函数

定理 1. 基本运算技巧

(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) ) ((a b)^2 = a^2 2ab + b^2 ) ((a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc ) (a^3 b^3 = (a b)(a^2 ab + b^2) ) ((a b)^3 = a^3 3a^2b + 3ab^2 b^3 ) 若 p 2 q = ( a )^2 + ( b )^2 2 a b ，即 (a+b= p ,ab= q )，则 p 2 q = a b (a > b)

函数的定义，概念，性质

定义 1. 函数

一般地，设 (A )、 (B ) 是非空的实数集， 如果对于集合 (A ) 中的任意一个数 (x )，按照某种确定的对应关系 (f )，在集合 (B ) 中都有 唯一确定 的数 (y ) 和它对应，那么就称 (f:A B ) 为从集合 (A ) 到集合 (B ) 的一个函数，记作 (y = f(x),x A ). 函数 (y = f(x) ) 中， (x ) 叫做自变量， (x ) 的取值范围 (A ) 叫做函数的定义域，与 (x ) 的值对应的 (y ) 值叫做函数值，函数值的集合 ( f(x) x A ) 叫做函数的值域，显然，值域是集合 (B ) 的子集. 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域. 如果两个函数的 定义域相同，并且对应关系完全一致 ，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数. 对应关系 (f )：除解析式、图像表格外，还有其他表示对应关系的方法，引进符号 (f ) 统一表示对应关系.

定义 2. 区间

设 a , b 是两个实数，而且 a < b .我们规定： [label=( )] 满足不等式 a x b 的实数 x 的集合叫做闭区间，表示为 [a, b] ; 满足不等式 a<x<b 的实数 x 的集合叫做开区间，表示为 (a, b) ; 满足不等式 a x < b 或 a < x b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 [a, b) ， (a, b] . 这里的实数 a 与 b 都叫做相应区间的端点. 这些区间的几何表示如表所示.在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点. 0.85 3pt 1.3 c c c c 定义 名称 符号 数轴表示 ( x a x b ) 闭区间 ( [a, ,b] ) [baseline= (current bounding box.center) , scale=0.5] (0,-1) rectangle (4,0.5); [>=stealth,->] (0,0) -- (4,0); [fill=blue] (1,0) circle (3pt) node[below] a ; [fill=blue] (3,0) circle (3pt) node[below] b ; [very thick, blue] (1,0) -- (3,0); ( x a < x < b ) 开区间 ( (a, ,b) ) [baseline= (current bounding box.center) , scale=0.5] (0,-1) rectangle (4,0.5); [>=stealth,->] (0,0) -- (4,0); [very thick, blue] (1,0) -- (3,0); [fill=white] (1,0) circle (3pt) node[below] a ; [fill=white] (3,0) circle (3pt) node[below] b ; ( x a x < b ) 半开半闭区间 ( [a, ,b) ) [baseline= (current bounding box.center) , scale=0.5] (0,-1) rectangle (4,0.5); [>=stealth,->] (0,0) -- (4,0); [very thick, blue] (1,0) -- (3,0); [fill=blue] (1,0) circle (3pt) node[below] a ; [fill=white] (3,0) circle (3pt) node[below] b ; ( x a < x b ) 半开半闭区间 ( (a, ,b] ) [baseline= (current bounding box.center) , scale=0.5] (0,-1) rectangle (4,0.5); [>=stealth,->] (0,0) -- (4,0); [very thick, blue] (1,0) -- (3,0); [fill=white] (1,0) circle (3pt) node[below] a ; [fill=blue] (3,0) circle (3pt) node[below] b ; c c c 定义 区间 数轴表示 ( x x a ) ( [a, ,+ ) ) [baseline= (current bounding box.center) , scale=0.5] (0,-1) rectangle (4,0.5); [>=stealth,->] (0,0) -- (4,0); [very thick, blue] (1,0) -- (4,0); [fill=blue] (1,0) circle (3pt) node[below] a ; ( x x > a ) ( (a, ,+ ) ) [baseline= (current bounding box.center) , scale=0.5] (0,-1) rectangle (4,0.5); [>=stealth,->] (0,0) -- (4,0); [very thick, blue] (1,0) -- (4,0); [fill=white] (1,0) circle (3pt) node[below] a ; ( x x b ) ( (- , ,b] ) [baseline= (current bounding box.center) , scale=0.5] (0,-1) rectangle (4,0.5); [>=stealth,->] (0,0) -- (4,0); [very thick, blue] (0,0) -- (3,0); [fill=blue] (3,0) circle (3pt) node[below] b ; ( x x < b ) ( (- , ,b) ) [baseline= (current bounding box.center) , scale=0.5] (0,-1) rectangle (4,0.5); [>=stealth,->] (0,0) -- (4,0); [very thick, blue] (0,0) -- (3,0); [fill=white] (3,0) circle (3pt) node[below] b ; 注意 ：区间 ([a,b] )必须满足 (a < b )，例如 ([m-1,2m+1] )要有意义，必须满足 (m-1 < 2m+1 ).

题型 1. 求定义域

具体函数定义域：偶次方根：如 ( f(x) )， ( [4] f(x) )， ( [6] f(x) )， ( )，根号下的数非负，即 (f(x) 0 )； 对数： ( _ a f(x) )，真数大于 (0 )，即 (f(x)>0 )； 分式：如 (y = f(x) g(x) )，分母不为 (0 )，即 (g(x) 0 )； 零次方： (x^ 0 )中 ( x 0 )； 正切： ( x )中 ( x k + 2 (k Z ) )； 抽象函数求定义域：(1) 定义域永远指自变量 (x )的取值集合；(2) “ (f( ) )”括号的范围恒不变. 已知 (f(g(x)) )的定义域是 ((a, b) )，求 (f(h(x)) )的定义域. 可利用 (x (a, b) )先求出 (g(x) )的值域 ((c, d) )，然后解不等式 (c < h(x) < d )，其解集就是 (f(h(x)) )的定义域.

题型 2. 求解析式

代入法：由 (f(x) )求复合函数 (f[g(x)] )；由 (f(x+a) )、 (f(x-a) )、 (f(ax) )、 (f ( x a ) )等求 (f(x) ). 凑配法：适用于 (f( x +1) )、 (f (1+ 1 x ) )、 (f (x+ 1 x ) )、 (f (x- 1 x ) )等类型. 换元法：已知 ( f(g(x)) )的解析式，要求 ( f(x) )的解析式时，可令 ( t = g(x) )，反解此方程（即用 ( t )去表示 ( x )），将解得的结果带入到解析式中，从而求出 ( f(t) )的解析式，再把解析式中的 ( t )换为 ( x )即可. 待定系数法： 如果已知函数类型，可待定出函数的解析式，再利用条件制造方程组求出参数，求出解析式. 联立方程组法： 已知 ( f(x) )与 ( f(g(x)) )满足的关系式，要求 ( f(x) )解析式，可用 ( g(x) )代替两边所有的 ( x )，得到关于 ( f(x) )与 ( f(g(x)) )的方程，然后类比于二元一次方程组解法，消去 ( f(g(x)) )解出 ( f(x) )即可. 常见的含有 ( f(x) )与 ( f ( 1 x ) )、 ( f(x) )与 ( f(a - x) )时，可将原式中的 ( x )用 ( 1 x )或 ( a - x )代替，从而得到另一个同时含有 ( f(x) )与 ( f ( 1 x ) )或 ( f(x) )与 ( f(a - x) )的关系式，将两个关系式联立方程组解出 ( f(x) ).

题型 3. 求值域

换元法： 通过引入新变量替代原式中的部分表达式，将复杂函数转化为简单函数（如一次、二次函数）求值域，分为代数换元和三角换元. [label=( )] 代数换元：适用含根号、高次项等复杂结构的函数.令新变量 ( t )代替原式中“复杂部分”，确定 ( t )的范围，将原函数转化为关于 ( t )的函数，再求值域. 三角换元：适用含 ( a^2 - x^2 )、 ( x^2 + a^2 )等结构的函数（利用三角函数的有界性）.令变量用三角函数表示（如 ( x = a )、 ( x = a )等），将原函数转化为三角函数，利用三角函数的值域（如 ( [-1,1] )）求值域. 令 (a^x + a^ -x = t 2 )，则 (a^ 2x + a^ -2x = t^2 - 2 )； 令 (a^x - a^ -x = t R )，则 (a^ 2x + a^ -2x = t^2 + 2 )； 令 ( 1 - x 1 + x = t )，则 ( 1 - x^2 = t^2 - 2 2 )； 令 ( x x = t )，则 ( x x = t^2 - 1 2 ). 单调性法： 先判断函数在定义域内的单调性，再根据单调性求函数的最值（或边界值），进而确定值域. 数形结合法： 通过画出函数图像（或利用函数的几何意义，如距离、斜率等），直观分析函数的最值或取值范围，确定值域.适用分段函数、绝对值函数，或具有明显几何意义的函数. 判别式法：用于 ( y = a_1x^2 + b_1x + c_1 a_2x^2 + b_2x + c_2 )（ ( a_1^2 + a_2^2 0 )，分子、分母无公因式，且 ( x )无限制） 先化成 ( (a_2y - a_1)x^2 + (b_2y - b_1)x + (c_2y - c_1) = 0 )，再运用 ( 0 )求值域（注意讨论二次项系数为0）.

性质 1. 单调性

一般地，设函数 ( f(x) ) 的定义域为 ( I )，区间 ( D I )： 如果 ( x_1, x_2 D )，当 ( x_1 < x_2 ) 时， 都有 ( f(x_1) ; < ; f(x_2) )，那么就称函数 ( f(x) ) 在 区间 ( D ) 上单调递增. 如果 ( x_1, x_2 D )，当 ( x_1 < x_2 ) 时， 都有 ( f(x_1) ; > ; f(x_2) )，那么就称函数 ( f(x) ) 在 区间 ( D ) 上单调递减. 当函数 ( f(x) ) 在它的定义域上单调递增时，称为增函数. 当函数 ( f(x) ) 在它的定义域上单调递减时，称为减函数. 如果函数 ( y = f(x) ) 在区间 ( D ) 上单调递增或单调递减， 那么就说函数 ( y = f(x) ) 在这一区间具有（严格的）单调性， 区间 ( D ) 叫做 ( y = f(x) ) 的单调区间. 在两个函数公共定义域内：增 + 增 = 增 增 (- ) 减 = 增 减 + 减 = 减 减 ( - ) 增 = 减 两函数恒正: 增 × 增 = 增 减 × 减 = 减 两函数恒负: 增 × 增 = 减 减 × 减 = 增 复合函数单调性：同增异减；外层为增函数不改变内层单调性，外层为减函数改变. 单调性的等价形式： (f(x) 单调 递增 (x_2 - x_1)[f(x_2)-f(x_1)]>0 f(x_2)-f(x_1) x_2 - x_1 >0 x_2 - x_1 f(x_2)-f(x_1) >0 ) (f(x) 单调 递减 (x_2 - x_1)[f(x_2)-f(x_1)]<0 f(x_2)-f(x_1) x_2 - x_1 <0 x_2 - x_1 f(x_2)-f(x_1) <0 ) 证明函数的单调性，可先设 (x_1<x_2 )，计算 (f(x_1)-f(x_2) )或 ( f(x_1) f(x_2) )，比较和 (0 )或 (1 )的大小. 分段函数单调需要满足左段和右段单调性与整体一致，且若整体增（减），则左段函数在端点的函数值 ( ) 右段函数在端点的函数值.

