空间向量

运算法则

定理 1. 空间向量运算法则（人教A选必一P3）

c c 运算/性质 公式/定义（设 ( a =(a_1,a_2,a_3) )， ( b =(b_1,b_2,b_3) )） 加减法 a b = (a_1 b_1, a_2 b_2, a_3 b_3) 数乘 a = ( a_1, a_2, a_3) 共线条件 若 a b 且 b 0 ，则存在唯一实数 ，使得： a_1 = b_1 , a_2 = b_2 , a_3 = b_3 模 a = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 数量积 a b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 当 a b 时， a b = 0 夹角余弦 a , b = a b a b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 两点连线向量 设 A(x_1, y_1, z_1) ， B(x_2, y_2, z_2) ，则： AB = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) 投影向量 向量 b 在向量 a 上的投影向量为： a b a a a

定理 2. 共面向量定理（人教A选必一P11）

设 ( a )， ( b )是空间中不共线的两个向量，则空间中的向量 ( p )与 ( a )， ( b )共面的充要条件是存在实数 (x )， (y )，使得 ( p =x a +y b ) 证明 ：充分性——若 ( p =x a +y b )，则 (x a )， (y b )均在 ( a )， ( b )确定的平面内，由向量加法（平行四边形法则）知 ( p )也在该平面内，即 ( p )与 ( a )， ( b )共面. 必要性——若 ( p )与 ( a )， ( b )共面，将三者平移至同一平面，因 ( a )， ( b )不共线，由平面向量基本定理，存在唯一实数 (x )， (y )使 ( p =x a +y b ).

结论 1. 四点共面系数和结论

设 (A )， (B )， (C )是平面 ( )上不共线的三点， (O )是平面 ( )外一点，则对于空间中任意一点 (D )， 设 ( OD =x OA +y OB +z OC )，则 (D )在平面 ( )内 ( x + y+z = 1 ). 证明 ： (D )在平面 (ABC )内 ( AD = AB + AC )（共面向量定理） ( OD - OA = ( OB - OA )+ ( OC - OA ) )，即 ( OD =(1- - ) OA + OB + OC )，三系数之和为 ((1- - )+ + =1 ).

结论 2. 法向量的计算步骤

求出平面 ( )内的两个不共线的向量 ( AB )和 ( AC )； 设法向量为 ( n =(x,y,z) )，并由 ( n AB =0 n AC =0 )建立关于 (x )， (y )， (z )的三元一次方程组； 对其中一个变量赋值，求出另外两个变量，即可得到平面 ( )的一个法向量.

空间向量的应用

题型 1. 空间几何问题的向量解题步骤

用空间向量求解立体几何问题的步骤比较流程化，常分四步： 1. 建立空间直角坐标系，写出点的坐标； 2. 计算直线的方向向量、平面的法向量； 3. 根据问题，选择合适的公式计算； 4. 把向量运算的结果翻译成几何问题的答案.

