三角函数¶
知识点¶
三角函数概念与定义¶
定义 2. 象限角¶
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与\(x\)轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.
要确定角的集合，可以先在\(0^\circ \leq \alpha {\lt} 360^\circ\)或\(0 \leq \alpha {\lt} 2\pi\)等范围内研究，再考虑是否需要加\(k \cdot 360^\circ\)或\(2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}\).
结论 1. 多倍角的象限（人教A必修一P176习题5.1-7）¶
角\(\alpha\)与角\(\dfrac{\alpha}{2}, \dfrac{\alpha}{3}, \dots, \dfrac{\alpha}{n}\)及\(2\alpha\)的象限关系.
-
将每个象限 \(n\) 等分，从 \(x\) 轴正半轴逆时针依次标号 ① ② ③ ④ ① ② \dots， 则标号与 \(\alpha\) 所在象限相同的区域即为 \(\dfrac{\alpha}{n}\) 的终边所在区域（如图）.
-
由 \(\alpha\) 的象限写出 \(k\cdot360^\circ + A {\lt} \alpha {\lt} k\cdot360^\circ + B\)（\(k\in\mathbf{Z}\)），
两边同除以 \(n\)（或乘以 \(2\)），得 \(\dfrac{\alpha}{n}\)（或 \(2\alpha\)）的范围，再对 \(k\) 取 \(0,1,\dots,n-1\)（或 \(0,1\)）逐一判断象限.
定义 3. 弧度制¶
1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度用符号\(rad\)表示.
角\(\alpha\)的弧度数：如果半径为\(r\)的圆的圆心角\(\alpha\)所对弧的长为\(l\)，那么\(l = r\alpha\)，角\(\alpha\)的弧度数是\(\alpha=\dfrac{l}{r}\).
角度与弧度的换算: \(1^{\circ}=\htmlClass{blank}{\dfrac{\pi}{180}}\ rad \approx 0.01745\ rad \qquad 1\ rad=\dfrac{180^{\circ}}{\pi} \approx 57.3^\circ\)
弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为\(l\)，圆心角大小为\(\alpha\)（单位：rad，\(0 {\lt} \alpha {\lt} 2\pi\)），半径为\(r\)，扇形的面积为\(S\)，则
定义 4. 三角函数定义¶
如左图，设\(P(x,y)\)为角\(\alpha\)终边与单位圆的交点，则\(\sin\alpha = y\)，\(\cos\alpha = x\)，\(\tan\alpha=\dfrac{y}{x}(x\neq0)\).
如中图，设\(P(x,y)\)为角\(\alpha\)终边上一点，\(r = |OP|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)，则\(\sin\alpha=\dfrac{y}{r}\)，\(\cos\alpha=\dfrac{x}{r}\)，\(\tan\alpha=\dfrac{y}{x}(x\neq0)\).
如右图，单位圆中的三角函数线（有向线段）：\(\sin\alpha = y = MP\)，\(\cos\alpha = x = OM\)，\(\tan\alpha = \dfrac{y}{x} = AT\).
三角函数的值在各个象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
\(P(x, y)\)点又可表示为\(P(r\cos\alpha, r\sin\alpha)\)，在已知\(\alpha\)或\(r\)的情形下使用，这将给解题带来方便.
同角三角函数关系¶
定理 1. 同角三角函数基本关系（人教A必修一P181）¶
证明：设角\(\alpha\)的终边与单位圆交于点\(P(\cos\alpha,\sin\alpha)\)，由\(P\)在单位圆上即得\(\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=1\)；又由正切的定义\(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)（\(\cos\alpha\neq0\)）.
定义 1. 齐次分式¶
分子分母的正余弦次数相同分式称为齐次式
例如： \(\dfrac{a\sin\alpha + b\cos\alpha}{c\sin\alpha + d\cos\alpha}\)或者\(a\sin^{2}\alpha + b\cos^{2}\alpha + c\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{a\sin^{2}\alpha + b\cos^{2}\alpha + c\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}\)
分子分母同除以\(\cos \alpha\)或\(\cos ^2 \alpha\)，可化为正切
定理 2. 三角函数诱导公式（人教A必修一P188）¶
【记忆口诀】“奇变偶不变，符号看象限”
奇变偶不变指若要化掉\(\dfrac{\pi}{2}\)的奇数倍，则函数名正弦变余弦，余弦变正弦；偶数倍则不变； 符号看象限，是看原来的三角函数名在对应象限的符号. 例如，对\(\cos(\dfrac{\pi}{2}+\alpha)\)化简时，符号看象限，看的是\(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\)这个第二象限的角（其中\(\alpha\)看成锐角）的余弦值的符号，显然为负，所以添负号，得到\(\cos(\dfrac{\pi}{2}+\alpha)=-\sin\alpha\).
定理 3. 三角恒等变换（人教A必修一P215）¶
-
和差角公式：
\[ \sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\qquad \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\qquad \tan(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta} \]\[ \tan\alpha\pm\tan\beta=\tan(\alpha\pm\beta)(1\mp\tan\alpha\tan\beta)\qquad \tan\alpha\cdot\tan\beta=1-\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{\tan(\alpha+\beta)}=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{\tan(\alpha-\beta)}-1 \]
两角差余弦公式的证明（其余和差、倍角公式均由它推出）：在单位圆中以\(x\)轴非负半轴为始边作角\(\alpha\)，\(\beta\)，终边与单位圆分别交于\(P_{1}(\cos\alpha,\sin\alpha)\)，\(A_{1}(\cos\beta,\sin\beta)\)；另取\(A(1,0)\)与角\(\alpha-\beta\)终边上的\(P(\cos(\alpha-\beta),\sin(\alpha-\beta))\). 由圆的旋转对称性\(|AP|=|A_{1}P_{1}|\)，据两点间距离公式
展开并用\(\sin^{2}+\cos^{2}=1\)化简，即得\(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\). 以\(-\beta\)代\(\beta\)得\(\cos(\alpha+\beta)\)；由诱导公式\(\sin\theta=\cos(\tfrac{\pi}{2}-\theta)\)得\(\sin(\alpha\pm\beta)\)；两者相除得\(\tan(\alpha\pm\beta)\)；再令\(\beta=\alpha\)即得二倍角公式.