性质 2. 奇偶性

一般地，设函数 ( f(x) ) 的定义域为 ( I )，如果 ( x I )， 都有 ( -x I )，且 ( f(-x) = f(x) )，那么函数 ( f(x) ) 就叫做偶函数. 都有 ( -x I )，且 ( f(-x) = - f(x) )，那么函数 ( f(x) ) 就叫做奇函数. 函数 y = f(x) 是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称； 函数 y = f(x) 是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称. 定义域关于 原点 对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. 若奇函数在原点有定义，则 (f(0)= 0 ).用于求解析式中的参数的值，或用于写分段奇函数. 奇 ( ) 奇 = 奇；偶 ( ) 偶 = 偶；奇 ( ) 偶 = 非奇非偶 奇 ( ) 奇 = 偶；奇 ( ) 偶 = 奇；偶 ( ) 偶 = 偶；奇 ( ) 奇 = 偶；奇 ( ) 偶 = 奇；偶 ( ) 偶 = 偶. 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 复合函数奇偶性：有偶则偶，全奇才奇 若 f(x) 的定义域关于原点对称，则 f(x) + f(-x) 为偶函数， f(x) - f(-x) 为奇函数， f(x)f(-x) 为偶函数 奇函数： y = f(x), x > 0, -f(-x), x < 0. 偶函数： y = f(x), x > 0, f(-x), x < 0.

性质 3. 对称性

轴对称：如果函数 (y = f(x) )满足若 ( x_1 + x_2 2 =a )，就有 (f(x_1)=f(x_2) )，则 (f(x) )的图象关于直线 (x = a )对称. 中心对称：若函数 (y = f(x) )满足若 ( x_1 + x_2 2 =a )，就有 ( f(x_1)+f(x_2) 2 =b )，则 (f(x) )关于点 ((a,b) )对称. 1.9 1. 单个函数的对称性（ (x )系数相反是对称， (x )系数相同是周期 ((m 0) )） (1) (f(a + mx)=f(b - mx) ) ( f(x) )关于 直线 (x= a + b 2 ) 对称 设 (m=a + x )， (n=b - x )，则两点 (m )， (n )对应的函数值相等，而 ( m + n 2 = (a + x)+(b - x) 2 = a + b 2 )，所以函数关于直线 (x= a + b 2 )对称. (2) (f(a + mx)+f(b - mx)=c ) ( f(x) )关于 点 (( a + b 2 , c 2 ) ) 对称 设 (x_1=a + x )， (x_2=b - x )，则 ( x_1 + x_2 2 = (a + x)+(b - x) 2 = a + b 2 )， ( f(x_1)+f(x_2) 2 = c 2 )，符合中心对称的定义，所以函数关于点 (( a + b 2 , c 2 ) )对称. (3) (f(mx + a) )是偶函数 ( ) (f(x) )关于 直线 (x = a ) 对称 (4) (f(mx + a)-b )是奇函数 ( ) (f(x) )关于 点 ((a,b) ) 对称 （人教A必修一P87-13） 2. 两个函数的对称性 (1) 函数 ( y = f(a + mx) ) 与函数 ( y = f(b - mx) (m 0) ) 的图象关于直线 ( x = b - a 2m ) 对称 (2) 函数 ( y = f(kx - a) + m ) 与函数 ( y = -f(b - kx) + n (k 0) ) 的图象关于点 ( ( a + b 2k , m + n 2 ) ) 对称. (3) 函数 ( y = f(a + x) ) 与 ( y = f(b - x) ) 的图象关于 直线 ( x = b - a 2 ) 对称. (4) 函数 ( y = f(x) ) 与函数 ( y = 2b - f(2a - x) ) 的图象关于 点 ( (a, b) ) 对称. 3. 原函数与导函数的对称结论：设 (f(x) )存在导函数 (f^ (x) )，则二者的对称性有下述结论. (1)若 (f(x) )有对称轴 (x = a )，则 (f^ (x) )关于 点 ((a,0) ) 对称. 证明： (f(x) )有对称轴 (x = a f(a + x)=f(a - x) )，两端求导可得 (f^ (a + x)=-f^ (a - x) )，所以 (f^ (a + x)+f^ (a - x)=0 )，故 (f^ (x) )关于点 ((a,0) )对称. (2)若 (f(x) )有对称中心 ((a,b) )，则 (f^ (x) )关于 直线 (x = a ) 对称. 证明： (f(x) )有对称中心 ((a,b) f(a + x)+f(a - x)=2b )，两端求导得 (f^ (a + x)-f^ (a - x)=0 )，所以 (f^ (a + x)=f^ (a - x) )，故 (f^ (x) )关于直线 (x = a )对称. (3)若 (f^ (x) )有对称轴 (x = a )，则 (f(x) )关于 点 ((a,b) ) 对称. 证明： (f^ (x) )有对称轴 (x = a f^ (a + x)-f^ (a - x)=0 )，我们把此式看成由某式求导得出，则该式为 (f(a + x)+f(a - x)=C )，令 (C = 2b )得 (f(a + x)+f(a - x)=2b f(x) )关于 ((a,b) )对称；特别地，当 (a = 0 )时， (f^ (x) )为偶函数，只能得出 (f(x) )关于点 ((0,b) )对称，不一定是奇函数. (4)当 (f^ (x) )有对称中心 ((a,b) )时，若 (b 0 )，则 (f(x) )不一定有对称轴；若 (b = 0 )，则 (f(x) )关于 直线 (x = a ) 对称. 证明： (f^ (x) )有对称中心 ((a,b) f^ (a + x)+f^ (a - x)-2b = 0 )，我们把上式看成由某式求导得出，则该式应为 (f(a + x)-f(a - x)-2bx = C )， (C )为常数，在上式中令 (x = 0 )可得 (C = 0 )，代入上式整理得： (f(a + x)=f(a - x)+2bx )，当 (b = 0 )时，上式即为 (f(a + x)=f(a - x) f(x) )有对称轴 (x = a )，而当 (b 0 )时，无法得出 (f(x) )有对称轴；特别地，若 (a = b = 0 )，即 (f^ (x) )为奇函数，我们发现此时 (f(x) )关于 (x = 0 )对称，为偶函数.

性质 4. 周期性

一般地，对于函数 ( f(x) )，如果存在一个非零常数 ( T )， 使得当 ( x ) 取定义域内的每一个值时，都有 ( f(x+T) = f(x), ) 那么函数 ( f(x) ) 就叫做周期函数.非零常数 ( T ) 叫做这个函数的周期. 显然 (kT(k Z , k 0) )也是 (f(x) )的周期 如果在周期函数 ( f(x) ) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 ( f(x) ) 的最小正周期. 若函数 (f(x) )具有最小正周期 (T )，且 (f(x) )关于直线 (x=a )对称，则 (f(x) )也关于直线 (x=a+ kT 2 )( (k Z ))对称. 若函数 (f(x) )具有最小正周期 (T )，且 (f(x) )关于点 ((a,b) )对称，则 (f(x) )也关于点 ( (a+ kT 2 , b ) )( (k Z ))对称. 常见抽象函数周期结论： f(x + a)=f(x) T = a f(x + a)=f(x + b) T = a - b f(x + a) + f(x)= c T = 2a f(x + a)+f(x + b)=c T = 2 a - b f(x + a)= k f(x) T = 2a f(x + a)= k f(x + b) T = 2 a - b f(x + a)= 1 - f(x) 1 + f(x) T = 2a f(x + a)=- 1 - f(x) 1 + f(x) T = 4a f(x + a)= 1 + f(x) 1 - f(x) T = 4a f(x + a)= 1 + f(x + b) 1 - f(x + b) T = 4 a - b f(x + a)=- 1 f(x)+1 T = 3a f(x + a)= 1 1 - f(x) T = 3a f(x + a)=1 - 1 f(x) T = 3a f(x)=f(x + a)+f(x - a) T = 6a f(x) 关于 x = a, x = b 轴对称 T = 2 a - b f(x) 关于 (a,0), (b,0) 中心对称 T = 2 a - b [f(x) 关于 x = a 轴对称，关于 (b,0) 中心对称 T = 4 a - b ]

性质 5. 周期函数的性质

若 ( f(x) )的周期为 ( T )，则函数 ( f(ax + b) )（ ( a 0 )），的周期为 ( T a ) 周期函数不一定存在最小正周期. 例如： 常函数：设 ( f(x) = C ) (, x R )）. 对任意非零常数 ( T )，均有 ( f(x + T) = C = f(x) )，即所有非零常数都是周期.由于正周期可取 ( 1, 0.1, 0.01, )（无限小），无“最小正数”，故常函数无最小正周期. 狄利克雷函数（人教A必修一P75）：定义 ( D(x) = 1, x Q 0, x Q )（ ( Q )为有理数集）. 对任意非零有理数 ( T )：若 ( x Q )，则 ( x + T Q )，故 ( D(x + T) = 1 = D(x) )；若 ( x Q )，则 ( x + T Q )，故 ( D(x + T) = 0 = D(x) ).所有非零有理数都是周期，而有理数集中无最小正数，故 ( D(x) )无最小正周期. 两个周期函数的和（或差）不一定还是周期函数 设 ( f(x) )的周期为 ( T_1 )， ( g(x) )的周期为 ( T_2 )，则 ( h(x) = f(x) + g(x) )为周期函数的充要条件是：存在非零常数 ( T )，使得 ( T = kT_1 = mT_2 )（ ( k, m )为非零整数），即 ( T )是 ( T_1 )与 ( T_2 )的“公共周期”.若 ( T_1 T_2 )为无理数，则无此类 ( T )，故 ( h(x) )非周期函数. 例如： 设 ( f(x) = x )（ ( T_1 = 2 )）， ( g(x) = ( 2 x) )（ ( T_2 = 2 )），则 ( h(x) = x + ( 2 x) )非周期函数. 假设 ( h(x) )有周期 ( T )，则对任意 ( x R )，有： [ (x + T) + ( 2 (x + T)) = x + ( 2 x) ] 整理得： [ [ (x + T) - x] + [ ( 2 x + 2 T) - ( 2 x)] = 0 ] 由和差化积公式 ( A - B = 2 ( A+B 2 ) ( A-B 2 ) )，化简为： [ 2 (x + T 2 ) ( T 2 ) + 2 ( 2 x + 2 T 2 ) ( 2 T 2 ) = 0 ] 该式对任意 ( x R )成立，需系数均为0（否则余弦函数的周期性会导致等式无法恒成立），即： [ ( T 2 ) = 0 且 ( 2 T 2 ) = 0 ] 由 ( ( T 2 ) = 0 )得 ( T 2 = k )（ ( k Z , k 0 )），即 ( T = 2k )； 由 ( ( 2 T 2 ) = 0 )得 ( 2 T 2 = m )（ ( m Z , m 0 )），即 ( T = 2 m ). 联立得 ( 2k = 2 m )，化简为 ( 2 = 2k m ).但 ( 2 )是无理数， ( 2k m )是有理数，矛盾.故 ( h(x) )非周期函数.

