复数

知识点

复数的定义与运算

定义 1. 复数的概念与几何意义

1. 复数的概念：形如\(a + b\text{i}(a, b \in \mathbf{R})\)的数叫做复数，其中\(\text{i}\)叫做虚数单位，\(\text{i}^2 = \htmlClass{blank}{-1}\)；\(a\)叫做实部，\(b\)叫做虚部（注意，不是\(b\text{i}\)为虚部）.

2. 对于复数\(z = a + b\text{i}(a, b \in \mathbf{R})\)，\(z\)为实数\(\Leftrightarrow \htmlClass{blank}{b = 0}\)；\(z\)为虚数\(\Leftrightarrow \htmlClass{blank}{b \neq 0}\)；\(z\)为纯虚数\(\Leftrightarrow \htmlClass{blank}{\begin{cases} a = 0 \\ b \neq 0 \end{cases}}\).

3. 复数相等：设\(z_1 = a + b\text{i}\)，\(z_2 = c + d\text{i}\)，其中\(a, b, c, d \in \mathbf{R}\)，则\(z_1 = z_2 \Leftrightarrow a = c\)且\(b = d\).

4. 复数的几何意义：复数\(z = a + b\text{i}(a, b \in \mathbf{R})\)与复平面内的点\(Z(a, b)\)一一对应，与复平面内的向量\(\overrightarrow{OZ}\)一一对应.

5. 复数的模：设复数\(z = a + b\text{i}(a, b \in \mathbf{R})\)，我们把\(\overrightarrow{OZ}\)的模叫做\(z\)的模，记作\(\vert z \vert\)，\(\vert z \vert = \sqrt{a^2 + b^2}\).

6. 共轭复数：复数\(z = a + b\text{i}(a, b \in \mathbf{R})\)的共轭复数为\(a - b\text{i}\)，记作\(\overline{z} = a - b\text{i}\)；\(z \cdot \overline{z} = \vert z \vert^2 = \vert \overline{z} \vert^2\).

定义 2. 复数的四则运算

复数的四则运算：设复数\(z_1 = a + b\text{i}\)，\(z_2 = c + d\text{i}\)，其中\(a, b, c, d \in \mathbf{R}\)，则

  \(z_1 + z_2 = a + b\text{i} + c + d\text{i} = (a + c) + (b + d)\text{i}\)

  \(z_1 - z_2 = a + b\text{i} - c - d\text{i} = (a - c) + (b - d)\text{i}\)

  \(z_1 z_2 = (a + b\text{i})(c + d\text{i}) = ac + ad\text{i} + bc\text{i} + bd\text{i}^2 = (ac - bd) + (ad + bc)\text{i}\)

  \(\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{a + b\text{i}}{c + d\text{i}} = \dfrac{(a + b\text{i})(c - d\text{i})}{(c + d\text{i})(c - d\text{i})} = \dfrac{ac - ad\text{i} + bc\text{i} - bd\text{i}^2}{c^2 - d^2\text{i}^2} = \dfrac{(ac + bd) + (bc - ad)\text{i}}{c^2 + d^2}\)

结论 1. 复数常用结论

1. \(\dfrac{1}{i}=-i\)；\((1\pm i)^2=\pm 2i\)；\(\dfrac{1+i}{1-i}=i\)；\(\dfrac{1-i}{1+i}=-i\)；\(a+bi=i(b-ai)\)；\(i^n + i^{-n}=i^n + (-i)^n\)

2. 设\(z_1\)，\(z_2\)为两个复数，则\(\vert z_1 z_2 \vert = \htmlClass{blank}{\vert z_1 \vert \cdot \vert z_2 \vert}\)，\(\left\vert \dfrac{z_1}{z_2} \right\vert = \htmlClass{blank}{\dfrac{\vert z_1 \vert}{\vert z_2 \vert}}\)；（用复数的三角表示理解）

3. 设\(k \in \mathbf{N}\)，则\(\text{i}^{4k} = \htmlClass{blank}{1}\)，\(\text{i}^{4k+1} = \htmlClass{blank}{\text{i}}\)，\(\text{i}^{4k+2} = \htmlClass{blank}{-1}\)，\(\text{i}^{4k+3} = \htmlClass{blank}{-\text{i}}\)；\(i^k + i^{k+1} + i^{k+2} + i^{k+3}=0\)

4. \(\vert z \vert^2 \neq z^2\)．（设\(z = a + b\text{i}(a, b \in \mathbf{R}, b \neq 0)\)，则\(\vert z \vert^2 = a^2 + b^2\)，\(z^2 = a^2 - b^2 + 2ab\text{i}\)，显然不等）

5. 设 \(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a, b, c \in \mathbb{R}\)，\(a \neq 0\)），若判别式 \(\Delta = b^2 - 4ac {\lt} 0\)，

   方程的根为共轭复根 \(x_{1,2} = -\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\text{i}\)， 仍满足韦达定理 \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\)，\(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\).

