三角函数

三角函数概念与定义

定义 1. 象限角

把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与 (x )轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限. c c c 角的集合 角度制 ( k Z ) 弧度制 ( k Z ) 与 终边相同的角 = + k 360^ = + 2k 终边在 x 轴非负半轴 = k 360^ = 2k 终边在 x 轴上 = k 180^ = k 终边在坐标轴上 = k 90^ = k 2 终边在第一象限 k 360^ < < 90^ + k 360^ 2k < < 2 + 2k 终边在第二象限 90^ + k 360^ < < 180^ + k 360^ 2 + 2k < < + 2k 终边在第三象限 180^ + k 360^ < < 270^ + k 360^ + 2k < < 3 2 + 2k 终边在第四象限 270^ + k 360^ < < 360^ + k 360^ 3 2 + 2k < < 2 + 2k 要确定角的集合，可以先在 0^ < 360^ 或 0 < 2 等范围内研究，再考虑是否需要加 k 360^ 或 2k , k Z .

题型 1. 多倍角的象限（人教A必修一P176习题5.1-7）

0.59 角 与角 2 , 3 , , n 及 2 的象限关系. 图中序号表示角 的象限，序号所在区域为角 2 （或 3 ）的终边所在区域. 由角 的象限推理角 2 , 3 , , n 及 2 的象限，列不等式对 k 进行赋值判断即可. 0.4 % 左图：角 2 的终边所在区域 [scale=0.8, >=stealth] % 坐标轴 [->] (-2,0) -- (2,0) ; [->] (0,-2) -- (0,2) ; % 分角线（将平面分为8个区域，对应 2 的终边范围） (0,0) -- (45:2); (0,0) -- (135:2); (0,0) -- (225:2); (0,0) -- (315:2); % 标注序号（对应角 的象限） at (22.5:1.5) 1 ; at (67.5:1.5) 2 ; at (112.5:1.5) 3 ; at (157.5:1.5) 4 ; at (202.5:1.5) 1 ; at (247.5:1.5) 2 ; at (292.5:1.5) 3 ; at (337.5:1.5) 4 ; % 右图：角 3 的终边所在区域 [scale=0.8, >=stealth] % 坐标轴 [->] (-2,0) -- (2,0) ; [->] (0,-2) -- (0,2) ; % 分角线（将平面分为12个区域，对应 3 的终边范围） in 30, 60, ..., 330 (0,0) -- ( :2); % 标注序号（对应角 的象限） at (15:1.5) 1 ; at (45:1.5) 2 ; at (75:1.5) 3 ; at (105:1.5) 4 ; at (135:1.5) 1 ; at (165:1.5) 2 ; at (195:1.5) 3 ; at (225:1.5) 4 ; at (255:1.5) 1 ; at (285:1.5) 2 ; at (315:1.5) 3 ; at (345:1.5) 4 ;

定义 2. 弧度制

1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度用符号 (rad )表示. 角 ( )的弧度数：如果半径为 (r )的圆的圆心角 ( )所对弧的长为 (l )，那么 (l = r )，角 ( )的弧度数是 ( = l r ). 角度与弧度的换算: (1^ = 180 rad 0.01745 rad 1 rad= 180^ 57.3^ ) 弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为 (l )，圆心角大小为 ( )（单位：rad， (0 < < 2 )），半径为 (r )，扇形的面积为 S ，则 [l = r S= 1 2 l r = 1 2 r^ 2 ]