定义 3. 类周期函数

若 f(x + T) = f(x) + B ( T , B 为非零常数)，则称 f(x) 为周期性阶梯函数, 如 (f(x) = x^2 + 2x, -2 x 0 f(x - 1) + 1, 0 < x 3 ) f(x) = f(x - T) + B = f(x - 2T) + 2B = = f(x - nT) + nB . f(x) = f(x + T) - B = f(x + 2T) - 2B = = f(x + nT) - nB . 若 f(x + T) = Af(x) ( T , A 为非零常数)，则称 f(x) 为周期性倍增函数, 如 (f(x) = x^2 - x, x [0, 1] 2f(x - 1), x (1, 4] ) f(x) = Af(x - T) = A^2f(x - 2T) = = A^nf(x - nT) . f(x) = 1 A f(x + T) = 1 A^2 f(x + 2T) = = 1 A^n f(x + nT) . 0.49 [>=stealth, scale=0.9, baseline=(current bounding box.center)] [->] (-0.5,0) -- (4.5,0) node[right] x ; [->] (0,-2.5) -- (0,0.5) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; [thick] (0,0) sin (0.5,-0.4) cos (1,0); [thick] (1,0) sin (1.5,-0.7) cos (2,0); [thick] (2,0) sin (2.5,-1.2) cos (3,0); [thick] (3,0) sin (3.5,-2) cos (4,0); in 1,2,3,4 ( ,0) -- ( ,0.1); 0.49 [>=stealth,yscale=0.7, scale=0.7, baseline=(current bounding box.center)] [->] (-1.5,0) -- (3.5,0) node[right] x ; [->] (0,-1) -- (0,5) node[left] y ; [above left] at (0,0) O ; % Left part [thick] (-1,0) parabola bend (-0.5,-0.5) (0,0); % Right part [thick] (0,0) parabola (1,1); [thick] (1,1) parabola (2,2.5); [thick] (2,2.5) parabola (3,4.8); in 1,2,3 ( ,0) -- ( ,0.1); 若 f(x + T) = Af(x) + B ( T , A , B 为非零常数)，则称 f(x) 为周期性倍增阶梯函数. f(x) = Af(x - T) + B = A^2f(x - 2T) + AB + B = A^nf(x - nT) + (A^ n-1 + A^ n-2 + + A + 1)B . f(x) = 1 A f(x + T) - B A = 1 A^2 f(x + 2T) - B A^2 - B A = = 1 A^n f(x + nT) - (A^ n-1 +A^ n-2 + +A + 1)B A^n .

定义 4. 反函数（人教A必修一P135）

设函数 ( f: D R ) 是从定义域 ( D R ) 到值域 ( R R ) 的映射.若 ( f ) 是双射，则存在唯一函数 ( f^ -1 : R D )，使得： [ x D, y R, y = f(x) x = f^ -1 (y) ] 此时， ( f^ -1 ) 称为 ( f ) 的反函数. 互为反函数的函数，其图像关于直线 ( y = x ) 对称.例如指数函数 (e^x )与对数函数 ( x ). 对于连续函数 ( f(x) )，若 ( f(x) ) 在区间 ( I ) 上单调递增（或单调递减），则其反函数 ( f^ -1 (x) ) 在区间 ( f(I) ) 上也单调递增（或单调递减）. 若连续函数有反函数，则该函数在其定义域上必为单调函数；反之，若连续函数在其定义域上单调，则该函数必有反函数.

题型 4. 函数性质综合题型

若 (f(x) )关于点 ((a, b) )对称， (f(x) ) 有最大值 (M ) 和 最小值 (m )，则 (M + m = 2b ) 若 (f(x) )关于点 ((a, b_1) )对称， (g(x) )关于点 ((a, b_2) )对称，则 (f(x)+g(x) )关于点 ((a, b_1 + b_2) ) 对称 若 (f(x) )关于点 ((a, b) )对称， (g(x) )关于点 ((a, b) )对称， (f(x) )与 (g(x) )图像有 (n )个交点 ((x_1, y_1), (x_2, y_2), ... (x_n, y_n) )，则 [ _ i=1 ^ n x_i = na , _ i=1 ^ n y_i = nb , _ i=1 ^ n (x_i + y_i) = n(a+b) ] 若 (f(x) )关于直线 ( x = a )对称，且在 ( [a, + ) )上单调递增，则 [ f(A) > f(B) A - a > B - a ] 若 (f(x) )关于点 ((a, b) )对称，且在区间 (I )上单调递增，则 [f(A) + f(B) > 2b A + B > 2a ] 若 ( f(x) )的定义域关于原点对称，则 ( f(x) )可唯一分解为偶函数 ( g(x) )与奇函数 ( h(x) )的和，其中 [ g(x) = f(x) + f(-x) 2 , h(x) = f(x) - f(-x) 2 ]

题型 5. 函数图像变换

y = f(x) [ (a<0 ), 向右平移 ( a ) 个单位(右减) ] (a>0 ), 向左平移 ( a ) 个单位(左加) y = f(x + a) ; y = f(x) [ (b<0 ), 向下平移 ( b ) 个单位(下减) ] (b>0 ), 向上平移 ( b ) 个单位(上加) y = f(x) + b y = f(x) 关于 (y ) 轴对称 y = f(-x) ; y = f(x) 关于 (x=a ) 对称 y = f(2a-x) y = f(x) 关于 (x ) 轴对称 y = -f(x) ; y = f(x) 关于 (y=b ) 对称 y = 2b-f(x) y = f(x) 关于原点对称 y = -f(-x) ; y = f(x) 关于 ((a,b) )对称 y = 2b-f(2a-x) y = f(x) [ 并将 (y ) 轴右边的图象翻折到左边 ] 去掉 (y ) 轴左边图象, 保留 (y ) 轴右边图象 y = f( x ) ; y = f(x) [ 并将 (x ) 轴下方的图象翻折到上方 ] 保留 (x ) 轴上方图象 y = f(x) y = f(x) [ ( >1 ), 横坐标缩短为原来的 ( 1 ) 倍 ] (0< <1 ), 横坐标伸长为原来的 ( 1 ) 倍 y = f( x) ; y = f(x) [ (A>1 ), 纵坐标伸长为原来的 (A ) 倍 ] (0<A<1 ), 纵坐标缩短为原来的 (A ) 倍 y = A f(x) 点的旋转：设点 ((x, y) ) 绕原点 ((0,0) ) 逆时针旋转 ( ) 角后，新坐标为 ((x', y') )，则： ( x' = x - y y' = x + y )

定义 5. 旋转函数

若将函数 (f(x) )的图像绕原点逆时针旋转 ( )后仍然满足函数的定义，则称 (f(x) )为 ( ) 旋转函数. 从几何上看，旋转后的图像与垂直于横轴的直线至多有一个交点. 结论 ： ( y = f(x) ) 为 ( ) 旋转函数，当 ( x_1 x_2 ) 时， ( x_1' x_2' )，即 ( x_1 - y_1 x_2 - y_2 )， 于是 ( y_1 - x_1 1 y_2 - x_2 1 )， [ y = f(x) - 1 x 在定义域内是单调函数 ] 解释：在坐标系 ( xOy ) 不变的情况下，函数 ( f(x) ) 的图像绕原点逆时针旋转角 ( )，相当于 ( f(x) ) 的图像不变，坐标系 ( xOy ) 绕原点顺时针旋转角 ( ) 得到新坐标系 ( x'Oy' ). 在新坐标系 ( x'Oy' ) 下，由函数的定义知，垂直于 ( x' ) 轴的直线 ( l ) 与 ( f(x) ) 的图像至多有一个交点. 直线 ( l ) 在旧坐标系 ( xOy ) 下的倾斜角为 ( 90^ - )，斜率 ( (90^ - ) = 1 )， 则 ( f(x) ) 为 ( ) 旋转函数等价于直线 ( y = 1 x + m ) 与 ( y = f(x) ) 的图像至多有一个交点，即方程 ( f(x) = 1 x + m ) 至多有一个实根. 所以 ( m = f(x) - 1 x )，则直线 ( y = m ) 与曲线 ( y = f(x) - 1 x ) 至多有一个交点，即 ( y = f(x) - 1 x ) 为单调函数.

题型 6. 函数不等式恒成立与能成立问题

单变量不等式恒成立问题一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立 ( x D, m f(x) m f(x)_ ) ( x D, m f(x) m f(x)_ ) ( x D, m f(x) m f(x)_ ) ( x D, m f(x) m f(x)_ ) 双变量不等式与等式，一般地，已知函数 (y = f(x),x [a,b],y = g(x),x [c,d] ) 不等关系 若 ( x_1 [a,b], x_2 [c,d] ),有 (f(x_1)<g(x_2) )成立，则 (f(x)_ <g(x)_ ) 若 ( x_1 [a,b], x_2 [c,d] ),有 (f(x_1)<g(x_2) )成立，则 (f(x)_ <g(x)_ ) 若 ( x_1 [a,b], x_2 [c,d] ),有 (f(x_1)<g(x_2) )成立，则 (f(x)_ <g(x)_ ) 若 ( x_1 [a,b], x_2 [c,d] ),有 (f(x_1)<g(x_2) )成立，则 (f(x)_ <g(x)_ ) 相等关系：记 (y = f(x),x [a,b] )的值域为 (A )， (y = g(x),x [c,d] )的值域为 (B )， 若 ( x_1 [a,b], x_2 [c,d] ),有 (f(x_1)=g(x_2) )成立，则有 (A B ) 若 ( x_1 [a,b], x_2 [c,d] ),有 (f(x_1)=g(x_2) )成立，则有 (A B ) 若 ( x_1 [a,b], x_2 [c,d] ),有 (f(x_1)=g(x_2) )成立，则有 ( A B ) 分离参数法（主流方法：一定要有分参意识） 倒数法分离参数：如 f(x) = g(x) 1 = f(x) g(x) ；【当 g(x) 的值一定不为 0 时，可考虑用倒数法分离参数.】 讨论法分离参数：如 g(x) f(x) ，可讨论 g(x) 的符号，再分参； 不完全分离参数法：如 b x = x + x - x^2

定义 6. 函数的零点

对于一般函数 y=f(x) ，我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x) 的零点. 方程 f(x) = 0 有实数根 x_0 函数 y = f(x) 有零点 x_0 函数 y = f(x) 的图象与 x 轴交点横坐标为 x_0 . 方程 f(x) = g(x) 有实数根 x_0 函数 y = f(x) 与函数 y = g(x) 有公共点，且公共点横坐标为 x_0 .

定理 1. 零点存在定理

如果函数 ( y = f(x) ) 在区间 ([a, b] ) 上的图象是一条连续不断的曲线， 且有 ( f(a)f(b) < 0 )，那么，函数 ( y = f(x) ) 在区间 ((a, b) ) 内至少有一个零点，即存在 ( c (a, b) )，使得 ( f(c) = 0 )， 这个 ( c ) 也就是方程 ( f(x) = 0 ) 的解. 若 ( f(a) f(b)<0 )，则 (f(x) )在 ([a,b] )上未必只有一个零点. 若 ( f(a) f(b)>0 )，则 (f(x) )在 ([a,b] )上未必没有零点. 函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，零点存在性定理只适用“不变号零点”. 若 y = f(x) 在区间 (a, b) 内有零点，且在区间 (a, b) 上单调，则 f(x) 在 (a, b) 内有唯一零点. 可借助“ x a ”，“ x + ”等符号或者说“ x 充分大时”，来说明 f(x) 在区间端点值的正负. 介值定理： 若函数 ( f(x) )在闭区间 ( [a,b] )连续，则它一定能取到介于最大值和最小值之间的任何一个值.

