导数

导数的定义、运算法则与几何意义

定义 1. 导数（人教A选必二P59）

对于函数 (y = f(x) )，把 ( f(x_2)-f(x_1) x_2 - x_1 )称为函数 (y = f(x) )从 (x_1 )到 (x_2 )的平均变化率. 令 ( x = x_2 - x_1 )，用 (x_1+ x )代替 (x_2 )； 类似地， ( y = f(x_2)-f(x_1)=f(x_1+ x)-f(x_1) ). 平均变化率可表示为 [ y x = f(x_1+ x)-f(x_1) x ] 设函数 (y = f(x) )在 (x_0 )及其附近有定义，当 ( x )趋近于 (0 )时， 平均变化率 ( y x = f(x_0+ x)-f(x_0) x )趋近于一个常数 (l )，用符号“ ( )”（读作“趋近于”）记作: 当 ( x 0 )时， ( f(x_0+ x)-f(x_0) x l )， 称为函数 (f(x) )在点 (x_0 )的瞬时变化率.通常也记作 ( _ x 0 f(x_0+ x)-f(x_0) x =l ). 函数 (y = f(x) )在 (x = x_0 )处的瞬时变化率是 ( _ x 0 y x = _ x 0 f(x_0+ x)-f(x_0) x )， 称它为函数 (y = f(x) )在 (x = x_0 )处的 导数 ，记作 (f'(x_0) )或 (y' _ x = x_0 )， 即 [f'(x_0)= _ x 0 y x = _ x 0 f(x_0+ x)-f(x_0) x ] (y' _ x = x_0 )表示函数 (y )关于自变量 (x )在 (x_0 )处的导数. ( 变形： _ x 0 f(x_0 + m x) - f(x_0) x = m f'(x_0) _ h 0 f(x_0 + ah) - f(x_0 + bh) ch = a - b c f'(x_0) )

定义 2. 导数的几何意义（人教A选必二P59）

函数 (f(x) )在点 (x_0 ) 处的导数 (f^ (x_0) ) 就是曲线 (y = f(x) ) 在点 ((x_0,f(x_0)) ) 处切线的斜率. 曲线在某一点的切线反映了该点处曲线的变化趋势.当 (f^ (x_0)>0 ) 时，函数在 (x_0 ) 处附近单调递增，切线的倾斜角为锐角；当 (f^ (x_0)<0 ) 时，函数在 (x_0 ) 处附近单调递减，切线的倾斜角为钝角；当 (f^ (x_0)=0 ) 时，切线平行于 (x ) 轴 .

定义 3. 基本初等函数导数公式

若 f(x)=c ( c 为常数), 则 f'(x)=0 ; 若 f(x)=x^ ( Q , 且 0 ), 则 f'(x)= x^ -1 ; 特别地， ( ( 1 x )'= - 1 x^ 2 )， (( x )'= 1 2 x ) 若 f(x)= x , 则 f'(x)= x ; 若 f(x)= x , 则 f'(x)= - x ; 若 f(x)=a^x ( a>0 , 且 a 1 ), 则 f'(x)= a^x a ; 特别地, 若 f(x)=e^x , 则 f'(x)= e^x ; 若 f(x)= _a x ( a>0 , 且 a 1 ), 则 f'(x)= 1 x a ; 特别地, 若 f(x)= x , 则 f'(x)= 1 x .