定义 3. 三角函数定义

如左图，设 P(x,y) 为角 终边与单位圆的交点，则 = y ， = x ， = y x (x 0) . 如中图，设 P(x,y) 为角 终边上一点， r = OP = x^ 2 +y^ 2 ，则 = y r ， = x r ， = y x (x 0) . 如右图，单位圆中的三角函数线（有向线段）： = y = MP ， = x = OM ， = y x = AT . 0.99 [scale=1, >=stealth] % 图1 [xshift=-5.5cm] [->] (-1.5,0) -- (1.5,0) node[right] x ; [->] (0,-1.3) -- (0,1.3) node[left] y ; (0,0) circle (1); [->] (0,0) -- node[pos=0.6, above] 1 (30:1) node[right] P(x,y) node[above] 终边 ; (0.4,0) arc (0:30:0.4) node[midway, right] ; at (0,-1.5) 图1：单位圆定义 ; % 图2：一般定义（中） [xshift=0cm] [->] (-1.5,0) -- (1.5,0) node[right] x ; [->] (0,-1.3) -- (0,1.3) node[left] y ; [->] (0,0) -- node[above left] r (1,1) node[right] P(x,y) node[above] 终边 ; (0.5,0) arc (0:45:0.5) node[midway, right] ; (0,0) -- (1,1) ; at (0,-1.5) 图2：一般定义 ; % 图3：三角函数线（右，新增） [xshift=5.5cm] [->] (-1.5,0) -- (1.5,0) node[right] x ; [->] (0,-1.3) -- (0,1.3) node[left] y ; (0,0) circle (1); % 坐标定义 (O) at (0,0); (A) at (1,0); (P) at (50:1); % 设角度为50度 (M) at ( cos(50) ,0); (T) at (1, tan(50) ); % 连线 (O) -- (T); [green, thick] (O) -- (M); [red, thick] (P) -- (M); [blue, thick] (A) -- (T); % 标注点 at (O) [below left] O ; at (M) [below] M ; at (A) [below right] A(1,0) ; at (P) [above left] P ; at (T) [right] T ; at (0,-1.5) 图3：三角函数线 ; % 标注角和线 (0.3,0) arc (0:50:0.3) node[midway, right] ; 三角函数的值在各个象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦. P(x, y) 点又可表示为 P(r , r ) ，在已知 或 r 的情形下使用，这将给解题带来方便.

同角三角函数关系

定理 1. 同角三角函数基本关系（人教A必修一P181）

^ 2 + ^ 2 = 1 = ( 2 +k ) ( + )^2 + ( - )^2 = 2 证明 ：设角 ( )的终边与单位圆交于点 (P( , ) )，由 (P )在单位圆上即得 ( ^ 2 + ^ 2 =1 )；又由正切的定义 ( = )（ ( 0 )）.

定义 1. 齐次分式

分子分母的正余弦次数相同分式称为齐次式 例如： a + b c + d 或者 a ^ 2 + b ^ 2 + c = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + ^ 2 分子分母同除以 或 ^2 ，可化为正切

定理 2. 三角函数诱导公式（人教A必修一P188）

c c c c c c c 公式 一 二 三 四 五 六 角 2k + (k Z) + - - 2 - 2 + 正弦 - - 余弦 - - - 正切 - - 口诀 4 c 函数名不变，符号看象限 2 c 函数名改变，符号看象限 【记忆口诀】“奇变偶不变，符号看象限” 奇变偶不变指若要化掉 2 的奇数倍，则函数名正弦变余弦，余弦变正弦；偶数倍则不变； 符号看象限，是看原来的三角函数名在对应象限的符号. 例如，对 ( 2 + ) 化简时，符号看象限，看的是 2 + 这个第二象限的角（其中 看成锐角）的余弦值的符号，显然为负，所以添负号，得到 ( 2 + )=- .