题型 2. 用向量证明几何关系

1. 证线线平行：如图1，设 (l_1 )， (l_2 )是空间中不重合的两条直线，方向向量分别为 ( a )和 ( b )，则 (l_1 l_2 a b ). 2. 证线面平行：如图2，直线 (l )不在平面 ( )内，直线 (l )的方向向量为 ( a )，平面 ( )的法向量为 ( n )，则 (l a n =0 ). 3. 证面面平行：如图3， ( )， ( )是两个不重合的平面，它们的法向量分别为 ( n )， ( m )，则 ( n m ). 0.99 [>=stealth, scale=0.8] % 图1 [xshift=0cm] (-2, 1.7) -- (1.5, 2.2) node[right] l_1 ; (-0.5, 1.91) circle(1.5pt); [->,blue, very thick] (-0.5, 1.91) -- (0.5, 2.05) node[midway, above] a ; (-2, 0.3) -- (1.5, 0.8) node[right] l_2 ; (-0.5, 0.51) circle(1.5pt); [->, blue, very thick] (-0.5, 0.51) -- (0.5, 0.65) node[midway, above] b ; at (-0.25, -0.8) 图1 ; % 图2 [xshift=5.5cm] (-1.5, 0) -- (1.5, 0) -- (2.2, 0.8) -- (-0.8, 0.8) -- cycle; at (-0.9, 0.2) ; [->, blue, very thick] (0.5, 0.4) -- (0.5, 1.6) node[midway, right] n ; (-1.2, 2.2) -- (2.2, 2.2) node[right] l ; (0, 2.2) circle(1.5pt); [->, blue, very thick] (0, 2.2) -- (1, 2.2) node[midway, above] a ; at (0.35, -0.8) 图2 ; % 图3 [xshift=11cm] % Plane alpha (-1.5, 0) -- (1.5, 0) -- (2.2, 0.8) -- (-0.8, 0.8) -- cycle; at (-0.9, 0.2) ; [->, blue, very thick] (0.5, 0.4) -- (0.5, 1.3) node[midway, right] n ; % Plane beta [yshift=1.5cm] (-1.5, 0) -- (1.5, 0) -- (2.2, 0.8) -- (-0.8, 0.8) -- cycle; at (-0.9, 0.2) ; [->, blue, very thick] (0.5, 0.4) -- (0.5, 1.3) node[midway, right] m ; at (0.35, -0.8) 图3 ; 4. 证线线垂直：如图4，设直线 (l_1 )， (l_2 )的方向向量分别为 ( m )， ( n )，则 (l_1 l_2 m n m n =0 ). 5. 证线面垂直：如图5，设 ( m )为直线 (l )的方向向量， ( u )， ( v )为平面 ( )内两个不共线的向量， 则 (l m u =0 m v =0 ). 6. 证面面垂直：如图6，设 ( n )， ( m )分别为平面 ( )， ( )的法向量，则 ( m n m n =0 ). 0.99 [>=stealth, scale=0.8] % 图4 [xshift=0cm] (-1.5, 0) -- (1.5, 0) -- (2.5, 1.2) -- (-0.5, 1.2) -- cycle; at (-1, 0.2) ; (-1, 0.4) -- (1.2, 0.4) node[right] l_1 ; [->, blue, very thick] (-0.3, 0.4) -- (0.7, 0.4) node[midway, above] m ; (1, 0.5) -- (1, 2.2) node[above] l_2 ; [->, blue, very thick] (1, 1.0) -- (1, 1.8) node[midway, right] n ; [below] at (0.5, -0.5) 图4 ; % 图5 [xshift=5.5cm] (-1.5, 0) -- (1.5, 0) -- (2.5, 1.2) -- (-0.5, 1.2) -- cycle; at (-1, 0.2) ; [->, blue, very thick] (0.1, 0.8) -- (1.5, 1) node[right] u ; [->, blue, very thick] (0.1, 0.8) -- (1.2, 0.3) node[right] v ; (0.1, 0.8) -- (0.1, 2.5) node[above] l ; [->, blue, very thick] (0.1, 1.3) -- (0.1, 2.1) node[midway, right] m ; [below] at (0.5, -0.5) 图5 ; % 图6 [xshift=11cm] (-1.5, 0) -- (1.5, 0) -- (2.5, 1.2) -- (-0.5, 1.2) -- cycle; at (-1, 0.2) ; [->, blue, very thick] (0.5, 0.6) -- (0.5, 2) node[midway, right] n ; (-1.5, 0) -- (-1.5, 2) -- (-0.5, 3.2) -- (-0.5, 1.2); at (-0.7, 2.6) ; [->, blue, very thick] (-1, 1.5) -- (0.3, 1.5) node[midway, above] m ; [below] at (0.5, -0.5) 图6 ;

