函数¶

知识点¶

定理 1. 基本运算技巧¶

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\) \((a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc\)
\(a^3 \pm b^3 = \htmlClass{blank}{(a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)}\) \((a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3\)
若\(\sqrt{p \pm 2\sqrt{q}} = \sqrt{(\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2 \pm 2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}}\)，即\(a+b=\htmlClass{blank}{p},ab=\htmlClass{blank}{q}\)，则\(\sqrt{p \pm 2\sqrt{q}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b} \ (a {\gt} b)\)

函数的定义，概念，性质，方程，零点¶

定义 1. 函数¶

一般地，设 \(A\)、\(B\) 是非空的实数集，如果对于集合 \(A\) 中的任意一个数 \(x\)，按照某种确定的对应关系 \(f\)，在集合 \(B\) 中都有唯一确定的数 \(y\) 和它对应，那么就称 \(f:A\rightarrow B\) 为从集合 \(A\) 到集合 \(B\) 的一个函数，记作 \(y = f(x),x\in A\).

函数 \(y = f(x)\) 中，\(x\) 叫做自变量，\(x\) 的取值范围 \(A\) 叫做函数的定义域，与 \(x\) 的值对应的 \(y\) 值叫做函数值，函数值的集合 \(\{f(x)\mid x\in A\}\) 叫做函数的值域，显然，值域是集合 \(B\) 的子集.
由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.
对应关系 \(f\)：除解析式、图像表格外，还有其他表示对应关系的方法，引进符号 \(f\) 统一表示对应关系.

定义 2. 区间¶

设 \(a\), \(b\) 是两个实数，而且 \(a {\lt} b\).我们规定：

满足不等式 \(a \leqslant x \leqslant b\) 的实数 \(x\) 的集合叫做闭区间，表示为 \([a, b]\) ;
满足不等式 \(a{\lt}x{\lt}b\) 的实数 \(x\) 的集合叫做开区间，表示为 \((a, b)\) ;
满足不等式 \(a \leqslant x {\lt} b\) 或 \(a {\lt} x \leqslant b\) 的实数 \(x\) 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 \([a, b)\) ， \((a, b]\) .

这里的实数 \(a\) 与 \(b\) 都叫做相应区间的端点. 这些区间的几何表示如表所示.在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.

注意：区间\([a,b]\)必须满足\(a \htmlClass{blank}{{\lt}} b\)，例如\([m-1,2m+1]\)要有意义，必须满足\(m-1 {\lt} 2m+1\).

结论 1. 求定义域¶

具体函数定义域：偶次方根：如\(\sqrt{f(x)}\)，\(\sqrt[4]{f(x)}\)，\(\sqrt[6]{f(x)}\)，\(\cdots\)，根号下的数非负，即\(f(x)\geq0\)；

对数：\(\log_{a}f(x)\)，真数大于\(0\)，即\(f(x){\gt}0\)；分式：如\(y = \dfrac{f(x)}{g(x)}\)，分母不为\(0\)，即\(g(x)\neq0\)；

零次方：\(x^{0}\)中\(\htmlClass{blank}{x\neq0}\)；正切：\(\tan x\)中\(\htmlClass{blank}{x\neq k\pi+\dfrac{\pi}{2}(k\in\mathbf{Z})}\)；
抽象函数求定义域：(1) 定义域永远指自变量\(x\)的取值集合；(2) “\(f(\cdots)\)”括号的范围恒不变.

已知\(f(g(x))\)的定义域是\((a, b)\)，求\(f(h(x))\)的定义域.

可利用\(x \in (a, b)\)先求出\(g(x)\)的值域\((c, d)\)，然后解不等式\(c {\lt} h(x) {\lt} d\)，其解集就是\(f(h(x))\)的定义域.

结论 2. 求解析式¶

代入法：由\(f(x)\)求复合函数\(f[g(x)]\)；由\(f(x+a)\)、\(f(x-a)\)、\(f(ax)\)、\(f\left(\frac{x}{a}\right)\)等求\(f(x)\).
凑配法：适用于\(f(\sqrt{x}+1)\)、\(f\left(1+\frac{1}{x}\right)\)、\(f\left(x+\frac{1}{x}\right)\)、\(f\left(x-\frac{1}{x}\right)\)等类型.
换元法：已知\(f(g(x))\)的解析式，要求\(f(x)\)的解析式时，可令\(t = g(x)\)，反解此方程（即用\(t\)去表示\(x\)），将解得的结果带入到解析式中，从而求出\(f(t)\)的解析式，再把解析式中的\(t\)换为\(x\)即可.
待定系数法：如果已知函数类型，可待定出函数的解析式，再利用条件制造方程组求出参数，求出解析式.
联立方程组法：已知\(f(x)\)与\(f(g(x))\)满足的关系式，要求\(f(x)\)解析式，可用\(g(x)\)代替两边所有的\(x\)，得到关于\(f(x)\)与\(f(g(x))\)的方程，然后类比于二元一次方程组解法，消去\(f(g(x))\)解出\(f(x)\)即可.

常见的含有\(f(x)\)与\(f\left(\pm\frac{1}{x}\right)\)、\(f(x)\)与\(f(a - x)\)时，可将原式中的\(x\)用\(\pm\frac{1}{x}\)或\(a - x\)代替，从而得到另一个同时含有\(f(x)\)与\(f\left(\pm\frac{1}{x}\right)\)或\(f(x)\)与\(f(a - x)\)的关系式，将两个关系式联立方程组解出\(f(x)\).

结论 3. 求值域¶

换元法：通过引入新变量替代原式中的部分表达式，将复杂函数转化为简单函数（如一次、二次函数）求值域，分为代数换元和三角换元.
1. 代数换元：适用含根号、高次项等复杂结构的函数.令新变量\(t\)代替原式中“复杂部分”，确定\(t\)的范围，将原函数转化为关于\(t\)的函数，再求值域.
2. 三角换元：适用含\(\sqrt{a^2 - x^2}\)、\(\sqrt{x^2 + a^2}\)等结构的函数（利用三角函数的有界性）.将变量用三角函数表示（如\(x = a\sin\theta\)、\(x = a\tan\theta\)等），利用三角函数的值域（如\(\sin\theta \in [-1,1]\)）求值域.
令\(a^x + a^{-x} = t\geq 2\)，则\(a^{2x} + a^{-2x} = \htmlClass{blank}{t^2 - 2}\)；令\(a^x - a^{-x} = t \in \mathbb{R}\)，则\(a^{2x} + a^{-2x} = t^2 + 2\)；

令\(\sqrt{1 - x} \pm \sqrt{1 + x} = t\)，则\(\sqrt{1 - x^2} = \pm \frac{t^2 - 2}{2}\)；令\(\sin x \pm \cos x = t\)，则\(\sin x \cos x = \htmlClass{blank}{\pm \frac{t^2 - 1}{2}}\).
单调性法：先判断函数在定义域内的单调性，再根据单调性求函数的最值（或边界值），进而确定值域.
数形结合法：通过画出函数图像（或利用函数的几何意义，如距离、斜率等），直观分析函数的最值或取值范围，确定值域.适用分段函数、绝对值函数，或具有明显几何意义的函数.
判别式法：用于\(y = \dfrac{a_1x^2 + b_1x + c_1}{a_2x^2 + b_2x + c_2}\)（\(a_1^2 + a_2^2 \neq 0\)，分子、分母无公因式，且\(x\)无限制）

先化成\((a_2y - a_1)x^2 + (b_2y - b_1)x + (c_2y - c_1) = 0\)，再运用\(\Delta \geq 0\)求值域（注意讨论二次项系数为0）.

性质 1. 单调性¶

一般地，设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(I\)，区间 \(D \subseteq I\)：

如果 \(\forall x_1, x_2 \in D\)，当 \(x_1 {\lt} x_2\) 时，都有 \(f(x_1) \; \htmlClass{blank}{{\lt}}\; f(x_2)\)，那么就称函数 \(f(x)\) 在区间 \(D\) 上单调递增.

如果 \(\forall x_1, x_2 \in D\)，当 \(x_1 {\lt} x_2\) 时，都有 \(f(x_1) \; \htmlClass{blank}{{\gt}}\; f(x_2)\)，那么就称函数 \(f(x)\) 在区间 \(D\) 上单调递减.

当函数 \(f(x)\) 在它的定义域上单调递增时，称为增函数. 当函数 \(f(x)\) 在它的定义域上单调递减时，称为减函数.

如果函数 \(y = f(x)\) 在区间 \(D\) 上单调递增或单调递减，那么就说函数 \(y = f(x)\) 在这一区间具有（严格的）单调性，区间 \(D\) 叫做 \(y = f(x)\) 的单调区间.

在两个函数公共定义域内：增 + 增 = 增增 \(-\) 减 = 增减 + 减 = 减减 \(-\) 增 = 减

两函数恒正: 增 × 增 = 增减 × 减 = 减两函数恒负: 增 × 增 = 减减 × 减 = 增
复合函数单调性：同增异减；外层为增函数不改变内层单调性，外层为减函数改变.
单调性的等价形式：

\(f(x)\text{单调\htmlClass{blank}{递增}} \Longleftrightarrow (x_2 - x_1)[f(x_2)-f(x_1)]{\gt}0 \Longleftrightarrow \dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2 - x_1}{\gt}0 \Longleftrightarrow \dfrac{x_2 - x_1}{f(x_2)-f(x_1)}{\gt}0\)

\(f(x)\text{单调\htmlClass{blank}{递减}} \Longleftrightarrow (x_2 - x_1)[f(x_2)-f(x_1)]{\lt}0 \Longleftrightarrow \dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2 - x_1}{\lt}0 \Longleftrightarrow \dfrac{x_2 - x_1}{f(x_2)-f(x_1)}{\lt}0\)
证明函数的单调性，可先设\(x_1{\lt}x_2\)，计算\(f(x_1)-f(x_2)\)或\(\dfrac{f(x_1)}{f(x_2)}\)，比较和\(0\)或\(1\)的大小.
分段函数单调需要满足左段和右段单调性与整体一致，且若整体增（减），则左段函数在端点的函数值\(\leq(\geq)\)右段函数在端点的函数值.

性质 2. 奇偶性¶

一般地，设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(I\)，如果 \(\forall x \in I\)，

都有 \(-x \in I\)，且 \(f(-x) = \htmlClass{blank}{f(x)}\)，那么函数 \(f(x)\) 就叫做偶函数.

都有 \(-x \in I\)，且 \(f(-x) = \htmlClass{blank}{- f(x)}\)，那么函数 \(f(x)\) 就叫做奇函数.

函数 \(y = f(x)\) 是偶函数的充要条件是它的图象关于 \(y\) 轴对称；函数 \(y = f(x)\) 是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称.

定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.
若奇函数在原点有定义，则 \(f(0)=\htmlClass{blank}{0}\).用于求解析式中的参数的值，或用于写分段奇函数.
奇 \(\pm\) 奇 = 奇；偶 \(\pm\) 偶 = 偶；奇 \(\pm\) 偶 = 非奇非偶
奇 \(\times\) 奇 = 偶；奇 \(\times\) 偶 = 奇；偶 \(\times\) 偶 = 偶；奇 \(\div\) 奇 = 偶；奇 \(\div\) 偶 = 奇；偶 \(\div\) 偶 = 偶.
奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.
复合函数奇偶性：有偶则偶，全奇才奇
若\(f(x)\)的定义域关于原点对称，则\(f(x) + f(-x)\)为偶函数，\(f(x) - f(-x)\)为奇函数，\(f(x)f(-x)\)为偶函数
奇函数：\(y = \begin{cases} f(x), & x {\gt} 0, \\ -f(-x), & x {\lt} 0. \end{cases}\) 偶函数：\(y = \begin{cases} f(x), & x {\gt} 0, \\ f(-x), & x {\lt} 0. \end{cases}\)

性质 3. 对称性¶

轴对称：如果函数\(y = f(x)\)满足若\(\dfrac{x_1 + x_2}{2}=a\)，就有\(f(x_1)=f(x_2)\)，则\(f(x)\)的图象关于直线\(x = a\)对称.

中心对称：若函数\(y = f(x)\)满足若\(\dfrac{x_1 + x_2}{2}=a\)，就有\(\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}=b\)，则\(f(x)\)关于点\((a,b)\)对称.

单个函数的对称性（\(x\)系数相反是对称，\(x\)系数相同是周期\((m \neq0)\)）

(1) \(f(a + mx)=f(b - mx)\) \(\Leftrightarrow f(x)\)关于直线\(x=\dfrac{a + b}{2}\)对称

设\(m=a + x\)，\(n=b - x\)，则两点\(m\)，\(n\)对应的函数值相等，而\(\dfrac{m + n}{2}=\dfrac{(a + x)+(b - x)}{2}=\dfrac{a + b}{2}\)，所以函数关于直线\(x=\dfrac{a + b}{2}\)对称.

(2) \(f(a + mx)+f(b - mx)=c\) \(\Leftrightarrow f(x)\)关于点\((\dfrac{a + b}{2},\dfrac{c}{2})\)对称

设\(x_1=a + x\)，\(x_2=b - x\)，则\(\dfrac{x_1 + x_2}{2}=\dfrac{(a + x)+(b - x)}{2}=\dfrac{a + b}{2}\)，\(\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}=\dfrac{c}{2}\)，符合中心对称的定义，所以函数关于点\((\dfrac{a + b}{2},\dfrac{c}{2})\)对称.

(3) \(f(mx + a)\)是偶函数\(\Leftrightarrow\)\(f(x)\)关于直线\(x = a\)对称

(4) \(f(mx + a)-b\)是奇函数\(\Leftrightarrow\) \(f(x)\)关于点\((a,b)\)对称（人教A必修一P87-13）

两个函数的对称性

(1) 函数 \(y = f(a + mx)\) 与函数 \(y = f(b - mx) \ (m \neq 0)\) 的图象关于直线 \(x = \dfrac{b - a}{2m}\) 对称

(2) 函数 \(y = f(kx - a) + m\) 与函数 \(y = -f(b - kx) + n \ (k \neq 0)\) 的图象关于点 \(\left( \dfrac{a + b}{2k}, \dfrac{m + n}{2} \right)\) 对称.

(3) 函数 \(y = f(a + x)\) 与 \(y = f(b - x)\) 的图象关于直线\(x = \dfrac{b - a}{2}\) 对称.

(4) 函数 \(y = f(x)\) 与函数 \(y = 2b - f(2a - x)\) 的图象关于点\((a, b)\) 对称.

原函数与导函数的对称结论：设\(f(x)\)存在导函数\(f^{\prime}(x)\)，则二者的对称性有下述结论.

(1)若\(f(x)\)有对称轴\(x = a\)，则\(f^{\prime}(x)\)关于点\((a,0)\)对称.

证明：\(f(x)\)有对称轴\(x = a\Rightarrow f(a + x)=f(a - x)\)，两端求导可得\(f^{\prime}(a + x)=-f^{\prime}(a - x)\)，所以\(f^{\prime}(a + x)+f^{\prime}(a - x)=0\)，故\(f^{\prime}(x)\)关于点\((a,0)\)对称.

(2)若\(f(x)\)有对称中心\((a,b)\)，则\(f^{\prime}(x)\)关于直线\(x = a\)对称.

证明：\(f(x)\)有对称中心\((a,b)\Rightarrow f(a + x)+f(a - x)=2b\)，两端求导得\(f^{\prime}(a + x)-f^{\prime}(a - x)=0\)，所以\(f^{\prime}(a + x)=f^{\prime}(a - x)\)，故\(f^{\prime}(x)\)关于直线\(x = a\)对称.

(3)若\(f^{\prime}(x)\)有对称轴\(x = a\)，则\(f(x)\)关于点\((a,b)\)对称.

证明：\(f^{\prime}(x)\)有对称轴\(x = a\Rightarrow f^{\prime}(a + x)-f^{\prime}(a - x)=0\)，我们把此式看成由某式求导得出，则该式为\(f(a + x)+f(a - x)=C\)，令\(C = 2b\)得\(f(a + x)+f(a - x)=2b\Rightarrow f(x)\)关于\((a,b)\)对称；特别地，当\(a = 0\)时，\(f^{\prime}(x)\)为偶函数，只能得出\(f(x)\)关于点\((0,b)\)对称，不一定是奇函数.

(4)当\(f^{\prime}(x)\)有对称中心\((a,b)\)时，若\(b\neq0\)，则\(f(x)\)不一定有对称轴；若\(b = 0\)，则\(f(x)\)关于直线\(x = a\)对称.

证明：\(f^{\prime}(x)\)有对称中心\((a,b)\Rightarrow f^{\prime}(a + x)+f^{\prime}(a - x)-2b = 0\)，我们把上式看成由某式求导得出，则该式应为\(f(a + x)-f(a - x)-2bx = C\)，\(C\)为常数，在上式中令\(x = 0\)可得\(C = 0\)，代入上式整理得：\(f(a + x)=f(a - x)+2bx\)，当\(b = 0\)时，上式即为\(f(a + x)=f(a - x)\Rightarrow f(x)\)有对称轴\(x = a\)，而当\(b\neq0\)时，无法得出\(f(x)\)有对称轴；特别地，若\(a = b = 0\)，即\(f^{\prime}(x)\)为奇函数，我们发现此时\(f(x)\)关于\(x = 0\)对称，为偶函数.

性质 4. 周期性¶

一般地，对于函数 \(f(x)\)，如果存在一个非零常数 \(T\)，使得当 \(x\) 取定义域内的每一个值时，都有 \(f(x+T) = f(x),\) 那么函数 \(f(x)\) 就叫做周期函数.非零常数 \(T\) 叫做这个函数的周期. 显然\(kT(k\in\mathbf{Z}, k\neq 0)\)也是\(f(x)\)的周期如果在周期函数 \(f(x)\) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 \(f(x)\) 的最小正周期.

