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平面向量

知识点

定义与运算法则

定义 1. 向量

  1. 向量的概念：数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量.

  2. 向量的几何表示：

    1. 有向线段：具有方向的线段叫做有向线段. 以 \(A\) 为起点、\(B\) 为终点的有向线段记作 \(\overrightarrow{AB}\)， 线段 \(AB\) 的长度也叫做有向线段 \(\overrightarrow{AB}\) 的长度，记作 \(\vert\overrightarrow{AB}\vert\).

      有向线段三要素：起点，方向，长度.

    图

    1. 向量可以用有向线段\(\overrightarrow{AB}\)来表示，我们把这个向量记作向量\(\overrightarrow{AB}\). 有向线段的长度\(|\overrightarrow{AB}|\)表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向. 向量\(\overrightarrow{AB}\)的大小称为向量\(\overrightarrow{AB}\)的长度（或称模）， 记作\(|\overrightarrow{AB}|\).

  3. 零向量：长度为0的向量叫做零向量. 记作\(\overrightarrow{0}\).规定零向量与任意向量平行.

  4. 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.

  5. 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

  6. 相反向量：与向量 \(\vec{a}\) 长度相等，方向相反的向量，叫做 \(\vec{a}\) 的相反向量，记作 \(-\vec{a}\).

  7. 平行向量（共线向量）： 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. 向量 \(\vec{a}\) 平行于向量 \(\vec{b}\)，记作\(\vec{a}\parallel\vec{b}\). 任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量.

定义 2. 向量加法及其运算法则

  1. 三角形法则： 已知非零向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，在平面内任取一点\(A\)，作\(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{BC}=\vec{b}\)，则向量\(\overrightarrow{AC}\)叫做\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的和，记作\(\vec{a}+\vec{b}\)，即\(\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.

  2. 平行四边形法则： 以同一点\(O\)为起点的两个已知向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)为邻边作\(\parallelogram OACB\)，则以\(O\)为起点的对角线\(\overrightarrow{OC}\)就是\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.

  3. 多边形法则：\(\overrightarrow{A_1A_2} + \overrightarrow{A_2A_3} + \dots + \overrightarrow{A_{n-1}A_n} = \overrightarrow{A_1A_n}\)；

图

定义 3. 向量的减法

  1. 定义：向量 \(\vec{a}\) 加上 \(\vec{b}\) 的相反向量，叫做 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 的差， 即 \(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\)，求两个向量差的运算叫做向量的减法.减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.

  2. 几何意义：在平面内任取一点 \(O\)，作 \(\overrightarrow{OA} = \vec{a}\)，\(\overrightarrow{OB} = \vec{b}\)，则\(\overrightarrow{BA} = \vec{a} - \vec{b}\). 即\(\vec{a} - \vec{b}\)可以表示为从向量\(\vec{b}\)的终点指向向量\(\vec{a}\)的终点的向量，这是向量减法的几何意义.

图

定义 4. 向量数乘

实数 \(\lambda\) 与向量 \(\vec{a}\) 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 \(\lambda\vec{a}\)，其长度与方向规定如下：

  1. 长度：\(|\lambda\vec{a}| = |\lambda||\vec{a}|\).

  2. 方向：\(\text{当}\lambda{\gt}0\text{时，}\lambda\vec{a}\text{的方向与}\vec{a}\text{的方向相同；} \text{当}\lambda{\lt}0\text{时，}\lambda\vec{a}\text{的方向与}\vec{a}\text{的方向相反}.\)

    当 \(\lambda = 0\) 时，\(\lambda\vec{a}=\vec{0}\). \((-1)\vec{a}=-\vec{a}\).

向量数乘的运算律: \(\lambda(\mu\vec{a}) = (\lambda\mu)\vec{a}\)， \((\lambda + \mu)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}\)， \(\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}\)，

特别地，\((-\lambda)\vec{a}=-\lambda\vec{a}=\lambda(-\vec{a})\)，\(\lambda(\vec{a}-\vec{b})=\lambda\vec{a}-\lambda\vec{b}\).

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 向量线性运算的结果仍是向量.

对于任意向量 \(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，以及任意实数 \(\lambda\)，\(\mu_1\)，\(\mu_2\)，恒有

\[ \lambda(\mu_1 \vec{a} \pm \mu_2 \vec{b}) = \lambda \mu_1 \vec{a} \pm \lambda \mu_2 \vec{b}. \]

定理 1. 平面向量的共线定理

对于向量 \(\vec{a}\left(\vec{a}\neq\vec{0}\right)\)、\(\vec{b}\)，如果有一个实数 \(\lambda\)，使 \(\vec{b}=\lambda\vec{a}\)，那么由向量数乘的定义知，\(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 共线.

反过来，已知向量 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 共线，\(\vec{a}\neq\vec{0}\)，且向量 \(\vec{b}\) 的长度是向量 \(\vec{a}\) 的长度的 \(\mu\) 倍，即 \(\vert\vec{b}\vert = \mu\vert\vec{a}\vert\)，那么：

当 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 同方向时，有 \(\vec{b}=\mu\vec{a}\)；当 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 反方向时，有 \(\vec{b}=-\mu\vec{a}\).

综上，我们有如下定理： 向量\(\vec{a}\)（\(\vec{a} \neq \vec{0}\)）与\(\vec{b}\)共线的充要条件是：存在唯一一个实数\(\lambda\)，使\(\vec{b} = \lambda \vec{a}\).

若向量\(\vec{a}, \vec{b}\) 不共线，则 \(\lambda \vec{a} + \mu \vec{b} = \vec{0}\) 的充要条件是 \(\lambda = \mu = 0\)，这一结论结合待定系数法应用非常广泛.

定理 2. 共线向量表示定理(爪子定理)

平面上 \(O\)，\(A\)，\(B\) 三点不共线，\(D\) 在直线 \(AB\) 上，且 \(\overrightarrow{AD}=\lambda\overrightarrow{AB}\)，令 \(\overrightarrow{OA}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{OB}=\vec{b}\)，有

\[ \overrightarrow{OD}=\htmlClass{blank}{\lambda\vec{b}+(1 - \lambda)\vec{a}} \]

其表达意思就是从一个顶点 \(O\) 引出三个向量，且它们共线，每一个向量 \(\vec{a}\)，\(\vec{b}\) 分别乘以它对面的比值.

特殊点：当 \(D\) 为 \(AB\) 中点时，\(\lambda=\dfrac{1}{2}\)，\(\vec{OD}=\dfrac{1}{2}\vec{b}+\dfrac{1}{2}\vec{a}\)

图

定义 5. 向量的夹角

已知两个非零向量 \(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，\(O\) 是平面上的任意一点，作 \(\overrightarrow{OA}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{OB}=\vec{b}\)，则 \(\angle AOB = \theta \quad (0\leqslant\theta\leqslant\pi)\) 叫做向量 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 的夹角.

  1. 向量 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 的夹角一般可记为 \(\left\langle\vec{a},\vec{b}\right\rangle\).

  2. 当 \(\theta = 0\) 时，\(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 同向；当 \(\theta=\pi\) 时，\(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 反向.

  3. 如果 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 的夹角是 \(\dfrac{\pi}{2}\)，我们就说 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 垂直，记作 \(\vec{a}\perp\vec{b}\).

图

定义 6. 数量积

已知两个非零向量 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\)，它们的夹角为 \(\theta\)，把 \(\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta\) 叫做向量 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 的数量积（或内积）， 记作 \(\vec{a}\cdot\vec{b}\)，即

\[ \vec{a}\cdot\vec{b}=\htmlClass{blank}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta} \]

  1. 零向量与任意向量的数量积为 \(0\)，即 \(\vec{0}\cdot\vec{a}=0\).

  2. 向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量.

  3. 设\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)是非零向量，它们的夹角是\(\theta\)，\(\vec{e}\)是与\(\vec{b}\)方向相同的单位向量，则有：

    \(\vec{a} \cdot \vec{e} = \vec{e} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| \cos \theta\)    \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\Leftrightarrow\vec{a}\perp\vec{b}\)   \(|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}\)   \(\cos\theta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\)   \(|\vec{a}\cdot\vec{b}|\leqslant|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\)

    当\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)同向时，\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\)；当\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)反向时，\(\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}|\). 特别地，\(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2\) 或 \(|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}\).

  4. 运算律： \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\)   \(\lambda(\vec{a}\cdot\vec{b})=(\lambda\vec{a})\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot(\lambda\vec{b})\)   \((\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}\)

定义 7. 数量积的几何意义

设 \(\vec{a}\)，\(\vec{b}\) 是两个非零向量，\(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{CD}=\vec{b}\)：过 \(\overrightarrow{AB}\) 的起点和终点，分别作 \(\overrightarrow{CD}\) 所在直线的垂线，垂足分别为 \(A_1\)，\(B_1\)，得到 \(\overrightarrow{A_1B_1}\)，我们称上述变换为向量 \(\vec{a}\) 向向量 \(\vec{b}\) 投影，\(\overrightarrow{A_1B_1}\) 叫做向量 \(\vec{a}\) 在向量 \(\vec{b}\) 上的投影向量.