题型 3. 用向量求角度

1. 求线线角：设空间直线 (l_1 )， (l_2 )的夹角为 ( )，方向向量分别为 ( u )， ( v )，则 ( = u v u v ). 2. 求线面角：如图7，设直线 (l )的方向向量为 ( s )，平面 ( )的法向量为 ( n )， (l )与 ( )所成角为 ( )，则 [ = s , n = s n s n ] 3. 求二面角：如图8，设平面 ( )， ( )的法向量分别为 ( m )， ( n )， 则二面角 ( - l- )的余弦值 [ = m , n = m n m n ] 若是求 ( )，可由 ( = 1 - ^ 2 )来算， ( )取正取负不影响结果； 若是求 ( )，最终结果取正还是取负，则需考虑二面角的钝锐，一般可通过观察图形，直观想象来判断；若图形不易判断，则求法向量时，让一个朝内，一个朝外，它们的夹角即为二面角，如图9. 0.99 [>=stealth, thick, line join=round, line cap=round] % 图7：线面角 [xshift=0cm] (-2, 0) -- (1.5, 0) -- (2.5, 1) -- (-1, 1) -- cycle; at (-1.3, 0.2) ; (Q) at (-0.6, 0.3); (A) at (1.2, 0.3); (P) at (1.2, 1.8); [dashed] (Q) -- (A); (Q) -- (P); (A) -- (P); (P) -- ( (Q)!1.4!(P) ); [above] at (P) P ; [left] at (Q) Q ; [right] at (A) A ; [left] at ( (Q)!0.6!(P) ) l ; % 向量 s 和 n [->, blue, very thick] (P) -- ( (Q)!0.6!(P) ) node[midway, above left, text=blue] s ; [->, blue, very thick] (P) -- ( (P)!0.6!(A) ) node[midway, right, text=blue] n ; % 直角和角度 (A) ++(-0.2,0) -- ++(0,0.2) -- ++(0.2,0); (Q) ++(0.4,0) arc (0:40:0.4); at ( (Q) + (0.6, 0.22) ) ; at (0.25, -0.8) 图7 ; % 图8：二面角 (法向量都朝外) [xshift=5.8cm] % 平面 (-0.5, 1) -- (-1.5, 0) node[below right, pos=0.6] l -- (1.5, 0) -- (2.5, 1) -- cycle; at (1.4, 0.3) ; % 平面 (-1.5, 0) -- (-2, 1.5) -- (-1, 2.5) -- (-0.5, 1) -- cycle; at (-1.0, 1.8) ; % 面内垂线 (O) at (-1.0, 0.5); (OA) at (1, 0.5); (OB) at (-1.5, 2.0); (O) -- (OA); (O) -- (OB); % 二面角弧度 (O) ++(0.2, 0) arc (0:108:0.2); at ( (O) + (0.35, 0.25) ) ; % % 垂线垂直符号(面内垂直于交线l) % ( (O) + (0.2, 0) ) -- ++(0.15, 0.15) -- ( (O) + (0.15, 0.15) ); % ( (O) + (-0.05, 0.15) ) -- ++(0.15, 0.15) -- ( (O) + (0.15, 0.15) ); % 法向量交点与端点控制 (M_base) at (0.0, 0.5); (M_top) at (0.0, 2.3); (Int) at (0.0, 1.5); (N_base) at (-1.2, 1.1); (N_top) at (0.9, 1.8); % 法向向量的垂直符号(垂直于面的内垂线OA/OB) ( (M_base) + (-0.15, 0) ) -- ++(0, 0.15) -- ( (M_base) + (0, 0.15) ); ( (N_base) + (0.05, -0.15) ) -- ++(0.15, 0.05) -- ( (N_base) + (0.15, 0.05) ); % 绘制向量 m 和 n [->, blue, very thick] (M_base) -- (M_top) node[above, text=blue] m ; [->, blue, very thick] (N_base) -- (N_top) node[right, text=blue] n ; % 法向夹角 (Int) ++(0, 0.3) arc (90:18.4:0.3); % at ( (Int) + (0.2, 0.45) ) ; at (0.5, -0.8) 图8 ; % 图9：二面角 (一内一外) [xshift=11.6cm] % 平面 (-0.5, 1) -- (-1.5, 0) node[below right, pos=0.6] l -- (1.5, 0) -- (2.5, 1) -- cycle; at (1.4, 0.3) ; % 平面 (-1.5, 0) -- (-2, 1.5) -- (-1, 2.5) -- (-0.5, 1) -- cycle; at (-1.0, 1.8) ; % 面内垂线 (O) at (-1.0, 0.5); (OA) at (1, 0.5); (OB) at (-1.5, 2.0); (O) -- (OA); (O) -- (OB); % 二面角弧度 (O) ++(0.2, 0) arc (0:108:0.2); at ( (O) + (0.35, 0.25) ) ; % % 垂线垂直符号(面内垂直于交线l) % ( (O) + (0.2, 0) ) -- ++(0.15, 0.15) -- ( (O) + (0.15, 0.15) ); % ( (O) + (-0.05, 0.15) ) -- ++(0.15, 0.15) -- ( (O) + (0.15, 0.15) ); % 法向量交点与端点控制 (M_base) at (0.0, 0.5); (M_top) at (0.0, 2.3); (Int) at (0.0, 1.5); (N_base) at (-1.2, 1.1); (N_top) at (0.9, 1.8); % 法向向量的垂直符号(垂直于面的内垂线OA/OB) ( (M_base) + (-0.15, 0) ) -- ++(0, 0.15) -- ( (M_base) + (0, 0.15) ); ( (N_base) + (0.05, -0.15) ) -- ++(0.15, 0.05) -- ( (N_base) + (0.15, 0.05) ); % 绘制向量 m (仅方向变为向下) 和 n [->, blue, very thick] (M_top) node[above, text=blue] m -- (M_base); [->, blue, very thick] (N_base) -- (N_top) node[right, text=blue] n ; % 法向夹角 (Int) ++(0, -0.3) arc (-90:18.4:0.3); at ( (Int) + (0.35, -0.15) ) ; at (0.5, -0.8) 图9 ;

