空间向量¶

知识点¶

运算法则¶

定理 1. 空间向量运算法则¶

定理 2. 共面向量定理¶

设\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)是空间中不共线的两个向量，则空间中的向量\(\vec{p}\)与\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)共面的充要条件是存在实数\(x\)，\(y\)，使得\(\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}\)

证明：充分性——若\(\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}\)，则\(x\vec{a}\)，\(y\vec{b}\)均在\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)确定的平面内，由向量加法（平行四边形法则）知\(\vec{p}\)也在该平面内，即\(\vec{p}\)与\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)共面. 必要性——若\(\vec{p}\)与\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)共面，将三者平移至同一平面，因\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)不共线，由平面向量基本定理，存在唯一实数\(x\)，\(y\)使\(\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}\).

结论 1. 四点共面系数和结论¶

设\(A\)，\(B\)，\(C\)是平面\(\alpha\)上不共线的三点，\(O\)是平面\(\alpha\)外一点，则对于空间中任意一点\(D\)，

设\(\overrightarrow{OD}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}\)，则\(D\)在平面\(\alpha\)内\(\Leftrightarrow \htmlClass{blank}{x + y+z = 1}\).

证明：\(D\)在平面\(ABC\)内\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AD}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}\)（共面向量定理）\(\Leftrightarrow \overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\lambda(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})+\mu(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})\)，即\(\overrightarrow{OD}=(1-\lambda-\mu)\overrightarrow{OA}+\lambda\overrightarrow{OB}+\mu\overrightarrow{OC}\)，三系数之和为\((1-\lambda-\mu)+\lambda+\mu=1\).

结论 2. 法向量的计算步骤¶

求出平面\(\alpha\)内的两个不共线的向量\(\overrightarrow{AB}\)和\(\overrightarrow{AC}\)；

设法向量为\(\vec{n}=(x,y,z)\)，并由\(\begin{cases}\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0\\\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0\end{cases}\)建立关于\(x\)，\(y\)，\(z\)的三元一次方程组；

对其中一个变量赋值，求出另外两个变量，即可得到平面\(\alpha\)的一个法向量.

空间向量的应用¶

结论 1. 空间几何问题的向量解题步骤¶

用空间向量求解立体几何问题的步骤比较流程化，常分四步：

建立空间直角坐标系，写出点的坐标；
计算直线的方向向量、平面的法向量；
根据问题，选择合适的公式计算；
把向量运算的结果翻译成几何问题的答案.

结论 2. 用向量证明几何关系¶

证线线平行：如图1，设\(l_1\)，\(l_2\)是空间中不重合的两条直线，方向向量分别为\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)，则\(l_1\parallel l_2\Leftrightarrow\vec{a}\parallel\vec{b}\).
证线面平行：如图2，直线\(l\)不在平面\(\alpha\)内，直线\(l\)的方向向量为\(\vec{a}\)，平面\(\alpha\)的法向量为\(\vec{n}\)，则\(l\parallel\alpha\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{n}=0\).
证面面平行：如图3，\(\alpha\)，\(\beta\)是两个不重合的平面，它们的法向量分别为\(\vec{n}\)，\(\vec{m}\)，则\(\alpha\parallel\beta\Leftrightarrow\vec{n}\parallel\vec{m}\).

证线线垂直：如图4，设直线\(l_1\)，\(l_2\)的方向向量分别为\(\vec{m}\)，\(\vec{n}\)，则\(l_1\perp l_2\Leftrightarrow\vec{m}\perp\vec{n}\Leftrightarrow\vec{m}\cdot\vec{n}=0\).
证线面垂直：如图5，设\(\vec{m}\)为直线\(l\)的方向向量，\(\vec{u}\)，\(\vec{v}\)为平面\(\alpha\)内两个不共线的向量，则\(l\perp\alpha\Leftrightarrow \begin{cases} \vec{m}\cdot\vec{u}=0 \\ \vec{m}\cdot\vec{v}=0 \end{cases}\).
证面面垂直：如图6，设\(\vec{n}\)，\(\vec{m}\)分别为平面\(\alpha\)，\(\beta\)的法向量，则\(\alpha\perp\beta\Leftrightarrow\vec{m}\perp\vec{n}\Leftrightarrow\vec{m}\cdot\vec{n}=0\).