-
二倍角公式（人教A必修一P225,P226-1）：
\[ \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\qquad \cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha = 2\cos^{2}\alpha - 1 = 1 - 2\sin^{2}\alpha\qquad \tan2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha} \]\[ \begin{aligned} \text{降次：} & \sin^{2}\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}{2}\qquad \cos^{2}\alpha=\dfrac{1+\cos2\alpha}{2}\qquad \sin\alpha\cos\alpha=\dfrac{1}{2}\sin2\alpha \\ \text{升次：} & 1+\cos2\alpha = 2\cos^{2}\alpha\qquad 1-\cos2\alpha = 2\sin^{2}\alpha\qquad 1\pm\sin2\alpha = \htmlClass{blank}{(\sin\alpha\pm\cos\alpha)^{2}}\qquad1=\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha \\ \text{半角：} & \sin\dfrac{\alpha}{2}=\htmlClass{blank}{\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{2}}}\quad \cos\dfrac{\alpha}{2}=\htmlClass{blank}{\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos\alpha}{2}}}\quad \tan\dfrac{\alpha}{2}=\htmlClass{blank}{\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}}=\htmlClass{blank}{\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}}=\htmlClass{blank}{\dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}} \\ \text{根式：} & \sqrt{1+\cos \alpha}=\htmlClass{blank}{\sqrt{2}\left|\cos\dfrac{\alpha}{2}\right|}\qquad \sqrt{1-\cos \alpha}=\htmlClass{blank}{\sqrt{2}\left|\sin\dfrac{\alpha}{2}\right|} \end{aligned} \] -
辅助角公式：
\[ a\sin x + b\cos x=\htmlClass{blank}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(x+\varphi)}\text{，其中}\cos\varphi=\htmlClass{blank}{\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}}\text{，}\sin\varphi=\htmlClass{blank}{\dfrac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}}\textbf{，}\tan\varphi=\htmlClass{blank}{\dfrac{b}{a}} \]在辅助角公式中，若\(a{\gt}0\)，则\(\varphi\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\)；若\(a{\lt}0\)，可先提负号到外面，再用辅助角公式合并.
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其他常见变形：
\(\text{三倍角公式（人教B必修三P109-11）：}\sin3\alpha = \htmlClass{blank}{3\sin\alpha - 4\sin^{3}\alpha}\qquad \cos3\alpha = \htmlClass{blank}{4\cos^{3}\alpha - 3\cos\alpha}\)
\[ \cos^{4}\alpha-\sin^{4}\alpha=(\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha)(\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha)= \cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha =\cos2\alpha=2\cos^{2}\alpha-1 \]\[ 2\sin^{2}(\alpha\pm\dfrac{\pi}{4})=(\sin\alpha\pm\cos\alpha)^{2}=1\pm2\sin\alpha\cos\alpha = 1\pm\sin2\alpha \]\[ \dfrac{\cos a+\sin a}{\cos a-\sin a}=\dfrac{1+\tan a}{1-\tan a}=\tan\left(\dfrac{\pi}{4}+a\right) \]
结论 1. 求三角函数值¶
利用下面的常见三角形的正余弦，正切值，找出符号题目要求的值.
\(3\)，\(4\)，\(5\)三角形，\(\sin \alpha\)或\(\cos \alpha\) = \(\pm \dfrac{3}{5}\)或\(\pm \dfrac{4}{5}\)，\(\tan \alpha = \pm \dfrac{3}{4}\)或 \(\pm \dfrac{4}{3}\)
\(1\)，\(2\)，\(\sqrt{5}\)三角形： \(\sin\alpha=\pm\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)或\(\pm\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)，\(\cos\alpha=\pm\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)或\(\pm\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)，\(\tan\alpha=\pm\dfrac{1}{2}\)或\(\pm2\)
\(1\)，\(3\)，\(\sqrt{10}\)三角形： \(\sin\alpha=\pm\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)或\(\pm\dfrac{3}{\sqrt{10}}\)，\(\cos\alpha=\pm\dfrac{3}{\sqrt{10}}\)或\(\pm\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)，\(\tan\alpha=\pm\dfrac{1}{3}\)或\(\pm3\)
结论 2. 常见三角函数取值表¶
结论 3. 和差化积与积化和差（人教A必修一P226-4、5；P230-19）¶
正加正，正在前；余加余，余并肩；正减正，余在前；余减余，负正弦.
结论 4. 平方和差化积（苏教版必修二P57-8）¶
正弦平方差公式：\(\sin^{2}\alpha-\sin^{2}\beta=\htmlClass{blank}{\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)}\)
\(\cos^{2}\alpha-\cos^{2}\beta=-\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)\) \(\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\beta=\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)\)
\(\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta=1-\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)\) \(\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta=\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)+1\)
\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\beta=\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)+1\)
定理 4. 正切恒等式（人教A必修一P254-12）¶
证明： \(\because\tan(A + B)=\dfrac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B},\tan C=-\tan(A + B)\)
\(\therefore\tan A+\tan B=-\tan C(1-\tan A\tan B)\)
故\(\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot\tan B\cdot\tan C\)
证明：\(A + B + C=\pi\Rightarrow\dfrac{A + B}{2}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{C}{2}\Rightarrow\dfrac{A + B}{2}-\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{C}{2}\right)=0\Rightarrow\tan\dfrac{A}{2}+\tan\dfrac{B}{2}-\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{C}{2}\right)\)
\(=-\tan\dfrac{A}{2}\tan\dfrac{B}{2}\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{C}{2}\right)\Rightarrow\tan\dfrac{A}{2}+\tan\dfrac{B}{2}-\dfrac{1}{\tan\dfrac{C}{2}}=-\tan\dfrac{A}{2}\cdot\tan\dfrac{B}{2}\cdot\dfrac{1}{\tan\dfrac{C}{2}}\)
结论 5. 万能公式¶
万能公式通过引入参数 \(t=\tan\dfrac{\alpha}{2}\)，将所有的基本三角函数（正弦、余弦、正切）统一表示为关于 \(t\) 的有理分式.
\(\sin\alpha=\dfrac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin^{2}\frac{\alpha}{2}+\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}=\dfrac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^{2}\frac{\alpha}{2}}=\dfrac{2t}{1+t^{2}}\), \(\cos\alpha=\dfrac{\cos^{2}\frac{\alpha}{2}-\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}{\sin^{2}\frac{\alpha}{2}+\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}=\dfrac{1-\tan^{2}\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^{2}\frac{\alpha}{2}}=\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\), \(\tan\alpha=\dfrac{2t}{1-t^{2}}\)
结论 6. 三角函数最值与值域问题¶
-
\(y = A\sin(\omega x + \varphi) + B\)【利用图像确定最值、值域】
-
\(y = a\sin^2 x + b\sin x + c\)【换元转化为二次函数求最值、值域】
-
\(y = \dfrac{a\sin x + b}{m\sin x + n}\)【分离常数，再利用复合函数求值域】
-
\(y = a(\sin x \pm \cos x) + b\sin x\cos x\)【令\(\sin x \pm \cos x = t\)，整体转化为二次函数确定最值、值域】
-
\(y = a\sin x + b\cos x\)【辅助角公式化为1，确定最值、值域】
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\(y = a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x\)【先降次，再用辅助角公式转化为1，确定最值、值域】
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\(y = a\sin2x + b\sin x\)【确定周期，利用导数确定单调性求极值最值】
结论 7. 一次三角分式函数值域¶
求\(f(x) = \dfrac{A+B\sin x}{C + D \cos x}\)函数值域.
