平面向量

定义与运算法则

定义 1. 向量（人教A必修二P2）

向量的概念：数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量. 向量的几何表示： 0.69 有向线段：具有方向的线段叫做有向线段. 以 (A ) 为起点、 (B ) 为终点的有向线段记作 ( AB )， 线段 (AB ) 的长度也叫做有向线段 ( AB ) 的长度，记作 ( AB ). 有向线段三要素：起点，方向，长度. 0.3 [scale = 0.8, >= Stealth[scale=1.2] ] (A) at (0,0); (B) at (2,1); [->] (A) -- (B) node[midway,above] ; at (A) [left] (A )（起点） ; at (B) [right] (B )（终点） ; [start=2] 向量可以用有向线段 AB 来表示，我们把这个向量记作向量 AB . 有向线段的长度 AB 表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向. 向量 AB 的大小称为向量 AB 的长度（或称模）， 记作 AB . 零向量：长度为0的向量叫做零向量. 记作 ( 0 ).规定零向量与任意向量平行. 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量. 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 相反向量：与向量 ( a ) 长度相等，方向相反的向量，叫做 ( a ) 的相反向量，记作 ( - a ). 平行向量（共线向量）： 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. 向量 ( a ) 平行于向量 ( b )，记作 ( a b ). 任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量.

定义 2. 向量加法及其运算法则（人教A必修二P7）

三角形法则： 已知非零向量 ( a )， ( b )，在平面内任取一点 (A )，作 ( AB = a )， ( BC = b )，则向量 ( AC )叫做 ( a )与 ( b )的和，记作 ( a + b )，即 ( a + b = AB + BC = AC ).这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. 平行四边形法则： 以同一点 (O )为起点的两个已知向量 ( a )， ( b )为邻边作 ( OACB )，则以 (O )为起点的对角线 ( OC )就是 ( a )与 ( b )的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 多边形法则： A_1A_2 + A_2A_3 + + A_ n-1 A_n = A_1A_n ； [scale = 1, >= Stealth[scale=1.2] ] % 绘制第一个三角形 (TriA) at (0,0); (TriB) at (2,0); (TriC) at (1,1.5); [->] (TriA) -- (TriB) node[midway, below] ( a ) ; [->] (TriB) -- (TriC) node[midway, right] ( b ) ; [->, blue] (TriA) -- (TriC) node[midway, above left] ( a + b ) ; at (TriA) [below left] (A ) ; at (TriB) [below right] (B ) ; at (TriC) [above] (C ) ; % 绘制第二个平行四边形 (ParaO) at (4,0); (ParaA) at (6,0); (ParaB) at (5,1.5); (ParaC) at (7,1.5); [->] (ParaO) -- (ParaA) node[midway, below] ( a ) ; [->] (ParaO) -- (ParaB) node[midway, left] ( b ) ; [->, blue] (ParaO) -- (ParaC) node[midway, below] ( a + b ) ; [dashed] (ParaA) -- (ParaC); [dashed] (ParaB) -- (ParaC); at (ParaO) [below left] (O ) ; at (ParaA) [below right] (A ) ; at (ParaB) [above left] (B ) ; at (ParaC) [above right] (C ) ; % 绘制第三个多边形 (A1) at (10,0); (A2) at (9,0.7); (A3) at (10,1.4); (A4) at (11,1.4); (An_1) at (12,0.7); (An) at (11,0); [->] (A1) -- (A2) ; [->] (A2) -- (A3) ; [->] (A3) -- (A4) ; [dashed, ->] (A4) -- (An_1); [->] (An_1) -- (An) ; [->, blue] (A1) -- (An) ; at (A1) [below left] (A_1 ) ; at (A2) [left] (A_2 ) ; at (A3) [above left] (A_3 ) ; at (A4) [above right] (A_4 ) ; at (An_1) [right] (A_ n-1 ) ; at (An) [below right] (A_n ) ;

定义 3. 向量的减法

0.75 定义：向量 ( a ) 加上 ( b ) 的相反向量，叫做 ( a ) 与 ( b ) 的差， 即 ( a - b = a +(- b ) )，求两个向量差的运算叫做向量的减法.减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. 几何意义：在平面内任取一点 (O )，作 OA = a ， OB = b ，则 BA = a - b . 即 a - b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 0.24 [scale = 1, >= Stealth[scale=1.2] ] (O) at (0,0); (A) at (2,0); (B) at (1,1); [->] (O) -- (A) node[midway, below] ( a ) ; [->] (O) -- (B) node[midway, left] ( b ) ; [->, blue] (B) -- (A) node[midway,right] ( a - b ) ; at (O) [below left] (O ) ; at (A) [below right] (A ) ; at (B) [above left] (B ) ;

定义 4. 向量数乘

实数 ( ) 与向量 ( a ) 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ( a )，其长度与方向规定如下： [label=( )] 长度： ( a = a ). 方向： ( 当 >0 时， a 的方向与 a 的方向相同； 当 <0 时， a 的方向与 a 的方向相反 . ) 当 ( = 0 ) 时， ( a = 0 ). ((-1) a =- a ). 向量数乘的运算律: ( ( a ) = ( ) a )， (( + ) a = a + a )， ( ( a + b )= a + b )， 特别地， ((- ) a =- a = (- a ) )， ( ( a - b )= a - b ). 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 向量线性运算的结果仍是向量. 对于任意向量 ( a )， ( b )，以及任意实数 ( )， ( _1 )， ( _2 )，恒有 [ ( _1 a _2 b ) = _1 a _2 b . ]

定理 1. 平面向量的共线定理

对于向量 ( a ( a 0 ) )、 ( b )，如果有一个实数 ( )，使 ( b = a )，那么由向量数乘的定义知， ( a ) 与 ( b ) 共线. 反过来，已知向量 ( a ) 与 ( b ) 共线， ( a 0 )，且向量 ( b ) 的长度是向量 ( a ) 的长度的 ( ) 倍，即 ( b = a )，那么： 当 ( a ) 与 ( b ) 同方向时，有 ( b = a )；当 ( a ) 与 ( b ) 反方向时，有 ( b =- a ). 综上，我们有如下定理： 向量 ( a )（ ( a 0 )）与 ( b )共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ( )，使 ( b = a ). 若向量 ( a , b ) 不共线，则 ( a + b = 0 ) 的充要条件是 ( = = 0 )，这一结论结合待定系数法应用非常广泛.

定理 2. 共线向量表示定理(爪子定理)

0.65 平面上 (O )， (A )， (B ) 三点不共线， (D ) 在直线 (AB ) 上，且 ( AD = AB )，令 ( OA = a )， ( OB = b )，有 [ OD = b +(1 - ) a ] 其表达意思就是从一个顶点 (O ) 引出三个向量，且它们共线，每一个向量 ( a )， ( b ) 分别乘以它对面的比值. 特殊点：当 (D ) 为 (AB ) 中点时， ( = 1 2 )， ( OD = 1 2 b + 1 2 a ) 0.34 [scale=1.5, >= Stealth[scale=1.2] ] (O) at (0,1); (A) at (-1.5,0); (B) at (1,0); (D) at (-0.3,0); [->] (O) -- (A) node[midway,left] ( a ) ; [->] (O) -- (B) node[midway,right] ( b ) ; [->, blue] (O) -- (D); (A) -- (B); at (A) [below left] (A ) ; at (B) [below right] (B ) ; at (O) [above] (O ) ; at (D) [below] (D ) ;

定义 5. 向量的夹角

已知两个非零向量 ( a )， ( b )， (O ) 是平面上的任意一点，作 ( OA = a )， ( OB = b )，则 ( AOB = (0 ) ) 叫做向量 ( a ) 与 ( b ) 的夹角. 0.7 1. 向量 ( a ) 与 ( b ) 的夹角一般可记为 ( a , b ). 2. 当 ( = 0 ) 时， ( a ) 与 ( b ) 同向；当 ( = ) 时， ( a ) 与 ( b ) 反向. 3. 如果 ( a ) 与 ( b ) 的夹角是 ( 2 )，我们就说 ( a ) 与 ( b ) 垂直，记作 ( a b ). 0.29 [scale = 1, >= Stealth[scale=1.2] ] (O) at (0,0); (A) at (2,0); (B) at (1,1.5); [->, thick, black] (O) -- (A) node[midway, below] ( a ) ; [->, thick, black] (O) -- (B) node[midway, above left] ( b ) ; [blue] (0.4,0) arc (0:56.3:0.4); [blue] at (0.6,0.3) ( ) ; at (O) [below left] (O ) ; at (A) [right] (A ) ; at (B) [above right] (B ) ;