题型 4. 用向量求距离

求点到直线的距离 0.73 设 (P )为直线 (l )外一点，点 (A )在直线 (l )上， ( u )是直线 (l )的单位方向向量，则点 (P )到直线 (l )的距离 [PQ = AP ^ 2 -( AP u )^ 2 ] 注：当线线平行时，两直线间的距离等于一条直线上任意一点到另一直线的距离. 0.24 [scale=1, >=Stealth, line width=0.8pt] (-1.3, 0) -- (2.2, 0) node[above] l ; (-0.5, 0) circle (1.5pt) node[below] A ; (P) at (1.5, 1.5); (Q) at (1.5, 0); (P) circle (1.5pt) node[right] P ; [dashed] (P) -- (Q) node[below] Q ; [->, very thick] (-0.5, 0) -- (P); [->, blue, very thick] (-0.5, 0) -- (0.8, 0) node[midway, below] u ; 求点到平面的距离 0.73 设 (P )为平面 ( )外一点， (A )为平面 ( )上任意一点， ( n )为平面 ( )的一个法向量，则点 (P )到平面 ( )的距离 [d= PA n n ] 注：当线面平行或面面平行时，直线到平面的距离，平行平面间的距离都可按点到平面的距离来算. 0.24 [scale=1, >=Stealth, line width=0.8pt] (-1.5, 0) -- (1.5, 0) -- (2.3, 1.2) -- (-0.7, 1.2) -- cycle; at (-1.1, 0.2) ; (-0.2, 0.6) circle (1.5pt) node[left] A ; (P) at (1.2, 2.2); (Q) at (1.2, 0.6); [dashed] (-0.2, 0.6) -- (Q); (P) circle (1.5pt) node[above] P ; (P) -- (Q); [->, very thick] (P) -- (-0.2, 0.6); [->,blue, very thick] (P) -- (1.2, 1.0) node[midway, right] n ; 求异面直线的距离 0.73 定义两条异面直线的距离是它们公垂线段的长度，即与两直线都垂直相交的线段长度. 设异面直线 (l_1 ) 过点 (A )，方向向量 ( v _1 )；直线 (l_2 ) 过点 (B )，方向向量 ( v _2 )， n 是与 ( v _1, v _2 ) 都垂直的向量，则异面直线距离 [ d = AB n n ] 0.24 [scale=0.9, >=Stealth, line width=0.8pt] % Bottom plane (-1.8, 0) -- (1.5, 0) -- (2.5, 1) -- (-0.8, 1) -- cycle; % Top plane [yshift=2.2cm] (-1.8, 0) -- (1.5, 0) -- (2.5, 1) -- (-0.8, 1) -- cycle; (-1.2, 0.5) -- (1.4, 0.5) node[right] l_1 ; (-0.8, 0.5) circle (1.5pt) node[above] A ; (A) at (-0.8, 0.5); (P_top) at (0.3, 0.5); % Bottom elements (P_bottom) at (0.3, 0.5); (-1.2, 0.2) -- (1.8, 0.8); at (2.0, 0.8) l_2 ; (-0.2, 0.4) circle (1.5pt) node[below] B ; (B) at (-0.2, 0.4); [->, very thick] (A) -- (B); [blue, ->, very thick] (P_top) -- (P_bottom) node[midway, left] n ;

