立，可得\(k(x)\)在\((0, +\infty)\)递增， \(m'(x)\)在\((0, +\infty)\)递增， 所以\(m'(x) {\gt} m'(0) = 0\)， 即\(m'(x) {\gt} 0\)恒成立，即\(m(x)\)在\((0, +\infty)\)递增，所以\(m(x) {\gt} m(0) = 0\)， 再令\(h'(x) = 0\)，可得\(x = 2\)，当\(0 {\lt} x {\lt} 2\)时，\(h'(x) {\gt} 0\)，\(h(x)\)在\((0,2)\)递增； \(x {\gt} 2\)时，\(h'(x) {\lt} 0\)，\(h(x)\)在\((2, +\infty)\)递减， 所以\(h(x)_{\max} = h(2) = \dfrac{7 - e^2}{4}\)， 所以\(a \geq \dfrac{7 - e^2}{4}\).

导数与零点

结论 1. 利用导数研究函数零点

研究函数零点前，可以先观察函数，带入特殊值，猜测函数零点的值，也可以先用极限分析，判断函数在区间端点或无穷远处的趋势，从而推测零点的大致位置.

研究函数零点时，常先利用导数分析函数的单调性与极值，再结合函数值正负判断零点个数.

1. 若函数在某区间上单调，则该区间内至多有一个零点；

2. 若函数在区间端点或特殊点处异号，则由零点存在定理可判断该区间内至少有一个零点；

3. 若函数先减后增，且极小值小于\(0\)，两侧函数值能取正，则通常有两个零点；

4. 若函数先增后减，且极大值大于\(0\)，两侧函数值能取负，则通常有两个零点.

注： 证明“有且仅有”几个零点时，一般先用取点证明“至少有”，再用单调性证明“至多有”.

结论 2. 零点讨论中的取点与放缩

零点问题中，取点有三种常用方式：

1. 直接取点：当容易看出函数在某些特殊点处的正负时，直接取 \(0,1,-1,e,e^2,\dfrac12\) 等点判断；

2. 放缩取点：当直接取点不明显时，先对函数解析式进行适当放缩，使其正负更容易判断，再进行取点；

3. 极限取点：若函数在区间端点处无定义，或端点不在所研究区间内，也可利用端点处的单侧极限或无穷远处的极限判断函数趋势. 例如在区间 \((a,b)\) 上研究零点时，可计算 \(\lim\limits_{x\to a^+}f(x)\) 与 \(\lim\limits_{x\to b^-}f(x)\)；在区间 \((a,+\infty)\) 上研究零点时，可计算 \(\lim\limits_{x\to a^+}f(x)\) 与 \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\). 若两端极限异号，结合连续性可判断区间内存在零点；若再结合单调性，则可证明零点唯一.

常用放缩： 对任意 \(x\in\mathbb{R}\)，有 \(e^x\geq x+1\)，等号当且仅当 \(x=0\)；对 \(x{\gt}0\)，有 \(\ln x\leq x-1\)，等号当且仅当 \(x=1\)；对 \(x{\gt}-1\)，有 \(\ln(1+x)\leq x\)，等号当且仅当 \(x=0\).

注： 极限取点本质上是用端点趋势代替具体取点. 若端点不属于定义域，不能把端点本身当作零点，只能用来判断区间内是否存在零点.

定义 1. 隐零点问题

在研究函数单调性、极值、最值或不等式证明时，常会遇到 \(f'(x)=0\) 的零点存在且唯一，但不能用简单形式求出的情况. 这类零点称为隐零点.

隐零点问题的核心不是求出零点的具体值，而是设该零点为 \(x_0\)，利用它满足的方程 \(f'(x_0)=0\) 进行代换或消元，从而化简极值或目标不等式. 这种方法也常称为隐零点代换.

一般步骤如下：

1. 研究 \(f'(x)\) 的单调性或符号变化，证明 \(f'(x)\) 存在唯一零点 \(x_0\)；

2. 根据 \(f'(x_0)=0\)，写出 \(x_0\) 满足的关系式；

3. 利用该关系式消去参数、指数项、对数项或分式项；

4. 将问题转化为关于 \(x_0\) 的单变量问题，再结合 \(x_0\) 的范围进行估计或证明.

例如，设 \(f(x)=e^x-\ln x\)，定义域为 \((0,+\infty)\). 则 \(f'(x)=e^x-\dfrac1x, f''(x)=e^x+\dfrac1{x^2}{\gt}0.\) \(f'(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 上单调递增. 又 \(f'\left(\dfrac12\right)=\sqrt e-2{\lt}0\)，\(f'(1)=e-1{\gt}0\)，所以存在唯一的 \(x_0\in\left(\dfrac12,1\right)\)，使得 \(f'(x_0)=0\).

由 \(f'(x_0)=0\) 得 \(e^{x_0}=\dfrac1{x_0} \iff x_0e^{x_0}=1 \iff \ln x_0=-x_0.\) 虽然 \(x_0\) 的具体值难以求出，但可用这些关系化简极值： \(f(x_0)=e^{x_0}-\ln x_0=\dfrac1{x_0}+x_0{\gt}2.\) 结合 \(f'(x)\) 的符号可知，\(f(x)\) 在 \((0,x_0)\) 上单调递减，在 \((x_0,+\infty)\) 上单调递增，所以 \(f(x)\) 的最小值为 \(f(x_0)\)，且 \(f(x_0){\gt}2\).

注： 隐零点虽然不能直接求出，但它满足的方程往往比零点本身更有用. 解题时不要执着于求 \(x_0\)，而应利用 \(f'(x_0)=0\) 进行代换、消元和估计.

结论 3. 隐零点代换变量

“代换变量”也就是消去\(x\)，这是不含参数的题目的通常做法.

例： 当\(x {\gt} 0\)时，证明：\(xe^{x} \geq x + \ln x + 1\).

解： 令\(f(x) = xe^{x} - x - \ln x - 1\)，\(f'(x) = (x + 1)(e^{x} - \frac{1}{x})\). 又注意到\(x + 1 {\gt} 0\)，令\(g(x) = e^{x} - \frac{1}{x}\)，显然\(g(x)\)单调递增. \(g(\frac{1}{2}) = \sqrt{e} - 2 {\lt} 0\)，\(g(1) = e - 1 {\gt} 0\). 故存在\(x_0 \in (\frac{1}{2}, 1)\)，使\(g(x_0) = 0 \Leftrightarrow \bm{e^{x_0} = \dfrac{1}{x_0} \Leftrightarrow \ln x_0 = -x_0}\).

可知\(f(x)\)在\((0, x_0)\)单调递减，在\((x_0, +\infty)\)单调递增. 因此\(f(x)_{\min} = f(x_0) = x_0e^{x_0} - x_0 - \ln x_0 - 1\) \(= 1 - x_0 + x_0 - 1 = 0\)，因此\(f(x) \geq 0\)，证毕.

结论 4. 隐零点代换参数

“代换参数”的方法一般用来处理含参数的函数.

例： 已知函数\(f(x) = 2e^{x} - (x + a)^{2}\)，若当\(x \geq 0\)时，不等式\(f(x) \geq 0\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围.

解： \(f'(x) = 2(e^{x} - x - a)\)，\(f''(x) = 2(e^{x} - 1) \geq 0\). 所以\(f'(x)\)在\((0, +\infty)\)单调递增，\(f'(0) = 2(1 - a)\).

当 \(a \leq 1\)，则\(f'(x) \geq f'(0) = 2(1 - a) \geq 0\)，\(f(x)\)在\((0, +\infty)\)单调递增. 令\(f(0) = 2 - a^{2} \geq 0\)，解得\(a \in [-\sqrt{2}, 1]\).

当 \(a {\gt} 1\)，则\(f'(0) {\lt} 0\)，又\(f'(a) = 2(e^{a} - 2a) {\gt} 0\). （其中应用到不等式：\(e^{x} \geq ex\)，\(x \in \mathbb{R}\)） 故由零点定理知：存在\(x_0 \in [0, a]\)，使\(f'(x_0) = 0 \Leftrightarrow \bm{a = e^{x_0} - x_0}\).