定义 6. 数量积（人教A必修二P16）

已知两个非零向量 ( a ) 与 ( b )，它们的夹角为 ( )，把 ( a b ) 叫做向量 ( a ) 与 ( b ) 的数量积（或内积）， 记作 ( a b )，即 [ a b = a b ] 零向量与任意向量的数量积为 (0 )，即 ( 0 a =0 ). 向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量. 设 ( a )， ( b )是非零向量，它们的夹角是 ( )， ( e )是与 ( b )方向相同的单位向量，则有： ( a e = e a = a ) ( a b =0 a b ) ( a = a a ) ( = a b a b ) ( a b a b ) 当 ( a )与 ( b )同向时， ( a b = a b )；当 ( a )与 ( b )反向时， ( a b = - a b ). 特别地， ( a a = a ^2 ) 或 ( a = a a ). 运算律： ( a b = b a ) ( ( a b )=( a ) b = a ( b ) ) (( a + b ) c = a c + b c )

定义 7. 数量积的几何意义

设 ( a )， ( b ) 是两个非零向量， ( AB = a )， ( CD = b )：过 ( AB ) 的起点和终点，分别作 ( CD ) 所在直线的垂线，垂足分别为 (A_1 )， (B_1 )，得到 ( A_1B_1 )，我们称上述变换为向量 ( a ) 向向量 ( b ) 投影， ( A_1B_1 ) 叫做向量 ( a ) 在向量 ( b ) 上的投影向量. 在平面内任取一点 ( O )，作 ( OM = a )， ( ON = b ). 过点 ( M ) 作直线 ( ON ) 的垂线，垂足为 ( M_1 )，则 ( OM_1 ) 就是向量 ( a ) 在向量 ( b ) 上的投影向量. 若 ( a ) 与 ( b ) 的夹角为 ( )，我们通常把 ( a ) 叫做 ( a ) 在 ( b ) 方向上的投影. 投影值可正可负也可为 (0 ). 0.45 ( a ) 在 ( b ) 方向上的 投影 ： ( a = a b b ) ( a ) 在 ( b ) 方向上的 投影向量 ： ( a b b = a b b ^2 b ) 0.5 [>=Stealth, scale=0.7] % 左图 [->, blue] (0, 0) -- (5, 0) node[below] D node[midway, below] b ; [below ] at (0, 0) C ; (1, 0) circle (1.5pt) node[below] A_1 ; (4, 0) circle (1.5pt) node[below] B_1 ; [->, thick] (1, 0) -- (4, 0) ; (1, 1.5) circle (1.5pt) node[above left] A ; (4, 2.5) circle (1.5pt) node[right] B ; [->, thick, red] (1, 1.5) -- (4, 2.5) node[midway, above] a ; [dashed] (1, 1.5) -- (1, 0); [dashed] (4, 2.5) -- (4, 0); % 右图 [xshift=7cm] (0, 0) circle (1.5pt) node[below ] O ; [->, blue] (0, 0) -- (4, 0) node[below] N node[midway, below] b ; (3, 0) circle (1.5pt) node[below] M_1 ; [->, thick] (0, 0) -- (3, 0); (3, 2) circle (1.5pt) node[right] M ; [->, thick, red] (0, 0) -- (3, 2) node[midway, above] a ; [dashed] (3, 2) -- (3, 0);

题型 1. 数量积问题

例如，求 ( PA PB ) 的值或取值范围，可尝试以下思路 基底法: 令 ( PA = x_1 a + y_1 b )， ( PB = x_2 a + y_2 b )，其中 ( a , b )， ( a , b ) 已知 建系: 遇到规则的方便建系的特殊图形，直接建系写坐标即可， ( PA = (x_1, y_1) )， ( PB = (x_2, y_2) ) 极化恒等式: 设 (M ) 为 (AB ) 中点， ( PA PB = PM ^2 - MA ^2 )，适用于 (AB ) 定长或 (PM ) 定长 投影法: ( PA PB = PA PB )，适用于 (P ) 为定点， (A,B ) 中有一个定点

定理 3. 平面向量基本定理

如果 ( e_1 )、 ( e_2 ) 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量 ( a )，有且只有一对实数 ( _1 )、 ( _2 )，使 ( a = _1 e_1 + _2 e_2 ). 若 ( e_1 )， ( e_2 )不共线，我们把 ( e_1 , e_2 )叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

定理 4. 三点共线

已知 (A )、 (B )、 (C )、 (P ) 为平面内四点， (A )、 (B )、 (C ) 三点在一条直线上 ( ) 存在一对实数 (m )、 (n )，使 ( PC =m PA +n PB )，且 (m + n = 1 ).

定义 8. 向量的坐标表示

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 在平面直角坐标系中，分别取与 (x ) 轴、 (y ) 轴方向相同的两个单位向量 ( i )、 ( j ) 作为基底. 对于平面内的一个向量 ( a )，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 (x )、 (y )，使得： ( a =x i +y j ). 平面内的任一向量 ( a ) 都可以由 (x )、 (y ) 唯一确定，我们把有序数对 ((x,y) ) 叫做向量 ( a ) 的坐标，记作： ( a =(x,y) )，此式叫做向量的坐标表示. 其中 (x ) 叫做 ( a ) 在 (x ) 轴上的坐标， (y ) 叫做 ( a ) 在 (y ) 轴上的坐标. 以原点 (O ) 为起点作 ( OA = a )，则点 (A ) 的位置由向量 ( a ) 唯一确定. 设 ( OA = x i + y j )，则向量 ( OA ) 的坐标 ((x, y) ) 就是 终点 (A ) 的坐标；反过来，终点 (A ) 的坐标 ((x, y) ) 也就是向量 ( OA ) 的坐标. 因为 ( OA = a )，所以终点 (A ) 的坐标 ((x, y) ) 就是向量 ( a ) 的坐标. 0.49 [scale=0.6, >=Stealth, line cap=round, line join=round] % axes [->] (-0.3,0) -- (4,0) node[right] x ; [->] (0,-0.3) -- (0,4.2) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; % basis vectors i, j [->, thick, red] (0,0) -- (1.0,0) node[midway, below] i ; [->, thick, red] (0,0) -- (0,1.0) node[midway, left] j ; % a vector (translation shown) (P) at (1.5,1); (Q) at (3.5,3.5); [->, thick, blue] (P) -- (Q) node[midway, above left] a ; % dashed projections for tail and head [densely dashed] (P) -- (P - 0,0); [densely dashed] (P) -- (0, 1 ); [densely dashed] (Q) -- (Q - 0,0); [densely dashed] (Q) -- (0, 3.5 ); 0.49 [scale=0.6, >=Stealth, line cap=round, line join=round] % axes [->] (-0.3,0) -- (4,0) node[right] x ; [->] (0,-0.3) -- (0,4.2) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; % basis vectors i, j [->, thick, red] (0,0) -- (1.0,0) node[midway, below] i ; [->, thick, red] (0,0) -- (0,1.0) node[midway, left] j ; % point and vector OA (A) at (2,2.5); [->, thick, blue] (0,0) -- (A); [above right] at (A) A(x,y) ; % projections [densely dashed] (A) -- (A - 0,0); [densely dashed] (A) -- (0, 2.5 ); % labels x, y [below] at (A - 0,0) x ; [left] at (0, 2.5 ) y ;