定义 7. 二分法

对于在区间 [a, b] 上图象连续不断且 f(a)f(b)<0 的函数 y=f(x) ，通过不断地 把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似 值的方法叫做二分法. 给定精确度 ，用二分法求函数 y=f(x) 零点 x_0 的近 似值的一般步骤如下： 确定零点 x_0 的初始区间 [a, b] ，验证 f(a)f(b)<0 . 求区间 (a, b) 的中点 c . 计算 f(c) ，并进一步确定零点所在的区间： 若 f(c)=0 （此时 x_0=c ），则 c 就是函数的零点； 若 f(a)f(c)<0 （此时 x_0 (a, c) ），则令 b=c ； 若 f(c)f(b)<0 （此时 x_0 (c, b) ），则令 a=c . 判断是否达到精确度 ：若 a-b < ，则得到零点 近似值 a （或 b ）；否则重复步骤 2～4. 为了刻画与准确值的接近程度，这里给出了精确度 ，由 a-b < 可 知，区间 [a, b] 中任意一个值都是零点 x_0 满足精确度 的近似值. 注意 ：二分法只能求解函数的变号零点.

结论 1. 常见函数模型与增长速度差异（人教A必修一P119、P150）

常见函数模型：一次函数 (y = kx + b )、二次函数、反比例（分式）函数、分段函数、指数型 (y = ka^ x )、对数型 (y = k _a x + b )、幂型 (y = x^ n ). 两种增长方式：增加量为常数（自变量每增加一个单位，函数值增加固定值）对应一次函数（线性增长）；增长率为常数（每次增长的百分比固定）对应指数函数（指数增长）——设原有量为 (N )、每次增长率为 (p )，增长 (x )次后 (y = N(1 + p)^ x ). 增长速度比较：当 (a > 1 )， (n > 0 )且 (x )充分大时，恒有 [ _a x ; < ; x^ n ; < ; a^ x ]即对数增长最慢、幂增长居中、指数增长最快（“指数爆炸”）；对数函数 (y = _a x )增长越来越慢，最终增长速度小于任何幂函数.

一元二次不等式与二次函数

定义 1. 一元二次不等式

一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是 (ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0 )， 其中 a, b, c 均为常数， a 0 .

题型 1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

[ 0.9 c Y Y Y >0 =0 <0 y=ax^2+bx+c (a>0) 的图象 [baseline= (current bounding box.center) , scale=0.5, >=stealth] [->] (-1.8,0) -- (2.5,0) node[right] x ; [->] (0,-1) -- (0,3) node[left] y ; [below right] at (0,0) O ; [thick, blue, domain=-1.5:2.5, samples=100] plot ( , ( -0.5)*( -0.5) - 1 ); (-0.5,0) circle (0.6pt) node[below] x_1 ; (1.5,0) circle (0.6pt) node[below] x_2 ; [baseline= (current bounding box.center) , scale=0.5, >=stealth] [->] (-1.8,0) -- (2.5,0) node[right] x ; [->] (0,-1) -- (0,3) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; [thick, blue, domain=-0.8:2.2, samples=100] plot ( , ( -0.7)*( -0.7) ); (0.7,0) circle (0.6pt) node[below] x_1=x_2 ; [baseline= (current bounding box.center) , scale=0.5, >=stealth] [->] (-1.8,0) -- (2.5,0) node[right] x ; [->] (0,-1) -- (0,3) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; [thick, blue, domain=-1:2, samples=100] plot ( , ( -0.5)*( -0.5) + 0.4 ); ax^2+bx+c=0 (a>0) 的根 有两个不相等的实数根 x_1,x_2 (x_1<x_2) 有两个相等的实数根 x_1=x_2=- b 2a 没有实数根 ax^2+bx+c>0 (a>0) 的解集 x x<x_1 或 x>x_2 x x - b 2a R ax^2+bx+c<0 (a>0) 的解集 x x_1<x<x_2 ]

题型 2. 一元二次不等式的解法

[>=stealth, node distance=0.7cm, every node/.style= align=center ] [draw=blue!50, minimum width=8cm, minimum height=0.7cm] (A) 将原不等式化成 ax^2+bx+c>0 （ a>0 ）的形式 ; [draw=blue!50, minimum width=5.5cm, minimum height=0.7cm, below=of A] (B) 计算 =b^2-4ac 的值 ; [draw=blue!50, minimum width=4cm, minimum height=1.6cm, below left=0.8cm and 1.4cm of B] (C) 方程 ax^2+bx+c=0 有两个不相等的实数根， 解得 x_1 ， x_2 （ x_1<x_2 ） ; [draw=blue!50, minimum width=4cm, minimum height=1.6cm, below=0.8cm of B] (D) 方程 ax^2+bx+c=0 有两个相等的实数根， 解得 x_1=x_2=- b 2a ; [draw=blue!50, minimum width=3.2cm, minimum height=1cm, below right=0.8cm and 1.4cm of B] (E) 方程 ax^2+bx+c=0 没有实数根 ; [draw=blue!50, minimum width=4cm, minimum height=0.8cm, below=0.6cm of C] (F) 原不等式的解集为 x x<x_1 ，或 x>x_2 ; [draw=blue!50, minimum width=4cm, minimum height=0.8cm, below=0.6cm of D] (G) 原不等式的解集为 x x - b 2a ; [draw=blue!50, minimum width=3cm, minimum height=0.7cm, below=0.6cm of E] (H) 原不等式的解集为 R ; [->, blue!50] (A) -- (B); [->, blue!50] (B) - node[above, yshift=0.1cm] >0 (C); [->, blue!50] (B) -- node[right, xshift=0.05cm] =0 (D); [->, blue!50] (B) - node[above, yshift=0.1cm] <0 (E); [->, blue!50] (C) -- (F); [->, blue!50] (D) -- (G); [->, blue!50] (E) -- (H); 解一元二次不等式步骤：先整理为 (ax^2+bx+c>0 ) 或 (ax^2+bx+c<0 )（一般令 (a>0 )）；再因式分解或用求根公式求方程 (ax^2+bx+c=0 ) 的根；最后借助 (y=ax^2+bx+c ) 的开口方向与零点位置写出解集. 若 (ax^2 + bx + c > 0( 或 < 0) ) 的解集若已给出，则解集中的端点值 (x_1, x_2 ) 是方程 (ax^2 + bx + c = 0 ) 的根. 三个二次的关系：一元二次函数的零点=一元二次方程的根=一元二次不等式解集的端点.

题型 3. 二次函数最值

开口向上的二次函数 f(x)=ax^2+bx+c (a>0) 在区间 ([m,n] )上的最值 [ c c c c c 对称轴位置 (- b 2a m ) (m<- b 2a m + n 2 ) ( m + n 2 <- b 2a <n ) (n - b 2a ) 最小值 (f(m) ) (f (- b 2a ) ) (f (- b 2a ) ) (f(n) ) 最大值 (f(n) ) (f(n) ) (f(m) ) (f(m) ) ]

题型 4. 二次函数根的分布

设 (x_1,x_2 )是实系数一元二次方程 (ax^ 2 +bx + c = 0 (a > 0) )的两实根，则 (x_1,x_2 )根的分布情况按如下条件确定： [ c c c c c c c (x_1<x_2<k ) (k<x_1<x_2 ) (x_1<k<x_2 ) (k_1 < x_1 < x_2 < k_2 ) @ c@ (k_1 < x_1 < k_2 ) (k_2 < x_2 < k_3 ) @ c@ 在 ((k_1,k_2) )内 有且只有一根 ( f(k)>0 - b 2a <k >0 ) ( f(k)>0 - b 2a >k >0 ) ( f(k)<0 ) ( f(k_1)>0 f(k_2)>0 k_1<- b 2a <k_2 >0 ) ( f(k_1)>0 f(k_2)<0 f(k_3)>0 ) ( f(k_1)f(k_2)<0 或 = 0 k_1<- b 2a <k_2 ) ] [ 利用韦达定理： c c c 方程有两个正根 方程有两个负根 方程有一正一负根 ( >0 x_1 + x_2>0 x_1x_2>0 ) ( >0 x_1 + x_2<0 x_1x_2>0 ) ( x_1x_2<0 ) ]

题型 5. 一元二次不等式恒成立问题

设 (f(x)=ax^ 2 +bx + c (a 0) ) (f(x)>0 )在 (R )上恒成立 ( ) a>0 <0 ； (f(x)<0 )在 (R )上恒成立 ( ) a<0 <0 (f(x)>0 ;(a > 0) ) 在 ([m,n] )上恒成立 ( - b 2a <m f(m)>0 或 m - b 2a n = b^ 2 -4ac<0 或 - b 2a >n f(n)>0 ) (f(x)<0 ;(a > 0) ) 在 ([m,n] )上恒成立 ( f(m)<0 f(n)<0 )

分式不等式与分式函数

题型 1. 分式不等式的解法

解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解. 设 (f(x),g(x) )为多项式函数，且 (g(x) 0 )，则有： ( f(x) g(x) > 0 f(x)g(x) > 0 )， ( f(x) g(x) 0 f(x)g(x) 0 )且 (g(x) 0 ) . ( f(x) g(x) < 0 f(x)g(x) < 0 )， ( f(x) g(x) 0 f(x)g(x) 0 )且 (g(x) 0 ).

定义 1. 一次比一次型分式函数

对于一次比一次分式函数 (f(x)= ax + b cx + d ; ( a c b d ) ) 0.6 定义域：分母不为 (0 )，即 ( x x - d c ,x R ) 值域：函数值不能取到 ( a c ) ，值域是 ( y y a c ,y R ) 对称中心：图象是中心对称图形，对称中心为 ( (- d c , a c ) ) 单调性：可变形为 (f(x)= a c (cx + d)+b- ad c cx + d = a c + b - ad c cx + d ) ， 当 (b- ad c )与 (c )同号时，在 ((- ,- d c ) )和 ((- d c ,+ ) )上单调递减 当 (b- ad c )与 (c )异号时 ，在 ((- ,- d c ) )和 ((- d c ,+ ) )上单调递增 图像：利用两线一点法作函数的图象，步骤如下： 0.39 [scale=0.5, >=stealth] % 定义颜色 % 绘制坐标轴 [->] (-4, 0) -- (7, 0) node[right] (x ) ; [->] (0, -4) -- (0, 8) node[left] (y ) ; at (0,0) [below left] (O ) ; % 渐近线参数 1 % 垂直渐近线 x = 1 2 % 水平渐近线 y = 2 % 1. 绘制两条渐近线 [dashed, thick] ( , 8) -- ( , -4) node[above] (x = - d c ) ; [dashed, thick] (-4, ) -- (7, ) node[right] (y = a c ) ; % 绘制对称中心 [black] ( , ) circle (1.5pt) node[below right] ( (- d c , a c ) ) ; % 2. 绘制函数 f(x) = (2x + 1) / (x - 1) % 注意避开垂直渐近线 x=1 (分两段domain绘制) [thick, smooth, samples=200, domain=-4:0.5] plot ( , (2* + 1)/( - 1) ); [thick, smooth, samples=200, domain=1.5:7] plot ( , (2* + 1)/( - 1) ) node[above] (f(x) = ax + b cx + d ) ; % 3. 标记截距点 ("两线一点法"中的点) % y轴交点: x = 0, y = -1 [black] (0, -1) circle (1pt); % x轴交点: y = 0, x = -0.5 [black] (-0.5, 0) circle (1pt); 找到函数图象的两条渐近线 (x = - d c ,y= a c )； 取函数与坐标轴的交点，确定函数图象分布在以渐近线为参照下的一三还是二四象限； 根据反比例函数图象画出草图. 注：研究 ( y= A x+B C x+D )和 ( y= Aa^x+B Ca^x+D )之类的函数值域方法同上.