动态问题

题型 1. 动态平行、垂直的判断

0.49 过定点 (P )和动点 (Q )的直线 (PQ )平面 ( )，要找 (Q )的轨迹，可过 (P )作与 ( )平行的平面 ( )，则点 (Q )在 ( )上. 若规定 (Q )也在另一平面 ( )上，则 (Q )的轨迹是 ( )与 ( )的交线，如图1中的蓝线. 过定点 (P )和动点 (Q )的直线 (PQ )定直线 (l )，要找 (Q )的轨迹，可过 (P )作与 (l )垂直的平面 ( )，则 (Q )在 ( )上，若规定 (Q )也在另一个平面 ( )上，则 (Q )的轨迹是 ( )与 ( )的交线，如图2中的蓝线. 0.5 [>=stealth, scale=0.7, line join=round, line cap=round, thick] % 图1 [xshift=0cm] % Plane (bottom) (-2, 0) -- (1.5, 0) -- (2.5, 1) -- (-1, 1) -- cycle; at (-1.5, 0.2) ; % Plane (top) [yshift=2.5cm] (-2, 0) -- (1.5, 0) -- (2.5, 1) -- (-1, 1) -- cycle; at (-1.5, 0.2) ; % Intersection line on (I1) at (0, 0); (I2) at (1, 1); % Plane intersecting (Parallelogram) (G1) at (0.5, -1.2); (G2) at (1.5, -0.2); (G3) at (0.5, 2.2); (G4) at (-0.5, 1.2); (G4) -- (G3); (G4) -- (I1); (I1) -- (G1); (G1) -- (G2); (G2) -- (1.417, 0); % 恰好与beta前侧轮廓线在同一纵深，由实转虚 [dashed] (1.417, 0) -- (I2); % 被beta平面遮挡的内容 (I2) -- (G3); at (0.4, 1.8) ; [blue, very thick] (I1) -- (I2); % Points P and Q (P) at (-0.5, 0.5); (Q) at (0.5, 0.5); (P) circle(1.5pt) node[left] P ; (Q) circle(1.5pt) node[right, text=blue] Q ; (P) -- (Q); at (0.25, -0.8) 图1 ; % 图2 [xshift=5.5cm, yshift=1.5cm] % Plane (horizontal) (-2.5, 0) -- (2.5, 0) -- (3.5, 1) -- (-1.5, 1) -- cycle; at (-2.0, 0.2) ; % Intersection line on (J1) at (0, 0); (J2) at (1, 1); % Plane intersecting (Parallelogram) (B1) at (0.5, -1.2); (B2) at (1.5, -0.2); (B3) at (0.5, 2.2); (B4) at (-0.5, 1.2); (B4) -- (B3); (B4) -- (J1); (J1) -- (B1); (B1) -- (B2); (B2) -- (1.417, 0); % 恰好与alpha前侧轮廓线在同一纵深，由实转虚 [dashed] (1.417, 0) -- (J2); % 被alpha平面遮挡的内容 (J2) -- (B3); at (0.4, 1.8) ; [blue, very thick] (J1) -- (J2); % Line l perpendicular to (2.3, 2.0) node[right] l -- (2.3, 0.5); % [dashed] (2.3, 0.5) -- (2.3, 0); % 穿透内部遮挡部分 (2.3, 0) -- (2.3, -0.8); % 从下部平底完全透出 % Points P and Q on (P) at (-0.5, 0.5); (Q) at (0.5, 0.5); % On intersection line (P) circle(1.5pt) node[left] P ; (Q) circle(1.5pt) node[right, text=blue] Q ; (P) -- (Q); at (0.25, -2.3) 图2 ;

