数列

等差数列与等比数列

定义 1. 等差数列（人教A选必二P12）

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 (d )表示. 1. 递推关系： a_ n + 1 -a_ n =d (常数) 或 a_ n -a_ n - 1 =d (n N^ 且 n 2) 2. 通项公式： a_ n =a_ 1 +(n - 1)d ， 推广形式： a_ n =a_ m +(n - m)d (当 d 0 时， a_ n 是关于 n 的一次函数) 3. 求和公式: S_ n = n(a_ 1 +a_ n ) 2 = na_ 1 + n(n - 1) 2 d (当 d 0 时， S_ n 是关于 n 的二次函数，且常数项为零) 求和公式推导（倒序相加法） ：因 (a_ 1 +a_ n =a_ 2 +a_ n - 1 = =a_ n +a_ 1 )，将 (S_ n )正序、倒序各写一遍： [ S_ n = a_ 1 +a_ 2 + +a_ n , S_ n = a_ n +a_ n - 1 + +a_ 1 , ] 两式相加得 (2S_ n = (a_ 1 +a_ n )+(a_ 1 +a_ n )+ +(a_ 1 +a_ n ) _ n 个 =n(a_ 1 +a_ n ) )，故 (S_ n = n(a_ 1 +a_ n ) 2 )； 再代入 (a_ n =a_ 1 +(n - 1)d )即得 (S_ n =na_ 1 + n(n - 1) 2 d ).

性质 1. 等差数列的性质

% 1.6 下标和性质：若 (n + m = p + q = 2r )，则 (a_n + a_m = a_p + a_q = 2a_r ).（反之不一定成立，如常数数列） 推广： a_ m_1 +a_ m_2 +a_ m_3 + +a_ m_n =n a_ m_1+m_2+m_3+ +m_n n 等差中项： (a )， (b )， (c )成等差数列，则称 (b )为 (a )和 (c )的等差中项，即 (2b = a + c ). 片段和性质： 在等差数列中依次取出若干个 (n )项，其和也构成等差数列， 即 (S_n )， (S_ 2n -S_n )， (S_ 3n -S_ 2n )， 也为等差数列，公差为 (n^2d ) ； 图示理解： ( a_1,a_2, ,a_n _ S_n , a_ n + 1 ,a_ n + 2 , ,a_ 2n _ S_ 2n -S_n , a_ 2n + 1 ,a_ 2n + 2 , ,a_ 3n _ S_ 3n -S_ 2n ) 前 n 项和性质： 若数列 ( a_ n )是等差数列，前 (n )项和为 (S_ n )，则 ( S_ n n )也是等差数列，其首项为 (a_ 1 )，公差是 ( d 2 ) 设 (S_ 偶 )与 (S_ 奇 )分别为该数列的所有偶数项之和与所有奇数项之和，则有： 若 ( a_n )共有 (2n - 1 )项（ (a_n )为中间项），则 (S_ 2n - 1 = (2n - 1)a_n )， (S_ 奇 = n(a_1 + a_ 2n - 1 ) 2 = na_n )， (S_ 偶 = (n - 1)(a_2 + a_ 2n - 2 ) 2 = (n - 1)a_n )， (S_ 奇 -S_ 偶 =a_n )， ( S_ 奇 S_ 偶 = n n - 1 ). 若 ( a_n )共有 (2n )项（ (a_n )和 (a_ n + 1 )为中间项），则 (S_ 2n = n(a_n + a_ n + 1 ) )， (S_ 奇 = n(a_1 + a_ 2n - 1 ) 2 = na_n )， (S_ 偶 = n(a_2 + a_ 2n ) 2 = na_ n+1 )， (S_ 奇 -S_ 偶 =-nd )， ( S_ 奇 S_ 偶 = a_n a_ n + 1 ). 上述结论说明 S_ 2n-1 与 a_ n 同号， S_ 2n 与 a_ n +a_ n+1 同号，常用于最值问题 若等差数列 ( a_ n )， ( b_ n )的前 (n )项和分别为 (S_ n )， (T_ n )，则 ( a_ n b_ n = S_ 2n - 1 T_ 2n - 1 ). 两个等差数列 ( a_n )与 ( b_n )的和差的数列 ( a_n b_n )， ( pa_n qb_n )仍为等差数列 等差数列 ( a_ n )中项数成等差数列，对应项也成等差数列.即 (a_k,a_ k + m ,a_ k + 2m , )构成以 (md ) 为公差的等差数列 a_n 是等差数列的充要条件是 S_n = An^2 + Bn ( A , B 可以为零). 若数列 a_n 的前 n 项和 S_n = An^2 + Bn + C (A, B 是常数 , C 0) ，则数列 a_n 从第二项起是等差数列. % 1. 下标和性质： % 若 (n + m = p + q = 2r )，则 (a_n + a_m = a_p + a_q = 2a_r ).（反之不一定成立，如常数数列） % a_n 与 S_n 之间一步转换： % a_ m_1 +a_ m_2 +a_ m_3 + +a_ m_n =n a_ m_1+m_2+m_3+ +m_n n % 特别地，当 m_1 、 m_2 、 m_3 、 、 m_n 也成等差数列时，有 a_ m_1 +a_ m_2 +a_ m_3 + +a_ m_n =n a_ m_1+m_n 2 % 2. 等差中项： (a )， (b )， (c )成等差数列，则称 (b )为 (a )和 (c )的等差中项，即 (2b = a + c )，可将这三个数记为： (b - d )， (b )， (b + d ). % 3. 片段和性质： % 在等差数列中依次取出若干个 (n )项，其和也构成等差数列， % 即 (S_n )， (S_ 2n -S_n )， (S_ 3n -S_ 2n )， 也为等差数列，公差为 (n^2d ) ； % 图示理解： % ( % a_1,a_2, ,a_n _ S_n , a_ n + 1 ,a_ n + 2 , ,a_ 2n _ S_ 2n -S_n , a_ 2n + 1 ,a_ 2n + 2 , ,a_ 3n _ S_ 3n -S_ 2n % ) % 4. 前 n 项和性质： % 若数列 ( a_ n )是等差数列，前 (n )项和为 (S_ n )，则 ( S_ n n )也是等差数列，其首项为 (a_ 1 )，公差是 ( d 2 ) % 5. 两个等差数列 ( a_n )与 ( b_n )的和差的数列 ( a_n b_n )， ( pa_n qb_n )仍为等差数列 % 6. 在等差数列 ( a_ n )中，若项数成等差数列，则对应的项也成等差数列.即 (a_k )， (a_ k + m )， (a_ k + 2m )，… 构成以 (md ) 为公差的等差数列 % 7. 若等差数列 ( a_ n )， ( b_ n )的前 (n )项和分别为 (S_ n )， (T_ n )，则 ( a_ n b_ n = S_ 2n - 1 T_ 2n - 1 ). % 8. a_n 是等差数列的充要条件是 S_n = An^2 + Bn ( A , B 可以为零). % 9. 若数列 a_n 的前 n 项和 S_n = An^2 + Bn + C (A, B 是常数 , C 0) ，则数列 a_n 从第二项起是等差数列. % % 10. 设 (S_ 偶 )与 (S_ 奇 )分别为该数列的所有偶数项之和与所有奇数项之和，则有： % 若 ( a_n )共有 (2n - 1 )项（ (a_n )为中间项），则 (S_ 2n - 1 = (2n - 1)a_n )， % (S_ 奇 = n(a_1 + a_ 2n - 1 ) 2 = na_n )， (S_ 偶 = (n - 1)(a_2 + a_ 2n - 2 ) 2 = (n - 1)a_n )， % (S_ 奇 -S_ 偶 =a_n )， ( S_ 奇 S_ 偶 = n n - 1 ). % 若 ( a_n )共有 (2n )项（ (a_n )和 (a_ n + 1 )为中间项），则 (S_ 2n = n(a_n + a_ n + 1 ) )， % (S_ 奇 = n(a_1 + a_ 2n - 1 ) 2 = na_n )， (S_ 偶 = n(a_2 + a_ 2n ) 2 = na_ n+1 )， % (S_ 奇 -S_ 偶 =-nd )， ( S_ 奇 S_ 偶 = a_n a_ n + 1 ).

题型 1. 等差数列最值问题

若 (a_1 > 0 )， (d > 0 )，则 (S_n )单调递增， (S_1 )最小； 若 (a_1 < 0 )， (d < 0 )，则 (S_n )单调递减， (S_1 )最大； 若 (a_1 > 0 )， (d < 0 )， (S_n )先增后减，有最大值，取到最大值的条件是 ( S_n S_ n - 1 (n 2) S_n S_ n + 1 )，即 ( a_n 0 a_ n + 1 0 (n 2) )； 若 (a_1 < 0 )， (d > 0 )， (S_n )先减后增，有最小值，取到最小值的条件是 ( S_n S_ n - 1 (n 2) S_n S_ n + 1 )，即 ( a_n 0 a_ n + 1 0 (n 2) ). 若 a_1 d 0 , S_n a_n 最小值为 S_1 a_1 =1 ； 若 a_1 d < 0 ，存在 N_0 2 使得 a_ N_0-1 a_ N_0 < 0 ， S_n a_n 最小值为 S_ N_0 a_ N_0 . (S_m = S_n S_ m + n = 0 )；

题型 2. 等差数列判定

定义法： a_ n + 1 -a_n = d (常数)； 通项法： a_n = a_1+(n - 1)d ； 中项法： 2a_ n + 1 =a_n + a_ n + 2 ； 求和法： S_n = An^2 + Bn ( A ， B 是常数 n N )

定义 2. 等比数列定义（人教A选必二P27）

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 (q )表示（显然 (q 0 )）. 1. 递推关系： ( a_ n + 1 a_n =q (q 0) ) 或 ( a_n a_ n - 1 =q (q 0, n N^* 且 n 2) ). 2. 通项公式： (a_n = a_1q^ n - 1 (a_1q 0) ) ，推广形式： (a_n = a_mq^ n - m ) 3. 求和公式： S_n = na_1 , q = 1 a_1(1 - q^n) 1 - q = a_1 - a_nq 1 - q , q 0 且 q 1 ，推广形式： S_ m+n = S_m + q^m S_n = S_n + q^n S_m. 求和公式推导（错位相减法） ：当 (q 1 )时，由通项 (a_n=a_1q^ n - 1 )有 [S_ n =a_ 1 +a_ 1 q+a_ 1 q^ 2 + +a_ 1 q^ n - 1 , ] 两边同乘公比 (q )： [qS_ n =a_ 1 q+a_ 1 q^ 2 + +a_ 1 q^ n - 1 +a_ 1 q^ n , ] 上两式相减、消去中间相同的项，得 ((1 - q)S_ n =a_ 1 -a_ 1 q^ n =a_ 1 (1 - q^ n ) )， 故 (S_ n = a_ 1 (1 - q^ n ) 1 - q )；又 (a_ n =a_ 1 q^ n - 1 )，亦可写成 ( a_ 1 -a_ n q 1 - q ). 当 (q = 1 )时各项均为 (a_1 )，故 (S_ n =na_ 1 ).