题型 2. 二次比一次函数求值域

【例】函数 (y = x - 1 x^ 2 -x + 1 (x>1) )的最大值为 ( ). 解法 1（换元法）：像这种“ ( 一次函数 二次函数 )”型的分式函数，通用做法是令一次函数部分为 (t )，再分子分母同除以 (t ). 令 (t = x - 1 )，则 (t>0 )， (x = t + 1 )，所以 y= t (t + 1)^ 2 -(t + 1)+1 = t t^ 2 +t + 1 = 1 t+ 1 t +1 1 2 t 1 t +1 = 1 3 当且仅当 (t= 1 t )，即 (t = 1 )时取等号，此时 (x = 2 )，故函数 (y = x - 1 x^ 2 -x + 1 (x>1) )的最大值为 ( 1 3 ) 解法 2（判别式法）：若将解析式看成关于 (x )的方程，则该方程能化为一元二次方程，用判别式研究 (y )的最值， 将 (y = x - 1 x^ 2 -x + 1 )变形成 (y(x^ 2 -x + 1)=x - 1 )，整理得： (yx^ 2 -(y + 1)x + y + 1 = 0 ) 1 ， 当 (y 0 )时，把 1 看成关于 (x )的一元二次方程，则 ( =(y + 1)^ 2 -4y(y + 1) 0 )， 解得： (-1 y 1 3 )， (y_ )不一定是 ( 1 3 )，还得看 (y )能否等于 ( 1 3 )，可将 (y = 1 3 )代回解析式，看能否求出满足题意的 (x )， 由 ( 1 3 = x - 1 x^ 2 -x + 1 )可解得： (x = 2 )，满足 (x>1 )，所以函数 (y = x - 1 x^ 2 -x + 1 (x>1) )的最大值为 ( 1 3 ). 对于“ ( 二次函数 一次函数 )”求值域，只需对该的问题取倒数即可.

题型 3. 二次比二次函数求值域

【例】函数 (y = x^ 2 -2x + 2 x^ 2 -x + 1 (x>1) )的最小值为 ( ). 解法 1（分离常数变为一次比二次）：将分子的 (x^ 2 )凑成分母的形式，通过拆项把分子化为一次函数 由题意， y= x^ 2 -2x + 2 x^ 2 -x + 1 = (x^ 2 -x + 1)-(x - 1) x^ 2 -x + 1 =1- x - 1 x^ 2 -x + 1 由上一题结论可得 (y_ =1 - 1 3 = 2 3 ). 解法 2（判别式法）：将 (y = x^ 2 -2x + 2 x^ 2 -x + 1 )变形成 (y(x^ 2 -x + 1)=x^ 2 -2x + 2 )，整理得： ((y - 1)x^ 2 +(2 - y)x + y - 2 = 0 )， 当 (y 1 )时，将该方程看成关于 (x )的一元二次方程，则 ( =(2 - y)^ 2 -4(y - 1)(y - 2) 0 )，所以 ( 2 3 y 2(y 1) )， (y_ )不一定是 ( 2 3 )，还得看 (y = 2 3 )能否成立，可将 (y = 2 3 )代回解析式，看能否求出满足题意的 (x )， 由 ( 2 3 = x^ 2 -2x + 2 x^ 2 -x + 1 )解得： (x = 2 )，满足 (x>1 )，所以函数 (y = x^ 2 -2x + 2 x^ 2 -x + 1 (x>1) )的最小值为 ( 2 3 ).

题型 4. 根式分式函数求值域

【例】：求 ( y= x+A x^2+Cx+D )的值域： 方法一：考虑 ( y^2= x^2+2Ax+A^2 x^2+Cx+D =1+ (2A-C)x+(A^2-D) x^2+Cx+D ). 方法二：做代换 ( t=x+A )，那么 ( x=t-A )， y= t (t-A)^2+C(t-A)+D = t t^2+(C-2A)t+A^2-AC+D = 1 1+(C-2A) 1 t +(A^2-AC+D) 1 t^2 其中， ( 1+(C-2A) 1 t +(A^2-AC+D) 1 t^2 )是一个关于 ( 1 t ) 的二次函数，容易求出值域. 【例】求 ( y= Ax- Bx^2+C Ax+ Bx^2+C )的值域： 方法一： [ Ax- Bx^2+C Ax+ Bx^2+C = =1- 2 Bx^2+C Ax+ Bx^2+C =1- 2 Ax Bx^2+C +1 =1- 2 A B+ C x^2 +1 ] ( A )前面的正负号取决于 ( x )的正负. 方法二： y+ 1 y = Ax- Bx^2+C Ax+ Bx^2+C + Ax+ Bx^2+C Ax- Bx^2+C = 2(A^2+B^2)x^2+2C (A^2-B^2)x^2+C = 2(A^2+B^2) A^2-B^2 x^2+ C A^2+B^2 x^2+ C A^2-B^2 = 2(A^2+B^2) A^2-B^2 (1+ C A^2+B^2 - C A^2-B^2 x^2+ C A^2-B^2 ) 先求出 ( y+ 1 y )的范围，再求 ( y )的范围. 方法三： 判别式法 yAx+y Bx^2+C =Ax- Bx^2+C (y+1) Bx^2+C =Ax(1-y) [B(y+1)^2-A^2(1-y)^2]x^2+C(y+1)^2=0 =-4[B(y+1)^2-A^2(1-y)^2]C(y+1)^2 0 先求解方程 ( (B-A^2)y^2+2(B+A^2)y+(B-A^2)=0 )，然后根据 ( C )的正负决定区间.

幂、指、对函数

定义 1. 常见名词概念

放射性物质质量衰减一半所用的时间被称做 半衰期 .连续两个半衰期并不是一个全衰期（衰减为0所用的时间） 函数值增长为原来两倍所用的时间为“ 倍增期 ”. 每 翻一番 所需的时间也称为倍增期. 复利 是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.

定义 2. 幂函数的定义

一般地，函数 ( y = x^ ) 叫做幂函数，其中 ( x ) 是自变量， ( ) 是常数. 例如： (y = x )， (y = x^ 2 )， (y = x^ -1 ) 等都是幂函数. 定义域: 当 ( ) 为正整数时，定义域为 (R ), 当 ( ) 为零或负整数时，定义域为 ( x x 0 ). 当 ( ) 为分数 ( m n )（ (m,n Z )， (n>1 )， (m,n ) 互质）时： 若 (n ) 为偶数，定义域为 ([0,+ ) )； 若 (n ) 为奇数，定义域为 (R ). 运算法则: (x^ x^ =x^ + )； ( x^ x^ =x^ - )； ((x^ )^ =x^ )（ (x>0 )， ( , R )）； ((xy)^ =x^ y^ )（ (x>0 )， (y>0 )， ( R )）

性质 1. 幂函数的图象及性质

[c] 0.59 幂函数 (y = x^ ) 的图象一定过点 ( (1,1) ). 当 ( >0 ) 时： 图象过点 ((0,0) )和 ((1,1) )，在 ([0,+ ) ) 上单调递增. 若 ( >1 )，图象向下凹；若 (0< <1 )，图象向上凸. 当 ( <0 ) 时： 图象不过点 ((0,0) )，过点 ((1,1) )，在 ((0,+ ) ) 上单调递减. 图象在第一象限内，向上与 (y ) 轴无限接近，向右与 (x ) 轴无限接近. 在 (x > 1 )时，幂函数的图像呈现“指大图高”. 若 ( )为偶数， (y = x^ )是偶函数； 若 ( )为奇数， (y = x^ )是奇函数. 设 ( = m n , ; x^ = [n] x^ m )（ (m,n )为互质的整数， (n>0 )） 当 (n )为奇数时： 若 (m )为奇数， (y = x^ )是 奇 函数； 若 (m )为偶数， (y = x^ )是 偶 函数. 当 (n )为偶数时， (y = x^ )既不是奇函数也不是偶函数. [c] 0.4 [scale = 1, >=stealth] % 定义坐标轴 [->] (-3,0) -- (4,0) node[below] (x ) ; [->] (0,-3) -- (0,4) node[left] (y ) ; % 绘制y = x图像 [blue, thick, domain=-3:3.5] plot ( , ) node[left] (y = x ) ; % 绘制y = x^2图像 [red, thick, domain=-2:2] plot ( , ) node[right] (y = x^ 2 ) ; % 绘制y = x^3图像 [black, thick, domain=-1.4:1.6] plot ( , ) node[left] (y = x^ 3 ) ; % 绘制y = 1/x图像 [orange, thick, domain=0.25:3.5] plot ( , 1/ ) node[above] (y = 1 x ) ; [orange, thick, domain=-3:-0.35] plot ( , 1/ ) node[right] ( ) ; % 绘制y = x^(1/2)图像 [violet, thick, domain=0:3.5] plot ( , sqrt( ) ) node[above] (y = x ) ; in -1,1,2,3 ( , -0.05) -- ( , 0.05) node[below] ( ) ; % 标记 y 轴刻度 in -1, 1, 2, 3 (-0.05, ) -- (0.05, ) node[left] ( ) ;

定义 3. 指数函数的定义

一般地，函数 (y = a^ x )（ (a>0 )，且 (a 1 )）叫做指数函数， 其中指数 (x )是自变量，定义域是 (R ). 运算法则: (a^0 = 1 (a 0), a^ -n = 1 a^n (a 0,n N ^*), a^m a^n = a^ m + n , (a^m)^n = a^ mn , (ab)^n = a^nb^n ) ( 当 n 是奇数时 , [n] a^n =a; 当 n 是偶数时 , [n] a^n = a ; a^ m n = [n] a^m , a ^ - m n = 1 a ^ m n = 1 [ n ] a ^ m (a > 0,m,n N ^*,n > 1) )