\(f(x)\)在\((0, x_0)\)递减，在\((x_0, +\infty)\)递增. 故\(f(x) \geq f(x_0) = 2e^{x_0} - e^{2x_0} = e^{x_0}(2 - e^{x_0}) \geq 0 \Rightarrow e^{x_0} \leq 2\ \Rightarrow x_0 \in (0, \ln 2]\)，

所以\(a = e^{x_0} - x_0 \in (1, 2 - \ln 2]\). 综上，\(a\)的取值范围是\([-\sqrt{2}, 2 - \ln 2]\).

例题 1. 2020新高考I、II卷T22

已知函数 \(f(x)=ae^{x - 1}-\ln x+\ln a\). (2)若 \(f(x)\geq1\)，求 \(a\) 的取值范围.

(2)\(\because f(x) = a \mathrm{e}^{x - 1} - \ln x + \ln a\)，\(x {\gt} 0\)，\(a {\gt} 0\)， \(\therefore f'(x) = a \mathrm{e}^{x - 1} - \frac{1}{x}\)， 易知\(f'(x)\)在\((0, +\infty)\)上为增函数，

\(\therefore\)存在\(x_0 \in (0, +\infty)\)，使得\(f'(x_0) = a \mathrm{e}^{x_0 - 1} - \frac{1}{x_0} = 0\)，则\(\bm{a \mathrm{e}^{x_0 - 1} = \frac{1}{x_0}}\)，则 \(\ln a + x_0 - 1 = - \ln x_0\)，即\(\bm{\ln a = 1 - x_0 - \ln x_0}\)，

当\(x \in (0, x_0)\)时，\(f'(x) {\lt} 0\)，函数\(f(x)\)单调递减； 当\(x \in (x_0, +\infty)\)时，\(f'(x) {\gt} 0\)，函数\(f(x)\)单调递增，

\(\therefore f(x) \geq f(x_0) = a \mathrm{e}^{x_0 - 1} - \ln x_0 + \ln a\) \(= \frac{1}{x_0} - \ln x_0 + 1 - x_0 - \ln x_0 = \frac{1}{x_0} - 2 \ln x_0 + 1 - x_0\)，

\(\because f(x) \geq 1\)， \(\therefore \frac{1}{x_0} - 2 \ln x_0 - x_0 \geq 0\)，

设\(g(x) = \frac{1}{x} - 2 \ln x - x\)， 易知函数\(g(x)\)在\((0, +\infty)\)上单调递减，且\(g(1) = 1 - 0 - 1 = 0\)， \(\therefore\)当\(x \in (0, 1]\)时，\(g(x) \geq 0\)， \(\therefore\)当\(x_0 \in (0, 1]\)时，\(\frac{1}{x_0} - 2 \ln x_0 - x_0 \geq 0\)，

设\(h(x) = 1 - x - \ln x\)，\(x \in (0, 1]\)， \(\therefore h'(x) = -1 - \frac{1}{x} {\lt} 0\)恒成立， \(\therefore h(x)\)在\((0, 1]\)上单调递减， \(\therefore h(x) \geq h(1) = 1 - 1 - \ln 1 = 0\)， \(\because \ln a = 1 - x_0 - \ln x_0\)， \(\therefore \ln a \geq 0 = \ln 1\)， \(\therefore a \geq 1\)．

综上所述，实数\(a\)的取值范围为\([1, +\infty)\)．

导数与双变量

定义 1. 极值点偏移

如图1，若\(f(x_1) = f(x_2)\)，则\(x_1 + x_2 = 2x_0\)，极值点不偏移．

如图2，若\(f(x_1) = f(x_2)\)，则\(x_1 + x_2 {\lt} 2x_0\)，极值点向右偏移．

如图3，若\(f(x_1) = f(x_2)\)，则\(x_1 + x_2 {\gt} 2x_0\)，极值点向左偏移．

注：极值点\(x_0\)向左向右偏移是参考中间值\(\frac{x_1+x_2}{2}\)而言的．

极值点偏移的本质： 一阶导数 \(f'(x)\) 增加的速度（快慢）用 用二阶导数 \(f''(x)\) 的大小来表示（类似于加速运动中速度增加的快慢由加速度的大小来刻画、衡量）.

在图 2 中，\(f'(x)\) 增加，即 \(f'(x)\) 单调递增，得 \(f''(x) {\gt} 0\)，\(f'(x)\) 增加得越来越快，则 \(f''(x)\) 的绝对值越来越大，又 \(f''(x) {\gt} 0\)，故 \(f''(x)\) 单调递增．

在图 3 中，\(f'(x)\) 增加，即 \(f'(x)\) 单调递增，得 \(f''(x) {\gt} 0\)，\(f'(x)\) 增加得越来越慢，则 \(f''(x)\) 的绝对值越来越小，又 \(f''(x) {\gt} 0\)，故 \(f''(x)\) 单调递减．

二阶导数 \(f''(x)\) 的单调性用三阶导数 \(f'''(x)\) 的正负来表示！ 在图 2 中，\(f'''(x) {\gt} 0\)；在图 3 中，\(f'''(x) {\lt} 0\)．

于是，极小值点的偏移方向（左偏还是右偏）可用三阶导函数 \(f'''(x)\) 的正负来判定：

1. \(f'''(x) {\lt} 0 \Rightarrow\) 极小值点左偏，极大值点右偏;

2. \(f'''(x) {\gt} 0 \Rightarrow\) 极小值点右偏，极大值点左偏．

结论 1. 对称化构造

对称化构造常用于处理极值点偏移问题. 这类题通常已知 \(f(x_1)=f(x_2)\)（或类似的等量关系）， 且 \(x_1,x_2\) 位于极值点 \(x_0\) 两侧，要求证明 \(x_1+x_2\) 或 \(x_1x_2\) 与 \(x_0\) 的关系.

1. 先求导，确定 \(f(x)\) 的单调性和极值点 \(x_0\). 由 \(f(x_1)=f(x_2)\)，结合图象确定 \(x_1,x_2\) 所在区间，一般设 \(x_1{\lt}x_0{\lt}x_2\).

2. 若目标是证明 \(x_1+x_2{\gt}2x_0\)，可转化为证明 \(x_2{\gt}2x_0-x_1\). 其中 \(2x_0-x_1\) 是 \(x_1\) 关于 \(x=x_0\) 的对称点，通常与 \(x_2\) 位于同一个单调区间.

3. 若目标是证明 \(x_1x_2{\gt}x_0^2\)，可转化为证明 \(x_2{\gt}\dfrac{x_0^2}{x_1}\). 其中 \(\dfrac{x_0^2}{x_1}\) 应与 \(x_2\) 位于同一个单调区间.

4. 利用\(f(x)\)单调性，把自变量大小比较转化为函数值大小比较. 例如若 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 右侧递增，要证 \(x_2{\gt}2x_0-x_1\)，只需证 \(f(x_2){\gt}f(2x_0-x_1)\).

   又因 \(f(x_2)=f(x_1)\)，只需证 \(f(x_1){\gt}f(2x_0-x_1)\).

5. 因此常构造 \(F(x)=f(x)-f(2x_0-x)\)，或 \(F(x)=f(x)-f\left(\dfrac{x_0^2}{x}\right)\)，再在 \(x_1\) 所在的区间判断 \(F(x)\) 的符号.

6. 判断 \(F(x)\) 符号时，常用求导法，此时注意使用复合函数求导法则，方便计算；若一阶导不易判号，可继续求导，或只研究关键变号部分. 最后把 \(x=x_1\) 代入，结合 \(f(x_1)=f(x_2)\) 和单调性推出结论.

注：从上面的过程可以发现，在第2步时减到另一边或除到另一边的变量，最后构造函数会用到它的范围，因此，在移项最好将范围更精确的变量移到另一边，这样在构造函数时可以直接利用该范围判断符号，会更精确.

例题 1. 2022全国甲卷理科T21

已知函数 \(f(x)=\dfrac{e^{x}}{x}-\ln x+x - a\). (2)证明:若 \(f(x)\) 有两个零点 \(x_{1},x_{2}\)，则 \(x_{1}x_{2}{\lt}1\).

解： (2)由题知，\(f(x)\)有两个零点 \(x_1, x_2\)，即方程 \(\dfrac{e^x}{x} - \ln x + x - a = 0\) 有两解. 注意到 \(\dfrac{e^x}{x} = e^{x - \ln x}\)，故方程可化为 \(e^{x - \ln x} + (x - \ln x) - a = 0\).