在平面内任取一点 \(O\)，作 \(\overrightarrow{OM} = \vec{a}\)，\(\overrightarrow{ON} = \vec{b}\). 过点 \(M\) 作直线 \(ON\) 的垂线，垂足为 \(M_1\)，则 \(\overrightarrow{OM_1}\) 就是向量 \(\vec{a}\) 在向量 \(\vec{b}\) 上的投影向量.

若 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 的夹角为 \(\theta\)，我们通常把 \(|\vec{a}|\cos\theta\) 叫做 \(\vec{a}\) 在 \(\vec{b}\) 方向上的投影. 投影值可正可负也可为 \(0\).

\(\vec{a}\) 在 \(\vec{b}\) 方向上的投影：\(|\vec{a}|\cos\theta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}\)

\(\vec{a}\) 在 \(\vec{b}\) 方向上的投影向量：\(|\vec{a}|\cos\theta\dfrac{\vec{b}}{|\vec{b}|}=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}\)

图

结论 1. 数量积问题

例如，求 \(\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}\) 的值或取值范围，可尝试以下思路

  1. 基底法: 令 \(\overrightarrow{PA} = x_1\overrightarrow{a} + y_1\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{PB} = x_2\overrightarrow{a} + y_2\overrightarrow{b}\)，其中 \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\)，\(\langle \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \rangle\) 已知

  2. 建系: 遇到规则的方便建系的特殊图形，直接建系写坐标即可，\(\overrightarrow{PA} = (x_1, y_1)\)，\(\overrightarrow{PB} = (x_2, y_2)\)

  3. 极化恒等式: 设 \(M\) 为 \(AB\) 中点，\(\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = |\overrightarrow{PM}|^2 - |\overrightarrow{MA}|^2\)，适用于 \(AB\) 定长或 \(PM\) 定长

  4. 投影法: \(\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = |\overrightarrow{PA}| \cdot |\overrightarrow{PB}| \cos\theta\)，适用于 \(P\) 为定点，\(A,B\) 中有一个定点

定理 3. 平面向量基本定理

如果 \(\vec{e_1}\)、\(\vec{e_2}\) 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量 \(\vec{a}\)，有且只有一对实数 \(\lambda_1\)、\(\lambda_2\)，使 \(\vec{a}=\lambda_1\vec{e_1}+\lambda_2\vec{e_2}\). 若\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)不共线，我们把\(\{\vec{e_1}, \vec{e_2}\}\)叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

定理 4. 三点共线

已知 \(A\)、\(B\)、\(C\)、\(P\) 为平面内四点，

\(A\)、\(B\)、\(C\) 三点在一条直线上 \(\Leftrightarrow\) 存在一对实数 \(m\)、\(n\)，使 \(\overrightarrow{PC}=m\overrightarrow{PA}+n\overrightarrow{PB}\)，且 \(m + n = \htmlClass{blank}{1}\).

定义 8. 向量的坐标表示

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.

在平面直角坐标系中，分别取与 \(x\) 轴、\(y\) 轴方向相同的两个单位向量 \(\vec{i}\)、\(\vec{j}\) 作为基底. 对于平面内的一个向量 \(\vec{a}\)，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 \(x\)、\(y\)，使得：\(\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}\).

平面内的任一向量 \(\vec{a}\) 都可以由 \(x\)、\(y\) 唯一确定，我们把有序数对 \((x,y)\) 叫做向量 \(\vec{a}\) 的坐标，记作：\(\vec{a}=(x,y)\)，此式叫做向量的坐标表示. 其中 \(x\) 叫做 \(\vec{a}\) 在 \(x\) 轴上的坐标，\(y\) 叫做 \(\vec{a}\) 在 \(y\) 轴上的坐标.

以原点 \(O\) 为起点作 \(\overrightarrow{OA} = \vec{a}\)，则点 \(A\) 的位置由向量 \(\vec{a}\) 唯一确定. 设 \(\overrightarrow{OA} = x\vec{i} + y\vec{j}\)，则向量 \(\overrightarrow{OA}\) 的坐标 \((x, y)\) 就是 终点 \(A\) 的坐标；反过来，终点 \(A\) 的坐标 \((x, y)\) 也就是向量 \(\overrightarrow{OA}\) 的坐标. 因为 \(\overrightarrow{OA} = \vec{a}\)，所以终点 \(A\) 的坐标 \((x, y)\) 就是向量 \(\vec{a}\) 的坐标.

图

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定义 9. 坐标运算

已知 \(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，则

\[ \vec{a}\pm\vec{b}=(x_1\pm x_2,y_1\pm y_2) \qquad \lambda\vec{a}=(\lambda x_1,\lambda y_1) \qquad \vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2 + y_1y_2 \qquad |\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}=\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \]
\[ \cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}=\dfrac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}\sqrt{x_2^2 + y_2^2}} \qquad \vec{a}\parallel\vec{b}\Leftrightarrow \htmlClass{blank}{x_1y_2 - x_2y_1 = 0} \qquad \vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow \htmlClass{blank}{x_1x_2 + y_1y_2 = 0} \]

已知 \(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，则 \(\overrightarrow{OA}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{OB}=(x_2,y_2)\)， 则

\[ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(x_2,y_2)-(x_1,y_1)=(x_2 - x_1,y_2 - y_1) \]

定比分点的坐标（人教A必修二P33探究）：设 \(A, B\) 是直线 \(l\) 上两点，\(C\) 是直线 \(l\) 上不同于 \(A, B\) 的任意一点， \(\overrightarrow{AC} = \lambda \overrightarrow{CB}\)，则 \(\lambda\) 叫做点 \(C\) 分有向线段 \(\overrightarrow{AB}\) 所成的比，\(C\) 叫做有向线段 \(\overrightarrow{AB}\) 的以 \(\lambda\) 为定比的 定比分点，有

\[ \overrightarrow{PC}=\dfrac{1}{1+\lambda}\overrightarrow{PA}+\dfrac{\lambda}{1+\lambda}\overrightarrow{PB} \]

若 \(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，\(\vec{AC} = \lambda \vec{CB}\) ，则

\[ C\left(\htmlClass{blank}{\dfrac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}},\htmlClass{blank}{\dfrac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}}\right) \]

图

结论 2. 常见坐标系建立

图

图

图

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结论 3. 常用向量结论

  1. 与\(\vec{a}\)共线的单位向量：\(\vec{e}=\pm \dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\)；\(\angle BAC\)平分线的方向向量：\(\vec{v} = \htmlClass{blank}{\dfrac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \dfrac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}}\)

  2. 与\(\vec{u} = (c, d)\)垂直的向量：\(\vec{v} = \lambda(-d, c) \ (\lambda \neq 0)\)； 与单位向量\(\vec{u} = (p, q)\)垂直的单位向量：\(\vec{v} = (-q, p)\)或\((q, -p)\)

  3. \(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角\(\theta\)为锐角\(\Leftrightarrow \begin{cases} \vec{a} \cdot \vec{b} {\gt} 0 \\ \text{排除}\vec{a} \parallel \vec{b} \end{cases}\)； \(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角\(\theta\)为钝角\(\Leftrightarrow \begin{cases} \vec{a} \cdot \vec{b} {\lt} 0 \\ \text{排除}\vec{a} \parallel \vec{b} \end{cases}\)

  4. \(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)同向\(\Leftrightarrow \vec{b} = \lambda \vec{a} (\lambda {\gt} 0) \Leftrightarrow \begin{cases} \vec{a} \parallel \vec{b} \\ \vec{a} \cdot \vec{b} {\gt} 0 \end{cases}\) ；\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)反向\(\Leftrightarrow \vec{b} = \lambda \vec{a} (\lambda {\lt} 0) \Leftrightarrow \begin{cases} \vec{a} \parallel \vec{b} \\ \vec{a} \cdot \vec{b} {\lt} 0 \end{cases}\)

  5. \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} \Leftrightarrow \vec{a} \perp (\vec{b} - \vec{c})\)

  6. 平面内四边形 \(ABCD\) 是平行四边形的充要条件为：对平面内任意一点 \(O\)，满足 \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}.\)

结论 4. 向量在物理中的应用

  1. 力、位移、速度都是向量，其合成遵循向量加法的平行四边形法则.

  2. 力做的功是数量积：力\(\vec{F}\)使物体产生位移\(\vec{s}\)，则做的功\(W = \htmlClass{blank}{\vec{F}\cdot\vec{s} = |\vec{F}|\,|\vec{s}|\cos\theta}\)（\(\theta\)为力与位移的夹角）.

  3. 共点力平衡：两个大小相等的拉力\(\vec{F_1}\)，\(\vec{F_2}\)（夹角为\(\theta\)）共提重力为\(\vec{G}\)的物体，由力的平衡与平行四边形法则得

    \[ |\vec{F_1}| = \htmlClass{blank}{\dfrac{|\vec{G}|}{2\cos\frac{\theta}{2}}} \]

    故夹角\(\theta\)越大越费力、越小越省力.