定理 3. 三角恒等变换（人教A必修一P215）

和差角公式： ( )= ( )= ( )= 1 = ( )(1 ) =1- + ( + ) = - ( - ) -1 两角差余弦公式的证明（其余和差、倍角公式均由它推出） ：在单位圆中以 (x )轴非负半轴为始边作角 ( )， ( )，终边与单位圆分别交于 (P_ 1 ( , ) )， (A_ 1 ( , ) )；另取 (A(1,0) )与角 ( - )终边上的 (P( ( - ), ( - )) ). 由圆的旋转对称性 ( AP = A_ 1 P_ 1 )，据两点间距离公式 [[ ( - )-1]^ 2 + ^ 2 ( - )=( - )^ 2 +( - )^ 2 , ] 展开并用 ( ^ 2 + ^ 2 =1 )化简，即得 ( ( - )= + ). 以 (- )代 ( )得 ( ( + ) )；由诱导公式 ( = ( 2 - ) )得 ( ( ) )；两者相除得 ( ( ) )；再令 ( = )即得二倍角公式. 二倍角公式（人教A必修一P225,P226-1）： 2 = 2 2 = ^ 2 - ^ 2 = 2 ^ 2 - 1 = 1 - 2 ^ 2 2 = 2 1- ^ 2 降次： ^ 2 = 1- 2 2 ^ 2 = 1+ 2 2 = 1 2 2 升次： 1+ 2 = 2 ^ 2 1- 2 = 2 ^ 2 1 2 = ( )^ 2 1= ^ 2 + ^ 2 半角： 2 = 1- 2 2 = 1+ 2 2 = 1- 1+ = 1+ = 1- 辅助角公式： a x + b x= a^ 2 +b^ 2 (x+ ) ，其中 = a a^ 2 +b^ 2 ， = b a^ 2 +b^ 2 ， = b a 在辅助角公式中，若 a>0 ，则 (- 2 , 2 ) ；若 a<0 ，可先提负号到外面，再用辅助角公式合并. 其他常见变形： 三倍角公式（人教B必修三P109-11）： 3 = 3 - 4 ^ 3 3 = 4 ^ 3 - 3 ^ 4 - ^ 4 =( ^ 2 - ^ 2 )( ^ 2 + ^ 2 )= ^ 2 - ^ 2 = 2 =2 ^ 2 -1 2 ^ 2 ( 4 )=( )^ 2 =1 2 = 1 2 a+ a a- a = 1+ a 1- a = ( 4 +a )

题型 1. 求三角函数值

利用下面的常见三角形的正余弦，正切值，找出符号题目要求的值. 3 ， 4 ， 5 三角形， 或 = 3 5 或 4 5 ， = 3 4 或 4 3 (1 )， (2 )， ( 5 )三角形： ( = 1 5 )或 ( 2 5 )， ( = 2 5 )或 ( 1 5 )， ( = 1 2 )或 ( 2 ) (1 )， (3 )， ( 10 )三角形： ( = 1 10 )或 ( 3 10 )， ( = 3 10 )或 ( 1 10 )， ( = 1 3 )或 ( 3 )

结论 1. 常见三角函数取值表

5pt % 全局增加行高 c c c c c c c c c c c c 弧度制 0 12 10 6 5 4 3 10 3 2 5 5 12 2 角度制 0 15 18 30 36 45 54 60 72 75 90 0 6 - 2 4 5 -1 4 1 2 10 - 2 5 4 2 2 5 +1 4 3 2 10 + 2 5 4 6 + 2 4 1 1 6 + 2 4 10 + 2 5 4 3 2 5 +1 4 2 2 10 - 2 5 4 1 2 5 -1 4 6 - 2 4 0 0 2 - 3 25 - 10 5 5 3 3 5 - 2 5 1 25 + 10 5 5 3 5 + 2 5 2 + 3

结论 2. 和差化积与积化和差（人教A必修一P226-4、5；P230-19）

正加正，正在前；余加余，余并肩；正减正，余在前；余减余，负正弦. + = 2 + 2 - 2 = 1 2 [ ( + )+ ( - )] - = 2 + 2 - 2 = 1 2 [ ( + )- ( - )] + = 2 + 2 - 2 = 1 2 [ ( + )+ ( - )] - = -2 + 2 - 2 =- 1 2 [ ( + )- ( - )]

结论 3. 平方和差化积（苏教版必修二P57-8）

正弦平方差公式 ： ^ 2 - ^ 2 = ( + ) ( - ) ^ 2 - ^ 2 =- ( + ) ( - ) ^ 2 - ^ 2 = ( + ) ( - ) ^ 2 + ^ 2 =1- ( + ) ( - ) ^ 2 + ^ 2 = ( + ) ( - )+1 ^ 2 + ^ 2 = ( + ) ( - )+1