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利用辅助角公式转化为三角函数有界性求解
令\(f(x)=\dfrac{A + B\sin x}{C+D\cos x} = y\) 即\(y(C + D\cos x)=A + B\sin x\)， 故\(B\sin x - yD\cos x = yC - A\)， 利用辅助角公式，有 \(\sqrt{B^{2}+y^{2}D^{2}}\sin(x +\varphi)=yC - A\) ，即 \(\sin(x+\varphi)=\dfrac{yC - A}{\sqrt{B^{2}+y^{2}D^{2}}}\) ，而 \(\left|\dfrac{yC - A}{\sqrt{B^{2}+y^{2}D^{2}}}\right|\leqslant1\)， 平方求解即可.
-
（适用于给定定义域时计算）
\(y = \dfrac{A + B\sin\alpha}{C+D\cos\alpha}\)，变形为\(y=\dfrac{B(\sin\alpha+\frac{A}{B})}{D(\cos\alpha+\frac{C}{D})}\)（这里默认\(B\neq0\)且\(D\neq0\)，若\(B = 0\)或\(D = 0\)，函数形式会简化，可单独讨论）. 设点\(P(\cos\alpha,\sin\alpha)\)，因为\(\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha = 1\)，所以点\(P\)在单位圆\(x^{2}+y^{2}=1\)上. 设点\(Q(-\dfrac{C}{D},-\dfrac{A}{B})\)，那么函数\(y\)就表示单位圆上的点\(P(\cos\alpha,\sin\alpha)\)与点\(Q(-\dfrac{C}{D},-\dfrac{A}{B})\)连线的斜率的\(\dfrac{B}{D}\)倍.
结论 8. 解三角函数方程¶
\(\sin \alpha = \sin \beta \Rightarrow \htmlClass{blank}{\alpha = \beta + 2k\pi} \text{ 或 } \htmlClass{blank}{\alpha = \pi - \beta + 2k\pi}, k \in \mathbb{Z}\);
\(\cos \alpha = \cos \beta \Rightarrow \htmlClass{blank}{\alpha = \beta + 2k\pi} \text{ 或 } \htmlClass{blank}{\alpha = -\beta + 2k\pi}, k \in \mathbb{Z}\)
\(\tan \alpha = \tan \beta \Rightarrow \htmlClass{blank}{\alpha = \beta + k\pi}, k \in \mathbb{Z}\)；
\(\sin \alpha = \cos \beta \Rightarrow \htmlClass{blank}{\alpha = \dfrac{\pi}{2} - \beta + 2k\pi} \text{ 或 } \htmlClass{blank}{\alpha = \dfrac{\pi}{2} + \beta + 2k\pi}, k \in \mathbb{Z}\)
定义 2. 函数的叠加与声音模型（人教A必修一P250）¶
在物理学中，我们听到的复杂声音（如乐音）本质上是由许多简单的正弦波叠加而成的.如图所示，一个复杂的函数图像可以看作是多个不同频率、不同振幅的正弦函数之和：
其中：\(y=\sin x\) 是基础波形（基波）；\(y=\dfrac{1}{2}\sin 2x\)、\(y=\dfrac{1}{3}\sin 3x\) 等是频率更高、振幅更小的分量（谐波）.
这种将复杂问题分解为简单正弦波处理的思想，是近代数学分析的重要方法.
三角函数图像及性质¶
性质 1. 正余弦函数图像及性质¶
性质 2. 正切函数图像及性质¶
结论 1. 五点作图法¶
五点作图法作出函数\(y = A\sin(\omega x + \varphi)\)在一个周期上的图象：
-
令\(\omega x + \varphi\)依次为\(0\)，\(\dfrac{\pi}{2}\)，\(\pi\)，\(\dfrac{3\pi}{2}\)，\(2\pi\)（五个最值点或零点），求出\(x\)与\(y\)；
-
再依次连接点\((x, y)\)作图.
性质 3. 正弦型三角函数的图像及性质（人教A必修一P196）¶
定义 1. 三角函数中的物理量（人教A必修一P242）¶
在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数 \(y = A\sin(\omega x + \varphi)\)，\(x \in [0, +\infty)\) 表示，其中 \(A {\gt} 0\)，\(\omega {\gt} 0\).
-
\(A\) 就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
-
这个简谐运动的周期是 \(T =\htmlClass{blank}{\dfrac{2\pi}{\omega}}\)，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；
-
这个简谐运动的频率由公式 \(f = \htmlClass{blank}{\dfrac{1}{T}} = \dfrac{\omega}{2\pi}\) 给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；
-
\(\htmlClass{blank}{\omega x + \varphi}\) 称为相位；\(x = 0\) 时的相位 \(\htmlClass{blank}{\varphi}\) 称为初相.
结论 2. 求三角函数解析式¶
- 恒等变换化简得到\(f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)+B\)：一般分“拆”、“降”、“合”三步.
(1) 拆：若解析式中有\(\cos(2x-\dfrac{\pi}{6})\)这类结构，通常先拆开；
(2) 降：遇到\(\sin^{2}x\)，\(\cos^{2}x\)，\(\sin x\cos x\)，可降次；（“拆”和“降”的顺序要视情况而定）
(3) 合：完成前两步后，通常就化为了\(f(x)=a\sin\omega x+b\cos\omega x+B\)这类结构，最后可利用辅助角公式合并.
- 根据图象求解析式\(f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)+B\)：
(1) 用最大值和最小值求\(A\)：\(\begin{cases}f(x)_{\max}=|A|+B\\f(x)_{\min}=-|A|+B\end{cases}\Rightarrow|A|=\dfrac{f(x)_{\max}-f(x)_{\min}}{2}\)
(2) 用最大值和最小值求\(B\)：\(\begin{cases}f(x)_{\max}=|A|+B\\f(x)_{\min}=-|A|+B\end{cases}\Rightarrow B=\dfrac{f(x)_{\max}+f(x)_{\min}}{2}\)
(3) 用最小正周期\(T\)求\(\omega\)：\(|\omega|=\dfrac{2\pi}{T}\)；
最值点求\(\varphi\)：将函数图象上的最大值或最小值点代入解析式，求出\(\varphi\). 若图象上没有标最值点，也无法通过简单的推理得出最值点，则考虑代其它已知点求\(\varphi\). 之所以首选最值点，是因为一个周期内，只有最大值或最小值点是唯一的，若代其它点，可能会有增根需要舍去.