定义 9. 坐标运算（人教A必修二P25）

已知 ( a =(x_1,y_1) )， ( b =(x_2,y_2) )，则 [ a b =(x_1 x_2,y_1 y_2) a =( x_1, y_1) a b =x_1x_2 + y_1y_2 a = a a = x_1^2 + y_1^2 ] [ a , b = a b a b = x_1x_2 + y_1y_2 x_1^2 + y_1^2 x_2^2 + y_2^2 a b x_1y_2 - x_2y_1 = 0 a b x_1x_2 + y_1y_2 = 0 ] 已知 (A(x_1,y_1) )， (B(x_2,y_2) )，则 ( OA =(x_1,y_1) )， ( OB =(x_2,y_2) )， 则 [ AB = OB - OA =(x_2,y_2)-(x_1,y_1)=(x_2 - x_1,y_2 - y_1) ] 定比分点的坐标（人教A必修二P33探究）：设 (A, B ) 是直线 (l ) 上两点， (C ) 是直线 (l ) 上不同于 (A, B ) 的任意一点， ( AC = CB )，则 ( ) 叫做点 (C ) 分有向线段 ( AB ) 所成的比， (C ) 叫做有向线段 ( AB ) 的以 ( ) 为定比的 定比分点，有 0.49 [ PC = 1 1+ PA + 1+ PB ] 若 (A(x_1,y_1) )， (B(x_2,y_2) )， ( AC = CB ) ，则 [C ( x_1 + x_2 1 + , y_1 + y_2 1 + ) ] 0.5 [scale=1, >=stealth] % 定义点 (P) at (1.5, 2); % 参考点 P (A) at (0, 0); % 点 A (B) at (3, 0); % 点 B (C) at (2, 0); % 点 C (分点) % 绘制直线 AB [thick] (A) -- (B); % 绘制向量 PA, PB, PC [->] (P) -- (A) node[midway, left] a ; [->] (P) -- (B) node[midway, right] b ; [->, thick] (P) -- (C) node[midway, left] c ; % 绘制点 (P) circle (1.5pt) node[above] P ; (A) circle (1.5pt) node[left] A ; (B) circle (1.5pt) node[right] B ; (C) circle (1.5pt) node[below=6pt] C ; % 标注比例关系 (可选) [<->, dashed] (0, -0.2) -- (2, -0.2) node[midway, fill=white, inner sep=1pt] ; [<->, dashed] (2, -0.2) -- (3, -0.2) node[midway, fill=white, inner sep=1pt] 1 ;

题型 2. 常见坐标系建立

0.49 [scale=1, >=stealth] [->] (-0.5,0) -- (2.5,0) node[right] x ; [->] (0,-0.5) -- (0,2.5) node[left] y ; (A) at (0,0); (B) at (2,0); (C) at (1, sqrt(3) ); (A) -- (B) -- (C) -- cycle; [below left] at (A) A ; [below] at (B) B(a,0) ; [above] at (C) C( a 2 , 3 2 a) ; 边长为 a 的等边三角形 0.49 [scale=1, >=stealth] [->] (-0.5,0) -- (2.5,0) node[right] x ; [->] (0,-0.5) -- (0,2.5) node[left] y ; (A) at (0,0); (B) at (2,0); (C) at (1.2, 1.8); (A) -- (B) -- (C) -- cycle; (0.4,0) arc (0:56:0.4); at (0.6,0.2) ; [below left] at (A) A ; [below] at (B) B(a,0) ; [above] at (C) C(b ,b ) ; 知道夹角的任意三角形 0.49 [scale=1, >=stealth] [->] (-0.5,0) -- (2.5,0) node[right] x ; [->] (0,-0.5) -- (0,2.5) node[left] y ; (0,0) rectangle (2,2); [below left] at (0,0) A ; [below] at (2,0) B(a,0) ; [above] at (2,2) C(a,a) ; [left] at (0,2) D(0,a) ; 正方形 0.49 [scale=1, >=stealth] [->] (-0.5,0) -- (2.5,0) node[right] x ; [->] (0,-0.5) -- (0,2.0) node[left] y ; (0,0) rectangle (2,1.5); [below left] at (0,0) A ; [below] at (2,0) B(a,0) ; [above] at (2,1.5) C(a,b) ; [left] at (0,1.5) D(0,b) ; 矩形 0.49 [scale=1, >=stealth] [->] (-0.5,0) -- (4.2,0) node[right] x ; [->] (0,-0.5) -- (0,2.5) node[left] y ; (A) at (0,0); (B) at (3.0,0); (D) at (1.0, 2.0); (C) at (4.0, 2.0); (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle; (0.5,0) arc (0:63.4:0.5); at (0.8,0.3) ; [below left, inner sep=1pt] at (A) A ; [below, inner sep=1pt] at (3.0,0) B(a,0) ; [above right, inner sep=0pt, xshift=-35pt] at (C) C(a+b ,b ) ; [above left, inner sep=0pt, xshift=20pt] at (D) D(b ,b ) ; 平行四边形 0.49 [scale=1, >=stealth] [->] (-0.5,0) -- (3.5,0) node[right] x ; [->] (0,-0.5) -- (0,2.5) node[left] y ; (A) at (0,0); (B) at (2.8,0); (D) at (0, 2.0); (C) at (1.2, 2.0); (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle; (2.4,0) arc (180:128:0.4); at (2.1,0.35) ; [below left, inner sep=1pt] at (A) A ; [below, inner sep=1pt] at (2.8,0) B(a,0) ; [above left, inner sep=0pt, xshift=15pt] at (D) D(0,a ) ; [above right, inner sep=0pt, xshift=-10pt] at (C) C(a-a ,a ) ; 直角梯形 0.49 [scale=1, >=stealth] [->] (-0.5,0) -- (4.2,0) node[right] x ; [->] (0,-0.5) -- (0,2.5) node[left] y ; (A) at (0,0); (B) at (3.5,0); (D) at (0.8, 2.0); (C) at (2.7, 2.0); (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle; (0.4,0) arc (0:68:0.4); at (0.6,0.3) ; [below left, inner sep=1pt] at (A) A ; [below, inner sep=1pt] at (3.5,0) B(a,0) ; [above left, inner sep=0pt, xshift=15pt] at (D) D(b ,b ) ; [above right, inner sep=0pt, xshift=-22pt] at (C) C(a-b ,b ) ; 等腰梯形 0.49 [scale=1, >=stealth] [->] (-1.5,0) -- (1.8,0) node[right] x ; [->] (0,-1.5) -- (0,1.8) node[left] y ; (0,0) circle (1.3); (0,0) -- (45:1.3) node[above right, inner sep=1pt] A(r ,r ) ; (0.4,0) arc (0:45:0.4); at (0.6,0.2) ; [below left, inner sep=1pt] at (0,0) O ; 圆

题型 3. 常用向量结论

与 a 共线的单位向量： e = a a ； BAC 平分线的方向向量： v = AB AB + AC AC 与 u = (c, d) 垂直的向量： v = (-d, c) ( 0) ； 与单位向量 u = (p, q) 垂直的单位向量： v = (-q, p) 或 (q, -p) a 与 b 的夹角 为锐角 a b > 0 排除 a b ； a 与 b 的夹角 为钝角 a b < 0 排除 a b a 与 b 同向 b = a ( > 0) a b a b > 0 ； a 与 b 反向 b = a ( < 0) a b a b < 0 a b = a c a ( b - c ) 平面内四边形 (ABCD ) 是平行四边形的充要条件为：对平面内任意一点 (O )，满足 ( OA + OC = OB + OD . )

结论 1. 向量在物理中的应用（人教A必修二P40）

力、位移、速度都是向量，其合成遵循向量加法的 平行四边形法则 . 力做的功是数量积：力 ( F )使物体产生位移 ( s )，则做的功 (W = F s = F , s )（ ( )为力与位移的夹角）. 共点力平衡：两个大小相等的拉力 ( F_1 )， ( F_2 )（夹角为 ( )）共提重力为 ( G )的物体，由力的平衡与平行四边形法则得 [ F_1 = G 2 2 ]故夹角 ( )越大越费力、越小越省力. 速度合成：船速 ( v_1 )与水流速度 ( v_2 )的合速度为 ( v = v_1 + v_2 )；渡河航程最短时，合速度 ( v )垂直于河岸.