性质 2. 指数函数的图像与性质

[c] 0.54 定义域 (R )，值域 ((0,+ ) )，过定点 ( (0,1) ) 当 (a > 1 )时， (y = a^ x )为增函数， (a )值越大，图象向上越靠近 (y )轴，递增速度越快；当 (0 < a < 1 )时， (y = a^ x )为减函数 (a )值越小，图象向下越靠近 (x )轴，递减速度越快； 底数对函数 (y = a^ x (a > 0 )，且 (a 1) )图象的影响如图，在第一象限具有“底大图高”的特征； 当 (a > 0 )且 (a 1 )时，函数 (y = a^ x )与函数 (y = ( 1 a )^ x )的图象关于 (y )轴 对称. [c] 0.45 [scale = 1.5, >=stealth] % 绘制坐标轴`' [->] (-2,0) -- (2,0) node[right] (x ) ; [->] (0,0) -- (0,3.2) node[left] (y ) ; % 绘制 y = 2^x`' [blue,thick] plot[domain=-1.6:1.6,samples=100] ( , 2^ ) node[right] (y = 2^x ) ; % 绘制 y = 3^x [red,thick] plot[domain=-1.6:0.9,samples=100] ( , 3^ ) node[above] (y = 3^x ) ; % % 绘制 y = e^x，使用近似值 2.71828 表示 e % [green,thick] plot[domain=-1.4:1.5,samples=100] ( , 2.71828^ ) node[right] y = e^x ; % 绘制 y = (1/2)^x [orange,thick] plot[domain=1.6:-1.6,samples=100] ( , (0.5)^ ) node[left] (y = ( 1 2 )^x ) ; % 绘制 y = (1/3)^x [purple,thick] plot[domain=1.6:-0.9,samples=100] ( , (1/3)^ ) node[above] (y = ( 1 3 )^x ) ; % 标记 x 轴刻度 in -1,0, ..., 1 ( , -0.05) -- ( , 0.05) node[below] ( ) ; % 标记 y 轴刻度 in 1, 2, 3 (-0.05, ) -- (0.05, ) node[left] ( ) ;

定义 4. 对数函数定义

一般地，如果 (a^x = N )（ (a>0 )，且 (a 1 )），那么数 (x )叫做以 (a )为底 (N )的对数，记作 (x = _a N )，其中 (a )叫做对数的底数， (N )叫做真数. 通常，我们将以 10 为底的对数叫做常用对数，并把 _ 10 N 记为 N . 另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数 e=2.71828 为底数的对数， 以 e 为底的对数称为自然对数，并把 _ e N 记为 N . 当 a > 0 ， a 1 时， a^x = N x = _aN. 负数和 0 没有对数； ( _ a 1 = 0 ), ( _ a a = 1 ). 如果 (a > 0 )，且 (a 1 )， (M > 0 )， (N > 0 )，那么： ( _a M+ _a N= _a(M N) )； ( _a M - _a N= _a M N )； ( _ a^m M^n= n m _a M )； ( 2 + 5 = 10 = 1 ) 换底公式： _ a b = _ c b _ c a (a > 0, 且 a 1; b > 0; c > 0, 且 c 1). 推论： ( _a b _b a = 1 )， ; ( _a b _b c= _a c )， ; _a b _b c _c a = 1 ; ; ( _ a^n b^m= m n _a b ) 一般地，函数 y = _a x (a > 0 ，且 a 1) 叫做对数函数，其中 x 是自变量，定义域是 (0, + ) .

性质 3. 对数函数的图像和性质

0.5 图象恒过点 ((1,0) ) ，因为 ( _ a 1 = 0 )（ (a > 0 )且 (a 1 )） 当 (a > 1 )时，函数单调递增，图象在 ((0, + ) )上从左到右上升，且在 (x )轴正半轴上， (x )越趋近于 (0 )，函数值越趋近于 (- )； (x )越大，函数值越大. 当 (0 < a < 1 )时，函数图象在 ((0, + ) )上从左到右下降，且在 (x )轴正半轴上， (x )越趋近于 (0 )，函数值越趋近于 (+ )； (x )越大，函数值越趋近于 (- ). 函数 (y = _ a x )与 (y = _ 1 a x )的图象关于 (x )轴 对称. 当 (x>1 )时，图像“底大图低” 0.49 [scale = 1.5, >=stealth] % 绘制坐标轴 [->] (0, -1.8) -- (0, 1.8) node[left] (y ) ; [->] (0, 0) -- (4, 0) node[right] (x ) ; % 标记原点 (0, 0) circle (1pt) node[below left] (O ) ; % 绘制 y = log_2(x) [blue, thick, samples = 100, domain = 0.3:3] plot ( , ln( )/ln(2) ) node[right] ( _2 x ) ; % 绘制 y = log_3(x) [red, thick, samples = 100, domain = 0.2:4] plot ( , ln( )/ln(3) ) node[right] ( _3 x ) ; % % 绘制 y = ln(x) % [black, thick, samples = 100, domain = 0.1:5] plot ( , ln( ) ) node[above] x ; % 绘制 y = log_ 1/2 (x) [orange, thick, samples = 100, domain = 0.3:3] plot ( , ln( )/ln(0.5) ) node[right] ( _ 1 2 x ) ; % 绘制 y = log_ 1/3 (x) [purple, thick, samples = 100, domain = 0.2:4] plot ( , ln( )/ln(1/3) ) node[right] ( _ 1 3 x ) ; % 标记 x 轴刻度 in 1, 2, ..., 4 ( , -0.05) -- ( , 0.05) node[below] ( ) ; % 标记 y 轴刻度 in -1, 1 (-0.05, ) -- (0.05, ) node[left] ( ) ;

性质 4. 指数函数与对数函数的联系

指数函数 y = a^ x (a > 0 ，且 a 1 与对数函数 y = _ a x (a > 0 ，且 a 1 互为反函数，它们的定义域与值域正好互换. 图象关于 直线 (y = x ) 对称. 函数 (y = a^ x (a > 0 )，且 (a 1) )与 (y = _ a x(a > 0 )，且 (a 1) )都是单调函数，都不具有奇偶性. 当 (a > 1 )时，它们是增函数；当 (0 < a < 1 )时，它们是减函数.

定义 5. 自然常数（人教A必修一P110-10）

当正整数 ( n ) 无限增大时，数列 ( (1+ 1 n )^n ) 的极限定义为自然常数 ( e )，即： [ e = _ n (1 + 1 n )^n ]

题型 1. 幂指对比大小

关于 a^b 与 b^a (a > b) ，当 e > a > b > 0 时， a^b > b^a ，当 a > b > e 时， a^b < b^a (f(x) = x x ) 先增后减，在 (e )处取最大值，且 (f(2)=f(4) ) 2 0.693 2 1.414 [3] 2 1.260 e 2.718 3.142 3 1.099 3 1.732 [3] 3 1.442 e 1.649 ^2 9.870 5 1.609 5 2.236 [3] 4 1.587 1 e 0.368 1 0.318 7 1.946 6 2.449 [3] 5 1.710 e^ -1 0.368 1.772 1.145 7 2.646 [3] 6 1.817 e^3 20.086 ^3 31.006

其他常考函数

定义 1. 高斯取整函数（人教A必修一P73-13）

设 (x R )， ([x] ) 表示不超过 (x ) 的最大整数，则称 (y=[x] ) 为高斯函数. 由定义知道 ([x] x )，故 (x-[x] 0 )，称 ([x] ) 为 (x ) 的整数部分，称 (x-[x] ) 为 (x ) 的小数部分，记作 ( x ).

性质 1. 高斯取整函数与小数函数的图象

[c] 0.35 取整函数 (y=[x] ) 定义域： (x R )； 值域： (y Z ) 图象：台阶型线段. 小数函数 (y= x =x-[x] ) 定义域： (x R )； 值域： (y [0,1) ) 周期性： (T=1 ). [c] 0.64 % 取整函数图象 [>=stealth, scale=0.5, baseline= (current bounding box.center) ] [->] (-2.5,0) -- (3.5,0) node[right] x ; [->] (0,-2.5) -- (0,4) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; in -2,-1,0,1,2 [thick] ( , ) -- ( +1, ); ( , ) circle (3pt); [fill=white] ( +1, ) circle (3pt); at (1.5,2.5) y=[x] ; % 小数函数图象 [>=stealth, scale=0.5, baseline= (current bounding box.center) ] [->] (-2.5,0) -- (3.5,0) node[right] x ; [->] (0,-2.5) -- (0,4) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; in -2,-1,0,1,2 [thick] ( ,0) -- ( +1,1); ( ,0) circle (3pt); [fill=white] ( +1,1) circle (3pt); at (2,2) y=x - [x]= x ; % x[x]函数图象 [>=stealth, scale=0.4, baseline= (current bounding box.center) ] [->] (-2.5,0) -- (3.5,0) node[right] x ; [->] (0,-1) -- (0,7) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; % x in [-2, -1), [x]=-2, y = -2x. Graph from (-2, 4) to (-1, 2) [thick] (-2, 4) -- (-1, 2); (-2, 4) circle (3pt); [fill=white] (-1, 2) circle (3pt); % x in [-1, 0), [x]=-1, y = -x. Graph from (-1, 1) to (0, 0) [thick] (-1, 1) -- (0, 0); (-1, 1) circle (3pt); [fill=white] (0, 0) circle (3pt); % x in [0, 1), [x]=0, y = 0. Graph from (0, 0) to (1, 0) [thick] (0, 0) -- (1, 0); (0, 0) circle (3pt); [fill=white] (1, 0) circle (3pt); % x in [1, 2), [x]=1, y = x. Graph from (1, 1) to (2, 2) [thick] (1, 1) -- (2, 2); (1, 1) circle (3pt); [fill=white] (2, 2) circle (3pt); % x in [2, 3), [x]=2, y = 2x. Graph from (2, 4) to (3, 6) [thick] (2, 4) -- (3, 6); (2, 4) circle (3pt); [fill=white] (3, 6) circle (3pt); at (4,4) y=x[x] ;

性质 2. 高斯取整函数的性质

对任意的 (x R )，都有 (x=[x]+ x ) 且 (0 x < 1 ). 对任意的 (x R )，都有 (x-1 < [x] x < [x]+1 ). 若 (x_1 x_2 )，则 ([x_1] [x_2] )（单调不减）. 对任意的 (x R ) 和 (n Z )，都有 ([n+x]=n+[x] ). ([x]+[y] [x+y] )； ( x + y x+y ). 推广： ([x_1]+ +[x_n] [x_1+ +x_n], x_1 + + x_n x_1+ +x_n ) 若 (x,y 0 )，则 ([xy] [x][y] ). 对任意的 (x R ) 和 (n N _+ )，都有 ( [ [x] n ] = [ x n ] ). ([-x] = -[x], x Z -[x]-1, x Z )

定义 2. 最值函数

设 (a, b R )，最小值函数和最大值函数分别定义为： [ a, ,b = a, a b, b, a > b, a, ,b = a, a b, b, a < b. ] 直观上来说， ( a, ,b ) 表示 (a ) 和 (b ) 中 较小 的那个数； ( a, ,b ) 表示 (a ) 和 (b ) 中 较大 的那个数. 与绝对值的关系： ( a, b = a + b + a - b 2 a, b = a + b - a - b 2 ) 不等关系： ( a,b a, a,b b )； ( a,b a, a,b b ). 图象作法： 函数 (y = f(x), g(x) )，对于任意 (x )，取两个图象中位置较高（上方）的部分作为函数图象. 函数 (y = f(x), g(x) )，对于任意 (x )，取两个图象中位置较低（下方）的部分作为函数图象. [>=stealth, scale=0.8] % 坐标轴 [->] (-2.5,0) -- (2.5,0) node[right] x ; [->] (0,-1) -- (0,3) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; % max x^2, x [thick, blue] plot[domain=-1.7:-1] ( , ); [thick, blue] (-1, 1) -- (0, 0) -- (1, 1); [thick, blue] plot[domain=1:1.7] ( , ); % 虚线显示被舍弃的部分 [dashed] plot[domain=-1:1] ( , ); [dashed] (-2.2, 2.2) -- (-1, 1); [dashed] (1, 1) -- (2.2, 2.2); [blue] at (0, 2) x^2, x ; [>=stealth, scale=0.8] % 坐标轴 [->] (-2.5,0) -- (2.5,0) node[right] x ; [->] (0,-1) -- (0,3) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; % min x^2, x % (-inf, -1): x [thick, blue] (-2.2, 2.2) -- (-1, 1); % (-1, 1): x^2 [thick, blue] plot[domain=-1:1] ( , ); % (1, inf): x [thick, blue] (1, 1) -- (2.2, 2.2); % 虚线显示被舍弃的部分 [dashed] plot[domain=-1.7:-1] ( , ); [dashed] plot[domain=1:1.7] ( , ); [dashed] (-1, 1) -- (0, 0) -- (1, 1); [blue] at (0, 2) x^2, x ;