结论 3. 图像变换问题¶
函数\(y = A\sin(\omega x+\varphi)\)的图象可以通过下列两种方式得到：
关键：把握先移后缩和先缩后移的区别.类比可以得到：\(y = A\cos(\omega x+\varphi)\)，\(y = A\tan(\omega x+\varphi)\)的图象.
定理：\(y = A\sin(\omega x+\varphi_1)\rightarrow y = A\sin(\omega x+\varphi_2)\)，平移单位为\(\dfrac{|\varphi_2-\varphi_1|}{\omega}\)（注意平移方向）.
结论 4. 三角函数取值范围问题¶
设函数 \(f(x) = \sin(\omega x + \varphi)\)（其中 \(\omega {\gt} 0\)，整数 \(k, k_1, k_2 \in \mathbb{Z}\)，周期 \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\)），其核心性质如下：
（此类问题需注意能否取等，一般可以先按不取等计算，最后再验证取等时是否存在矛盾）
-
\(f(x)\) 关于点 \((a,0)\) 对称、（\(x=a\)是\(f(x)\)零点）\(\Leftrightarrow \omega a + \varphi = k\pi\)
-
\(f(x)\) 关于直线 \(x = a\) 对称 \(\Leftrightarrow \omega a + \varphi = \frac{\pi}{2} + k\pi\)
-
\(f(a) = f(b)\) 且 \(|b - a| {\lt} T\) \(\Rightarrow\) 函数关于直线 \(x = \frac{a+b}{2}\)对称，即 \(\omega \frac{a+b}{2} + \varphi = \frac{\pi}{2} + k\pi\)
-
\(f(a) + f(b) = 0\) 且 \(|b - a| {\lt} \frac{T}{2}\)（或 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上单调） \(\Rightarrow\) 函数关于点 \((\frac{a+b}{2}, 0)\) 对称，即 \(\omega \frac{a+b}{2} + \varphi = k\pi\)
-
\(f(x)\) 关于点 \((a, 0)\) 对称且关于直线 \(x = b\) 对称 \(\Leftrightarrow \begin{cases} \omega a + \varphi = k_1\pi, \\ \omega b + \varphi = \frac{\pi}{2} + k_2\pi, \end{cases}\) \(\Rightarrow |b - a| = \frac{T}{4} + \frac{kT}{2}\)，其中 \(k = k_2 - k_1\)
-
\(f(x)\) 在 \(x = a\) 处取最大值 \(\Leftrightarrow \omega a + \varphi = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\) （最小值点对应 \(\omega a + \varphi = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\)）
-
\(f(x)\) 在区间 \((a, b)\) 上单调递增 \(\Leftrightarrow\) \(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq \omega a + \varphi {\lt} \omega b + \varphi \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi\)
-
\(f(x)\) 在区间 \((a, b)\) 上单调递减 \(\Leftrightarrow\) \(\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq \omega a + \varphi {\lt} \omega b + \varphi \leq \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\)
-
\(f(x)\) 在区间 \((a, b)\) 上单调 \(\Leftrightarrow\) \(-\frac{\pi}{2} + k\pi \leq \omega a + \varphi {\lt} \omega b + \varphi \leq \frac{\pi}{2} + k\pi\) \(\Rightarrow b - a \leq \frac{T}{2} = \frac{\pi}{\omega}\)
-
\(f(x)\) 在开区间 \((a, b)\) 上没有零点 \(\Leftrightarrow\) \(0 + k\pi \leq \omega a + \varphi {\lt} \omega b + \varphi \leq \pi + k\pi\)
\(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上没有零点 \(\Leftrightarrow\) \(0 + k\pi {\lt} \omega a + \varphi {\lt} \omega b + \varphi {\lt} \pi + k\pi\)
-
\(f(x)\) 在开区间 \((a, b)\) 内恰有 \(n\) 个零点 \(\Leftrightarrow \begin{cases} 0 + k\pi \leq \omega a + \varphi {\lt} \pi + k\pi \\ 0 + k\pi +n\pi {\lt} \omega b + \varphi \leq \pi + k\pi + n\pi \end{cases}\)
\(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 内恰有 \(n\) 个零点 \(\Leftrightarrow \begin{cases} 0 + k\pi {\lt} \omega a + \varphi \leq \pi + k\pi \\ 0 + k\pi +n\pi \leq \omega b + \varphi {\lt} \pi + k\pi + n\pi \end{cases}\)
-
\(f(x)\) 在开区间 \((a, b)\) 内恰有 \(n\) 个最大值点 \(\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq \omega a + \varphi {\lt} \frac{\pi}{2} + 2(k+1)\pi \\ \frac{\pi}{2} + 2k\pi + 2n\pi {\lt} \omega b + \varphi \leq \frac{\pi}{2} + 2(k+1)\pi + 2n\pi \end{cases}\)
\(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 内恰有 \(n\) 个最大值点 \(\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{\pi}{2} + 2k\pi {\lt} \omega a + \varphi \leq \frac{\pi}{2} + 2(k+1)\pi \\ \frac{\pi}{2} + 2k\pi + 2n\pi \leq \omega b + \varphi {\lt} \frac{\pi}{2} + 2(k+1)\pi + 2n\pi \end{cases}\)
（最小值点将 \(\frac{\pi}{2}\) 换为 \(-\frac{\pi}{2}\) 即可）
双曲函数¶
定义 1. 双曲函数（人教A必修一P160-6）¶
奇偶性：
\(\sinh(-x)=-\sinh(x)\)
\(\cosh(-x)=\cosh(x)\)
\(\tanh(-x)=-\tanh(x)\)
双曲正弦和双曲正切均为奇函数，双曲余弦为偶函数
基本恒等式：
性质 1. 恒等变换¶
题型¶
任意角、弧度制与三角函数定义¶
题型 1. 终边相同角与象限判定¶
题型识别： 题目给出任意角，要求写出终边相同的角、化到指定范围，或判断其所在象限.
核心思路： 先利用周期\(2\pi\)把角化到\([0,2\pi)\)，再依据终边位置判断. 涉及角的集合时，最后必须补上\(k\in\mathbb{Z}\).
解题步骤：
-
将已知角写成\(\alpha+2k\pi\)的形式；
-
在指定范围内选取合适的整数\(k\)；
-
依据终边所在位置判断象限或坐标轴；
-
写角的集合时，检查是否漏掉终边在同一直线反向上的另一组角.
