集合与常用逻辑用语

集合

定义 1. 集合

一般地，我们把研究对象统称为元素 ，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）. 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． 如果 (a )是集合 (A )的元素，就说 (a )属于集合 (A )，记作 (a A )； 如果 (a )不是集合 (A )中的元素，就说 (a )不属于集合 (A )，记作 (a A )． 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为 ，并规定：空集是任何集合的子集． 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 U . 集合可以根据它含有的元素个数分为两类： 含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集. 空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集. 数学中一些常用的数集及其记法: [ c c c c c c c 集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 N N ^* 或 N _+ Z Q R C ] 质数（素数） ：如果一个大于 1 的整数，除 1 和自身外无其他正因数，则称这个正整数为素数. 合数 ：除了能被1和本身整除外，还能被其他数整除的数，最小的合数是4 互质 ：互质是公约数只有1的两个正整数（例：1和2互质，4和9互质，16和97）

性质 1. 集合元素性质与表示方法

集合的元素具有以下特点： 确定性: 集合的元素必须是确定的. 互异性: 对于一个给定的集合, 集合中的元素一定是不同的. 无序性：集合中的元素可以任意排列. 集合的表示方法： 列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号 “ ( )”括起来. 无限集也可用列举法表示．例如，自然数集 N 可表示为 ( 0, 1, 2, 3, ). 描述法：设 (A )是一个集合，把集合 (A ) 中所有具有共同特征 (P(x) )的元素 (x )组成的集合表示为 ( x A P(x) ).

定义 2. 集合间的基本关系

0.95 c Y c c 关系 定义 符号语言 Venn图 子集 集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素 ( A B ) -.5 [scale=0.4] (0,0) ellipse (2 and 1.2); at (1.2,0) B ; (-0.5,0) ellipse (1 and 0.6); at (-0.5,0) A ; at (3,0) 或 ; (5.5,0) ellipse (2 and 1.2); at (5.5,0) A(B) ; 真子集 如果集合 A B ，但存在元素 x B ，且 x A ( A B ) -.5 [scale=0.4] (0,0) ellipse (2 and 1.2); at (1.2,0) B ; (-0.5,0) ellipse (1 and 0.6); at (-0.5,0) A ; 集合相等 如果集合 (A ) 的任何一个元素都是集合 (B ) 的元素， 同时集合 (B ) 的任何一个元素都是集合 (A ) 的元素； 或集合 (A )， (B ) 互为子集 (A = B ) -.5 [scale=0.4] (0,0) ellipse (2 and 1.2); at (0,0) A(B) ; 如果一个集合的元素个数为 n ，这个集合的子集个数为 2^n ， 真子集个数为 2^n - 1 ，非空子集个数为 2^n - 1 ，非空真子集个数为 2^n - 2 .

定义 3. 集合的基本运算

0.95 c Y c c c 运算 文字语言 集合语言 图形语言 记法 并集 所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合 x x A , 或 x B [baseline=(current bounding box.center), scale=0.5] [gray!30] (0,0) circle (1.2) (1.6,0) circle (1.2); [thick] (0,0) circle (1.2) node A ; [thick] (1.6,0) circle (1.2) node B ; A B 交集 所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合 x x A , 且 x B [baseline=(current bounding box.center), scale=0.5] (0,0) circle (1.2); [gray!30] (1.6,0) circle (1.2); [thick] (0,0) circle (1.2) node A ; [thick] (1.6,0) circle (1.2) node B ; A B 补集 全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合 x x U , 且 x A [baseline=(current bounding box.center), scale=0.5] [gray!30] (-1.5,-1.5) rectangle (3,1.5); [white] (1.2,0) circle (1); [thick] (-1.5,-1.5) rectangle (3,1.5); [thick] (1.2,0) circle (1) node A ; at (-0.5,-0.8) _U A ; _U A

结论 1. 集合间的基本关系

( A A ) ( A ) (A A = A ) ( A = ) (A A = A ) ( A = A ) 若 ( A B )， ( B C )，则 ( A C ) 若 ( A B )， ( B C )，则 ( A C ) ( A B A ) ( A B B ) ( A (A B) ) ( B (A B) ) ( A ( _U A) = ) ( A ( _U A) = U ) ( _U ( _U A) = A ) ( _U U = ) ( _U = U ) (A B = B A B A B = A A B ) (A ( _U B) = A B ( _U A) B = U A B _U B _U A A B ) 交换律： ( A B = B A ) ( A B = B A ) 结合律： ( A (B C) = (A B) C ) ( A (B C) = (A B) C ) 分配律： ( A (B C) = (A B) (A C) ) ( A (B C) = (A B) (A C) ) 德摩根律： ( _U (A B) = ( _U A) ( _U B) ) ( _U (A B) = ( _U A) ( _U B) ) 注意 ：对于 (A B )或 (A B = )，在求解时需要分 (A = )与 (A )两种情形讨论.