二级结论

定义 1. 复数表达式的几何意义

定义 2. 曲线的复数表示

通用思路：设曲线上的点 \((x, y)\) 对应的复数 \(z = x + y\text{i}\)，其共轭复数为 \(\bar{z} = x - y\text{i}\)，则

\[ x = \dfrac{1}{2}(z + \bar{z}), \quad y = -\dfrac{\mathrm{i}}{2}(z - \bar{z}) \]

代入曲线方程即可.

1. 两点间的距离: 设两点 \(M(x_1,y_1)\)、\(N(x_2,y_2)\) 对应复数 \(z_1=x_1+y_1\text{i}\)、\(z_2=x_2+y_2\text{i}\)，则距离：

   \[ |MN| = |z_1 - z_2| \]

2. 直线的复数方程： 找到关于直线对称的两点 \(M, N\)，则直线为线段 \(MN\) 的中垂线.

   设点 \(M(x_1, y_1)\)，\(N(x_2, y_2)\) 关于直线对称，则直线为线段 \(MN\) 的中垂线，因此直线上的点 \((x, y)\) 到点 \(M, N\) 的距离相等. 设直线上的点 \((x, y)\) 对应的复数 \(z = x + yi\)，\(z_1 = x_1 + y_1\mathrm{i}\)，\(z_2 = x_2 + y_2\mathrm{i}\) 分别对应点 \(M, N\)，则直线复数方程为

   \[ |z - z_1| = |z - z_2| \]

3. 圆的复数方程： 已知在平面直角坐标系中的圆的方程为 \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)， 也就是到点 \((a, b)\) 为定值 \(r\) 的曲线. 设圆上的点 \((x, y)\) 对应的复数 \(z = x + y\mathrm{i}\)，则圆复数方程为

   \[ |z - a - b\mathrm{i}| = r \]

4. 椭圆的复数方程： 已知在平面直角坐标系中的椭圆方程为 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)

   思路1：（第一定义） 设椭圆上的点 \(P(x, y)\) 对应的复数 \(z = x + y\mathrm{i}\). 假设椭圆的焦点在 \(x\) 轴上，且 \(F_1(c, 0)\)，\(F_2(-c, 0)\)，则 \(|PF_1| + |PF_2| = 2a\) 由两点间距离的复数表示可知椭圆的复数方程为

   \[ |z - c| + |z + c| = 2a \]

   思路2： 对椭圆方程两边开方可得 \(\sqrt{\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}} = 1\) 此式左边是复数 \(z_1 = \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b}\mathrm{i}\) 的模值，故等价于 \(|z_1| = 1\)

   设 \(z_1 = mz + n\bar{z}\)，代入 \(z, \bar{z}\) 展开对比系数得 \(\begin{cases} m + n = \frac{1}{a} \\ m - n = \frac{1}{b} \end{cases}\) 解得 \(\begin{cases} m = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \\ n = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right) \end{cases}\) 则椭圆的复数方程为 \(|z_1| = |mz + n\bar{z}| = 1\)， 即

   \[ \left|\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right)z + \left(\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}\right)\bar{z}\right| = 2 \]

5. 双曲线的复数方程： 已知在平面直角坐标系中的双曲线方程为 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)， 设双曲线上的点 \(P(x, y)\) 对应的复数 \(z = x + y\mathrm{i}\). 假设双曲线的焦点在 \(x\) 轴上，且 \(F_1(c, 0)\)，\(F_2(-c, 0)\)，则 \(||PF_1| - |PF_2|| = 2a\) 由两点间距离的复数表示可知双曲线的复数方程为

   \[ ||z - c| - |z + c|| = 2a \]

6. 抛物线的复数方程： 已知在平面直角坐标系中的抛物线方程为 \(y^2 = 2px\)， 设抛物线上的点 \(P(x, y)\) 对应的复数 \(z = x + y\mathrm{i}\)，其共轭复数为 \(\bar{z} = x - y\mathrm{i}\)，则 \(x = \dfrac{1}{2}(z + \bar{z})\) 假设抛物线的焦点为 \(F\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)\)，则 \(|PF| = x + \dfrac{p}{2}\) 由两点间距离的复数表示可知抛物线的复数方程为

   \[ \left|z - \dfrac{p}{2}\right| = \dfrac{1}{2}(z + \bar{z}) + \dfrac{p}{2} \]

定义 3. 三角形式定义

一般地，任何一个复数 \(z = a + bi\) 都可以表示成

\[ r(\cos\theta + i\sin\theta) \]

的形式.其中，\(r\) 是复数 \(z\) 的模；\(\theta\) 是以 \(x\) 轴的非负半轴为始边，向量 \(\overrightarrow{OZ}\) 所在射线（射线 \(OZ\)）为终边的角，叫做复数 \(z = a + bi\) 的辐角. \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\) 叫做复数 \(z = a + bi\) 的三角表示式（简称三角形式），\(a + bi\) 叫做代数表示式（简称代数形式）.