令\(t = x - \ln x\)，则原方程变形为 \(g(t) = \mathrm{e}^t + t - a = 0\). 因为 \(g'(t) = \mathrm{e}^t + 1 {\gt} 0\)， \(\mathrm{g}(t)\) 单调递增. 令 \(t_1 = x_1 - \ln x_1\)，\(t_2 = x_2 - \ln x_2\)， 则 \(g(t_1) = g(t_2) = 0\)， 又因为 \(g(t)\) 单调递增，有 \(t_1 = t_2\). 从而\(x_1 - \ln x_1 = x_2 - \ln x_2\).

不妨设 \(x_1 {\lt} 1 {\lt} x_2\)，令 \(h(x) = x - \ln x\)，即有 \(h(x_1) = h(x_2)\). 要证 \(x_1x_2 {\lt} 1\)，即证 \(x_2 {\lt} \dfrac{1}{x_1}\). 因为 \(x_2 \in (1, +\infty), \dfrac{1}{x_1} \in (1, +\infty)\)，且 \(h(x)\) 在 \((1, +\infty)\) 上单调递增， 只需证 \(h(x_2) {\lt} h\left(\dfrac{1}{x_1}\right)\). 又因为 \(h(x_2) = h(x_1)\)，即证 \(h(x_1) {\lt} h\left(\dfrac{1}{x_1}\right)\)， 构造函数 \(G(x) = h(x) - h\left(\dfrac{1}{x}\right)\)，其中 \(0 {\lt} x {\lt} 1\). \(G'(x) = h'(x) - h'\left(\dfrac{1}{x}\right) \cdot \left( -\dfrac{1}{x^2} \right) = h'(x) + \dfrac{1}{x^2} h'\left(\dfrac{1}{x}\right)\). \(= \dfrac{x - 1}{x} + \dfrac{1}{x^2} \left( 1 - x \right) = \dfrac{x - 1}{x} - \dfrac{x - 1}{x^2} = \dfrac{(x - 1)^2}{x^2} {\gt} 0\). 所以 \(G(x)\) 在 \((0, 1)\) 上单调递增. 因此，当 \(x_1 \in (0, 1)\) 时，\(G(x_1) {\lt} G(1) = 0\) 恒成立，原不等式得证. 综上所述，\(x_1 x_2 {\lt} 1\) 成立.

例题 2. 2021新高考I卷T22

已知函数\(f(x)=x(1-\ln x)\)． (1)讨论\(f(x)\)的单调性；

(2)设\(a\)，\(b\)为两个不相等的正数，且\(b\ln a-a\ln b=a-b\)，证明：\(2 {\lt} \dfrac {1}{a}+\dfrac {1}{b} {\lt} \text{e}\)．

解：(1)函数\(f(x)\)的定义域为\((0,+\infty)\)，\(f'(x)=-\ln x\)，令\(f '(x) {\gt} 0\)，解得\(0 {\lt} x {\lt} 1\)，令\(f '(x) {\lt} 0\)，解得\(x {\gt} 1\)，所以函数\(f(x)\)在\((0,1)\)上单调递增，在\(( 1,+\infty )\)上单调递减．

(2)证明：由\(b\ln a-a\ln b=a-b\)得\(\dfrac {1}{a}(1+\ln a)=\dfrac {1}{b}(1+\ln b)\)， 即\(\dfrac {1}{a}\left(1-\ln \dfrac {1}{a}\right)=\dfrac {1}{b}\left(1-\ln \dfrac {1}{b}\right)\)， 令\(x_{1}=\dfrac {1}{a}\)，\(x_{2}=\dfrac {1}{b}\)，则\(x_{1}\)，\(x_{2}\)为\(f(x)=k\)的两个实根，当\(x\to 0^{+}\)时，\(f(x)\to 0^{+}\)，当\(x\to +\infty\)时，\(f(x) {\lt} 0\)，且\(f(1)=1\)，故\(k\in (0, 1)\)， 不妨令\(x_{1}\in (0,1)\)，\(x_{2}\in (1,\text{e})\)，则\(2-x_{1} {\gt} 1\)，\(\text{e}-x_{1} {\gt} 1\)，

先证明\(x_{1}+x_{2} {\gt} 2\)，即证\(x_{2} {\gt} 2-x_{1}\)， 即证\(f(x_{2})=f(x_{1}) {\lt} f(2-x_{1})\)．

令\(h(x)=f(x)-f(2-x)\)，\(x\in (0,1)\)， 则\(h'(x)=f '(x)+f'(2-x)=-\ln x-\ln (2-x)=-\ln [x(2-x)]\)．

\(\because x\in (0,1)\)， \(\therefore x(2-x)\in (0,1)\)，\(\therefore h'(x) {\gt} 0\)恒成立，\(\therefore h(x)\)为增函数，\(\therefore h(x) {\lt} h(1)=0\)．\(\therefore f(x_{2}) {\lt} f(2-x_{1})\)，\(\therefore x_{2} {\gt} 2-x_{1}\)，\(\therefore x_{1}+x_{2} {\gt} 2\)．

再证\(x_{1}+x_{2} {\lt} \text{e}\)，即证\(x_{2} {\lt} \text{e}-x_{1}\)，即证\(f(x_{2})=f(x_{1}) {\gt} f(\text{e}-x_{1})\)．

令\(\varphi (x)=f(x)-f(\text{e}-x)\)，\(x\in (0,1)\)， 则\(\varphi '(x)=-\ln [x(\text{e}-x)]\)，\(\because x\to 0^{+}\)时，\(\varphi '(x)\to +\infty\)，\(\varphi '(1)=-\ln (\text{e}-1) {\lt} 0\)，\(\varphi '(x)\)在\(( 0 , 1)\)上单调递减，\(\therefore\)在\((0,1)\)上必存在唯一\(x_{0}\)，使\(\varphi '(x_{0})=0\)， 且当\(x\in (0,x_{0})\)时，\(\varphi '(x) {\gt} 0\)，\(\varphi (x)\)单调递增， 当\(x\in (x_{0},1)\)时，\(\varphi '(x) {\lt} 0\)，\(\varphi (x)\)单调递减， 又\(x\to 0^{+}\)时，\(f(x) {\gt} 0\)，且\(f(\text{e})=0\)，\(\therefore x\to 0^{+}\)时，\(\varphi (x) {\gt} 0\)，又\(\varphi (1)=f(1)-f(\text{e}-1) {\gt} 0\)，\(\therefore \varphi (x) {\gt} 0\)恒成立，\(\therefore f(x_{2}) {\gt} f(\text{e}-x_{1})\)，\(\therefore x_{2} {\lt}\text{e}-x_{1}\)，\(\therefore x_{1}+x_{2} {\lt} \text{e}\)．

综上，\(2 {\lt} \dfrac {1}{a}+\dfrac {1}{b} {\lt} \text{e}\)成立．

结论 2. 比值换元

比值换元常用于处理 \(f(x_1)=f(x_2)\) 且 \(x_1,x_2\) 位于极值点两侧的问题. 当 \(x_1,x_2\) 同号且难以直接消元时，可令 \(x_2=tx_1\)，把两个变量 \(x_1,x_2\) 转化为一个参数 \(t\)，通常取 \(t{\gt}1\).

1. 基本思路： 先由导数确定函数的单调性和极值点，判断 \(x_1,x_2\) 分居极值点两侧；再令 \(x_2=tx_1\)，把 \(f(x_1)=f(x_2)\) 转化为关于 \(x_1,t\) 的方程，解出 \(x_1,x_2\) 或 \(\ln x_1,\ln x_2\).

2. 常见模型： 设 \(t{\gt}1\)，记 \(p(t)=\dfrac{\ln t}{t-1},\quad q(t)=\dfrac{t\ln t}{t-1},\quad r(t)=p(t)+q(t)=\dfrac{(t+1)\ln t}{t-1}.\)

   则常见函数有如下结论：

   

3. 单调辅助结论： 当 \(t{\gt}1\) 时，\(p(t)\) 单调递减，\(q(t)\) 单调递增，\(r(t)\) 单调递增. 事实上

   \[ p'(t)=\dfrac{1-\frac1t-\ln t}{(t-1)^2}{\lt}0,\quad q'(t)=\dfrac{t-1-\ln t}{(t-1)^2}{\gt}0,\quad r'(t)=\dfrac{t-\frac1t-2\ln t}{(t-1)^2}{\gt}0. \]

   这里用到 \(\ln t{\gt}1-\dfrac1t\) 和 \(\ln t{\lt}t-1\).