性质 1. 导数运算法则

设 (f(x) )， (g(x) )是可导的，则 ([f(x) g(x)]^ = f^ (x) g^ (x) ) 证明： 设 (y = f(x)+g(x) )， 则 ( y=[f(x + x)+g(x+ x)]-[f(x)+g(x)]=[f(x+ x)-f(x)]+[g(x+ x)-g(x)] ) 故 ( _ x 0 y x = [ _ x 0 f(x+ x)-f(x) x ]+ [ _ x 0 g(x+ x)-g(x) x ] ) 所以 ([f(x)+g(x)]^ = f^ (x)+g^ (x) ). 减法的相应结论： ([f(x)-g(x)]^ = f^ (x)-g^ (x) ). 设 (f(x) )， (g(x) )是可导的，则 ([f(x)g(x)]^ = f^ (x)g(x)+f(x)g^ (x) )，特别地， ( [cf(x)]' = c'f(x) + cf'(x) = cf'(x) ) 证明： 设 (y = f(x)g(x) )， 则 ( y=f(x+ x)g(x+ x)-f(x)g(x) ) (=f(x+ x)g(x+ x)-f(x+ x)g(x)+f(x+ x)g(x)-f(x)g(x) ) (=f(x+ x)[g(x+ x)-g(x)]+g(x)[f(x+ x)-f(x)] ) 故 ( _ x 0 y x = [ _ x 0 f(x+ x)[g(x+ x)-g(x)]+g(x)[f(x+ x)-f(x)] x ] ) ( _ x 0 y x = [ _ x 0 f(x+ x) _ x 0 g(x+ x)-g(x) x + _ x 0 g(x) _ x 0 f(x+ x)-f(x) x ] ) 所以 ([f(x)g(x)]^ =f^ (x)g(x)+f(x)g^ (x) ). 设 (f(x) )， (g(x) )是可导的， (g(x) 0 )，则 ( [ f(x) g(x) ]^ = f^ (x)g(x)-f(x)g^ (x) g^ 2 (x) )， 特别地， ( ( x )'= ( x x )' = 1 ^2 x ) 证明： ( ( f(x) g(x) )^ = _ x 0 f(x+ x) g(x+ x) - f(x) g(x) x ) (= _ x 0 f(x+ x)g(x)-f(x)g(x+ x) xg(x)g(x+ x) ) (= _ x 0 f(x+ x)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+ x) xg(x)g(x+ x) ) (= _ x 0 1 g(x)g(x+ x) ( f(x+ x)-f(x) x g(x)- g(x+ x)-g(x) x f(x+ x) ) ) (= f^ (x)g(x)-f(x)g^ (x) g^ 2 (x) ) 一般地, 对于由函数 y=f(u) 和 u=g(x) 复合而成的函数 y=f(g(x)) , 它的导数与函数 y=f(u) , u=g(x) 的导数间的关系为 ( y'_x = y'_u u'_x ) 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 特别地， ( (x^x )'= (e^ x x )' = x^x( x + 1) )

题型 1. 多项式特定导数值

若 (f(x) = (x-a_1)(x-a_2)(x-a_3) (x-a_n), a_1,a_2, ,a_n )为常数，求 (f'(a_i),i=1,2, ,n ). 解： 设 (g(x) )表示把 ((x-a_1)(x-a_2) (x-a_n) )中第 (i )个因子 ((x-a_i) )去掉后剩下的乘积. 则 ( f(x)=(x-a_i) ,g(x). ) 求导得 ( f'(x)=1 g(x)+(x-a_i)g'(x). ) 令 (x=a_i )， ( f'(a_i)=g(a_i), i=1,2, ,n. )

题型 2. 与二项式定理结合

若 (f(x)=(ax + b)^n=a_0 + a_1x + a_2x^2+ +a_nx^n )（ (a,b )为常数， (n N^* )），求 (a_1 + 2a_2 + 3a_3+ +na_n ). 解： 对两边求导得到 (n a (ax + b)^ n - 1 =a_1 + 2a_2x+3a_3x^2+ +na_nx^ n - 1 ) . 令 (x = 1 )，代入得 (a_1 + 2a_2 + 3a_3+ +na_n=n a (a + b)^ n - 1 ) .

切线问题

题型 1. 单个函数的切线

已知切点：求函数 f(x) 在 点 x_0 处的切线方程 根据导数几何意义，函数 (y = f(x) ) 图像上一点 ((x_0,f(x_0)) ) 处切线斜率为 (f^ (x_0) )，切线方程: [ y - f(x_0) = f^ (x_0)(x - x_0) ] 注意：若函数在该点切线斜率不存在，切线方程为 (x = x_0 )，如 (f(x)= 1 - x^ 2 ) 在 ((1,0) ) 处切线方程为 (x = 1 ). 未知切点：求函数 f(x) 过 点 (A(x_1,y_1) )的切线方程： 设切点为 (P(x_0,f(x_0)) )，则斜率 (k = f^ (x_0) )，过切点的切线方程为： (y - f(x_0) = f^ (x_0)(x - x_0) )，又因为过点 (A(x_1,y_1) )，带入切线方程得 (y_1 - f(x_0) = f^ (x_0)(x_1 - x_0) )，解出 (x_0 )的值.（ (x_0 )有几个值，就有几条切线）

题型 2. 公切线问题

当 (y = f(x) )与 (y = g(x) )具有公切线时，设直线与 (y = f(x) )切于点 ((x_1,f(x_1)) )，与 (y = g(x) )切于点 ((x_2,g(x_2)) )， 当直线与 (y = f(x) )、 (y = g(x) )相切于同一点，设切点为 (P(x_0,y_0) )，则有 ( f^ (x_0)=g^ (x_0) (x_0)=g(x_0) ) 当直线与 (y = f(x) )、 (y = g(x) )相切于不同点，则有： ( f^ (x_1)=g^ (x_2)= f(x_1)-g(x_2) x_1 - x_2 )， 两个未知数两个方程求解即可.