对于非零复数，辐角有无限多个值（相差 \(2\pi\) 的整数倍）.规定 \(0 \leq \theta {\lt} 2\pi\) 范围内的辐角为辐角的主值（记作 \(\arg z\)）.例如： \(\arg 1 = 0, \quad \arg i = \frac{\pi}{2}, \quad \arg(-1) = \pi, \quad \arg(-i) = \frac{3\pi}{2}\)， 复数 \(0\) 的辐角任意.

定义 4. 三角形式的乘法和除法

\[ r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1) \cdot r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2) = r_1r_2[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)] \]

几何意义：两复数相乘，积的模等于模的积，积的辐角等于辐角的和.

\[ \frac{r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)}{r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)] \]

几何意义：两复数相除，商的模等于模的商，商的辐角等于辐角的差.

定理 1. 复数的乘方运算（棣莫弗定理）

根据\(n\) 个复数相乘： \(z_1z_2\cdots z_n = r_1r_2\cdots r_n[\cos(\theta_1 + \theta_2 + \cdots + \theta_n) + i\sin(\theta_1 + \theta_2 + \cdots + \theta_n)]\)

特别地，当 \(z_1 = z_2 = \cdots = z_n = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) 时，有棣莫弗定理：

\[ [r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta) \]

意义：复数的 \(n\) 次幂的模等于原模的 \(n\) 次幂，辐角等于原辐角的 \(n\) 倍.

定义 5. 复数的开方运算

设 \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)，则其 \(n\) 次方根为：

\[ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \quad (k = 0, 1, 2, \ldots, n-1) \]

示例：计算 \(\sqrt{i}\)，其中 \(i = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\)，则： \(\sqrt{i} = \cos\frac{\frac{\pi}{2} + 2k\pi}{2} + i\sin\frac{\frac{\pi}{2} + 2k\pi}{2} \quad (k = 0, 1)\)

定义 6. 复数的指数形式

由欧拉公式： \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) 可得到复数的指数形式：

\[ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta} \]

定义 7. 1的\(n\)次方根（人教A必修二P92）

对于方程 \(x^n - 1 = 0\)（\(n \in \mathbb{N}^*, n \geq 2\)）的解，由复数开方运算可得到它的 \(n\) 个根的表示形式为：

\[ \omega_k = \cos\frac{2k\pi}{n} + i\sin\frac{2k\pi}{n}, \quad (k = 0, 1, 2, \ldots, n-1) \]

例如，当 \(n=3\) 时，三次单位根有三个，可表示为：

\[ \omega_0 = 1, \quad \omega_1 = e^{\frac{2\pi i}{3}} = -\dfrac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, \quad \omega_2 = e^{\frac{4\pi i}{3}} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \]

它们在复平面上构成一个正三角形，顶点分别为 \((1, 0)\)，\(\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)，\(\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\).

一般地，几何意义：在复平面上，\(n\) 个 \(n\) 次单位根均匀分布在以原点为中心的单位圆上，构成正 \(n\) 边形的顶点，其中 \(z_0 = 1\) 始终在实轴正半轴上.

性质 1. \(n\)次方根的性质

对于1的\(n\)次方根有:

1. \(|\omega_k| = 1\) 且 \((\omega_k)^n = 1\)

2. 多项式分解：\(x^n - 1 = (x - 1)(x - \omega_1)(x - \omega_2) \cdots (x - \omega_{n-1})\)

3. 求和性质：\(\sum_{k=0}^{n-1} \omega_k = 0\)（由韦达定理，方程 \(x^n - 1 = 0\) 根的和为0）

4. 幂次和：对于 \(m \not\equiv 0 \pmod{n}\)，有 \(\sum_{k=0}^{n-1} \omega_k^m = 0\)（利用等比数列求和公式，公比 \(\omega^m \neq 1\) 时和为0）

特别地，对于1的3次方根（\(n=3\)）有：

1. 共轭性：\(\omega_2 = \overline{\omega_1}\)

2. 代数恒等式：\(1 + \omega_1 + \omega_1^2 = 0\)，\(1 + \omega_2 + \omega_2^2 = 0\)（即 \(1 + \omega + \omega^2 = 0\) 对 \(\omega \neq 1\) 的三次单位根成立）

3. 幂次性质：\(\omega_1^2 = \omega_2\)，\(\omega_2^2 = \omega_1\)，\(\omega_1^3 = \omega_2^3 = 1\)

题型

复数的基本运算

题型 1. 复数的四则运算

题型识别： 题目给出复数的加、减、乘、除，或由含\(z\)的简单方程求复数\(z\).