若函数\(f(x)\)具有最小正周期\(T\)，且\(f(x)\)关于直线\(x=a\)对称，则\(f(x)\)也关于直线\(x=a+\dfrac{kT}{2}\)(\(k\in\mathbf{Z}\))对称.
若函数\(f(x)\)具有最小正周期\(T\)，且\(f(x)\)关于点\((a,b)\)对称，则\(f(x)\)也关于点\(\left(a+\dfrac{kT}{2}, b\right)\)(\(k\in\mathbf{Z}\))对称.
常见抽象函数周期结论：

\[ \begin{aligned} f(x + a)=f(x) & \Rightarrow T = \htmlClass{blank}{a} & f(x + a)=f(x + b) & \Rightarrow T = \htmlClass{blank}{|a - b|} \\ f(x + a) + f(x)= c & \Rightarrow T = \htmlClass{blank}{2a} & f(x + a)+f(x + b)=c & \Rightarrow T = \htmlClass{blank}{2|a - b|} \\ f(x + a)=\dfrac{k}{f(x)} & \Rightarrow T = \htmlClass{blank}{2a} & f(x + a)=\dfrac{k}{f(x + b)} & \Rightarrow T = \htmlClass{blank}{2|a - b|} \\ f(x + a)=\dfrac{1 - f(x)}{1 + f(x)} & \Rightarrow T = \htmlClass{blank}{2a} & f(x + a)=-\dfrac{1 - f(x)}{1 + f(x)} & \Rightarrow T = 4a \\ f(x + a)=\dfrac{1 + f(x)}{1 - f(x)} & \Rightarrow T = 4a & f(x + a)=\dfrac{1 + f(x + b)}{1 - f(x + b)} & \Rightarrow T = 4|a - b| \\ f(x + a)=-\dfrac{1}{f(x)+1} & \Rightarrow T = 3a & f(x + a)=\dfrac{1}{1 - f(x)} & \Rightarrow T = 3a \\ f(x + a)=1 - \dfrac{1}{f(x)} & \Rightarrow T = 3a & f(x)=f(x + a)+f(x - a) & \Rightarrow T = \htmlClass{blank}{6a} \\ f(x)\text{关于} x = a, x = b \text{轴对称} & \Rightarrow T = \htmlClass{blank}{2|a - b|} & f(x)\text{关于} (a,0), (b,0) \text{中心对称} & \Rightarrow T = \htmlClass{blank}{2|a - b|} \end{aligned} \]

\[ f(x)\text{关于} x = a \text{轴对称，关于} (b,0) \text{中心对称} \Rightarrow T = \htmlClass{blank}{4|a - b|} \]

性质 5. 周期函数的性质¶

若\(f(x)\)的周期为\(T\)，则函数\(f(ax + b)\)（\(a \neq 0\)），的周期为\(\dfrac{T}{|a|}\)
周期函数不一定存在最小正周期. 例如：
1. 常函数：设\(f(x) = C\)\(, x \in \mathbb{R}\)）. 对任意非零常数\(T\)，均有\(f(x + T) = C = f(x)\)，即所有非零常数都是周期.由于正周期可取\(1, 0.1, 0.01, \dots\)（无限小），无“最小正数”，故常函数无最小正周期.
2. 狄利克雷函数（人教A必修一P75）：定义\(D(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}\)（\(\mathbb{Q}\)为有理数集）. 对任意非零有理数\(T\)：若\(x \in \mathbb{Q}\)，则\(x + T \in \mathbb{Q}\)，故\(D(x + T) = 1 = D(x)\)；若\(x \notin \mathbb{Q}\)，则\(x + T \notin \mathbb{Q}\)，故\(D(x + T) = 0 = D(x)\).所有非零有理数都是周期，而有理数集中无最小正数，故\(D(x)\)无最小正周期.
两个周期函数的和（或差）不一定还是周期函数

设\(f(x)\)的周期为\(T_1\)，\(g(x)\)的周期为\(T_2\)，则\(h(x) = f(x) + g(x)\)为周期函数的充要条件是：存在非零常数\(T\)，使得\(T = kT_1 = mT_2\)（\(k, m\)为非零整数），即\(T\)是\(T_1\)与\(T_2\)的“公共周期”.若\(\dfrac{T_1}{T_2}\)为无理数，则无此类\(T\)，故\(h(x)\)非周期函数. 例如：设\(f(x) = \sin x\)（\(T_1 = 2\pi\)），\(g(x) = \sin(\sqrt{2}x)\)（\(T_2 = \sqrt{2}\pi\)），则\(h(x) = \sin x + \sin(\sqrt{2}x)\)非周期函数.

假设\(h(x)\)有周期\(T\)，则对任意\(x \in \mathbb{R}\)，有：

\[ \sin(x + T) + \sin(\sqrt{2}(x + T)) = \sin x + \sin(\sqrt{2}x) \]

整理得：

\[ [\sin(x + T) - \sin x] + [\sin(\sqrt{2}x + \sqrt{2}T) - \sin(\sqrt{2}x)] = 0 \]

由和差化积公式\(\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)\)，化简为：

\[ 2\cos\left(x + \frac{T}{2}\right)\sin\left(\frac{T}{2}\right) + 2\cos\left(\sqrt{2}x + \frac{\sqrt{2}T}{2}\right)\sin\left(\frac{\sqrt{2}T}{2}\right) = 0 \]

该式对任意\(x \in \mathbb{R}\)成立，需系数均为0（否则余弦函数的周期性会导致等式无法恒成立），即：

\[ \sin\left(\frac{T}{2}\right) = 0 \quad \text{且} \quad \sin\left(\frac{\sqrt{2}T}{2}\right) = 0 \]

由\(\sin\left(\frac{T}{2}\right) = 0\)得\(\frac{T}{2} = k\pi\)（\(k \in \mathbb{Z}, k \neq 0\)），即\(T = 2k\pi\)；由\(\sin\left(\frac{\sqrt{2}T}{2}\right) = 0\)得\(\frac{\sqrt{2}T}{2} = m\pi\)（\(m \in \mathbb{Z}, m \neq 0\)），即\(T = \sqrt{2}m\pi\).

联立得\(2k\pi = \sqrt{2}m\pi\)，化简为\(\sqrt{2} = \frac{2k}{m}\).但\(\sqrt{2}\)是无理数，\(\frac{2k}{m}\)是有理数，矛盾.故\(h(x)\)非周期函数.

定义 3. 类周期函数¶

若\(f(x + T) = f(x) + B\)(\(T\), \(B\)为非零常数)，则称\(f(x)\)为周期性阶梯函数, 如\(f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & -2 \leqslant x \leqslant 0 \\ f(x - 1) + 1, & 0 {\lt} x \leqslant 3 \end{cases}\)

\(f(x) = f(x - T) + B = f(x - 2T) + 2B = \dots = f(x - nT) + nB\).

\(f(x) = f(x + T) - B = f(x + 2T) - 2B = \dots = f(x + nT) - nB\).
若\(f(x + T) = Af(x)\)(\(T\), \(A\)为非零常数)，则称\(f(x)\)为周期性倍增函数, 如\(f(x) = \begin{cases} x^2 - x, & x \in [0, 1] \\ 2f(x - 1), & x \in (1, 4] \end{cases}\)

\(f(x) = Af(x - T) = A^2f(x - 2T) = \dots = A^nf(x - nT)\).

\(f(x) = \dfrac{1}{A}f(x + T) = \dfrac{1}{A^2}f(x + 2T) = \dots = \dfrac{1}{A^n}f(x + nT)\).
若\(f(x + T) = Af(x) + B\)(\(T\), \(A\), \(B\)为非零常数)，则称\(f(x)\)为周期性倍增阶梯函数,

如\(f(x) = \begin{cases} x^2, & 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ 2f(x-1)+0.3, & 1 {\lt} x \leqslant 3 \end{cases}\)

\(f(x) = Af(x - T) + B = A^2f(x - 2T) + AB + B = A^nf(x - nT) + (A^{n-1} + A^{n-2} + \dots + A + 1)B\).

\(f(x) = \dfrac{1}{A}f(x + T) - \dfrac{B}{A} = \dfrac{1}{A^2}f(x + 2T) - \dfrac{B}{A^2} - \dfrac{B}{A} = \dots = \dfrac{1}{A^n}f(x + nT) - \dfrac{(A^{n-1}+A^{n-2}+\dots+A + 1)B}{A^n}\).

结论 4. 函数性质综合题型¶

若\(f(x)\)关于点\((a, b)\)对称，\(f(x)\) 有最大值 \(M\) 和最小值 \(m\)，则 \(M + m = \htmlClass{blank}{2b}\)
若\(f(x)\)关于点\((a, b_1)\)对称，\(g(x)\)关于点\((a, b_2)\)对称，则\(f(x)+g(x)\)关于点\((a, b_1 + b_2)\)对称
若\(f(x)\)关于点\((a, b)\)对称，\(g(x)\)关于点\((a, b)\)对称，\(f(x)\)与\(g(x)\)图像有\(n\)个交点\((x_1, y_1), (x_2, y_2), ... (x_n, y_n)\)，则

\[ \sum_{i=1}^{n} x_i = \htmlClass{blank}{na} ,\quad \sum_{i=1}^{n} y_i = \htmlClass{blank}{nb},\quad \sum_{i=1}^{n} (x_i + y_i) = n(a+b) \]
若\(f(x)\)关于直线\(x = a\)对称，且在\([a, +\infty)\)上单调递增，则

\[ f(A) {\gt} f(B) \Leftrightarrow \htmlClass{blank}{|A - a| {\gt} |B - a|} \]
若\(f(x)\)关于点\((a, b)\)对称，且在区间\(I\)上单调递增，则

\[ f(A) + f(B) {\gt} 2b \Leftrightarrow \htmlClass{blank}{A + B {\gt} 2a} \]
若\(f(x)\)的定义域关于原点对称，则 \(f(x)\)可唯一分解为偶函数\(g(x)\)与奇函数\(h(x)\)的和，其中

\[ g(x) = \dfrac{f(x) + f(-x)}{2},\quad h(x) = \dfrac{f(x) - f(-x)}{2} \]

结论 5. 函数图像变换¶

\[ \begin{aligned} y = f(x) & \xrightarrow[\text{\small a{\lt}0, 向右平移 |a| 个单位(右减)}]{\text{\small a{\gt}0, 向左平移 |a| 个单位(左加)}} y = f(x + a) \; & y = f(x) & \xrightarrow[\text{\small b{\lt}0, 向下平移 |b| 个单位(下减)}]{\text{\small b{\gt}0, 向上平移 |b| 个单位(上加)}} y = f(x) + b \\ y = f(x) & \xrightarrow{\text{\small 关于 y 轴对称}} y = f(-x) \; & y = f(x) & \xrightarrow{\text{\small 关于 x=a 对称}} y = \htmlClass{blank}{f(2a-x)} \\ y = f(x) & \xrightarrow{\text{\small 关于 x 轴对称}} y = -f(x) \; & y = f(x) & \xrightarrow{\text{\small 关于 y=b 对称}} y = \htmlClass{blank}{2b-f(x)} \\ y = f(x) & \xrightarrow{\text{\small 关于原点对称}} y = -f(-x) \; & y = f(x) & \xrightarrow{\text{\small 关于(a,b)对称}} y = \htmlClass{blank}{2b-f(2a-x)} \\ y = f(x) & \xrightarrow[\text{\small 并将 y 轴右边的图象翻折到左边}]{\text{\small 去掉 y 轴左边图象, 保留 y 轴右边图象}} y = \htmlClass{blank}{f(|x|)} \; & y = f(x) & \xrightarrow[\text{\small 并将 x 轴下方的图象翻折到上方}]{\text{\small 保留 x 轴上方图象}} y = \htmlClass{blank}{|f(x)|} \\ y = f(x) & \xrightarrow[\text{\small \omega{\gt}1, 横坐标缩短为原来的 \dfrac{1}{\omega} 倍}]{\text{\small 0{\lt}\omega{\lt}1, 横坐标伸长为原来的 \dfrac{1}{\omega} 倍}} y = \htmlClass{blank}{f(\omega x)} \; & y = f(x) & \xrightarrow[\text{\small A{\gt}1, 纵坐标伸长为原来的 A 倍}]{\text{\small 0{\lt}A{\lt}1, 纵坐标缩短为原来的 A 倍}} y = \htmlClass{blank}{A f(x)} \end{aligned} \]

定义 4. 反函数（人教A必修一P135）¶

设函数 \(f: D \to R\) 是从定义域 \(D \subseteq \mathbb{R}\) 到值域 \(R \subseteq \mathbb{R}\) 的映射.若 \(f\) 是双射，则存在唯一函数 \(f^{-1}: R \to D\)，使得：

\[ \forall\ x \in D,\ \forall\ y \in R,\quad y = f(x) \iff x = f^{-1}(y) \]

此时，\(f^{-1}\) 称为 \(f\) 的反函数.

互为反函数的函数，其图像关于直线 \(y = x\) 对称.例如指数函数\(e^x\)与对数函数\(\ln x\).
对于连续函数 \(f(x)\)，若 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上单调递增（或单调递减），则其反函数 \(f^{-1}(x)\) 在区间 \(f(I)\) 上也单调递增（或单调递减）.
若连续函数有反函数，则该函数在其定义域上必为单调函数；反之，若连续函数在其定义域上单调，则该函数必有反函数.

定义 5. 点的旋转¶

设点 \(P(x, y)\) 绕原点 \((0,0)\) 逆时针旋转 \(\theta\) 角得到点 \(P'(x', y')\)，则新旧坐标的关系为：

\[ \begin{cases} x' = x\cos\theta - y\sin\theta \\ y' = x\sin\theta + y\cos\theta \end{cases} \]

证明：设 \(P\) 的极坐标为 \((r\cos\varphi,\ r\sin\varphi)\)，其中 \(r = \sqrt{x^2+y^2}\). 绕原点逆时针旋转 \(\theta\) 后，极角变为 \(\varphi+\theta\)，半径不变，故

\[ x' = r\cos(\varphi+\theta) = r(\cos\varphi\cos\theta - \sin\varphi\sin\theta) = x\cos\theta - y\sin\theta, \]

\[ y' = r\sin(\varphi+\theta) = r(\sin\varphi\cos\theta + \cos\varphi\sin\theta) = x\sin\theta + y\cos\theta. \]

定义 6. 旋转函数¶

若函数 \(y=f(x)\) 的图像绕原点逆时针旋转 \(\alpha\) 角（其中 \(\alpha \in (0, \pi)\)）后得到的曲线仍是一个函数的图像，则称 \(f(x)\) 为一个 \(\alpha\) 旋转函数. 函数 \(y = f(x)\) 是 \(\alpha\) 旋转函数（其中 \(\alpha \in (0, \pi), \alpha \neq \frac{\pi}{2}\)）的充要条件是：函数 \(g(x) = f(x) - \dfrac{x}{\tan\alpha}\) 在其定义域内是严格单调函数. 证明：设 \((x_1, y_1)\) 和 \((x_2, y_2)\) 是 \(f(x)\) 图像上两个不同的点，即 \(x_1 \neq x_2\)，\(y_1=f(x_1), y_2=f(x_2)\).它们旋转 \(\alpha\) 角后的新坐标分别为 \((x_1', y_1')\) 和 \((x_2', y_2')\). 根据旋转函数的定义，旋转后的图像要满足函数"单值性"，必须有 \(x_1' \neq x_2'\).代入旋转公式可得： \(x_1\cos\alpha - y_1\sin\alpha \neq x_2\cos\alpha - y_2\sin\alpha\)

此式对定义域内任意 \(x_1 \neq x_2\) 均成立.假设 \(\sin\alpha \neq 0\) (即 \(\alpha \neq k\pi\))，整理得： \(f(x_1) - \dfrac{x_1}{\tan\alpha} \neq f(x_2) - \dfrac{x_2}{\tan\alpha}\) 令 \(g(x) = f(x) - \dfrac{x}{\tan\alpha}\)，上式即为 \(g(x_1) \neq g(x_2)\).对于定义在区间上的连续函数，等价于 \(g(x)\) 是严格单调的.

从几何上看，"将函数 \(f(x)\) 的图像绕原点逆时针旋转角 \(\alpha\)" 等价于 "保持图像不变，将坐标系 \(xOy\) 绕原点顺时针旋转角 \(\alpha\) 得到新坐标系 \(x'Oy'\)". 在新坐标系 \(x'Oy'\) 中，原图像要满足函数的定义，任何垂直于新横轴 \(x'\) 的直线与图像至多有一个交点. 这些线在旧坐标系 \(xOy\) 中是一族斜率为 \(\tan(90^\circ - \alpha) = \dfrac{1}{\tan\alpha}\) 的平行直线，其方程可表示为 \(y = \dfrac{x}{\tan\alpha} + m\). 因此，\(f(x)\) 是 \(\alpha\) 旋转函数，等价于：对任意实数 \(m\)，直线 \(y = \dfrac{x}{\tan\alpha} + m\) 与函数 \(y=f(x)\) 的图像至多有一个交点. 也就是说，关于 \(x\) 的方程 \(f(x) = \dfrac{x}{\tan\alpha} + m\) 至多有一个实数解. 整理方程得 \(m = f(x) - \dfrac{x}{\tan\alpha}\).

令 \(g(x) = f(x) - \dfrac{x}{\tan\alpha}\).上述条件等价于：对于任意 \(m\)，方程 \(g(x) = m\) 至多有一个解. 这说明函数 \(g(x)\) 的值域中每个值都只对应唯一的 \(x\).对于连续函数，这等价于 \(g(x)\) 是严格单调函数.

结论 6. 函数不等式恒成立与能成立¶

单变量不等式恒成立问题一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立

\(\forall x\in D, m\leq f(x)\Rightarrow m\leq f(x)_{\htmlClass{blank}{\min}}\) \(\forall x\in D, m\geq f(x)\Rightarrow m\geq f(x)_{\htmlClass{blank}{\max}}\)

\(\exists x\in D, m\leq f(x)\Rightarrow m\leq f(x)_{\htmlClass{blank}{\max}}\) \(\exists x\in D, m\geq f(x)\Rightarrow m\geq f(x)_{\htmlClass{blank}{\min}}\)
双变量不等式与等式，一般地，已知函数\(y = f(x),x\in[a,b],y = g(x),x\in[c,d]\)
1. 不等关系
  
  若\(\forall x_1\in[a,b],\forall x_2\in[c,d]\),有\(f(x_1){\lt}g(x_2)\)成立，则\(f(x)_{\htmlClass{blank}{\max}}{\lt}g(x)_{\htmlClass{blank}{\min}}\)
  
  若\(\forall x_1\in[a,b],\exists x_2\in[c,d]\),有\(f(x_1){\lt}g(x_2)\)成立，则\(f(x)_{\htmlClass{blank}{\max}}{\lt}g(x)_{\htmlClass{blank}{\max}}\)
  
  若\(\exists x_1\in[a,b],\forall x_2\in[c,d]\),有\(f(x_1){\lt}g(x_2)\)成立，则\(f(x)_{\htmlClass{blank}{\min}}{\lt}g(x)_{\htmlClass{blank}{\min}}\)
  
  若\(\exists x_1\in[a,b],\exists x_2\in[c,d]\),有\(f(x_1){\lt}g(x_2)\)成立，则\(f(x)_{\htmlClass{blank}{\min}}{\lt}g(x)_{\htmlClass{blank}{\max}}\)
2. 相等关系：记\(y = f(x),x\in[a,b]\)的值域为\(A\)，\(y = g(x),x\in[c,d]\)的值域为\(B\)，
  
  若\(\forall x_1\in[a,b],\exists x_2\in[c,d]\),有\(f(x_1)=g(x_2)\)成立，则有\(A\htmlClass{blank}{\subseteq} B\)
  
  若\(\exists x_1\in[a,b],\forall x_2\in[c,d]\),有\(f(x_1)=g(x_2)\)成立，则有\(A\htmlClass{blank}{\supseteq} B\)
  
  若\(\exists x_1\in[a,b],\exists x_2\in[c,d]\),有\(f(x_1)=g(x_2)\)成立，则有 \(\htmlClass{blank}{A\cap B\neq\varnothing}\)
分离参数法（主流方法：一定要有分参意识）

倒数法分离参数：如\(\lambda f(x) = g(x) \Rightarrow \frac{1}{\lambda} = \frac{f(x)}{g(x)}\)；【当\(g(x)\)的值一定不为\(0\)时，可考虑用倒数法分离参数.】

讨论法分离参数：如\(\lambda g(x) \geq f(x)\)，可讨论\(g(x)\)的符号，再分参；

不完全分离参数法：如\(\frac{b}{x} = \ln x + x - x^2\)

定义 7. 函数的零点¶

对于一般函数 \(y=f(x)\) ，我们把使 \(f(x)=0\) 的实数 \(x\) 叫做函数 \(y=f(x)\) 的零点.

方程\(f(x) = 0\)有实数根\(x_0 \Leftrightarrow\)函数\(y = f(x)\)有零点\(x_0 \Leftrightarrow\)函数\(y = f(x)\)的图象与\(x\)轴交点横坐标为\(x_0\).
方程\(f(x) = g(x)\)有实数根\(x_0 \Leftrightarrow\)函数\(y = f(x)\)与函数\(y = g(x)\)有公共点，且公共点横坐标为\(x_0\).