   令 \(h(t)=t-\dfrac1t-2\ln t\)，则 \(h'(t)=\dfrac{(t-1)^2}{t^2}{\gt}0\)，且 \(h(1)=0\)，所以当 \(t{\gt}1\) 时，\(h(t){\gt}0\).

   因此，\(t\) 增大时，\(p(t)\) 减小，\(q(t)\) 增大，而 \(r(t)=p(t)+q(t)\) 增大.

4. 证明示例一： 若 \(f(x)=\dfrac{x}{e^x}\)，且 \(f(x_1)=f(x_2)\)，\(x_2=tx_1\)，则 \(x_1e^{-x_1}=tx_1e^{-tx_1}.\)

   约去 \(x_1\) 后得 \(e^{(t-1)x_1}=t\)，所以 \(x_1=\dfrac{\ln t}{t-1}\)，\(x_2=\dfrac{t\ln t}{t-1}\).

5. 证明示例二： 若 \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\)，且 \(f(x_1)=f(x_2)\)，\(x_2=tx_1\)，则 \(\dfrac{\ln x_1}{x_1}=\dfrac{\ln(tx_1)}{tx_1}.\)

   化简得 \(t\ln x_1=\ln x_1+\ln t\)，所以 \(\ln x_1=\dfrac{\ln t}{t-1}\)，进而 \(\ln x_2=\ln t+\ln x_1=\dfrac{t\ln t}{t-1}\).

6. 使用方向： 比值换元后，原来的 \(x_1+x_2\)、\(x_1x_2\)、\(\ln x_1+\ln x_2\)、\(f(x_1)\) 等都可以写成关于 \(t\) 的函数. 后续只需研究这个关于 \(t\) 的函数的单调性或最值.

注： 比值换元的本质是“用比例关系消去一个变量”. 它特别适合 \(x\)、\(e^x\)、\(\ln x\) 混合出现，且两点满足 \(f(x_1)=f(x_2)\) 的极值点偏移问题. 使用时要先确认 \(x_1,x_2\) 同号，并根据正负确定 \(t{\gt}1\) 后两个点的顺序.

例题 3. 2021新高考I卷T22

已知函数\(f(x)=x(1-\ln x)\)． (1)讨论\(f(x)\)的单调性；

(2)设\(a\)，\(b\)为两个不相等的正数，且\(b\ln a-a\ln b=a-b\)，证明：\(2 {\lt} \dfrac {1}{a}+\dfrac {1}{b} {\lt} \text{e}\)．

对于第二问，欲证明 \(x_{1}+x_{2} {\lt} \text{e}\) ，令\(x_2 = t x_1\)，则\(t {\gt} 1\)， 由\(x_1(1 - \ln x_1) = x_2(1 - \ln x_2)\)，得\(x_1(1 - \ln x_1) = t x_1(1 - \ln t - \ln x_1)\)， 整理，得\(\ln x_1 = \dfrac{t - 1 - t \ln t}{t - 1}\)（\(t {\gt} 1\)），

要证\(x_1 + x_2 {\lt} \mathrm{e}\)，即\((t + 1)x_1 {\lt} \mathrm{e}\)，即\(\ln(t + 1) + \ln x_1 {\lt} 1\)， 即\(\ln(t + 1) + \dfrac{t - 1 - t \ln t}{t - 1} {\lt} 1\)，即\(\ln(t + 1) {\lt} \dfrac{t \ln t}{t - 1}\)， 即\(\dfrac{\ln(t + 1)}{t} {\lt} \dfrac{\ln t}{t - 1}\)，

令\(h(x) = \dfrac{\ln(x + 1)}{x}\)， \(h'(x) = \dfrac{\dfrac{x}{x + 1} - \ln(x + 1)}{x^2}\)，令\(\varphi(x) = \dfrac{x}{x + 1} - \ln(x + 1)\)，则 \(\varphi'(x) = \dfrac{1}{(x + 1)^2} - \dfrac{1}{x + 1} {\lt} 0\)， \(\therefore \varphi(x)\)在\((0, +\infty)\)上单调递减， \(\therefore \varphi(x) {\lt} \varphi(0) = 0\)， \(\therefore h'(x) {\lt} 0\)， \(\therefore h(x)\)在\((0, +\infty)\)上单调递减， \(\therefore h(t) {\lt} h(t - 1)\)（\(t {\gt} 1\)）， 即\(\dfrac{\ln(t + 1)}{t} {\lt} \dfrac{\ln t}{t - 1}\)，于是\(x_1 + x_2 {\lt} \mathrm{e}\).

结论 3. 差值换元

差值代换背景（差和积商）

已知\(x_1\)，\(x_2\)是方程\(e^{x} - ax = 0\)的两根. 即\(\begin{cases}e^{x_1} = ax_1 \\ e^{x_2} = ax_2 \end{cases}\)，

①差：\(a = \dfrac{e^{x_2} - e^{x_1}}{x_2 - x_1}\)；

②和：\(a(x_1 + x_2) = e^{x_1} + e^{x_2}\)，令\(t = x_2 - x_1\)，则\(x_1 + x_2 = \dfrac{e^{x_1} + e^{x_2}}{a} = \dfrac{(x_2 - x_1)(e^{x_1} + e^{x_2})}{e^{x_2} - e^{x_1}} = \dfrac{t(e^{t} + 1)}{e^{t} - 1}\)；

③积：\(a^{2}x_1x_2 = e^{x_1} \cdot e^{x_2}\)，\(x_1x_2 = \dfrac{e^{x_1} \cdot e^{x_2}}{a^{2}} = \dfrac{(x_2 - x_1)^{2}e^{x_1} \cdot e^{x_2}}{(e^{x_2} - e^{x_1})^{3}} = \dfrac{t^{2}e^{t}}{(e^{t} - 1)^{2}}\)；

④商：\(e^{x_2 - x_1} = \dfrac{x_2}{x_1}\).

可以指化对，对数问题解决过程相对于指数运算量轻松点， 由\(e^{x} = ax\)，不妨设可得\(a {\gt} e\)，\(0 {\lt} x_1 {\lt} 1 {\lt} x_2\)，两边取对， 故\(x = \ln a + \ln x\)，则\(\begin{cases}x_1 = \ln a + \ln x_1 \\ x_2 = \ln a + \ln x_2 \end{cases}\)，两式相减，故\(x_2 - x_1 = \ln x_2 - \ln x_1 = \ln \dfrac{x_2}{x_1}\)，问题转化为对数问题.

结论 4. 对数均值不等式

对于任意两个正实数\(a\)，\(b\)（\(a\neq b\)），有

\[ \sqrt{ab}{\lt}\dfrac{a - b}{\ln a-\ln b}{\lt}\dfrac{a + b}{2} \]

可使用比值换元证明.

例题 4. 2022全国甲卷理科T21

已知函数 \(f(x)=\dfrac{e^{x}}{x}-\ln x+x - a\). (2)证明:若 \(f(x)\) 有两个零点 \(x_{1},x_{2}\)，则 \(x_{1}x_{2}{\lt}1\).