定理 4. 正切恒等式（人教A必修一P254-12）

[ A+ B+ C= A B C (A + B + C = k ) ] 证明： (A + B)= A+ B 1- A B , C=- (A + B) A+ B=- C(1- A B) 故 A+ B+ C= A B C [ 推论： A 2 + B 2 + -1 C 2 = A 2 B 2 -1 C 2 (A + B + C= ) ] 证明： A + B + C= A + B 2 = 2 - C 2 A + B 2 - ( 2 - C 2 )=0 A 2 + B 2 - ( 2 - C 2 ) =- A 2 B 2 ( 2 - C 2 ) A 2 + B 2 - 1 C 2 =- A 2 B 2 1 C 2

结论 4. 万能公式

万能公式通过引入参数 t= 2 ，将所有的基本三角函数（正弦、余弦、正切）统一表示为关于 t 的有理分式. ( = 2 2 2 ^ 2 2 + ^ 2 2 = 2 2 1+ ^ 2 2 = 2t 1+t^ 2 ), ( = ^ 2 2 - ^ 2 2 ^ 2 2 + ^ 2 2 = 1- ^ 2 2 1+ ^ 2 2 = 1-t^ 2 1+t^ 2 ), ( = 2t 1-t^ 2 )

题型 2. 三角函数最值与值域问题

y = A ( x + ) + B 【利用图像确定最值、值域】 y = a ^2 x + b x + c 【换元转化为二次函数求最值、值域】 y = a x + b m x + n 【分离常数，再利用复合函数求值域】 y = a( x x) + b x x 【令 x x = t ，整体转化为二次函数确定最值、值域】 y = a x + b x 【辅助角公式化为1，确定最值、值域】 y = a ^2 x + b x x + c ^2 x 【先降次，再用辅助角公式转化为1，确定最值、值域】 y = a 2x + b x 【确定周期，利用导数确定单调性求极值最值】

题型 3. 一次三角分式函数值域

求 f(x) = A+B x C + D x 函数值域. 利用辅助角公式转化为三角函数有界性求解 令 (f(x)= A + B x C+D x = y ) 即 (y(C + D x)=A + B x )， 故 (B x - yD x = yC - A )， 利用辅助角公式，有 ( B^ 2 +y^ 2 D^ 2 (x + )=yC - A ) ，即 ( (x+ )= yC - A B^ 2 +y^ 2 D^ 2 ) ，而 ( yC - A B^ 2 +y^ 2 D^ 2 1 )， 平方求解即可. （适用于给定定义域时计算） (y = A + B C+D )，变形为 (y= B( + A B ) D( + C D ) )（这里默认 (B 0 )且 (D 0 )，若 (B = 0 )或 (D = 0 )，函数形式会简化，可单独讨论）. 设点 (P( , ) )，因为 ( ^ 2 + ^ 2 = 1 )，所以点 (P )在单位圆 (x^ 2 +y^ 2 =1 )上. 设点 (Q(- C D ,- A B ) )，那么函数 (y )就表示单位圆上的点 (P( , ) )与点 (Q(- C D ,- A B ) )连线的斜率的 B D 倍.

题型 4. 解三角函数方程

( = = + 2k 或 = - + 2k , k Z ); ( = = + 2k 或 = - + 2k , k Z ) ( = = + k , k Z )； ( = = 2 - + 2k 或 = 2 + + 2k , k Z )