题型 3. 平移函数公切线问题

当 (y = f(x) )与 (y = g(x) )为平行曲线，即 (g(x)=f(x + a)-b )，则有 [f^ (x_1)=g^ (x_2)= f(x_1)-b-f(x_1) x_1 - a - x_1 = b a ] 0.69 % 证明：因为 (y = f(x) )与 (g(x)=f(x + a)-b )有公切线，设 (y = f(x) )切点为 ((x_1,f(x_1)) )， (y = g(x)=f(x + a)-b )切点为 ((x_2,f(x_2 + a)-b) )，则一定有 (f^ (x_1)=f^ (x_2 + a) )，所以 (x_1=x_2 + a )， 根据公切线方程 (y_2 - y_1=k(x_2 - x_1) ) 可得： (f(x_2 + a)-b - f(x_1)=f^ (x_1)(x_2 - x_1) )，所以 (-b=-af^ (x_1) )，即 (f^ (x_1)=k= b a ). % 0.3 [scale = 1, >=stealth] [->] (-3,0) -- (1,0) node[right] x ; [->] (0,-0.3) -- (0,2) node[left] y ; [domain=-2:0.6] plot ( , exp( ) ) node[right] f(x) ; [domain=-2.4:-0.2] plot ( , exp( + 1) - 0.5 ) node[left] f(x + a) - b ; [domain=-2.4:1] plot ( , 0.5* + 0.84 ) node[right] l ; 按照数形结合来理解，就是 (y = f(x) )与 (y = g(x)=f(x + a)-b )，两切点连线的斜率就是公切线斜率，即将切点 ((x_1,f(x_1)) )左移 (a )单位，再下移 (b )单位，得到点 ((x_1 - a,f(x_1)-b) )，故公切线斜率 (k= f(x_1)-b - f(x_1) x_1 - a - x_1 = b a )