(2)由\(f(x) = \mathrm{e}^{x - \ln x} + (x - \ln x) - a\)，

令\(t = x - \ln x\)，则\(g(t) = \mathrm{e}^t + t - a\)，\(g'(t) = \mathrm{e}^t + 1 {\gt} 0\)， \(t_1 = x_1 - \ln x_1\)，\(t_2 = x_2 - \ln x_2\)， 则\(g(t_1) = g(t_2) = 0\)， 又\(\because g(t)\)单调递增， \(\therefore t_1 = t_2\)． \(\therefore x_1 - \ln x_1 = x_2 - \ln x_2\)， 而\(\dfrac{x_1 - x_2}{\ln x_1 - \ln x_2} = 1\)．

以下证明\(\dfrac{x_1 - x_2}{\ln x_1 - \ln x_2} {\gt} \sqrt{x_1 x_2}\)，

不妨设\(x_1 {\gt} x_2\)， 此不等式等价于\(\dfrac{x_1 - x_2}{\sqrt{x_1 x_2}} {\gt} \ln \dfrac{x_1}{x_2}\)， 即\(\sqrt{\dfrac{x_1}{x_2}} - \sqrt{\dfrac{x_2}{x_1}} - \ln \dfrac{x_1}{x_2} {\gt} 0\)， 令\(t = \sqrt{\dfrac{x_1}{x_2}} {\gt} 1\)， 只需证\(t - \dfrac{1}{t} - \ln t^2 {\gt} 0\)， 即\(t - \dfrac{1}{t} - 2 \ln t {\gt} 0\)．

令\(h(t) = t - \dfrac{1}{t} - 2 \ln t \ (t {\gt} 1)\)， 则\(h'(t) = 1 + \dfrac{1}{t^2} - \dfrac{2}{t} = \dfrac{(t - 1)^2}{t^2} {\gt} 0\)． \(\therefore h(t)\)在\((1, +\infty)\)上单调递增． \(\therefore h(t) {\gt} h(1) = 0\)． \(\therefore \sqrt{x_1 x_2} {\lt} \dfrac{x_1 - x_2}{\ln x_1 - \ln x_2} = 1\)． \(\therefore x_1 x_2 {\lt} 1\)．

导数拓展

定义 1. ALG不等式

对数平均不等式（Arithmetic-Logarithmic-Geometric mean inequality）：对于任意两个正实数\(a\)，\(b\)（\(a\neq b\)），有

\[ \htmlClass{blank}{\sqrt{ab}{\lt}\dfrac{a - b}{\ln a-\ln b}{\lt}\dfrac{a + b}{2}} \]

证明：

先证\(\dfrac{a - b}{\ln a-\ln b}{\lt}\dfrac{a + b}{2}\)， 不妨设\(a {\gt} b {\gt} 0\)，要证\(\dfrac{a - b}{\ln a-\ln b}{\lt}\dfrac{a + b}{2}\)，即证\(\dfrac{2(a - b)}{a + b}{\lt}\ln a-\ln b\)，令\(t=\dfrac{a}{b}\)（\(t{\gt}1\)），则\(a = bt\)，即证\(\dfrac{2(t - 1)}{t + 1}{\lt}\ln t\).

设\(f(t)=\ln t-\dfrac{2(t - 1)}{t + 1}\)，\(t{\gt}1\)，\(f^\prime(t)=\dfrac{1}{t}-\dfrac{4}{(t + 1)^{2}}=\dfrac{(t - 1)^{2}}{t(t + 1)^{2}}{\gt}0\)，\(f(t)\)在\((1,+\infty)\)上单调递增，\(f(t){\gt}f(1)=0\)，即\(\ln t{\gt}\dfrac{2(t - 1)}{t + 1}\)，所以\(\dfrac{a - b}{\ln a-\ln b}{\lt}\dfrac{a + b}{2}\)得证.

再证\(\sqrt{ab}{\lt}\dfrac{a - b}{\ln a - \ln b}\)， 设\(a{\gt}b{\gt}0\)，令\(t = \sqrt{\dfrac{a}{b}}\)，则\(t{\gt}1\)，且\(a = b t^{2}\). 原不等式\(\sqrt{ab}{\lt}\dfrac{a - b}{\ln a - \ln b}\)等价于\(\ln a-\ln b{\lt}\dfrac{a - b}{\sqrt{ab}}\). 将\(t\)代入即证\(2\ln t{\lt}t - \dfrac{1}{t}\)

设\(g(t)=t - \dfrac{1}{t}-2\ln t\)，\(t {\gt} 1\). \(g^\prime(t)=1+\dfrac{1}{t^{2}}-\dfrac{2}{t}=\dfrac{t^{2}-2t + 1}{t^{2}}\) \(=\dfrac{(t - 1)^{2}}{t^{2}}{\gt}0\)， \(g(t)\)在\((1,+\infty)\)上单调递增 ，\(g(t){\gt}g(1)=0\)，即\(t - \dfrac{1}{t}-2\ln t{\gt}0\)，从而\(2\ln t{\lt}t - \dfrac{1}{t}\). 所以\(\sqrt{ab}{\lt}\dfrac{a - b}{\ln a - \ln b}\)得证.

综上，对于任意两个正实数\(a\)，\(b\)（\(a\neq b\)），\(\sqrt{ab}{\lt}\dfrac{a - b}{\ln a-\ln b}{\lt}\dfrac{a + b}{2}\)成立.

定义 2. 指数均值不等式

当 \(m \neq n\) 时，有

\[ e^{\frac{m+n}{2}} {\lt} \frac{e^m - e^n}{m - n} {\lt} \frac{e^m + e^n}{2} \]

差值换元法证明：不妨设\(m{\gt}n\)

\[ \frac{e^m - e^n}{m-n} {\lt} \frac{e^m + e^n}{2} \Rightarrow \frac{e^m - e^n}{e^m + e^n} {\lt} \frac{m-n}{2} \Rightarrow \frac{e^{m-n} - 1}{e^{m-n} + 1} {\lt} \frac{m-n}{2} \]

令 \(t = m-n\)，即证 \(2\dfrac{e^t - 1}{e^t + 1} {\lt} t\)

\[ e^{\frac{m+n}{2}} {\lt} \frac{e^m - e^n}{m-n} \Rightarrow m-n {\lt} \frac{e^m - e^n}{e^{\frac{m+n}{2}}} \Rightarrow m-n {\lt} \frac{e^{m-n} - 1}{e^{\frac{m-n}{2}}} \Rightarrow \frac{m-n}{2} {\lt} \frac{1}{2}\frac{e^{m-n} - 1}{e^{\frac{m-n}{2}}} \]

令 \(t = \dfrac{m-n}{2}\)，即证 \(t {\lt} \dfrac{1}{2}\dfrac{e^{2t} - 1}{e^t} = \dfrac{1}{2}\left(e^t - \dfrac{1}{e^t}\right)\)

结论 1. 对数、指数均值不等式等价图

对数均值不等式和指数均值不等式是等价的，且它们与双曲函数的平均值不等式、平方根函数的平均值不等式也有密切联系，如图所示：

定义 3. 泰勒公式

若\(f(x)\)在点\(x_0\)处可导，则有\(f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0)+o(x - x_0)\).即在点\(x_0\)附近，用一次多项式\(f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0)\)逼近函数\(f(x)\)时，其误差为\((x - x_0)\)的高阶无穷小量.然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为\(o((x - x_0)^n)\)，其中\(n\)为多项式的次数. 为此，我们考察任一\(n\)次多项式\(p_n(x)=a_0 + a_1(x - x_0)+a_2(x - x_0)^2+\cdots+a_n(x - x_0)^n\)（1）

逐次求它在点\(x_0\)处的各阶导数得到.

对于一般函数\(f(x)\)，设它在点\(x_0\)存在直到\(n\)阶的导数. 由这些导数构造一个\(n\)次多项式 \(T_n(x)=f(x_0)+\dfrac{f'(x_0)}{1!}(x - x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n\)（2），称为函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处的泰勒(Taylor)多项式，\(T_n(x)\)的各项系数\(\dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(k = 1,2,\cdots,n)\)称为泰勒系数. 由上面对多项式系数的讨论，易知\(f(x)\)与其泰勒多项式\(T_n(x)\)在点\(x_0\)有相同的函数值和相同的直至\(n\)阶导数值，即\(f^{(k)}(x_0)=T_n^{(k)}(x_0)\)，\(k = 0,1,2,\cdots,n\).

若函数\(f(x)\)在点\(x_0\)存在直至\(n\)阶导数，则有\(f(x)=T_n(x)+o((x - x_0)^n)\)， 即

\[ f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n+o((x - x_0)^n) \text{\quad\quad（3）} \]

\(f(x)-T_n(x)=o((x - x_0)^n)\)，即以(2)所示的泰勒多项式逼近\(f(x)\)时，其误差为关于\((x - x_0)^n\)的高阶无穷小量. 形如\(o((x - x_0)^n)\)的余项称为佩亚诺(Peano)型余项. 所以(3)式称为函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处的泰勒公式，\(R_n(x)=f(x)-T_n(x)\)称为泰勒公式的余项，形如\(o((x - x_0)^n)\)的余项称为佩亚诺(Peano)型余项. 所以(3)式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式.