性质 2. 等比数列的性质

下标和性质： 若 (n + m = p + q = 2r )，则 (a_n a_m = a_p a_q = a_r^2 )（反之不一定成立，如非零常数数列） 推广： a_ m_1 a_ m_2 a_ m_3 a_ m_n = (a_ m_1+m_2+m_3+ +m_n n )^n ，若 m_n 为等差数列，有 a_ m_1 a_ m_2 a_ m_3 a_ m_n = (a_ m_1+m_n 2 )^n 等比中项：若三个数 (a )， (G )， (b )成等比数列，则称 (G )为 (a )和 (b )的等比中项. (ab 0 )， (G^2 = ab )，即 (G = ab ) 只有同号的两个数才有等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数 三个数 (a )， (G )， (b )成等比数列的一个必要不充分条件是 (G^2 = ab ) 片段和性质： 当 (q - 1 )，或 (q = - 1 )且 (n )为奇数 时， (S_n )， (S_ 2n -S_n )， (S_ 3n -S_ 2n )， ( )也为等比数列，公比为 (q^ n ) 图示理解： ( a_1,a_2, ,a_n _ S_n , a_ n + 1 ,a_ n + 2 , ,a_ 2n _ S_ 2n -S_n , a_ 2n + 1 ,a_ 2n + 2 , ,a_ 3n _ S_ 3n -S_ 2n ) 片段积性质： 等比数列 ( a_n )的连续 (n )项的积构成的数列，即 (T_n )， ( T_ 2n T_n )， ( T_ 3n T_ 2n )， ( )为等比数列，公比为 (q^ n^2 ) 当 (q = 1 )时， ( S_ m S_n = m n )；当 (q 1 )时， ( S_ m S_n = 1 - q^ m 1 - q^n ) 数列 ( a_n )（ ( )为不等于0的常数）仍是公比为 (q )的等比数列； 若数列 ( b_n )是公比为 (q' )的等比数列，则数列 ( a_n b_n )是公比为 (qq' )的等比数列； 数列 ( 1 a_n )是公比为 ( 1 q )的等比数列； 数列 ( a_n )是公比为 ( q )的等比数列. 在数列 ( a_n )中，每隔 (k )（ (k N^* )）项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列为等比数列，公比为 (q^ k + 1 ). 当数列 ( a_n )是各项均为正值的等比数列时，数列 ( a_n )是公差为 ( q )的等差数列 既是等差数列又是等比数列的数列是非零的常数列 设 (S_ 偶 )与 (S_ 奇 )分别为该数列的所有偶数项之和与所有奇数项之和， 若项数为 (2n )，则 ( S_ 偶 S_ 奇 = q )； 若项数为 (2n + 1 )，则 ( S_ 奇 -a_ 1 S_ 偶 = q )

题型 3. 等比数列求$S_n$最值（等比数列的$S_n$通常是单调的）

当 (q > 1 )， (a_1 > 0 )或 (0 < q < 1 )， (a_1 < 0 )时， ( a_n )是递增数列， (S_n )递增或递减； 当 (q > 1 )， (a_1 < 0 )或 (0 < q < 1 )， (a_1 > 0 )时， ( a_n )是递减数列， (S_n )递减或递增； 当 (q = 1 )时， ( a_n )是常数列； 当 (q < 0 )时， ( a_n )是摆动数列；

题型 4. 求前$n$项乘积$T_n$最值

类比等差数列的 S_ n ，等比数列前 n 项积 T_ n 有如下性质： (T_ 2n-1 = (a_ n )^ 2n-1 )， (T_ 2n = (a_na_ n+1 )^n )， 若 (a_1 > 1 )， (q > 1 )，则 (T_n )单调递增， (T_1 )最小； 若 (0 < a_1 < 1 )， (0< q < 1 )，则 (T_n )单调递减， (T_1 )最大； 若 (a_1 > 1 )， (0 < q < 1 )， (T_n )先增后减，有最大值，取到最大值的条件是 (a_n 1 且 a_ n + 1 1 (n 2) )； 若 (0 < a_1 < 1 )， (q > 1 )， (T_n )先减后增，有最小值，取到最小值的条件是 (a_n 1 且 a_ n + 1 1 (n 2) ).

题型 5. 等比数列的判定方法

定义法： a_ n + 1 a_n =q(q 0, n N^*) (常数)； 通项法： a_n = a_1q^ n - 1 ； 中项法： a_ n + 1 ^2 = a_n a_ n + 2 ； 求和法： S_n = A(1 - q^n) (其中 A = a_1 1 - q )

题型 6. 等差等比数列常用设法

若三个数成等差数列，则可设为 a-d,a,a+d ； 若四个数成等差数列，则可设为 a-3d,a-d,a+d,a+3d. 若三个数成等比数列，则可设为 a q ,a,aq.

数列求通项

题型 1. 公式法求数列通项

若 a_n 是等差数列，首项为 a_1 ，公差为 d ，则其通项公式为 a_n = a_1+(n - 1)d 若 a_n 是等比数列，首项为 a_1 ，公比为 q ，则其通项公式为 a_n = a_1q^ n-1 若数列的前 n 项和为 S_n ，则 (a_n = S_1, n = 1 S_n - S_ n-1 , n 2 ) 若已知 a_n 与 S_n 的关系，如 S_n = f(a_n) 求 a_n ： 利用 S_ n-1 = f(a_ n-1 ), n 2 ，作差可消去 S_n ； 求 S_n ： 利用 a_n = S_n - S_ n-1 , n 2 ，消去 a_n ； 特别地：当出现 a_ n + 1 -a_ n-1 =d 或 a_ n + 1 a_ n-1 =q(n 2) 时，数列通项需要分奇数项和偶数项讨论.

题型 2. 累加法与累乘法

已知 (a_1 )， (a_ n + 1 = a_n + f(n) )，求通项 (a_n ). 累加得 (a_n=(a_n - a_ n - 1 )+(a_ n - 1 -a_ n - 2 )+ +(a_2 - a_1)+a_1 )； 若 ( f(n) ) 是关于 ( n ) 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和 若 ( f(n) ) 是关于 ( n ) 的二次函数，累加后可分组求和 若 ( f(n) ) 是关于 ( n ) 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和 若 ( f(n) ) 是关于 ( n ) 的分数函数，累加后可裂项求和 已知 (a_1 )， (a_ n + 1 = f(n)a_n )，求通项 (a_n ).累乘得 (a_n = a_n a_ n - 1 a_ n - 1 a_ n - 2 a_2 a_1 a_1 (a_n 0) ) ( f(n) ) 一般是关于 ( n ) 的分式函数，累乘后可消去

题型 3. 构造法求数列通项

下面总结常见的构造法求通项的方法，即通过递推公式求通项公式 a_ n+1 = pa_ n + q 待定系数法：设 a_ n+1 - x = p(a_ n - x) ，解得 x = q 1 - p ，构造等比数列 a_n - x ，公比为 p . 注意到 x 为方程 x = px + q 的解，称为数列的不动点 阶差法：由 a_ n + 1 = pa_n + q 及 a_n = pa_ n - 1 + q ，相减得 a_ n + 1 - a_n = p(a_n - a_ n - 1 ) ，故 a_ n + 1 - a_n 为等比数列，再累加得 a_n (a_ n+1 = pa_ n +qn + r ) 待定系数法：设 (a_ n+1 +x(n+1) + y = p(a_ n +xn+y) ) ，求解 x,y ，构造等比数列 ( a_n+xn + y )，公比为 p . 推广：对于 a_ n+1 = p a_n + f(n) , 都可构造 a_ n+1 + g(n+1) = p (a_n + g(n) ) ，其中 (f(n) )与 (g(n) )是同形式函数. (a_ n + 1 = pa_n + q^n ) 两边同时除以 (q^ n + 1 ) 得 ( a_ n + 1 q^ n + 1 = p q a_n q^ n + 1 q )，同 1 两边同时除以 (p^ n + 1 ) 得 ( a_ n + 1 p^ n + 1 = a_n p^ n + 1 p ( q p )^n )，累加得 a_n p^ n ，从而求出 a_n (a_ n+1 ^p = a_n^q ) 在 (a_n )非负的前提下，两边 取对数 得到 (p a_ n+1 = q a_n )，则 ( ln a_n )为等比数列. a_ n + 1 = pa_ n qa_ n + r 对 a_ n + 1 = pa_ n qa_ n + r 等式 取倒数 得： 1 a_ n + 1 = qa_ n + r pa_ n = r p 1 a_ n + q p ， 令 b_ n = 1 a_ n ，则 b_ n + 1 = r p b_ n + q p ，同 1 a_ n + 1 = pa_ n + q ra_ n + s 考虑方程 x = px + q rx + s rx^ 2 + (s - p)x - q = 0 ，解该方程 (1)若该方程无解，数列可能为周期数列 (2)若该方程有一个解 x_1=x_2 ，则构造 等差数列 1 a_ n - x_1 ，解出 a_ n (3)若该方程有两个解 x_1 和 x_2 ，则构造 等比数列 a_ n - x_1 a_ n - x_2 ，解出 a_ n

题型 4. 特征根法

对于三项递推式 a_ n + 1 = pa_ n + qa_ n - 1 ， 构造 a_ n+1 - x_1 a_n = x_2 (a_n - x_1 a_ n-1 ) a_ n+1 = (x_1 + x_2) a_n - x_1 x_2 a_ n-1 对比系数得 x_1 + x_2 = p x_1 x_2 = -q 即 x_1,x_2 是方程 x^2 - p x - q = 0 的两个解（称为特征方程） 若该方程无解，数列可能为周期数列. 若该方程有一个解 x_1=x_2 ， 构造等比数列 a_ n + 1 - x_ 1 a_ n ， a_ n+1 - x_1 a_n = x_1^ n-1 (a_2 - x_1 a_1) a_ n+1 x_1^ n+1 - a_n x_1^n = a_2 - x_1 a_1 x_1^2 a_n x_1^n 为等差数列，即 ; a_n x_1^n = a_1 x_1 + a_2 - x_1 a_1 x_1^2 (n - 1) a_n = [ x_1 a_1 + (a_2 - x_1 a_1)(n - 1) ] x_1^ n-2 = [ 2x_1 a_1 - a_2 + (a_2 - x_1 a_1)n ] x_1^ n-2 = (c_1 + c_2 n) x_1^n ,可待定系数求解 若该方程有两个解 x_1 ， x_2 ， 构造两个等比数列： a_ n + 1 - x_ 1 a_ n 和 a_ n + 1 - x_ 2 a_ n ， a_ n+1 - x_1 a_n = x_2^ n-1 (a_2 - x_1 a_1) 1 a_ n+1 - x_2 a_n = x_1^ n-1 (a_2 - x_2 a_1) 2 1 - 2 得 ; (x_2 - x_1) a_n = x_2^ n-1 (a_2 - x_1 a_1) - x_1^ n-1 (a_2 - x_2 a_1) a_n = a_2 - x_1 a_1 x_2 - x_1 x_2^ n-1 + a_2 - x_2 a_1 x_1 - x_2 x_1^ n-1 = c_1 x_1^n + c_2 x_2^n ,可待定系数求解