易错点：
-
把终边在直线上的角误写成只有一组；
-
忘记负角也可以是象限角；
-
区间端点\(0\)与\(2\pi\)重复计数.
题型 2. 弧度制、弧长与扇形面积¶
题型识别： 题目给出圆心角、半径、弧长或扇形面积中的部分量，要求求其余量，或要求进行角度制与弧度制换算.
核心思路： 所有弧长和扇形面积公式中的角必须使用弧度制. 先统一单位，再代入\(l=r\alpha\)和\(S=\dfrac{1}{2}r^2\alpha\).
解题步骤：
-
检查角的单位，必要时把角度制化为弧度制；
-
根据已知量选取弧长或面积公式；
-
代入计算并保留实际问题中的单位；
-
反查结果量纲，面积应带平方单位.
易错点： 把角度数直接代入\(l=r\alpha\)或\(S=\dfrac{1}{2}r^2\alpha\).
题型 3. 由终边求三角函数值¶
题型识别： 题目给出角终边上一点、直线方程、终边所在象限，或给出一个三角函数值，要求求其余三角函数值.
核心思路： 终边上的点先转化为坐标比；已知一个三角函数值时，先由同角关系求绝对值，再由象限定符号.
解题步骤：
-
若给点\(P(x,y)\)，先求\(r=\sqrt{x^2+y^2}\)；
-
写出\(\sin\alpha=\dfrac{y}{r}\)、\(\cos\alpha=\dfrac{x}{r}\)、\(\tan\alpha=\dfrac{y}{x}\)；
-
若只给一个函数值，用\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)求另一个绝对值；
-
最后依据象限确定正负号，并检查正切的分母是否为\(0\).
易错点： 只开方而不根据象限取舍正负号；把\(\tan\alpha\)误写成\(\dfrac{x}{y}\).
同角关系与诱导公式¶
题型 1. 同角三角函数值的互化¶
题型识别： 已知\(\sin\alpha\)、\(\cos\alpha\)、\(\tan\alpha\)之一及角的范围，求另外的三角函数值，或求含\(\sin\alpha\pm\cos\alpha\)、\(\sin\alpha\cos\alpha\)的式子.
核心思路： 同角关系负责“求绝对值”，象限或角的范围负责“定符号”. 对和、差、积结构，优先平方或利用\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)化归.
解题步骤：
-
根据已知量选择平方关系或商数关系；
-
求出未知量的绝对值；
-
用角的范围确定符号；
-
对根式结果回代验证是否满足原条件.
易错点： 漏掉正负号；没有说明角的范围时擅自选定符号.
题型 2. 齐次三角式化为正切¶
题型识别： 题目中的分子、分母均为同次数的\(\sin\alpha\)、\(\cos\alpha\)多项式，且已知或要求\(\tan\alpha\).
核心思路： 将分子、分母同除以\(\cos\alpha\)的相应次幂，把正弦、余弦统一为正切.
解题步骤：
-
判断分子、分母是否齐次；
-
核对\(\cos\alpha\ne0\)是否由题设保证；
-
同除以\(\cos\alpha\)的相应次幂；
-
化简成关于\(\tan\alpha\)的代数式后代入或求解.
易错点： 未验证\(\cos\alpha\ne0\)便约分；次数不齐时机械同除导致式子更复杂.
题型 3. 利用诱导公式化简求值¶
题型识别： 角中含\(k\pi\pm\alpha\)、\(\dfrac{k\pi}{2}\pm\alpha\)、负角或超过一周的角，要求化简或求值.
核心思路： 先把角化为锐角\(\alpha\)与\(\dfrac{\pi}{2}\)或\(\pi\)整数倍的和，再按“奇变偶不变，符号看象限”处理.
解题步骤：
-
利用周期性先去掉\(2k\pi\)；
-
将剩余角改写为\(\dfrac{k\pi}{2}\pm\alpha\)；
-
判断函数名是否变化；
-
由原角所在象限确定符号.
易错点：
符号看的是原三角函数在原角所在象限的符号，而不是变化后函数名的符号.
题型 4. 诱导公式参与的给值求值¶
题型识别： 已知\(\sin\left(\alpha\pm\dfrac{\pi}{2}\right)\)、\(\cos\left(\pi-\alpha\right)\)等值，要求求\(\sin\alpha\)、\(\cos\alpha\)或另一复合角的值.
核心思路： 先把已知条件和目标统一到同一个基本角，再用同角关系及范围确定符号.
解题步骤：
-
对已知条件使用诱导公式，得到基本角的函数值；
-
根据角的范围确定另一个三角函数的符号；
-
用同角关系补全所需函数值；
-
将目标角拆为已知角的和或差，必要时使用和差公式.
易错点： 只化简已知条件，不分析目标角的范围，导致根式正负取错.
三角恒等变换与化简求值¶
题型 1. 和差角公式的给值求值¶
题型识别： 题目已知\(\sin\alpha\)、\(\cos\beta\)、\(\tan\alpha\)等信息，要求\(\sin\left(\alpha\pm\beta\right)\)、\(\cos\left(\alpha\pm\beta\right)\)或\(\tan\left(\alpha\pm\beta\right)\).
核心思路： 先从已知量补全所需的\(\sin\alpha\)、\(\cos\alpha\)、\(\sin\beta\)、\(\cos\beta\)，再套用和差角公式. 补全过程中范围信息优先于计算.
解题步骤：
-
将目标式展开，列出需要的基本三角函数值；
-
用同角关系补全未知量并按象限定号；
-
代入和差角公式；
-
检查目标角范围是否还能帮助验证结果符号.
易错点： 正弦、余弦和差公式中的正负号混淆；忽略\(\tan\left(\alpha\pm\beta\right)\)分母不为\(0\)的条件.
题型 2. 二倍角与半角公式的应用¶
题型识别： 题目同时出现\(\alpha\)与\(2\alpha\)，或已知\(\cos\alpha\)要求\(\sin\dfrac{\alpha}{2}\)等半角值，或需要把平方项、常数项统一次数.
核心思路： 根据目标选择二倍角公式的等价形式. 使用半角公式时，根式前的符号必须由半角所在象限决定.
解题步骤：
-
观察要统一的是角度还是次数；
-
对\(\cos2\alpha\)选择\(2\cos^2\alpha-1\)或\(1-2\sin^2\alpha\)中便于代入的一式；
-
半角公式先求平方值，再根据半角范围确定正负；
-
回代原式检查分母与根式是否有意义.
易错点： 半角公式漏写\(\pm\)；把降次与升次方向用反.