定义 1. 牛顿法——用导数方法求方程的近似解

牛顿给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法. 下面求方程 (f(x) = 1 15 x^3 - 3 5 x^2 + 2x - 12 5 = 0 ) 的根. 从图形上看, 函数的零点 (r ) 就是函数图象与 (x ) 轴的交点的横坐标. 如果可以找到一步一步逼近 (r ) 的 (x_0, x_1, , x_n ), 使得当 (n ) 很大时, ( x_n - r ) 很小很小, 就可以把 (x_n ) 的值作为 (r ) 的近似值, 即把 (x_n ) 作为方程 (f(x)=0 ) 的近似解. 牛顿用“作切线”的方法找到了这一串 (x_0, x_1, , x_n ). 起始点比如从 (x_0=6 ) 开始. 如图在横坐标为 (x_0 ) 的点处作 (f(x) ) 的切线, 切线与 (x ) 轴交点的横坐标就是 (x_1 ); 用 (x_1 ) 代替 (x_0 ), 重复上面的过程得到 (x_2 ); 一直继续下去, 得到 (x_0, x_1, , x_n ). 从图形上可以看到, (x_1 ) 较 (x_0 ) 接近 (r ), (x_2 ) 较 (x_1 ) 接近 (r ), 等等. 它们越来越逼近 (r ). 接下来计算 (x_n ). 由于 (f(x) ) 在点 ((x_0, f(x_0)) ) 处切线的斜率是 (f'(x_0) ),切线方程为 0.57 ( y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0). ) 令 (y=0 ), 得到切线与 (x ) 轴交点的横坐标 (x_1 ), 即 ( -f(x_0) = f'(x_0)(x_1 - x_0), ) 解得 (x_1 = x_0 - f(x_0) f'(x_0) ). 继续这个过程, 就可以推导出如下求方程根的牛顿法公式: 如果 (f'(x_ n-1 ) 0 ), 那么 [ x_n = x_ n-1 - f(x_ n-1 ) f'(x_ n-1 ) ] 0.42 [scale=1.0, >=stealth] % 定义坐标轴 [->] (-0.5,0) -- (6.5,0) node[right] x ; [->] (0,-0.5) -- (0,3) node[left] y ; % 定义函数 f(x) % f(x) = x^3/15 - 3x^2/5 + 2x - 2.4 [thick, black, domain=1.5:6.3, samples=100] plot ( , ^3/15 - 3* /5 + 2* - 2.4 ) node[left] f(x) ; % 零点 r = 3 (验证: 27/15 - 27/5 + 6 - 2.4 = 1.8 - 5.4 + 6 - 2.4 = 0) [below] at (3,0) r ; (3,0) circle (1.5pt); % x0 = 6 % f(6) = 216/15 - 108/5 + 12 - 2.4 = 14.4 - 21.6 + 12 - 2.4 = 2.4 % f'(x) = x^2/5 - 6x/5 + 2 % f'(6) = 36/5 - 36/5 + 2 = 2 % 切线1: y - 2.4 = 2(x - 6) => y = 2x - 9.6 % x截距 x1 = 4.8 [dashed] (6,0) node[below] x_0 -- (6, 2.4); (6, 2.4) circle (1.5pt); [thick, blue] (4.5,-0.6) -- (6.2, 2.8); % 视觉上画一段切线 % x1 = 4.8 % f(4.8) = 110.592/15 - 69.12/5 + 9.6 - 2.4 = 7.3728 - 13.824 + 9.6 - 2.4 = 0.7488 % f'(4.8) = 23.04/5 - 28.8/5 + 2 = 4.608 - 5.76 + 2 = 0.848 % 切线2: y - 0.7488 = 0.848(x - 4.8) % x截距 x2 = 4.8 - 0.7488/0.848 = 3.91698... approx 3.92 [below] at (4.8,0) x_1 ; [dashed] (4.8,0) -- (4.8, 0.7488); (4.8, 0.7488) circle (1.5pt); [thick, red] (3.5,-0.354) -- (5.5, 1.34); % 视觉上画一段切线 [below left] at (0,0) O ; % x2 approx 3.92 [below] at (3.92,0) x_2 ; (3.92,0) circle (1.5pt);

导数与单调性和极最值

定义 1. 单调性（人教A选必二P84）

若函数 (y = f(x) )在区间 ((a,b) )内可导 如果在 ((a,b) )内， (f^ (x) > 0 )，则 (f(x) )在此区间是增函数， ((a,b) )为 (f(x) )的单调增区间. 如果在 ((a,b) )内， (f^ (x) < 0 )，则 (f(x) )在此区间是减函数， ((a,b) )为 (f(x) )的单调减区间. 如果在 ((a,b) )内， (f^ (x) = 0 )恒成立，则 (f(x) )在此区间是常函数，不具有单调性.

题型 1. 利用导数研究函数单调性

计算 定义域 ，求导化简，可以考虑通分，尽可能 因式分解 观察导函数整体的 正负 （三角函数可分区间观察），不能看出则去掉已知恒正或恒负的部分，考虑变号部分函数 如果可以看出变号部分函数的 单调性 ，则计算或猜测变号部分函数的 零点 （可从猜测的零点反推能否因式分解）， 零点不含参数则直接绘制导函数的示意图，根据导函数在零点两侧的正负情况研究原函数的单调性， 含参数则讨论：(1)零点自身是否存在，(2)零点是否在定义域内，(3)零点与其他零点（如果有）的大小关系，再利用穿根法判断导函数正负. 如果一阶导不能因式分解，正负，单调性，零点都不能看出，则求二阶导，重复2,3,4的过程

定理 1. 区间上恒单调或存在单调性

已知函数在定义域或某个区间上的单调性： 若 (f(x) )在某个区间上单调递增，则在该区间上 (f^ (x) 0 ) 恒成立（但不恒等于 (0 )）； 若 (f(x) )在某个区间上单调递减，则在该区间上 (f^ (x) 0 ) 恒成立（但不恒等于 (0 )）； 若没有明确说明该区间上是单调递增还是单调递减，则需要分类讨论. 已知函数在定义域或某个区间上存在单调性： 若 (f(x) )在某个区间上有增区间，则在该区间上 (f^ (x) > 0 ) 有解； 若 (f(x) )在某个区间上有减区间，则在该区间上 (f^ (x) < 0 ) 有解.