题型 5. 平方式的递推

对于 a_ n+1 = a_n^2 + p 2a_n + q (q^2 + 4p 0) ， 将 ( a_ n+1 = a_n^2 + p 2a_n + q )变成 ( a_ n+1 - x_1 a_ n+1 - x_2 = ( a_n - x_1 a_n - x_2 )^2 )，因为 a_ n+1 - x_1 a_ n+1 - x_2 = a_n^2 + p 2a_n + q - x_1 a_n^2 + p 2a_n + q - x_2 = a_n^2 - 2x_1a_n + p - x_1q a_n^2 - 2x_2a_n + p - x_2q = ( a_n - x_1 a_n - x_2 )^2 则有方程组： p - x_1q = x_1^2 p - x_2q = x_2^2 所以 ( x_1, x_2 )是方程 ( x^2 + qx - p = 0 )的两根，即 ( x_1, x_2 )是方程 ( x = x^2 + p 2x + q )的两根. (1)迭代法： 求出 ( x_1, x_2 )，则 ( a_n - x_1 a_n - x_2 = ( a_ n-1 - x_1 a_ n-1 - x_2 )^2 = [ ( a_ n-1 - x_1 a_ n-1 - x_2 )^2 ]^2 = = ( a_1 - x_1 a_1 - x_2 )^ 2^ n-1 ) 因此 ( a_n = x_1 - x_2 ( a_1 - x_1 a_1 - x_2 )^ 2^ n-1 1 - ( a_1 - x_1 a_1 - x_2 )^ 2^ n-1 ) (2)对数代换法： ( a_ n+1 - x_1 a_ n+1 - x_2 = 2 a_n - x_1 a_n - x_2 )， 所以 ( a_n - x_1 a_n - x_2 )是以 ( a_1 - x_1 a_1 - x_2 )为首项，2为公比的等比数列. ( a_n - x_1 a_n - x_2 = 2^ n-1 a_1 - x_1 a_1 - x_2 = ( a_1 - x_1 a_1 - x_2 )^ 2^ n-1 ) 因此 ( a_n - x_1 a_n - x_2 = ( a_1 - x_1 a_1 - x_2 )^ 2^ n-1 ) 进而 ( a_n = x_1 - x_2 ( a_1 - x_1 a_1 - x_2 )^ 2^ n-1 1 - ( a_1 - x_1 a_1 - x_2 )^ 2^ n-1 )

数列求和

题型 1. 公式法

1^ 2 +2^ 2 +3^ 2 + +n^ 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 1^ 3 +2^ 3 +3^ 3 + +n^ 3 = [ n(n + 1) 2 ]^ 2 (1+n) < 1 + 1 2 + 1 3 + + 1 n < n + 1 1 + 1 2^2 + 1 3^2 + + 1 n^2 + = ^ 2 6 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + + (-1) ^ n+1 n + = 2 1 - 1 3 + 1 5 - 1 7 + + (-1) ^ n+1 2n-1 + = 4

题型 2. 等差乘等比求和错位相减法

错位相减法：以 c_ n =(an + b)q^ n - 1 为例 S_n = (a + b)q^0 + (2a + b)q^1 + (3a + b)q^2 + + (an + b)q^ n-1 1 两边同乘 , q , 得： qS_n = (a + b)q^1 + (2a + b)q^2 + + [(n-1)a + b ]q^ n-1 + (an + b)q^n 2 1 - 2 ;得： (1 - q)S_n = (a + b) + aq^1 + aq^2 + + aq^ n-1 - (an + b)q^n 其中： a + aq^1 + aq^2 + + aq^ n-1 = a(1 - q^ n ) 1 - q (q 1) 代入得： (1 - q)S_n = b + a(1 - q^ n ) 1 - q - (an + b)q^n = (-an - a+b(1-q) 1-q )q^n + a+b(1-q) 1-q 则： S_n = ( a q-1 n + b(q-1)-a (q - 1)^2 )q^n - b(q-1)-a (q-1)^2 (q 1) 结论： 若一个数列为 (c_ n = (an + b)q^ n - 1 )，则其前 (n )项和 (S_ n = (An + B)q^ n -B )， 其中， (A= a q - 1 )， (B= b - A q - 1 )，也可由 S_ 1 ,S_ 2 的值，待定系数确定 A,B .

题型 3. 常规裂项相消法

裂项相消就是找到 f(n) 使得 a_ n = f(n+1) - f(n) 等差数列型 1 n(n + 1) = 1 n - 1 n + 1 ， 1 (2n - 1)(2n + 1) = 1 2 ( 1 2n - 1 - 1 2n + 1 ) ， 1 n + n + 1 = n + 1 - n ， 若 a_ n 为等差数列，公差为 d ，则有： 1 a_ n a_ n + 1 = 1 d ( 1 a_ n - 1 a_ n + 1 ) ， 1 a_ n a_ n + m = 1 md ( 1 a_ n - 1 a_ n + m ) ， 1 a_ n + a_ n + 1 = 1 d ( a_ n + 1 - a_ n ) 裂和： ((-1)^ n - 1 a_ n +a_ n + 1 a_ n a_ n + 1 =(-1)^ n - 1 ( 1 a_ n + 1 a_ n + 1 ) )； 例如： ( (-1)^ n-1 (2n+1) n(n+1) = (-1)^ n-1 ( 1 n + 1 n+1 ) ) 指数型，其中 a_n 为等差数列，公差为 d q^ n (q^ n +m)(q^ n + 1 +m) = 1 q - 1 ( 1 q^ n +m - 1 q^ n + 1 +m ) ， (q - 1)q^ n +d (q^ n +a_ n )(q^ n + 1 +a_ n + 1 ) = 1 q^ n +a_ n - 1 q^ n + 1 +a_ n + 1 a_ n + 1 - 1 d a_ n a_ n a_ n + 1 1 d^ n = 1 a_ n d^ n - 1 a_ n + 1 d^ n+1 ， q^ 2^ n 1 - q^ 2^ n + 1 = 1 1 - q^ 2^ n - 1 1 - q^ 2^ n + 1 (a_ n + 1 -q a_ n ) q^ n a_ n a_ n + 1 = q^ n a_ n - q^ n + 1 a_ n + 1 ， q^ n [1+(1 - q)n] n(n + 1) = q^ n n - q^ n + 1 n + 1 ， q^ n [k+(1 - q^ k )n] n(n + k) = q^ n n - q^ n + k n + k 2^ n (2^ n +1)(2^ n + 1 +1) = 1 2^ n +1 - 1 2^ n + 1 +1 ; n+2 n(n+1)2^ n+1 = 1 n 2^n - 1 (n+1)2^ n+1 ; (1-n)2^n n(n+1) = 2^n n - 2^ n+1 n+1 阶乘型： n (n + 1)! = 1 n! - 1 (n + 1)! ， n n!=(n + 1)!-n! ， k + 2 k!+(k + 1)!+(k + 2)! = 1 (k + 1)! - 1 (k + 2)! 三项型，其中 a_n 为等差数列，公差为 d 1 n(n + 1)(n + 2) = 1 2 ( 1 n(n + 1) - 1 (n + 1)(n + 2) ) 1 a_na_ n+1 a_ n+2 = 1 2d ( 1 a_na_ n+1 - 1 a_ n+1 a_ n+2 ) 对数型： ( _ b a_ n + 1 a_ n = _ b a_ n + 1 - _ b a_ n )，例如 _ a n n + 1 = _ a n- _ a (n + 1)

题型 4. 非常规裂项

多项式型： a_n 为关于 n 的多项式函数， 若有 a_ n = f(n+1) - f(n) ， f(n) 为多项式函数，次数比 a_n 高一次，可用待定系数法确定 f(n) 若有 a_ n q^ n = f(n+1)q^ n+1 - f(n)q^ n ， f(n) 为多项式函数，次数与 a_n 次数相同，可用待定系数法确定 f(n) 平方式递推裂项 a_ n + 1 =a_ n (a_ n +1) 1 a_ n + 1 = 1 a_ n - 1 a_ n +1 1 a_ n +1 = 1 a_ n - 1 a_ n + 1 _ i = 1 ^ n 1 a_ i +1 = 1 a_ 1 - 1 a_ n + 1 a_ n + 1 = a_ n ^ 2 m +a_ n a_ n + 1 m = a_ n m ( a_ n m +1 ) 1 a_ n +m = 1 a_ n - 1 a_ n + 1 _ i = 1 ^ n 1 a_ i +m = 1 a_ 1 - 1 a_ n + 1 a_ n + 1 -1=a_ n (a_ n -1) 1 a_ n + 1 -1 = 1 a_ n -1 - 1 a_ n 1 a_ n = 1 a_ n -1 - 1 a_ n + 1 -1 _ i = 1 ^ n 1 a_ i = 1 a_ 1 -1 - 1 a_ n + 1 -1 a_ n + 1 = a_ n ^ 2 2m + m 2 1 a_ n + 1 -m = 2m (a_ n -m)(a_ n +m) 1 a_ n +m = 1 a_ n -m - 1 a_ n + 1 -m _ i = 1 ^ n 1 a_ i +m = 1 a_ 1 -m - 1 a_ n + 1 -m 三角函数型， 设 ( a_ n )为等差数列，公差为 (d )，则 d a_ n a_ n + 1 = (a_ n + 1 -a_ n ) a_ n a_ n + 1 = a_ n + 1 a_ n - a_ n + 1 a_ n a_ n a_ n + 1 = a_ n + 1 a_ n + 1 - a_ n a_ n = a_ n + 1 - a_ n d a_ n a_ n + 1 = (a_ n + 1 -a_ n ) a_ n a_ n + 1 = a_ n - a_ n+ 1 ，例如 1 n (n + 1) = 1 1 ( n- (n + 1) ) a_ n + 1 a_ n = a_ n + 1 - a_ n d -1 ，例如： n (n + 1)= (n + 1)- n 1 -1 2^ n n 3 = 3 3 [2^ n + 1 (n + 1) 3 -2^ n n 3 ] , 2^ n n 3 = 3 3 [2^ n n 3 -2^ n + 1 (n + 1) 3 ] 2 x 2nx= (2n + 1)x- (2n - 1)x , 2 x 2nx= (2n - 1)x- (2n + 1)x 1 2^ n x = 2^ n - 1 x- 2^ n x , 1 2^ n 2^ n = 1 2^ n 2^ n - 1 2^ n - 1 2^ n - 1 3^ n - 1 ^ 3 3^ n = 3^ n 3^ n 4 - 3^ n - 1 3 3^ n 4 = 1 4 [3^ n 3^ n -3^ n - 1 3^ n - 1 ] 组合数型 C_ n ^ m + 1 =C_ n + 1 ^ m - 1 -C_ n ^ m - 2 ， nA_ n ^ n =A_ n + 1 ^ n -A_ n ^ n ， 1 C_ n + 1 ^ 1 C_ n ^ 2 = 2 (n + 1)n(n - 1) = 1 n(n - 1) - 1 n(n + 1) (1+ 1 n )^ n <1 + 1+ 1 1 2 + 1 2 3 + + 1 (n - 1)n <3 注：事实上，当 n + , (1+ 1 n )^ n 存在极限为自然常数 e .

