复数

复数的定义与运算

定义 1. 复数的概念与几何意义（人教A必修二P68）

复数的概念：形如 (a + b i (a, b R ) )的数叫做复数，其中 ( i )叫做虚数单位， ( i ^2 = -1 )； (a )叫做实部， (b ) 叫做虚部（注意，不是 (b i )为虚部）. 对于复数 (z = a + b i (a, b R ) )， (z )为实数 ( b = 0 )； (z )为虚数 ( b 0 )； (z )为纯虚数 ( a = 0 b 0 ). 复数相等：设 (z_1 = a + b i )， (z_2 = c + d i )，其中 (a, b, c, d R )，则 (z_1 = z_2 a = c )且 (b = d ). 复数的几何意义：复数 (z = a + b i (a, b R ) )与复平面内的点 (Z(a, b) )一一对应，与复平面内的向量 ( OZ )一一对应. 复数的模：设复数 (z = a + b i (a, b R ) )，我们把 ( OZ )的模叫做 (z )的模，记作 ( z )， ( z = a^2 + b^2 ). 共轭复数：复数 (z = a + b i (a, b R ) )的共轭复数为 (a - b i )，记作 ( z = a - b i )； (z z = z ^2 = z ^2 ).

定义 2. 复数的四则运算（人教A必修二P75）

复数的四则运算：设复数 (z_1 = a + b i )， (z_2 = c + d i )，其中 (a, b, c, d R )，则 (z_1 + z_2 = a + b i + c + d i = (a + c) + (b + d) i ) (z_1 - z_2 = a + b i - c - d i = (a - c) + (b - d) i ) (z_1 z_2 = (a + b i )(c + d i ) = ac + ad i + bc i + bd i ^2 = (ac - bd) + (ad + bc) i ) ( z_1 z_2 = a + b i c + d i = (a + b i )(c - d i ) (c + d i )(c - d i ) = ac - ad i + bc i - bd i ^2 c^2 - d^2 i ^2 = (ac + bd) + (bc - ad) i c^2 + d^2 )

结论 1. 复数常用结论

1 i =-i ； (1 i)^2= 2i ； 1+i 1-i =i ； 1-i 1+i =-i ； a+bi=i(b-ai) ； i^n + i^ -n =i^n + (-i)^n 设 (z_1 )， (z_2 )为两个复数，则 ( z_1 z_2 = z_1 z_2 )， ( z_1 z_2 = z_1 z_2 )；（设复数的代数形式，代入即证或考虑三角表示，易证） 设 (k N )，则 ( i ^ 4k = 1 )， ( i ^ 4k+1 = i )， ( i ^ 4k+2 = -1 )， ( i ^ 4k+3 = - i )； i^k + i^ k+1 + i^ k+2 + i^ k+3 =0 ( z ^2 z^2 )．（设 (z = a + b i (a, b R , b 0) )，则 ( z ^2 = a^2 + b^2 )， (z^2 = a^2 - b^2 + 2ab i )，显然不等） 设 (ax^2 + bx + c = 0 )（ (a, b, c R )， (a 0 )），若判别式 ( = b^2 - 4ac < 0 )， 方程的根为共轭复根 (x_ 1,2 = - b 2a - 2a i )， 仍满足韦达定理 (x_1 + x_2 = - b a )， (x_1 x_2 = c a ).

二级结论

定义 1. 复数表达式的几何意义

c c 复数表达式 几何意义（ (z_1 )、 (z_2 ) 对应平面上的定点 (M )、 (N )） z - z_1 到点 (M ) 的距离 z - z_1 = z - z_2 线段 (MN ) 的中垂线 z - (a + b i ) = r 以点 ((a, b) ) 为圆心、半径为 (r ) 的圆 z - c + z + c = 2a (a > c > 0) 以点 ((c, 0) ) 和 ((-c, 0) ) 为焦点、长轴长为 (2a ) 的椭圆 ( 1 a + 1 b )z + ( 1 a - 1 b ) z = 2 标准椭圆 ( x^2 a^2 + y^2 b^2 = 1 ) z - c - z + c = 2a (0 < a < c) 以点 ((c, 0) ) 和 ((-c, 0) ) 为焦点、实轴长为 (2a ) 的双曲线 z - p 2 = 1 2 (z + z ) + p 2 以点 ( ( p 2 , 0 ) ) 为焦点、准线为 (x = - p 2 ) 的抛物线（对应 (y^2 = 2px )）