题型 2. 抽象函数单调性构造

若题干给出一个含 (f^ (x) )的不等式，让我们求解另外的与 (f(x) )有关的不等式，这类题往往需要 从所给不等式出发，构造一个原函数（若 (F^ (x)=f(x) )，则称 (F(x) )为 (f(x) )的原函数），并判断其单 调性，用单调性来分析与 (f(x) )有关的不等式. 下面归纳一些常见的构造. % 1.7 % 整体行高放大20% c c 已知的不等式中所含结构 构造原函数的方法 xf^ (x)+nf(x) F(x)=x^n f(x) ， F^ (x)=x^ n-1 [xf^ (x)+nf(x)] xf^ (x)-nf(x) F(x)= f(x) x^n ， F^ (x)= xf^ (x)-nf(x) x^ n+1 f^ (x) + nf(x) F(x)=e^ nx f(x) ， F^ (x)=e^ nx [f^ (x) + nf(x)] f^ (x) - nf(x) F(x)= f(x) e^ nx ， F^ (x)= f^ (x)-nf(x) e^ nx f^ (x) x + f(x) x F(x)=f(x) x ， F^ (x)=f^ (x) x + f(x) x f^ (x) x - f(x) x F(x)=f(x) x ， F^ (x)=f^ (x) x - f(x) x f^ (x) x - f(x) x F(x)= f(x) x ， F^ (x)= f^ (x) x - f(x) x ^ 2 x f^ (x) x + f(x) x F(x)= f(x) x ， F^ (x)= f^ (x) x + f(x) x ^ 2 x f'(x)x x + f(x) F(x)=f(x) x ， F^ (x)= f'(x)x x + f(x) x^2 f'(x)x x - f(x) F(x)= f(x) x ， F^ (x)= f'(x)x x - f(x) x( x)^2 f(x)f'(x) F(x)= 1 2 f^2(x) ， F^ (x)=f(x)f'(x)

题型 3. 复杂抽象函数单调性构造

% 1.7 % 整体行高放大20% c c 已知的不等式中所含结构 构造原函数的方法 f'(x)x x + (1+ x)f(x) F(x)=f(x) x x ， F^ (x)=f'(x)x x + (1+ x)f(x) f'(x)x x - (1+ x)f(x) F(x)= f(x) x x ， F^ (x)= f'(x)x x - (1+ x)f(x) (x x)^2 f'(x)x x + (1- x)f(x) F(x)= x f(x) x ， F^ (x)= f'(x)x x + (1- x)f(x) x^2 f'(x)x x - (1- x)f(x) F(x)= xf(x) x ， F^ (x)= f'(x)x x - (1 - x)f(x) ( x)^2 (x^2+x)f'(x)+f(x) F(x)= xf(x) x+1 ， F^ (x)= (x^2+x)f'(x)+f(x) (x+1)^2 (x+m)(x+m-1)f'(x)+f(x) F(x)= (x+m-1)f(x) x+m ， F^ (x)= (x+m)(x+m-1)f'(x)+f(x) (x+m)^2 (x^m+x^n)f'(x) - (mx^ m-1 +nx^ n-1 )f(x) F(x)= f(x) x^m+x^n ， F^ (x)= (x^m+x^n)f'(x) - (mx^ m-1 +nx^ n-1 )f(x) (x^m+x^n)^2

定义 2. 不定积分

设函数 (f(x) )是定义在某区间 (I )上的函数，如果存在函数 (F(x) )，使得在区间 (I )上的任意一点 (x )处，都有 (F^ (x)= f(x) )，那么 (F(x) )就称为 (f(x) )在区间 (I )上的一个原函数. 函数 (f(x) )的所有原函数 (F(x)+C )（ (C )为任意常数），称为函数 (f(x) )在区间 (I )上的不定积分，记作 ( f(x)dx )，即 ( f(x)dx = F(x)+C ) .其中， ( ) 是积分号， (f(x) )是被积函数， (x )是积分变量 ， (C )是积分常数. [ F(x)= f(x)dx F^ (x)=f(x) ] 常见函数的不定积分： x^n , dx = 1 n + 1 x^ n + 1 + C (n -1) 1 x , dx = x + C a^x , dx = a^x a + C (a > 0, a 1) e^x , dx = e^x + C x , dx = - x + C x , dx = x + C x , dx = - x + C 1 x , dx = x + C