注意：零点不是函数图像上的点，而是函数值为零的自变量的取值.

定理 1. 零点存在定理¶

如果函数 \(y = f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 \(f(a)f(b) {\lt} 0\)，那么，函数 \(y = f(x)\) 在区间 \((a, b)\) 内至少有一个零点，即存在 \(c \in (a, b)\)，使得 \(f(c) = 0\)，这个 \(c\) 也就是方程 \(f(x) = 0\) 的解.

若\(f(a)\cdot f(b){\lt}0\)，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上未必只有一个零点.
若\(f(a)\cdot f(b){\gt}0\)，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上未必没有零点.
函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，零点存在性定理只适用“不变号零点”.
若\(y = f(x)\)在区间\((a, b)\)内有零点，且在区间\((a, b)\)上单调，则\(f(x)\)在\((a, b)\)内有唯一零点.
可借助“\(x \to a\)”，“\(x \to +\infty\)”等符号或者说“\(x\)充分大时”，来说明\(f(x)\)在区间端点值的正负.

介值定理：若函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)连续，则它一定能取到介于最大值和最小值之间的任何一个值.

定义 8. 二分法¶

对于在区间 \([a, b]\) 上图象连续不断且 \(f(a)f(b){\lt}0\) 的函数 \(y=f(x)\)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

给定精确度 \(\varepsilon\)，用二分法求函数 \(y=f(x)\) 零点 \(x_0\) 的近似值的一般步骤如下：

确定零点 \(x_0\) 的初始区间 \([a, b]\)，验证 \(f(a)f(b){\lt}0\).
求区间 \((a, b)\) 的中点 \(c\).
计算 \(f(c)\)，并进一步确定零点所在的区间：
1. 若 \(f(c)=0\)（此时 \(x_0=c\)），则 \(c\) 就是函数的零点；
2. 若 \(f(a)f(c){\lt}0\)（此时 \(x_0\in(a, c)\)），则令 \(b=c\)；
3. 若 \(f(c)f(b){\lt}0\)（此时 \(x_0\in(c, b)\)），则令 \(a=c\).
判断是否达到精确度 \(\varepsilon\)：若 \(\htmlClass{blank}{|a-b|{\lt}\varepsilon}\)，则得到零点近似值 \(a\)（或 \(b\)）；否则重复步骤 2～4.

为了刻画与准确值的接近程度，这里给出了精确度\(\varepsilon\)，由 \(|a-b|{\lt}\varepsilon\) 可知，区间\([a, b]\)中任意一个值都是零点\(x_0\)满足精确度\(\varepsilon\)的近似值.

注意：二分法只能求解函数的变号零点.

结论 7. 常见函数模型与增长速度差异（人教A必修一P119、P150）¶

常见函数模型：一次函数\(y = kx + b\)、二次函数、反比例（分式）函数、分段函数、指数型\(y = ka^{x}\)、对数型\(y = k\log_a x + b\)、幂型\(y = x^{n}\).
两种增长方式：增加量为常数（自变量每增加一个单位，函数值增加固定值）对应一次函数（线性增长）；增长率为常数（每次增长的百分比固定）对应指数函数（指数增长）——设原有量为\(N\)、每次增长率为\(p\)，增长\(x\)次后\(y = N(1 + p)^{x}\).
增长速度比较：当\(a {\gt} 1\)，\(n {\gt} 0\)且\(x\)充分大时，恒有

\[ \log_a x \;\htmlClass{blank}{{\lt}}\; x^{n} \;\htmlClass{blank}{{\lt}}\; a^{x} \]

即对数增长最慢、幂增长居中、指数增长最快（“指数爆炸”）；对数函数\(y = \log_a x\)增长越来越慢，最终增长速度小于任何幂函数.

常见函数¶

定义 1. 一元二次不等式¶

一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式.

一元二次不等式的一般形式是 \(ax^2 + bx + c {\gt} 0 \text{ 或 } ax^2 + bx + c {\lt} 0\)，其中 \(a, b, c\) 均为常数， \(a \neq 0\) .

结论 1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系¶

结论 2. 一元二次不等式的解法¶

解一元二次不等式步骤：先整理为 \(ax^2+bx+c{\gt}0\) 或 \(ax^2+bx+c{\lt}0\)（一般令 \(a{\gt}0\)）；再因式分解或用求根公式求方程 \(ax^2+bx+c=0\) 的根；最后借助 \(y=ax^2+bx+c\) 的开口方向与零点位置写出解集.

若 \(ax^2 + bx + c {\gt} 0(\text{或} {\lt} 0)\) 的解集若已给出，则解集中的端点值 \(x_1, x_2\) 是方程 \(ax^2 + bx + c = 0\) 的根.

三个二次的关系：一元二次函数的零点=一元二次方程的根=一元二次不等式解集的端点.

结论 3. 二次函数最值¶

开口向上的二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c\ (a{\gt}0)\)在区间\([m,n]\)上的最值

结论 4. 二次函数根的分布¶

设\(x_1,x_2\)是实系数一元二次方程\(ax^{2}+bx + c = 0\ (a {\gt} 0)\)的两实根，则\(x_1,x_2\)根的分布情况按如下条件确定：

利用韦达定理：

结论 5. 一元二次不等式恒成立问题¶

设\(f(x)=ax^{2}+bx + c\ (a\neq0)\)

\(f(x){\gt}0\)在\(R\)上恒成立\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} \htmlClass{blank}{a{\gt}0} \\ \htmlClass{blank}{\Delta {\lt}0} \end{cases}\) ； \(f(x){\lt}0\)在\(R\)上恒成立\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} \htmlClass{blank}{a{\lt}0} \\ \htmlClass{blank}{\Delta {\lt}0} \end{cases}\)

\(f(x){\gt}0\;(a {\gt} 0)\) 在\([m,n]\)上恒成立 \(\Leftrightarrow \begin{cases} \htmlClass{blank}{-\dfrac{b}{2a}{\lt}m} \\ \htmlClass{blank}{f(m){\gt}0} \end{cases} \text{或} \begin{cases} \htmlClass{blank}{m\leq -\dfrac{b}{2a}\leq n} \\ \htmlClass{blank}{\Delta = b^{2}-4ac{\lt}0} \end{cases} \text{或} \begin{cases} \htmlClass{blank}{-\dfrac{b}{2a}{\gt}n} \\ \htmlClass{blank}{f(n){\gt}0} \end{cases}\)

\(f(x){\lt}0\;(a {\gt} 0)\) 在\([m,n]\)上恒成立\(\Leftrightarrow \begin{cases} \htmlClass{blank}{f(m){\lt}0} \\ \htmlClass{blank}{f(n){\lt}0} \end{cases}\)

定义 2. 一次分式函数¶

对于一次分式函数\(f(x)=\dfrac{ax + b}{cx + d} \;\left(\dfrac{a}{c}\neq\dfrac{b}{d}\right)\)

定义域：分母不为\(0\)，即\(\left\{x|x\neq-\dfrac{d}{c},x\in R\right\}\)
值域：函数值不能取到\(\dfrac{a}{c}\) ，值域是\(\left\{y|y\neq\dfrac{a}{c},y\in R\right\}\)
对称中心：图象是中心对称图形，对称中心为\(\left(-\dfrac{d}{c},\dfrac{a}{c}\right)\)
对称轴：图像是轴对称图形，有两条对称轴，分别是

\(y - \dfrac{a}{c}=x+\dfrac{d}{c}\) 和\(y - \dfrac{a}{c}=-\left(x+\dfrac{d}{c}\right)\)
单调性：可变形为\(f(x)=\dfrac{\dfrac{a}{c}(cx + d)+b-\dfrac{ad}{c}}{cx + d}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b - \dfrac{ad}{c}}{cx + d}\) ，
1. 当\(b-\dfrac{ad}{c}\)与\(c\)同号时，在\(\left(-\infty,-\dfrac{d}{c}\right)\)和\(\left(-\dfrac{d}{c},+\infty\right)\)上单调递减
2. 当\(b-\dfrac{ad}{c}\)与\(c\)异号时，在\(\left(-\infty,-\dfrac{d}{c}\right)\)和\(\left(-\dfrac{d}{c},+\infty\right)\)上单调递增
图像：利用两线一点法作函数的图象，步骤如下：
1. 找到函数图象的两条渐近线\(x = -\dfrac{d}{c},y=\dfrac{a}{c}\)；
2. 取函数与坐标轴的交点，确定函数图象分布在以渐近线为参照下的一三还是二四象限；
3. 根据反比例函数图象画出草图.

注：研究\(y=\dfrac{A\sin x+B}{C\sin x+D}\)和\(y=\dfrac{Aa^x+B}{Ca^x+D}\)之类的函数值域方法同上.

定义 3. 二次比一次分式函数¶

对于二次分式函数 \(f(x)=\dfrac{ax^2+bx+c}{mx+n}\quad (a\neq 0,\ m\neq 0),\)

通常先用多项式除法化为 \(f(x)=Ax+B+\dfrac{k}{x-h}\quad (k\neq 0),\) 其中 \(x=h\) 为分母为 \(0\) 的点，即 \(h=-\dfrac{n}{m}\)．

定义域：分母不为 \(0\)，即 \(\{x\mid x\neq h,\ x\in\mathbb{R}\}\)．
渐近线：有一条竖直渐近线 \(x=h\)，一条斜渐近线 \(y=Ax+B\)．
对称中心：图象是中心对称图形，对称中心为两条渐近线的交点，即 \(\htmlClass{blank}{(h,Ah+B)}\)．
值域：令 \(y_0=Ah+B\)，则 \(f(x)=y_0+A(x-h)+\dfrac{k}{x-h}\)．

当 \(Ak{\gt}0\) 时，值域为 \(\left(-\infty,y_0-2\sqrt{Ak}\right]\cup\left[y_0+2\sqrt{Ak},+\infty\right)\)；当 \(Ak{\lt}0\) 时，值域为 \(\mathbb{R}\)．
单调性：由 \(f'(x)=A-\dfrac{k}{(x-h)^2}\) 判断．

当 \(Ak{\lt}0\) 时，函数在 \(\left(-\infty,h\right)\) 和 \(\left(h,+\infty\right)\) 上均与 \(A\) 同号单调，即 \(A{\gt}0\) 时均递增，\(A{\lt}0\) 时均递减；

当 \(Ak{\gt}0\) 时，令 \(d=\sqrt{\dfrac{k}{A}}\)，函数在 \(x=h-d,h+d\) 处取得极值，左右两支各有一个极值点．
图像：利用“两线一点法”作图，步骤如下：
1. 先由分母确定竖直渐近线 \(x=h\)，由多项式除法确定斜渐近线 \(y=Ax+B\)；
2. 找到两条渐近线的交点 \((h,Ah+B)\)，即图象的对称中心；
3. 根据 \(Ak\) 的符号判断图象形态：\(Ak{\gt}0\) 时有两个极值点，值域中间断开；\(Ak{\lt}0\) 时两支图象分别在各自区间内单调，值域为 \(\mathbb{R}\)；
4. 取函数与坐标轴的交点或其他特殊点，确定图象大致位置．

定义 4. 二次比二次分式函数¶

对于二次比二次分式函数 \(f(x)=\dfrac{ax^2+bx+c}{px^2+qx+r}\;(a\neq0,\;p\neq0)\)，应先检查分子、分母是否有公因式．若有公因式，可先约分化简，但原分母为 \(0\) 的点仍需从定义域中去掉，约去后的点可能成为图象上的空点．

定义域：由分母不为 \(0\) 确定，即 \(px^2+qx+r\neq0\)．设 \(\Delta_0=q^2-4pr\)，

当 \(\Delta_0{\lt}0\) 时，定义域为 \((-\infty,+\infty)\)；当 \(\Delta_0=0\) 时，定义域为 \(\left(-\infty,-\dfrac{q}{2p}\right)\cup\left(-\dfrac{q}{2p},+\infty\right)\)；当 \(\Delta_0{\gt}0\) 时，设分母的两个实根为 \(x_1,x_2\)，且 \(x_1{\lt}x_2\)，则定义域为 \((-\infty,x_1)\cup(x_1,x_2)\cup(x_2,+\infty)\)．
渐近线：因分子分母次数相同，水平渐近线为 \(y=\dfrac{a}{p}\)．分母的实根对应竖直渐近线，但若该根同时也是分子的根，则该点可能是空点而不是竖直渐近线．
变形：常用多项式除法化为 \(f(x)=\dfrac{a}{p}+\dfrac{(bp-aq)x+(cp-ar)}{p(px^2+qx+r)}\)．图象可看成“常数 \(+\) 一次比二次分式”．
值域：令 \(y=\dfrac{ax^2+bx+c}{px^2+qx+r}\)，移项得 \((a-py)x^2+(b-qy)x+(c-ry)=0\)．对某个 \(y\)，若该方程存在定义域内的实数解，则 \(y\) 可以取到；因此常用判别式法： \(\Delta(y)=(b-qy)^2-4(a-py)(c-ry)\geqslant0\)．若 \(a-py=0\) 时方程退化为一次方程，应单独检验；若存在约分造成的空点，还需判断空点对应的函数值是否被其他点取到．
单调性：一般二次比二次分式不宜直接背结论，可由导数判断，或结合渐近线、零点、空点与特殊点作图分析．
图像特征：图象通常具有一条水平渐近线 \(y=\dfrac{a}{p}\)，并可能具有 \(0\) 条、\(1\) 条或 \(2\) 条竖直渐近线；若有公因式约分，则可能出现空点．

结论 6. 二次分式函数的值域¶

【例】函数\(y = \dfrac{x - 1}{x^{2}-x + 1}(x{\gt}1)\)的最大值为\(\underline{\quad\quad}\).

解法 1（换元法）：像这种“\(\dfrac{\text{一次函数}}{\text{二次函数}}\)”型的分式函数，通用做法是令一次函数部分为\(t\)，再分子分母同除以\(t\). 令\(t = x - 1\)，则\(t{\gt}0\)，\(x = t + 1\)，所以

\[ \begin{aligned} y=\dfrac{t}{(t + 1)^{2}-(t + 1)+1}=\dfrac{t}{t^{2}+t + 1}=\dfrac{1}{t+\dfrac{1}{t}+1}\leq\dfrac{1}{2\sqrt{t\cdot\dfrac{1}{t}}+1}=\dfrac{1}{3} \end{aligned} \]

当且仅当\(t=\dfrac{1}{t}\)，即\(t = 1\)时取等号，此时\(x = 2\)，故函数\(y = \dfrac{x - 1}{x^{2}-x + 1}(x{\gt}1)\)的最大值为\(\dfrac{1}{3}\)

解法 2（判别式法）：若将解析式看成关于\(x\)的方程，则该方程能化为一元二次方程，用判别式研究\(y\)的最值，将\(y = \dfrac{x - 1}{x^{2}-x + 1}\)变形成\(y(x^{2}-x + 1)=x - 1\)，整理得：\(yx^{2}-(y + 1)x + y + 1 = 0\) ①，

当\(y\neq0\)时，把①看成关于\(x\)的一元二次方程，则\(\Delta=(y + 1)^{2}-4y(y + 1)\geq0\)，解得：\(-1\leq y\leq\dfrac{1}{3}\)， \(y_{\max}\)不一定是\(\dfrac{1}{3}\)，还得看\(y\)能否等于\(\dfrac{1}{3}\)，可将\(y = \dfrac{1}{3}\)代回解析式，看能否求出满足题意的\(x\)，由\(\dfrac{1}{3}=\dfrac{x - 1}{x^{2}-x + 1}\)可解得：\(x = 2\)，满足\(x{\gt}1\)，所以函数\(y = \dfrac{x - 1}{x^{2}-x + 1}(x{\gt}1)\)的最大值为\(\dfrac{1}{3}\).

对于“\(\dfrac{\text{二次函数}}{\text{一次函数}}\)”求值域，只需对该的问题取倒数即可.

【例】函数\(y = \dfrac{x^{2}-2x + 2}{x^{2}-x + 1}(x{\gt}1)\)的最小值为\(\underline{\quad\quad}\).

解法 1（分离常数变为一次比二次）：将分子的\(x^{2}\)凑成分母的形式，通过拆项把分子化为一次函数由题意，

\[ \begin{aligned} y=\dfrac{x^{2}-2x + 2}{x^{2}-x + 1}=\dfrac{(x^{2}-x + 1)-(x - 1)}{x^{2}-x + 1}=1-\dfrac{x - 1}{x^{2}-x + 1} \end{aligned} \]

由上一题结论可得\(y_{\min}=1 - \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\).

解法 2（判别式法）：将\(y = \dfrac{x^{2}-2x + 2}{x^{2}-x + 1}\)变形成\(y(x^{2}-x + 1)=x^{2}-2x + 2\)，整理得：\((y - 1)x^{2}+(2 - y)x + y - 2 = 0\)，当\(y\neq1\)时，将该方程看成关于\(x\)的一元二次方程，则\(\Delta=(2 - y)^{2}-4(y - 1)(y - 2)\geq0\)，所以\(\dfrac{2}{3}\leq y\leq2(y\neq1)\)， \(y_{\min}\)不一定是\(\dfrac{2}{3}\)，还得看\(y = \dfrac{2}{3}\)能否成立，可将\(y = \dfrac{2}{3}\)代回解析式，看能否求出满足题意的\(x\)，由\(\dfrac{2}{3}=\dfrac{x^{2}-2x + 2}{x^{2}-x + 1}\)解得：\(x = 2\)，满足\(x{\gt}1\)，所以函数\(y = \dfrac{x^{2}-2x + 2}{x^{2}-x + 1}(x{\gt}1)\)的最小值为\(\dfrac{2}{3}\).

结论 7. 根式分式函数求值域¶

【例】：求\(y=\dfrac{x+A}{\sqrt{x^2+Cx+D}}\)的值域：

方法一：考虑\(y^2=\dfrac{x^2+2Ax+A^2}{x^2+Cx+D} =1+\dfrac{(2A-C)x+(A^2-D)}{x^2+Cx+D}\).

方法二：做代换\(t=x+A\)，那么\(x=t-A\)，

\[ \begin{aligned} y=\dfrac{t}{\sqrt{(t-A)^2+C(t-A)+D}}= & \ \dfrac{t}{\sqrt{t^2+(C-2A)t+A^2-AC+D}} =\pm \dfrac{1}{\sqrt{1+(C-2A)\dfrac{1}{t}+(A^2-AC+D)\dfrac{1}{t^2}}} \end{aligned} \]

其中，\(1+(C-2A)\dfrac{1}{t}+(A^2-AC+D)\dfrac{1}{t^2}\)是一个关于\(\dfrac{1}{t}\) 的二次函数，容易求出值域.

【例】求\(y= \dfrac{Ax-\sqrt{Bx^2+C}}{Ax+\sqrt{Bx^2+C}}\)的值域：

方法一：

\[ \dfrac{Ax-\sqrt{Bx^2+C}}{Ax+\sqrt{Bx^2+C}} = =1-\dfrac{2\sqrt{Bx^2+C}}{Ax+\sqrt{Bx^2+C}} =1-\dfrac{2}{\dfrac{Ax}{\sqrt{Bx^2+C}}+1} =1-\dfrac{2}{\dfrac{\pm A}{\sqrt{B+\dfrac{C}{x^2}}}+1} \]

\(A\)前面的正负号取决于\(x\)的正负.