以后用得较多的是泰勒公式(3)在\(x_0 = 0\)时的特殊形式： \(f(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)\)，它也称为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林(Maclaurin)公式. 由此可得近似公式：

\[ f(x)\approx f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \]

结论 2. 指数函数泰勒展开

\[ e^x = \htmlClass{blank}{1 + x+\dfrac{x^2}{2!}+ \dfrac{x^3}{3!}\cdots+\dfrac{x^n}{n!}}+o(x^n) \]

高考中常见\(\begin{cases}e^x\geq1 + x+\dfrac{x^2}{2}\;(x\geq0)\\e^x\leq1 + x+\dfrac{x^2}{2}\;(x\leq0)\end{cases}\)，由\(x\geq0\)，故\(-x\leq0\)，则\(\begin{cases}e^{-x}\leq1 - x+\dfrac{x^2}{2}\;(x\geq0)\\e^{-x}\geq1 - x+\dfrac{x^2}{2}\;(x\leq0)\end{cases}\)；

相减得：\(e^x - e^{-x}\geq2x(x\geq0)\)，加强型：\(e^x - e^{-x}\geq2x+\dfrac{x^3}{3}\)； 拓展：\(1 + x{\lt}e^x{\lt}\dfrac{1}{1 - x}(0 {\lt} x {\lt} 1)\).

结论 3. 对数函数泰勒展开

\[ \ln(1 + x)=\htmlClass{blank}{x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^{n - 1}\dfrac{x^n}{n}}+o(x^n) \]

\[ \ln x=(x - 1)-\dfrac{1}{2}(x - 1)^2+\cdots+(-1)^{n - 1}\dfrac{1}{n}\cdot(x - 1)^n+o((x - 1)^n) \]

高考中常见：\(\begin{cases}x-\dfrac{x^2}{2}\leq\ln(1 + x)\leq x(x\geq0)\\x-\dfrac{x^2}{2}\leq\ln(1 + x)\leq x-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{3}x^3(x\geq0)\end{cases}\)

估值时可使用下面的方法:

\(\ln(1 + x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^6}{6}+\cdots\)， \(\ln(1 - x)=-x-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^6}{6}+\cdots\)

两式相减得\(\ln\dfrac{1 + x}{1 - x}=2x+\dfrac{2}{3}x^3+\dfrac{2}{5}x^5+\cdots\)

取\(x = \dfrac{1}{3}\)即得符合精度的近似值\(\ln2=2\times\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\times(\dfrac{1}{3})^3+\dfrac{2}{5}\times(\dfrac{1}{3})^5+\cdots\approx0.693\)

结论 4. 三角函数的泰勒展开（人教A必修一P256-26）

\[ \sin x=\htmlClass{blank}{x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^n\dfrac{x^{2n + 1}}{(2n+1)!}}+o(x^{2n+1}) \]

\[ \cos x=\htmlClass{blank}{1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}}+o(x^{2n}) \]

\[ \tan x=\htmlClass{blank}{x+\dfrac{1}{3}x^3}+\dfrac{2}{15}x^5+\dfrac{17}{315}x^7+o(x^7)(|x|{\lt}\dfrac{\pi}{2}) \]

常用的是\(x-\dfrac{x^3}{6}\leq\sin x\leq x\) \((x\geq0)\)， \(1-\dfrac{x^2}{2}\leq\cos x\leq1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}\) \((x\geq0)\)， \(\tan x\geq x\)，\(\tan x\geq x+\dfrac{x^3}{3}\) \((x\geq0)\)

结论 5. 分式函数与幂函数展开

\[ \dfrac{1}{1 - x}=1 + x + x^2+\cdots+x^n+o(x^n)\qquad\qquad\dfrac{1}{1 + x}=1 - x + x^2+\cdots+(-1)^nx^n+o(x^n) \]

\(1 + x + x^2+\cdots+x^n\approx\dfrac{1}{1 - x}(-1 {\lt} x {\lt} 1)\)， \(1 - x + x^2+\cdots+(-x)^n\approx\dfrac{1}{1 + x}(-1 {\lt} x {\lt} 1)\) 均为等比数列求和.

\[ (1 + x)^{\alpha}=\htmlClass{blank}{1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2+\cdots+\dfrac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)}{n!}x^n+\cdots},\;x\in(-1,1) \]

\((1 + x)^{\alpha}=C_{\alpha}^0\cdot x^0+C_{\alpha}^1\cdot x^1+C_{\alpha}^2\cdot x^2+C_{\alpha}^3\cdot x^3+\cdots+C_{\alpha}^n\cdot x^n+o(x^n)\)可以理解为二项式展开.

定义 4. 帕德逼近

考虑用分式来逼近函数，即所谓分式逼近．一种分式逼近的最常用方法称为帕德逼近． 帕德逼近的思想与泰勒展开是类似的．其想法如下：对某个函数\(f(x)\)，考虑一个分式 \(r_{m/n}(x)=\dfrac{p_m(x)}{q_n(x)}\)，这里\(p_m(x)\text{、}q_n(x)\)分别为\(m,n\)次多项式．我们想找到这样的分式，使得对一点\(x_0\)有：

\[ \begin{aligned} f(x_0)=r_{m/n}(x_0)\quad f'(x_0)=r'_{m/n}(x_0)\quad f''(x_0)=r''_{m/n}(x_0)\quad \cdots \quad f^{(m + n)}(x_0)=r_{m/n}^{(m + n)}(x_0) \end{aligned} \]

如果这样的分式\(r_{m/n}(x)\)存在，我们就称其为原函数的一个帕德逼近．

结论 6. 帕德逼近公式

下面列出\(f(x)=e^x\)的一些帕德逼近公式，括号中表示在\(x = 0\)附近前后逼近公式与\(f(x)=e^x\)的大小关系： {

}

{

}

{

}

定义 5. 洛必达法则

洛必达法则是在一定条件下，通过对分子、分母分别求导来求未定式极限的方法，用于计算 \(\dfrac{0}{0}\) 型和 \(\dfrac{\infty}{\infty}\) 型极限．

1. \(\dfrac{0}{0}\) 型：若 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0\)，\(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=0\)，且 \(f(x)\)，\(g(x)\) 在 \(x_0\) 的某去心邻域内可导，\(g'(x)\neq0\)，并且 \(\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\) 存在或为无穷大，则 \(\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}.\)

2. \(\dfrac{\infty}{\infty}\) 型：若 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty\)，\(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=\infty\)，且 \(f(x)\)，\(g(x)\) 在 \(x_0\) 的某去心邻域内可导，\(g'(x)\neq0\)，并且 \(\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\) 存在或为无穷大，则 \(\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}.\)

3. 无穷远处的洛必达法则：当 \(x\to+\infty\) 或 \(x\to-\infty\) 时，若 \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\) 是 \(\dfrac{0}{0}\) 型或 \(\dfrac{\infty}{\infty}\) 型，且满足相应可导条件，也可以使用洛必达法则．

4. 多次使用：若使用一次洛必达法则后，\(\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\) 仍为 \(\dfrac{0}{0}\) 型或 \(\dfrac{\infty}{\infty}\) 型，且条件仍满足，可以继续使用洛必达法则，直到极限可求为止．

5. 其他未定式的转化：洛必达法则不能直接用于 \(0\cdot\infty\)、\(\infty-\infty\)、\(0^0\)、\(1^\infty\)、\(\infty^0\) 等形式，应先转化为 \(\dfrac{0}{0}\) 型或 \(\dfrac{\infty}{\infty}\) 型．例如 \(0\cdot\infty\) 型可通过倒数转化为分式，\(\infty-\infty\) 型常通过通分、有理化、取公共因式等方法转化，指数型未定式常先取对数再处理．

注意：

1. 使用洛必达法则前，必须先判断原极限是否为 \(\dfrac{0}{0}\) 型或 \(\dfrac{\infty}{\infty}\) 型，不能看到分式就直接分子分母求导；

2. 洛必达法则是对分子、分母分别求导，不是对整个分式求导，即 \(\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'\neq\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\)；

3. 分母导数 \(g'(x)\) 在所讨论的去心邻域内不能为 \(0\)；

4. 若 \(\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\) 不存在，不能据此断定原极限不存在，需要改用其他方法；

5. 对高中题而言，洛必达法则更适合作为检验或拓展方法，正式解答中仍应优先考虑等价变形、放缩、构造函数、泰勒展开等方法．

常见例子： \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1,\qquad \lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}=1,\qquad \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1.\)

定理 1. 罗尔中值定理

设函数 \(y = f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上有定义，如果满足 函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续， 函数 \(f(x)\) 在开区间 \((a,b)\) 内可导， 函数 \(f(x)\) 在区间两端点处的函数值相等，即 \(f(a)=f(b)\). 则在区间 \((a,b)\) 内至少存在一点 \(\xi\)，即 \(\xi\in(a,b)\)，使得

\[ f'(\xi)=0 \]

性质 1. 罗尔中值定理的几何意义

如果连续函数除两个端点外处处有不垂直于 \(x\) 轴的切线，并且两端点处纵坐标相等，那么在曲线上至少存在一点 \(\xi\)，在该点处的切线平行于 \(x\) 轴.