题型 3. 三角式的三大统一¶
题型识别： 三角式中同时出现不同角度、不同函数名称或不同次数，如\(\sin x\)与\(\sin2x\)、\(\sin x\)与\(\cos x\)、一次项与平方项混合.
核心思路： 围绕角度、名称、次数进行统一：角度统一用和差角或倍角公式，名称统一用同角关系或切化弦，次数统一用升降次公式.
解题步骤：
-
找出式子中最需要统一的变量层级；
-
选择能使整体结构变简单的恒等变换，而非逐项盲目展开；
-
变形后再判断是否需要辅助角、换元或基本不等式；
-
全程保留原式的定义域限制.
易错点： 只做局部化简而没有使全式统一；约分时忽略可能为\(0\)的因子.
题型 4. 具体角的三角代数式求值¶
题型识别： 式中出现\(15^\circ\)、\(18^\circ\)、\(20^\circ\)、\(36^\circ\)、\(75^\circ\)等非特殊角，要求求三角式的值.
核心思路： 先找角之间的加减、互余、互补或倍角关系，使其与\(30^\circ\)、\(45^\circ\)、\(60^\circ\)等特殊角发生联系.
解题步骤：
-
写出角之间可能的加减、二倍或互余关系；
-
选择和差角、诱导公式或二倍角公式；
-
尽量把全部三角函数统一为同一未知角；
-
化简后代入特殊角值.
易错点： 看到数字角就强行套公式，未先寻找最简单的角关系.
题型 5. 辅助角公式求最值与解方程¶
题型识别： 题目中出现\(a\sin x+b\cos x\)，要求值域、最值、方程解或不等式解集.
核心思路： 先合并为\(R\sin\left(x+\varphi\right)\)，其中\(R=\sqrt{a^2+b^2}\)，再利用正弦函数的值域或图象性质.
解题步骤：
-
计算振幅\(R=\sqrt{a^2+b^2}\)；
-
由\(\cos\varphi=\dfrac{a}{R}\)、\(\sin\varphi=\dfrac{b}{R}\)确定\(\varphi\)；
-
将原式改写为\(R\sin\left(x+\varphi\right)\)；
-
根据题目要求转化为基本正弦函数的最值、方程或不等式.
易错点： 仅由\(\tan\varphi=\dfrac{b}{a}\)确定\(\varphi\)而忽略象限；\(a{\lt}0\)时没有处理整体符号.
题型 6. 积化和差与和差化积¶
题型识别： 式中出现两个不同角的正弦或余弦的和、差、积，要求化简、求值或证明恒等式.
核心思路： 和、差结构优先和差化积，积结构优先积化和差. 目标是减少角的种类、制造特殊角或暴露公因式.
解题步骤：
-
判断原式主结构是“和差”还是“乘积”；
-
选择对应公式，将角改写为和角与差角的一半；
-
观察是否出现特殊角、互余角或可约因式；
-
回到原定义域检查变形是否有额外限制.
易错点： 把\(\cos\alpha-\cos\beta\)的符号写错；和差化积中的\(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\)顺序颠倒.
图象、性质与函数解析式¶
题型 1. 由解析式研究基本性质¶
题型识别： 给出\(y=A\sin\left(\omega x+\varphi\right)+B\)或\(y=A\cos\left(\omega x+\varphi\right)+B\)，要求求值域、周期、单调区间、最值、对称轴或对称中心.
核心思路： 整体换元\(t=\omega x+\varphi\)，将问题还原为\(y=\sin t\)或\(y=\cos t\)的基本性质，再解关于\(x\)的不等式.
解题步骤：
-
读出振幅\(A\)、周期\(T=\dfrac{2\pi}{\omega}\)和中线\(y=B\)；
-
把所求性质翻译为关于\(t\)的条件；
-
解出\(t\)的范围后，代回\(t=\omega x+\varphi\)求\(x\)；
-
写单调区间时注意端点与\(k\in\mathbb{Z}\).
易错点： 漏掉平移量\(B\)；忘记\(\omega\)对周期和横向伸缩的影响；把相位平移误写为\(\varphi\)而非\(\dfrac{\varphi}{\omega}\).
题型 2. 由部分图象求正弦型函数解析式¶
题型识别： 给出\(y=A\sin\left(\omega x+\varphi\right)+B\)或余弦型函数的局部图象、表格或若干关键点，要求求解析式.
核心思路： 依次确定\(A\)、\(B\)、\(\omega\)、\(\varphi\). 已知的极大值、极小值、相邻零点、相邻对称轴和相邻对称中心都是优先信息.
解题步骤：
-
由最大值、最小值求\(A\)和\(B\)；
-
由相邻关键点的横坐标差求周期\(T\)，再求\(\omega\)；
-
代入极值点、零点或已知点确定\(\varphi\)；
-
用另一已知点检验，并按题设范围筛去多余的\(\varphi\).
易错点： 未说明关键点相邻时，直接把横坐标差当作固定的\(\dfrac{T}{4}\)或\(\dfrac{T}{2}\)；忽略\(\varphi\)的取值范围.
题型 3. 三角函数图象变换¶
题型识别： 题目要求从\(y=\sin x\)得到\(y=A\sin\left(\omega x+\varphi\right)+B\)，或比较两个三角函数图象的平移、伸缩、翻折关系.
核心思路： 严格区分“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 式内平移量与横向实际平移量相差一个\(\omega\).
解题步骤：
-
先确定纵向伸缩、翻折和上移下移；
-
对横向变化选定一个固定顺序；
-
若先做横向伸缩，再做平移，实际平移量为\(-\dfrac{\varphi}{\omega}\)；
-
用一个关键点检验平移方向.
易错点： 将\(\sin\left(x+\varphi\right)\)误判为右移；横向伸缩倍数写成\(\omega\)而非\(\dfrac{1}{\omega}\).
题型 4. 整体换元求值域、最值与不等式解¶
题型识别： 题目要求\(A\sin\left(\omega x+\varphi\right)+B\)在给定区间上的最值、值域，或求三角不等式解集.
核心思路： 令\(t=\omega x+\varphi\)，先准确求出\(t\)的取值区间，再在该区间上利用正弦或余弦图象判断.
解题步骤：
-
令\(t=\omega x+\varphi\)，将\(x\)的范围转化为\(t\)的范围；
-
在\(t\)的范围内标出极值点、零点或临界点；
-
根据基本图象求最值或解不等式；
-
将解集换回\(x\)，并与原定义域取交集.
易错点： 当\(\omega{\lt}0\)时不等号方向处理错误；只用全体实数上的值域，忽略自变量区间限制.
题型 5. 对称轴、对称中心、零点与周期综合¶
题型识别： 题目给出正弦型函数的对称轴、对称中心、零点、极值点或单调区间中的若干信息，要求求周期、参数或比较函数值.