向量恒等式

定理 1. 极化恒等式（人教A必修二P22-3）

基本形式：对于向量 ( a )， ( b )，有 [ a b = 1 4 [ ( a + b )^2 - ( a - b )^2 ] = ( a + b 2 )^2 - ( a - b 2 )^2 ] 证明： [ 1 4 [( a + b )^2 - ( a - b )^2]= 1 4 [( a ^2 + 2 a b + b ^2)-( a ^2 - 2 a b + b ^2)] = 1 4 ( a ^2 + 2 a b + b ^2- a ^2 + 2 a b - b ^2) = 1 4 (4 a b ) = a b ] 在平行四边形 (ABCD )中， ( AB = a )， ( AD = b )， ( AC = a + b )， ( BD = b - a )， 则 [ AB AD = 1 4 (AC^2 - BD^2) ] 从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的 ( 1 4 ) 在 ( ABC ) 中， (M ) 为 (BC ) 中点， ( AB = a )， ( AC = b )， ( AM = a + b 2 )， ( CM = a - b 2 )， 则 [ AB AC = AM ^2 - CM^2 ] 推论：平面内，若 (A,B ) 为定点，且 ( PA PB = )， (P ) 的轨迹是以 (AB ) 中点 (M ) 为圆心， ( + 1 4 AB^ 2 ) 为半径的圆. 证明： 由 ( PA PB = )，根据极化恒等式可知， (PM^ 2 - 1 4 AB^ 2 = )，所以 (PM = 1 4 AB^ 2 + )， (P ) 的轨迹是以 (M ) 为圆心 ( + 1 4 AB^ 2 ) 为半径的圆. 0.49 [scale = 1.3, >= Stealth[scale=1.2] ] % 定义点 (A) at (0,0); (B) at (2,0); (D) at (0.5,1.5); (C) at ( (B)+(D) ); % 绘制平行四边形 [thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle; % 绘制向量箭头 [thick, ->] (A) -- node[below] ( a ) (B); [thick, ->] (A) -- node[left] ( b ) (D); [thick, ->] (A) -- node[midway, above right] ( a + b ) (C); [thick, ->] (D) -- node[midway, above left] ( b - a ) (B); % 标注点 [above left] at (A) (A ) ; [right] at (B) (B ) ; [above left] at (D) (D ) ; [above right] at (C) (C ) ; 0.49 [scale=1.5,>= Stealth[scale=1.2] ] (O) at (0.7,1); (A) at (-1,0); (B) at (1,0); (D) at (0,0); [->] (O) -- node[above left] ( a ) (A); [->] (O) -- node[right] ( b ) (B); [->, thick, blue] (O) -- (D); [thick, blue] (B) -- (D); (A) -- (D); at (A) [below left] (B ) ; at (B) [below right] (C ) ; at (O) [above] (A ) ; at (D) [below] (M ) ;

定理 2. 向量中值定理（人教A必修二P39）

基本形式：对于向量 ( a )， ( b )，有 [2( a ^ 2 + b ^ 2 )=( a + b )^ 2 +( a - b )^ 2 或 a ^ 2 + b ^ 2 =2 [ ( a + b 2 )^ 2 + ( a - b 2 )^ 2 ] ] 在平行四边形 (ABCD )中，有 [2(AB^2+AD^2)=AC^2+BD^2 ] 平行四边形中两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 在 ( ABC )中，当 (M ) 为 (BC ) 的中点时，有 [AB^ 2 +AC^ 2 = 2(AM^ 2 +BM^ 2 ) ] 证明：对于向量中值定理，等号右边展开即可得. 对于推论， (( AB + AC )^ 2 = AB ^ 2 +2 AB AC + AC ^ 2 (1) ) (( AB - AC )^ 2 = AB ^ 2 -2 AB AC + AC ^ 2 (2) ) 由 ( (1)+(2) 2 )得 ( AB ^ 2 + AC ^ 2 = ( AB + AC )^ 2 +( AB - AC )^ 2 2 =2( AM ^ 2 + CM ^ 2 ) )

定理 3. 矩形大法

0.7 如图，在矩形 (ABCD ) 中， (O ) 为对角线的交点， (P ) 为平面内任意一点，则 [ PA PC = PB PD PA^ 2 +PC^ 2 =PB^ 2 +PD^ 2 ] 0.29 [scale = 1] (A) at (0,2); (B) at (3,2); (C) at (3,0); (D) at (0,0); (O) at (1.5,1); (P) at (4,0.4); (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle; (A) -- (C); (B) -- (D); [blue] (A) -- (P); [blue] (B) -- (P); [blue] (C) -- (P); [blue] (D) -- (P); [dashed] (O) -- (P); at (A) [above left] (A ) ; at (B) [above right] (B ) ; at (C) [below right] (C ) ; at (D) [below left] (D ) ; at (O) [above] (O ) ; at (P) [below] (P ) ; % 证明：由于 ( PA + PC = PB + PD )，两边同时平方可得 ( PA ^ 2 + PC ^ 2 +2 PA PC = PB ^ 2 + PD ^ 2 +2 PB PD ) 由极化恒等式得 ( PA PC = PO ^ 2 - AC ^ 2 4 PB PD = PO ^ 2 - BD ^ 2 4 PA PC = PB PD ) 因此可得 ( PA ^ 2 + PC ^ 2 = PB ^ 2 + PD ^ 2 ) %

定理 4. 平行四边形大法

0.7 如图，在平行四边形 (ABCD )中， (O ) 为对角线的交点，点 (P ) 为平面内任意一点，则 [ (PB^ 2 +PD^ 2 )-(PA^ 2 +PC^ 2 ) =2(OB^ 2 -OA^ 2 ) =2 BA BC ] 0.29 [scale = 1] (A) at (0,2); (B) at (2,2); (C) at (1,0); (D) at (-1,0); (O) at (0.5,1); (P) at (3,0.4); (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle; (A) -- (C); (B) -- (D); [blue] (A) -- (P); [blue] (B) -- (P); [blue] (C) -- (P); [blue] (D) -- (P); [dashed] (O) -- (P); at (A) [above left] (A ) ; at (B) [above right] (B ) ; at (C) [below right] (C ) ; at (D) [below left] (D ) ; at (O) [above] (O ) ; at (P) [below] (P ) ;

定理 5. 对角线向量定理

0.7 在平面四边形 (ABCD )或三棱锥 (B-ACD )中 [ AC BD = ( AD ^2 + BC ^2 ) - ( AB ^2 + CD ^2 ) 2 ] 说明：该定理既适用于平面向量（如四边形 (ABCD ) 的对角线 (AC )、 (BD )），也适用于空间向量（如三棱锥 (D - ABC ) 的对棱 (AC )、 (BD )）. 0.29 [scale=0.9, >= Stealth[scale=1.1] , line cap=round, line join=round] (A) at (-0.5,0.5); (B) at (1.5,2.0); (D) at (3,0.5); (C) at (1,-0.5); (A) -- (B); [blue] (B) -- (D); (D) -- (C); [blue] (A) -- (C); [dashed] (A) -- (D); (B) -- (C); [left] at (A) (A ) ; [above] at (B) (B ) ; [below] at (C) (C ) ; [right] at (D) (D ) ; 证明： AC BD = CA ( CB - CD ) = CA CB - CA CD = CA ^2 + CB ^2 - AB ^2 2 - CA ^2 + CD ^2 - AD ^2 2 = ( AD ^2 + BC ^2 ) - ( AB ^2 + CD ^2 ) 2 推论 1 ： 当 ( AC BD ) 时，有： ( AD ^2 + BC ^2 = AB ^2 + CD ^2 ) 含义：对角线相互垂直时，四边形（或空间图形中对应对棱关系）两组对边的平方和相等. 推论 2 ： 计算线线角时，可使用 [ AC , BD = ( AD ^2 + BC ^2) - ( AB ^2 + CD ^2) 2 AC BD ]