题型 5. 倒序相加(乘)法

对于某个数列 a_n ，若满足 a_1 + a_n = a_2 + a_ n-1 = = a_k + a_ n-k+1 ，则求前 n 项和 S_n 可使用倒序相加法. 具体解法：设 S_n = a_1 + a_2 + + a_ n-1 + a_n 1 把 1 反序可得 S_n = a_n + a_ n-1 + + a_2 + a_1 2 由 1 + 2 得 2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_ n-1 ) + + (a_ n-1 + a_2) + (a_n + a_1) S_n = (a_1+a_n)n 2 . 对于某个数列 a_n ，若满足 a_1a_n = a_2a_ n-1 = = a_k a_ n-k+1 ，则求前 n 项积 T_n 可使用倒序相乘法.具体解法类同倒序相加法.

题型 6. 绝对值数列求和

数列 a_n 的前 n 项和 S_n 与 a_n 的前 n 项和 T_n 的关系. 设 a_n 的前 k 项均为非负数，则 T_n = S_n, n k S_k - (S_n - S_k) = 2S_k - S_n, n > k 设 a_n 的前 k 项均为非正数，则 T_n = -S_n, n k -S_k + (S_n - S_k) = S_n - 2S_k, n > k

题型 7. 奇偶数列求和

数列 a_n= f(n), n 为奇数 g(n), n 为偶数 ，要求其前 n 项和 S_n . n 为偶数时， S_n = f(1) + f(3) + + f(n - 1) + g(2) + g(4) + + g(n) ,将其记为 h(n) . n 为奇数时， n+1 为偶数， S_n = S_ n+1 - a_ n+1 = h(n+1) - g(n+1) . 注：对于奇偶数列可以使用如下方法合二为一： 若 (a_n= f(n), n = 2k - 1 g(n), n = 2k ,k N^* )，则 (a_n= f(n)+g(n) 2 +(-1)^ n - 1 f(n)-g(n) 2 )

题型 8. 四分组求和

若数列 ( a_n )满足 ( a_ n+1 + (-1)^n a_n = An + B )， ( S_n )为其前 ( n )项和，则数列 ( S_4, S_8 - S_4, S_ 12 - S_8, )是以 ( 6A + 2B )为首项， ( 8A )为公差的等差数列. 证明： ( a_2 - a_1 = A + B (1) a_3 + a_2 = 2A + B (2) a_4 - a_3 = 3A + B (3) ) ((2) - (1) + (2) + (3) )得： ( a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 6A + 2B )， 同理 ( a_6 - a_5 = 5A + B (4) a_7 + a_6 = 6A + B (5) a_8 - a_7 = 7A + B (6) ) ((5) - (4) + (5) + (6) )得： ( a_5 + a_6 + a_7 + a_8 = 14A + 2B ). 故数列 ( S_4, S_8 - S_4, S_ 12 - S_8, )是以 ( 6A + 2B )为首项， ( 8A )为公差的等差数列. 此类型题可以求出通项，但花的时间太多，显然每4项为一个整体操作更简单.

其他常考数列

定义 1. 斐波那契数列（人教A选修二P10）

（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列， 因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”， 指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义： F(0)=0 ， F(1)=1 ， F(n)= F(n - 1)+F(n - 2) （ n 2 ， n N^ * ）.

性质 1. 通项公式

递推关系： a_ n =a_ n - 1 +a_ n - 2 (n 3) 通项公式： (a_ n = 1 5 [ ( 1+ 5 2 )^ n - ( 1- 5 2 )^ n ] ) 证明1： 由递推关系，其特征方程为 (x^ 2 -x - 1=0 )， 解特征方程得 (x_ 1 = 1+ 5 2 )， (x_ 2 = 1- 5 2 ). 设通项公式为 (a_ n =c_ 1 x_ 1 ^ n +c_ 2 x_ 2 ^ n )，其中 (c_ 1 )和 (c_ 2 )为待定系数. 利用初始条件 (a_ 1 =1 )， (a_ 2 =1 )， 解得 (c_ 1 = 1 5 )， (c_ 2 =- 1 5 ). 所以斐波那契数列的通项公式为 (a_ n = 1 5 [ ( 1+ 5 2 )^ n - ( 1- 5 2 )^ n ] ) 证明2：设 (a_ n -x_ 1 a_ n - 1 =x_ 2 (a_ n - 1 -x_ 1 a_ n - 2 ) )，展开可得 (a_ n =(x_ 1 +x_ 2 )a_ n - 1 -x_ 1 x_ 2 a_ n - 2 ). 对比斐波那契数列的递推关系 (a_ n =a_ n - 1 +a_ n - 2 )，得到方程组 ( x_ 1 +x_ 2 = 1 _ 1 x_ 2 =-1 ). 根据上述方程组构造方程 (x^ 2 -x - 1=0 )，利用求根公式解得 (x_ 1,2 = 1 5 2 ) 代入 (a_ n -x_ 1 a_ n - 1 =x_ 2 (a_ n - 1 -x_ 1 a_ n - 2 ) )，得到： a_ n - 1- 5 2 a_ n - 1 = 1+ 5 2 (a_ n - 1 - 1- 5 2 a_ n - 2 ) (1) a_ n - 1+ 5 2 a_ n - 1 = 1- 5 2 (a_ n - 1 - 1+ 5 2 a_ n - 2 ) (2) 由(1),(2)可构造等比数列： [a_ n - 1- 5 2 a_ n - 1 = ( 1+ 5 2 )^ n - 2 (a_ 2 - 1- 5 2 a_ 1 ) (3) ] [a_ n - 1+ 5 2 a_ n - 1 = ( 1- 5 2 )^ n - 2 (a_ 2 - 1+ 5 2 a_ 1 ) (4) ] 令 ((3) 1+ 5 2 -(4) 1- 5 2 )，化简可得： (a_ n = 1 5 [ ( 1+ 5 2 )^ n - ( 1- 5 2 )^ n ] )

定义 2. 斐波那契螺旋

0.6 斐波那契数列有很多有趣的性质.例如，斐波那契数列满足等式 [ F_1^2+F_2^2+ +F_n^2= F_nF_ n+1 ] 可以用图形来表示这个等式.图中小正方形的边长等于斐波那契数 ( 1, ,1, ,2, ,3, ,5, ,8, ) 若干小正方形构成的长方形的边长依次是两个斐波那契数的乘积 ( 1 2, ;2 3, ;3 5, ; ) ，从内到外依次连接通过小正方形的四分之一圆弧，就得到了一条被称为“斐波那契螺旋”的弧线. 如果在图上不断增加边长是斐波那契数的正方形，那么“斐波那契螺旋”也将不断向外延伸，而且它的形状将越来越接近“黄金比例螺旋”. 0.39 [scale=0.45] % 定义颜色 color1 RGB 247, 146, 155 % 浅红 (center 1) color2 RGB 3, 169, 244 % 浅蓝 (center 1) color3 RGB 255, 193, 7 % 黄 (2) color4 RGB 33, 119, 184 % 深蓝 (3) color5 RGB 96, 175, 176 % 青色 (5) color6 RGB 233, 131, 109 % 橙红 (8) % 重新绘制以匹配原图布局 % 方块1 (1x1) - Pink [color1] (12, 5) rectangle (13, 6); % 方块2 (1x1) - Light Blue (Cyan-like) [color2] (11, 5) rectangle (12, 6); % 方块3 (2x2) - Yellow [color3] (11, 3) rectangle (13, 5); % 方块4 (3x3) - Blue [color4] (13, 3) rectangle (16, 6); % Dimensions lines for 3 [<->, >=stealth] (16.5, 3) -- (16.5, 6); [fill=white, inner sep=1pt] at (16.5, 4.5) 3 ; % Label inside left part % 方块5 (5x5) - Teal [color5] (11, 6) rectangle (16, 11); % Dimensions lines for 5 [<->, >=stealth] (11, 11.5) -- (16, 11.5); [fill=white, inner sep=1pt] at (13.5, 11.5) 5 ; % 方块6 (8x8) - Orange/Salmon [color6] (3, 3) rectangle (11, 11); % Dimensions lines for 8 [<->, >=stealth] (2.5, 3) -- (2.5, 11); [fill=white, inner sep=1pt] at (2.5, 7) 8 ; % Label inside left part % Bottom dimension lines (2) for the yellow square (11, 3) -- (11, 2.2); (13, 3) -- (13, 2.2); [<->, >=stealth] (11, 2.5) -- (13, 2.5); [fill=white, inner sep=1pt] at (12, 2.5) 2 ; % Dimension lines extension for 3 (16, 3) -- (17, 3); (16, 6) -- (17, 6); % Dimension lines extension for 5 (11, 11) -- (11, 12); (16, 11) -- (16, 12); % Dimension lines extension for 8 (3, 3) -- (2, 3); (3, 11) -- (2, 11); at (11.5, 6.5) 1 ; % Label above at (12.5, 4.4) 1 ; % Label inside right part (3, 3) arc (180:90:8); % Start (3,3), End (11,11). Center (11,3). (11, 11) arc (90:0:5); % End (16,6) (16, 6) arc (0:-90:3); % End (13,3) (13, 3) arc (270:180:2); % End (11,5) (11, 5) arc (180:90:1); % End (12,6) (12, 6) arc (90:0:1); % End (13,5)