方法二：

\[ \begin{aligned} y+\dfrac{1}{y}= & \ \dfrac{Ax-\sqrt{Bx^2+C}}{Ax+\sqrt{Bx^2+C}}+ \dfrac{Ax+\sqrt{Bx^2+C}}{Ax-\sqrt{Bx^2+C}} =\ \dfrac{2(A^2+B^2)x^2+2C}{(A^2-B^2)x^2+C} = \dfrac{2(A^2+B^2)}{A^2-B^2}\cdot \dfrac{x^2+\dfrac{C}{A^2+B^2}}{x^2+\dfrac{C}{A^2-B^2}} \\ = & \ \dfrac{2(A^2+B^2)}{A^2-B^2}\cdot \left(1+ \dfrac{\dfrac{C}{A^2+B^2}-\dfrac{C}{A^2-B^2}}{x^2+\dfrac{C}{A^2-B^2}} \right) \end{aligned} \]

先求出\(y+\dfrac{1}{y}\)的范围，再求\(y\)的范围.

方法三：判别式法

\[ \begin{aligned} yAx+y\sqrt{Bx^2+C}=Ax-\sqrt{Bx^2+C} \\ (y+1)\sqrt{Bx^2+C}=Ax(1-y) \\ [B(y+1)^2-A^2(1-y)^2]x^2+C(y+1)^2=0 \\ \Delta =-4[B(y+1)^2-A^2(1-y)^2]C(y+1)^2\geq 0 \end{aligned} \]

先求解方程\((B-A^2)y^2+2(B+A^2)y+(B-A^2)=0\)，然后根据\(C\)的正负决定区间.

定义 5. 常见名词概念¶

放射性物质质量衰减一半所用的时间被称做半衰期.连续两个半衰期并不是一个全衰期（衰减为0所用的时间）

函数值增长为原来两倍所用的时间为“倍增期”. 每翻一番所需的时间也称为倍增期.

复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.

定义 6. 幂运算与幂函数¶

一般地，函数 \(y = x^\alpha\) 叫做幂函数，其中 \(x\) 是自变量，\(\alpha\) 是常数. 例如：\(y = x\)，\(y = x^{2}\)，\(y = x^{-1}\) 等都是幂函数.

定义域:
1. 当\(\alpha\) 为正整数时，定义域为\(R\), 当\(\alpha\) 为零或负整数时，定义域为\(\{x|x\neq0\}\).
2. 当\(\alpha\) 为分数\(\dfrac{m}{n}\)（\(m,n\in Z\)，\(n{\gt}1\)，\(m,n\) 互质）时：
  
  若\(n\) 为偶数，定义域为\([0,+\infty)\)；若\(n\) 为奇数，定义域为\(R\).
运算法则: \(x^{\alpha}\cdot x^{\beta}=x^{\alpha + \beta}\)； \(\dfrac{x^{\alpha}}{x^{\beta}}=x^{\alpha-\beta}\)； \((x^{\alpha})^{\beta}=x^{\alpha\beta}\)（\(x{\gt}0\)，\(\alpha,\beta\in R\)）； \((xy)^{\alpha}=x^{\alpha}y^{\alpha}\)（\(x{\gt}0\)，\(y{\gt}0\)，\(\alpha\in R\)）

性质 1. 幂函数的图象及性质¶

幂函数\(y = x^{\alpha}\) 的图象一定过点\(\htmlClass{blank}{(1,1)}\).
当\(\alpha{\gt}0\) 时：图象过点\((0,0)\)和\((1,1)\)，在\([0,+\infty)\) 上单调递增. 若\(\alpha{\gt}1\)，图象向下凹；若\(0{\lt}\alpha{\lt}1\)，图象向上凸.
当\(\alpha{\lt}0\) 时：图象不过点\((0,0)\)，过点\((1,1)\)，在\((0,+\infty)\) 上单调递减. 图象在第一象限内，向上与\(y\) 轴无限接近，向右与\(x\) 轴无限接近.
在\(x {\gt} 1\)时，幂函数的图像呈现“指大图高”.
若\(\alpha\)为偶数，\(y = x^{\alpha}\)是偶函数；若\(\alpha\)为奇数，\(y = x^{\alpha}\)是奇函数.
设\(\alpha=\dfrac{m}{n},\; x^\alpha =\sqrt[n]{x^{m}}\)（\(m,n\)为互质的整数，\(n{\gt}0\)）

当\(n\)为奇数时：若\(m\)为奇数，\(y = x^{\alpha}\)是奇函数；

若\(m\)为偶数，\(y = x^{\alpha}\)是偶函数.

当\(n\)为偶数时，\(y = x^{\alpha}\)既不是奇函数也不是偶函数.

定义 7. 指数运算与指数函数¶

一般地，函数\(y = a^{x}\)（\(a{\gt}0\)，且\(a\neq1\)）叫做指数函数，其中指数\(x\)是自变量，定义域是\(R\).

运算法则:\ \(a^0 = 1\ (a\neq 0),\ a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\ (a\neq 0,n\in\mathbf{N}^*),\ a^m\cdot a^n = a^{m + n},\ (a^m)^n = a^{mn},\ (ab)^n = a^nb^n\)

\(\text{当}n\text{是奇数时},\sqrt[n]{a^n}=a; \quad \text{当}n\text{是偶数时},\sqrt[n]{a^n}=|a|; \quad a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m},\ a ^ {- \frac {m}{n}} = \dfrac {1}{a ^ {\frac {m}{n}}} = \dfrac {1}{\sqrt [ n ]{a ^ {m}}} (a {\gt} 0,m,n\in\mathbf{N}^*,n {\gt} 1)\)

性质 2. 指数函数的图像与性质¶

定义域\(R\)，值域\((0,+\infty)\)，过定点\(\htmlClass{blank}{(0,1)}\)
当\(a {\gt} 1\)时，\(y = a^{x}\)为增函数，\(a\)值越大，图象向上越靠近\(y\)轴，递增速度越快；当\(0 {\lt} a {\lt} 1\)时，\(y = a^{x}\)为减函数\(a\)值越小，图象向下越靠近\(x\)轴，递减速度越快；
底数对函数\(y = a^{x}(a {\gt} 0\)，且\(a\neq 1)\)图象的影响如图，在第一象限具有“底大图高”的特征；
当\(a {\gt} 0\)且\(a\neq 1\)时，函数\(y = a^{x}\)与函数\(y = \left(\dfrac{1}{a}\right)^{x}\)的图象关于\(y\)轴对称.

定义 8. 对数运算与对数函数¶

一般地，如果\(a^x = N\)（\(a{\gt}0\)，且\(a\neq1\)），那么数\(x\)叫做以\(a\)为底\(N\)的对数，记作\(x = \log_a N\)，其中\(a\)叫做对数的底数，\(N\)叫做真数. 通常，我们将以 \(10\) 为底的对数叫做常用对数，并把 \(\log_{10}N\) 记为 \(\lg N\) . 另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数 \(e=2.71828\cdots\) 为底数的对数，以 \(e\) 为底的对数称为自然对数，并把 \(\log_{e}N\) 记为 \(\ln N\) . 当 \(a {\gt} 0\) ， \(a\neq 1\) 时， \(a^x = N\Leftrightarrow x = \log_aN.\) 负数和 0 没有对数；\(\log_ {a} 1 = 0\), \(\log_ {a} a = 1\).

如果\(a {\gt} 0\)，且\(a\neq 1\)，\(M {\gt} 0\)，\(N {\gt} 0\)，那么：

\(\log_a M+\log_a N=\log_a(M\cdot N)\)； \(\log_a M - \log_a N=\log_a\dfrac{M}{N}\)； \(\log_{a^m}M^n=\dfrac{n}{m}\log_a M\)；\(\lg 2 + \lg 5 = \lg 10 = 1\)

换底公式： \(\log_ {a} b = \htmlClass{blank}{\dfrac {\log_ {c} b}{\log_ {c} a}} (a {\gt} 0, \text {且} a \neq 1; b {\gt} 0; c {\gt} 0, \text {且} c \neq 1).\)

推论：\(\log_a b\cdot\log_b a = \htmlClass{blank}{1}\)，\; \(\log_a b\cdot\log_b c=\htmlClass{blank}{\log_a c}\)，\; \(\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a = 1\); \; \(\log_{a^n}b^m=\htmlClass{blank}{\dfrac{m}{n}\log_a b}\)

一般地，函数 \(y = \log_a x (a {\gt} 0\) ，且 \(a \neq 1)\) 叫做对数函数，其中 \(x\) 是自变量，定义域是 \((0, +\infty)\) .

性质 3. 对数函数的图像和性质¶

图象恒过点\((1,0)\)，因为\(\log_{a}1 = 0\)（\(a {\gt} 0\)且\(a\neq1\)）
当\(a {\gt} 1\)时，函数单调递增，图象在\((0, +\infty)\)上从左到右上升，且在\(x\)轴正半轴上，\(x\)越趋近于\(0\)，函数值越趋近于\(-\infty\)；\(x\)越大，函数值越大.
当\(0 {\lt} a {\lt} 1\)时，函数图象在\((0, +\infty)\)上从左到右下降，且在\(x\)轴正半轴上，\(x\)越趋近于\(0\)，函数值越趋近于\(+\infty\)；\(x\)越大，函数值越趋近于\(-\infty\).
函数\(y = \log_{a}x\)与\(y = \log_{\frac{1}{a}}x\)的图象关于\(x\)轴对称.
当\(x{\gt}1\)时，图像“底大图低”

性质 4. 指数函数与对数函数的联系¶

指数函数 \(y = a^{x} (a {\gt} 0\) ，且 \(a \neq 1\) 与对数函数 \(y = \log_{a} x (a {\gt} 0\) ，且 \(a \neq 1\) 互为反函数，它们的定义域与值域正好互换. 图象关于直线\(y = x\)对称.
函数\(y = a^{x}(a {\gt} 0\)，且\(a\neq 1)\)与\(y = \log_{a}x(a {\gt} 0\)，且\(a\neq 1)\)都是单调函数，都不具有奇偶性.

当\(a {\gt} 1\)时，它们是增函数；当\(0 {\lt} a {\lt} 1\)时，它们是减函数.

定义 9. 自然常数（人教A必修一P110-10）¶

当正整数 \(n\) 无限增大时，数列 \(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\) 的极限定义为自然常数 \(e\)，即：

\[ e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n \]

结论 8. 幂指对比大小¶

关于\(a^b\)与\(b^a \ (a {\gt} b)\)，当\(e {\gt} a {\gt} b {\gt} 0\)时，\(a^b {\gt} b^a\)，当\(a {\gt} b {\gt} e\)时，\(a^b {\lt} b^a\)
\(f(x) = \dfrac{\ln x}{x}\) 先增后减，在\(e\)处取最大值，且\(f(2)=f(4)\)

\[ \begin{aligned} \ln 2 & \approx\htmlClass{blank}{0.693} & \sqrt{2} & \approx \htmlClass{blank}{1.414} & \sqrt[3]{2} & \approx 1.260 & e & \approx \htmlClass{blank}{2.718} & \pi & \approx \htmlClass{blank}{3.142} \\ \ln 3 & \approx \htmlClass{blank}{1.099} & \sqrt{3} & \approx \htmlClass{blank}{1.732} & \sqrt[3]{3} & \approx 1.442 & \sqrt{e} & \approx 1.649 & \pi^2 & \approx 9.870 \\ \ln 5 & \approx \htmlClass{blank}{1.609} & \sqrt{5} & \approx \htmlClass{blank}{2.236} & \sqrt[3]{4} & \approx 1.587 & \frac{1}{e} & \approx 0.368 & \frac{1}{\pi} & \approx 0.318 \\ \ln 7 & \approx 1.946 & \sqrt{6} & \approx 2.449 & \sqrt[3]{5} & \approx 1.710 & e^{-1} & \approx 0.368 & \sqrt{\pi} & \approx 1.772 \\ \ln \pi & \approx 1.145 & \sqrt{7} & \approx 2.646 & \sqrt[3]{6} & \approx 1.817 & e^3 & \approx 20.086 & \pi^3 & \approx 31.006 \end{aligned} \]

定义 10. 高斯取整函数（人教A必修一P73-13）¶

设 \(x \in \mathbb{R}\)，\([x]\) 表示不超过 \(x\) 的最大整数，则称 \(y=[x]\) 为高斯函数.

由定义知道 \([x] \leq x\)，故 \(x-[x] \geq 0\)，称 \([x]\) 为 \(x\) 的整数部分，称 \(x-[x]\) 为 \(x\) 的小数部分，记作 \(\{x\}\).

性质 5. 高斯取整函数与小数函数的图象¶

取整函数 \(y=[x]\)
1. 定义域：\(x \in \mathbb{R}\)；值域：\(y \in \mathbb{Z}\)
2. 图象：台阶型线段.
小数函数 \(y=\{x\}=x-[x]\)
1. 定义域：\(x \in \mathbb{R}\)；值域：\(y \in [0,1)\)
2. 周期性：\(T=1\).

性质 6. 高斯取整函数的性质¶

对任意的 \(x \in \mathbb{R}\)，都有 \(x=[x]+\{x\}\) 且 \(0 \leq \{x\} {\lt} 1\).
对任意的 \(x \in \mathbb{R}\)，都有 \(x-1 {\lt} [x] \leq x {\lt} [x]+1\).
若 \(x_1 \leq x_2\)，则 \([x_1] \leq [x_2]\)（单调不减）.
对任意的 \(x \in \mathbb{R}\) 和 \(n \in \mathbb{Z}\)，都有 \([n+x]=n+[x]\).
\([x]+[y] \leq [x+y]\)； \(\{x\}+\{y\} \geq \{x+y\}\).

推广：\([x_1]+\dots+[x_n] \leq [x_1+\dots+x_n], \quad \{x_1\}+\dots+\{x_n\} \geq \{x_1+\dots+x_n\}\)
若 \(x,y \geq 0\)，则 \([xy] \geq [x][y]\).
对任意的 \(x \in \mathbb{R}\) 和 \(n \in \mathbb{N}_+\)，都有 \(\left[\dfrac{[x]}{n}\right] = \left[\dfrac{x}{n}\right]\).
\([-x] = \begin{cases} -[x], & x \in \mathbb{Z} \\ -[x]-1, & x \notin \mathbb{Z} \end{cases}\)

定义 11. 最值函数¶

设 \(a, b \in \mathbb{R}\)，最小值函数和最大值函数分别定义为：

\[ \min\{a,\,b\}= \begin{cases} a, & a \leq b, \\ b, & a {\gt} b, \end{cases} \qquad \max\{a,\,b\}= \begin{cases} a, & a \geq b, \\ b, & a {\lt} b. \end{cases} \]

直观上来说，\(\min\{a,\,b\}\) 表示 \(a\) 和 \(b\) 中较小的那个数；\(\max\{a,\,b\}\) 表示 \(a\) 和 \(b\) 中较大的那个数.

与绝对值的关系： \(\max\{a, b\} = \dfrac{a + b + |a - b|}{2} \qquad \min\{a, b\} = \dfrac{a + b - |a - b|}{2}\)
不等关系：\(\max\{a,b\} \geq a, \quad \max\{a,b\} \geq b\)； \(\min\{a,b\} \leq a, \quad \min\{a,b\} \leq b\).
图象作法：

函数 \(y = \max\{f(x), g(x)\}\)，对于任意 \(x\)，取两个图象中位置较高（上方）的部分作为函数图象.

函数 \(y = \min\{f(x), g(x)\}\)，对于任意 \(x\)，取两个图象中位置较低（下方）的部分作为函数图象.

定义 12. 类反双曲正切函数¶

\(f(x)=\log_{a}\dfrac{m + x}{m - x}\)；\(f(x)=\log_{a}\dfrac{m - x}{m + x}\)；

反双曲正切函数是双曲正切函数\(y = \tanh x=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\)的反函数，

记为\(y = \text{arctanh}x\) ，根据反函数求解方法，可推出

\[ y = \text{arctanh}x=\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{1 + x}{1 - x}\quad, x\in(-1,1) \]

奇偶性：它是奇函数，满足\(\text{arctanh}(-x)=-\text{arctanh}x\)

单调性：在定义域\((-1,1)\)内是单调递增函数

导数：其导数为\((\text{arctanh}x)'=\dfrac{1}{1 - x^{2}}\)，\(x\in(-1,1)\)

定义 13. 类反双曲正弦函数¶

\(f(x)=\log_{a}(\sqrt{m^{2}x^{2}+1}+mx)\)； \(f(x)=\log_{a}(\sqrt{m^{2}x^{2}+1}-mx)\)；

反双曲正弦是双曲正弦函数的反函数，是一种基本的反双曲函数，

记为\(y = \text{arcsinh}x\)或\(y = \text{asinh}x\) ，定义域和值域均为\(R\)，其解析式为

\[ y = \text{arsinh}x=\ln(\sqrt{x^{2}+1}+x ) \]

奇偶性：它是奇函数，满足\(\text{arsinh}(-x)=-\text{arsinh}x\)

单调性：在整个定义域\((-\infty,+\infty)\)内单调递增

导数：其导数为\((\text{arsinh}x)'=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\)

定义 14. 类双曲函数¶

\(f(x)=\dfrac{a^{x}+1}{a^{x}-1}\) \(f(x)=\dfrac{a^{x}-1}{a^{x}+1}\) \(f(x)=a^{x}+a^{-x}\) \(f(x)=a^{x}-a^{-x}\)

双曲正弦：\(\sinh x=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}\)定义域为\(R\)，值域为\(R\)

双曲余弦：\(\cosh x=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}\)定义域为\(R\)，值域为\([1,+\infty)\)

双曲正切：\(\tanh x=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\) 定义域为\(R\)，值域为\((-1,1)\)

奇偶性：双曲正弦是奇函数，双曲余弦是偶函数，双曲正切是奇函数

单调性：双曲正弦：在\((-\infty,+\infty)\)上单调递增

双曲余弦：在\((-\infty,0)\)上递减，在\((0,+\infty)\)上递增

双曲正切：在\((-\infty,+\infty)\)上单调递增

注: 这类函数常考虑平方或整体换元.

结论 9. 含指数式的函数的对称中心¶

函数\(f(x) = \dfrac{k}{a^x + t} \ (t \neq 0)\) 的对称中心为 \(\left( \log_a |t|, \dfrac{k}{2t} \right)\).

证明：当 \(t {\gt} 0\) 时， \(f(x) = \dfrac{k}{a^x + t} = \dfrac{k}{t(a^{x - \log_a t} + 1)} = \dfrac{k}{t} \left( \dfrac{1}{a^{x - \log_a t} + 1} - \dfrac{1}{2} \right) + \dfrac{k}{2t}\)

因为 \(y = \dfrac{1}{a^x + 1} - \dfrac{1}{2}\) 对称中心为 \((0, 0)\)，所以 \(f(x) = \dfrac{k}{a^x + t}\) 的对称中心为 \(\left( \log_a t, \dfrac{k}{2t} \right) = \left( \log_a |t|, \dfrac{k}{2t} \right)\).

当 \(t {\lt} 0\) 时， \(f(x) = \dfrac{k}{a^x + t} = \dfrac{k}{-t(a^{x - \log_a (-t)} - 1)} = \dfrac{k}{-t} \left( \dfrac{1}{a^{x - \log_a (-t)} - 1} + \dfrac{1}{2} \right) + \dfrac{k}{2t}\)

因为 \(y = \dfrac{1}{a^x - 1} + \dfrac{1}{2}\) 对称中心为 \((0, 0)\)，所以 \(f(x) = \dfrac{k}{a^x + t}\) 的对称中心为 \(\left( \log_a (-t), \dfrac{k}{2t} \right) = \left( \log_a |t|, \dfrac{k}{2t} \right)\).
函数 \(f(x) = \dfrac{p a^x + q}{r a^x + s} \ (ps - qr \neq 0, rs \neq 0)\) 的对称中心为 \(\left( \log_a \left| \dfrac{s}{r} \right|, \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{p}{r} + \dfrac{q}{s} \right) \right)\).