定理 1. 集合元素个数与容斥原理

定义：用 ( card (A) )来表示有限集 ( A )的元素的个数，规定 ( card ( ) = 0 ). 对任意两个有限集合 A, B ，有 ( card (A B) = card (A) + card (B) - card (A B) ) 对任意三个有限集合 A, B, C ，有 ( card (A B C) = ) [ card (A) + card (B) + card (C) - card (A B) - card (B C) - card (C A) + card (A B C) ] 一般地，设 ( A_1, A_2, , A_n )为有限集，则 [ card (A_1 A_2 A_n ) = card (A_1) + card (A_2) + + card (A_n) - card (A_1 A_2) - card (A_1 A_3) - - card (A_ n-1 A_n) + card (A_1 A_2 A_3) + card (_1 A_2 A_4) + - card (A_1 A_2 A_3 A_4) - card (A_1 A_2 A_3 A_5) - + (-1)^ n+1 card (A_1 A_2 A_n) ] 简写为 [ card ( _ i=1 ^n A_i ) = _ k=1 ^n (-1)^ k+1 ( _ 1 i_1 < i_2 < < i_k n card (A_ i_1 A_ i_2 A_ i_k ) ) ]

常用逻辑用语

定义 1. 命题、充分条件、必要条件与充要条件

一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以 判断真假的陈述句 叫做命题.判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.中学数学中的许多命题可以写成“若 p ，则 q ”“如果 p ，那么 q ”等形式.其中 p 称为命题的条件， q 称为命题的结论. 将命题 “若 p ，则 q ” 中的条件 p 和结论 q 互换，就得到一个新的命题 “若 q ，则 p ”，称这个命题为原命题的逆命题. 一般地，“若 p ，则 q ”为真命题，是指由 p 通过推理可以得出 q ．这时，我们就说，由 p 可以推出 q ，记作 (p q )．并且说， p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件. 如果 “若 p ，则 q ” 为假命题，那么由条件 p 不能推出结论 q ，记作 p q .此时，我们就说 p 不是 q 的充分条件， q 不是 p 的必要条件. 如果 “若 p ，则 q ” 和它的逆命题 “若 q ，则 p ” 均是真命题，即既有 p q ，又有 q p ， 就记作 (p q )，此时， p 既是 q 的充分条件，也是 q 的必要条件，我们说 p 是 q 的充分必要条件， 简称为充要条件. [ l c p q 且 q p p 是 q 的 充分不必要 条件 p q 且 q p p 是 q 的 必要不充分 条件 p q 且 q p p 是 q 的 充分必要 条件（简称为充要条件）， 记作 p q ，也读作“ p 与 q 等价” “ p 当且仅当 q ”. p q 且 q p p 是 q 的既不充分也不必要条件 ]

结论 1. 充分、必要条件与对应集合之间的关系（人教A必修一P23T4）

已知 A = x x 满足条件 p ， B = x x 满足条件 q ， [label=( )] 如果 A B ，那么 p 是 q 的 充分 条件. 如果 B ; ; A ，那么 p 是 q 的必要条件. 如果 A = B ，那么 p 是 q 的 充要 条件. 如果 A B ，那么 p 是 q 的 充分不必要条件 . 如果 B ; ; A ，那么 p 是 q 的必要不充分条件.

定义 2. 全称量词和存在量词、全称量词命题和存在量词命题

短语 “所有的” “任意一个” “一切” “每一个” “任给” 等在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号 “ ” 表示. 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题. 短语 “存在一个” “至少有一个” “有些” “有一个” “对某些” “有的”等.在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号 “ ” 表示.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题 通常，将含有变量 x 的语句用 p(x) ， q(x) ， r(x) ，…表示，变量 x 的取值范围用 M 表示. 那么，全称量词命题“对 M 中任意一个 x ， p(x) 成立”可用符号简记为 x M, , p(x) . 存在量词命题 “存在 M 中的元素 x， p(x) 成立” 可用符号简记为 x M, , p(x) .