结论 3. 用向量求角度¶

求线线角：设空间直线\(l_1\)，\(l_2\)的夹角为\(\theta\)，方向向量分别为\(\vec{u}\)，\(\vec{v}\)，则\(\cos\theta = \htmlClass{blank}{\dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}}\).
求线面角：如图7，设直线\(l\)的方向向量为\(\vec{s}\)，平面\(\alpha\)的法向量为\(\vec{n}\)，\(l\)与\(\alpha\)所成角为\(\theta\)，则

\[ \sin\theta = \htmlClass{blank}{|\cos\langle\vec{s},\vec{n}\rangle|=\dfrac{|\vec{s}\cdot\vec{n}|}{|\vec{s}|\cdot|\vec{n}|}} \]
求二面角：如图8，设平面\(\alpha\)，\(\beta\)的法向量分别为\(\vec{m}\)，\(\vec{n}\)，则二面角\(\alpha - l-\beta\)的余弦值

\[ \cos\theta=\htmlClass{blank}{\pm\cos\langle\vec{m},\vec{n}\rangle = \pm\dfrac{\vec{m}\cdot\vec{n}}{|\vec{m}|\cdot|\vec{n}|}} \]

若是求\(\sin\theta\)，可由\(\sin\theta=\sqrt{1 - \cos^{2}\theta}\)来算，\(\cos\theta\)取正取负不影响结果；

若是求\(\cos\theta\)，最终结果取正还是取负，则需考虑二面角的钝锐，一般可通过观察图形，直观想象来判断；若图形不易判断，则求法向量时，让一个朝内，一个朝外，它们的夹角即为二面角，如图9.

结论 4. 用向量求距离¶

求点到直线的距离

设\(P\)为直线\(l\)外一点，点\(A\)在直线\(l\)上，\(\vec{u}\)是直线\(l\)的单位方向向量，则点\(P\)到直线\(l\)的距离

\[ PQ = \htmlClass{blank}{\sqrt{\overrightarrow{AP}^{2}-(\overrightarrow{AP}\cdot\vec{u})^{2}}} \]

注：当线线平行时，两直线间的距离等于一条直线上任意一点到另一直线的距离.
求点到平面的距离

设\(P\)为平面\(\alpha\)外一点，\(A\)为平面\(\alpha\)上任意一点，\(\vec{n}\)为平面\(\alpha\)的一个法向量，则点\(P\)到平面\(\alpha\)的距离

\[ d=\htmlClass{blank}{\dfrac{|\overrightarrow{PA}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}} \]

注：当线面平行或面面平行时，直线到平面的距离，平行平面间的距离都可按点到平面的距离来算.
求异面直线的距离

定义两条异面直线的距离是它们公垂线段的长度，即与两直线都垂直相交的线段长度.

设异面直线 \(l_1\) 过点 \(A\)，方向向量 \(\vec{v}_1\)；直线 \(l_2\) 过点 \(B\)，方向向量 \(\vec{v}_2\)，\(\vec{n}\)是与 \(\vec{v}_1, \vec{v}_2\) 都垂直的向量，则异面直线距离

\[ d = \htmlClass{blank}{\dfrac{|\overrightarrow{AB} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}} \]

动态问题¶

结论 1. 动态平行、垂直的判断¶

过定点\(P\)和动点\(Q\)的直线\(PQ\parallel\)平面\(\alpha\)，要找\(Q\)的轨迹，可过\(P\)作与\(\alpha\)平行的平面\(\beta\)，则点\(Q\)在\(\beta\)上. 若规定\(Q\)也在另一平面\(\gamma\)上，则\(Q\)的轨迹是\(\beta\)与\(\gamma\)的交线，如图1中的蓝线.
过定点\(P\)和动点\(Q\)的直线\(PQ\perp\)定直线\(l\)，要找\(Q\)的轨迹，可过\(P\)作与\(l\)垂直的平面\(\alpha\)，则\(Q\)在\(\alpha\)上，若规定\(Q\)也在另一个平面\(\beta\)上，则\(Q\)的轨迹是\(\alpha\)与\(\beta\)的交线，如图2中的蓝线.