证明：(分离常数变为上一类型)

\[ f(x) = \dfrac{p a^x + q}{r a^x + s} = \dfrac{p}{r} \cdot \dfrac{a^x + \dfrac{q}{p}}{a^x + \dfrac{s}{r}} = \dfrac{p}{r} \left( 1 + \dfrac{\dfrac{q}{p} - \dfrac{s}{r}}{a^x + \dfrac{s}{r}} \right) = \dfrac{qr - sp}{r^2 \left( a^x + \dfrac{s}{r} \right)} + \dfrac{p}{r} \]

因为 \(y = \dfrac{k}{a^x + t} \ (t \neq 0)\) 的对称中心为 \(\left( \log_a |t|, \dfrac{k}{2t} \right)\)，所以 \(f(x) = \dfrac{p a^x + q}{r a^x + s} \ (ps - qr \neq 0, rs \neq 0)\) 的对称中心为 \(\left( \log_a \left| \dfrac{s}{r} \right|, \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{p}{r} + \dfrac{q}{s} \right) \right)\).
函数 \(f(x) = p a^x + q a^{-x} + r \ (pq {\lt} 0)\) 的对称中心为 \(\left( \dfrac{1}{2} \log_a \left( -\dfrac{q}{p} \right), r \right)\).

证明：不妨设 \(f(x) = p a^x + q a^{-x} + r \ (pq {\lt} 0)\) 的对称中心为 \(\left( \dfrac{m}{2}, \dfrac{n}{2} \right)\)，则有

\[ f(x) + f(m - x) = \left( p a^x + q a^{-x} + r \right) + \left( p a^{m - x} + q a^{x - m} + r \right) = n \]

\[ \Rightarrow p \left( a^x + \dfrac{a^m}{a^x} \right) + q \left( \dfrac{1}{a^x} + \dfrac{a^x}{a^m} \right) = 2n - r \]

\[ \Rightarrow (p a^m + q) a^{2x} + (p a^m + q) a^m = a^m (n - 2r) a^x \]

上式对定义域内的任意 \(x\) 恒成立，故 \(\begin{cases} p a^m + q = 0 \\ n - 2r = 0 \end{cases}\) 解得 \(m = \log_a \left( -\dfrac{q}{p} \right)\)，\(n = 2r\)，

即函数 \(f(x) = p a^x + q a^{-x} + r \ (pq {\lt} 0)\) 的对称中心为 \(\left( \dfrac{1}{2} \log_a \left( -\dfrac{q}{p} \right), r \right)\).

结论 10. 含对数式的函数的对称中心¶

函数 \(f(x) = \log_a \dfrac{p x + q}{r x + s} \ (ps - qr \neq 0, rs \neq 0)\) 的对称中心为 \(\left( -\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{q}{p} + \dfrac{s}{r} \right), \log_a \left| \dfrac{p}{r} \right| \right)\)

证明：不妨设 \(f(x) = \log_a \dfrac{p x + q}{r x + s} \ (ps - qr \neq 0, rs \neq 0)\) 的对称中心为 \(\left( \dfrac{m}{2}, \dfrac{n}{2} \right)\)，则有

\[ f(x) + f(m - x) = n \Rightarrow \log_a \dfrac{p x + q}{r x + s} + \log_a \dfrac{p(m - x) + q}{r(m - x) + s} = n \Rightarrow \dfrac{p x + q}{r x + s} \cdot \dfrac{p(m - x) + q}{r(m - x) + s} = a^n \]

\[ \Rightarrow p^2 x^2 - p^2 m x - q(p m + q) = a^n r^2 x^2 - a^n r^2 m x - a^n s(r m + s) \]

上式对定义域内的任意 \(x\) 恒成立，故 \(\begin{cases} p^2 = a^n r^2 \\ q(p m + q) = a^n s(r m + s) \end{cases}\)

由 \(p^2 = a^n r^2\)，得 \(a^n = \left( \dfrac{p}{r} \right)^2\)，因此 \(n = \log_a \left( \dfrac{p}{r} \right)^2 = 2 \log_a \left| \dfrac{p}{r} \right|\). 由 \(q(p m + q) = a^n s(r m + s)\)，代入 \(a^n = \dfrac{p^2}{r^2}\)得：

\[ m = \dfrac{\dfrac{p^2}{r^2} s^2 - q^2}{p q - \dfrac{p^2}{r^2} s r} = \dfrac{p^2 s^2 - q^2 r^2}{p q r^2 - p^2 s r^2} = \dfrac{(p s - q r)(p s + q r)}{p r^2 (q - p s)} = -\dfrac{p s + q r}{p r} = -\left( \dfrac{q}{p} + \dfrac{s}{r} \right) \]

所以 \(f(x) = \log_a \dfrac{p x + q}{r x + s} \ (ps - qr \neq 0, rs \neq 0)\) 的对称中心为 \(\left( -\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{q}{p} + \dfrac{s}{r} \right), \log_a \left| \dfrac{p}{r} \right| \right)\).

特殊形式函数¶

定义 1. 分段函数¶

在定义域的不同部分，用不同解析式表示的函数称为分段函数．研究分段函数时，关键是先看自变量落在哪一段，再代入对应解析式．

定义域：各段自变量取值范围的并集，特别注意分段点属于哪一段．
函数值：求 \(f(a)\) 时，先判断 \(a\) 所在区间，再代入该段解析式．
值域：分别求每一段在对应区间上的值域，再取并集；端点是否取到要看该段区间是否包含端点．
单调性：判断分段函数的单调性时，不能只看每一段的单调性，还要看分段点处函数值的衔接情况．

若函数要在整个定义域上单调递增，则各段都应递增，且后一段的函数值不能低于前一段末端附近的函数值；

若函数要在整个定义域上单调递减，则各段都应递减，且后一段的函数值不能高于前一段末端附近的函数值．
分段点衔接：设分段点为 \(x=a\)，左侧区间上的函数为 \(f_1(x)\)，右侧区间上的函数为 \(f_2(x)\)．若判断整体递增，应比较左侧靠近 \(a\) 的函数值、\(f(a)\) 以及右侧靠近 \(a\) 的函数值是否保持“从左到右不下降”；若判断整体递减，则应保持“从左到右不上升”．
含参数单调性：若分段函数中含参数，通常先分别保证每一段满足所需单调性，再利用分段点处的衔接关系列出关于参数的不等式．这类题的关键往往不在每段内部，而在分段点处的大小关系．
零点与不等式：在每一段内分别解方程或不等式，所得结果必须满足该段的取值条件，最后取并集．
图象：分段作图，注意分段点处用实心点、空心点区分是否取到．利用图象判断单调性时，要看整体从左到右的变化趋势，而不是只看单独某一段．

注：分段函数单调性最容易错在分段点．即使每一段都递增，整体也不一定递增；即使每一段都递减，整体也不一定递减．判断时要做到“先看每段，再看衔接”．

定义 2. 复合函数¶

一般地，若 \(u=g(x)\)，\(y=f(u)\)，则 \(y=f(g(x))\) 称为由 \(y=f(u)\) 与 \(u=g(x)\) 复合而成的复合函数，其中 \(u=g(x)\) 称为内层函数，\(y=f(u)\) 称为外层函数．研究复合函数时，通常按“先内后外”的顺序分析．

对于复合函数 \(F(x)=f(g(x))\)，常从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性等角度研究．

定义域：先保证内层函数 \(g(x)\) 有意义，再保证 \(g(x)\) 的取值落在外层函数 \(f(x)\) 的定义域内．若 \(f(x)\) 的定义域为 \(D\)，则 \(f(g(x))\) 的定义域由 \(g(x)\in D\) 及 \(g(x)\) 本身有意义共同确定．
抽象函数定义域：定义域永远指自变量 \(x\) 的取值范围；对于 \(f(\cdots)\) 型函数，要抓住“括号整体的范围恒不变”．例如已知 \(f(2x+1)\) 的定义域为 \([0,3]\)，则括号整体 \(2x+1\) 的范围为 \([1,7]\)，再求 \(f(x-1)\) 的定义域时，只需令 \(x-1\in[1,7]\)．
值域：求 \(f(g(x))\) 的值域，一般先求内层函数 \(u=g(x)\) 的值域，再在这个范围内求外层函数 \(y=f(u)\) 的值域，即“先内后外”．
单调性：复合函数单调性遵循“同增异减”．若 \(g(x)\) 在区间 \(I\) 上单调，且 \(f(u)\) 在 \(g(I)\) 上单调，则内外两层单调性相同时，\(f(g(x))\) 在 \(I\) 上单调递增；内外两层单调性相反时，\(f(g(x))\) 在 \(I\) 上单调递减．
奇偶性：复合函数奇偶性遵循“有偶则偶，全奇才奇”．判断 \(F(x)=f(g(x))\) 的奇偶性时，先看定义域是否关于原点对称．若 \(g(x)\) 为偶函数，则 \(F(x)=f(g(x))\) 为偶函数；若 \(g(x)\) 为奇函数且 \(f(x)\) 为奇函数，则 \(F(x)\) 为奇函数；若 \(g(x)\) 为奇函数且 \(f(x)\) 为偶函数，则 \(F(x)\) 为偶函数．
对称性：若 \(g(a+x)=g(a-x)\)，则 \(F(x)=f(g(x))\) 关于直线 \(x=a\) 对称；特别地，\(f(|x|)\) 与 \(f(-|x|)\) 都是偶函数．若外层函数 \(f(x)\) 本身具有对称性，也可结合内层函数的取值关系判断 \(F(x)\) 的对称性．
周期性：若内层函数 \(g(x)\) 的周期为 \(T\)，即 \(g(x+T)=g(x)\)，则 \(F(x)=f(g(x))\) 也以 \(T\) 为周期；但 \(F(x)\) 的最小正周期不一定等于 \(g(x)\) 的最小正周期，需结合外层函数的性质判断．
常见结论：无论 \(f(x)\) 是什么函数，\(f(|x|)\) 和 \(f(-|x|)\) 都是偶函数；若 \(f(x)\) 为奇函数或偶函数，则 \(|f(x)|\) 是偶函数；若 \(g(x)\) 为周期函数，则 \(f(g(x))\) 通常具有周期性．

注：研究复合函数时，先分清内层与外层：求定义域看括号范围，求值域先内后外，判单调性用“同增异减”，判奇偶性先看定义域是否关于原点对称．

性质 1. 复合函数的零点¶

复合函数零点问题的本质是解方程 \(f(g(x))=0\)，一般先求外层函数 \(f(u)\) 的零点，再令内层函数 \(g(x)\) 等于这些零点．

基本方法：若 \(f(u)=0\) 的根为 \(u_1,u_2,\cdots,u_n\)，则 \(f(g(x))=0\) 等价于 \(g(x)=u_1\) 或 \(g(x)=u_2\) 或 \(\cdots\) 或 \(g(x)=u_n\)，再分别求解．
零点个数：若已知 \(f(u)\) 的零点个数，还要判断每个零点 \(u_i\) 是否能被 \(g(x)\) 取到，以及方程 \(g(x)=u_i\) 有几个解．因此 \(f(g(x))\) 的零点个数不仅取决于 \(f(x)\)，也取决于 \(g(x)\) 的值域和图象．
图象理解：方程 \(f(g(x))=0\) 可理解为先找出 \(f(u)\) 与 \(u\) 轴的交点，再看 \(g(x)\) 的图象与水平直线 \(y=u_i\) 的交点个数．
常见情形：若 \(f(u)\) 只有一个零点 \(u_0\)，则 \(f(g(x))\) 的零点由方程 \(g(x)=u_0\) 决定；若 \(g(x)\) 的值域不包含 \(u_0\)，则 \(f(g(x))\) 无零点．

注：复合函数零点不要直接展开硬算，应先“外层找零点，内层找原像”．

定义 3. 抽象函数¶

没有直接给出具体解析式，而是通过定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性或函数关系式来描述的函数，称为抽象函数．

抽象函数问题的核心不是直接求解析式，而是从题设关系中提取函数性质．常用方法有赋值法、换元法、对称性分析、周期性分析和单调性转化．

赋值法

因为没有函数的具体表达式，所以函数的很多性质不明显．解这类问题可以通过化抽象为具体的方法，即赋值法，经过运算与推理，最后得到结论．

题目中关键条件常含有 \(f(x + y)\)，\(f(xy)\)，\(f\left( \dfrac{x}{y} \right)\)，\(f(x-y)\)，\(f(ax+b)\) 等，为了使未知量尽可能少，常采用的赋值手段是令 \(x = y\)，\(x = -y\)，\(x = \dfrac{1}{y}\)，\(x = y = 0\) 及 \(x = y = 1\) 等，即通过两个自变量“相等”“相反”“互为倒数”解决问题．

另外，解题过程中，常常先令 \(x = y = 0\)，或 \(x = y = 1\) 求出 \(f(0)\)，\(f(1)\)，以便进一步探索求值．若关系式中出现乘积 \(xy\)，常优先求 \(f(1)\)，\(f(-1)\)；若关系式中出现和 \(x+y\)，常优先求 \(f(0)\)．

常见赋值方向：求 \(f(0)\)，常令 \(x=y=0\)，或令 \(x+y=0\)；求 \(f(1)\)，常令 \(x=y=1\)，或令 \(xy=1\)；求 \(f(-x)\)，常令 \(y=-1\)，或令 \(x+y=0\)；求周期，常尝试把 \(x\) 换成 \(x+a\)，或由关系式推出 \(f(x+a)=\pm f(x)\)；求特殊函数值，常围绕已知值和所求值构造代入，使式子中出现目标函数值．
奇偶性

证明奇偶性时，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义和赋值的方法找到 \(f(-x)\) 与 \(f(x)\) 的关系．若 \(f(-x)=f(x)\)，则 \(f(x)\) 为偶函数；若 \(f(-x)=-f(x)\)，则 \(f(x)\) 为奇函数．

对于 \(f(x+y)\) 形式的关系式，一般先求出 \(f(0)\)，再令 \(x+y=0\)；对于 \(f(xy)\) 形式的关系式，一般先求出 \(f(1)\)，\(f(-1)\)，再令 \(y=-1\)，从而研究 \(f(-x)\) 与 \(f(x)\) 的关系．

特别地，若 \(f(x)\) 是奇函数，且 \(0\) 在定义域内，则 \(f(0)=0\)．
单调性

抽象函数判断单调性时，通常利用定义：任取 \(x_1{\lt}x_2\)，通过研究 \(f(x_2)-f(x_1)\) 的符号来判断．若 \(f(x_2)-f(x_1){\gt}0\)，则函数单调递增；若 \(f(x_2)-f(x_1){\lt}0\)，则函数单调递减．

若给出的是“和型”抽象函数 \(f(x+y)=\cdots\)，判断符号时常变形为

\(f(x_2)-f(x_1)=f((x_2-x_1)+x_1)-f(x_1)\)，或 \(f(x_2)-f(x_1)=f(x_2)-f((x_1-x_2)+x_2)\)，

其中 \(x_2-x_1{\gt}0\)，可利用题中对正数范围内函数值的条件判断符号．

若给出的是“积型”抽象函数 \(f(xy)=\cdots\)，判断符号时常变形为

\(f(x_2)-f(x_1)=f\left(x_1\cdot\dfrac{x_2}{x_1}\right)-f(x_1)\)，或 \(f(x_2)-f(x_1)=f(x_2)-f\left(x_2\cdot\dfrac{x_1}{x_2}\right)\)，

其中常需要结合 \(x_1,x_2\) 的正负范围，判断 \(\dfrac{x_2}{x_1}\) 或 \(\dfrac{x_1}{x_2}\) 的范围．
多函数关系式

若题目同时出现 \(f(x)\)，\(g(x)\) 等多个函数，且给出类似 \(f(x)+g(a-x)=c\)，\(g(x)-f(b-x)=d\) 的关系式，常先通过换元消去其中一个函数，得到关于单个函数的关系式，再分析其周期性、对称性或函数值．

处理这类问题的常用思路是：先观察两个关系式中括号的对应关系，再通过把 \(x\) 换成 \(a-x\)，\(b-x\)，\(x+a\) 等形式，使两个式子中出现相同的函数项，从而相加、相减或代入消元．

结论 1. 常见抽象函数模型¶

函数拓展¶

定义 1. 凹函数与凸函数¶

代数定义

凹函数：设函数\(f(x)\)在区间\(I\)上有定义，若对\(I\)中的任意两点\(x_1\)、\(x_2\)和任意\(\lambda\in(0,1)\) ，都有

\[ f(\lambda x_1+(1 - \lambda)x_2)\leq\lambda f(x_1)+(1 - \lambda)f(x_2) \]

，则称\(f(x)\)为\(I\)上的凹函数.若不等号严格成立，即“\({\lt}\)”号成立，则称\(f(x)\)在\(I\)上是严格凹函数.

凸函数：若对\(I\)中的任意两点\(x_1\)、\(x_2\)和任意\(\lambda\in(0,1)\) ，都有\(f(\lambda x_1+(1 - \lambda)x_2)\geq\lambda f(x_1)+(1 - \lambda)f(x_2)\)，

则称\(f(x)\)为\(I\)上的凸函数.若不等号严格成立，即“\({\gt}\)”号成立，则称\(f(x)\)在\(I\)上是严格凸函数 .
特殊点定义（人教A必修一P101-8）

凹函数：设\(f(x)\)在区间\(D\)上连续，如果对\(D\)上任意两点\(a\)、\(b\)恒有\(f\left(\dfrac{a + b}{2}\right)\htmlClass{blank}{{\lt}}\dfrac{f(a)+f(b)}{2}\) .

凸函数：设\(f(x)\)在区间\(D\)上连续，如果对\(D\)上任意两点\(a\)、\(b\)恒有\(f\left(\dfrac{a + b}{2}\right){\gt}\dfrac{f(a)+f(b)}{2}\) .
几何定义

凹函数：在函数\(f(x)\)的图象上取任意两点，函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方.

凸函数：在函数\(f(x)\)的图象上取任意两点，函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的上方 .

性质 1. 凹凸性与导数¶

若函数\(f(x)\)在区间\(I\)上可导，则

\(f(x)\text{是凹函数} \iff f'(x)\text{在区间I上单调递增}\) \(f(x)\text{是凸函数} \iff f'(x)\text{在区间I上单调递减}\)
若函数\(f(x)\)在区间\(I\)上二阶可导，则

\(f(x)\text{是凹函数} \iff f''(x)\text{在区间I上非负} \iff f''(x)\geq 0 \text{在区间I上恒成立}\)

\(f(x)\text{是凸函数} \iff f''(x)\text{在区间I上非正} \iff f''(x)\leq 0 \text{在区间I上恒成立}\)

若\(f''(x){\gt}0\)，则\(f(x)\)为严格凹函数；若\(f''(x){\lt}0\)，则\(f(x)\)为严格凸函数.
凹函数图像上任意一点的切线位于函数图像下方（严格凹函数时，除切点外，切线严格位于函数图像下方）

凸函数图像上任意一点的切线位于函数图像上方（严格凸函数时，除切点外，切线严格位于函数图像上方）

证明：设切点为 \(x_0\)，令 \(F(x)=f(x)-[f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)]\)，则 \(F(x_0)=0\)，\(F'(x)=f'(x)-f'(x_0)\).