定义 2. 曲线的复数表示

通用思路：设曲线上的点 (x, y) 对应的复数 z = x + y i ，其共轭复数为 z = x - y i ，则 [ x = 1 2 (z + z ), y = - i 2 (z - z ) ] 代入曲线方程即可. 两点间的距离: 设两点 (M(x_1,y_1) )、 (N(x_2,y_2) ) 对应复数 (z_1=x_1+y_1 i )、 (z_2=x_2+y_2 i )，则距离： [ MN = z_1 - z_2 ] 直线的复数方程： 找到关于直线对称的两点 M, N ，则直线为线段 MN 的中垂线. 设点 M(x_1, y_1) ， N(x_2, y_2) 关于直线对称，则直线为线段 MN 的中垂线，因此直线上的点 (x, y) 到点 M, N 的距离相等. 设直线上的点 (x, y) 对应的复数 z = x + yi ， z_1 = x_1 + y_1 i ， z_2 = x_2 + y_2 i 分别对应点 M, N ，则直线复数方程为 [ z - z_1 = z - z_2 ] 圆的复数方程： 已知在平面直角坐标系中的圆的方程为 ( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 )， 也就是到点 ((a, b) ) 为定值 (r ) 的曲线. 设圆上的点 ((x, y) ) 对应的复数 (z = x + y i )，则圆复数方程为 [ z - a - b i = r ] 椭圆的复数方程： 已知在平面直角坐标系中的椭圆方程为 ( x^2 a^2 + y^2 b^2 = 1 ) 思路1：（第一定义） 设椭圆上的点 (P(x, y) ) 对应的复数 (z = x + y i ). 假设椭圆的焦点在 (x ) 轴上，且 (F_1(c, 0) )， (F_2(-c, 0) )，则 ( PF_1 + PF_2 = 2a ) 由两点间距离的复数表示可知椭圆的复数方程为 [ z - c + z + c = 2a ] 思路2： 对椭圆方程两边开方可得 x^2 a^2 + y^2 b^2 = 1 此式左边是复数 (z_1 = x a + y b i ) 的模值，故等价于 z_1 = 1 设 (z_1 = mz + n z )，代入 (z, z ) 展开对比系数得 m + n = 1 a m - n = 1 b 解得 m = 1 2 ( 1 a + 1 b ) n = 1 2 ( 1 a - 1 b ) 则椭圆的复数方程为 z_1 = mz + n z = 1 ， 即 [ ( 1 a + 1 b )z + ( 1 a - 1 b ) z = 2 ] 双曲线的复数方程： 已知在平面直角坐标系中的双曲线方程为 x^2 a^2 - y^2 b^2 = 1 ， 设双曲线上的点 (P(x, y) ) 对应的复数 (z = x + y i ). 假设双曲线的焦点在 (x ) 轴上，且 (F_1(c, 0) )， (F_2(-c, 0) )，则 PF_1 - PF_2 = 2a 由两点间距离的复数表示可知双曲线的复数方程为 [ z - c - z + c = 2a ] 抛物线的复数方程： 已知在平面直角坐标系中的抛物线方程为 y^2 = 2px ， 设抛物线上的点 (P(x, y) ) 对应的复数 (z = x + y i )，其共轭复数为 ( z = x - y i )，则 x = 1 2 (z + z ) 假设抛物线的焦点为 (F ( p 2 , 0 ) )，则 PF = x + p 2 由两点间距离的复数表示可知抛物线的复数方程为 [ z - p 2 = 1 2 (z + z ) + p 2 ]

定义 3. 三角形式定义

一般地，任何一个复数 ( z = a + bi ) 都可以表示成 [ r( + i ) ] 的形式.其中， ( r ) 是复数 ( z ) 的模； ( ) 是以 ( x ) 轴的非负半轴为始边，向量 ( OZ ) 所在射线（射线 ( OZ )）为终边的角，叫做复数 ( z = a + bi ) 的辐角. ( r( + i ) ) 叫做复数 ( z = a + bi ) 的三角表示式（简称三角形式）， ( a + bi ) 叫做代数表示式（简称代数形式）. 对于非零复数，辐角有无限多个值（相差 ( 2 ) 的整数倍）.规定 ( 0 < 2 ) 范围内的辐角为辐角的主值（记作 ( z )）.例如： ( 1 = 0, i = 2 , (-1) = , (-i) = 3 2 )， 复数 ( 0 ) 的辐角任意.