  4. 速度合成：船速\(\vec{v_1}\)与水流速度\(\vec{v_2}\)的合速度为\(\vec{v} = \vec{v_1} + \vec{v_2}\)；渡河航程最短时，合速度\(\vec{v}\)垂直于河岸.

向量恒等式

定理 1. 极化恒等式（人教A必修二P22-3）

基本形式：对于向量 \(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，有

\[ \vec{a}\cdot\vec{b}=\dfrac{1}{4}\left[\left(\vec{a}+\vec{b}\right)^2 - \left(\vec{a}-\vec{b}\right)^2\right] = \left(\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{\vec{a}-\vec{b}}{2}\right)^2 \]

证明：

\[ \dfrac{1}{4}[(\vec{a}+\vec{b})^2 - (\vec{a}-\vec{b})^2]=\dfrac{1}{4}[(\vec{a}^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}^2)-(\vec{a}^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}^2)] =\dfrac{1}{4}(\vec{a}^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}^2-\vec{a}^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{b}^2) =\dfrac{1}{4}(4\vec{a}\cdot\vec{b}) =\vec{a}\cdot\vec{b} \]

  1. 在平行四边形 \(ABCD\)中，\(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{AD}=\vec{b}\)， \(\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\vec{b}\)，\(\overrightarrow{BD}=\vec{b}-\vec{a}\)， 则

    \[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{4}(AC^2 - BD^2) \]

    从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的 \(\dfrac{1}{4}\)

  2. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(M\) 为 \(BC\) 中点，\(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{AC}=\vec{b}\)， \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\)，\(\overrightarrow{CM}=\dfrac{\vec{a}-\vec{b}}{2}\)， 则

    \[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\htmlClass{blank}{{AM}^2 - CM^2} \]

  3. 推论：平面内，若 \(A,B\) 为定点，且 \(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\lambda\)， \(P\) 的轨迹是以 \(AB\) 中点 \(M\) 为圆心，\(\sqrt{\lambda+\dfrac{1}{4}AB^{2}}\) 为半径的圆.

证明： 由 \(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\lambda\)，根据极化恒等式可知，\(PM^{2}-\dfrac{1}{4}AB^{2}=\lambda\)，所以 \(PM = \sqrt{\dfrac{1}{4}AB^{2}+\lambda}\)，\(P\) 的轨迹是以 \(M\) 为圆心 \(\sqrt{\lambda+\dfrac{1}{4}AB^{2}}\) 为半径的圆.

图

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定理 2. 向量中值定理（人教A必修二P39）

基本形式：对于向量 \(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，有

\[ 2(\vec{a}^{2}+\vec{b}^{2})=(\vec{a}+\vec{b})^{2}+(\vec{a}-\vec{b})^{2}\text{\quad 或\quad }\vec{a}^{2}+\vec{b}^{2}=2\left[\left(\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{\vec{a}-\vec{b}}{2}\right)^{2}\right] \]

  1. 在平行四边形 \(ABCD\)中，有

    \[ 2(AB^2+AD^2)=AC^2+BD^2 \]

    平行四边形中两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.

  2. 在\(\triangle ABC\)中，当 \(M\) 为 \(BC\) 的中点时，有

    \[ AB^{2}+AC^{2}=\htmlClass{blank}{2(AM^{2}+BM^{2})} \]

证明：对于向量中值定理，等号右边展开即可得.

对于推论， \((\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})^{2}=\overrightarrow{AB}^{2}+2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}^{2}\quad(1)\)

\((\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})^{2}=\overrightarrow{AB}^{2}-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}^{2}\quad(2)\)

由\(\dfrac{(1)+(2)}{2}\)得 \(\overrightarrow{AB}^{2}+\overrightarrow{AC}^{2}=\dfrac{(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})^{2}+(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})^{2}}{2} =2(\overrightarrow{AM}^{2}+\overrightarrow{CM}^{2})\)

定理 3. 矩形大法

如图，在矩形 \(ABCD\) 中，\(O\) 为对角线的交点，\(P\) 为平面内任意一点，则

\[ \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PD} \qquad \qquad PA^{2}+PC^{2}=PB^{2}+PD^{2} \]

图

证明：由于\(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PD}\)，两边同时平方可得 \(\overrightarrow{PA}^{2}+\overrightarrow{PC}^{2}+2\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PB}^{2}+\overrightarrow{PD}^{2}+2\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PD}\)

由极化恒等式得 \(\begin{cases} \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PO}^{2}-\dfrac{\overrightarrow{AC}^{2}}{4} \\ \overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{PO}^{2}-\dfrac{\overrightarrow{BD}^{2}}{4} \end{cases}\Rightarrow\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PD}\)

因此可得 \(\overrightarrow{PA}^{2}+\overrightarrow{PC}^{2}=\overrightarrow{PB}^{2}+\overrightarrow{PD}^{2}\)

定理 4. 平行四边形大法

如图，在平行四边形 \(ABCD\)中，\(O\) 为对角线的交点，点 \(P\) 为平面内任意一点，则

\[ (PB^{2}+PD^{2})-(PA^{2}+PC^{2})\\ =2(OB^{2}-OA^{2})\\ =2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC} \]

图

定理 5. 对角线向量定理

在平面四边形 \(ABCD\)或三棱锥\(B-ACD\)中

\[ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = \frac{\left(|\overrightarrow{AD}|^2 + |\overrightarrow{BC}|^2\right) - \left(|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{CD}|^2 \right)}{2} \]

说明：该定理既适用于平面向量（如四边形 \(ABCD\) 的对角线 \(AC\)、\(BD\)），也适用于空间向量（如三棱锥 \(D - ABC\) 的对棱 \(AC\)、\(BD\)）.

图

\[ \begin{aligned} \text{证明：} \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} & = \overrightarrow{CA} \cdot (\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CD}) = \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CD} \\ & = \frac{|\overrightarrow{CA}|^2 + |\overrightarrow{CB}|^2 - |\overrightarrow{AB}|^2}{2} - \frac{|\overrightarrow{CA}|^2 + |\overrightarrow{CD}|^2 - |\overrightarrow{AD}|^2}{2} = \frac{\left(|\overrightarrow{AD}|^2 + |\overrightarrow{BC}|^2\right) - \left(|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{CD}|^2 \right)}{2} \end{aligned} \]

推论 1 ： 当 \(\overrightarrow{AC} \perp \overrightarrow{BD}\) 时，有： \(\overrightarrow{AD}^2 + \overrightarrow{BC}^2 = \overrightarrow{AB}^2 + \overrightarrow{CD}^2\)

含义：对角线相互垂直时，四边形（或空间图形中对应对棱关系）两组对边的平方和相等.

推论 2 ： 计算线线角时，可使用

\[ \cos\langle \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BD} \rangle = \dfrac{(\overrightarrow{AD}^2 + \overrightarrow{BC}^2) - (\overrightarrow{AB}^2 + \overrightarrow{CD}^2)}{2|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{BD}|} \]

结论 1. \(\triangle ABC\)中线段比例求解——塞瓦标数法

在\(\triangle ABC\)中，\(AD = 2DB\)，\(BE = 3EC\)，\(AE\)与\(CD\)交于点\(F\)，求\(AF:FE\).

塞瓦标数法利用杠杆原理（支点两端的杠杆长度与重量成反比），将几何图形转化为"杠杆+质点+支点"的实物模型， 过程如下：

  1. 设质点\(A\)的重量（标数）为\(1\)；

  2. 杠杆\(AB\)的支点为\(D\)（\(AD=2DB\)）， 由杠杆原理，杠杆长度与重量成反比，故\(B\)的重量为\(2\)（\(AD:DB=2:1 \implies m_B:m_A=2:1\)）；

  3. 杠杆\(BC\)的支点为\(E\)（\(BE=3EC\)）， 同理，\(C\)的重量\(=B\text{的重量} \times 3 = 6\)；

  4. 计算支点的重量（对应两端质点重量和）： 支点\(D\)的重量\(=1 + 2 = 3\)； 支点\(E\)的重量\(=2 + 6 = 8\)； 支点\(F\)的重量\(=3 + 6 = 9\)；

  5. 求\(AF:FE\)， 杠杆\(AE\)两端为\(A(1)\)和\(E(8)\)，由杠杆原理，支点\(F\)两端线段比例等于质点重量反比，即\(AF:FE = 8:1\).

图

总结：先将平面图形转化为“杠杆-质点-支点”模型，明确各元素的对应关系； 假设某一质点的重量为\(1\)，根据杠杆原理和线段比例，标出其余质点的重量； 确定支点的重量为对应杠杆两端质点的重量和，利用“支点两端线段比例=对应质点重量反比”求解目标比例. 注意：该方法可由梅涅劳斯定理证明，但不要求掌握，也可按向量方法求解.

【常规做法】易得\(\overrightarrow{AE} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}\)

，因\(F \in AE\)，设\(\overrightarrow{AF} = s\overrightarrow{AE} = \dfrac{s}{4}\overrightarrow{AB} + \dfrac{3s}{4}\overrightarrow{AC}\)；

又\(F \in CD\)， 设\(\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AC} + t\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + t\left(\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\right) = \dfrac{2t}{3}\overrightarrow{AB} + (1-t)\overrightarrow{AC}\).