结论 2. 空间轨迹为球¶

空间中满足到定点\(P\)的距离等于定长\(R\)的点\(A\)的轨迹是以\(P\)为球心，\(R\)为半径的球面；
设\(P\)，\(Q\)为空间两定点，点\(A\)满足\(AP\perp AQ\)，则点\(A\)的轨迹是以\(PQ\)为直径的球面.

若在上述情况的基础上，增加限制动点\(A\)在某平面上，则点\(A\)只能在球的截面圆上运动.

结论 3. 动点问题¶

当\(P\)为定直线\(AB\)上的动点，可借助\(\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AB}\)将动点\(P\)的坐标表示成\(\lambda\)，用向量法分析问题.
当\(P\)为平面\(ABC\)上的动点，可借助\(\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}\)将动点\(P\)的坐标表示成\(\lambda\)和\(\mu\)，用向量法分析问题.
当\(P\)到定点\(A\)的距离为定值时，可用两点距离来设\(P\)点并考虑三角换元表示\(P\)点坐标.

结论 4. 翻折问题¶

解决翻折问题的核心有两点.

分析翻折前后未发生变化的几何关系，得出翻折后空间图形的几何特征，将问题明朗化.
在翻折前后的图形中，抓住与折痕线垂直的直线，将空间的计算问题转换到平面上来进行.

*二级结论¶

定义 1. 叉乘（向量积）¶

在三维空间里，对于向量 \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\) 和 \(\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)\)，它们的叉乘 \(\vec{a} \times \vec{b}\) 是一个向量，具有以下特点：

大小：其大小等于 \(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\)，这里的 \(\theta\) 是 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 之间的夹角.从几何角度看，这个大小就是以 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 为邻边的平行四边形的面积.
方向：\(\vec{a} \times \vec{b}\) 的方向垂直于 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 所确定的平面，并且满足右手定则.具体来说，右手四指从 \(\vec{a}\) 按逆时针方向（以小于 180° 的角度）弯曲指向 \(\vec{b}\) 时，大拇指的指向就是叉乘结果的方向.

叉乘的坐标表达式可以通过行列式来表示：

\[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (a_2b_3 - a_3b_2, \, a_3b_1 - a_1b_3, \, a_1b_2 - a_2b_1) \]

其中，\(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\) 是坐标轴方向的单位向量.

叉积的性质：

反交换律：\(\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}\).这意味着交换两个向量的顺序，叉乘结果的方向会相反.
分配律：对于向量 \(\vec{c}\)，有 \(\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}\).
数乘结合律：当 \(k\) 为标量时，\((k\vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (k\vec{b}) = k(\vec{a} \times \vec{b})\).
与点积的关系：

\(\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0\)，\(\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0\).这表明叉乘的结果与原来的两个向量都垂直.

若 \(\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}\)，则说明 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 共线（即它们成比例或者其中至少有一个是零向量）.

几何意义：叉乘的模长 \(|\vec{a} \times \vec{b}|\) 表示以 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 为邻边的平行四边形的面积.
标准基的叉乘：
\(\vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}\)，\(\vec{j} \times \vec{k} = \vec{i}\)，\(\vec{k} \times \vec{i} = \vec{j}\)；
\(\vec{i} \times \vec{i} = \vec{j} \times \vec{j} = \vec{k} \times \vec{k} = \vec{0}\).

定义 2. 混合积（标量三重积）¶

对于三个向量 \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\)，它们的混合积记作 \((\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})\) 或者 \([\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]\)，其定义为叉乘与点积的复合运算，即：

\[ [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \]

混合积的结果是一个标量.从几何意义上讲，它的绝对值等于以 \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) 为邻边的平行六面体的体积，其符号由这三个向量的定向决定：当 \(\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}\) 构成右手系时，混合积为正；构成左手系时，混合积为负.