题型 2. 空间轨迹为球

空间中满足到定点 (P )的距离等于定长 (R )的点 (A )的轨迹是以 (P )为球心， (R )为半径的球面； 设 (P )， (Q )为空间两定点，点 (A )满足 (AP AQ )，则点 (A )的轨迹是以 (PQ )为直径的球面. 若在上述情况的基础上，增加限制动点 (A )在某平面上，则点 (A )只能在球的截面圆上运动.

题型 3. 动点问题

当 (P )为定直线 (AB )上的动点，可借助 ( AP = AB ) 将动点 (P )的坐标表示成 ( )，用向量法分析问题. 当 (P )为平面 (ABC )上的动点，可借助 ( AP = AB + AC ) 将动点 (P )的坐标表示成 ( )和 ，用向量法分析问题. 当 (P )到定点 (A )的距离为定值时，可用两点距离来设 (P )点并考虑三角换元表示 (P )点坐标.

题型 4. 翻折问题

解决翻折问题的核心有两点. 分析翻折前后未发生变化的几何关系，得出翻折后空间图形的几何特征，将问题明朗化. 在翻折前后的图形中，抓住与折痕线垂直的直线，将空间的计算问题转换到平面上来进行.

*二级结论

定义 1. 叉乘（向量积）

在三维空间里，对于向量 a = (a_1, a_2, a_3) 和 b = (b_1, b_2, b_3) ，它们的叉乘 a b 是一个向量，具有以下特点： 1. 大小：其大小等于 a b ，这里的 是 a 和 b 之间的夹角.从几何角度看，这个大小就是以 a 和 b 为邻边的平行四边形的面积. 2. 方向： a b 的方向垂直于 a 和 b 所确定的平面，并且满足右手定则.具体来说，右手四指从 a 按逆时针方向（以小于 180° 的角度）弯曲指向 b 时，大拇指的指向就是叉乘结果的方向. 叉乘的坐标表达式可以通过行列式来表示： [ a b = i j k a_1 a_2 a_3 b_1 b_2 b_3 = (a_2b_3 - a_3b_2, , a_3b_1 - a_1b_3, , a_1b_2 - a_2b_1) ] 其中， i , j , k 是坐标轴方向的单位向量. 叉积的性质： 1. 反交换律： a b = - b a .这意味着交换两个向量的顺序，叉乘结果的方向会相反. 2. 分配律：对于向量 c ，有 a ( b + c ) = a b + a c . 3. 数乘结合律：当 k 为标量时， (k a ) b = a (k b ) = k( a b ) . 4. 与点积的关系： a ( a b ) = 0 ， b ( a b ) = 0 .这表明叉乘的结果与原来的两个向量都垂直. 若 a b = 0 ，则说明 a 和 b 共线（即它们成比例或者其中至少有一个是零向量）. 5. 几何意义：叉乘的模长 a b 表示以 a 和 b 为邻边的 平行四边形的面积 . 6. 标准基的叉乘： - i j = k ， j k = i ， k i = j ； - i i = j j = k k = 0 .