核心思路： 加减按实部、虚部分别合并；乘法展开后用\(\mathrm{i}^2=-1\)化简；除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数，使分母化为实数.

解题步骤：

1. 先将已知式中\(\mathrm{i}\)的幂化为\(1,\mathrm{i},-1,-\mathrm{i}\)之一；

2. 对加减乘按代数式展开、合并实部与虚部；

3. 对除法乘以分母的共轭复数，分母化为其模的平方；

4. 将结果整理为\(a+b\mathrm{i}\)的标准形式.

易错点： 把\(\mathrm{i}^2\)写成\(1\)；分母有理化时共轭复数符号写错；没有把结果整理为代数形式.

题型 2. 设代数形式与复数相等

题型识别： 条件含\(z,\overline z,|z|\)或“是实数、纯虚数”等叙述，不能直接分离\(z\)，要求求参数、实部、虚部或复数本身.

核心思路： 设\(z=a+b\mathrm{i}\)，则\(\overline z=a-b\mathrm{i}\)、\(|z|^2=a^2+b^2\). 将条件化为代数形式后，利用复数相等的充要条件分别比较实部和虚部.

解题步骤：

1. 设\(z=a+b\mathrm{i}\)，注明\(a,b\in\mathbb R\)；

2. 将共轭、模、实数或纯虚数条件逐项翻译；

3. 整理为\(A+B\mathrm{i}=0\)或两个复数相等的形式；

4. 分别令实部、虚部相等，联立求解并回代检验.

易错点： 把虚部误写成\(b\mathrm{i}\)；纯虚数漏掉实部为\(0\)且虚部非\(0\)；对含模等式直接比较实虚部.

题型 3. 共轭、模与运算性质

题型识别： 题目比较\(z\overline z\)、\(|z|^2\)、\(|z^2|\)、\(\overline z^2\)等表达式，或要求利用模的乘除性质化简与求参.

核心思路： 牢记\(z\overline z=|z|^2\)为非负实数，且\(|z_1z_2|=|z_1||z_2|\)、\(\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}\). 不确定的等式可设\(z=a+b\mathrm{i}\)验证.

解题步骤：

1. 将共轭与模的基本关系先写出；

2. 对乘积、商的模优先使用模的运算性质；

3. 判断等式时关注结果是否必须为实数、非负数；

4. 对无法直接判断的选项，设代数形式作反例或直接验证.

易错点： 误认为\(|z|^2=z^2\)；将\(\overline{z^2}\)与\(\overline z^2\)混淆；约去复数时没有确认其非零.

复数的几何意义

题型 1. 复平面中的位置与几何量

题型识别： 题目要求判断复数对应点的象限、求两点距离或夹角，或给出\(|z-z_0|\)类条件求轨迹、最值.

核心思路： 将\(z=a+b\mathrm{i}\)对应为点\((a,b)\)和向量\(\overrightarrow{OZ}\). \(|z-z_0|\)就是两点距离，模条件通常转化为圆、直线或到定点距离，再用数形结合处理.

解题步骤：

1. 先将复数化为\(a+b\mathrm{i}\)，写出对应点坐标；

2. 象限问题分别判断实部与虚部的符号；

3. 模条件改写为点到定点的距离或圆的方程；

4. 求最值时将目标模解释为两点距离，利用圆与定点的位置关系或三角不等式求解.

易错点： 横坐标、纵坐标颠倒；把\(|z-z_0|\)误当成\(|z|-|z_0|\)；点在坐标轴上时误判为象限点.

高次幂与周期性

题型 1. 虚数单位与复数高次幂

题型识别： 题目含\(\mathrm{i}^n\)、含\(\mathrm{i}\)的分式，或要求计算一般复数的较高次幂、共轭及相关表达式.

核心思路： \(\mathrm{i}\)的幂以\(4\)为周期，指数先对\(4\)取余. 对一般复数高次幂，先计算低次幂寻找循环或化简为极易乘方的形式；条件复杂时先设代数形式求出复数.

解题步骤：

1. 将所有\(\mathrm{i}\)的指数按模\(4\)化简；

2. 对\(z^n\)先尝试计算\(z^2,z^3,z^4\)，寻找可重复的幂次；

3. 若已知\(z\overline z\)、\(z+\overline z\)等条件，先确定\(z\)的代数形式或关键低次幂；

4. 最后处理共轭，注意共轭只改变虚部符号.

易错点： 指数取余后忘记保留余数为\(0\)的情形；把\(\overline{z^n}\)误作\(\overline z^n\)以外的形式；未先化简分母便做高次运算.