混合积的坐标表达式为三个向量坐标组成的行列式：

\[ \begin{aligned} [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} & = a_1 \cdot b_2 \cdot c_3 + a_2 \cdot b_3 \cdot c_1 + a_3 \cdot b_1 \cdot c_2 - a_3 \cdot b_2 \cdot c_1 - a_2 \cdot b_1 \cdot c_3 - a_1 \cdot b_3 \cdot c_2 \\ & = a_1 \cdot C_{11} + a_2 \cdot C_{12} + a_3 \cdot C_{13} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} b_2 & b_3 \\ c_2 & c_3 \end{vmatrix} = b_2c_3 - b_3c_2, C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} b_1 & b_3 \\ c_1 & c_3 \end{vmatrix} = -b_1c_3 + b_3c_1, C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \end{vmatrix} = b_1c_2 - b_2c_1 \end{aligned} \]

混合积的性质：

线性性：混合积对于每个向量都满足线性性质.

对第一个向量：\([\vec{a} + \vec{a}', \vec{b}, \vec{c}] = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] + [\vec{a}', \vec{b}, \vec{c}]\)；对数乘：\([k\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = k[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]\)，同理对 \(\vec{b}\) 和 \(\vec{c}\) 也成立.

轮换对称性： \([\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = [\vec{b}, \vec{c}, \vec{a}] = [\vec{c}, \vec{a}, \vec{b}]\)

而交换任意两个向量的位置，混合积的符号会改变，例如： \([\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = -[\vec{b}, \vec{a}, \vec{c}] = -[\vec{a}, \vec{c}, \vec{b}]\)

共面条件：当且仅当三个向量 \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) 共面时，混合积为零，即 \([\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 0\).
几何意义：\(|[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]|\) 表示平行六面体的体积，该平行六面体以 \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) 为邻边.
与叉乘、点积的关系： \((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})\) 也就是说，混合积中的点乘和叉乘可以交换顺序，结果不变.

定义 3. 空间平面的方程¶

平面的一般式方程为：

\[ Ax + By + Cz + D = 0 \]

其中，\(A, B, C\) 是平面法向量 \(\vec{n} = (A, B, C)\) 的坐标，\(D\) 是常数项.

点法式方程：已知平面上一点 \(P(x_0, y_0, z_0)\) 和法向量 \(\vec{n} = (A, B, C)\)，则平面方程为：

\[ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \]

推导过程：对平面上任意点 \(Q(x, y, z)\)，向量 \(\overrightarrow{PQ} = (x - x_0, y - y_0, z - z_0)\) 与法向量 \(\vec{n}\) 垂直，故点积为零：

\[ \vec{n} \cdot \overrightarrow{PQ} = 0 \implies A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \]

截距式方程：若平面在 \(x, y, z\) 轴上的截距分别为 \(a, b, c\)（均不为零），则平面方程为：

\[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \]

推导过程：将截距点 \((a, 0, 0)\)、\((0, b, 0)\)、\((0, 0, c)\) 代入一般式并化简即可得到.

定义 4. 空间直线方程¶

一般式方程（交面式）:空间直线可表示为两个平面的交线：

\[ \begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases} \]

其中，两个平面的法向量 \(\vec{n}_1 = (A_1, B_1, C_1)\) 和 \(\vec{n}_2 = (A_2, B_2, C_2)\) 不平行.

对称式方程（点向式）: 已知直线上一点 \(P(x_0, y_0, z_0)\) 和方向向量 \(\vec{s} = (m, n, p)\)，则直线方程为：

\[ \frac{x - x_0}{m} = \frac{y - y_0}{n} = \frac{z - z_0}{p} \]

推导过程：对直线上任意点 \(Q(x, y, z)\)，向量 \(\overrightarrow{PQ} = (x - x_0, y - y_0, z - z_0)\) 与方向向量 \(\vec{s}\) 共线，故坐标成比例.

参数式方程: 由对称式方程引入参数 \(t\)，得到：

\[ \begin{cases} x = x_0 + mt \\ y = y_0 + nt \\ z = z_0 + pt \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \]

两点式方程: 已知直线上两点 \(P(x_1, y_1, z_1)\) 和 \(Q(x_2, y_2, z_2)\)，则方向向量为 \(\vec{s} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)\)，直线方程为：

\[ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1} \]

结论 1. 线线角（两直线的夹角）¶

设直线 \(L_1\) 的方向向量 \(\vec{s}_1 = (m_1, n_1, p_1)\)，直线 \(L_2\) 的方向向量 \(\vec{s}_2 = (m_2, n_2, p_2)\)，则线线角 \(\theta\) 满足：

\[ \cos\theta = \frac{|\vec{s}_1 \cdot \vec{s}_2|}{|\vec{s}_1||\vec{s}_2|} = \frac{|m_1m_2 + n_1n_2 + p_1p_2|}{\sqrt{m_1^2 + n_1^2 + p_1^2}\sqrt{m_2^2 + n_2^2 + p_2^2}} \]

其中 \(\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]\)，取两方向向量夹角的锐角或直角.