题型 1. $\triangle ABC$中线段比例求解——塞瓦标数法

在 ABC 中， AD = 2DB ， BE = 3EC ， AE 与 CD 交于点 F ，求 AF:FE . 塞瓦标数法利用杠杆原理（支点两端的杠杆长度与重量成反比），将几何图形转化为"杠杆+质点+支点"的实物模型， 过程如下： 0.65 设质点 A 的重量（标数）为 1 ； 杠杆 AB 的支点为 D （ AD=2DB ）， 由杠杆原理，杠杆长度与重量成反比，故 B 的重量为 2 （ AD:DB=2:1 m_B:m_A=2:1 ）； 杠杆 BC 的支点为 E （ BE=3EC ）， 同理， C 的重量 =B 的重量 3 = 6 ； 计算支点的重量（对应两端质点重量和）： 支点 D 的重量 =1 + 2 = 3 ； 支点 E 的重量 =2 + 6 = 8 ； 支点 F 的重量 =3 + 6 = 9 ； 求 AF:FE ， 杠杆 AE 两端为 A(1) 和 E(8) ，由杠杆原理，支点 F 两端线段比例等于质点重量反比，即 AF:FE = 8:1 . 0.34 [scale=0.9, >=stealth] % 定义点 A(1.5, 3), B(0,0), C(4,0) (A) at (1.5, 3); (B) at (0, 0); (C) at (4, 0); % D 在 AB 上, AD=2DB => D 分 AB 为 2:1 => D = 1/3 A + 2/3 B (D) at (0.5, 1); % E 在 BC 上, BE=3EC => E 分 BC 为 3:1 => E = 1/4 B + 3/4 C (E) at (3, 0); % F 为 AE 与 CD 交点 (F) at (intersection of A--E and C--D); % 绘制图形 [thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; [thick, blue] (A) -- (E); [thick, blue] (C) -- (D); % 绘制点与标签 (A) circle (1.5pt) node[above] A(1) ; (B) circle (1.5pt) node[left] B(2) ; (C) circle (1.5pt) node[right] C(6) ; (D) circle (1.5pt) node[left] D(3) ; (E) circle (1.5pt) node[below] E(8) ; (F) circle (1.5pt) node[above left] F(9) ; % % 绘制标数 (circled numbers) % % 质点 % [circle, draw=red, inner sep=0.5pt, text=red, font= , fill=white] at ( (A)+(0.4,0) ) 1 ; % [circle, draw=red, inner sep=0.5pt, text=red, font= , fill=white] at ( (B)+(-0.3,-0.3) ) 2 ; % [circle, draw=red, inner sep=0.5pt, text=red, font= , fill=white] at ( (C)+(0.3,-0.3) ) 6 ; % % 支点 % [circle, draw=blue, inner sep=0.5pt, text=blue, font= , fill=white] at ( (D)+(-0.3,0) ) 3 ; % [circle, draw=blue, inner sep=0.5pt, text=blue, font= , fill=white] at ( (E)+(0,-0.4) ) 8 ; % % 交点 % [circle, draw=purple, inner sep=0.5pt, text=purple, font= , fill=white] at ( (F)+(0.2,0.3) ) 9 ; 总结：先将平面图形转化为“杠杆-质点-支点”模型，明确各元素的对应关系； 假设某一质点的重量为 1 ，根据杠杆原理和线段比例，标出其余质点的重量； 确定支点的重量为对应杠杆两端质点的重量和，利用“支点两端线段比例=对应质点重量反比”求解目标比例. 注意：该方法可由梅涅劳斯定理证明，但不要求掌握，也可按向量方法求解. % 1. 表示D、E对应的向量 【常规做法】易得 AE = 1 4 AB + 3 4 AC % 2. 共线条件参数化表示F ，因 F AE ，设 AF = s AE = s 4 AB + 3s 4 AC ； 又 F CD ， 设 AF = AC + t CD = AC + t ( 2 3 AB - AC ) = 2t 3 AB + (1-t) AC . % 3. 系数相等列方程求解 故有 2t 3 = s 4 ， 1 - t = 3s 4 ，联立 解得 s = 8 9 . 故 AF = 8 9 AE ，因此 AF:FE = 8:1 .

等和线定理及其推广

定理 1. 等和线定理

设直线 (AB A'B' )，则有 ( PAB PA'B' )， 设 ( PA' PA = PB' PB = PC' PC =k ) 根据三点共线原理，对直线 (A'B' ) 上任意一点 (C' )，有： ( PC' = PA' + PB' , ( + =1) ) 0.7 ( PA' =k PA , PB' =k PB ) ( PC' = (k PA ) + (k PB ) = k PA +k PB ) 因为其系数和为 (k +k =k( + )=k ). 所以，若有 (AB A'B' )，对于直线 (A'B' ) 上的任意一点 (C' )，若将其表示为基底 ( PA , PB ) 的线性组合 ( PC' = x PA + y PB )，则必定有系数和 (x+y=k )，其中 (k = PA' PA ) 为放缩比例. 若 (k = 1 )，点 (C ) 在直线 (AB ) 上， ( PC = PA + PB )，则 ( + = 1 ) 若 (k = 2 )，点 (C' ) 在 (A'B' ) （2倍等和线）上， ( PC' = ' PA + ' PB )，则 ( '+ ' = 2 ) 若 (k = 3 )，点 (C'' ) 在 (A''B'' ) （3倍等和线）上， ( PC'' = '' PA + '' PB )，则 ( ''+ '' = 3 ) 0.29 [scale=0.8] % (-0.7,-1.) rectangle (4.,3.); (2.5,3.)-- (0.,0.); (2.5,3.)-- (2.,0.); (2.5,3.)-- (3.5,0.); [blue, domain=-0.7:4.] plot( , (-0.-0.* )/3.5 ); [blue, domain=-0.7:4.] plot( , (--1.7409513987457126--0.005170629288164141* )/1.7474146853559178 ); % 改为更大的字体（这里用 ，可按需调整） (2.5,3.3) node (P ) ; (-0.1,-0.3) node (A' ) ; (1.9,-0.3) node (C' ) ; (3.6,-0.3) node (B' ) ; (0.6,1.2) node (A ) ; (3.3,1.2) node (B ) ; (2,1.2) node (C ) ; (-0.3,1.1) node (a ) ; (-0.3,0.1) node (b ) ;

定理 2. 等差线定理

0.7 如图设 ( AB = e _ 1 )， ( AC = e _ 2 ) 是平面内两个不共线向量，若 ( AP =x e _ 1 +y e _ 2 )，反向延长 ( AC ) 到 (E )，使 ( AE =- AC )， 当 (P ) 位于直线 (BE ) 上时，一定有 (x - y = 1 )，若 ( AQ =x' e _ 1 +y' e _ 2 ) 且 (x'-y'=k )，则有 (k = AQ AP ).特殊的，当 (Q ) 位于 直线 (CF ) 上时，有 (x - y = -1 )，当 (Q ) 位于直线 (AD ) 上时，有 (x - y = 0 )， 证明：取 ( AE =- AC =- e _ 2 ). 当 (P ) 在直线 (BE ) 上时，以 ( AB )， ( AE ) 为基底，由三点共线（等和线）知 ( AP = AB + AE ) 且 ( + =1 )；代入 ( AE =- e _ 2 ) 得 ( AP = e _ 1 - e _ 2 )，即 (x= )， (y=- )，故 (x-y= + =1 ). 平移到 (k ) 倍的平行线上时同理得 (x-y=k ). 0.29 [line cap=round,line join=round,>= Stealth[scale=1.2] ,x=1.0cm,y=1.0cm] % 绘制三角形和虚线 (0.5,1.) -- (1.5,0.); (0.5,1.) -- (0.,0.); (0.,0.) -- (1.5,0.); [blue, dash pattern=on 1pt off 1pt] (-0.5,2.) -- (0.,0.); [blue,dash pattern=on 1pt off 1pt] (1.,2.) -- (1.5,0.); [dash pattern=on 1pt off 1pt] (0.5,1.) -- (-0.5,2.); (0.5,1.) -- (-0.16147668462576992,0.6459067385030797); [blue] (0.5,1.) -- (0.75,0.); % 绘制点并标注 (0.,0.) circle; (0.,0.) node[below left] (B ) ; (0.5,1.) circle; (0.5,1.) node[above] (A ) ; (1.5,0.) circle; (1.5,0.) node[below right] (C ) ; (-0.5,2.) circle; (-0.5,2.) node[left] (E ) ; (1.,2.) circle; (1.,2.) node[right] (F ) ; [fill](-0.16147668462576992,0.6459067385030797) circle(1pt); (-0.16147668462576992,0.6459067385030797) node[left] (P ) ; (0.75,0.) circle; (0.75,0.) node[below ] (D ) ;