定理 2. 拉格朗日中值定理

设函数 \(y = f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上有定义，如果满足 函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续； 函数 \(f(x)\) 在开区间 \((a,b)\) 内可导； 则在区间 \((a,b)\) 内至少存在一点 \(\xi\)，即 \(\xi\in(a,b)\)，使得

\[ f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b - a} \quad \text{或}\quad f(b)-f(a)=f'(\xi)\cdot(b - a) \]

性质 2. 拉格朗日中值定理的几何意义

当曲线方程满足拉格朗日定理的要求时，在区间内至少存在一点 \(\xi\)，使得该点的切线平行于曲线两端点 \((a,f(a))\) 与 \((b,f(b))\) 的连线，其斜率为

\[ k = f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b - a} \]

推论 1： 设 \(y = f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，若在 \((a,b)\) 内的导数恒为零，则在 \([a,b]\) 上 \(f(x)\) 为常数，即 \(f'(x)\equiv0\Rightarrow f(x)\equiv C\)

推论 2： 如果函数 \(y = f(x)\) 与 \(y = g(x)\) 在区间 \((a,b)\) 内的导数处处相等，即 \(f'(x)=g'(x)\)，则这两个函数在 \((a,b)\) 内只相差一个常数，即 \(f(x)-g(x)=C\).

定理 3. 柯西中值定理

设函数 \(y = f(x)\) 与 \(y = g(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上有定义，如果满足 函数 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续， 函数 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 在开区间 \((a,b)\) 内可导， \(g'(x)\) 在区间 \((a,b)\) 内恒不为零， 则在区间 \((a,b)\) 内至少存在一点 \(\xi\)，即 \(\xi\in(a,b)\)，使得

\[ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} \]

题型

函数图象的切线

题型 1. 已知切点求切线方程

题型识别： 已知函数\(y=f(x)\)及切点横坐标\(x_0\)、切点坐标或切点处的导数，求该点处的切线方程.

核心思路： 切线经过\(P(x_0,f(x_0))\)，斜率为\(f'(x_0)\). 先求切点和斜率，再用点斜式；斜率不存在时须单独判断是否为竖直切线.

解题步骤：

1. 确定切点横坐标\(x_0\)，求出\(P(x_0,f(x_0))\)；

2. 求\(f'(x)\)，代入\(x_0\)得到斜率\(k=f'(x_0)\)；

3. 写出\(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\)；

4. 对斜率为\(0\)或不存在的情形作单独检查.

易错点： 将\(f'(x)\)误当成切线斜率而未代入\(x_0\)；切点纵坐标写错；漏掉竖直切线的可能.

题型 2. 过定点作曲线的切线

题型识别： 已知曲线\(y=f(x)\)与定点\(A(x_1,y_1)\)，求过\(A\)的切线方程或切线条数.

核心思路： 切点未知，设为\(P(t,f(t))\). 以\(t\)表示切线后，将定点\(A\)代入，得到关于\(t\)的方程；每个符合定义域的实根对应一条切线.

解题步骤：

1. 设切点横坐标为\(t\)，写出切线\(y-f(t)=f'(t)(x-t)\)；

2. 将\(A(x_1,y_1)\)代入，化为关于\(t\)的方程；

3. 解出所有满足定义域的\(t\)，逐个求切线方程；

4. 若只问条数，仍需核查不同\(t\)是否给出同一条直线.

易错点： 把给定点误当作切点；漏检切点横坐标的定义域；只求出一个根便停止讨论.

题型 3. 已知直线与曲线相切求参数

题型识别： 已知含参数的直线或函数，并给出“相切”条件，求参数、切点或切线方程.

核心思路： 相切意味着函数值相等且斜率相等. 设切点横坐标为\(t\)，联立\(f(t)=ell(t)\)与\(f'(t)=\ell'(t)\)；若参数容易由其中一式表示，可先消参再求\(t\).

解题步骤：

1. 写出直线\(y=\ell(x)\)及其斜率\(\ell'(x)\)；

2. 设切点横坐标为\(t\)，列\(f(t)=\ell(t)\)、\(f'(t)=\ell'(t)\)；

3. 消去\(t\)或参数，解出全部候选值；

4. 回代检验相切而非仅相交，并写出题目所求量.

易错点： 只列函数值相等漏列斜率相等；用判别式时未说明重根对应相切；忽略参数取值造成的定义域限制.

题型 4. 两曲线的公切线

题型识别： 求两条函数图象在不同切点处的公切线，或判断公切线的条数.

核心思路： 设公切线分别切于\(P(t,f(t))\)、\(Q(s,g(s))\). 同一直线要求两点处斜率相等，且连接两切点的斜率也等于该斜率.

解题步骤：

1. 设两个切点横坐标为\(t,s\)；

2. 列\(f'(t)=g'(s)\)；

3. 再列\(f'(t)=\dfrac{g(s)-f(t)}{s-t}\)，切点重合时改用同一点相切条件；

4. 解出\(t,s\)后，代入任一切点的点斜式写出公切线.

易错点： 只令两导数相等而未保证是同一条直线；分式中默认\(s\ne t\)而漏掉重合切点；忽略平移函数可先利用图形关系简化.

单调性、极值与最值

题型 1. 无参函数的单调区间、极值与最值

题型识别： 函数不含待定参数，要求求单调区间、极值或闭区间最值，导函数的符号可直接判断或经因式分解后判断.

核心思路： 先由定义域确定研究区间，再以\(f'(x)\)的零点和不可导点为分界点作符号表. 极值看导数是否变号，最值还要比较端点与极值点函数值.

解题步骤：

1. 写出函数定义域，求\(f'(x)\)并整理为便于判号的形式；

2. 求出\(f'(x)=0\)的根及导数无意义点，按大小划分区间；

3. 判断各区间内\(f'(x)\)的正负，写出单调性与极值；

4. 若求最值，在所有端点和极值点处计算函数值并比较.

易错点： 漏掉定义域边界或导数无意义点；把\(f'(x_0)=0\)直接断言为极值；闭区间最值只比较极值而漏掉端点.

题型 2. 二次求导判断导函数符号

题型识别： \(f'(x)\)含指数、对数、分式或复杂多项式，零点难以直接求出，但\(f''(x)\)容易判号.

核心思路： 研究\(f''(x)\)可确定\(f'(x)\)的单调性，再用一个特殊点、端点极限或零点定理判断\(f'(x)\)的符号或零点个数. 目标仍是原函数\(f(x)\)的单调性.

解题步骤：

1. 对\(f'(x)\)继续求导，分析\(f''(x)\)的正负；

2. 得出\(f'(x)\)的单调性，并结合特殊函数值或极限定位其零点；

3. 回到\(f'(x)\)的符号表；

4. 据此写出\(f(x)\)的单调性、极值或最值.

易错点： 求出\(f''(x)\)后直接讨论\(f(x)\)；用一个点的函数值代替零点存在性证明；未说明\(f'(x)\)连续便使用零点定理.

题型 3. 含参函数的单调性与极值

题型识别： 导函数中含参数，要求讨论单调区间、极值、最值或参数范围.