结论 2. 线面角（直线与平面的夹角）¶

设直线 \(L\) 的方向向量 \(\vec{s} = (m, n, p)\)，平面 \(\Pi\) 的法向量 \(\vec{n} = (A, B, C)\)，则线面角 \(\theta\) 满足：

\[ \sin\theta = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}||\vec{n}|} = \frac{|Am + Bn + Cp|}{\sqrt{m^2 + n^2 + p^2}\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

其中 \(\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]\)，线面角定义为直线与它在平面上投影的夹角.

结论 3. 面面角（二面角的平面角）¶

设平面 \(\Pi_1: A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0\) 和 \(\Pi_2: A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0\)，法向量分别为 \(\vec{n}_1 = (A_1, B_1, C_1)\)，\(\vec{n}_2 = (A_2, B_2, C_2)\)，则面面角 \(\theta\) 满足：

\[ \cos\theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|} = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2}\sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}} \]

其中 \(\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]\)，取两法向量夹角的锐角或直角.

结论 4. 点面距（点到平面的距离）¶

设平面 \(\Pi: Ax + By + Cz + D = 0\)，点 \(P(x_0, y_0, z_0)\)，则点 \(P\) 到平面 \(\Pi\) 的距离为：

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

推导：利用法向量投影，向量 \(\overrightarrow{PP_0}\)（\(P_0\) 为平面上任意点）在法向量 \(\vec{n}\) 上的投影绝对值即为距离.

结论 5. 面面距（两平面间的距离）¶

设平面 \(\Pi_1: Ax + By + Cz + D_1 = 0\) 和 \(\Pi_2: Ax + By + Cz + D_2 = 0\)（平行平面），则面面距为：

\[ d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

条件：仅当两平面平行（法向量共线）时存在距离，否则距离为0.

推导：在 \(\Pi_1\) 上任取一点，计算该点到 \(\Pi_2\) 的点面距.

结论 6. 点线距（点到直线的距离）¶

设直线 \(L: \dfrac{x - x_0}{m} = \dfrac{y - y_0}{n} = \dfrac{z - z_0}{p}\)，方向向量 \(\vec{s} = (m, n, p)\)，\(P_0(x_0, y_0, z_0)\) 为直线上一点，点 \(P(x_1, y_1, z_1)\)，则点 \(P\) 到直线 \(L\) 的距离为：

\[ d = \frac{|\overrightarrow{P_0P} \times \vec{s}|}{|\vec{s}|}=\frac{\sqrt{[(y_1 - y_0)p - (z_1 - z_0)n]^2 + [(z_1 - z_0)m - (x_1 - x_0)p]^2 + [(x_1 - x_0)n - (y_1 - y_0)m]^2}}{\sqrt{m^2 + n^2 + p^2}} \]

推导：利用平行四边形面积（叉乘模长）与底（方向向量模长）的比值得到高（距离）.

结论 7. 异面直线的距离¶

设异面直线 \(L_1: \dfrac{x - x_1}{m_1} = \dfrac{y - y_1}{n_1} = \dfrac{z - z_1}{p_1}\)，方向向量 \(\vec{s}_1 = (m_1, n_1, p_1)\)，直线 \(L_2: \dfrac{x - x_2}{m_2} = \dfrac{y - y_2}{n_2} = \dfrac{z - z_2}{p_2}\)，方向向量 \(\vec{s}_2 = (m_2, n_2, p_2)\)，\(P_1(x_1, y_1, z_1)\)，\(P_2(x_2, y_2, z_2)\) 分别为两直线上的点，则异面直线间的距离为：

\[ d = \frac{|\overrightarrow{P_1P_2} \cdot (\vec{s}_1 \times \vec{s}_2)|}{|\vec{s}_1 \times \vec{s}_2|}= \frac{\left| \begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ m_1 & n_1 & p_1 \\ m_2 & n_2 & p_2 \end{vmatrix} \right|}{\sqrt{(n_1p_2 - n_2p_1)^2 + (p_1m_2 - p_2m_1)^2 + (m_1n_2 - m_2n_1)^2}} \]

推导：混合积的绝对值表示平行六面体体积，除以底面（叉乘模长）面积得到高（距离）.