核心思路： 将几何语言翻译为相位条件. 相邻对称轴或相邻对称中心间距为\(\dfrac{T}{2}\)，相邻对称轴与对称中心间距为\(\dfrac{T}{4}\)，但“不相邻”时必须设整数倍.
解题步骤：
-
将已知关键点改写为\(\omega x+\varphi\)的同余条件；
-
判断题目是否说明相邻；未说明时引入正整数倍；
-
由额外的范围、零点间距或单调区间筛选\(\omega\)；
-
最后代一个关键点确定\(\varphi\)，并检验全部条件.
易错点： 默认所有给出的关键点相邻；把两个对称轴的距离误当作\(\dfrac{T}{4}\).
题型 6. 非合一结构的三角函数性质¶
题型识别： 函数含绝对值、根号、复合结构或分段结构，无法直接化为\(A\sin\left(\omega x+\varphi\right)+B\)，要求研究周期、对称性、单调性、值域或零点.
核心思路： 优先画出一个周期内的图象；绝对值按符号分段，根式优先利用升次公式去根号，复合结构可用整体换元或函数单调性.
解题步骤：
-
判断是否可先化简为基本三角函数或分段函数；
-
利用周期性缩小到一个周期研究；
-
对绝对值、根式按符号或定义域分类；
-
对称性用定义验证，单调性用图象、复合单调性或导数验证；
-
将一个周期内的结论推广到全体实数.
易错点： 把原函数的周期直接当成复合或绝对值函数的最小正周期；根式化简后漏写绝对值.
三角函数实际应用¶
题型 1. 周期性实际问题建模¶
题型识别： 摩天轮、潮汐、弹簧振子、交流电等周期性实际问题，要求建立函数模型或求某时刻的状态、持续时间和最值.
核心思路： 建立\(y=A\sin\left(\omega t+\varphi\right)+B\)模型：最大值和最小值确定\(A,B\)，周期确定\(\omega\)，初始状态或已知时刻确定\(\varphi\).
解题步骤：
-
明确自变量、因变量及其单位；
-
由最大值、最小值求振幅\(A\)和中线\(B\)；
-
由一个循环所需时间求\(\omega=\dfrac{2\pi}{T}\)；
-
由初始位置或已知时刻求\(\varphi\)；
-
在一个周期内解不等式，必要时再按周期累计时间.
易错点： 把转速减半误认为周期减半；求持续时间时只求出时刻端点而没有相减；忽略实际问题的时间范围.
同角关系与三角方程补充¶
题型 1. \(\sin\alpha\pm\cos\alpha\)与\(\sin\alpha\cos\alpha\)的互求¶
题型识别： 题目给出\(\sin\alpha+\cos\alpha\)、\(\sin\alpha-\cos\alpha\)或\(\sin\alpha\cos\alpha\)之一，要求求另一个量、求参数范围或求含这三类量的代数式.
核心思路： 将和、差平方，利用\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)沟通三种结构：
解题步骤：
-
先判断已知量是和、差还是积；
-
对和或差平方，或由积反求平方值；
-
若需要开方，结合原式符号或角的范围确定正负；
-
最后回代验证，特别检查所求的和、差是否可能取负.
易错点：
-
由平方值直接写出唯一结果，漏掉正负；
-
将\(\left(\sin\alpha-\cos\alpha\right)^2\)中的交叉项误写为正；
-
忽略\(\sin\alpha\pm\cos\alpha\)的取值范围是\([-\sqrt{2},\sqrt{2}]\).
方法反思： 这类题的关键不是分别求正弦、余弦，而是把“和、差、积”看作一个整体. 只要出现其中两个结构，就优先考虑平方关系.
题型 2. 基本三角方程及区间内解的个数¶
题型识别： 题目要求解\(\sin x=a\)、\(\cos x=a\)、\(\tan x=a\)，或要求某区间内的所有解、解的个数.
核心思路： 先写出全体解，再与给定区间取交集. 对\(\sin x=a\)、\(\cos x=a\)，应先判断\(|a|\leq1\)；对\(\tan x=a\)，注意正切函数的定义域.
解题步骤：
-
将右端化为一个已知三角函数值，必要时利用诱导公式或恒等变换；
-
写出对应的通解，统一使用\(k\in\mathbb{Z}\)；
-
由区间范围确定整数\(k\)的取值；
-
列出全部解并检查端点是否取到.
易错点：
-
把\(\sin x=\sin\alpha\)误写成只有一组解；
-
只写通解而没有筛选指定区间内的解；
-
忽略\(|a|{\gt}1\)时正弦、余弦方程无解.
方法反思： 区间问题的稳定流程是“通解在前，筛选在后”. 直接在图上数解可以辅助检查，但不能替代通解的书写.
正弦型函数性质的精细分类¶
题型 1. 函数值相等或和为零的条件翻译¶
题型识别： 题目给出\(f(a)=f(b)\)、\(f(a)+f(b)=0\)，其中\(f(x)=A\sin\left(\omega x+\varphi\right)+B\)或其平移形式，要求求参数、对称轴、对称中心或比较函数值.
核心思路： 先分清中线是否为\(y=0\). 对\(\sin u=\sin v\)，用同名三角函数方程；对\(\sin u+\sin v=0\)，优先和差化积或转化为关于中线的中心对称条件.
解题步骤：
-
令\(u=\omega a+\varphi\)，\(v=\omega b+\varphi\)；
-
对\(f(a)=f(b)\)，转化为\(\sin u=\sin v\)；
-
对\(f(a)+f(b)=2B\)，转化为\(\sin u+\sin v=0\)；
-
依据题设是否给出相邻或单调条件，确定应保留的分支；
-
将所得相位条件还原为参数条件或几何结论.
易错点：
-
忘记函数有平移量\(B\)时，对称中心的纵坐标是\(B\)而不是\(0\)；
-
由\(f(a)=f(b)\)直接断言对称轴为\(x=\dfrac{a+b}{2}\)，忽略\(a,b\)可能相差整周期；
-
未给单调或相邻条件时，遗漏其他分支.
方法反思： 函数值关系本质上是相位关系. 先把纵向平移去掉，再讨论正弦函数，能避免对称结论的误用.
题型 2. 含参数的单调区间问题¶
题型识别： 题目要求\(A\sin\left(\omega x+\varphi\right)+B\)在指定区间上单调，求\(\omega\)、\(\varphi\)或其他参数范围.
核心思路： 单调区间长度不超过半个周期. 用整体换元后，整个相位区间必须落在正弦函数的一个单调区间内；若题目要求严格单调，端点与极值点的关系需单独核对.