定义 3. 类反双曲正切函数

0.69 (f(x)= _ a m + x m - x )； (f(x)= _ a m - x m + x )； 反双曲正切函数是双曲正切函数 (y = x= e^ x -e^ -x e^ x +e^ -x )的反函数， 记为 (y = arctanh x ) ，根据反函数求解方法，可推出 [y = arctanh x= 1 2 1 + x 1 - x , x (-1,1) ] 奇偶性：它是 奇 函数，满足 ( arctanh (-x)=- arctanh x ) 单调性：在定义域 ((-1,1) )内是单调递增函数 导数：其导数为 (( arctanh x)'= 1 1 - x^ 2 )， (x (-1,1) ) 0.3 [>=stealth, scale=1.2, baseline=(current bounding box.center)] [->] (-1.5,0) -- (1.5,0) node[right] x ; [->] (0,-1.7) -- (0,2) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; [dashed] (1,-1.7) -- (1,2); [below] at (1,0) 1 ; [dashed] (-1,-1.7) -- (-1,2); [below] at (-1,0) -1 ; [thick, domain=-0.92:0.92, smooth, samples=100] plot ( , 0.5*ln((1+ )/(1- )) ); [left] at (-0.1, 1.5) y= 1 2 1+x 1-x ;

定义 4. 类反双曲正弦函数

0.69 (f(x)= _ a ( m^ 2 x^ 2 +1 +mx) )； (f(x)= _ a ( m^ 2 x^ 2 +1 -mx) )； 反双曲正弦是双曲正弦函数的反函数，是一种基本的反双曲函数， 记为 (y = arcsinh x )或 (y = asinh x ) ，定义域和值域均为 (R )，其解析式为 [y = arsinh x= ( x^ 2 +1 +x ) ] 奇偶性：它是 奇 函数，满足 ( arsinh (-x)=- arsinh x ) 单调性：在整个定义域 ((- ,+ ) )内单调递增 导数：其导数为 (( arsinh x)'= 1 x^ 2 +1 ) 0.3 [>=stealth, scale=0.8, baseline=(current bounding box.center)] [->] (-3,0) -- (3,0) node[right] x ; [->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; [thick, domain=-2.5:2.5, smooth, samples=100] plot ( , ln( + sqrt( +1)) ); [above] at (-0.5, 1.5) y= (x+ x^2+1 ) ;

定义 5. 类双曲函数

0.69 (f(x)= a^ x +1 a^ x -1 ) (f(x)= a^ x -1 a^ x +1 ) (f(x)=a^ x +a^ -x ) (f(x)=a^ x -a^ -x ) 双曲正弦： ( x= e^ x -e^ -x 2 )定义域为 (R )，值域为 (R ) 双曲余弦： ( x= e^ x +e^ -x 2 )定义域为 (R )，值域为 ([1,+ ) ) 双曲正切： ( x= e^ x -e^ -x e^ x +e^ -x ) 定义域为 (R )，值域为 ((-1,1) ) 奇偶性： 双曲正弦是 奇 函数，双曲余弦是 偶 函数， 双曲正切是 奇 函数 单调性： 双曲正弦：在 ((- ,+ ) )上单调递增 双曲余弦：在 ((- ,0) )上递减，在 ((0,+ ) )上递增 双曲正切：在 ((- ,+ ) )上单调递增 注: 这类函数常考虑平方或整体换元. 0.3 [>=stealth, scale=0.8, baseline=(current bounding box.center)] [->] (-3,0) -- (3,0) node[right] x ; [->] (0,-2.5) -- (0,3) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; % sinh [blue, thick, dashed, domain=-1.5:1.7, smooth, samples=100] plot ( , sinh( ) ); [right] at (1.8, 2.8) x ; % cosh [red, thick, domain=-1.6:1.6, smooth, samples=100] plot ( , cosh( ) ); [above] at (-1.3, 1) x ; % tanh [black, thick, domain=-3:3, smooth, samples=100] plot ( , tanh( ) ); [below] at (2.5, 1) x ; [dotted] (-2.5,1) -- (2.5,1); [left] at (0,1) 1 ; [dotted] (-2.5,-1) -- (2.5,-1); [left] at (0,-1) -1 ;

结论 1. 含指数式的函数的对称中心

函数 ( f(x) = k a^x + t (t 0) ) 的对称中心为 ( ( _a t , k 2t ) ). 证明： 当 ( t > 0 ) 时， ( f(x) = k a^x + t = k t(a^ x - _a t + 1) = k t ( 1 a^ x - _a t + 1 - 1 2 ) + k 2t ) 因为 ( y = 1 a^x + 1 - 1 2 ) 对称中心为 ( (0, 0) )， 所以 ( f(x) = k a^x + t ) 的对称中心为 ( ( _a t, k 2t ) = ( _a t , k 2t ) ). 当 ( t < 0 ) 时， ( f(x) = k a^x + t = k -t(a^ x - _a (-t) - 1) = k -t ( 1 a^ x - _a (-t) - 1 + 1 2 ) + k 2t ) 因为 ( y = 1 a^x - 1 + 1 2 ) 对称中心为 ( (0, 0) )， 所以 ( f(x) = k a^x + t ) 的对称中心为 ( ( _a (-t), k 2t ) = ( _a t , k 2t ) ). 函数 ( f(x) = p a^x + q r a^x + s (ps - qr 0, rs 0) ) 的对称中心为 ( ( _a s r , 1 2 ( p r + q s ) ) ). 证明：(分离常数变为上一类型) [ f(x) = p a^x + q r a^x + s = p r a^x + q p a^x + s r = p r ( 1 + q p - s r a^x + s r ) = qr - sp r^2 ( a^x + s r ) + p r ] 因为 ( y = k a^x + t (t 0) ) 的对称中心为 ( ( _a t , k 2t ) )，所以 ( f(x) = p a^x + q r a^x + s (ps - qr 0, rs 0) ) 的对称中心为 ( ( _a s r , 1 2 ( p r + q s ) ) ). 函数 ( f(x) = p a^x + q a^ -x + r (pq < 0) ) 的对称中心为 ( ( 1 2 _a ( - q p ), r ) ). 证明：不妨设 ( f(x) = p a^x + q a^ -x + r (pq < 0) ) 的对称中心为 ( ( m 2 , n 2 ) )， 则有 [ f(x) + f(m - x) = ( p a^x + q a^ -x + r ) + ( p a^ m - x + q a^ x - m + r ) = n ] [ p ( a^x + a^m a^x ) + q ( 1 a^x + a^x a^m ) = 2n - r ] [ (p a^m + q) a^ 2x + (p a^m + q) a^m = a^m (n - 2r) a^x ] 上式对定义域内的任意 ( x ) 恒成立，故 ( p a^m + q = 0 n - 2r = 0 ) 解得 ( m = _a ( - q p ) )， ( n = 2r )， 即函数 ( f(x) = p a^x + q a^ -x + r (pq < 0) ) 的对称中心为 ( ( 1 2 _a ( - q p ), r ) ).

结论 2. 含对数式的函数的对称中心

函数 ( f(x) = _a p x + q r x + s (ps - qr 0, rs 0) ) 的对称中心为 ( ( - 1 2 ( q p + s r ), _a p r ) ) 证明： 不妨设 ( f(x) = _a p x + q r x + s (ps - qr 0, rs 0) ) 的对称中心为 ( ( m 2 , n 2 ) )，则有 [ f(x) + f(m - x) = n _a p x + q r x + s + _a p(m - x) + q r(m - x) + s = n p x + q r x + s p(m - x) + q r(m - x) + s = a^n ] [ p^2 x^2 - p^2 m x - q(p m + q) = a^n r^2 x^2 - a^n r^2 m x - a^n s(r m + s) ] 上式对定义域内的任意 ( x ) 恒成立，故 ( p^2 = a^n r^2 q(p m + q) = a^n s(r m + s) ) 由 ( p^2 = a^n r^2 )，得 ( a^n = ( p r )^2 )，因此 ( n = _a ( p r )^2 = 2 _a p r ). 由 ( q(p m + q) = a^n s(r m + s) )，代入 ( a^n = p^2 r^2 )得： [ m = p^2 r^2 s^2 - q^2 p q - p^2 r^2 s r = p^2 s^2 - q^2 r^2 p q r^2 - p^2 s r^2 = (p s - q r)(p s + q r) p r^2 (q - p s) = - p s + q r p r = - ( q p + s r ) ] 所以 ( f(x) = _a p x + q r x + s (ps - qr 0, rs 0) ) 的对称中心为 ( ( - 1 2 ( q p + s r ), _a p r ) ).

抽象函数

题型 1. 抽象函数常见思路

赋值法 因为没有函数的具体表达式，所以函数的很多性质不明显，使得直接求解的思路难寻.解这类问题可以通过化抽象为具体的方法，即赋值法，经过运算与推理，最后得到结论. 题目中关键条件常含有 ( f(x + y) )， ( f(xy) )， ( f ( x y ) ) 等，为了使未知量尽可能的少，常常采用的赋值手段是令 ( x = y )， ( x = -y )， ( x = 1 y )， ( x = y = 0 ) 及 ( x = y = 1 ) 等，即通过两个自变量“相等”，“相反”，“互为倒数”解决问题，另外，解题过程中，常常先令 ( x = y = 0 )，或 ( x = y = 1 ) 求出 ( f(0) )， ( f(1) )，以便进一步的探索求值. 奇偶性 证明奇偶性：利用定义和赋值的方法找到 ( f(-x) ) 与 ( f(x) ) 的关系. 例如： ( f(x + y) ) 形式的，一般求出 ( f(0) ) 后，令 ( x + y = 0 )； ( f(xy) ) 形式的，先求出 ( f(1) )， ( f(-1) )，然后令 ( y = -1 ) 单调性 若给出的是“和型”抽象函数 ( f(x + y) = )，判断符号时要变形为： [ f(x_2) - f(x_1) = f ( (x_2 - x_1) + x_1 ) - f(x_1) 或 f(x_2) - f(x_1) = f(x_2) - f ( (x_1 - x_2) + x_2 ) ] 若给出的是“积型”抽象函数 ( f(xy) = )，判断符号时要变形为： [ f(x_2) - f(x_1) = f ( x_1 x_2 x_1 ) - f(x_1) 或 f(x_2) - f(x_1) = f(x_2) - f ( x_2 x_1 x_2 ) ] ( f(x + y) ) 形式的，一般求出 ( f(0) ) 后，令 ( x + y = 0 ) ( f(xy) ) 形式的，先求出 ( f(1) )， ( f(-1) )，然后令 ( y = -1 )