故有\(\dfrac{2t}{3} = \dfrac{s}{4}\)， \(1 - t = \dfrac{3s}{4}\)，联立 解得\(s = \dfrac{8}{9}\). 故\(\overrightarrow{AF} = \dfrac{8}{9}\overrightarrow{AE}\)，因此\(AF:FE = 8:1\).

等和线定理及其推广

定理 1. 等和线定理

设直线 \(AB \parallel A'B'\)，则有 \(\triangle PAB\sim\triangle PA'B'\)， 设 \(\dfrac{PA'}{PA}=\dfrac{PB'}{PB}=\dfrac{PC'}{PC}=k\)

根据三点共线原理，对直线 \(A'B'\) 上任意一点 \(C'\)，有： \(\overrightarrow{PC'}=\lambda \overrightarrow{PA'}+\mu \overrightarrow{PB'},\ (\lambda+\mu=1)\)

\(\because \overrightarrow{PA'}=k\overrightarrow{PA},\ \overrightarrow{PB'}=k\overrightarrow{PB}\) \(\therefore \overrightarrow{PC'} = \lambda(k\overrightarrow{PA}) + \mu(k\overrightarrow{PB}) = k\lambda \overrightarrow{PA}+k\mu \overrightarrow{PB}\)

因为其系数和为 \(k\lambda +k\mu =k(\lambda+\mu)=k\).

所以，若有 \(AB\parallel A'B'\)，对于直线 \(A'B'\) 上的任意一点 \(C'\)，若将其表示为基底 \(\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB}\) 的线性组合 \(\overrightarrow{PC'} = x\overrightarrow{PA} + y\overrightarrow{PB}\)，则必定有系数和 \(x+y=k\)，其中 \(k = \dfrac{PA'}{PA}\) 为放缩比例.

若 \(k = 1\)，点 \(C\) 在直线 \(AB\) 上，\(\overrightarrow{PC}=\lambda\overrightarrow{PA}+\mu\overrightarrow{PB}\)，则 \(\lambda+\mu = 1\)

若 \(k = 2\)，点 \(C'\) 在 \(A'B'\) （2倍等和线）上，\(\overrightarrow{PC'}=\lambda'\overrightarrow{PA}+\mu'\overrightarrow{PB}\)，则 \(\lambda'+\mu' = 2\)

若 \(k = 3\)，点 \(C''\) 在 \(A''B''\) （3倍等和线）上，\(\overrightarrow{PC''}=\lambda''\overrightarrow{PA}+\mu''\overrightarrow{PB}\)，则 \(\lambda''+\mu'' = 3\)

图

定理 2. 等差线定理

如图设 \(\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{e}_{1}\)，\(\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{e}_{2}\) 是平面内两个不共线向量，若 \(\overrightarrow{AP}=x\boldsymbol{e}_{1}+y\boldsymbol{e}_{2}\)，反向延长 \(\overrightarrow{AC}\) 到 \(E\)，使 \(\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AC}\)， 当 \(P\) 位于直线 \(BE\) 上时，一定有 \(x - y = 1\)，若 \(\overrightarrow{AQ}=x'\boldsymbol{e}_{1}+y'\boldsymbol{e}_{2}\) 且 \(x'-y'=k\)，则有 \(k = \dfrac{|\overrightarrow{AQ}|}{|\overrightarrow{AP}|}\).特殊的，当 \(Q\) 位于 直线 \(CF\) 上时，有 \(x - y = -1\)，当 \(Q\) 位于直线 \(AD\) 上时，有 \(x - y = 0\)，

证明：取 \(\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AC}=-\boldsymbol{e}_{2}\). 当 \(P\) 在直线 \(BE\) 上时，以 \(\overrightarrow{AB}\)，\(\overrightarrow{AE}\) 为基底，由三点共线（等和线）知 \(\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AB}+\nu\overrightarrow{AE}\) 且 \(\lambda+\nu=1\)；代入 \(\overrightarrow{AE}=-\boldsymbol{e}_{2}\) 得 \(\overrightarrow{AP}=\lambda\boldsymbol{e}_{1}-\nu\boldsymbol{e}_{2}\)，即 \(x=\lambda\)，\(y=-\nu\)，故 \(x-y=\lambda+\nu=1\). 平移到 \(k\) 倍的平行线上时同理得 \(x-y=k\).

图

定理 3. 倒数等和线（人教A必修二P39-3）

如图，设 \(\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{e}_{1}\)，\(\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{e}_{2}\) 是平面内两个不共线向量，若 \(\overrightarrow{OC}=x\boldsymbol{e}_{1}+y\boldsymbol{e}_{2}\)，一定有 \(x + y = 1\)，若 \(\overrightarrow{OD}=\lambda\boldsymbol{e}_{1}\)， \(\overrightarrow{OE}=\mu\boldsymbol{e}_{2}\)，则 \(\overrightarrow{OC}=x\boldsymbol{e}_{1}+y\boldsymbol{e}_{2}=\dfrac{x\overrightarrow{OD}}{\lambda}+\dfrac{y\overrightarrow{OE}}{\mu}\)，故一定有 \(\dfrac{x}{\lambda}+\dfrac{y}{\mu}=1\)；

同理，当 \(\overrightarrow{OP}=k\overrightarrow{OC}\)，且 \(\overrightarrow{OF}=\lambda'\boldsymbol{e}_{1}\)，\(\overrightarrow{OG}=\mu'\boldsymbol{e}_{2}\)，则 \(\overrightarrow{OP}=x'\boldsymbol{e}_{1}+y'\boldsymbol{e}_{2}=\dfrac{x'\overrightarrow{OF}}{\lambda'}+\dfrac{y'\overrightarrow{OG}}{\mu'}\)，故一定有 \(x'+y' = k\)， \(\dfrac{x'}{\lambda'}+\dfrac{y'}{\mu'}=1\)；

图

定理 4. 等商线

如图所示，令 \(\dfrac{OD}{OA}=\dfrac{OE}{OB}=\dfrac{OP}{OC}=k\)，若 \(\overrightarrow{OP}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}\)，根据等和线定理可得 \(\dfrac{\lambda}{\mu}=\dfrac{|PE|}{|PD|}=\dfrac{|BC|}{|CA|}\)，所以直线 \(OC\) 就是一条等商线，特别的，当 \(M\) 为 \(AB\) 中点时，\(OM\) 为等商 \(1\) 线.

图

向量四心与奔驰定理

定义 1. “四心”定义

重心:三边中线的交点，重心将中线长度分成2:1

垂心:三条高线的交点，高线与对应边垂直

内心:三条角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等

外心:三条中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等

结论 1. 平面三角形四心结论总结（人教A必修二P52-2）

图

结论 2. 重心结论及证明

  1. 已知\(O\)是\(\triangle ABC\)所在平面上的一点，若\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} = 0\)，则\(O\)是\(\triangle ABC\)的重心.

    证明：设边 \(BC\)、\(AC\)、\(AB\) 的中点分别为 \(D\)、\(E\)、\(F\)，\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\cdot\overrightarrow{OD}\)，则 \(\overrightarrow{OA}+2\cdot\overrightarrow{OD}=0\)，所以 \(A\)、\(O\)、\(D\) 三点共线，即点 \(O\) 在中线 \(AD\) 上，同理点 \(O\) 在中线 \(BE\)，\(CF\) 上，则 \(O\) 是 \(\triangle ABC\) 的重心.

    图

  2. 已知 \(O\) 是 \(\triangle ABC\) 所在平面上的一点，若 \(S_{\triangle OAB}=S_{\triangle OAC}=S_{\triangle OBC}=\dfrac{1}{3}S_{\triangle ABC}\)，则 \(O\) 是 \(\triangle ABC\) 的重心.

    证明：延长 \(AO\) 交 \(BC\) 于点 \(D\)，所以

    \[ \dfrac{BD}{CD}=\dfrac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\dfrac{S_{\triangle OBD}}{S_{\triangle OCD}}=\dfrac{S_{\triangle ABD}-S_{\triangle OBD}}{S_{\triangle ACD}-S_{\triangle OCD}}=\dfrac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle AOC}} = 1, \]

    即，点 \(D\)为 \(BC\)的中点；同理，分别延长 \(BO\)、\(CO\) 交 \(AC\)、\(AB\) 于点 \(E\)、\(F\)，则点 \(E\)、\(F\)分别为 \(AC\)、\(AB\)的中点；所以，所以 \(O\) 是 \(\triangle ABC\) 的三条中线的交点，即重心.

  3. 已知 \(O\) 是 \(\triangle ABC\) 所在平面上的一点，动点 \(P\) 满足

    \[ \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right),\lambda\in(0,+\infty), \]

    则 \(P\) 的轨迹一定通过 \(\triangle ABC\) 的重心.