定理 3. 倒数等和线（人教A必修二P39-3）

0.7 如图，设 ( OA = e _ 1 )， ( OB = e _ 2 ) 是平面内两个不共线向量，若 ( OC =x e _ 1 +y e _ 2 )，一定有 (x + y = 1 )，若 ( OD = e _ 1 )， ( OE = e _ 2 )，则 ( OC =x e _ 1 +y e _ 2 = x OD + y OE )，故一定有 ( x + y =1 )； 同理，当 ( OP =k OC )，且 ( OF = ' e _ 1 )， ( OG = ' e _ 2 )，则 ( OP =x' e _ 1 +y' e _ 2 = x' OF ' + y' OG ' )，故一定有 (x'+y' = k )， ( x' ' + y' ' =1 )； 0.29 [line cap=round, line join=round, >= Stealth[scale=1.2] , x=1.0cm, y=1.0cm] % 移除不必要的裁剪命令，若不影响展示效果 % (-0.3,-1.3) rectangle (3.3,2.3); % 绘制线段，取消线条粗细设置 (1.5,2.) -- (0.,0.); (1.5,2.) -- (1.2,0.); (1.5,2.) -- (2.5,0.); (0.,0.) -- (2.5,0.); (2.5,0.) -- (3.,-1.); [blue, dash pattern=on 1pt off 1pt] (0.8760708240182681,1.1680944320243574) -- (2.315907383976111,0.3681852320477779); [blue](3.,-1.) -- (0.3529411764705882,0.47058823529411764); % 绘制点并标注，去除颜色和点大小设置 (0.,0.) circle; (0.,0.) node[below left] (A ) ; (2.5,0.) circle; (2.5,0.) node[right] (B ) ; (1.2,0.) circle; (1.2,0.) node[below] (C ) ; (1.5,2.) circle; (1.5,2.) node[above] (O ) ; (3.,-1.) circle; (3.,-1.) node[below right] (E ) ; (0.3529411764705882,0.47058823529411764) circle; (0.3529411764705882,0.47058823529411764) node[above left] (D ) ; [fill](1.3368185232047778,0.9121234880318521) circle(1pt); (1.3368185232047778,0.9121234880318521) node[above right] (P ) ; (0.8760708240182681,1.1680944320243574) circle; (0.8760708240182681,1.1680944320243574) node[above left] (F ) ; (2.315907383976111,0.3681852320477779) circle; (2.315907383976111,0.3681852320477779) node[above right] (G ) ;

定理 4. 等商线

0.7 如图所示，令 ( OD OA = OE OB = OP OC =k )，若 ( OP = OA + OB )，根据等和线定理可得 ( = PE PD = BC CA )，所以直线 (OC ) 就是一条等商线，特别的，当 (M ) 为 (AB ) 中点时， (OM ) 为等商 (1 ) 线. 0.29 [line cap=round, line join=round, >= Stealth[scale=1.2] , x=1.0cm, y=1.0cm] % 去除裁剪，若有需要可保留 % (-0.3,-0.5) rectangle (3.,2.5); % 绘制线段，取消线条粗细设置 (1.5,2.) -- (0.,0.); (0.,0.) -- (2.5,0.); (2.5,0.) -- (1.5,2.); [blue, dash pattern=on 1pt off 1pt] (1.5,2.) -- (0.6512805156628383,0.); [blue, dash pattern=on 1pt off 1pt] (1.5,2.) -- (1.25,0.); [dash pattern=on 1pt off 1pt] (0.7429095909613265,0.9905461212817686) -- (2.0047269393591156,0.9905461212817686); % 绘制点并标注，去除颜色和点大小限制 (0.,0.) circle; (0.,0.) node[below left] (A ) ; (2.5,0.) circle; (2.5,0.) node[below right] (B ) ; (1.5,2.) circle; (1.5,2.) node[above] (O ) ; (0.6512805156628383,0.) circle; (0.6512805156628383,0.) node[below] (C ) ; (1.3055074748616549,0.) circle; (1.3055074748616549,0.) node[below] (M ) ; (0.7429095909613265,0.9905461212817686) circle; (0.7429095909613265,0.9905461212817686) node[above left] (D ) ; [fill] (1.0716284122960575,0.9905461212817686) circle(1pt); (1.0716284122960575,0.9905461212817686) node[below] (P ) ; (2.0047269393591156,0.9905461212817686) circle; (2.0047269393591156,0.9905461212817686) node[above right] (E ) ;

向量四心与奔驰定理

定义 1. “四心”定义

重心:三边中线的交点，重心将中线长度分成2:1 垂心:三条高线的交点，高线与对应边垂直 内心:三条角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等 外心:三条中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等

结论 1. 平面三角形四心结论总结（人教A必修二P52-2）

[ 2 c l c 5 * 重心 ( OA + OB + OC = 0 ) (O ) 是 ( ABC ) 的重心 2-3 (S_ OAB = S_ OAC = S_ OBC = 1 3 S_ ABC ) (O ) 是 ( ABC ) 的重心 2-3 ( OP = OA + ( AB + AC ), (0, + ) ) (P ) 的轨迹通过重心 2-3 ( OP = OA + ( AB + 1 2 BC ), (0, + ) ) (P ) 的轨迹通过重心 2-3 ( OP = OA + ( AB AB B + AC AC C ), (0, + ) ) (P ) 的轨迹通过重心 3 * 垂心 ( OA OB = OB OC = OC OA ) (O ) 是 ( ABC ) 的垂心 2-3 ( OA ^2 + BC ^2 = OB ^2 + AC ^2 = OC ^2 + AB ^2 ) (O ) 是 ( ABC ) 的垂心 2-3 ( OP = OA + ( AB AB B + AC AC C ), (0, + ) ) (P ) 的轨迹通过垂心 3 * 内心 (a OA + b OB + c OC = 0 )（ (a, b, c ) 为三边长） (O ) 是 ( ABC ) 的内心 2-3 ( OP = OA + ( AB AB + AC AC ), (0, + ) ) (P ) 的轨迹通过内心 2-3 ( OP = OA + ( AB C + AC B ), (0, + ) ) (P ) 的轨迹通过内心 2-3 3 * 外心 ( OA = OB = OC ) (O ) 是 ( ABC ) 的外心 2-3 (( OA + OB ) AB = ( OB + OC ) BC = ( OC + OA ) CA = 0 ) (O ) 是 ( ABC ) 的外心 2-3 ( OP = OB + OC 2 + ( AB AB B + AC AC C ), (0, + ) ) (P ) 的轨迹通过外心 ]

结论 2. 重心结论及证明

已知 (O )是 ( ABC )所在平面上的一点，若 ( OA + OB + OC = 0 )，则 (O )是 ( ABC )的 重心 . 0.59 证明：设边 (BC )、 (AC )、 (AB ) 的中点分别为 (D )、 (E )、 (F )， ( OB + OC =2 OD )，则 ( OA +2 OD =0 )，所以 (A )、 (O )、 (D ) 三点共线，即点 (O ) 在中线 (AD ) 上，同理点 (O ) 在中线 (BE )， (CF ) 上，则 (O ) 是 ( ABC ) 的重心. 0.4 [scale=1.5] % 定义三角形的三个顶点 (A) at (0,0); (B) at (2,0); (C) at (1.2,1.5); % 计算各边中点 (M_AB) at ( (A)!0.5!(B) ); (M_BC) at ( (B)!0.5!(C) ); (M_CA) at ( (C)!0.5!(A) ); % 计算三条中线的交点（重心） (O) at ( (A)!2/3!(M_BC) ); % 绘制三角形 [thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle; % 绘制中线 [ thick] (A) -- (M_BC); [ thick] (B) -- (M_CA); [ thick] (C) -- (M_AB); % 标注顶点 [below left] at (A) (A ) ; [below right] at (B) (B ) ; [above] at (C) (C ) ; % 标注中点 [below] at (M_AB) (F ) ; [right] at (M_BC) (D ) ; [left] at (M_CA) (E ) ; % 标注重心 [below] at (O) (O ) ; % 绘制中点标记 [black] (M_AB) circle (0.03); [black] (M_BC) circle (0.03); [black] (M_CA) circle (0.03); % 绘制重心标记 [red] (O) circle (0.03); 已知 (O ) 是 ( ABC ) 所在平面上的一点，若 (S_ OAB =S_ OAC =S_ OBC = 1 3 S_ ABC )，则 (O ) 是 ( ABC ) 的 重心 . 证明：延长 (AO ) 交 (BC ) 于点 (D )，所以 [ BD CD = S_ ABD S_ ACD = S_ OBD S_ OCD = S_ ABD -S_ OBD S_ ACD -S_ OCD = S_ AOB S_ AOC = 1, ] 即，点 (D )为 (BC )的中点；同理，分别延长 (BO )、 (CO ) 交 (AC )、 (AB ) 于点 (E )、 (F )，则点 (E )、 (F )分别为 (AC )、 (AB )的中点；所以，所以 (O ) 是 ( ABC ) 的三条中线的交点，即重心. 已知 (O ) 是 ( ABC ) 所在平面上的一点，动点 (P ) 满足 [ OP = OA + ( AB + AC ), (0,+ ), ] 则 (P ) 的轨迹一定通过 ( ABC ) 的 重心 . 证明：由已知， ( OP - OA = AP = ( AB + AC ), (0,+ ), ) 设线段 (BC ) 的中点为 (D )， 由平行四边形定则知 ( AB + AC =2 AD )，所以 ( AP = ( AB + AC )=2 AD , (0,+ ), ) 即 (AP ) 与 (BC ) 边中线 (AD ) 共线，所以 (P ) 的轨迹一定通过 ( ABC ) 的重心. 已知 (O ) 是 ( ABC ) 所在平面上的一点，动点 (P ) 满足 [ OP = OA + ( AB + 1 2 BC ), (0,+ ), ] 则 (P ) 的轨迹一定通过 ( ABC ) 的 重心 . 证明：由已知， ( OP - OA = ( AB + 1 2 BC ), (0,+ ), ) 设线段 (BC ) 的中点为 (D )，则知 ( AB + 1 2 BC = AD , ) 所以 ( AP = ( AB + 1 2 BC )= AD , (0,+ ), ) 即 (AP ) 与 (BC ) 边中线 (AD ) 共线，所以 (P ) 的轨迹一定通过 ( ABC ) 的重心. 已知 (O ) 是 ( ABC ) 所在平面上的一点，动点 (P ) 满足 [ OP = OA + ( AB AB B + AC AC C ), (0,+ ), ] 则 (P ) 的轨迹一定通过 ( ABC ) 的 重心 . 证明： 设 (BC )边的中点为 (D ). 过 (A )作 (BC )边上的高 (AH ) . ( AB B = AH )； ( AC C= AH ). 0.69 由 ( AB B= AC C )，设 (m = AB B= AC C ). 那么 ( OP = OA + ( AB AB B + AC AC C ) )可化为 ( OP - OA = AP = m ( AB + AC ) ). 因为 (D )是 (BC )中点，所以 ( AB + AC = 2 AD ). 则 ( AP = m ( AB + AC )= 2 m AD ) ，其中 ( 2 m >0 ). 由于 ( AP )与 ( AD )共线，且 (D )是 (BC )边的中点， (AD )是 ( ABC )的一条中线， ( )的取值范围是 ((0, + ) )，这意味着动点 (P )在由 (A )出发且与中线 (AD )共线的射线上，所以 (P )的轨迹一定通过 ( ABC )的重心. 0.3 [>= Stealth[scale=1.2] , scale = 1.3] % 定义三角形的三个顶点 (A) at (0,2); (B) at (-1,0); (C) at (2,0); % 绘制三角形ABC (A) -- (B) -- (C) -- cycle ; (D) at ( (B)!0.5!(C) ); (H) at (0,0); (A) -- (H) node[below] (H ) ; [->] (A) -- (B) node[midway, above left] ( AB ) ; [->] (A) -- (C) node[midway, above right] ( AC ) ; [->] (A) -- (D) node[midway, above] ( AD ) ; at ( (A)+(0,0.2) ) (A ) ; at ( (B)+(-0.2,-0.2) ) (B ) ; at ( (C)-(-0.2,0.2) ) (C ) ; at ( (B)+(1.5,-0.2) ) (D ) ;