结论 1. 常见抽象函数模型

[ c c 抽象函数模型 原函数 (f(x y)=f(x) f(y) ) 正比例函数 (kx ) (f(x y)=f(x) f(y) b ) 一次函数 (kx + b ) (f(x + y)+f(x - y)=2f(x)+2f(y) ) 二次函数 (ax^2 ) (f(x+y)=f(x)+f(y)+2ax-c ) 二次函数 (ax^ 2 +bx + c ) (f(xy)=f(x)f(y) )； (f( x y )= f(x) f(y) ) 幂函数 (x^ n ) (f(x + y)=f(x)f(y) )； (f(x - y)= f(x) f(y) ) 指数函数 (a^ x )（ (a>0 )且 (a 1 )） (f(xy)=f(x)+f(y) )； (f( x y )=f(x)-f(y) )； (f(x^ n )=nf(x) ) 对数函数 ( _ a x )（ (a>0 )且 (a 1 )） (f(x + y)f(x - y)=f^ 2 (x)-f^ 2 (y) ) 正弦 ( x )或双曲正弦 ( x ) (f(x)+f(y)=2f( x + y 2 )f( x - y 2 ) )； (f(x)f(y)= 1 2 [f(x + y)+f(x - y)] ) 余弦 ( x )或双曲余弦 ( x ) (f(x + y)+f(x - y)=mf(x)f(y) ) ( 2 m ( x ) ) 或 ( 2 m ( x) ) (f(x + y)= f(x)+f(y) 1 - f(x)f(y) ) 正切函数 ( x ) (f(x) f(y)=f( x 1 - y^ 2 y 1 - x^ 2 ) ) 反正弦函数 ( x ) (f(x) f(y)= f(xy 1 - x^ 2 1 - y^ 2 ) ) 反余弦函数 ( x ) (f(x) f(y)=f( x y 1 xy ) )（ (xy 1 )） 反正切函数 ( x ) (f(x + y)= f(x)+f(y) 1 + f(x)f(y) ) 双曲正切函数 ( x ) ]

函数凹凸性

定义 1. 代数定义

凹函数：设函数 (f(x) )在区间 (I )上有定义，若对 (I )中的任意两点 (x_1 )、 (x_2 )和任意 ( (0,1) ) ，都有 [f( x_1+(1 - )x_2) f(x_1)+(1 - )f(x_2) ]，则称 (f(x) )为 (I )上的凹函数.若不等号严格成立，即“ (< )”号成立，则称 (f(x) )在 (I )上是严格凹函数. 凸函数：若对 (I )中的任意两点 (x_1 )、 (x_2 )和任意 ( (0,1) ) ，都有 (f( x_1+(1 - )x_2) f(x_1)+(1 - )f(x_2) )， 则称 (f(x) )为 (I )上的凸函数.若不等号严格成立，即“ (> )”号成立，则称 (f(x) )在 (I )上是严格凸函数 .

定义 2. 几何定义

凹函数：在函数 (f(x) )的图象上取任意两点，函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方. 凸函数：在函数 (f(x) )的图象上取任意两点，函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的上方 . 0.49 [ % 凹函数图像 [scale=1.3, >=stealth] % 绘制坐标轴 [->] (-0.5,0) -- (2.5,0) node[right] (x ) ; [->] (0,-0.5) -- (0,2) node[left] (y ) ; % 绘制凹函数曲线 [domain=0.2:2.2, smooth, variable= ] plot ( , ( - 1)^2 + 0.2 ) node[right] (f(x) ) ; % 选取两点 (A) at (0.5, (0.5 - 1)^2 + 0.2 ); (B) at (2, (2 - 1)^2 + 0.2 ); [black] (A) circle (1pt) node[below left] (x_1 ) ; [black] (B) circle (1pt) node[below right] (x_2 ) ; % 绘制连接两点的线段 [dashed] (A) -- (B); % 标注凹函数的几何意义 at (1, -0.2) 凹函数 ; ] 0.49 % 凸函数图像 [ [scale=1.3, >=stealth] % 绘制坐标轴 [->] (-0.5,0) -- (2.5,0) node[right] (x ) ; [->] (0,-0.5) -- (0,2) node[left] (y ) ; % 绘制凸函数曲线 [domain=0.2:2.2, smooth, variable= ] plot ( , -( - 1)^2 + 2 ) node[right] (f(x) ) ; % 选取两点 (A) at (0.5, -(0.5 - 1)^2 + 2 ); (B) at (2, -(2 - 1)^2 + 2 ); [black] (A) circle (1pt) node[below left] (x_1 ) ; [black] (B) circle (1pt) node[below right] (x_2 ) ; % 绘制连接两点的线段 [dashed] (A) -- (B); % 标注凸函数的几何意义 at (1, -0.2) 凸函数 ; ]

定义 3. 特殊点定义（人教A必修一P101-8）

凹函数：设 (f(x) )在区间 (D )上连续，如果对 (D )上任意两点 (a )、 (b )恒有 (f ( a + b 2 ) < f(a)+f(b) 2 ) . 凸函数：设 (f(x) )在区间 (D )上连续，如果对 (D )上任意两点 (a )、 (b )恒有 (f ( a + b 2 )> f(a)+f(b) 2 ) .

性质 1. 导数性质

一阶导数：若函数 (f(x) )可导， (f(x) )是凹函数，则 (f'(x) )在相应区间单调递增； (f(x) )是凸函数，则 (f'(x) )在相应区间单调递减 . 二阶导数：若函数 (f(x) )二阶可导， (f(x) )是凹函数的充要条件是在相应区间 (f''(x) 0 )，若 (f''(x)>0 )，则 (f(x) )为严格凹函数； (f(x) )是凸函数的充要条件是在相应区间 (f''(x) 0 )，若 (f''(x)<0 )，则 (f(x) )为严格凸函数.

性质 2. 拐点

函数凹凸性发生改变的点称为拐点.若函数 (f(x) )二阶可导，在拐点处 (f''(x)=0 )或者 (f''(x) )不存在 .且在拐点两侧 (f''(x) )异号.

性质 3. 切线性质

凹函数图像上任意一点的切线位于函数图像 下 方（严格凹函数时，除切点外，切线严格位于函数图像下方） 凸函数图像上任意一点的切线位于函数图像 上 方（严格凸函数时，除切点外，切线严格位于函数图像上方）

定义 4. 琴生（Jensen）不等式

凹函数：设 (f(x) )为凹函数，则 [f( x_1 + x_2 + + x_n n ) f(x_1)+f(x_2)+ + f(x_n) n ] 加权形式为 (f( _ i = 1 ^ n _ix_i) _ i = 1 ^ n _if(x_i) )，其中 ( _i>0 (i = 1,2, ,n) )，且 ( _ i = 1 ^ n _i = 1 ). 凸函数：设 (f(x) )为凸函数，则 [ f( x_1 + x_2 + + x_n n ) f(x_1)+f(x_2)+ + f(x_n) n ] 加权形式为 (f( _ i = 1 ^ n _ix_i) _ i = 1 ^ n _if(x_i) )，其中 ( _i>0 (i = 1,2, ,n) )，且 ( _ i = 1 ^ n _i = 1 ).

倒性函数

定义 1. 倒性函数的定义

函数 ( f ) 的定义域为 ( I )，且对于任意的 ( x I ) 都有 ( x^ -1 I ). 若函数 ( f ) 满足 ( f(x) = -f(x^ -1 ) )，则称 ( f ) 是倒负函数，具有倒负性. 若函数 ( f ) 满足 ( f(x) = f(x^ -1 ) )，则称 ( f ) 是倒正函数，具有倒正性. 这样的定义在形式上与函数的奇偶性相似. 常函数 ( f(x) = 0 ) 既是倒负函数，也是倒正函数. 我们定义函数的倒负性和倒正性统称为倒性，这样的函数叫做倒性函数.

定理 1. 一般函数分解

函数 ( f ) 的定义域为 ( I )，且对于任意的 ( x I ) 都有 ( x^ -1 I )，那么唯一存在倒负函数 ( g ) 和倒正函数 ( h )，满足 [ f(x) = g(x) + h(x) ] 证明： 由题意得 ( g(x) = -g(x^ -1 ) h(x) = h(x^ -1 ) g(x) + h(x) = f(x) ) 由三式得 ( g(x^ -1 ) + h(x^ -1 ) = f(x^ -1 ) ) 把一二式代入并将其与三式联立得 ( g(x) + h(x) = f(x) -g(x) + h(x) = f(x^ -1 ) ) 解得 ( g(x) = f(x) - f(x^ -1 ) 2 h(x) = f(x) + f(x^ -1 ) 2 ) 根据刚刚的求解过程，这样的解是存在且唯一的，这就完成了证明.

定理 2. 多项式函数的倒性判定

满足定义域限制的多项式函数 ( f ) 是倒负函数，当且仅当对于 ( f ) 的所有幂次 ( n )，它的 ( n ) 次项系数和 ( -n ) 次项系数互为相反数； 同理，多项式函数 ( f ) 是倒正函数，当且仅当对于它所有的幂次 ( n )，它的 ( n ) 次项系数和 ( -n ) 次项系数相等.

定理 3. 最大最小值之和及加常数模型

对于倒负函数 ( f )，类似于奇函数，我们有： ( 1 I f(1) = 0 -1 I f(-1) = 0 ) 因为 ( 1 ) 的相反数是它们本身，所以 ( 1 ) 处的函数值必为 ( 0 ). 同样的，若倒负函数 ( f ) 存在最大值和最小值，则必有： ( f_ + f_ = 0 = f(1) = f(-1) ) 那么，若函数 ( h(x) = f(x) + c ) 即倒负函数加一常数，则有结论： ( h_ + h_ = 2c = 2h(1) = 2h(-1) )

结论 1. 常见倒性函数（人教A必修一P100-3）

几个基本倒负函数： (f(x) = x^t - x^ -t f(x) = x^t + x^ -t x^t - x^ -t f(x) = x^t - x^ -t x^t + x^ -t f(x) = 1 + x^t 1 - x^t f(x) = 1 - x^t 1 + x^t ) (f(x) = x f(x) = x ) 注意倒负函数的相反数仍是倒负函数. 几个基本倒正函数： ( f(x) = C f(x) = x^t + x^ -t f(x) = x ) 其他可视作这些基本函数的四则运算及和奇偶函数等的复合.

题型 1. 倒性与其他性质的同构转化

( f(x) = kx f ( 1 x ) ) 型： 即对任意 ( xy = 1 ) 都有 ( f(x) = kx f(y) )，得 ( f(x) = kx f(y) f(y) = ky f(x) ) 两式相减，得 ( (ky + 1)f(x) = (kx + 1)f(y) )， 也即 ( f(x) kx + 1 = f(y) ky + 1 ) 于是构造函数 ( g(x) = f(x) kx + 1 )，可以得到 ( g(x) = g ( 1 x ) )， 因此 ( g ) 是倒正函数，完成性质的同构转化.