定义 2. 函数的叠加与声音模型（人教A必修一P250）

在物理学中，我们听到的复杂声音（如乐音）本质上是由许多简单的正弦波叠加而成的.如图所示，一个复杂的函数图像可以看作是多个不同频率、不同振幅的正弦函数之和： [ y = x + 1 2 2x + 1 3 3x + 1 4 4x + ] 其中： y= x 是基础波形（基波）； y= 1 2 2x 、 y= 1 3 3x 等是频率更高、振幅更小的分量（谐波）. [scale=0.9] [ axis lines=middle, xmin=-0.5, xmax=13, ymin=-2.5, ymax=2.5, xtick= pi/3, pi/2, pi, 2*pi, 3*pi, 4*pi , xticklabels= 3 , 2 , , 2 , 3 , 4 , ytick= -2, 2 , xlabel= x , ylabel= y , width= , height=6cm, grid style= dashed, gray!30 , samples=200, smooth, domain=0:12.57, ] % 绘制 y = sin x (基波 - 黑色虚线) [dashed, thick, black] sin(deg(x)) ; [below, black] at (axis cs: 2.7, 1.4) y= x ; % 绘制 y = 1/2 sin 2x (粉色虚线) [dashed, thick, magenta!50] 0.5*sin(deg(2*x)) ; [above, magenta!50] at (axis cs: 4, 0.6) y= 1 2 2x ; % 绘制 y = 1/3 sin 3x (蓝色实线 - 作为分量展示，虽然原图中是作为总和的一部分突出显示的，这里为了清晰单独画出) [thick, cyan] 0.333*sin(deg(3*x)) ; [below, cyan] at (axis cs: 1.5, -0.6) y= 1 3 3x ; % 绘制总和 (玫红色实线) [very thick, magenta] sin(deg(x)) + 0.5*sin(deg(2*x)) + 0.333*sin(deg(3*x)) ; [above, magenta] at (axis cs: 3, 1.5) y= x + 1 2 2x + 1 3 3x ; % 标注原点 [below left] at (axis cs: 0,0) O ; 这种将复杂问题分解为简单正弦波处理的思想，是近代数学分析的重要方法.

三角函数图像及性质

性质 1. 三角函数图像及性质

c c c 函数 y= x y= x 图象 [scale=0.5, >=stealth] [->] (-3.14,0) -- (3*3.14+1,0) node[right] x ; [->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[left] y ; [domain=-3.14:3*3.14,samples=200,smooth,variable= ] plot ( , sin( r) ); (-3.14/2,0) -- (-3.14/2,-0.1) node[below] - 2 ; (3.14/2,0) -- (3.14/2,-0.1) node[below] 2 ; (3.14,0) -- (3.14,-0.1) node[below] ; (3*3.14/2,0) -- (3*3.14/2,-0.1) node[below] 3 2 ; (2*3.14,0) -- (2*3.14,-0.1) node[below] 2 ; (3*3.14,0) -- (3*3.14,-0.1) node[below] 3 ; (0,1) -- (-0.1,1) node[left] 1 ; (0,-1) -- (-0.1,-1) node[left] -1 ; [scale=0.5, >=stealth] [->] (-3.14,0) -- (3*3.14,0) node[right] x ; [->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[left] y ; [domain=-3.14:3*3.14,samples=200,smooth,variable= ] plot ( , cos( r) ); (-3.14/2,0) -- (-3.14/2,-0.1) node[below] - 2 ; (3.14/2,0) -- (3.14/2,-0.1) node[below] 2 ; (3.14,0) -- (3.14,-0.1) node[below] ; (3*3.14/2,0) -- (3*3.14/2,-0.1) node[below] 3 2 ; (2*3.14,0) -- (2*3.14,-0.1) node[below] 2 ; (0,1) -- (-0.1,1) node[left] 1 ; (0,-1) -- (-0.1,-1) node[left] -1 ; 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] 周期性 最小正周期为 2 最小正周期为 2 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 l 单调递增区间： [2k - 2 ,2k + 2 ](k Z ) 单调递减区间： [2k + 2 ,2k + 3 2 ](k Z ) l 单调递增区间： [2k - ,2k ](k Z ) 单调递减区间： [2k ,2k + ](k Z ) 最值 当 x = 2k + 2 (k Z ) 时， y_ max =1 当 x = 2k (k Z ) 时， y_ max =1 当 x = 2k - 2 (k Z ) 时， y_ min =-1 当 x = 2k + (k Z ) 时， y_ min =-1 对称轴 x = k + 2 (k Z ) x = k (k Z ) 对称中心 (k ,0)(k Z ) (k + 2 ,0)(k Z ) c c c 函数 y= x y = A ( x+ )(A > 0, > 0) 图象 [scale=0.8] [ axis lines = middle, xmin=-3.14/2-1,xmax=5*3.14/2+1, ymin=-2,ymax=2, xlabel= x , ylabel= y , xtick= -3.14/2,3.14/2,3.14,3*3.14/2,2*3.14,5*3.14/2 , xticklabels= - 2 , 2 , , 3 2 , 2 , 5 2 , samples=200, no marks, ] % 渐近线（虚线） [black, dashed] coordinates (-3.14/2,-2) (-3.14/2,2) ; [black, dashed] coordinates ( 3.14/2,-2) ( 3.14/2,2) ; [black, dashed] coordinates ( 3*3.14/2,-2) ( 3*3.14/2,2) ; [black, dashed] coordinates ( 5*3.14/2,-2) ( 5*3.14/2,2) ; % 图像（黑色） [black,thick,domain=-3.14/2+0.01:3.14/2-0.01] tan(deg(x)) ; [black,thick,domain=3.14/2+0.01:3*3.14/2-0.01] tan(deg(x)) ; [black,thick,domain=3*3.14/2+0.01:5*3.14/2-0.01] tan(deg(x)) ; [scale=0.8] [ axis lines = middle, xmin=-3.14,xmax=3*3.14, ymin=-2,ymax=2, xlabel= x , ylabel= y , xtick= -3.14,-3.14/2,0,3.14/2,3.14,3*3.14/2,2*3.14,5*3.14/2,3*3.14 , xticklabels= - , - 2 , 0 , 2 , , 3 2 , 2 , 5 2 , 3 , samples=200, no marks, ] % 渐近线（以 y = tan(x + pi/3) 为例：x = pi/6 + k*pi） [black, dashed] coordinates (-5*3.14/6,-2) (-5*3.14/6,2) ; [black, dashed] coordinates ( 3.14/6,-2) ( 3.14/6,2) ; [black, dashed] coordinates ( 7*3.14/6,-2) ( 7*3.14/6,2) ; [black, dashed] coordinates (13*3.14/6,-2) (13*3.14/6,2) ; % 每个周期分开画（避开渐近线） [black, thick, domain=-3.14+0.01:-5*3.14/6-0.01] tan(deg(x+3.14/3)) ; [black, thick, domain=-5*3.14/6+0.01: 3.14/6-0.01] tan(deg(x+3.14/3)) ; [black, thick, domain= 3.14/6+0.01: 7*3.14/6-0.01] tan(deg(x+3.14/3)) ; [black, thick, domain= 7*3.14/6+0.01:13*3.14/6-0.01] tan(deg(x+3.14/3)) ; [black, thick, domain=13*3.14/6+0.01:3*3.14-0.01] tan(deg(x+3.14/3)) ; 定义域 x x k + 2 ,k Z x x+ k + 2 ,k Z 值域 R R 最小正周期 奇偶性 奇函数 当 = k 2 (k Z ) 时为奇函数 增区间 (k - 2 ,k + 2 )(k Z ) ( 1 (k - 2 - ), 1 (k + 2 - ))(k Z ) 对称中心 ( k 2 ,0)(k Z ) ( 1 ( k 2 - ),0)(k Z )