结论 3. 垂心结论及证明

已知 (O ) 是 ( ABC ) 所在平面上的一点，若 ( OA OB = OB OC = OC OA )，则 (O ) 是 ( ABC ) 的 垂心 . 证明：由已知， ( OA OB - OB OC = OB ( OA - OC )= OB CA =0 )，即 (OB ) 垂直 (CA )，也即点 (O ) 在边 (AC ) 的垂线上；同理，点 (O ) 也在边 (AB )、 (BC ) 的垂线上，所以则 (O ) 是 ( ABC ) 的垂心. 已知 (O ) 是 ( ABC ) 所在平面上的一点，若 [ OA ^ 2 + BC ^ 2 = OB ^ 2 + AC ^ 2 = OC ^ 2 + AB ^ 2 ] 则 (O ) 是 ( ABC ) 的 垂心 . 证明： ( BC = OC - OB )， ( AC = OC - OA )， 所以， OA ^ 2 + BC ^ 2 = OB ^ 2 + AC ^ 2 OA ^ 2 + OC - OB ^ 2 = OB ^ 2 + OC - OA ^ 2 OA ^ 2 + OB ^ 2 + OC ^ 2 -2 OB OC = OA ^ 2 + OB ^ 2 + OC ^ 2 -2 OA OC OB OC = OA OC 同理可得， ( OA OB = OB OC )，所以 ( OA OB = OB OC = OC OA )；同上可证， (O ) 是 ( ABC ) 的垂心. 已知 (O ) 是 ( ABC ) 所在平面上的一点，动点 (P ) 满足 [ OP = OA + ( AB AB B + AC AC C ), (0,+ ), ] 则 (P ) 的轨迹一定通过 ( ABC ) 的 垂心 . 证明：由已知， ( OP - OA = AP = ( AB AB B + AC AC C ), (0,+ ) )， 又 ( AB AB B + AC AC C ) BC = AB BC AB B + AC BC AC C = AB BC ( - B) AB B + AC BC C AC C =- AB BC B AB B + AC BC C AC C =- BC + BC = 0, 所以， ( AP BC =0 )，所以点 (P ) 在边 (BC ) 的垂线上，即则 (P ) 的轨迹一定通过 ( ABC ) 的垂心.

结论 4. 内心结论总结及证明

已知 (O ) 是 ( ABC ) 所在平面上的一点，动点 (P ) 满足 [ OP = OA + ( AB AB + AC AC ), (0,+ ), ] 则 (P ) 的轨迹一定通过 ( ABC ) 的 内心 . 证明：由已知， [ OP - OA = AP = ( AB AB + AC AC ), (0,+ ), ] ( AB AB ) 表示边 (AB )方向上的单位向量，同理 ( AC AC ) 表示线段 (AC )方向上的单位向量，则由平行四边形定则可知 [ ( AB AB + AC AC ), (0,+ ) ] 表示 ( BAC ) 的角平分线方向上的向量，则 (P ) 的轨迹一定通过 ( ABC ) 的内心. 已知 (O ) 是 ( ABC ) 所在平面上的一点，动点 (P ) 满足 [ OP = OA + ( AB C + AC B ), (0,+ ), ] 则 (P ) 的轨迹一定通过 ( ABC ) 的 内心 . 证明：在 ( ABC ) 中，由正弦定理可知 ( AB C = AC B =2R )， (R ) 为 ( ABC ) 的外接圆半径，所以 OP - OA = AP = ( AB C + AC B )= 2R ( AB AB + AC AC ), 由上条结论可知点 (P ) 的轨迹一定通过 ( ABC ) 的内心. 已知 (O ) 是 ( ABC ) 所在平面上的一点， (a,b,c ) 为 ( ABC ) 的三边长，若 [a OA +b OB +c OC =0 ]，则 (O ) 是 ( ABC ) 的 内心 . 证明： ( OB = OA + AB )， ( OC = OA + AC )，则 a OA +b OB +c OC =0 (a + b + c) OA +b AB +c AC =0 等式两边同时除以 (bc )， [ AO = bc a + b + c ( AB AB + AC AC ), ] 由内心的第一条结论可知 ( AO ) 为 ( BAC ) 的角平分线，同理 ( BO )、 ( CO ) 分别为 ( ABC )、 ( ACB ) 的角平分线，所以 (O ) 是 ( ABC ) 的内心.