解题步骤：
-
令\(t=\omega x+\varphi\)，写出\(x\)区间对应的\(t\)区间；
-
根据增、减性将\(t\)区间嵌入\(\left[-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\right]\)或相应减区间；
-
将两端点不等式转化为参数不等式；
-
结合\(\omega{\gt}0\)、相位范围、周期或已知点进一步筛选.
易错点：
-
只比较区间长度，不检查区间起点所在的单调支；
-
把“单调递增”误当作导数处处大于\(0\)，漏掉端点极值情形；
-
忘记\(A{\lt}0\)会使增减性反向.
方法反思： 此类题先画相位轴比直接列式更清楚. 长度条件只给出必要条件，位置条件才决定参数范围.
题型 3. 零点、极值点与对称轴的计数¶
题型识别： 题目要求正弦型函数在给定区间内零点、最大值点、最小值点或对称轴的个数，常伴随参数范围.
核心思路： 整体换元后，将关键点转化为等差数列：零点对应\(t=k\pi\)，最大值点对应\(t=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\)，最小值点对应\(t=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\).
解题步骤：
-
将自变量区间转化为相位区间\([t_1,t_2]\)或\((t_1,t_2)\)；
-
写出待计数关键点的一般形式；
-
解关于整数\(k\)的不等式；
-
根据开闭区间逐个检查端点是否计入；
-
若要求参数范围，按“至少、至多、恰有”分别处理整数个数.
易错点：
-
将对称轴与极值点混为一谈；
-
忽略最大值点间距为\(T\)，相邻对称轴间距为\(\dfrac{T}{2}\)；
-
开区间、闭区间的端点计数错误.
方法反思： 计数题的本质是等差数列落在区间内的项数. 不必逐段画完整曲线，但必须先准确写出关键点横坐标.
题型 4. 利用图象比较三角函数值大小¶
题型识别： 题目比较\(\sin\alpha\)、\(\sin\beta\)、\(\cos\alpha\)、\(\tan\alpha\)或正弦型函数在不同点的函数值大小，角度通常不是特殊角.
核心思路： 先通过诱导公式或整体换元把角化到同一个长度为\(2\pi\)的区间，再利用基本图象的单调性、对称性和相对位置比较.
解题步骤：
-
统一函数名或把余弦改写为正弦；
-
将各角化到便于比较的区间；
-
判断它们是否位于同一单调区间；
-
若不在同一单调区间，利用对称性、极值或作图比较；
-
对正切函数先确认各角不跨越渐近线.
易错点： 不能在整个\(\mathbb{R}\)上笼统地说正弦或余弦单调；比较正切值时跨过\(\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)会失效.
题型 5. 关键点距离反求周期¶
题型识别： 题目给出正弦型函数两个零点、两个对称轴、两个对称中心，或一个对称轴与一个对称中心，要求求周期或频率.
核心思路： 先判断关键点是否相邻. 相邻零点、相邻对称轴、相邻对称中心的距离均为\(\dfrac{T}{2}\)；相邻对称轴与对称中心的距离为\(\dfrac{T}{4}\). 未说明相邻时必须引入正整数倍.
解题步骤：
-
根据关键点类型写出其间距与\(T\)的关系；
-
若未说明相邻，设距离为\(\dfrac{(2n-1)T}{4}\)或\(\dfrac{nT}{2}\)；
-
结合其他零点、单调区间或参数范围筛选\(n\)；
-
求出\(T\)后再由\(\omega=\dfrac{2\pi}{T}\)求频率参数.
易错点： 把“给出两个关键点”默认理解为相邻；忘记相邻零点也可能跨越一个极值点.
非合一结构的专项题型¶
题型 1. 绝对值型三角函数¶
题型识别： 函数中含\(|\sin x|\)、\(|\cos x|\)、\(|\tan x|\)、\(\sin|x|\)或\(\tan\left(|x|+a\right)\)，要求研究图象或基本性质.
核心思路： 绝对值在函数值外时，按函数值正负去绝对值；绝对值在自变量内时，按\(x\)的正负分段. 若函数有周期，优先在一个周期内完成分段研究.
解题步骤：
-
判断绝对值作用于函数值还是自变量；
-
写出一个周期内或\(x\ge0\)时的分段解析式；
-
分段作图或分别研究单调性、值域与零点；
-
利用周期性、偶奇性将结论推广到全体定义域；
-
最后单独检验最小正周期，而不是沿用原函数周期.
易错点：
-
将\(|\sin x|\)的最小正周期误写为\(2\pi\)；
-
漏掉去绝对值后分段交界点；
-
将\(\sin|x|\)误认为周期函数.
方法反思： 绝对值不只是“去掉符号”，它会改变图象的对称性和最小正周期. 先分段，再谈性质，是最稳妥的顺序.
题型 2. 根式型三角函数¶
题型识别： 函数中出现\(\sqrt{1\pm\cos x}\)、\(\sqrt{1\pm\sin x}\)或多个三角根式，要求求值域、周期、单调性或对称性.
核心思路： 优先用半角公式把根式化为三角函数的绝对值，再在一个周期内结合角的范围去绝对值.
解题步骤：
-
用\(1\pm\cos x=2\cos^2\dfrac{x}{2}\)或\(2\sin^2\dfrac{x}{2}\)化简；
-
写出根号化简后的绝对值，不能直接省略；
-
先求一个周期，再在其中按符号去绝对值；
-
化为基本正弦型函数后研究所需性质；
-
将结论推广，并重新检查最小正周期.
易错点： 把\(\sqrt{\cos^2\dfrac{x}{2}}\)直接写成\(\cos\dfrac{x}{2}\)；仅凭原函数的\(2\pi\)周期断定最小正周期.
题型 3. 复合三角函数的性质¶
题型识别： 函数形如\(\sin(\cos x)\)、\(\cos(\sin x)\)、\(\sin x+\sin(\cos x)\)等，图象不易直接画出，要求研究对称性、周期性、单调性、最值或零点.
核心思路： 先利用内层三角函数的周期和奇偶性判断整体性质；求最值或单调性时，令\(t=\sin x\)或\(t=\cos x\)，研究外层函数在\(t\in[-1,1]\)上的性质.
解题步骤：
-
通过\(f(-x)\)、\(f(x+T)\)验证奇偶性和周期性；
-
令\(t\)为内层函数，写明\(t\)的取值范围；
-
研究外层函数在\([-1,1]\)上的单调性或最值；
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再结合内层函数在指定区间上的单调性，判断复合函数性质；
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必要时用导数作最终验证.
易错点： 外层函数单调不代表复合函数在全体实数上单调；内层函数的周期只是整体的一个周期，仍需验证是否为最小正周期.