定义 3. 命题的否定

一般地，对命题 p 加以否定，就得到一个新的命题，记作 “ p ”，读作 “非 p ” 或 “ p 的否定”. 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能 一真一假 . 对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论： 全称量词命题： x M, p (x), 它的否定： x M, p (x) . 也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题. 对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论： 存在量词命题： x M, p (x), 它的否定： x M, p (x) . 也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题.

*集合新定义

定义 1. 笛卡尔积

设 ( A, B ) 为任意集合，其笛卡尔积记为 ( A B )（读作“ ( A ) 叉 ( B )”），定义为所有以 ( A ) 中元素为第一分量、 ( B ) 中元素为第二分量的有序对集合，即： [ A B = (a, b) a A 且 b B ] 其中有序对满足： ( (a_1, b_1) = (a_2, b_2) a_1 = a_2 且 b_1 = b_2 ) ，且一般 ( (a, b) (b, a) ) 基本性质 ： 空集性质：若任一集合为空集，则笛卡尔积为空集： (A = A = ) 基数性质（有限集）：设 ( X ) 为集合 ( X ) 的元素个数，则： ( A B = A B ) 非交换性：一般 ( A B B A )，仅当 ( A= )、 ( B= ) 或 ( A=B ) 时相等 分配律：对并、交运算满足： A (B C) = (A B) (A C), (A B) C = (A C) (B C), A (B C) = (A B) (A C), (A B) C = (A C) (B C). 消去律（限制条件）：若 ( A B = A C 且 A )，则 ( B=C )；若 ( A C = B C 且 C )，则 ( A=B )

定义 2. 集合的势

有限集合中元素的个数，我们可以一一数出来.而对于元素个数无限的集合 我们无法数出集合中元素的个数，但可以比较这两个集合中元素个数的多少. 例如 ( A = 1, 2, 3, 4, , n, , B = 2, 4, 6, 8, , 2n, . ) 虽然 ( B ) 看上去只是 ( A ) 的一部分，但按 ( 1 2, 2 4, 3 6, , n 2n, ) 可以把 ( A ) 中每个元素与 ( B ) 中唯一一个元素配对，反过来也能配对，所以这两个集合的元素“同样多”. 等势：设 ( A, B ) 是非空集合，若它们的元素可以一一对应，即存在双射函数 ( f: A B )，则称 ( A ) 与 ( B ) 等势，记为 ( A B ). 势：集合的势就是用“一一对应”来描述集合大小的量，记为 ( A )（或 ( card (A) )）. 若 ( A B )，就认为这两个集合一样大，记作 ( A = B )； 若 ( A ) 是有限集，且有 ( n ) 个元素（ ( n N )），则 ( A = n )；例如 ( 1,2,3 = 3 )； 若一个无限集能与自然数集 ( N ) 一一对应，就称它与自然数集“同样多”，这类集合的势记为 ( _0 ). 一些与自然数集 ( N = 0,1,2, ) 等势的集合（它们的势都为 ( _0 )） 正整数集 ( N ^+ = 1,2,3, )：可用 ( f(n) = n+1 ) 与 ( N ) 一一对应； 整数集 ( Z = ,-2,-1,0,1,2, )：对应函数可写为 ( f(n) = n/2 n 为偶数 -(n+1)/2 n 为奇数 )； 正偶数集 ( 2 N ^+ = 2,4,6, )：可用 ( f(n) = 2(n+1) ) 与 ( N ) 一一对应； 有理数集 ( Q )：虽然看起来很多，但经过适当排列后，也可以与 ( N ) 一一对应； 自然数集的笛卡尔积 ( N N )：所有有序对也可以按一定顺序排成一列，例如可用 ( f(a,b) = (a+b)(a+b+1) 2 + a ).

定义 3. 戴德金分割

有理数集的戴德金分割： 设有理数全体组成的集合为 ( Q )，若两个有理数集合 (A )和 (B )满足： 非空性： (A )且 (B ) 不漏性： (A B = Q )，即任意有理数 (x Q )必属于 (A )或 (B ) 有序性：对任意 (x A )和 (y B )，恒有 (x < y ) 则称有序对 ((A B) )为 ( Q )的一个分割，其中 (A )称为分割的下类， (B )称为上类. 有理数分割的分类定理： 对于有理数集 ( Q )的任意分割 ((A B) )，必满足以下三种情形之一且仅满足其一： (A )包含最大元素 (a A )，而 (B )无最小元素 (B )包含最小元素 (b B )，而 (A )无最大元素 (A )无最大元素且 (B )无最小元素（定义无理数，如 ( 2 )对应分割 (A = x Q x < 2 )， (B = x Q x > 2 )）