若 \(f\) 为凹函数，则 \(f''(x)\geqslant0\)，所以 \(f'(x)\) 单调递增. 当 \(x{\lt}x_0\) 时，\(F'(x)\leqslant0\)；当 \(x{\gt}x_0\) 时，\(F'(x)\geqslant0\). 因此 \(F(x)\) 在 \(x_0\) 处取最小值，故 \(F(x)\geqslant0\)，即切线位于函数图像下方.

若 \(f\) 为凸函数，则 \(f''(x)\leqslant0\)，所以 \(f'(x)\) 单调递减. 同理 \(F(x)\) 在 \(x_0\) 处取最大值，故 \(F(x)\leqslant0\)，即切线位于函数图像上方.
凹凸性与拐点：函数图象上使凹凸性发生改变的点称为拐点。

拐点通常出现在 \(f''(x)=0\) 或 \(f''(x)\) 不存在的点处，但这些点不一定都是拐点。判断时应检验该点两侧的凹凸性是否发生改变；若 \(f''(x)\) 在该点两侧异号，则该点为拐点。

定义 2. 琴生（Jensen）不等式¶

凹函数：设\(f(x)\)为凹函数，则

\[ f(\dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n})\htmlClass{blank}{\leq}\dfrac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots + f(x_n)}{n} \]

加权形式为\(f(\sum_{i = 1}^{n}\lambda_ix_i)\leq\sum_{i = 1}^{n}\lambda_if(x_i)\)，其中\(\lambda_i{\gt}0 (i = 1,2,\cdots,n)\)，且\(\sum_{i = 1}^{n}\lambda_i = 1\).

凸函数：设\(f(x)\)为凸函数，则

\[ \htmlClass{blank}{f(\dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n})\geq\dfrac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots + f(x_n)}{n}} \]

加权形式为\(f(\sum_{i = 1}^{n}\lambda_ix_i)\geq\sum_{i = 1}^{n}\lambda_if(x_i)\)，其中\(\lambda_i{\gt}0 (i = 1,2,\cdots,n)\)，且\(\sum_{i = 1}^{n}\lambda_i = 1\).

定义 3. 倒性函数的定义¶

函数 \(f\) 的定义域为 \(I\)，且对于任意的 \(x \in I\) 都有 \(x^{-1} \in I\).

若函数 \(f\) 满足 \(f(x) = -f(x^{-1})\)，则称 \(f\) 是倒负函数，具有倒负性.

若函数 \(f\) 满足 \(f(x) = f(x^{-1})\)，则称 \(f\) 是倒正函数，具有倒正性.

这样的定义在形式上与函数的奇偶性相似. 常函数 \(f(x) = 0\) 既是倒负函数，也是倒正函数. 我们定义函数的倒负性和倒正性统称为倒性，这样的函数叫做倒性函数.

定理 1. 一般函数分解¶

函数 \(f\) 的定义域为 \(I\)，且对于任意的 \(x \in I\) 都有 \(x^{-1} \in I\)，那么唯一存在倒负函数 \(g\) 和倒正函数 \(h\)，满足

\[ f(x) = g(x) + h(x) \]

证明：由题意得 \(\begin{cases} g(x) = -g(x^{-1}) \\ h(x) = h(x^{-1}) \\ g(x) + h(x) = f(x) \end{cases}\) 由三式得 \(g(x^{-1}) + h(x^{-1}) = f(x^{-1})\)

把一二式代入并将其与三式联立得 \(\begin{cases} g(x) + h(x) = f(x) \\ -g(x) + h(x) = f(x^{-1}) \end{cases}\) 解得 \(\begin{cases} g(x) = \dfrac{f(x) - f(x^{-1})}{2} \\ h(x) = \dfrac{f(x) + f(x^{-1})}{2} \end{cases}\)

根据刚刚的求解过程，这样的解是存在且唯一的，这就完成了证明.

定理 2. 多项式函数的倒性判定¶

满足定义域限制的多项式函数 \(f\) 是倒负函数，当且仅当对于 \(f\) 的所有幂次 \(n\)，它的 \(n\) 次项系数和 \(-n\) 次项系数互为相反数；同理，多项式函数 \(f\) 是倒正函数，当且仅当对于它所有的幂次 \(n\)，它的 \(n\) 次项系数和 \(-n\) 次项系数相等.

定理 3. 最大最小值之和及加常数模型¶

对于倒负函数 \(f\)，类似于奇函数，我们有： \(1 \in I \implies f(1) = 0 \qquad -1 \in I \implies f(-1) = 0\)

因为 \(\pm 1\) 的相反数是它们本身，所以 \(\pm 1\) 处的函数值必为 \(0\).

同样的，若倒负函数 \(f\) 存在最大值和最小值，则必有： \(f_{\max} + f_{\min} = 0 = f(1) = f(-1)\)

那么，若函数 \(h(x) = f(x) + c\) 即倒负函数加一常数，则有结论： \(h_{\max} + h_{\min} = 2c = 2h(1) = 2h(-1)\)

结论 1. 常见倒性函数（人教A必修一P100-3）¶

几个基本倒负函数：

\(f(x) = x^t - x^{-t} \quad f(x) = \dfrac{x^t + x^{-t}}{x^t - x^{-t}} \quad f(x) = \dfrac{x^t - x^{-t}}{x^t + x^{-t}} \quad f(x) = \dfrac{1 + x^t}{1 - x^t} \quad f(x) = \dfrac{1 - x^t}{1 + x^t}\)

\(f(x) = \ln x \quad f(x) = \ln |x|\)

注意倒负函数的相反数仍是倒负函数.
几个基本倒正函数： \(f(x) = C \quad f(x) = x^t + x^{-t} \quad f(x) = |\ln x|\)

其他可视作这些基本函数的四则运算及和奇偶函数等的复合.

结论 2. 倒性与其他性质的同构转化¶

\(f(x) = kx f\left( \dfrac{1}{x} \right)\) 型：即对任意 \(xy = 1\) 都有 \(f(x) = kx f(y)\)，得 \(\begin{cases} f(x) = kx f(y) \\ f(y) = ky f(x) \end{cases}\)

两式相减，得 \((ky + 1)f(x) = (kx + 1)f(y)\)，也即 \(\dfrac{f(x)}{kx + 1} = \dfrac{f(y)}{ky + 1}\)

于是构造函数 \(g(x) = \dfrac{f(x)}{kx + 1}\)，可以得到 \(g(x) = g\left( \dfrac{1}{x} \right)\)，因此 \(g\) 是倒正函数，完成性质的同构转化.

题型¶

函数概念、定义域与解析式¶

题型 1. 具体函数定义域¶

题型识别： 这类题直接给出函数解析式，要求求定义域. 解析式中常含偶次根式、分式、对数、零次幂、正切函数，或几种限制条件同时出现.

核心思路： 定义域就是使解析式有意义的自变量取值集合. 先分别列出每一处限制条件，再求这些条件的交集.

解题步骤：

根式看被开方数：偶次根式要求根号内非负；
对数看真数和底数：真数大于 \(0\)，底数大于 \(0\) 且不等于 \(1\)；
分式看分母：分母不为 \(0\)；
零次幂看底数：底数不为 \(0\)；正切函数看角：角不等于 \(k\pi+\dfrac{\pi}{2}\)；
将所有条件联立，求交集，并用区间或集合形式写出结果.

易错点：

只处理根式或对数，漏掉分母不为 \(0\)；
把定义域写成若干条件而没有化成集合或区间；
忽略对数底数的限制；
端点开闭处理错误.

方法反思： 具体函数定义域题不难，关键是“条件列全、交集求准、形式写规范”. 若多个限制条件叠加，不要凭直觉删区间，应逐条取交集.

题型 2. 抽象函数定义域¶

题型识别： 题目给出 \(f(g(x))\) 的定义域，要求求 \(f(h(x))\)、\(f(x+a)\)、\(f(ax+b)\) 等函数的定义域；或给出 \(f(x)\) 的定义域，求复合函数 \(f(g(x))\) 的定义域.

核心思路： 抽象函数定义域有两条主线：定义域永远指最外层自变量的取值范围；同一个函数符号 \(f(\cdots)\) 中，括号整体的取值范围保持一致.

解题步骤：

若已知 \(f(g(x))\) 的定义域为 \(D\)，先令 \(x\in D\)，求出 \(g(x)\) 的取值范围；
将 \(g(x)\) 的取值范围视为 \(f\) 的“括号整体范围”；
对目标函数 \(f(h(x))\)，令 \(h(x)\) 落在同一范围内；
解关于目标自变量的不等式，得到目标函数定义域；
若已知 \(f(x)\) 本身定义域为 \(D\)，则直接令 \(g(x)\in D\).

易错点：

把 \(f(2x+1)\) 的定义域误认为 \(2x+1\) 的范围；
忘记最后求的是目标函数自变量的范围；
复合函数中括号整体范围算错；
解完不等式后没有写成区间或集合.

方法反思： 抽象函数定义域题最容易错在“变量是谁”. 看到 \(f(\cdots)\) 时，先把括号整体当作一个新变量，抓住“括号范围恒不变”，再回到目标自变量.

题型 3. 换元法求函数解析式¶

题型识别： 题目给出 \(f(g(x))\) 的解析式，要求求 \(f(x)\)，常见形式有 \(f(\sqrt{x}+1)\)、\(f(x+\frac1x)\)、\(f(\ln x)\)、\(f(ax+b)\) 等.

核心思路： 将括号整体换元为 \(t\)，把 \(f(g(x))\) 化成 \(f(t)\)；再用 \(t\) 反解原来的 \(x\)，代入右侧表达式，最后把 \(t\) 换回 \(x\).

解题步骤：

令 \(t=g(x)\)；
由 \(t=g(x)\) 反解出 \(x\)，或把右侧表达式改写成关于 \(t\) 的式子；
代入已知等式，得到 \(f(t)\)；
求出 \(t=g(x)\) 的取值范围，作为所得 \(f(t)\) 的定义域；
将 \(t\) 改写为 \(x\)，得到 \(f(x)\) 及其定义域.

易错点：

只求出解析式，漏写新函数的定义域；
换元后没有确定 \(t\) 的范围；
反解时引入多余分支或丢失条件；
把 \(f(t)\) 写成 \(f(x)\) 时忘记同步改变量范围.

方法反思： 已知 \(y=f(g(x))\) 求 \(f(x)\) 的流程固定：换元、反解、代入、求范围、换回. 其中“求范围”常被忽略，但它决定了新解析式的定义域.

题型 4. 待定系数法求解析式¶

题型识别： 题目已说明 \(f(x)\) 是一次函数、二次函数、指数函数、反比例函数等，或暗示函数类型，要求根据条件求 \(f(x)\).

核心思路： 已知函数类型，就先设出含参数的标准形式，再把题设条件转化为关于参数的方程组.

解题步骤：

根据函数类型设解析式，如一次函数设 \(f(x)=ax+b\)；
将题设中的函数值、复合关系、恒等式或图象条件代入；
展开整理，对比同次项系数或代入特殊值；
解参数方程组；
检查是否存在多解，以及是否满足原函数类型的限制条件.

易错点：

设式时漏掉必要参数或限制，如一次函数要有 \(a\ne0\)；
系数比较时漏项；
得到多个参数解后随意舍去；
没有回代验证是否满足函数类型.

方法反思： 待定系数法的优势是稳定. 只要题目给出函数类型，就不要盲目变形，应先把未知函数具体化，再用条件“制造方程”.

题型 5. 方程法求函数解析式¶

题型识别： 题目给出 \(f(x)\) 与 \(f(-x)\)、\(f(a-x)\)、\(f(\frac1x)\)、\(f(g(x))\) 同时出现的关系式，要求求 \(f(x)\).

核心思路： 通过替换自变量，再得到一个含相同未知函数值的新方程，联立两个方程消元求 \(f(x)\).

解题步骤：

观察题式中与 \(f(x)\) 同时出现的另一个函数值，如 \(f(-x)\) 或 \(f(a-x)\)；
将原式中的 \(x\) 替换为对应表达式，得到第二个方程；
联立原方程与新方程，消去不需要的函数值；
解出 \(f(x)\)；
若涉及定义域或奇偶性条件，补充检查所得解析式是否符合.

易错点：

替换自变量时只替换一部分 \(x\)；
第二个方程构造后与原方程中的未知量不对应；
消元时符号错误；
忽略定义域是否允许替换后的自变量取值.

方法反思： 看到 \(f(x)\) 与 \(f(-x)\) 同式出现，要自然想到“把 \(x\) 换成 \(-x\)”；看到 \(f(x)\) 与 \(f(a-x)\) 同式出现，要想到“把 \(x\) 换成 \(a-x\)”. 这类题的关键不是复杂计算，而是构造第二个方程.

题型 6. 二次比一次、二次比二次分式函数值域¶

题型识别： 题目要求求形如 \(y=\dfrac{ax^2+bx+c}{mx+n}\)、\(y=\dfrac{ax^2+bx+c}{px^2+qx+r}\) 或带根式的分式函数值域、最值.

核心思路： 优先观察能否拆项、同除或换元，化为基本不等式模型；若表达式不易化简，可把等式看成关于 \(x\) 的方程，用判别式法研究 \(y\) 的取值.

解题步骤：

先求定义域，特别是分母不为 \(0\) 及根式范围；
观察分子分母是否有共同结构，尝试拆项、同除、换元；
若化成 \(t+\dfrac{k}{t}\) 或 \(\dfrac{1}{t+\frac{k}{t}}\)，用基本不等式或单调性求范围；
若用判别式法，将 \(y=\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) 化为 \(P(x)-yQ(x)=0\)；
对关于 \(x\) 的方程要求有实根，列 \(\Delta\ge0\)，并讨论二次项系数退化与端点能否取到.

易错点：

忘记分母不为 \(0\) 或换元后 \(t\) 的范围；
判别式法中没有讨论方程退化为一次方程；
求出 \(y\) 的候选范围后，没有检查端点是否能取到；
拆项时误把不等价变形当作等价变形.

方法反思： 处理这类分式函数，通法有两条：能换元拆项就尽量化为均值不等式模型；若结构较杂，则用判别式法. 判别式法得到的是“可能范围”，端点是否能取到必须回代检查.

单调性、奇偶性与函数值不等式¶

题型 1. 单调性与奇偶性判断¶

题型识别： 题目要求判断函数是否单调、是否为奇函数或偶函数，常见于选择题、多选题，也常与指数、对数、绝对值、分段函数结合.

核心思路： 判断奇偶性先看定义域是否关于原点对称，再比较 \(f(-x)\) 与 \(f(x)\)；判断单调性可用基本函数图象、复合函数“同增异减”、作差作商或导数.

解题步骤：

先求或检查定义域；
奇偶性：计算 \(f(-x)\)，判断是否等于 \(f(x)\) 或 \(-f(x)\)；
分段函数判断奇偶性时，先选 \(x{\gt}0\)，比较 \(f(x)\) 与 \(f(-x)\)，再确认定义域对称；
单调性：先拆成基本函数或复合函数，再按单调运算判断；
选项题可结合特值、图象趋势快速排除.

易错点：

不看定义域就判断奇偶性；
把“局部单调”误认为“定义域上单调”；
分段函数只看一段，忽略拼接处；
复合函数内外层单调性方向判断相反.

方法反思： 单调性、奇偶性判断小题往往可以用图象和特值快速排除，但最终依据仍是定义、单调运算或复合函数准则. 分段函数尤其要注意分段点处的函数值和左右趋势.

题型 2. 根据奇偶性求参数¶

题型识别： 题目给出含参数函数，并说明它是奇函数或偶函数，要求求参数值，常见于指数、对数、根式、分式或分段函数.

核心思路： 定义法是基本方法：奇函数用 \(f(-x)=-f(x)\)，偶函数用 \(f(-x)=f(x)\). 若函数结构复杂，可结合定义域对称、特殊值或常见奇偶函数模型求参.

解题步骤：

先检查定义域是否关于原点对称，必要时由定义域反推参数；
写出 \(f(-x)\)，根据奇偶性列恒等式；
将恒等式化简为关于参数的方程；
若恒等式计算复杂，可先取特殊值，如 \(x=0,1,-1\)；
回代验证所得参数是否真的使函数满足对应奇偶性.

易错点：

只用 \(f(1)=f(-1)\) 或 \(f(1)=-f(-1)\) 就断定充分；
忽略奇函数若在 \(0\) 处有定义则 \(f(0)=0\)；
定义域对称条件遗漏；
对数、根式化简中符号处理错误.

方法反思： 根据奇偶性求参，定义法最稳；但有些题计算量大，若能识别常见奇函数、偶函数或利用定义域对称，往往可以快速锁定参数.

题型 3. 奇函数加常数结构¶

题型识别： 题目中函数可写成 \(f(x)=g(x)+a\)，其中 \(g(x)\) 为奇函数；要求求 \(f(-x)\)、\(f(a)+f(-a)\)、最大值与最小值之和，或利用对称性求函数值.

核心思路： 若 \(g(x)\) 为奇函数，则 \(g(-x)+g(x)=0\)，所以

\[ f(-x)+f(x)=2a. \]

图象角度看，\(f(x)\) 关于点 \((0,a)\) 对称.

解题步骤：

观察解析式能否拆成“奇函数 \(+\) 常数”；
证明或识别其中的奇函数部分；
写出 \(f(-x)+f(x)=2a\)；
若给出 \(f(u)\)，找所求自变量是否为 \(-u\) 或可通过化简变成相反数；
若存在最大值 \(M\) 和最小值 \(m\)，利用 \(M+m=2a\).

易错点：

只看到解析式复杂，没有拆出奇函数部分；
忘记自变量也要互为相反数；
把 \(M+m=2a\) 用在没有最值或不成对的区间上；
不证明隐藏的奇函数结构.

方法反思： 参考题中多次出现 \(\ln(\sqrt{1+x^2}\pm x)\) 这类隐藏奇函数. 当题目要求 \(f(a)\) 与 \(f(-a)\) 或最值之和时，不要急着求最值，先看是否存在“奇函数 \(+\) 常数”的中心对称结构.

题型 4. 利用单调性解函数值不等式¶

题型识别： 题目要求解 \(f(g(x)){\gt}f(h(x))\)、\(f(2x-1){\lt}f(x^2)\) 等不等式，题干给出 \(f\) 的单调性，或给出解析式但直接代入会很复杂.

核心思路： 若 \(f\) 在相关定义域上单调递增，则 \(f(A){\gt}f(B)\Longleftrightarrow A{\gt}B\)；若单调递减，则方向相反. 同时要保证 \(A,B\) 都在函数定义域内.

解题步骤：

判断或证明 \(f\) 的单调性；
写出内层表达式 \(A=g(x)\)、\(B=h(x)\)；
列出 \(A,B\) 均属于 \(f\) 定义域的条件；
利用单调性将函数值不等式转化为自变量不等式；
求解并与定义域条件取交集.

易错点：

忘记 \(A,B\) 必须落在 \(f\) 的定义域中；
函数递减时不等号方向没有反向；
分段函数不严格单调时仍直接等价转化；
解析式复杂时硬代入，导致分类过多.

方法反思： 无论题干是否直接给出 \(f(x)\) 的解析式，遇到函数值不等式都应优先考虑单调性. 这通常比直接代入解析式更简洁、更不容易漏情况.