题型¶

空间向量基础与建系¶

题型 1. 空间向量的线性运算¶

题型识别： 题目在正方体、棱柱、棱锥中给出点、边和分点，要求用若干基向量表示目标向量，或求向量的和、差、数乘、数量积.

核心思路： 空间向量的加减和数乘与平面向量完全一致. 先选取同一起点的三条不共面向量作基底，再利用路径法和分点关系把目标向量写成线性组合.

解题步骤：

选一个顶点作共同起点，确定三条方便的不共面基向量；
用首尾相接和中点、比例关系表示目标向量；
合并线性组合的系数，必要时转为坐标；
回到图形核对起点、终点和方向.

易错点： 把空间向量的基底误选为共面向量；同名边方向未统一；数乘负号改变方向却未处理.

题型 2. 共面向量与四点共面¶

题型识别： 要求判断向量是否共面、四点是否共面，或求表示式中的系数和.

核心思路： 三条不共线基向量中，若一个向量可由另两个线性表示，则它们共面. 对四点\(A,B,C,D\)，以同一点\(P\)为起点表示时，\(\overrightarrow{PD}=x\overrightarrow{PA}+y\overrightarrow{PB}+z\overrightarrow{PC}\)且\(x+y+z=1\)对应四点共面.

解题步骤：

统一各向量的起点；
将目标向量写为三个基向量的线性组合；
根据共面定理或系数和条件列方程；
检查所选基向量确实不共面，避免退化.

易错点： 将平面向量的“两系数和为\(1\)”套到空间四点；三基向量本身共面时仍比较系数；忽略点在线段外的外分情形.

题型 3. 空间直角坐标系建系¶

题型识别： 正方体、长方体、直棱柱、正棱锥等图形中要求证明位置关系、求角、距离或参数范围.

核心思路： 以一个顶点为原点，以三条两两垂直的棱或方向为\(x,y,z\)轴. 建系的目标是使顶点坐标尽量简单，使直线方向向量与平面法向量易得.

解题步骤：

选直角顶点、底面中心或对称中心为原点；
选三条互相垂直方向建立坐标轴，写出关键点坐标；
由两点坐标求直线方向向量，由面内两向量求法向量；
用数量积、向量积或距离公式完成目标.

易错点： 三坐标轴不垂直；顶点坐标的正负方向混乱；为求几何量引入过多无关参数.

题型 4. 法向量的求法¶

题型识别： 已知平面内两条相交直线或三个不共线点，要求求平面法向量、平面方程，或进一步判断线面关系.

核心思路： 平面法向量同时垂直于平面内两条不共线方向向量. 先写出两个方向向量，再设\(\vec n=(x,y,z)\)，利用两个数量积为\(0\)求一个非零解.

解题步骤：

在平面内取两条不共线向量\(\vec a,\vec b\)；
设\(\vec n=(x,y,z)\)，列\(\vec n\cdot\vec a=0\)、\(\vec n\cdot\vec b=0\)；
解出任一非零比例解即可，不必唯一；
用法向量与直线方向向量的数量积处理后续问题.

易错点： 平面内两向量共线；误把法向量当成平面内方向向量；求得零向量仍作为法向量使用.

用空间向量证明位置关系¶

题型 1. 用向量证明平行与垂直¶

题型识别： 题目要求证明线线、线面、面面平行或垂直，图形复杂而几何法辅助线不易寻找.

核心思路： 线线平行看方向向量共线，线线垂直看数量积为\(0\)；线面平行看直线方向向量与平面法向量垂直，线面垂直看二者平行；面面平行看法向量平行，面面垂直看法向量垂直.