    证明：由已知， \(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AP}=\lambda\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right),\lambda\in(0,+\infty),\) 设线段 \(BC\) 的中点为 \(D\)，

    由平行四边形定则知 \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}\)，所以 \(\overrightarrow{AP}=\lambda\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=2\lambda\overrightarrow{AD},\lambda\in(0,+\infty),\)

    即 \(AP\) 与 \(BC\) 边中线 \(AD\) 共线，所以 \(P\) 的轨迹一定通过 \(\triangle ABC\) 的重心.

  4. 已知 \(O\) 是 \(\triangle ABC\) 所在平面上的一点，动点 \(P\) 满足

    \[ \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda\left(\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right),\lambda\in(0,+\infty), \]

    则 \(P\) 的轨迹一定通过 \(\triangle ABC\) 的重心.

    证明：由已知， \(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=\lambda\left(\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right),\lambda\in(0,+\infty),\) 设线段 \(BC\) 的中点为 \(D\)，则知 \(\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD},\)

    所以 \(\overrightarrow{AP}=\lambda\left(\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right)=\lambda\overrightarrow{AD},\lambda\in(0,+\infty),\)

    即 \(AP\) 与 \(BC\) 边中线 \(AD\) 共线，所以 \(P\) 的轨迹一定通过 \(\triangle ABC\) 的重心.

  5. 已知 \(O\) 是 \(\triangle ABC\) 所在平面上的一点，动点 \(P\) 满足

    \[ \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda\left(\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\vert\overrightarrow{AB}\vert\sin B}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{\vert\overrightarrow{AC}\vert\sin C}\right),\lambda\in(0,+\infty), \]

    则 \(P\) 的轨迹一定通过 \(\triangle ABC\) 的重心.

    证明： 设\(BC\)边的中点为\(D\). 过\(A\)作\(BC\)边上的高\(AH\) . \(\vert\overrightarrow{AB}\vert\sin B = \vert\overrightarrow{AH}\vert\)；\(\vert\overrightarrow{AC}\vert\sin C=\vert\overrightarrow{AH}\vert\).

    由\(\vert\overrightarrow{AB}\vert\sin B=\vert\overrightarrow{AC}\vert\sin C\)，设\(m = \vert\overrightarrow{AB}\vert\sin B=\vert\overrightarrow{AC}\vert\sin C\). 那么\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda\left(\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\vert\overrightarrow{AB}\vert\sin B}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{\vert\overrightarrow{AC}\vert\sin C}\right)\)可化为\(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AP}=\dfrac{\lambda}{m}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\).

    因为\(D\)是\(BC\)中点，所以\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AD}\).

    则\(\overrightarrow{AP}=\dfrac{\lambda}{m}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\dfrac{2\lambda}{m}\overrightarrow{AD}\) ，其中\(\dfrac{2\lambda}{m}{\gt}0\).

    由于\(\overrightarrow{AP}\)与\(\overrightarrow{AD}\)共线，且\(D\)是\(BC\)边的中点，\(AD\)是\(\triangle ABC\)的一条中线，\(\lambda\)的取值范围是\((0, +\infty)\)，这意味着动点\(P\)在由\(A\)出发且与中线\(AD\)共线的射线上，所以\(P\)的轨迹一定通过\(\triangle ABC\)的重心.

    图

结论 3. 垂心结论及证明

  1. 已知 \(O\) 是 \(\triangle ABC\) 所在平面上的一点，若 \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA}\)，则 \(O\) 是 \(\triangle ABC\) 的垂心.

    证明：由已知，\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}\cdot(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC})=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{CA}=0\)，即 \(OB\) 垂直 \(CA\)，也即点 \(O\) 在边 \(AC\) 的垂线上；同理，点 \(O\) 也在边 \(AB\)、\(BC\) 的垂线上，所以则 \(O\) 是 \(\triangle ABC\) 的垂心.

  2. 已知 \(O\) 是 \(\triangle ABC\) 所在平面上的一点，若

    \[ |\overrightarrow{OA}|^{2}+|\overrightarrow{BC}|^{2}=|\overrightarrow{OB}|^{2}+|\overrightarrow{AC}|^{2}=|\overrightarrow{OC}|^{2}+|\overrightarrow{AB}|^{2} \]

    则 \(O\) 是 \(\triangle ABC\) 的垂心.

    证明： \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\)，\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\)， 所以，

    \[ \begin{aligned} & |\overrightarrow{OA}|^{2}+|\overrightarrow{BC}|^{2}=|\overrightarrow{OB}|^{2}+|\overrightarrow{AC}|^{2}\Rightarrow |\overrightarrow{OA}|^{2}+|\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}|^{2}=|\overrightarrow{OB}|^{2}+|\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}|^{2} \\ & \Rightarrow|\overrightarrow{OA}|^{2}+|\overrightarrow{OB}|^{2}+|\overrightarrow{OC}|^{2}-2\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=|\overrightarrow{OA}|^{2}+|\overrightarrow{OB}|^{2}+|\overrightarrow{OC}|^{2}-2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC} \\ & \Rightarrow\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC} \end{aligned} \]

    同理可得， \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}\)，所以 \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA}\)；同上可证，\(O\) 是 \(\triangle ABC\) 的垂心.

  3. 已知 \(O\) 是 \(\triangle ABC\) 所在平面上的一点，动点 \(P\) 满足

    \[ \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda\left(\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\vert\overrightarrow{AB}\vert\cos B}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{\vert\overrightarrow{AC}\vert\cos C}\right),\lambda\in(0,+\infty), \]

    则 \(P\) 的轨迹一定通过 \(\triangle ABC\) 的垂心.

    证明：由已知，\(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AP}=\lambda\left(\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\vert\overrightarrow{AB}\vert\cos B}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{\vert\overrightarrow{AC}\vert\cos C}\right),\lambda\in(0,+\infty)\)， 又

    \[ \begin{aligned} \left(\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\vert\overrightarrow{AB}\vert\cos B}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{\vert\overrightarrow{AC}\vert\cos C}\right)\cdot\overrightarrow{BC} & =\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}}{\vert\overrightarrow{AB}\vert\cos B}+\dfrac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}}{\vert\overrightarrow{AC}\vert\cos C}=\dfrac{\vert\overrightarrow{AB}\vert\cdot\vert\overrightarrow{BC}\vert\cos(\pi - B)}{\vert\overrightarrow{AB}\vert\cos B}+\dfrac{\vert\overrightarrow{AC}\vert\cdot\vert\overrightarrow{BC}\vert\cos C}{\vert\overrightarrow{AC}\vert\cos C} \\ & =-\dfrac{\vert\overrightarrow{AB}\vert\cdot\vert\overrightarrow{BC}\vert\cos B}{\vert\overrightarrow{AB}\vert\cos B}+\dfrac{\vert\overrightarrow{AC}\vert\cdot\vert\overrightarrow{BC}\vert\cos C}{\vert\overrightarrow{AC}\vert\cos C}=-\vert\overrightarrow{BC}\vert+\vert\overrightarrow{BC}\vert = 0, \end{aligned} \]

    所以，\(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)，所以点 \(P\) 在边 \(BC\) 的垂线上，即则 \(P\) 的轨迹一定通过 \(\triangle ABC\) 的垂心.

结论 4. 内心结论总结及证明

  1. 已知 \(O\) 是 \(\triangle ABC\) 所在平面上的一点，动点 \(P\) 满足

    \[ \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda\left(\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\vert\overrightarrow{AB}\vert}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{\vert\overrightarrow{AC}\vert}\right),\lambda\in(0,+\infty), \]

    则 \(P\) 的轨迹一定通过 \(\triangle ABC\) 的内心.

    证明：由已知，

    \[ \overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AP}=\lambda\left(\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\vert\overrightarrow{AB}\vert}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{\vert\overrightarrow{AC}\vert}\right),\lambda\in(0,+\infty), \]

    \(\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\vert\overrightarrow{AB}\vert}\) 表示边 \(AB\)方向上的单位向量，同理 \(\dfrac{\overrightarrow{AC}}{\vert\overrightarrow{AC}\vert}\) 表示线段 \(AC\)方向上的单位向量，则由平行四边形定则可知

    \[ \lambda\left(\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\vert\overrightarrow{AB}\vert}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{\vert\overrightarrow{AC}\vert}\right),\lambda\in(0,+\infty) \]

    表示 \(\angle BAC\) 的角平分线方向上的向量，则 \(P\) 的轨迹一定通过 \(\triangle ABC\) 的内心.

  2. 已知 \(O\) 是 \(\triangle ABC\) 所在平面上的一点，动点 \(P\) 满足

    \[ \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda\left(\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\sin C}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{\sin B}\right),\lambda\in(0,+\infty), \]

    则 \(P\) 的轨迹一定通过 \(\triangle ABC\) 的内心.