性质 2. 常考求和

斐波那契数列的奇数项之和： a_ 1 +a_ 3 +a_ 5 + +a_ 2n-1 = a_ 2n 斐波那契数列的偶数项之和： a_ 2 +a_ 4 +a_ 6 + +a_ 2n = a_ 2n + 1 -1 斐波那契数列的前 n 项之和： S_ n =a_ 1 +a_ 2 +a_ 3 + +a_ n = a_ n + 2 -1 斐波那契数列的前 n 项的平方和： a_ 1 ^ 2 +a_ 2 ^ 2 +a_ 3 ^ 2 + +a_ n ^ 2 = a_ n a_ n + 1 证明： (a_1 + a_3 + a_5 + + a_ 2n-1 = a_1 + (a_4 - a_2) + (a_6 - a_4) + + (a_ 2n - a_ 2n - 2 ) = a_1 - a_2 + a_ 2n = a_ 2n ) (a_2 + a_4 + a_6 + + a_ 2n = (a_3 - a_1) + (a_5 - a_3) + (a_7 - a_5) + + (a_ 2n+1 - a_ 2n - 1 ) = a_ 2n+1 - a_1 = a_ 2n+1 - 1 ) (S_ n =a_ 1 +a_ 2 + +a_ n =(a_ 3 -a_ 2 )+(a_ 4 -a_ 3 )+ +(a_ n + 2 -a_ n + 1 )=a_ n + 2 -a_2=a_ n + 2 -1 ) 由 (a_ n + 1 =a_ n +a_ n - 1 )（ (n 2 )），则 (a_ n =a_ n + 1 -a_ n - 1 )，即 (a_ n ^ 2 =a_ n a_ n + 1 -a_ n - 1 a_ n ). (a_ 1 ^ 2 +a_ 2 ^ 2 + +a_ n ^ 2 =a_ 1 ^ 2 +(a_ 2 a_ 3 -a_ 1 a_ 2 )+(a_ 3 a_ 4 -a_ 2 a_ 3 )+ +(a_ n a_ n + 1 -a_ n - 1 a_ n )= a_1 ^2 - a_1a_2 + a_ n a_ n + 1 = a_ n a_ n + 1 )

性质 3. 其他性质

分式求和问题： 1 a_ 1 a_ 3 + 1 a_ 2 a_ 4 + + 1 a_ 2n - 3 a_ 2n - 1 + 1 a_ 2n - 2 a_ 2n = 1 a_ 2 ( 1 a_ 1 - 1 a_ 3 )+ 1 a_ 3 ( 1 a_ 2 - 1 a_ 4 )+ + 1 a_ 2n - 2 ( 1 a_ 2n - 3 - 1 a_ 2n - 1 ) + 1 a_ 2n - 1 ( 1 a_ 2n - 2 - 1 a_ 2n )= 1 a_ 1 a_ 2 - 1 a_ 2n - 1 a_ 2n 连续三项斐波那契数后两项乘积与前两项乘积的差，是中间项的平方，即 a_ n+1 a_n - a_n = a_n^2(n 2). 连续两项斐波那契数的平方和仍是斐波那契数，即 a_n^2 + a_ n+1 ^2 = a_ 2n+1 ； 连续两项斐波那契数的平方差仍是斐波那契数，即 a_ n+1 ^2 - a_ n-1 ^2 = a_ 2n (n 2) ； 连续三项斐波那契数后两项的平方和与第一项的平方之差仍是斐波那契数，即 a_ n+1 ^2 + a_n^2 - a_ n-1 ^2 = a_ 3n (n 2). 下标为 3k 的前 n 项斐波那契数之和满足： a_3 + a_6 + +a_ 3n = 1 2 (a_ 3n+2 - 1). 斐波那契数列前 n 项相邻两项乘积之和, 当 n 是奇数时等于第 n+1 项的值的平方, 当 n 是偶数时等于第 n 项和第 n+2 项的值之积. 即： a_1a_2 + a_2a_3 + +a_n a_ n+1 ，当 n 是奇数时等于 a_ n+1 ^2 ，当 n 是偶数时等于 a_n a_ n+2 .

性质 4. 与集合的关系

斐波那契数列的第 n + 2 项同时也代表了集合 1,2, ,n 中所有不包含相邻正整数的子集. 证明： 设 (F_n )为斐波那契数列的第 (n )项，满足 (F_1 = 1 )， (F_2=1 )， (F_ n =F_ n - 1 +F_ n - 2 )（ (n 3 )）. 设 (a_n )为集合 ( 1,2, ,n )中所有不包含相邻正整数的子集的个数. 当 (n = 1 )时，集合 ( 1 )中不包含相邻正整数的子集为 ( )和 ( 1 )，共 (2 )个，而 (F_ 3 =2 )，所以 (a_1 = F_ 3 ). 当 (n = 2 )时，集合 ( 1,2 )中不包含相邻正整数的子集为 ( )， ( 1 )， ( 2 )，共 (3 )个，而 (F_ 4 =3 )，所以 (a_2 = F_ 4 ). 假设对于 (n = k - 1 )和 (n = k )（ (k 3 )）时，有 (a_ k - 1 =F_ k + 1 )和 (a_ k =F_ k + 2 ). 对于集合 ( 1,2, ,k + 1 )，考虑其中不包含相邻正整数的子集.这些子集可以分为两类： (1)不包含 (k + 1 )的子集，其个数为 (a_ k )，根据归纳假设为 (F_ k + 2 ). (2)包含 (k + 1 )的子集，那么就不能包含 (k )，其个数为 (a_ k - 1 )，根据归纳假设为 (F_ k + 1 ). 所以 (a_ k + 1 =a_ k +a_ k - 1 =F_ k + 2 +F_ k + 1 =F_ k + 3 ). 由数学归纳法可知，对于任意的正整数 (n )，集合 ( 1,2, ,n )中所有不包含相邻正整数的子集的个数 (a_n )等于斐波那契数列的第 (n + 2 )项 (F_ n + 2 ).

性质 5. 整除问题

第 3,6,9 等项的数字能被 2 整除； 第 4,8,12 等项的数字能被 3 整除； 第 5,10,15 等项的数字能被 5 整除；其余以此类推.

定义 3. 欧拉函数（人教A选修二P8）

欧拉函数 (n) (n N ^*) 的函数值等于所有不超过正整数 n 且与 n 互素的正整数的个数，例如 (1)=1, (4)=2 .

定义 4. 标准分解式

将质因数分解的结果，按照质因数大小由小到大排列，并将相同质因数的连乘积以指数形式表示，此种表示法称为标准分解式. 例如，2024 的标准分解式是 (2024=2^3 11 23 )

结论 1. 质数与欧拉函数

当 n 为合数且不知道 n 的标准因数分解时，很难求出 n 的欧拉函数值 (n) ；但对于质数，则有： 若 p 为质数，则 (p)=p-1 ； 若 p 为质数，且 n=p^k ，则 (n)= (p^k)=p^ k-1 (p-1) .因此当幂次 k 增加时形成了一个等比数列

结论 2. 欧拉函数的计算公式

对于一个数 n ，先化为标准分解式：令 (n=p_1^ _1 p_2^ _2 p_r^ _r . ) 再依照下面的公式计算： [ (n)= _ i=1 ^r p_i^ _i-1 (p_i-1) = n _ i=1 ^r (1- 1 p_i ), ] 其中 p_i 是 n 的所有不重复的质因数. 例如， ( (2024)=2^ 3-1 (2-1) 11^ 1-1 (11-1) 23^ 1-1 (23-1) =2024 (1- 1 2 ) (1- 1 11 ) (1- 1 23 )=880. )

定义 5. 跳跃等差数列

满足 a_ n+2 - a_ n = d 的数列称为跳跃等差数列或隔项等差数列. 通项公式: a_ n = a_ 1 + n-1 2 d,n 为奇数 a_ 2 + n-2 2 d,n 为偶数

定义 6. 类等和数列

形如 a_ n+1 + a_ n = f(n) 的数列称为类等和数列.若 f(n) = c ，则为等和数列. 求通项思路： 法1.与邻项递推式作差后讨论奇偶项 法2.等号两边同乘 (-1)^ n+1 ，令 b_ n = (-1)^ n+1 a_ n ，再累加 若 f(n) = c ，数列 a_ n 为周期数列，周期为2 若 f(n) = dn+b ，与邻项递推式作差可得 a_ n+2 - a_ n = d ，数列 a_ n 是公差为 d 的跳跃等差数列

定义 7. 跳跃等比数列

a_ n + 2 与 a_ n 不是数列 a_ n 中连续的项，因此我们称满足 a_ n + 2 a_ n = q 条件的数列 a_ n 为跳跃等比数列. 通项公式： 1 当 n 为奇数时，可令 n = 2k - 1 （ k N^ * ），反解得 k= n + 1 2 ，于是 a_ n =a_ 2k - 1 =a_ 1 q^ k - 1 =a_ 1 q^ n + 1 2 -1 =a_ 1 q^ n - 1 2 ; 2 当 n 为偶数时，可令 n = 2k （ k N^ * ），反解得 k= n 2 ，于是 a_ n =a_ 2k =a_ 2 q^ k - 1 =a_ 2 q^ n 2 -1 =a_ 2 q^ n - 2 2 . 综上所述， a_ n = a_ 1 q^ n - 1 2 ,n 为奇数 a_ 2 q^ n - 2 2 ,n 为偶数 .