解题步骤：

将待证对象分别转为方向向量或法向量；
依据目标选择“共线”或“数量积为\(0\)”的判定；
完成坐标或线性组合运算；
将向量结论准确翻译回几何结论.

易错点： 线面平行、垂直的法向量条件颠倒；两平面法向量平行只说明平面平行或重合，需结合题设位置；遗漏直线在平面内的特殊情形.

角度与距离¶

题型 1. 空间角的向量法¶

题型识别： 求异面直线夹角、线面角或二面角，已建立坐标系或容易得到方向向量、法向量.

核心思路： 线线角取两方向向量夹角的锐角；线面角的正弦等于直线方向向量与平面法向量夹角余弦的绝对值；二面角可由两平面法向量夹角的锐角确定，再按题意取补角或本身.

解题步骤：

写出直线方向向量和相关平面法向量；
通过数量积公式求两个向量夹角的余弦；
根据线线、线面、面面角的定义换算为目标角；
对角度取值使用绝对值并保证落在规定范围.

易错点： 线面角直接等于方向向量与法向量夹角；异面直线夹角未取锐角；二面角内外角混淆.

题型 2. 点到面、点到线与异面直线距离¶

题型识别： 要求空间中点到平面、点到直线、两平行面或异面直线的距离，已知坐标、方程或方向向量.

核心思路： 点到面可用平面方程距离公式，点到线可用垂直分解或叉积长度，异面直线距离可取公垂线方向并投影. 计算前先明确距离对应的垂线方向.

解题步骤：

点到面：先求平面法向量和方程，再代距离公式；
点到线：取直线方向向量，构造点到线上一点的向量并去除平行分量；
异面直线：由两方向向量确定公垂线方向，将两线间连接向量投影；
检查所得距离非负，且垂足或公垂线真实存在.

易错点： 把点到线距离当作任意两点距离；点到面公式分母漏掉法向量模；异面直线未先确认不平行.

动态问题¶

题型 1. 动态位置关系与轨迹¶

题型识别： 空间动点、动线或动面满足平行、垂直、距离不变等条件，要求轨迹、范围或存在性.

核心思路： 把位置关系转为向量方程、数量积方程或距离方程. 到定点距离不变对应球面，到定直线距离不变常对应圆柱面，再与原动点所在平面或线取交.

解题步骤：

设动点坐标或位置向量，写出其活动范围；
将平行、垂直和定距条件翻译为向量关系；
化简为球、平面、直线或圆柱等轨迹方程；
与原限制求交，并判断轨迹是否退化、端点是否可取.

易错点： 只写出一个曲面而忽略原动点所在范围；把球面误作球体；参数解未回到几何位置检查.

题型 2. 翻折与直线动点问题¶

题型识别： 平面图形沿棱翻折，或动点在线段、射线、直线上运动，要求判断垂直、求最值或参数范围.

核心思路： 翻折保持折痕上的点不动，保持边长与折前图形的平面角关系，但空间位置改变. 可令折痕为坐标轴或将动点设为线性参数，再用数量积、距离平方或轨迹法处理.

解题步骤：

确定折痕、固定点和翻折后不变的长度关系；
选择折痕或底面建立坐标系，设动点为单参数形式；
将垂直、距离或角度条件转为数量积、模平方；
解参数范围并检查翻折角和线段范围的几何限制.

易错点： 把翻折后仍当作同一平面图形；参数范围取成整条直线；忽略翻折前后公共边固定.

题型 3. 空间综合选择题¶

题型识别： 一个立体图形中同时考查位置关系、角度、距离、存在性和参数范围，通常为多选或判断题.

核心思路： 先逐项判断，不必强求一种方法完成所有选项. 优先用几何直观和基本定理快速排除，涉及精确角度或距离、几何法难以推进时再建系计算.

解题步骤：

将选项按平行垂直、角度、距离、存在性分类；
对显然的结构先用几何法判定；
对剩余选项选择最简建系，计算方向向量、法向量或距离；
每个选项独立验证，避免由一个错误前提连锁推出结论.

易错点： 默认图形“看起来”规则；多选题只找到正确项而未逐项排错；建系坐标与题设长度比例不一致.