    证明：在 \(\triangle ABC\) 中，由正弦定理可知 \(\dfrac{\vert\overrightarrow{AB}\vert}{\sin C}=\dfrac{\vert\overrightarrow{AC}\vert}{\sin B}=2R\)，\(R\) 为 \(\triangle ABC\) 的外接圆半径，所以

    \[ \begin{aligned} \overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA} & =\overrightarrow{AP}=\lambda\left(\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\sin C}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{\sin B}\right)=\lambda\cdot{2R}\left(\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\vert\overrightarrow{AB}\vert}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{\vert\overrightarrow{AC}\vert}\right), \end{aligned} \]

    由上条结论可知点 \(P\) 的轨迹一定通过 \(\triangle ABC\) 的内心.

  3. 已知 \(O\) 是 \(\triangle ABC\) 所在平面上的一点，\(a,b,c\) 为 \(\triangle ABC\) 的三边长，若

    \[ a\cdot\overrightarrow{OA}+b\cdot\overrightarrow{OB}+c\cdot\overrightarrow{OC}=0 \]

    ，则 \(O\) 是 \(\triangle ABC\) 的内心.

    证明：\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}\)，\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}\)，则

    \[ \begin{aligned} a\cdot\overrightarrow{OA}+b\cdot\overrightarrow{OB}+c\cdot\overrightarrow{OC}=0 \Leftrightarrow(a + b + c)\cdot\overrightarrow{OA}+b\cdot\overrightarrow{AB}+c\cdot\overrightarrow{AC}=0 \end{aligned} \]

    等式两边同时除以 \(bc\)，

    \[ \overrightarrow{AO}=\dfrac{bc}{a + b + c}\left(\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\vert\overrightarrow{AB}\vert}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{\vert\overrightarrow{AC}\vert}\right), \]

    由内心的第一条结论可知 \(\overrightarrow{AO}\) 为 \(\angle BAC\) 的角平分线，同理 \(\overrightarrow{BO}\)、\(\overrightarrow{CO}\) 分别为 \(\angle ABC\)、\(\angle ACB\) 的角平分线，所以 \(O\) 是 \(\triangle ABC\) 的内心.

结论 5. 外心结论总结及证明

  1. 已知 \(O\) 是 \(\triangle ABC\) 所在平面上的一点，若 \(|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}|\)，则 \(O\) 是 \(\triangle ABC\) 的外心.

  2. 已知 \(O\) 是 \(\triangle ABC\) 所在平面上的一点，

    若 \((\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\cdot\overrightarrow{AB}=(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\cdot\overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA})\cdot\overrightarrow{CA}=0\)，则 \(O\) 是 \(\triangle ABC\) 的外心.

    证明：设边 \(AB\)、\(BC\)、\(CA\) 的中点分别为点 \(D\)、\(E\)、\(F\)，则 \((\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\cdot\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{OD}\cdot\overrightarrow{AB}=0\)，所以 \(OD\) 为线段 \(AB\) 的中垂线，同理 \(OE\)、\(OF\) 分别为线段 \(BC\)、\(CA\) 的中垂线，所以则 \(O\) 是 \(\triangle ABC\) 的外心.

  3. 已知 \(O\) 是 \(\triangle ABC\) 所在平面上的一点，动点 \(P\) 满足

    \[ \overrightarrow{OP}=\dfrac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}+\lambda\left(\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\vert\overrightarrow{AB}\vert\cos B}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{\vert\overrightarrow{AC}\vert\cos C}\right),\lambda\in(0,+\infty), \]

    则 \(P\) 的轨迹一定通过 \(\triangle ABC\) 的外心.

    证明：设边 \(BC\) 的中点为 \(D\)，则

    \[ \overrightarrow{OP}-\dfrac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{DP}=\lambda\left(\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\vert\overrightarrow{AB}\vert\cos B}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{\vert\overrightarrow{AC}\vert\cos C}\right),\lambda\in(0,+\infty), \]
    \[ \begin{aligned} \left(\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\vert\overrightarrow{AB}\vert\cos B}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{\vert\overrightarrow{AC}\vert\cos C}\right)\cdot\overrightarrow{BC} & =\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}}{\vert\overrightarrow{AB}\vert\cos B}+\dfrac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}}{\vert\overrightarrow{AC}\vert\cos C} =\dfrac{\vert\overrightarrow{AB}\vert\cdot\vert\overrightarrow{BC}\vert\cos(\pi - B)}{\vert\overrightarrow{AB}\vert\cos B}+\dfrac{\vert\overrightarrow{AC}\vert\cdot\vert\overrightarrow{BC}\vert\cos C}{\vert\overrightarrow{AC}\vert\cos C} \\&=-\dfrac{\vert\overrightarrow{AB}\vert\cdot\vert\overrightarrow{BC}\vert\cos B}{\vert\overrightarrow{AB}\vert\cos B}+\dfrac{\vert\overrightarrow{AC}\vert\cdot\vert\overrightarrow{BC}\vert\cos C}{\vert\overrightarrow{AC}\vert\cos C}=-\vert\overrightarrow{BC}\vert+\vert\overrightarrow{BC}\vert = 0 \end{aligned} \]

    所以，\(\overrightarrow{DP}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)，所以点 \(P\) 在边 \(BC\) 的中垂线上，即则 \(P\) 的轨迹一定通过外心.

  4. 已知 \(O\) 是 \(\triangle ABC\) 的外心，点 \(D\)、\(E\)、\(F\) 分别为边 \(AB\)、\(AC\)、\(BC\) 的中点，则有以下结论

    1. \(\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|^{2}\)，  \(\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|^{2}\)，  \(\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{BC}|^{2}\)

    2. \(\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AF}=\dfrac{1}{4}|\overrightarrow{AB}|^{2}+\dfrac{1}{4}|\overrightarrow{AC}|^{2}\)，  \(\overrightarrow{BO}\cdot\overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{4}|\overrightarrow{BA}|^{2}+\dfrac{1}{4}|\overrightarrow{BC}|^{2}\)，  \(\overrightarrow{CO}\cdot\overrightarrow{CD}=\dfrac{1}{4}|\overrightarrow{CA}|^{2}+\dfrac{1}{4}|\overrightarrow{CB}|^{2}\)

    3. \(\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|^{2}-\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|^{2}\)，  \(\overrightarrow{BO}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{BC}|^{2}-\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{BA}|^{2}\)，  \(\overrightarrow{CO}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{CB}|^{2}-\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{CA}|^{2}\)

    图

    证明：由已知，点 \(O\) 是 \(\triangle ABC\) 的外心，则 \(OD\perp AB\)，\(OE\perp AC\)，\(OF\perp BC\).

    1. \(\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DO}\)，则 \(\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AB}=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DO})\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AB}|^{2}+0=\dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AB}|^{2}\)

      同理可证，\(\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AC}|^{2}\)，\(\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{BC}|^{2}\).

    2. \(\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AO}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\cdot\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\cdot\overrightarrow{AC}\right)\)， 由 \(\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AB}|^{2}\)，\(\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AC}|^{2}\)， 所以 \(\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AF}=\dfrac{1}{4}\cdot|\overrightarrow{AB}|^{2}+\dfrac{1}{4}\cdot|\overrightarrow{AC}|^{2}\). 同理 \(\overrightarrow{BO}\cdot\overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{4}\cdot|\overrightarrow{BA}|^{2}+\dfrac{1}{4}\cdot|\overrightarrow{BC}|^{2}\)，\(\overrightarrow{CO}\cdot\overrightarrow{CD}=\dfrac{1}{4}\cdot|\overrightarrow{CA}|^{2}+\dfrac{1}{4}\cdot|\overrightarrow{CB}|^{2}\).

    3. \(\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AO}\cdot(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\)， 由 \(\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AB}|^{2}\)，\(\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AC}|^{2}\)， 所以 \(\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AC}|^{2}-\dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AB}|^{2}\)， 同理 \(\overrightarrow{BO}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{BC}|^{2}-\dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{BA}|^{2}\)，\(\overrightarrow{CO}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{CB}|^{2}-\dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{CA}|^{2}\)

定理 1. 奔驰定理

在\(\triangle ABC\)所在的平面内，若存在一点\(O\)，使得\(x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB} + z\overrightarrow{OC} = \vec{0}\)成立，则有

\[ S_{\triangle OBC}: S_{\triangle OAC}: S_{\triangle OAB}: S_{\triangle ABC} = |x|: |y|: |z|: |x + y + z|,\text{亦即} \]
\[ \htmlClass{blank}{S_{\triangle OBC}\cdot\overrightarrow{OA}+S_{\triangle OAC}\cdot\overrightarrow{OB}+S_{\triangle OAB}\cdot\overrightarrow{OC}=0} \]

图

证明：假设\(O\)在\(\triangle ABC\)的内部，延长\(AO\)交\(BC\)于点\(D\)，设\(\overrightarrow{OA} = t\overrightarrow{OD} \ (t {\lt} 0)\)，则：

\[ y\overrightarrow{OB} + z\overrightarrow{OC} = -x\overrightarrow{OA} = -xt\overrightarrow{OD} \]

由\(B\)、\(D\)、\(C\)三点共线（共线向量定理：若\(\vec{OD} = m\overrightarrow{OB} + n\overrightarrow{OC}\)，则\(m + n = 1\)），得\(y + z = -xt\)，即\(t = -\frac{y + z}{x}\).