结论 5. 外心结论总结及证明

已知 (O ) 是 ( ABC ) 所在平面上的一点，若 ( OA = OB = OC )，则 (O ) 是 ( ABC ) 的 外心 . 已知 (O ) 是 ( ABC ) 所在平面上的一点， 若 (( OA + OB ) AB =( OB + OC ) BC =( OC + OA ) CA =0 )，则 (O ) 是 ( ABC ) 的 外心 . 证明：设边 (AB )、 (BC )、 (CA ) 的中点分别为点 (D )、 (E )、 (F )，则 (( OA + OB ) AB =2 OD AB =0 )，所以 (OD ) 为线段 (AB ) 的中垂线，同理 (OE )、 (OF ) 分别为线段 (BC )、 (CA ) 的中垂线，所以则 (O ) 是 ( ABC ) 的外心. 已知 (O ) 是 ( ABC ) 所在平面上的一点，动点 (P ) 满足 [ OP = OB + OC 2 + ( AB AB B + AC AC C ), (0,+ ), ] 则 (P ) 的轨迹一定通过 ( ABC ) 的 外心 . 证明：设边 (BC ) 的中点为 (D )，则 [ OP - OB + OC 2 = OP - OD = DP = ( AB AB B + AC AC C ), (0,+ ), ] ( AB AB B + AC AC C ) BC = AB BC AB B + AC BC AC C = AB BC ( - B) AB B + AC BC C AC C =- AB BC B AB B + AC BC C AC C =- BC + BC = 0 所以， ( DP BC =0 )，所以点 (P ) 在边 (BC ) 的中垂线上，即则 (P ) 的轨迹一定通过外心. 已知 (O ) 是 ( ABC ) 的外心，点 (D )、 (E )、 (F ) 分别为边 (AB )、 (AC )、 (BC ) 的中点，则有以下结论 ( AO AB = 1 2 AB ^ 2 )， ( AO AC = 1 2 AC ^ 2 )， ( AO BC = 1 2 BC ^ 2 ) ( AO AF = 1 4 AB ^ 2 + 1 4 AC ^ 2 )， ( BO BE = 1 4 BA ^ 2 + 1 4 BC ^ 2 )， ( CO CD = 1 4 CA ^ 2 + 1 4 CB ^ 2 ) ( AO BC = 1 2 AC ^ 2 - 1 2 AB ^ 2 )， ( BO AC = 1 2 BC ^ 2 - 1 2 BA ^ 2 )， ( CO AB = 1 2 CB ^ 2 - 1 2 CA ^ 2 ) [scale=0.7] % 定义点 (A) at (3.5,4); (B) at (0,0); (C) at (5,0); (D) at (1.75,2); (E) at (4.25,2); (F) at (2.5,0); (O) at (2.5,1.34375); % 绘制三角形 (A) -- (B) -- (C) -- cycle; % 绘制内部线段 (O) -- (D); (O) -- (F); (O) -- (E); % 标记垂直符号（直角标记） % at D: OD ⟂ AB (D1) at ( (D)!0.1!(A) ); (D2) at ( (D)!0.25!(O) ); (D3) at ( (D1)+(D2)-(D) ); (D1) -- (D3) -- (D2); % at E: OE ⟂ AC (E1) at ( (E)!0.14!(A) ); (E2) at ( (E)!0.14!(O) ); (E3) at ( (E1)+(E2)-(E) ); (E1) -- (E3) -- (E2); % at F: OF ⟂ BC (F1) at ( (F)!0.1!(B) ); (F2) at ( (F)!0.18!(O) ); (F3) at ( (F1)+(F2)-(F) ); (F1) -- (F3) -- (F2); % 绘制点并添加标签 [above] at (A) (A ) ; [left] at (B) (B ) ; [right] at (C) (C ) ; [left] at (D) (D ) ; [right] at (E) (E ) ; [below] at (F) (F ) ; [above] at (O) (O ) ; [below left] at (F) (a ) ; [above] at (D) (c ) ; [above] at (E) (b ) ; 证明：由已知，点 (O ) 是 ( ABC ) 的外心，则 (OD AB )， (OE AC )， (OF BC ). ( AO = AD + DO )，则 ( AO AB =( AD + DO ) AB = 1 2 AB ^ 2 +0= 1 2 AB ^ 2 ) 同理可证， ( AO AC = 1 2 AC ^ 2 )， ( AO BC = 1 2 BC ^ 2 ). ( AO AF = AO ( 1 2 AB + 1 2 AC ) )， 由 ( AO AB = 1 2 AB ^ 2 )， ( AO AC = 1 2 AC ^ 2 )， 所以 ( AO AF = 1 4 AB ^ 2 + 1 4 AC ^ 2 ). 同理 ( BO BE = 1 4 BA ^ 2 + 1 4 BC ^ 2 )， ( CO CD = 1 4 CA ^ 2 + 1 4 CB ^ 2 ). ( AO BC = AO ( AC - AB ) )， 由 ( AO AB = 1 2 AB ^ 2 )， ( AO AC = 1 2 AC ^ 2 )， 所以 ( AO BC = 1 2 AC ^ 2 - 1 2 AB ^ 2 )， 同理 ( BO AC = 1 2 BC ^ 2 - 1 2 BA ^ 2 )， ( CO AB = 1 2 CB ^ 2 - 1 2 CA ^ 2 )

定理 1. 奔驰定理

0.6 在 ABC 所在的平面内，若存在一点 O ，使得 x OA + y OB + z OC = 0 成立，则有 S_ OBC : S_ OAC : S_ OAB : S_ ABC = x : y : z : x + y + z , 亦即 [ S_ OBC OA +S_ OAC OB +S_ OAB OC =0 ] 0.39 [scale = 1] % 定义三角形的三个顶点 (A) at (0,2); (B) at (-1,0); (C) at (2,0); % 定义三角形内一点O (O) at (0.3,0.6); % 绘制三角形ABC (A) -- (B) -- (C) -- cycle; % 绘制线段OA, OB, OC (O) -- (A); (O) -- (B); (O) -- (C); % 标注点 [above] at (A) (A ) ; [left] at (B) (B ) ; [right] at (C) (C ) ; [above right] at (O) (O ) ; 证明：假设 O 在 ABC 的内部，延长 AO 交 BC 于点 D ，设 OA = t OD (t < 0) ，则： y OB + z OC = -x OA = -xt OD 由 B 、 D 、 C 三点共线（共线向量定理：若 OD = m OB + n OC ，则 m + n = 1 ），得 y + z = -xt ，即 t = - y + z x . 由于 BOC 与 ABC 同以 BC 为底，面积比等于对应高的比（即 OD 与 AD 的比）： S_ BOC S_ ABC = OD OD + OA = 1 1 - t 将 t = - y + z x 代入，得： S_ BOC S_ ABC = 1 1 + y + z x = x x + y + z

结论 6. 奔驰定理推论

O 为重心 S_ OBC :S_ OAC :S_ OAB = 1:1:1 OA + OB + OC = 0 O 为内心 S_ OBC :S_ OAC :S_ OAB = a:b:c a OA + b OB + c OC = 0 O 为外心 S_ OBC :S_ OAC :S_ OAB = 2A: 2B: 2C 2A OA + 2B OB + 2C OC = 0 O 为垂心 S_ OBC :S_ OAC :S_ OAB = A: B: C A OA + B OB + C OC = 0 注：外心的结论考虑外接圆，圆心角是圆周角的两倍，垂心的结论考虑两个三角形的面积比，使用公共边作为底边.

结论 7. 坐标表示（人教B必修二P171-2）

三角形的重心：记 ( ABC ) 的三个顶点分别为 (A(x_1,y_1) )， (B(x_2,y_2) )， (C(x_3,y_3) )，则 ( ABC ) 的重心坐标为： [ G ( x_1 + x_2 + x_3 3 , y_1 + y_2 + y_3 3 ) ] 三角形的内心：记 ( ABC ) 的三个顶点分别为 (A(x_1,y_1) )， (B(x_2,y_2) )， (C(x_3,y_3) )，则 ( ABC ) 的内心坐标为： [ I ( ax_1 + bx_2 + cx_3 a + b + c , ay_1 + by_2 + cy_3 a + b + c ) ] 其中 (a,b,c ) 分别为 ( A, B, C ) 所对的边长. 三角形的外心：记 ( ABC ) 的三个顶点分别为 (A(x_1,y_1) )， (B(x_2,y_2) )， (C(x_3,y_3) )，则 ( ABC ) 的外心坐标为： [ O ( 2A x_1+ 2B x_2+ 2C x_3 2A+ 2B+ 2C , 2A y_1+ 2B y_2+ 2C y_3 2A+ 2B+ 2C ) ] 三角形的垂心：记 ( ABC ) 的三个顶点分别为 (A(x_1,y_1) )， (B(x_2,y_2) )， (C(x_3,y_3) )，则 ( ABC ) 的垂心坐标为： [ H ( A x_1+ B x_2+ C x_3 A+ B+ C , A y_1+ B y_2+ C y_3 A+ B+ C ). ] 证明： 由广 义 定 比 分 点 公 式：已 知 平 面 上 (n ) 个 不 同 的 点 (A_i(x_i,y_i) ) ( (i = 1,2, ,n )) 和 一 点 (P )，若 ( _ i = 1 ^ n a_i PA_i = 0 ) ( (a_i 0 ))，则 (P ) 点 的 坐 标 为： [ P ( _ i = 1 ^ n a_ix_i _ i = 1 ^ n a_i , _ i = 1 ^ n a_iy_i _ i = 1 ^ n a_i ) ] 由奔驰定理推论即可证明.