结论 1. 原函数构造1

若题干中出现 (f^ (x)+p(x) f(x)=0 )（或 (> )、 (< )），则构造 [ F(x)=f(x) e^ p(x)dx ] F^ (x) =f^ (x) e^ p(x)dx +f(x) [e^ p(x)dx ]^ =f^ (x) e^ p(x)dx +f(x) e^ p(x)dx [ p(x)dx ]^ =f^ (x) e^ p(x)dx +f(x) p(x) e^ p(x)dx =e^ p(x)dx [f^ (x)+p(x) f(x) ] 例如： (f^ (x)+kf(x)>0 ) 则 (p(x)=k )，所以 ( p(x)dx = kx ) ， 所以 (F(x)=f(x) e^ p(x)dx =f(x) e^ kx =e^ kx f(x) )

结论 2. 原函数构造2

若题干中出现 (f^ (x)+p(x) f(x)=q(x) )（或 (> )、 (< )），则构造 [ F(x)=f(x) e^ p(x)dx - [q(x) e^ p(t)dt ]dx ] [ F^ (x) =f^ (x) e^ p(x)dx +f(x) p(x) e^ p(x)dx -q(x) e^ p(x)dx =e^ p(x)dx [f^ (x)+p(x) f(x)-q(x) ] ] 例如： (f^ (x)-f(x)>k ) ， 则 (p(x)= -1 )， (q(x)=k )，所以 ( p(x)dx=-x )， ( [q(x) e^ p(t)dt ]dx= ke^ -x dx=-ke^ -x ) 所以 (F(x)=e^ -x f(x)-(-ke^ -x ) = e^ -x [f(x)+k] )

定义 3. 极值

已知函数 (y = f(x) )，设 (x_0 )是定义域内一点， 如果对于 (x_0 ) 附近 的所有点 (x )，都有 (f(x) < f(x_0) )，则称 (f(x) )在点 (x_0 )处取得极大值，并称 (x_0 )为函数 (f(x) )的一个极大值点； 如果对于 (x_0 )附近的所有点 (x )，都有 (f(x) > f(x_0) )，则称 (f(x) )在点 (x_0 )处取得极小值，并称 (x_0 )为函数 (f(x) )的一个极小值点． 极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点． 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．

定理 2. 极值点与极值求解的步骤

(1)确定函数的定义域； (2)求导数 (f^ (x) )； (3)解出方程 (f^ (x) = 0 )在定义域内的全部实根； (4)检测每个实根左右两侧导函数的符号，进而判断： 如果在某实根附近导数符号为左负右正，则该实根为极小值点； 如果在某实根附近导数符号为左正右负，则该实根为极大值点； 如果在某实根附近导数符号保持不变，则该实根不是极值点． 注意 ：导数为0的点不一定是极值点，极值点也不一定是导数为0的点，但是可导函数的极值点一定导数为0. 例如：函数 (f(x) = x^3 )在 (x = 0 )处导数为0，但函数本身在 (R )上单调递增. 又如：函数 (g(x) = x )的极小值点是 (x = 0 )，但是函数在 (x = 0 )不可导，不存在导数.

定义 4. 函数的最值

一般地，设函数 ( y = f(x) ) 的定义域为 ( I )，如果存在实数 ( M ) 满足： [label=( )] ( x I )，都有 ( f(x) M )； ( x_0 I )，使得 ( f(x_0) = M ). 那么，我们称 ( M ) 是函数 ( y = f(x) ) 的最大值. 同理可得最小值. 一般地，如果在区间 [a, b] 上函数 y = f(x) 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 若函数 y = f(x) 在区间 (a, b) 上无极值点，则它必为单调函数 若函数 y = f(x) 在区间 (a, b) 上只有唯一极值点，则它必为最值点 单峰函数 y = f(x) 在 (a, b) 有最值 f(x) 在 (a, b) 有极值 f'(x) = 0 在 (a, b) 有解.