定义 2. 混合积（标量三重积）

对于三个向量 a , b , c ，它们的混合积记作 ( a , b , c ) 或者 [ a , b , c ] ，其定义为叉乘与点积的复合运算，即： [ [ a , b , c ] = ( a b ) c ] 混合积的结果是一个标量.从几何意义上讲，它的绝对值等于以 a , b , c 为邻边的 平行六面体的体积 ，其符号由这三个向量的定向决定：当 a , b , c 构成右手系时，混合积为正；构成左手系时，混合积为负. 混合积的坐标表达式为三个向量坐标组成的行列式： [ a , b , c ] = a_1 a_2 a_3 b_1 b_2 b_3 c_1 c_2 c_3 = a_1 b_2 c_3 + a_2 b_3 c_1 + a_3 b_1 c_2 - a_3 b_2 c_1 - a_2 b_1 c_3 - a_1 b_3 c_2 = a_1 C_ 11 + a_2 C_ 12 + a_3 C_ 13 C_ 11 = (-1)^ 1+1 b_2 b_3 c_2 c_3 = b_2c_3 - b_3c_2, C_ 12 = (-1)^ 1+2 b_1 b_3 c_1 c_3 = -b_1c_3 + b_3c_1, C_ 13 = (-1)^ 1+3 b_1 b_2 c_1 c_2 = b_1c_2 - b_2c_1 混合积的性质： 1. 线性性：混合积对于每个向量都满足线性性质. 对第一个向量： [ a + a ', b , c ] = [ a , b , c ] + [ a ', b , c ] ； 对数乘： [k a , b , c ] = k[ a , b , c ] ，同理对 b 和 c 也成立. 2. 轮换对称性： ( [ a , b , c ] = [ b , c , a ] = [ c , a , b ] ) 而交换任意两个向量的位置，混合积的符号会改变，例如： ( [ a , b , c ] = -[ b , a , c ] = -[ a , c , b ] ) 3. 共面条件：当且仅当三个向量 a , b , c 共面时，混合积为零，即 [ a , b , c ] = 0 . 4. 几何意义： [ a , b , c ] 表示平行六面体的体积，该平行六面体以 a , b , c 为邻边. 5. 与叉乘、点积的关系： ( ( a b ) c = a ( b c ) ) 也就是说，混合积中的点乘和叉乘可以交换顺序，结果不变.

定义 3. 空间平面的方程

1. 平面的一般式方程为： [ Ax + By + Cz + D = 0 ] 其中， A, B, C 是平面法向量 n = (A, B, C) 的坐标， D 是常数项. 2. 点法式方程： 已知平面上一点 P(x_0, y_0, z_0) 和法向量 n = (A, B, C) ，则平面方程为： [ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 ] 推导过程： 对平面上任意点 Q(x, y, z) ，向量 PQ = (x - x_0, y - y_0, z - z_0) 与法向量 n 垂直，故点积为零： [ n PQ = 0 A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 ] 3. 截距式方程： 若平面在 x, y, z 轴上的截距分别为 a, b, c （均不为零），则平面方程为： [ x a + y b + z c = 1 ] 推导过程： 将截距点 (a, 0, 0) 、 (0, b, 0) 、 (0, 0, c) 代入一般式并化简即可得到.

定义 4. 空间直线方程

1. 一般式方程（交面式）:空间直线可表示为两个平面的交线： [ A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 ] 其中，两个平面的法向量 n _1 = (A_1, B_1, C_1) 和 n _2 = (A_2, B_2, C_2) 不平行. 2. 对称式方程（点向式）: 已知直线上一点 P(x_0, y_0, z_0) 和方向向量 s = (m, n, p) ，则直线方程为： [ x - x_0 m = y - y_0 n = z - z_0 p ] 推导过程： 对直线上任意点 Q(x, y, z) ，向量 PQ = (x - x_0, y - y_0, z - z_0) 与方向向量 s 共线，故坐标成比例. 3. 参数式方程: 由对称式方程引入参数 t ，得到： [ x = x_0 + mt y = y_0 + nt z = z_0 + pt (t R ) ] 4. 两点式方程: 已知直线上两点 P(x_1, y_1, z_1) 和 Q(x_2, y_2, z_2) ，则方向向量为 s = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) ，直线方程为： [ x - x_1 x_2 - x_1 = y - y_1 y_2 - y_1 = z - z_1 z_2 - z_1 ]