由于\(\triangle BOC\)与\(\triangle ABC\)同以\(BC\)为底，面积比等于对应高的比（即\(OD\)与\(AD\)的比）：

\[ \frac{S_{\triangle BOC}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{OD}{OD + OA} = \frac{1}{1 - t} \]

将\(t = -\frac{y + z}{x}\)代入，得：

\[ \frac{S_{\triangle BOC}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{1}{1 + \frac{y + z}{x}} = \frac{x}{x + y + z} \]

结论 6. 奔驰定理推论

\[ \begin{aligned} O\text{为重心} & \Leftrightarrow & S_{\triangle OBC}:S_{\triangle OAC}:S_{\triangle OAB} & = 1:1:1 & \Leftrightarrow & \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \mathbf{0} \\ O\text{为内心} & \Leftrightarrow & S_{\triangle OBC}:S_{\triangle OAC}:S_{\triangle OAB} & = \htmlClass{blank}{a:b:c} & \Leftrightarrow & \htmlClass{blank}{a\cdot\overrightarrow{OA} + b\cdot\overrightarrow{OB} + c\cdot\overrightarrow{OC}} = \mathbf{0} \\ O\text{为外心} & \Leftrightarrow & S_{\triangle OBC}:S_{\triangle OAC}:S_{\triangle OAB} & = \htmlClass{blank}{\sin2A:\sin2B:\sin2C} & \Leftrightarrow & \htmlClass{blank}{\sin2A\cdot\overrightarrow{OA} + \sin2B\cdot\overrightarrow{OB} + \sin2C\cdot\overrightarrow{OC}} = \mathbf{0} \\ O\text{为垂心} & \Leftrightarrow & S_{\triangle OBC}:S_{\triangle OAC}:S_{\triangle OAB} & = \htmlClass{blank}{\tan A:\tan B:\tan C} & \Leftrightarrow & \htmlClass{blank}{\tan A\cdot\overrightarrow{OA} + \tan B\cdot\overrightarrow{OB} + \tan C\cdot\overrightarrow{OC}} = \mathbf{0} \end{aligned} \]

注：外心的结论考虑外接圆，圆心角是圆周角的两倍，垂心的结论考虑两个三角形的面积比，使用公共边作为底边.

结论 7. 坐标表示（人教B必修二P171-2）

三角形的重心：记 \(\triangle ABC\) 的三个顶点分别为 \(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，\(C(x_3,y_3)\)，则 \(\triangle ABC\) 的重心坐标为：

\[ G\left(\htmlClass{blank}{\dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3},\dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3}}\right) \]

三角形的内心：记 \(\triangle ABC\) 的三个顶点分别为 \(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，\(C(x_3,y_3)\)，则 \(\triangle ABC\) 的内心坐标为：

\[ I\left(\dfrac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a + b + c},\dfrac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a + b + c}\right) \]

其中 \(a,b,c\) 分别为 \(\angle A,\angle B,\angle C\) 所对的边长.

三角形的外心：记 \(\triangle ABC\) 的三个顶点分别为 \(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，\(C(x_3,y_3)\)，则 \(\triangle ABC\) 的外心坐标为：

\[ O\left(\dfrac{\sin 2A\cdot x_1+\sin 2B\cdot x_2+\sin 2C\cdot x_3}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C},\dfrac{\sin 2A\cdot y_1+\sin 2B\cdot y_2+\sin 2C\cdot y_3}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}\right) \]

三角形的垂心：记 \(\triangle ABC\) 的三个顶点分别为 \(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，\(C(x_3,y_3)\)，则 \(\triangle ABC\) 的垂心坐标为：

\[ H\left(\dfrac{\tan A\cdot x_1+\tan B\cdot x_2+\tan C\cdot x_3}{\tan A+\tan B+\tan C},\dfrac{\tan A\cdot y_1+\tan B\cdot y_2+\tan C\cdot y_3}{\tan A+\tan B+\tan C}\right). \]

证明： 由广 义 定 比 分 点 公 式：已 知 平 面 上 \(n\) 个 不 同 的 点 \(A_i(x_i,y_i)\) (\(i = 1,2,\cdots,n\)) 和 一 点 \(P\)，若 \(\sum_{i = 1}^{n}a_i\overrightarrow{PA_i}=\overrightarrow{0}\) (\(a_i\neq0\))，则 \(P\) 点 的 坐 标 为：

\[ P\left(\dfrac{\sum_{i = 1}^{n}a_ix_i}{\sum_{i = 1}^{n}a_i},\dfrac{\sum_{i = 1}^{n}a_iy_i}{\sum_{i = 1}^{n}a_i}\right) \]

由奔驰定理推论即可证明.

题型

向量基本运算与数量积定义

题型 1. 线性运算与向量表示

题型识别： 题目给出三角形、平行四边形、中点或分点，要求用若干已知向量表示目标向量，或化简向量线性组合.

核心思路： 优先利用向量加减法的三角形法则、多边形法则和平行四边形法则，把路径首尾相接. 对同一起点的向量，可选两个不共线向量作为基底后再按系数合并.

解题步骤：

  1. 确定目标向量的起点和终点，寻找经过已知点的路径；

  2. 用\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)拆分或合并；

  3. 遇到中点、平行四边形时先写出对应的等向量关系；

  4. 将结果化为题目指定的基向量线性组合.

易错点： 把\(\overrightarrow{AB}\)与\(\overrightarrow{BA}\)混淆；向量相减时终点与起点写反；将长度相等误当作向量相等.

题型 2. 共线、同向与反向的参数判定

题型识别： 已知两个含参数的向量共线、同向或反向，要求求参数、判断方向或证明向量关系.

核心思路： 共线转化为存在实数\(\lambda\)使\(\vec b=\lambda\vec a\)；同向要求\(\lambda{\gt}0\)，反向要求\(\lambda{\lt}0\). 当基向量不共线时，可比较它们的线性组合系数.

解题步骤：

  1. 将“共线、同向、反向”翻译为比例关系，并写明\(\lambda\)的符号；

  2. 将两侧展开为同一组不共线基向量的线性组合；

  3. 分别比较对应系数，解出参数；

  4. 回代检查比例系数的正负是否符合方向条件.

易错点： 只由共线求出参数而忘记同向、反向的符号限制；基向量共线时仍强行比较系数；漏掉零向量的特殊情形.

题型 3. 向量模的平方化处理

题型识别： 题目含\(|\vec a+\vec b|\)、\(|\vec a-\vec b|\)、向量模的最值或等式，且给出数量积、夹角或长度信息.

核心思路： 模不便直接展开时先平方，转化为数量积：\(|\vec a\pm\vec b|^2=|\vec a|^2\pm2\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2\). 平方后要注意原模非负，必要时再开方.

解题步骤：

  1. 判断目标模是否适合先平方；

  2. 用数量积运算律展开平方；

  3. 代入\(\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta\)或已有数量积；

  4. 求得平方值后利用非负性确定原模.

易错点： 将\(|\vec a-\vec b|^2\)中间项误写为正；平方后直接约去可能为零的因子；忘记模恒为非负数.

题型 4. 数量积定义式求值

题型识别： 已知两个向量的模、夹角或对应几何边角，要求数量积、夹角余弦或相关参数.

核心思路： 数量积定义\(\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta\)直接连接长度与夹角. 先确认夹角是两个向量的夹角，而不是图中的补角或外角.

解题步骤：

  1. 将向量平移到同一起点，辨认其夹角\(\theta\in[0,\pi]\)；

  2. 由图形关系将\(\theta\)化为已知角或其补角；

  3. 代入定义式求值或求\(\cos\theta\)；

  4. 根据数量积正负复核夹角应为锐角、直角还是钝角.

易错点： 把两向量夹角误取为有向线段的夹角；钝角情形漏掉余弦负号；将数量积误当作向量.

题型 5. 夹角、垂直与锐钝判断

题型识别： 题目给出向量坐标、线性关系或数量积，要求判断垂直、求夹角，或判断夹角的锐钝.

核心思路： 垂直等价于数量积为\(0\)；夹角余弦由\(\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}\)求得. 判断锐钝时，除数量积正负外，还要排除两向量共线的\(0\)角或\(\pi\)角.

解题步骤：

  1. 先计算或化出\(\vec a\cdot\vec b\)；

  2. 垂直问题令其为\(0\)，夹角问题再计算两个模；

  3. 锐钝判断结合数量积正负与共线条件；

  4. 若出现参数，检查求出的向量是否为零向量.

易错点： 仅由\(\vec a\cdot\vec b{\gt}0\)就断言夹角锐，而未排除同向；夹角余弦分母漏写模；把向量垂直误写成坐标分别相等.

数量积的几何方法

题型 1. 极化恒等式求数量积

题型识别： 目标为\(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}\)，且\(A,B\)的中点、\(AB\)长度或\(P\)到中点的距离已知或易求.

核心思路： 设\(M\)为\(AB\)中点，则\(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=|\overrightarrow{PM}|^2-|\overrightarrow{MA}|^2\). 该式把夹角问题转成两段长度的平方差，特别适合中点与定长条件.