题型 1. 五点作图法

五点作图法作出函数 y = A ( x + ) 在一个周期上的图象： 令 x + 依次为 0 ， 2 ， ， 3 2 ， 2 （五个最值点或零点），求出 x 与 y ； 再依次连接点 (x, y) 作图.

性质 2. 正弦型三角函数的图像及性质（人教A必修一P196）

c c c 函数 y = A ( x+ ) ((A>0, >0) ) y = A ( x+ ) (A>0, >0 ) 定义域 R R 值域 [-A,A] [-A,A] 周期性 最小正周期为 2 最小正周期为 2 单调性 增区间： 2k - 2 x+ 2k + 2 (k Z ) 增区间： 2k - x+ 2k (k Z ) 减区间： 2k + 2 x+ 2k + 3 2 (k Z ) 减区间： 2k x+ 2k + (k Z ) 最值 当 x+ =2k + 2 (k Z ) 时， y_ max =A 当 x+ =2k (k Z ) 时， y_ max =A 当 x+ =2k - 2 (k Z ) 时， y_ min =-A 当 x+ =2k + (k Z ) 时， y_ min =-A 对称轴 x+ =k + 2 (k Z ) x+ =k (k Z ) 对称中心 ( 1 (k - ),0)(k Z ) ( 1 (k + 2 - ),0)(k Z )

定义 1. 三角函数中的物理量（人教A必修一P242）

在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数 ( y = A ( x + ) )， ( x [0, + ) ) 表示，其中 ( A > 0 )， ( > 0 ). ( A ) 就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离； 这个简谐运动的周期是 ( T = 2 )，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间； 这个简谐运动的频率由公式 ( f = 1 T = 2 ) 给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数； ( x + ) 称为相位； ( x = 0 ) 时的相位 ( ) 称为初相.