核心思路： 参数影响的是\(f'(x)\)的零点及符号. 先把\(f'(x)\)化为便于比较的结构，按零点是否存在、零点位置及重根情形分类；必要时通过\(f''(x)\)证明导函数至多一个零点.

解题步骤：

1. 写出定义域和\(f'(x)\)，找出参数影响的关键表达式；

2. 讨论\(f'(x)=0\)是否有根、根是否位于定义域内；

3. 以参数临界值为界分类，逐类作\(f'(x)\)符号表；

4. 写出每类的单调性与极值，并检查临界参数是否单列.

易错点： 不讨论零点是否在定义域内；把“导函数有根”误写成“原函数有极值”；遗漏导函数恒正、恒负或重根的临界情形.

题型 4. 导函数零点个数与原函数图象

题型识别： 要求讨论\(f'(x)\)或\(f(x)\)的零点个数，常出现含参函数、指数对数函数或“至多有几个零点”的证明.

核心思路： 对零点个数先证明“至多有”，再证明“至少有”. 单调性给出至多一个零点，特殊点异号或端点极限给出至少一个零点；含参时极值与\(x\)轴的位置决定零点数.

解题步骤：

1. 确定待研究函数的定义域，求导分析其单调性；

2. 利用单调性、极值或二次求导说明零点个数上界；

3. 取特殊点、比较端点极限或构造异号区间说明零点存在；

4. 合并“至少”与“至多”结论，含参题按临界函数值分类.

易错点： 只证明存在而未证明唯一；端点不在定义域时直接代入端点；以图形直觉代替函数值正负和连续性论证.

指数、对数结构的处理

题型 1. 含\(e^x\)的方程与不等式

题型识别： 方程或不等式含\(e^x\)、\(xe^x\)、\(e^x\)与多项式混合，直接求导后结构复杂.

核心思路： 优先通过同除\(e^x\)、提取\(e^x\)或构造差函数，让导数具有可判号的乘积结构. 常用基本放缩\(e^x\geq 1+x\)，但必须核对取等条件和适用范围.

解题步骤：

1. 观察能否写成\(e^x\varphi(x)\)、\(\dfrac{\varphi(x)}{e^x}\)或两个函数之差；

2. 选择变形后导数最简单的函数作为研究对象；

3. 用单调性、极值或\(e^x\geq1+x\)判断正负、根数或参数范围；

4. 回到原式说明等价变形及取等情形.

易错点： 除以\(e^x\)后遗漏其恒正性；把\(e^x\geq1+x\)误当作只对\(x{\gt}0\)成立；变形后未回扣原方程的等价性.

题型 2. 含\(\ln x\)的方程与不等式

题型识别： 表达式含\(\ln x\)、\(x\ln x\)或对数与分式混合，要求证明不等式、讨论根数或求参数.

核心思路： 先写清\(x{\gt}0\). 对\(x\ln x\)等结构常同除以\(x\)使对数单独出现；再构造“对数项加有理项”的函数，利用\((\ln x)'=\dfrac1x\)降复杂度.

解题步骤：

1. 先确定所有对数真数为正给出的定义域；

2. 尝试同除\(x\)、换元或移项，使\(\ln x\)尽量单独保留；

3. 求导并借助\(\ln x\leq x-1\)、\(\ln(1+x)\leq x\)或单调性判号；

4. 检查取等点是否属于定义域，再写出最终结论.

易错点： 忘记\(x{\gt}0\)；同乘或同除\(x\)时未说明其正性；把\(\ln x\leq x-1\)的等号条件\(x=1\)漏掉.

导数综合大题

题型 1. 隐零点代换求最值或证不等式

题型识别： \(f'(x)=0\)存在唯一根但无法显式求出，题目要求最值、零点讨论或不等式证明.

核心思路： 不求隐零点的具体值，设其为\(x_0\). 由\(f'(x_0)=0\)得到指数、对数、参数或分式之间的关系，代入\(f(x_0)\)或目标式消元；再结合\(x_0\)所在区间估计.

解题步骤：

1. 证明\(f'(x)\)在定义域内有唯一零点\(x_0\)；

2. 写出\(f'(x_0)=0\)给出的等价关系；

3. 利用该关系化简\(f(x_0)\)、参数或待证式；

4. 结合导数符号和\(x_0\)范围完成最值、根数或不等式结论.

易错点： 没有证明唯一性便使用隐零点；代换关系方向写反；将\(x_0\)当作可直接求出的常数而失去范围信息.

方法反思： 隐零点题的关键是“用方程，不求根”. 导数零点满足的关系通常比零点本身更有价值.

题型 2. 切线与割线放缩

题型识别： 要求证明函数值差、对数差、指数差或分式差的不等式，目标中含\(f(x)-f(a)\)、\(f'(a)\)或两点间的比值.

核心思路： 把不等式理解为曲线在切线或割线一侧. 直接作差构造\(F(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)\)，或把两点差商转化为辅助函数，再通过导数证明正负.

解题步骤：

1. 识别目标是“切线放缩”还是“两点差商放缩”；

2. 按目标构造函数差或差商函数，保证在取等点为\(0\)；

3. 求导研究辅助函数的单调性或凸凹性；

4. 根据自变量相对位置确定不等式方向，并写明等号条件.

易错点： 未限定\(x\)与切点的相对位置便断言方向；凸函数与凹函数的切线方向记反；只验证局部导数而未覆盖题设区间.

题型 3. 含参不等式恒成立的必要探路与临界构造

题型识别： 求参数使\(F_a(x)\geq0\)或\(F_a(x)\leq0\)在区间上恒成立，且直接分类复杂.

核心思路： 先代入端点、\(0\)、\(1\)、\(e\)等特殊点缩小参数范围，再寻找临界状态：内点取等时常有\(F_a(x_0)=F_a'(x_0)=0\)，相切时函数值与导数同时相等. 探路得到的仅是必要条件，最后必须证明充分性.

解题步骤：

1. 写清主元、参数和定义域，代入特殊点取得必要条件；

2. 判断临界状态来自端点、内点极值还是两图象相切；

3. 列相应的函数值、导数值条件，求出候选临界参数；

4. 对候选范围作严格证明，可用分离参数、端点放缩或导数判号.

易错点： 把特殊点探路得到的必要条件当成充分条件；遗漏端点处取等的情形；相切条件只列函数值相等而漏列斜率相等.

题型 4. 多变量条件下的单变量化

题型识别： 已知\(f(x_1)=f(x_2)\)、两个零点或两个正变量满足函数关系，要求证明\(x_1+x_2\)、\(x_1x_2\)或其范围.

核心思路： 先由单调性确定\(x_1,x_2\)位于极值点两侧，再按目标选择构造：和的比较常用对称化\(F(x)=f(x)-f(2x_0-x)\)，积的比较常用倒数对称化\(F(x)=f(x)-f\left(\dfrac{x_0^2}{x}\right)\)；也可令\(x_2=tx_1\)或\(t=x_2-x_1\)降为单变量.

解题步骤：

1. 由\(f(x_1)=f(x_2)\)和单调性确定两变量的大小及所在区间；

2. 按目标是和、积、比或差，选对称化、倒数对称化、比值换元或差值换元；

3. 构造辅助函数并以导数判定其符号；

4. 代入\(x_1,x_2\)，借助原等式与单调性推出目标不等式.

易错点： 未先证明两变量分居极值点两侧；对称点或倒数对称点不在定义域；换元后漏掉\(t{\gt}1\)等范围条件.

题型 5. 求和不等式的单项放缩

题型识别： 要求证明含\(n\)项的和或积不等式，单项中含对数、指数、分式或递推结构.

核心思路： 先由导数证明单项不等式，再把每项放缩成相邻两项之差或之比，形成裂项相消或连乘约分. 若目标是乘积，可先确认正性后取对数转化为和.

解题步骤：

1. 观察右端能否写成\(B_k-B_{k-1}\)或\(\dfrac{B_k}{B_{k-1}}\)；

2. 构造函数证明每一项的放缩关系；

3. 对不等式逐项求和或逐项相乘，完成相消或约分；

4. 处理首尾项、等号条件和正性条件.

易错点： 只凭经验写出单项放缩而未证明；裂项时首尾项漏写；乘积取对数前未确认各项为正.