题型 5. 奇函数参与的函数值不等式¶

题型识别： 题目出现 \(f(A)+f(B){\gt}0\)、\(f(A)+f(B){\lt}0\)，或右侧带 \(-f(B)\)，同时 \(f\) 可能为奇函数或可证明为奇函数.

核心思路： 若 \(f\) 为奇函数，则 \(-f(B)=f(-B)\)，可把和式不等式转化为 \(f(A){\gt}f(-B)\) 或 \(f(A){\lt}f(-B)\)，再结合单调性求解.

解题步骤：

观察或证明 \(f\) 是奇函数；
将 \(f(A)+f(B){\gt}0\) 转化为 \(f(A){\gt}-f(B)=f(-B)\)；
判断 \(f\) 的单调性；
根据单调性转化为 \(A{\gt}-B\) 或 \(A{\lt}-B\)；
加上定义域条件，求交集.

易错点：

没有先证明奇函数就移动负号；
忘记单调性方向；
只解 \(A{\gt}-B\)，漏掉内层表达式的定义域；
把 \(f(A)+f(B){\gt}0\) 误认为 \(A+B{\gt}0\)，没有经过奇偶性和单调性.

方法反思： 看到 \(f(\cdots)+f(\cdots){\gt}0\) 这类结构，要立刻检查 \(f\) 是否为奇函数. 若是，负号可以“拿进括号”，问题就回到普通函数值不等式.

题型 6. 偶函数与单侧单调性的函数值不等式¶

题型识别： 题目给出 \(f(x)\) 是偶函数，并说明在 \([0,+\infty)\) 或 \((0,+\infty)\) 上单调，要求解 \(f(A){\gt}f(B)\) 或比较函数值.

核心思路： 偶函数图象关于 \(y\) 轴对称. 若在 \([0,+\infty)\) 上递增，则函数值随“到 \(y\) 轴的距离”增大而增大；若递减，则相反.

解题步骤：

明确 \(f\) 为偶函数及其在正半轴上的单调性；
将 \(f(A){\gt}f(B)\) 转化为比较 \(|A|\) 与 \(|B|\)；
若正半轴递增，则 \(f(A){\gt}f(B)\Longleftrightarrow |A|{\gt}|B|\)；
若正半轴递减，则 \(f(A){\gt}f(B)\Longleftrightarrow |A|{\lt}|B|\)；
解绝对值不等式，并注意定义域.

易错点：

直接比较 \(A\) 与 \(B\)，忽略偶函数的对称性；
正半轴递减时方向判断反；
忘记偶函数定义域也应关于原点对称；
图象距离关系和代数绝对值关系混淆.

方法反思： 偶函数题要有“距离意识”. 图象上离 \(y\) 轴越远或越近，函数值如何变化，取决于正半轴的单调性.

图象、零点与选择题策略¶

题型 1. 判断函数零点所在区间¶

题型识别： 题目要求判断函数零点在哪个区间，常以选择题出现，给出若干相邻区间供选择.

核心思路： 零点存在定理给出充分条件：连续函数在区间两端函数值异号，则区间内有零点. 若能证明函数单调，还能保证零点唯一.

解题步骤：

判断函数在候选区间上是否连续；
计算各候选区间端点函数值的符号；
若端点异号，则该区间有零点；
若需要唯一性，补充判断函数单调性；
若端点函数值无意义，考虑极限趋势或先排除其他选项.

易错点：

把 \(f(a)f(b){\lt}0\) 当成有零点的必要条件；
函数不连续时直接使用零点存在定理；
端点就是零点时没有注意区间开闭；
选择题中计算过多，忽略可用排除法.

方法反思： 单选题中通常先看端点符号即可，不一定每次都要证明单调性；但若题目问参数范围或零点个数，单调性往往是必要工具.

题型 2. 给解析式选图象¶

题型识别： 题目给出函数解析式，要求从若干图象中选出正确的大致图象. 常考奇偶性、零点、正负、极限趋势、单调性和特殊点.

核心思路： 用排除法. 先用最容易判断的性质排除一半，再用特殊点、区间正负、零点个数或极限趋势继续排除.

解题步骤：

看定义域与图象范围是否匹配；
判断奇偶性，排除对称性不符的选项；
计算特殊点，如 \(x=0,1,-1\) 或题中端点；
分析某一区间内函数值正负、零点个数或单调趋势；
必要时分析 \(x\to\infty\)、\(x\to0^+\) 等极限趋势.

易错点：

只凭整体形状选图，忽略定义域；
奇偶性判断时忘记定义域；
忽略图象上的空心点、渐近线或断点；
不会比较指数、幂、对数的增长速度.

方法反思： 选图象题不是完整作图，而是抓“最能区分选项”的特征. 奇偶性、特殊点、零点个数、端点趋势通常足够排除所有错误选项.

题型 3. 给图象选解析式¶

题型识别： 题目给出函数图象，要求选择可能的解析式，图象可能体现对称性、零点、极值、切线斜率、区间单调性等信息.

核心思路： 从图象提取性质，再逐项验证解析式. 图象提供的是限制条件，选项必须同时满足这些限制.

解题步骤：

观察图象定义域、值域、断点、渐近线；
判断图象关于 \(y\) 轴、原点或某点是否对称；
读取零点、特殊点、极值点、单调区间；
对选项逐项判断是否满足上述性质；
若剩余选项难分，计算某点函数值或导数符号.

易错点：

把图象“像”某函数当作证明；
忽略开闭点与函数是否有定义；
对图象趋势理解错误；
没有利用切线斜率或局部单调性等细节.

方法反思： 给图象选解析式时，图象反映的信息通常不止一个. 先用奇偶性和定义域粗筛，再用局部特征精筛，效率最高.

题型 4. 函数图象变换¶

题型识别： 题目给出 \(y=f(x)\) 的图象或性质，要求判断 \(y=f(x+a)\)、\(y=f(x)+b\)、\(y=|f(x)|\)、\(y=f(|x|)\)、\(y=-f(x)\) 等图象或性质.

核心思路： 图象变换遵循“左加右减、上加下减、纵向取绝对值翻上去、横向取绝对值保右镜像”. 变换后再结合定义域、单调性、奇偶性分析.

解题步骤：

判断变换发生在自变量上还是函数值上；
自变量变换先处理水平平移、伸缩、关于 \(y\) 轴对称；
函数值变换处理竖直平移、伸缩、关于 \(x\) 轴对称；
含绝对值时明确是 \(|f(x)|\) 还是 \(f(|x|)\)；
根据变换后的图象读出零点、单调区间或值域.

易错点：

把 \(f(x+a)\) 错看成向右平移 \(a\)；
混淆 \(|f(x)|\) 与 \(f(|x|)\)；
忽略变换对定义域的影响；
对分段函数或含参数函数变换后端点处理不准.

方法反思： 函数图象变换题不要靠记忆零散结论，要先判断“变的是 \(x\) 还是 \(y\)”. 变 \(x\) 看横向，变 \(y\) 看纵向.

题型 5. 零点个数转化为图象交点¶

题型识别： 题目要求判断 \(f(x)\) 的零点个数，但方程 \(f(x)=0\) 不好直接解，或函数中含指数、对数、绝对值、分段、周期等结构.

核心思路： 将 \(f(x)=0\) 等价变形为 \(g(x)=h(x)\)，把零点个数转化为两个函数图象的交点个数. 变形以“等价”和“便于作图”为原则.

解题步骤：

写出零点方程 \(f(x)=0\)；
观察能否移项、同除、取对数、换元，化为 \(g(x)=h(x)\)；
分别分析 \(g,h\) 的图象、单调性、对称性和关键点；
数出交点个数，注意开闭点、定义域和渐近线；
若要求零点之和，优先看交点是否成对对称.

易错点：

变形不等价，如两边同除可能为 \(0\) 的式子；
作图时忽略定义域；
空心点误认为交点；
只画局部，漏掉周期或远端交点.

方法反思： 当直接画 \(f(x)\) 不方便时，改画两个更简单的函数. 参考资料反复强调：交点问题要特别注意空心点和实心点，空心点处一定不是交点.

题型 6. 含参零点个数问题¶

题型识别： 题目给出含参数函数 \(f(x,a)\)，要求根据零点个数求参数范围，常见于指数、对数、分段函数、绝对值函数和复合函数.

核心思路： 常用全分离或半分离. 全分离把方程化为 \(a=g(x)\)，研究水平直线与曲线交点；半分离把方程化为 \(g(x)=h(x,a)\)，研究两图象交点随参数变化的临界状态.

解题步骤：

将 \(f(x,a)=0\) 等价变形；
若能化为 \(a=g(x)\)，优先全分离，研究 \(g(x)\) 的单调性、极值和图象；
若全分离后图象复杂，改用半分离，让两边函数都便于作图；
根据交点个数确定参数所在位置，重点关注切线、端点、极值点和开闭点；
对分段函数逐段分析，再合并参数范围.

易错点：

分离参数时没有保持等价；
只看极值，忽略端点是否取到；
分段函数中漏掉某一段的零点；
指数含参时忘记可通过取对数剥离参数.

方法反思： 全分离重在“等价变形 + 求函数值域”，半分离重在“画图 + 找临界状态”. 参数在哪个位置不重要，核心始终是把零点个数转化为交点个数.

二次函数与一元二次方程、不等式¶

题型 1. 一元二次函数、方程、不等式的关系¶

题型识别： 题目给出一元二次不等式解集、二次函数图象信息或方程根，要求反推另一个相关结论，如求参数、解另一个不等式.

核心思路： 二次函数图象、方程根和不等式解集三者紧密对应. 不等式解集给出根和开口方向，方程根给出因式或韦达关系，图象给出符号区间.

解题步骤：

从解集判断二次函数开口方向；
找出对应方程的根；
用根写出因式形式或用韦达定理建立系数关系；
将系数关系代入目标式；
再解目标不等式或求所需参数.

易错点：

解集在两根之间却判断错开口方向；
不等号含等号时端点开闭处理错误；
忘记二次项系数可能为负；
只用根，漏掉开口方向所提供的符号信息.

方法反思： 从一元二次不等式的一方条件，可以推出方程根、二次函数图象和系数关系. 此类题要养成“三者互译”的习惯.

题型 2. 一元二次方程在区间有根¶

题型识别： 题目说一元二次方程在某区间上有根，但不一定规定根的个数，要求求参数范围.

核心思路： 如果只说“有根”，没规定几个根，优先考虑参变分离，再对变量一侧求值域；若画二次函数图象，往往分类较多.

解题步骤：

将方程变形，尽量把参数单独分离出来；
得到 \(a=g(x)\)，其中 \(x\) 在给定区间内；
求 \(g(x)\) 在该区间上的值域；
该值域即为参数可能范围；
若分离时除以含 \(x\) 的式子，要先排除为 \(0\) 的情形.

易错点：

没规定根个数却强行按二次图象分类；
参变分离时除以可能为 \(0\) 的式子；
求值域时端点开闭错误；
漏掉方程退化情形.

方法反思： “有根”不等于“有两个根”. 没有规定根个数时，参变分离通常最简洁；规定根个数时，再考虑判别式、对称轴、端点值.

题型 3. 一元二次方程在区间根的个数已知¶

题型识别： 题目规定方程在某区间内有一个根、两个根，或两个区间各有一个根，要求求参数范围.

核心思路： 画出二次函数图象，结合判别式、对称轴、端点函数值三类条件，使图象满足指定根分布.

解题步骤：

先判断是否可能退化为一次方程；
设 \(F(x)=ax^2+bx+c\)，画出根分布的大致图象；
根据需要列出 \(\Delta\)、对称轴位置、端点值符号条件；
若只需保证图象穿过某区间，有时端点值符号即可；
联立求参数，并检查临界值能否取到.

易错点：

忘记讨论二次项系数为 \(0\) 的退化情况；
端点属于开区间却把等号取进来；
只列判别式，忽略根是否落在指定区间；
对称轴条件方向写反.

方法反思： 规定根的个数时，不一定三类条件都要列全；只要条件能保证图象成为目标形状即可. 但退化情形和端点开闭必须单独检查.

题型 4. 二次函数最值与参数范围¶

题型识别： 题目要求二次函数在某区间上的最大值、最小值，或根据最值条件求参数范围.

核心思路： 二次函数最值由开口方向、对称轴和区间位置决定. 在闭区间上比较顶点值与端点值；在开区间上还要注意端点能否取到.

解题步骤：

写出二次函数开口方向和对称轴；
判断对称轴是否落在给定区间内；
若落在区间内，顶点参与最值比较；
若不在区间内，函数在该区间单调，最值在端点或极限处；
含参数时按对称轴与区间端点的位置分类.

易错点：

开区间端点不能取却直接取端点值；
对称轴含参数时分类不完整；
开口方向判断错误；
忽略区间本身也可能含参数.

方法反思： 二次函数最值题的分类标准通常来自“对称轴与区间的位置关系”. 不要按参数随意分类，要按影响图象形态的关键位置分类.

题型 5. 一元二次不等式恒成立与存在性¶

题型识别： 题目要求 \(ax^2+bx+c{\gt}0\) 对一切 \(x\in D\) 恒成立，或存在 \(x\in D\) 使不等式成立，要求求参数范围.

核心思路： 恒成立转化为函数最值问题. 全体实数上常用开口方向和判别式；区间上则结合二次函数在区间上的最值.

解题步骤：

先判断变量范围是 \(\mathbb R\) 还是某个区间；
若在 \(\mathbb R\) 上恒正，通常要求 \(a{\gt}0\) 且 \(\Delta{\lt}0\)，含等号时改为 \(\Delta\le0\)；
若在区间上恒成立，转化为 \(F(x)\) 在该区间的最小值或最大值；
含参数时按对称轴与区间关系分类；
存在性问题对应最值的另一侧条件，如“存在大于 \(0\)”看最大值.

易错点：

把全体实数上的结论直接套到区间问题；
忘记讨论 \(a=0\)；
恒成立与存在性对应最值方向混淆；
不等号严格与非严格的判别式条件混淆.

方法反思： 恒成立问题本质是“最坏情况也成立”，存在性问题本质是“最好情况能成立”. 先判断看最大值还是最小值，再列条件.

抽象函数与对称周期¶

题型 1. 单对称识别与应用¶

题型识别： 题目给出 \(f(a+x)=f(a-x)\)、\(f(a+x)=f(b-x)\)、\(f(a+x)+f(a-x)=c\) 等条件，要求比较函数值、求函数值或判断图象对称性.

核心思路： 将条件翻译成图象对称：自变量关于某数对称且函数值相等，则为轴对称；自变量关于某数对称且函数值关于某数对称，则为中心对称.

解题步骤：

将条件改写为标准形式；
识别对称轴或对称中心；
找题目中各自变量关于对称轴或对称中心的对应点；
利用函数值相等或函数值和为常数建立关系；
若还给单调性，则把自变量移到同一侧后比较.

易错点：

由 \(f(x)=f(2-x)\) 不能正确识别对称轴 \(x=1\)；
中心对称时忘记函数值之和是常数；
对称点找错；
没有把比较点转到同一单调区间.

方法反思： 抽象对称题的关键是“翻译”. 看到 \(x\) 系数相反的两个括号，优先想到对称；再结合函数值相等或相加为常数判断是轴对称还是中心对称.

题型 2. 从定义域或局部结构猜测并证明对称性¶

题型识别： 题目没有直接给出对称中心或对称轴，而要求证明曲线是中心对称图形或具有某条对称轴，常见于含对数、分式或三次项的函数.

核心思路： 先从定义域的对称性猜测对称轴或对称中心横坐标，再计算 \(f(a+x)\) 与 \(f(a-x)\) 的关系进行证明.

解题步骤：

求函数定义域；
若定义域关于 \(x=a\) 对称，优先猜测对称轴或对称中心横坐标为 \(a\)；
计算 \(f(a+x)\) 与 \(f(a-x)\)；
若二者相等，则关于直线 \(x=a\) 对称；若二者和为常数 \(2b\)，则关于点 \((a,b)\) 对称；
写出严格证明，并说明 \(x\) 的取值满足定义域要求.

易错点：

不求定义域就盲目猜对称中心；
只验证几个点，没有证明恒等关系；
忽略局部结构如 \((x-a)^3\) 对称中心的暗示；
对数运算中化简错误.

方法反思： 反着考对称性时，定义域往往先泄露对称轴或中心的横坐标. 先猜，再用 \(f(a+x)\) 与 \(f(a-x)\) 证明，是最稳的路径.

题型 3. 双对称推周期¶

题型识别： 题目给出函数有两条对称轴，或一条对称轴与一个对称中心，或两个对称中心，要求求周期、函数值、零点个数或数列和.

核心思路： 双对称会推出周期：两条对称轴的距离为 \(d\)，周期为 \(2d\)；一条对称轴和一个对称中心距离为 \(d\)，周期为 \(4d\)；同一水平线上的两个对称中心距离为 \(d\)，周期为 \(2d\).

解题步骤：

先把条件翻译为对称轴或对称中心；
判断属于哪种双对称组合；
求出周期；
利用周期把目标自变量化到已知区间或已知点；
若涉及奇函数、偶函数，还要利用 \(f(0)=0\)、对称点函数值关系等隐含条件.

易错点：

只推出周期，却忘记还要利用奇偶性求特殊点；
对称轴与对称中心距离算错；
把周期 \(2d\) 与 \(4d\) 混淆；
未注意函数是否在对称中心横坐标处有定义.

方法反思： 参考资料中特别强调：既有对称轴又有对称中心时，周期为二者距离的 \(4\) 倍. 周期只是第一步，后续还要结合奇偶性、函数值条件继续求值.

题型 4. 抽象函数赋值法¶

题型识别： 题目给出 \(f(xy)=\cdots\)、\(f(x+y)=\cdots\)、\(f(x+y)+f(x-y)=\cdots\) 等函数关系式，要求求函数值、判断奇偶性或判断选项.

核心思路： 通过赋特殊值产生目标函数值或关键性质. 常见赋值有 \(x=0\)、\(y=0\)、\(x=1\)、\(y=1\)、\(y=-1\)、\(y=x\)、\(y=-x\) 等.

解题步骤：

明确目标是求具体函数值、判断奇偶性还是推周期；
选择能产生目标自变量的赋值；
先求 \(f(0)\)、\(f(1)\)、\(f(-1)\) 等基础值；
若要判断奇偶性，尝试构造 \(f(-x)\) 与 \(f(x)\) 的关系；
对选择题中难以正推的选项，可尝试构造满足条件的特殊函数反例.

易错点：

随意赋值，不能产生目标式；
得到关系式后没有继续赋值求基础值；
忽略定义域对赋值的限制；
多选题中把不能推出的结论当成一定成立.

方法反思： 抽象函数赋值没有固定万能公式，赋什么值取决于关系式和目标. 先构造已知与所求之间的联系，再逐步逼近目标.

题型 5. 混合函数关系式的消元¶

题型识别： 题目同时出现 \(f(x)\)、\(g(x)\) 的关系，如 \(f(x)+g(1-x)=c\)、\(g(x)-f(a-x)=d\)，要求求某个函数值或函数值和.

核心思路： 先消去一个函数，得到关于另一个函数的对称、周期或递推关系，再利用附加函数值求解.

解题步骤：

选定要保留的函数，如目标是 \(f\) 就消去 \(g\)；
对某个关系式替换自变量，使 \(g\) 的括号形式与另一式一致；
代入消元，得到 \(f(x)\) 的关系式；
判断所得关系是周期、对称还是递推；
利用已知具体函数值求目标.

易错点：

替换自变量后括号没有对齐；
消元后常数项符号错误；
得到周期或递推关系后不会分组求和；
忘记使用题中给出的单个函数值条件.