题型 2. 求三角函数解析式

1. 恒等变换化简得到 (f(x)=A ( x+ )+B )：一般分“拆”、“降”、“合”三步. (1) 拆：若解析式中有 ( (2x- 6 ) )这类结构，通常先拆开； (2) 降：遇到 ( ^ 2 x )， ( ^ 2 x )， ( x x )，可降次；（“拆”和“降”的顺序要视情况而定） (3) 合：完成前两步后，通常就化为了 (f(x)=a x+b x+B )这类结构，最后可利用辅助角公式合并. 2. 根据图象求解析式 (f(x)=A ( x+ )+B )： (1) 用最大值和最小值求 (A )： ( f(x)_ = A +B (x)_ =- A +B A = f(x)_ -f(x)_ 2 ) (2) 用最大值和最小值求 (B )： ( f(x)_ = A +B (x)_ =- A +B B= f(x)_ +f(x)_ 2 ) (3) 用最小正周期 (T )求 ( )： ( = 2 T )； 最值点求 ( )：将函数图象上的最大值或最小值点代入解析式，求出 ( ). 若图象上没有标最值点，也无法通过简单的推理得出最值点，则考虑代其它已知点求 ( ). 之所以首选最值点，是因为一个周期内，只有最大值或最小值点是唯一的，若代其它点，可能会有增根需要舍去.

题型 3. 图像变换问题

函数 (y = A ( x+ ) )的图象可以通过下列两种方式得到： 0.49 % 第一组变换（先平移后伸缩） % 将整个箭头上方的内容包裹在 中，设置字号，公式部分用 ... 包裹 y = x 9pt 8pt 图象向左（或右）平移 y = (x + ) 9pt 8pt 横坐标变为原来的 1 倍 y = ( x + ) 9pt 8pt 纵坐标变为原来的 A 倍 y = A ( x + ) 0.49 % 第二组变换（先伸缩后平移） y = x 9pt 8pt 横坐标变为原来的 1 倍 y = ( x) 9pt 8pt 图象向左（或右）平移 y = ( x + ) 9pt 8pt 纵坐标变为原来的 A 倍 y = A ( x + ) 关键：把握先移后缩和先缩后移的区别.类比可以得到： (y = A ( x+ ) )， (y = A ( x+ ) )的图象. 定理： (y = A ( x+ _1) y = A ( x+ _2) )，平移单位为 ( _2- _1 )（注意平移方向）.