解题步骤：

  1. 观察两个向量的终点，作或识别其连线的中点\(M\)；

  2. 将目标写成\(|PM|^2-|MA|^2\)；

  3. 用几何条件、勾股定理、余弦定理或轨迹条件求两项；

  4. 若求范围，分别研究\(PM\)或\(MA\)可取的范围.

易错点： 中点取错为\(PA\)或\(PB\)的中点；平方差顺序写反；将\(|MA|\)误写成\(|AB|\).

题型 2. 投影法求数量积

题型识别： 题目中一个向量方向固定，另一个向量的投影长度、垂足或相关直角三角形信息明显，要求求数量积或最值.

核心思路： 将\(\vec a\cdot\vec b\)看作“\(\vec a\)在\(\vec b\)方向上的有向投影”乘以\(|\vec b|\). 投影值带符号，钝角时为负，不能只取几何长度.

解题步骤：

  1. 选取方向明确、长度容易处理的向量作为投影方向；

  2. 作垂线或由图读出另一向量在该方向上的有向投影；

  3. 乘以投影方向向量的模，得到数量积；

  4. 结合投影方向判断正负，并与夹角锐钝相互验证.

易错点： 忽略有向投影的正负；投影到直线却选错了向量方向；把投影长度再乘错成另一个向量的模.

题型 3. 数量积的拆解与配凑

题型识别： 目标数量积的两个向量不便直接求夹角，但可由中点、平行四边形、线性关系拆成更熟悉的向量.

核心思路： 利用数量积对加法的分配律和向量线性运算，将目标拆为可由长度、垂直或极化处理的基本数量积. 先让向量共起点或引入中点，往往能显著简化.

解题步骤：

  1. 寻找中点、平行四边形、相等向量或首尾相接关系；

  2. 将目标向量写成已知向量之和或差；

  3. 用分配律展开，优先合并互为相反、垂直或可极化的项；

  4. 最后再代入长度、夹角或坐标信息.

易错点： 展开\(\left(\vec a-\vec b\right)\cdot\left(\vec c-\vec d\right)\)时漏负号；为了拆解引入过多未知量；没有先检查新向量的方向.

向量分解与共线性质

题型 1. 基底表示与待定系数

题型识别： 给出两个不共线基向量，要求表示目标向量、求线性组合系数或判断向量等式.

核心思路： 不共线向量构成基底，表示唯一. 将等式两侧统一化为\(\lambda\vec e_1+\mu\vec e_2\)，即可比较系数；平行四边形、三角形中的边向量通常是自然基底.

解题步骤：

  1. 选择题目中最稳定的两条不共线向量作基底；

  2. 用加减法将所有目标向量改写为该基底的线性组合；

  3. 合并同类项，比较对应系数；

  4. 回代原图检查方向及分点比例是否合理.

易错点： 选取共线向量作为基底；不同起点的向量未先平移便比较；把系数相同误当作向量相等而忽略基底条件.

题型 2. 三点共线的系数和

题型识别： 已知\(A,B,C\)三点共线，或要求判断某点是否在直线\(AB\)上，条件给出\(\overrightarrow{PC}=m\overrightarrow{PA}+n\overrightarrow{PB}\).

核心思路： 三点共线的仿射表示满足\(m+n=1\). 反过来，若两基向量不共线且系数和为\(1\)，终点即落在连接两终点的直线上；系数的正负还能反映内分或外分.

解题步骤：

  1. 统一三个向量的起点为同一点\(P\)；

  2. 将目标点位置写成\(\overrightarrow{PC}=m\overrightarrow{PA}+n\overrightarrow{PB}\)；

  3. 由\(C\in AB\)写出\(m+n=1\)，并联立其他条件求系数；

  4. 根据\(m,n\)的符号判断点在边上、延长线还是端点处.

易错点： 把系数和等于\(0\)误作共线条件；三个向量起点不一致时直接套用；将“在直线”误限制为“在线段”.

题型 3. 等和线与系数和最值

题型识别： 题目给出\(\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}\)，要求\(x+y\)的值、范围或最值，且点\(P\)在某条直线、曲线或图形边界上运动.

核心思路： 系数和相等的点构成一组与\(BC\)平行的直线. 先找\(x+y=1\)对应的基准等和线，再通过相似比或有向距离将任意平行线上的点转化为系数和.

解题步骤：

  1. 以\(A\)为共同起点，识别基向量终点连线\(BC\)；

  2. 作过动点\(P\)且平行于\(BC\)的直线，确定其与\(AB,AC\)或延长线的交点；

  3. 用相似三角形或有向距离比求该平行线对应的系数和；

  4. 将动点轨迹转化为平行线位置的范围，求值或最值.

易错点： 把\(x+y=1\)误认为只对应线段\(BC\)；忽略外部平行线导致系数可为负；相似比的方向和长度比混用.

坐标运算与建系

题型 1. 向量坐标运算

题型识别： 直接给出向量或点的坐标，要求进行加减、数乘、求模、数量积、平行垂直或求参数.

核心思路： 坐标法将向量关系完全代数化：数量积为横纵坐标乘积之和，平行看行列式\(x_1y_2-x_2y_1\)，垂直看数量积为\(0\).

解题步骤：

  1. 由两点坐标先写出\(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)\)；

  2. 对加减、数乘逐坐标运算；

  3. 按题意选择数量积、模、平行或垂直公式列方程；

  4. 解参后检查零向量、分母和题设的额外限制.

易错点： 将\(\overrightarrow{AB}\)写成\(A-B\)；平行条件漏掉一项；把坐标乘积\(xy\)误当作向量模的平方.

题型 2. 投影向量的坐标计算

题型识别： 已知\(\vec a\cdot\vec b\)、\(\vec a\)或\(\vec b\)的坐标，要求一个向量在另一个向量方向上的投影向量.

核心思路： \(\vec a\)在\(\vec b\)上的投影向量为\(\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec b|^2}\vec b\). 系数可正可负，结果方向由数量积符号决定.

解题步骤：

  1. 确认谁被投影、投影到谁的方向上；

  2. 计算\(\vec a\cdot\vec b\)与\(|\vec b|^2\)；

  3. 计算比例系数并乘以投影方向向量\(\vec b\)；

  4. 用结果是否与\(\vec b\)同向或反向检查符号.

易错点： 分母误写为\(|\vec b|\)；投影方向与被投影向量颠倒；只求投影长度而没有写投影向量.

题型 3. 几何图形中的建系

题型识别： 题目给出直角、等腰、等边、平行四边形、圆等特殊几何图形，要求处理向量垂直、平行、模或数量积关系.

核心思路： 将一条已知边放在\(x\)轴，把关键顶点放在原点或坐标轴上，使已知长度和角度直接成为坐标. 建系的目标是让几何条件尽量少地转化为未知坐标.

解题步骤：

  1. 选择直角顶点、对称中心、边中点或一个顶点作原点；

  2. 将一条已知边放在\(x\)轴，按长度和角度写出其余顶点坐标；

  3. 用向量坐标表达题设关系，翻译为代数方程或轨迹方程；

  4. 解出结果后回查点不重合、非退化等几何限制.

易错点： 坐标设得过多导致方程更复杂；等边或等腰图形漏用对称性；只验证代数解而未检查几何位置.

题型 4. 代数条件的坐标化与轨迹最值

题型识别： 题目没有明确图形，只给向量的模、夹角、数量积或不等式，要求某个模的最值、范围或存在性.

核心思路： 把一个单位向量或方向固定向量放在坐标轴上，将另一个向量的终点设为\((x,y)\). 数量积与模条件常转化为圆、直线、射线等轨迹，再用点到点、点到直线或圆的最值求解.

解题步骤：

  1. 选取一个方向明确的向量为\((1,0)\)或放在\(x\)轴；

  2. 将其余未知向量设为\((x,y)\)，逐项翻译模、夹角与数量积条件；

  3. 配方或整理得到终点轨迹；

  4. 将目标模解释为几何距离，在轨迹上求最值并验证取等点.

易错点： 由\(\cos\theta\)确定方向时漏掉夹角范围；配方后把圆周与圆面混淆；最值距离未检查投影点是否落在射线或线段上.

题型 5. 向量在物理情境中的合成

题型识别： 题目以力、速度、位移、航行或渡河为背景，要求合速度、合力、功、方向或最短时间、最短航程.

核心思路： 先确定每个物理量对应的向量方向，再按平行四边形法则或三角形法则合成. 功用数量积\(W=\vec F\cdot\vec s\)，速度问题需区分相对速度与实际合速度.

解题步骤：

  1. 画出各向量的方向，明确“相加”还是“取反后相加”；

  2. 用向量加法写出合力、合速度或合位移；

  3. 需要求功时写出力与位移的夹角，再使用数量积；

  4. 检查结果的方向、单位及是否符合实际语境.

易错点： 把船相对水的速度与水流速度相减方向写反；功中漏写夹角余弦；仅比较速率大小而未比较向量方向.