定义 8. 类等积数列

形如 a_ n+1 a_ n = f(n) 的数列称为类等积数列.若 f(n) = c ，则为等积数列. 若 f(n) = c ，数列 a_ n 为周期数列，周期为2 若 f(n) = pq^ n ，与邻项递推式作商可得 a_ n+2 a_ n = q ，数列 a_ n 是公比为 q 的跳跃等比数列

定义 9. 二阶等差数列

在数列 a_ n 中，从第二项起，每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数列，即 a_ 2 -a_ 1 ,a_ 3 -a_ 2 ,a_ 4 -a_ 3 , ,a_ n -a_ n - 1 , 成为一个等差数列，则称数列 a_ n 为二阶等差数列，记 d_ 1 =a_ 2 -a_ 1 ， d_ 2 =(a_ 3 -a_ 2 )-(a_ 2 -a_ 1 )

性质 6. 用累加法推导二阶等差数列的通项公式

a_ 2 -a_ 1 =d_ 1 ， a_ 3 -a_ 2 =d_ 1 +d_ 2 ， a_ n-1 -a_ n-2 =d_ 1 +(n - 3)d_ 2 ， a_ n -a_ n-1 =d_ 1 +(n - 2)d_ 2 ， 累加得： a_ n -a_ 1 =(n - 1)d_ 1 +[1 + 2 + 3+ +(n - 2)]d_ 2 =(n - 1)d_ 1 + (n - 1)(n - 2) 2 d_ 2 故二阶等差数列的通项公式为 a_ n =a_ 1 +(n - 1)d_ 1 + (n - 1)(n - 2) 2 d_ 2 = An^2+Bn+C （可用待定系数法求解）

性质 7. 用分组求和法求二阶等差数列的前$n$项和公式

S_ n =na_ 1 +[1 + 2+ +(n - 1)]d_ 1 + 1 2 [1^ 2 +2^ 2 + +n^ 2 + n(-1 - 3n + 2) 2 ]d_ 2 =na_ 1 + n(n - 1) 2 d_ 1 + 1 2 [ n(n + 1)(2n + 1) 6 + n(1 - 3n) 2 ]d_ 2 =na_ 1 + n(n - 1) 2 d_ 1 + 1 2 [ n(n + 1)(2n + 1) 6 + n(3 - 9n) 6 ]d_ 2 =na_ 1 + n(n - 1) 2 d_ 1 + 1 2 [ n(2n^ 2 +3n + 1 + 3 - 9n) 6 ]d_ 2 =na_ 1 + n(n - 1) 2 d_ 1 + 1 2 n(2n^ 2 -6n + 4) 6 d_ 2 =na_ 1 + n(n - 1) 2! d_ 1 + n(n - 1)(n - 2) 3! d_ 2 = An^3+Bn^2+Cn

定义 10. 三阶等差数列

对于数列 ( a_ n )，从第二项起，每一项与它的前一项的差构成一个新的数列（称为一阶差数列），若这个一阶差数列是一个二阶等差数列，则原数列 ( a_ n )称为三阶等差数列. 数列 a_ n 为三阶等差数列，它的各阶等差数列的首项为 d_ 1 ， d_ 2 ， d_ 3 ，则三阶等差数列的通项公式为 [a_ n =a_ 1 +(n - 1)d_ 1 + (n - 1)(n - 2) 2! d_ 2 + (n - 1)(n - 2)(n - 3) 3! d_ 3 =An^3+Bn^2+Cn+D ] 三阶等差数列的前 n 项和公式为 [S_ n =na_ 1 + n(n - 1) 2! d_ 1 + n(n - 1)(n - 2) 3! d_ 2 + n(n - 1)(n - 2)(n - 3) 4! d_ 3 =An^4+Bn^3+Cn^2+Dn ]

定义 11. 周期数列

对于数列 ( a_ n )，如果存在一个常数 (T (T N^ + ) )，使得对任意的正整数 (n > n_ 0 )恒有 (a_ n + T =a_ n )成立，则称数列 ( a_ n )是从第 (n_ 0 )项起的周期为 (T )的周期数列.若 (n_ 0 =1 )，则称数列 ( a_ n )为纯周期数列，若 (n_ 0 2 )，则称数列 ( a_ n )为混周期数列， (T )的最小值称为最小正周期，简称周期.

性质 8. 常见性质和结论

周期数列是无穷数列，且值域有限，必有最小正周期；若 (T )是周期，则其倍数 (kT )也是周期；若 (T )是最小正周期，则其必能整除数列的任一周期 (M ). 若数列 ( A_ n )周期为 (t )，且 (n = qt + r (0 r < t) )，则其前 (n )项和 (S_ n = qS_ t + S_ r )，前 (n )项积 (T_ n = T_ t ^ q T_ r ). [ a_ n + a_ n-1 = s T = 2 a_ n a_ n-1 = s T = 2 a_ n+1 = 1 - a_ n 1 + a_ n T = 2 [1ex] a_ n+1 = xa_ n + y ka_ n + b (x=b) T = 2 a_ n + a_ n-1 + a_ n-2 = s T = 3 a_ n a_ n-1 a_ n-2 = s T = 3 [1ex] a_ n+1 = - 1 1 + a_ n T = 3 a_ n+1 = 1 - 1 a_ n T = 3 a_ n+1 = 1 + a_ n 1 - a_ n T = 4 [1ex] a_ n+1 = a_ n - 1 a_ n + 1 T = 4 a_ n+2 = a_ n+1 - a_ n T = 6 a_ n = 3 a_ n+1 - 1 3 - a_ n+1 T = 6 ]

不动点与蛛网图

定义 1. 递推数列

设 f: D R , 其中 D 是 R 一个区间, 数列 a_ n 由 a_ 1 =a 和递推关系 a_ n + 1 =f (a_ n ) 来确定, 则数列 a_ n 称为递推数列. f(x) 称为数列 a_ n 的特征函数, x = f(x) 称为数列 a_ n 的特征方程, a_ 1 =a 称为初始值.

定义 2. 迭代数列定义

所谓迭代数列是指在已知数列的第一项 (a_ 1 ), 后用递推公式 (a_ n + 1 =f(a_ n )(n N^ + ) )通过迭代生成的数列.

定义 3. 不动点

设数列 ( a_ n )满足递推公式 (a_ n + 1 =f(a_ n )(n N^ + ) ), 如果数列 ( a_ n )收敛于 (x_ 0 ), 而且有当 (n + ) 时 (f(x_ n )=f(x_ 0 ) )成立, 则数列 ( a_ n )的极限 (x_ 0 )必定是方程 (f(x)=x )根, 这时 (x_ 0 )称为 (f(x) )的不动点. 若数列 ( a_n )的递推公式为 (a_ n + 1 =f(a_n) )，把此式中的 (a_ n + 1 )、 (a_n )均换成 (x )，得方程 (x = f(x) )，我们把函数 (f(x) )的不动点 (x_0 )称为数列 ( a_n )的不动点．

结论 1. 不动点法求数列的通项公式

若 (f(x)=ax + b(a 0,a 1) )， (x_0 )是 (f(x) )的不动点， ( a_n )满足 (a_ n + 1 =f(a_n) )，则 ( a_n - x_0 )是等比数列． 若 (f(x)= ax + b cx + d (c 0,ad - bc 0) )， ( a_n )满足 (a_ n + 1 =f(a_n) )， (a_1 f(a_1) )， 且 (f(x) )有两个相同的不动点 (x_0 )，则 ( 1 a_n - x_0 )是等差数列． 若 (f(x)= ax + b cx + d (c 0,ad - bc 0) )， ( a_n )满足 (a_ n + 1 =f(a_n) )， (a_1 f(a_1) )， 且 (f(x) )有两个相异的不动点 (x_1,x_2 )，则 ( a_n - x_1 a_n - x_2 )是等比数列． 证明：“不动点法”求通项，基本原理就是“因式定理”！ 设数列 ( a_n )的递推公式为 (a_ n + 1 =f(a_n) )，把此式中的 (a_ n + 1 )、 (a_n )均换成 (x )，得方程 (x = f(x) )，记 (x_0 )是数列 ( a_n )的不动点，是方程 (x = f(x) )的实数根，显然， (x_0 )也是 (f(x) - x_0=0 )的实数根． 如果 (f(x) - x_0 )是多项式函数，那么由因式定理， (f(x) - x_0 )必定含有因式 ((x - x_0) )． (f(x) )是一次函数 (ax + b )，那么由因式定理， (f(x) - x_0=ax + b - x_0=a (x - x_0) ) 所以 (a_ n + 1 - x_0= f(a_n) - x_0= a (a_n - x_0) )， 所以 ( a_n - x_0 )是一个以 (a )为公比的等比数列． (f(x) )是一次分式函数 (f(x)= ax + b cx + d )， (x_1,x_2 )是方程 (x = f(x) )的两个相等实根， 记为 (x_0 )． 由前述结论有： (f(x) - x_0= (a - cx_0)(x - x_0) cx + d )． 因为 (x_0 )是 (x = f(x) )的二重根， 所以 (x_0 )是 (x - x_0=f(x) - x_0 )，即 (x - x_0= (a - cx_0)(x - x_0) cx + d )的二重根． 所以 (x_0 )是 (1= (a - cx_0) cx + d )，即 (cx + d-(a - cx_0)=0 )的实根．由因式定理， (cx + d-(a - cx_0)=c(x - x_0) )． 所以 ( 1 f(x) - x_0 = cx + d (a - cx_0)(x - x_0) = c(x - x_0)+(a - cx_0) (a - cx_0)(x - x_0) = c a - cx_0 + 1 x - x_0 )． 所以 ( 1 a_ n + 1 - x_0 = 1 f(a_n) - x_0 = c a - cx_0 + 1 a_n - x_0 )． 所以 ( 1 a_n - x_0 )是一个以 c a - cx_0 为公差的等差数列． (f(x) )是一次分式函数 (f(x)= ax + b cx + d )， (x_1,x_2 )是方程 (x = f(x) )的两个不等实根． 我们先讨论 (x_1 )，显然， (x_1 )也是 (f(x) - x_1=0 )的根． 而 (f(x) - x_1= ax + b cx + d -x_1= ax + b-(cx + d)x_1 cx + d )． 所以 (x_1 )也是 (ax + b-(cx + d)x_1=0 )的根． 由因式定理， (ax + b-(cx + d)x_1=(a - cx_1)(x - x_1) ) 所以 (f(x) - x_1= (a - cx_1)(x - x_1) cx + d )， 同理 (f(x) - x_2= (a - cx_2)(x - x_2) cx + d )， 两式相除得 ( f(x) - x_1 f(x) - x_2 = a - cx_1 a - cx_2 x - x_1 x - x_2 )． 所以 ( a_ n + 1 - x_1 a_ n + 1 - x_2 = f(a_n) - x_1 f(a_n) - x_2 = a - cx_1 a - cx_2 a_n - x_1 a_n - x_2 )． 所以 ( a_n - x_1 a_n - x_2 )是一个以 ( a - cx_1 a - cx_2 )为公比的等比数列．