题型 4. 三角函数取值范围问题

设函数 ( f(x) = ( x + ) )（其中 ( > 0 )，整数 ( k, k_1, k_2 Z )，周期 ( T = 2 )），其核心性质如下： （此类问题需注意能否取等，一般可以先按不取等计算，最后再验证取等时是否存在矛盾） 0.99 [x=0.8cm, y=0.8cm, >=stealth] [->] (-2.2*pi,0) -- (4.2*pi,0) node[right] x ; [->] (0,-1.2) -- (0,1.2) node[right] y ; [domain=-2*pi:4*pi,samples=200,smooth,thick] plot ( , sin( r) ); / in -2*pi/-2 , -1.5*pi/- 3 2 , -pi/- , -0.5*pi/- 2 , 0.5*pi/ 2 , pi/ , 1.5*pi/ 3 2 , 2*pi/2 , 2.5*pi/ 5 2 , 3*pi/3 , 3.5*pi/ 7 2 , 4*pi/4 ( ,0) -- ( ,-0.1) node[below] ; (0,1) -- (-0.1,1) node[left] 1 ; (0,-1) -- (-0.1,-1) node[left] -1 ; [below right] at (0,0) O ; ( f(x) ) 关于点 ( (a,0) ) 对称、（ (x=a )是 (f(x) )零点） ( a + = k ) ( f(x) ) 关于直线 ( x = a ) 对称 ( a + = 2 + k ) ( f(a) = f(b) ) 且 ( b - a < T ) ( ) 函数关于直线 ( x = a+b 2 )对称，即 ( a+b 2 + = 2 + k ) ( f(a) + f(b) = 0 ) 且 ( b - a < T 2 )（或 ( f(x) ) 在 ( [a,b] ) 上单调） ( ) 函数关于点 ( ( a+b 2 , 0) ) 对称，即 ( a+b 2 + = k ) ( f(x) ) 关于点 ( (a, 0) ) 对称且关于直线 ( x = b ) 对称 ( a + = k_1 , b + = 2 + k_2 , ) ( b - a = T 4 + kT 2 )，其中 ( k = k_2 - k_1 ) ( f(x) ) 在 ( x = a ) 处取最大值 ( a + = 2 + 2k ) （最小值点对应 ( a + = - 2 + 2k )） ( f(x) ) 在区间 ( (a, b) ) 上单调递增 ( ) ( - 2 + 2k a + < b + 2 + 2k ) ( f(x) ) 在区间 ( (a, b) ) 上单调递减 ( ) ( 2 + 2k a + < b + 3 2 + 2k ) ( f(x) ) 在区间 ( (a, b) ) 上单调 ( ) ( - 2 + k a + < b + 2 + k ) ( b - a T 2 = ) ( f(x) ) 在开区间 ( (a, b) ) 上没有零点 ( ) ( 0 + k a + < b + + k ) ( f(x) ) 在闭区间 ( [a, b] ) 上没有零点 ( ) ( 0 + k < a + < b + < + k ) ( f(x) ) 在开区间 ( (a, b) ) 内恰有 ( n ) 个零点 ( 0 + k a + < + k 0 + k +n < b + + k + n ) ( f(x) ) 在闭区间 ( [a, b] ) 内恰有 ( n ) 个零点 ( 0 + k < a + + k 0 + k +n b + < + k + n ) ( f(x) ) 在开区间 ( (a, b) ) 内恰有 ( n ) 个最大值点 ( 2 + 2k a + < 2 + 2(k+1) 2 + 2k + 2n < b + 2 + 2(k+1) + 2n ) ( f(x) ) 在闭区间 ( [a, b] ) 内恰有 ( n ) 个最大值点 ( 2 + 2k < a + 2 + 2(k+1) 2 + 2k + 2n b + < 2 + 2(k+1) + 2n ) （最小值点将 ( 2 ) 换为 ( - 2 ) 即可）

双曲函数

定义 1. 双曲函数（人教A必修一P160-6）

0.6 x = e^ x -e^ -x 2 x = e^ x +e^ -x 2 x = x x 奇偶性： ( (-x)=- (x) ) ( (-x)= (x) ) ( (-x)=- (x) ) 双曲正弦和双曲正切均为奇函数，双曲余弦为偶函数 基本恒等式： x+ x= e^ x ^ 2 (x)- ^ 2 (x)= 1 0.39 [>=stealth, scale=0.8, baseline=(current bounding box.center)] [->] (-3,0) -- (3,0) node[right] x ; [->] (0,-2.5) -- (0,3) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; % sinh [blue, thick, dashed, domain=-1.5:1.7, smooth, samples=100] plot ( , sinh( ) ); [right] at (1.8, 2.8) x ; % cosh [red, thick, domain=-1.6:1.6, smooth, samples=100] plot ( , cosh( ) ); [above] at (-1.3, 1) x ; % tanh [black, thick, domain=-3:3, smooth, samples=100] plot ( , tanh( ) ); [below] at (2.5, 1) x ; [dotted] (-2.5,1) -- (2.5,1); [left] at (0,1) 1 ; [dotted] (-2.5,-1) -- (2.5,-1); [left] at (0,-1) -1 ;

性质 1. 恒等变换

( )= ( )= (2 )= 2 (2 )= ^ 2 + ^ 2 =2 ^ 2 + 1 = 2 ^ 2 - 1 ( )= 1 (2 )= 2 1+ ^ 2 2 = - 1 = + 1