定义 4. 三角形式的乘法和除法

[ r_1( _1 + i _1) r_2( _2 + i _2) = r_1r_2[ ( _1 + _2) + i ( _1 + _2)] ] 几何意义：两复数相乘，积的模等于模的积，积的辐角等于辐角的和. [ r_1( _1 + i _1) r_2( _2 + i _2) = r_1 r_2 [ ( _1 - _2) + i ( _1 - _2)] ] 几何意义：两复数相除，商的模等于模的商，商的辐角等于辐角的差.

定理 1. 复数的乘方运算（棣莫弗定理）

根据 ( n ) 个复数相乘： ( z_1z_2 z_n = r_1r_2 r_n[ ( _1 + _2 + + _n) + i ( _1 + _2 + + _n)] ) 特别地，当 ( z_1 = z_2 = = z_n = r( + i ) ) 时，有棣莫弗定理： [ [r( + i )]^n = r^n( n + i n ) ] 意义：复数的 ( n ) 次幂的模等于原模的 ( n ) 次幂，辐角等于原辐角的 ( n ) 倍.

定义 5. 复数的开方运算

设 (z = r( + i ) )，则其 (n ) 次方根为： [ [n] z = [n] r ( + 2k n + i + 2k n ) (k = 0, 1, 2, , n-1) ] 示例：计算 ( i )，其中 (i = 2 + i 2 )，则： ( i = 2 + 2k 2 + i 2 + 2k 2 (k = 0, 1) )

定义 6. 复数的指数形式

由欧拉公式： e^ i = + i 可得到复数的指数形式： [ z = r( + i ) = re^ i ]

定义 7. 1的$n$次方根（人教A必修二P92）

对于方程 (x^n - 1 = 0 )（ (n N ^*, n 2 )）的解，由复数开方运算可得到它的 (n ) 个根的表示形式为： [ _k = 2k n + i 2k n , (k = 0, 1, 2, , n-1) ] 例如，当 (n=3 ) 时，三次单位根有三个，可表示为： [ _0 = 1, _1 = e^ 2 i 3 = - 1 2 + 3 2 i, _2 = e^ 4 i 3 = - 1 2 - 3 2 i ] 它们在复平面上构成一个正三角形，顶点分别为 ((1, 0) )， ( (- 1 2 , 3 2 ) )， ( (- 1 2 , - 3 2 ) ). 一般地，几何意义：在复平面上， (n ) 个 (n ) 次单位根均匀分布在以原点为中心的单位圆上，构成正 (n ) 边形的顶点，其中 (z_0 = 1 ) 始终在实轴正半轴上.

性质 1. $n$次方根的性质

对于1的 n 次方根有: ( _k = 1 ) 且 (( _k)^n = 1 ) 多项式分解： (x^n - 1 = (x - 1)(x - _1)(x - _2) (x - _ n-1 ) ) 求和性质： ( _ k=0 ^ n-1 _k = 0 )（由韦达定理，方程 (x^n - 1 = 0 ) 根的和为0） 幂次和：对于 (m 0 n )，有 ( _ k=0 ^ n-1 _k^m = 0 )（利用等比数列求和公式，公比 ( ^m 1 ) 时和为0） 特别地，对于1的3次方根（ (n=3 )）有： 共轭性： ( _2 = _1 ) 代数恒等式： (1 + _1 + _1^2 = 0 )， (1 + _2 + _2^2 = 0 )（即 (1 + + ^2 = 0 ) 对 ( 1 ) 的三次单位根成立） 幂次性质： ( _1^2 = _2 )， ( _2^2 = _1 )， ( _1^3 = _2^3 = 1 )