定理 1. 函数的迭代图象（人教B选修三P13-4）

简称蛛网图或者折线图，函数 (y = f(x) )和直线 (y = x )共同决定. 其步骤如下： 0.5 (1)在同一坐标系中作出 (y = f(x) )和 (y = x )的图象（草图），并确定不动点. (2) 在找出不动点之后，确定范围，将不动点之间的图象放大，并找出起始点 (a_ 1 ) (3) 由 (a_ 1 )向 (y = f(x) )作垂直于 (x )轴的直线与 (y = f(x) )相交，并确定交点 ((a_ 1 ,a_ 2 ) ) (4) 由 ((a_ 1 ,a_ 2 ) )向 (y = x )作平行于 (x )轴的直线与 (y = x )相交，并确定交点 ((a_ 2 ,a_ 2 ) ) (5) 由 ((a_ 2 ,a_ 2 ) )向 (y = f(x) )作垂直于 (x )轴的直线与 (y = f(x) )相交，并确定交点 ((a_ 2 ,a_ 3 ) ). 重复 (4 )， (5 )，直至找到点 ((a_ n ,a_ n + 1 ) )的最终去向 0.49 [>= Stealth[scale=1.1] , scale=0.9, font= ] % 定义函数 f(x) = kx + b 和参数 % 经过计算调整以匹配视觉效果：交点 x0=4, 斜率 0.5 4 0.5 2 % 5 = 0.6*5 + b => b=2 (#1) (#1) + % 1. 绘制坐标轴 [->] (-0.5, 0) -- (8.5, 0) node[right] x ; [->] (0, -0.5) -- (0, 7) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; % 原点符号 % 2. 绘制函数图像和 y=x [thick] (0,0) -- (7,7) node[right] y=x ; [thick] (0,2) -- (8.5, (8.5) ) node[above] f(x) ; % 3. 绘制不动点 x0 [dashed] ( , 0) node[below] x_0 -- ( , ); ( , ) circle (1.5pt); % ----------------------------------------------------------- % 右侧数列 (a1 > x0，单调递减趋向 x0) % ----------------------------------------------------------- 8 % a1 ( ) % a2 ( ) % a3 ( ) % a4 % 绘制点和路径 % a1 -> (a1, a2) [dashed] ( , 0) node[below] a_1 -- ( , ); [blue, ->] ( , 0) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt) node[below] (a_1, a_2) ; % (a1, a2) -> (a2, a2) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt) node[above] (a_2, a_2) ; [dashed] ( , 0) node[below] a_2 -- ( , ); % (a2, a2) -> (a2, a3) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt) node[right] (a_2, a_3) ; % (a2, a3) -> (a3, a3) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt) node[above] (a_3, a_3) ; [dashed] ( , 0) node[below] a_3 -- ( , ); % (a3, a3) -> (a3, a4) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt) node[right] (a_3, a_4) ; % (a3, a4) -> (a4, a4) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt) node[above left, scale=0.8] (a_4, a_4) ; [dashed] ( , 0) node[below] a_4 -- ( , ); % ----------------------------------------------------------- % 左侧数列 (a1 < x0，单调递增趋向 x0) % ----------------------------------------------------------- 1 % a1 ( ) % a2 ( ) % a3 ( ) % a4 % a1 -> (a1, a2) [dashed] ( , 0) node[below] a_1 -- ( , ); [blue, ->] ( , 0) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt) node[above] (a_1, a_2) ; % (a1, a2) -> (a2, a2) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt) node[below] (a_2, a_2) ; [dashed] ( , 0) node[below] a_2 -- ( , ); % (a2, a2) -> (a2, a3) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt) node[above] (a_2, a_3) ; % (a2, a3) -> (a3, a3) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt) node[below] (a_3, a_3) ; [dashed] ( , 0) node[below] a_3 -- ( , ); % (a3, a3) -> (a3, a4) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt) node[above] (a_3, a_4) ; % (a3, a4) -> (a4, a4) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt); % 空间较小，省略此点标签 [dashed] ( , 0) node[below] a_4 -- ( , );

定理 2. 数列单调性1

如果数列 ( a_ n )满足递推公式 (a_ n + 1 =f(a_ n )(n N^ + ) ), (f(x) )单调增加函数, (x_ 0 )是函数 (f(x) )的唯一不动点, 则 (1)当 (a_ 1 x_ 0 )且 (a_ 1 a_ 2 )时, 数列 ( a_ n )是单调增加数列, 且 (a_ 1 a_ 2 a_ 3 x_ 0 ) (2)当 (a_ 1 x_ 0 )且 (a_ 1 a_ 2 )时, 数列 ( a_ n )是单调减少数列, 且 (a_ 1 a_ 2 a_ 3 x_ 0 )

定理 3. 数列单调性2

如果数列 ( a_ n )满足递推公式 (a_ n + 1 =f(a_ n )(n N^ + ) ), (f(x) )单调减少函数, (x_ 0 )是函数 (f(x) )的唯一不动点, 则 (1)当 (a_ 1 x_ 0 )且 (a_ 2 x_ 0 )时, 数列 ( a_ 2n )是单调递增数列, 数列 ( a_ 2n - 1 )是单调递减数列且 [a_ 2 a_ 4 a_ 6 a_ 2n a_ 2n + 2 x_ 0 a_ 2n + 1 a_ 2n - 1 a_ 3 a_ 1 ] (2)当 (a_ 1 x_ 0 )且 (a_ 2 x_ 0 )时, 数列 ( a_ 2n )是单调递减数列, 数列 ( a_ 2n - 1 )是单调递增数列且 [a_ 2 a_ 4 a_ 6 a_ 2n a_ 2n + 2 x_ 0 a_ 2n + 1 a_ 2n - 1 a_ 3 a_ 1 ] 0.99 [>= Stealth[scale=1.1] , scale=0.9, font= ] 3 (#1) 12/((#1)+1) % 1. 绘制坐标轴 [->] (-0.5, 0) -- (8.5, 0) node[right] x ; [->] (0, -0.5) -- (0, 6) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; % 原点符号 % 2. 绘制函数图像和 y=x [thick] (0,0) -- (6,6) node[right] y=x ; [thick, domain=1:8.5, smooth, samples=100] plot ( , ( ) ) node[above] f(x) ; % 3. 绘制不动点 x0 [dashed] ( , 0) node[below] x_0 -- ( , ); ( , ) circle (1.5pt); 8 % a1 ( ) % a2 ( ) % a3 ( ) % a4 ( ) % a5 ( ) % a6 ( ) % a7 % 绘制点和路径 % a1 -> (a1, a2) [dashed] ( , 0) node[below] a_1 -- ( , ); [blue, ->] ( , 0) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt) node[right] (a_1, a_2) ; % (a1, a2) -> (a2, a2) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt) node [left] (a_2, a_2) ; [dashed] ( , 0) node[below] a_2 -- ( , ); % (a2, a2) -> (a2, a3) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt) node [left] (a_2, a_3) ; % (a2, a3) -> (a3, a3) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt) node [right] (a_3, a_3) ; [dashed] ( , 0) node[below] a_3 -- ( , ); % (a3, a3) -> (a3, a4) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt) node [right] (a_3, a_4) ; % (a3, a4) -> (a4, a4) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt); [dashed] ( , 0) node[below] a_4 -- ( , ); % (a4, a4) -> (a4, a5) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt); % (a4, a5) -> (a5, a5) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt); [dashed] ( , 0) node[below] a_5 -- ( , ); % (a5, a5) -> (a5, a6) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt); % (a5, a6) -> (a6, a6) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt); [dashed] ( , 0) node[below] a_6 -- ( , ); % (a6, a6) -> (a6, a7) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt); % (a6, a7) -> (a7, a7) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt); [dashed] ( , 0) node[below] a_7 -- ( , ); [>= Stealth[scale=1.1] , scale=0.9, font= ] 3 (#1) 12/((#1)+1) % 1. 绘制坐标轴 [->] (-0.5, 0) -- (8.5, 0) node[right] x ; [->] (0, -0.5) -- (0, 6) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; % 原点符号 % 2. 绘制函数图像和 y=x [thick] (0,0) -- (6,6) node[right] y=x ; [thick, domain=1:8.5, smooth, samples=100] plot ( , ( ) ) node[above] f(x) ; % 3. 绘制不动点 x0 [dashed] ( , 0) node[below] x_0 -- ( , ); ( , ) circle (1.5pt); 1.1 % a1 ( ) % a2 ( ) % a3 ( ) % a4 ( ) % a5 ( ) % a6 ( ) % a7 % 绘制点和路径 % a1 -> (a1, a2) [dashed] ( , 0) node[below] a_1 -- ( , ); [blue, ->] ( , 0) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt) node[left] (a_1, a_2) ; % (a1, a2) -> (a2, a2) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt) node [right] (a_2, a_2) ; [dashed] ( , 0) node[below] a_2 -- ( , ); % (a2, a2) -> (a2, a3) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt) node [right] (a_2, a_3) ; % (a2, a3) -> (a3, a3) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt) node [left, scale=0.8] (a_3, a_3) ; [dashed] ( , 0) node[below] a_3 -- ( , ); % (a3, a3) -> (a3, a4) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt) node [left, scale=0.8] (a_3, a_4) ; % (a3, a4) -> (a4, a4) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt) node [right, scale=0.8] (a_4, a_4) ; [dashed] ( , 0) node[below] a_4 -- ( , ); % (a4, a4) -> (a4, a5) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt); % (a4, a5) -> (a5, a5) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt); [dashed] ( , 0) node[below] a_5 -- ( , ); % (a5, a5) -> (a5, a6) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt); % (a5, a6) -> (a6, a6) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt); [dashed] ( , 0) node[below] a_6 -- ( , ); % (a6, a6) -> (a6, a7) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt); % (a6, a7) -> (a7, a7) [blue, ->] ( , ) -- ( , ); ( , ) circle (0.2pt); [dashed] ( , 0) node[below] a_7 -- ( , );

定理 4. 单调性总定理

设数列 ( a_ n )满足 (a_ n + 1 =f(a_ n )(n N^ + ) ), 其中 (f(x) )在区间 (I )上单调, 同时数列的每一项都在区间 (I )中, 那么: (1)当 (f(x) )单调增加时, ( a_ n )为单调数列 (2)当 (f(x) )单调减少时, ( a_ n )的子列 ( a_ 2n - 1 )和 ( a_ 2n )分别为单调数列, 且具有相反的单调性