结论 1. 线线角（两直线的夹角）

设直线 L_1 的方向向量 s _1 = (m_1, n_1, p_1) ，直线 L_2 的方向向量 s _2 = (m_2, n_2, p_2) ， 则线线角 满足： [ = s _1 s _2 s _1 s _2 = m_1m_2 + n_1n_2 + p_1p_2 m_1^2 + n_1^2 + p_1^2 m_2^2 + n_2^2 + p_2^2 ] 其中 [0, 2 ] ，取两方向向量夹角的锐角或直角.

结论 2. 线面角（直线与平面的夹角）

设直线 L 的方向向量 s = (m, n, p) ，平面 的法向量 n = (A, B, C) ， 则线面角 满足： [ = s n s n = Am + Bn + Cp m^2 + n^2 + p^2 A^2 + B^2 + C^2 ] 其中 [0, 2 ] ，线面角定义为直线与它在平面上投影的夹角.

结论 3. 面面角（二面角的平面角）

设平面 _1: A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 和 _2: A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 ， 法向量分别为 n _1 = (A_1, B_1, C_1) ， n _2 = (A_2, B_2, C_2) ， 则面面角 满足： [ = n _1 n _2 n _1 n _2 = A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 A_1^2 + B_1^2 + C_1^2 A_2^2 + B_2^2 + C_2^2 ] 其中 [0, 2 ] ，取两法向量夹角的锐角或直角.

结论 4. 点面距（点到平面的距离）

设平面 : Ax + By + Cz + D = 0 ，点 P(x_0, y_0, z_0) ， 则点 P 到平面 的距离为： [ d = Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D A^2 + B^2 + C^2 ] 推导 ：利用法向量投影，向量 PP_0 （ P_0 为平面上任意点）在法向量 n 上的投影绝对值即为距离.

结论 5. 面面距（两平面间的距离）

设平面 _1: Ax + By + Cz + D_1 = 0 和 _2: Ax + By + Cz + D_2 = 0 （平行平面）， 则面面距为： [ d = D_1 - D_2 A^2 + B^2 + C^2 ] 条件：仅当两平面平行（法向量共线）时存在距离，否则距离为0. 推导：在 _1 上任取一点，计算该点到 _2 的点面距.

结论 6. 点线距（点到直线的距离）

设直线 L: x - x_0 m = y - y_0 n = z - z_0 p ，方向向量 s = (m, n, p) ， P_0(x_0, y_0, z_0) 为直线上一点， 点 P(x_1, y_1, z_1) ，则点 P 到直线 L 的距离为： [ d = P_0P s s = [(y_1 - y_0)p - (z_1 - z_0)n]^2 + [(z_1 - z_0)m - (x_1 - x_0)p]^2 + [(x_1 - x_0)n - (y_1 - y_0)m]^2 m^2 + n^2 + p^2 ] 推导：利用平行四边形面积（叉乘模长）与底（方向向量模长）的比值得到高（距离）.

结论 7. 异面直线的距离

设异面直线 L_1: x - x_1 m_1 = y - y_1 n_1 = z - z_1 p_1 ，方向向量 s _1 = (m_1, n_1, p_1) ， 直线 L_2: x - x_2 m_2 = y - y_2 n_2 = z - z_2 p_2 ，方向向量 s _2 = (m_2, n_2, p_2) ， P_1(x_1, y_1, z_1) ， P_2(x_2, y_2, z_2) 分别为两直线上的点， 则异面直线间的距离为： [ d = P_1P_2 ( s _1 s _2) s _1 s _2 = x_2 - x_1 y_2 - y_1 z_2 - z_1 m_1 n_1 p_1 m_2 n_2 p_2 (n_1p_2 - n_2p_1)^2 + (p_1m_2 - p_2m_1)^2 + (m_1n_2 - m_2n_1)^2 ] 推导：混合积的绝对值表示平行六面体体积，除以底面（叉乘模长）面积得到高（距离）.