方法反思： 当条件混合 \(f,g\) 两个函数时，不要直接求每个函数. 先消去一个函数，抽出另一个函数的结构，问题往往会变成周期或对称求值.

题型 6. 涉及导数的抽象函数对称问题¶

题型识别： 题目给出 \(f\) 或 \(f'\) 的奇偶性、周期性、对称轴、对称中心，要求判断 \(f\) 或 \(f'\) 的性质、求函数值或导数值.

核心思路： 函数与导函数的对称性可相互传递：函数有对称轴，则导函数有对应对称中心；函数有对称中心，则导函数有对应对称轴. 反向推理时要注意常数项.

解题步骤：

将题设翻译为 \(f(a+x)=f(a-x)\) 或 \(f(a+x)+f(a-x)=2b\)；
对等式两端求导，得到 \(f'\) 的对称关系；
若由 \(f'\) 反推 \(f\)，可把导数关系看成某个函数关系的导数；
结合双对称推周期；
特殊点如对称轴处常有 \(f'(a)=0\)，但要保证可导.

易错点：

对 \(f(-x)\) 求导时忘记链式法则带来的负号；
认为 \(f'\) 有中心对称时 \(f\) 一定有对称轴，忽略中心纵坐标不为 \(0\) 的情况；
把导函数周期与原函数周期混淆；
忽略可导性条件.

方法反思： 导数抽象题常在压轴小题中出现. 处理时先翻译对称，再求导或“反求导”得到另一函数的性质，切忌只凭图象直觉下结论.

分段函数问题¶

题型 1. 分段函数求值¶

题型识别： 题目给出分段函数，要求求 \(f(a)\)、\(f(f(a))\)、\(f^n(a)\) 或根据函数值求参数.

核心思路： 分段函数求值的关键是判断自变量落在哪一段. 对复合形式，先求内层函数值，再判断内层值落入哪一段.

解题步骤：

明确每一段的自变量范围；
将给定自变量代入对应段；
若是 \(f(f(a))\)，先令 \(t=f(a)\)；
再根据 \(t\) 的范围选择第二次代入的分段；
含参数时，分类后必须回代检验分类条件.

易错点：

分段边界取错；
复合函数只代入一次；
分类求得结果后不检验；
把内层自变量和外层函数值混淆.

方法反思： 参考资料提示：对 \(f(f(a))\) 这种复合结构，常先令内层 \(f(a)=t\)，通过 \(t\) 所处区间再分析外层，不能一步跳算.

题型 2. 分段函数单调性求参数¶

题型识别： 题目给出含参数的分段函数，要求函数在整体区间上单调，或在某段上不单调，求参数范围.

核心思路： 分段函数整体单调不仅要求每一段内部单调一致，还要求分段点处函数值拼接满足整体趋势.

解题步骤：

分别判断每一段的单调性，得到参数条件；
判断各段单调方向是否与整体要求一致；
处理分段点处的左右函数值：整体递增时左端不应高于右端，整体递减时左端不应低于右端；
联立所有条件；
检查分段边界的开闭对函数值是否有影响.

易错点：

只看每一段内部单调，忘记段间拼接；
分段点处开闭端点处理错误；
绝对值分段点或二次函数对称轴含参数时分类不全；
把“在某区间不单调”误解为“处处不单调”.

方法反思： 分段函数单调性题除了考虑各段，还要考虑“整体拼接”. 很多参数限制正是由分段点处的高低关系产生的.

题型 3. 动态分段点含参的零点问题¶

题型识别： 分段函数的分段点含参数，如 \(x{\lt}a\)、\(x\ge a\)，题目要求零点个数或参数范围.

核心思路： 把参数变化理解为分段点移动，画出各段图象，研究分段点经过关键位置时零点个数如何变化.

解题步骤：

分别画出各段函数图象；
找出每段可能产生零点的位置；
让分段点移动，观察零点被保留、删除或新增的情况；
找出临界位置，如零点、交点、极值点、分段端点；
根据目标零点个数写出参数范围，并注意端点是否取到.

易错点：

忽略分段点处空心点和实心点；
参数分类依据不清，导致漏区间；
只看一段函数的零点；
临界值取等错误.

方法反思： 动态分段点题适合用图象. 分类依据不是参数本身，而是分段点相对零点、极值点、交点等关键位置的先后关系.

题型 4. 动态分段点含参的最值问题¶

题型识别： 分段点含参数，题目问函数是否存在最大值或最小值，或求参数最大、最小范围.

核心思路： 最值存在性由两段函数的趋势、端点开闭和拼接高低决定. 参数会同时影响分段点位置和某段函数的单调性.

解题步骤：

分析每段函数的单调性和端点趋势；
找出影响单调性的参数临界值；
找出影响另一段图象形态的关键位置，如二次函数对称轴；
按关键位置分类画图；
判断最值是否存在，并由拼接处高低关系列不等式.

易错点：

只看某一段有没有最值，忘记整体函数；
开区间端点误取最值；
参数分类过粗；
没有比较左右两段在分段点附近的函数值.

方法反思： 参考资料中此类题的分类依据很明确：要确定最值，就要明确两段单调性；参数与关键点的大小关系决定图形形态，因此分类应围绕这些关键点展开.

题型 5. 等高线问题¶

题型识别： 分段函数或复杂函数中出现 \(f(a)=f(b)\)、\(f(a)=f(b)=f(c)\)、\(|f(a)|=|f(b)|\) 等同函数值条件，要求求参数、求范围或求代数式值.

核心思路： 将相等的函数值视为同一条水平线与函数图象的交点. 通过图象上同高点的横坐标关系建立方程.

解题步骤：

画出函数大致图象；
用水平线 \(y=t\) 表示相等的函数值；
分析水平线与各段图象的交点个数；
利用同高点所在分段的解析式建立关系；
若有绝对值，分别考虑 \(f(a)=f(b)\) 与 \(f(a)=-f(b)\).

易错点：

只从代数式硬解，忽略图象层次；
水平线交点个数判断错误；
分段函数交点落在哪一段没有确认；
绝对值等式漏掉相反数情形.

方法反思： 等高线问题的核心是把“函数值相等”看成“同一水平线”. 图象能直接告诉我们哪些点可能同高，代数只负责最后求解.

复合函数与含参不等式¶

题型 1. 复合函数方程¶

题型识别： 题目含 \(f(f(x))\)、\(f(g(x))\)、\(g(f(x))\) 等复合结构，要求求方程零点个数或解集.

核心思路： 令内层函数为 \(t\)，把双层问题拆成两个单层问题：先解外层方程得到 \(t\) 的取值，再代回内层方程求 \(x\).

解题步骤：

设 \(t=g(x)\) 或 \(t=f(x)\)；
将 \(f(g(x))=0\) 化为 \(f(t)=0\)；
解出所有可能的 \(t\)；
对每个 \(t\)，解 \(g(x)=t\)；
统计不同实根个数，注意重复根和定义域.

易错点：

只解外层 \(t\)，忘记回代求 \(x\)；
不同 \(t\) 对应的 \(x\) 有重复却重复计数；
分段函数中 \(f(t)\) 的分段判断错误；
忽略内层函数值域，不是所有 \(t\) 都能取到.

方法反思： 复合函数方程的基本策略是“化整为零”. 先求外层允许的内层值，再研究内层函数如何达到这些值.

题型 2. 含参复合函数方程根数¶

题型识别： 题目给出 \([f(x)]^2-(m+1)f(x)+m=0\)、\(g(f(x))=0\) 等含参复合方程，并规定实根个数，要求求参数范围.

核心思路： 令 \(t=f(x)\)，先研究关于 \(t\) 的方程有几个根，再研究每个 \(t\) 对应方程 \(f(x)=t\) 有几个根. 总根数来自“外层根的组成方式”.

解题步骤：

令 \(t=f(x)\)；
解或分析关于 \(t\) 的含参方程；
结合 \(f(x)\) 图象，判断不同 \(t\) 水平线与 \(y=f(x)\) 的交点个数；
按目标总根数分配每个 \(t\) 对应的根数；
写出参数范围，注意临界水平线是否取到.

易错点：

只看关于 \(t\) 的方程根数，不看 \(f(x)=t\) 的根数；
忽略 \(t\) 必须在 \(f\) 的值域内；
水平线与图象相切时根数变化判断错误；
重根与不同实根混淆.

方法反思： 研究“5 个根”等数量问题，关键在于根的组成方式. 先数外层 \(t\)，再数每个 \(t\) 对应的 \(x\).

题型 3. 复合函数不等式¶

题型识别： 题目含 \(f(f(x))\ge0\)、\(f(g(x)){\lt}a\)、\(g(f(x))\le0\) 等双层不等式，要求求 \(x\) 的范围.

核心思路： 仍然采用换元法. 先令内层为 \(t\)，求外层不等式给出的 \(t\) 的范围，再解内层函数落入这些范围的不等式.

解题步骤：

令 \(t=g(x)\)；
解外层不等式 \(f(t)\ge0\) 或 \(f(t){\lt}a\)，得到 \(t\) 的范围；
回到 \(g(x)\)，解 \(g(x)\) 落入上述范围的条件；
若 \(g(x)\) 分段或不单调，结合图象求解；
合并解集并检查定义域.

易错点：

把 \(f(f(x))\ge0\) 误解为 \(f(x)\ge0\)；
外层不等式的解集求错；
内层函数值域没有考虑；
不等式解集中端点开闭处理错误.

方法反思： 处理复合结构的不等式，关键技巧是把内层整体换元，把一个复杂双层问题拆成两个普通不等式问题.

题型 4. 含参不等式恒成立的全分离与半分离¶

题型识别： 题目给出含参数不等式，要求对所有 \(x\in D\) 恒成立，或存在 \(x\in D\) 成立，通常含指数、对数、分式或绝对值.

核心思路： 能等价化为 \(a\le f(x)\)、\(a\ge f(x)\) 时，用全分离转最值；不能方便全分离时，用半分离，画图研究临界状态.

解题步骤：

判断参数能否全分离；
全分离后，根据“任意”或“存在”确定看最大值还是最小值；
求变量函数的最值或值域；
若全分离困难，改用半分离，把两边化成便于作图的函数；
通过切线、端点、相切或交点临界情况求参数范围.

易错点：

恒成立和存在性对应最值方向混淆；
分离参数时除以可能变号的式子；
半分离作图时忽略参数对图象的伸缩或平移；
临界状态取等判断错误.

方法反思： 全分离重在等价变形和求最值，半分离重在分析图象运动过程. 若参数在指数、对数或绝对值内部，未必能全分离，可尝试取对数、移项或半分离.

题型 5. 不分离参数，直接带参研究¶

题型识别： 含参恒成立或存在性问题中，参数不好分离，分离后函数过于复杂，或题目本身适合直接研究带参函数.

核心思路： 构造 \(F(x,a)\)，直接对 \(x\) 求导，研究带参函数的单调性、极值和端点值，再由目标条件求参数范围.

解题步骤：

将不等式统一移到一边，设 \(F(x,a)\)；
对 \(x\) 求导，分析 \(F'(x,a)\) 的符号；
按参数影响导数零点的位置进行分类；
求每类中的最值或函数符号；
合并参数范围并检查临界情况.

易错点：

导数零点含参数却不分类；
只看驻点不看端点；
参数范围合并时遗漏临界值；
不等式严格性处理错误.

方法反思： 当恒成立问题分离困难或会引入复杂函数时，不要执着于分离. 直接带参求导研究，是全分离与半分离之外的重要补充.

比较大小、构造函数与同构¶

题型 1. 幂、指、对数大小的估算比较¶

题型识别： 题目要求比较指数、对数、幂的大小，常给出若干近似但不易直接计算的数，如 \(\log_a b\)、\(a^b\)、\(b^a\).

核心思路： 先判断正负和所在区间，再找中间量比较. 对数比较常用换底公式和“同正异负”判断；指数幂比较常取对数或构造中间量.

解题步骤：

先确定各数的正负；
粗略估计其落在 \((0,1)\)、\((1,2)\)、\((2,3)\) 等区间；
对数型可用换底公式化同底或同真数；
指数幂型可取对数比较，或比较 \(\dfrac{\ln a}{a}\) 等结构；
若难以直接比较，寻找共同中间量.

易错点：

对数底数小于 \(1\) 时单调性方向弄反；
只看底数大小，不看指数；
粗略估算过粗导致排序错误；
换底后分母符号判断错误.

方法反思： 比较大小先不要急于精确计算. 许多题只需判断各数位于相邻整数或简单分数之间，就能排序.

题型 2. 构造函数比较大小¶

题型识别： 要比较的数据非常接近，或结构相同但变量不同，普通估算难以完成，需要从结构出发构造函数.

核心思路： 把待比较的数看作同一个函数在不同点的函数值，通过单调性比较大小. 若结构不同但某个数字反复出现，也可把该数字换成变量构造函数.

解题步骤：

观察待比较式是否有相同结构；
若结构相同，设 \(F(x)\) 统一表达；
用导数或基本不等式判断 \(F(x)\) 的单调性；
将各数据对应到不同的自变量；
根据自变量大小和单调性排序.

易错点：

构造的函数不能同时覆盖所有待比较对象；
单调区间与自变量所在区间不一致；
导数符号判断错误；
没有把变形前后保持等价.

方法反思： 构造函数比较大小有两条线索：一是结构相同，二是数字重复. 有的题需要先简单变形或放缩，才能看出统一结构.

题型 3. 糖水不等式与泰勒近似比较大小¶

题型识别： 题目涉及较难的对数、指数、根式近似比较，普通估算或构造函数不易处理；或换底后分母不同但形式相近.

核心思路： 糖水不等式可用于把分母不同的换底式化为可比结构；泰勒展开适合比较 \(x\) 接近 \(0\) 时的指数、对数、根式、三角函数近似值.

解题步骤：

判断是否适合使用换底公式；
换底后若分母不同，考虑糖水不等式统一分母或比较分子；
若数值接近 \(1\) 或 \(0\)，考虑 \(\ln(1+x)\)、\(e^x\)、\(\sqrt{1+x}\) 的近似；
保留足够项数以判断大小；
对高考常用近似值如 \(\ln2,\ln3,\ln5,\sqrt2,\sqrt3\) 要有基本敏感度.

易错点：

在 \(x\) 不够小时滥用低阶泰勒近似；
只用近似值不控制误差方向；
糖水不等式条件不满足；
换底后忘记分母正负.

方法反思： 这类方法属于高阶补充，适合学有余力的题. 使用近似时要清楚它是为了判断大小，不是为了精确计算；若能用构造函数或单调性解决，优先使用更稳的方法.

题型 4. 原函数构造：加减法结构¶

题型识别： 题目给出含 \(f'(x)\) 与 \(f(x)\) 的不等式，如 \(f'(x)-2x{\lt}0\)、\(xf'(x)+f(x){\gt}0\)，要求解含 \(f\) 的函数值不等式.

核心思路： 把所给不等式看成某个构造函数的导数符号，再利用构造函数的单调性解题. 常见如 \(F(x)=f(x)-x^2\)，则 \(F'(x)=f'(x)-2x\).

解题步骤：

观察不等式中 \(f'(x)\) 与普通函数项的组合；
移项构造 \(F(x)\)，使 \(F'(x)\) 正好等于或同号于已知结构；
根据 \(F'(x)\) 判断 \(F(x)\) 单调性；
将目标不等式改写为 \(F(A)\ge F(B)\) 或 \(F(A){\gt}F(B)\)；
利用单调性转化为自变量不等式.

易错点：

构造函数后导数对不上原不等式；
忘记构造函数的定义域；
原函数单调性方向判断反；
目标式没有成功改写成构造函数值比较.

方法反思： 参考资料强调，高中阶段不需要系统研究不定积分，只需熟悉几种常见构造. 若给出的各部分容易看出原函数，直接移项到同一侧构造即可.

题型 5. 原函数构造：乘除法与指数因子¶

题型识别： 题目中含 \(xf'(x)\pm f(x)\)、\(xf'(x)-2f(x)\)、\(f'(x)+f(x)\)、\(f'(x)-f(x)\) 等结构，要求利用单调性比较函数值.

核心思路： 乘除法结构常来自乘积或商的导数；\(f'(x)\pm f(x)\) 常用 \(e^x\) 或 \(e^{-x}\) 作为调节因子.

解题步骤：

看到 \(xf'(x)+f(x)\)，想到 \((xf(x))'\)；
看到 \(xf'(x)-f(x)\)，想到 \(\left(\dfrac{f(x)}{x}\right)'\) 或相关变形；
看到 \(xf'(x)+2f(x)\)，想到 \((x^2f(x))'\)；
看到 \(f'(x)+f(x)\)，想到 \((e^x f(x))'\)；看到 \(f'(x)-f(x)\)，想到 \((e^{-x}f(x))'\)；
构造后用单调性转化目标不等式.

易错点：

商函数构造时漏掉分母平方导致符号判断错误；
忘记 \(x{\gt}0\) 或 \(x{\lt}0\) 对乘除因子的影响；
指数因子选反；
未先简单变形就强行构造.

方法反思： 含 \(f'(x)\) 与 \(f(x)\) 的不等式中，若涉及加法，构造出的原函数通常来自乘积；若结构只有系数差别，常用指数因子调节. 有时只要先简单变形，就能看出构造形式.

题型 6. 简单变形化同构¶

题型识别： 方程或不等式两边含形式相近但变量不同的结构，或两个变量分别满足类似关系，要求比较、求最值或解参数范围.

核心思路： 通过等价变形让两边呈现同一个函数结构，再构造函数，利用单调性推出变量关系.

解题步骤：

观察两边是否能变成同一结构；
将不同变量分别放入同一函数模型 \(F(t)\)；
证明 \(F(t)\) 在相关区间单调；
由 \(F(u)=F(v)\) 或 \(F(u){\gt}F(v)\) 推出 \(u=v\) 或 \(u{\gt}v\)；
再将变量关系代回求目标.

易错点：

同构前变形不等价；
构造函数的单调区间与变量范围不匹配；
只看形式相似，却没有真正统一结构；
忽略变量正负或定义域限制.

方法反思： 同构需要观察力和代数变形基本功. 对不好研究但形式接近的问题，先问自己：能否把两边变成同一个函数的两个函数值？

题型 7. 指对共生式同构与换元¶

题型识别： 题目出现 \(e^x\pm x\)、\(x\pm\ln x\)、\(xe^x\)、\(x\ln x\) 等指对混合结构，要求解不等式、求参数或比较大小.

核心思路： 利用 \(x=e^{\ln x}\) 或 \(e^x\) 与 \(\ln x\) 的互逆关系，将局部结构统一为同一个函数模型. 常见同构包括 \(e^x\pm x\) 与 \(x\pm\ln x\)，\(xe^x\) 与 \(x\ln x\).

解题步骤：

识别指对共生结构；
对正变量尝试令 \(x=e^t\) 或 \(t=\ln x\)；
将原式统一为同一个函数 \(F(t)\)；
判断 \(F\) 的单调性或最值；
把结论转回原变量，求目标范围.

易错点：

对非正变量使用 \(\ln x\) 换元；
只看到 \(e^x\) 和 \(\ln x\)，没有找到统一结构；
换元后定义域变化处理错误；
同构后单调性判断不严谨.

方法反思： 基础模型要熟悉：\(e^x\pm x\) 与 \(x\pm\ln x\) 能相互转化，\(xe^x\) 与 \(x\ln x\) 也能相互转化. 看到这类混合结构，优先思考能否用 \(x=e^{\ln x}\) 统一变量.