定义 4. 吸引不动点与排斥不动点

0.46 吸引与排斥不动点定义: 在不动点 (x_ 0 )处, 若 ( f^ (x_ 0 ) <1 ), 则 (x_ 0 )称为 (y = f(x) )的吸引不动点, 若 ( f^ (x_ 0 ) >1 ), 则称 (x_ 0 )为 (y = f(x) )的排斥不动点. 若 ( f^ (x_ 0 ) =1 )，吸引与排斥情况如图所示： 0.53 [>=Stealth, scale=1] (#1) (#1 + 0.03 *(#1 + 3) * (#1 - 2.5) * (#1 - 6)) % 坐标轴 [->] (-0.5,0) -- (8,0) node[right] x ; [->] (0,-0.5) -- (0,8) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; % 绘制 y = x [name path=line] (0,0) -- (8,8) node[below] y=x ; % 绘制函数曲线 [thick, name path=curve] plot[domain=0:7.3, samples=100, smooth] ( , ( ) ); % 标记不动点 x1 和 x2 (X1) at (2.5, 2.5); (X2) at (6, 6); % 辅助虚线 [dashed] (X1) -- (2.5,0) node[below] x_1 ; [dashed] (X2) -- (6,0) node[below] x_2 ; % 文字说明 [above left] at (X1) [align=center, fill=white, inner sep=1pt] 吸引不动点 f'(x_1) < 1 ; [above left] at (X2) [align=center, fill=white, inner sep=1pt] 排斥不动点 f'(x_2) > 1 ; % --- 1. 左侧吸引序列 (Attracting to x1) --- % 从 x < x1 处开始，例如 a1 = 0 0.5 ( ) % a2 ( ) % a3 ( ) % a4 % 绘制路径 [dashed] ( , 0) node[below] a_1 -- ( , ); [->] ( , 0) -- ( , ); [->] ( , ) -- ( , ); % -> y=x [->] ( , ) -- ( , ); % -> curve [->] ( , ) -- ( , ); % -> y=x [->] ( , ) -- ( , ); % -> curve [->] ( , ) -- ( , ); % -> y=x % --- 2. 中间排斥序列 (Repelling away from x2 to x1) --- % 从 x2 左侧开始，会被排斥向 x1 5 ( ) ( ) ( ) [dashed] ( , 0) node[below] a_1 -- ( , ); [->] ( , 0) -- ( , ); [->] ( , ) -- ( , ); % -> y=x [->] ( , ) -- ( , ); % -> curve [->] ( , ) -- ( , ); % -> y=x [->] ( , ) -- ( , ); % -> curve [->] ( , ) -- ( , ); % -> y=x % --- 3. 右侧排斥序列 (Repelling away from x2 to infinity) --- % 从 x2 右侧开始，远离 x2 6.5 ( ) ( ) [dashed] ( , 0) node[below] a_1 -- ( , ); [->] ( , 0) -- ( , ); [->] ( , ) -- ( , ); % -> y=x [->] ( , ) -- ( , ); % -> curve [->] ( , ) -- ( , ); % -> y=x 0.99 [>=Stealth, scale=0.8] (#1) (#1 + 0.03 *(#1 + 3) * (#1 - 4) * (#1 - 4)) % 坐标轴 [->] (-0.5,0) -- (8,0) node[right] x ; [->] (0,-0.5) -- (0,8) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; % 绘制 y = x [name path=line] (0,0) -- (8,8) node[below] y=x ; % 绘制函数曲线 [thick, name path=curve] plot[domain=0:6.5, samples=100, smooth] ( , ( ) ); % 标记不动点 x1 和 x2 (X0) at (4, 4); % 辅助虚线 [dashed] (X0) -- (4,0) node[below] x_0 ; % 文字说明 [above left] at (X0) [align=center, fill=white, inner sep=1pt] f'(x_0) = 1 ; % --- 1. 左侧吸引序列 (Attracting to x1) --- % 从 x < x1 处开始，例如 a1 = 1 1 ( ) % a2 ( ) % a3 ( ) % a4 % 绘制路径 [dashed] ( , 0) node[below] a_1 -- ( , ); [->] ( , 0) -- ( , ); [->] ( , ) -- ( , ); % -> y=x [->] ( , ) -- ( , ); % -> curve [->] ( , ) -- ( , ); % -> y=x [->] ( , ) -- ( , ); % -> curve [->] ( , ) -- ( , ); % -> y=x at (2,3) 左吸引 ; % --- 3. 右侧排斥序列 (Repelling away from x2 to infinity) --- % 从 x2 右侧开始，远离 x2 5.2 ( ) ( ) ( ) [dashed] ( , 0) node[below] a_1 -- ( , ); [->] ( , 0) -- ( , ); [->] ( , ) -- ( , ); % -> y=x [->] ( , ) -- ( , ); % -> curve [->] ( , ) -- ( , ); % -> y=x [->] ( , ) -- ( , ); % -> curve [->] ( , ) -- ( , ); % -> y=x at (6,5) 右排斥 ; [>=Stealth, scale=0.8] (#1) (#1 + 0.03 *(#1 - 11) * (#1 - 4) * (#1 - 4)) % 坐标轴 [->] (-0.5,0) -- (8,0) node[right] x ; [->] (0,-0.5) -- (0,8) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; % 绘制 y = x [name path=line] (0,0) -- (8,8) node[below] y=x ; % 绘制函数曲线 [thick, name path=curve] plot[domain=1.6:8, samples=100, smooth] ( , ( ) ); % 标记不动点 x1 和 x2 (X0) at (4, 4); % 辅助虚线 [dashed] (X0) -- (4,0) node[below] x_0 ; % 文字说明 [above left] at (X0) [align=center, fill=white, inner sep=1pt] f'(x_0) = 1 ; % --- 1. 左侧吸引序列 (Attracting to x1) --- % 从 x < x1 处开始，例如 a1 = 1 2.8 ( ) % a2 ( ) % a3 ( ) % a4 % 绘制路径 [dashed] ( , 0) node[below] a_1 -- ( , ); [->] ( , 0) -- ( , ); [->] ( , ) -- ( , ); % -> y=x [->] ( , ) -- ( , ); % -> curve [->] ( , ) -- ( , ); % -> y=x [->] ( , ) -- ( , ); % -> curve [->] ( , ) -- ( , ); % -> y=x at (2,3) 左排斥 ; % --- 3. 右侧排斥序列 (Repelling away from x2 to infinity) --- % 从 x2 右侧开始，远离 x2 7.6 ( ) ( ) ( ) [dashed] ( , 0) node[below] a_1 -- ( , ); [->] ( , 0) -- ( , ); [->] ( , ) -- ( , ); % -> y=x [->] ( , ) -- ( , ); % -> curve [->] ( , ) -- ( , ); % -> y=x [->] ( , ) -- ( , ); % -> curve [->] ( , ) -- ( , ); % -> y=x at (6,4.5) 右吸引 ;

定理 5. 不动点个数

若 (y = f(x) )定义在 (D )上的连续可导函数, 有且只有两个不动点 ( , )且 (f^ ( ) 1,f^ ( ) 1 ), 异于 ( , )的初始值 (a_ 1 =a ), 递推数列 (a_ n + 1 =f(a_ n ),n N^ + ).则两个不动点 ( , )至多只有一个吸引不动点.

数学归纳法

定义 1. 数学归纳法

一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： （归纳奠基）证明当 n=n_0 (n_0 N ^*) 时命题成立； （归纳递推）以“当 n=k (k N ^*, k n_0) 时命题成立”为条件，推出“当 n=k+1 时命题也成立”. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n_0 开始的所有正整数 n 都成立，这种证明方法称为数学归纳法.

数列放缩

题型 1. 放缩精度控制

裂项放缩精度控制 对于放缩后，再裂项相消求和类型，通过放缩后的裂项公式的首项或前几项的和即可判断放缩的精度是否满足题设要求. 常见的题目无非是从第一项开始放缩、从第二项开始放缩或者从第三项开始放缩这三种. 比如: 1 n^2 = 4 4n^2 < 4 4n^2 -1 =2 ( 1 2n -1 - 1 2n +1 ) ，从第一项开始放缩，放缩的精度为 S_n<2 1 2 -1 =2 . 1 n^2 < 1 n^2 -1 = 1 2 ( 1 n -1 - 1 n +1 )(n 2) ，从第二项开始放缩，放缩的精度为 S_n<1+ 1 2 (1+ 1 2 )= 7 4 ； 保留前两项，从第三项开始放缩，放缩的精度为 S_n<1+ 1 2^2 + 1 3 -1 = 5 3 . 1 n^2 < 1 n(n -1) = 1 n -1 - 1 n (n 1) ，从第二项开始放缩，放缩的精度为 S_n<1+ 1 2 -1 =2 ；保留前两项，从第三项开始放缩，放缩的精度为 S_n<1+ 1 2^2 + 1 3 -1 = 7 4 . 注：事实上， ( _ n = 1 ^ 1 n^2 = ^2 6 =1.6449... )， ( _ n = 1 ^ 1 n^4 = ^4 90 )， ( _ n = 1 ^ 1 (2n - 1)^2 = ^2 6 - ^2 24 = ^2 8 ) 等比放缩 含有 1 a^n -1 的数列，可放缩为等比数列，也可以放缩后进行裂项. 等比数列前 n 项和的极限：构造等比数列 b_n ，其首项为 b_1 ，公比为 q . 等比数列 b_n 的前 n 项和 T_n= b_1(1 - q^n) 1 - q . 当 q (0,1) 时，则数列 T_n 中的项 T_n 会趋向某一定值，有 _ n + T_n= b_1 1 - q ，也称数列 T_n 收敛于 b_1 1 - q . 证明 a_1 + a_2+ +a_n<m （ m 为常数）型数列不等式的思路：当待证不等式的一端为常数时，只需将另一端对应的数列通项进行恰当的放缩，变成等比数列，再通过求和达到证明的目的. a_1 + a_2+ +a_n<b_1 + b_2+ +b_n= b_1(1 - q^n) 1 - q < b_1 1 - q m （ m 为常数），其中 b_n 为递缩等比数列. 通过逆向思维，由 m= b_1 1 - q 出发操作，先尝试对 q 进行适当的赋值，其中 q (0,1) ，再确定出 b_1 ，从而求出 b_n ，构造出数列 b_n ，再证明 a_n < b_n 即可. 上述中构造的 b_n 并非唯一，因为 q 是任取的. 一般找底数大的，因为这样赋值，数列的收敛性会越好，精度就会越高，能更好地避免放缩过度. 为了变形化简方便，通常取 a_n 中幂的底数. 1 a - b + 1 a^2 - b^2 + + 1 a^n - b^n <m （ a>b 1 ）型精度公式 构造等比数列 c_n ，其首项为 c_1 ，公比为 q . 要使 1 a - b + 1 a^2 - b^2 + + 1 a^n - b^n <c_1 + c_2+ +c_n m 成立，令 q= 1 a ，且 m= c_1 1 - q ，则 c_1=(1 - q)m=(1- 1 a )m ，于是 c_n=(1- 1 a )m( 1 a )^ n - 1 = (a - 1)m a^n ， 即有 1 a^n - b^n c_n= (a - 1)m a^n 成立，只需 a^n a^n - b^n (a - 1)m 成立，只需 a^n - b^n + b^n a^n - b^n (a - 1)m ，只需 b^n a^n - b^n (a - 1)m - 1 ，只需 1 ( a b )^ n -1 (a - 1)m - 1 ，故 ( a b )^ n -1 1 (a - 1)m - 1 ，于是可以得到 ( a b )^ n 1+ 1 (a - 1)m - 1 . 令 f(n)=( a b )^ n ，当 a>b 1 时， f(n) 单调递增，只需上式中 n = 1 时成立即可，即有 a b 1+ 1 (a - 1)m - 1 ，化简得 m a (a - b)(a - b) . 同样地，也可以得到 n 2 情形下的精度公式. 综上所述，对于 1 a - b + 1 a^2 - b^2 + + 1 a^n - b^n <m （ a>b 1 ）型放缩，可以得到下面的放缩精度公式： ( = a (a - b)(a - 1) m,n = 1 _ k = 1 ^ n - 1 1 a^ k -b^ k + a (a^ n -b^ n )(a - 1) m,n 2 )