定理 3. 求最值的方法

当函数 (f(x) )单调时，直接利用单调性定义求得； 当函数 (f(x) )不单调时，若函数 (f(x) )在 ([a,b] )上连续，在 ((a,b) )上可导，求其最值的步骤如下： 求出函数 (f(x) )在 ((a,b) )上的极值； 将所求的若干极值与 (f(a) )和 (f(b) )比较，数值最大的为最大值，数值最小的为最小值．

题型 4. 指对函数处理技巧

在研究涉及含 (e^ x )或 ( x )这类结构的方程或不等式时，若直接求导分析较复杂，还可考虑用下面的两种变形处理方法来简化分析过程. （ 指数找基友，对数单身狗 ） (e^ x +u(x) )结构的变形方法：将其等价变形成 ( (x)e^ x )或 ( (x) e^ x )这类结构（让 (e^ x )与其余含 (x )的部分相乘或相除），再求导分析. (u(x) x )结构的变形方法：将其等价变形成 ( x+ (x) )这类结构（将 ( x )孤立出来，求导后就没有 ( x )了），再求导分析.

常见同构函数

题型 1. 同构（相同函数构造）

同构过程：先通过观察原不等式的结构，再对不等式进行变形转化，最后找到这个函数的模型，即找到不等式两边对应的同一个函数，将问题化繁为简． 同构思路可表示为：若 ( F(x) 0 )能等价变形为 ( f[g(x)] f[h(x)] )，然后判断 ( f(x) )的单调性，利用函数单调性去掉外函数 ( f )，转化为解不等式 ( g(x) ( ) h(x) )． 原则：指对分家，紧扣内层. 基础变形 x = e^x = e^ x ； xe^x = e^ x+ x ； e^x x = e^ x- x ； x e^x = e^ x - x ； x + x = (xe^x ) ； x - x = e^x x . 积、商、和差型变形方式 积型： (a e^a b b a e^a b e^ b f(x) = x e^x （同左） , e^a e^a b b f(x) = x x （同右） , a + a b + ( b) f(x) = x + x （取对数） . ) 商型： ( e^a a < b b e^a a < e^ b b f(x) = e^x x （同左） , e^a e^a < b b f(x) = x x （同右） , a - a < b - ( b) f(x) = x - x （取对数） . ) 和差型： (e^a a > b b e^a a > e^ b b f(x) = e^x x （同左） , e^a e^a > b + b f(x) = x x （同右） . )

结论 1. 常见同构函数对的性质

已知 h(x) 与 g(x) 满足 g(x)=h( x) ，即 x_2=e^ x_1 或 x_1= x_2 为变换关系： 若 h(x)=e^x - x , 则 g(x)=x- x=h( x) . 当 h(x_1)=g(x_2) 时，即 h(x_1)=h( x_2) ， 当 x_1 < 0, 0 < x_2 < 1 (或者 x_1 > 0, x_2 > 1 ) 时，一定有 x_1= x_2 (或者 x_2=e^ x_1 ). 若 h(x)=e^x-x 和 g(x)=x- x 与 y=a 形成四个交点，即构成 x_1= x_3 x_2= x_4 ，有 ( x_1+x_4=x_2+x_3 ) 证明： 由 h(x_1)=a, h(x_2)=a 得 ( e^ x_1 -x_1=a, e^ x_2 -x_2=a ) 两式相减得 e^ x_1 -e^ x_2 =x_1-x_2 ，移项即 ( x_1+e^ x_2 =x_2+e^ x_1 . ) 又由 x_1= x_3, x_2= x_4 得 e^ x_1 =x_3, e^ x_2 =x_4 ，代入即得 x_1+x_4=x_2+x_3 . 若 h(x)= e^x x (或 x e^x ), 则 g(x)= x x (或 g(x)= x x ). 当 h(x_1)=g(x_2) 时，即 h(x_1)=h( x_2) ， 当 0<x_1<1, 1<x_2<e (或者 x_1>1, x_2>e ) 时，一定有 x_1= x_2 (或者 x_2=e^ x_1 ). 若 h(x)= e^x x 和 g(x)= x x 与 y=a 形成四个交点，即构成 x_1= x_3 x_2= x_4 ，有 ( x_1 x_4 = x_2 x_3 ) 证明： 由 h(x_1)=a, h(x_2)=a 得 ( e^ x_1 x_1 =a, e^ x_2 x_2 =a ) 故 e^ x_1 x_1 = e^ x_2 x_2 ，交叉相乘得 ( x_1e^ x_2 =x_2e^ x_1 . ) 又由 x_1= x_3, x_2= x_4 得 e^ x_1 =x_3, e^ x_2 =x_4 ，代入即得 x_1x_4=x_2x_3 . %======================== % 图1：h(x)=e^x-x, g(x)=x- x, y=a % 取 a=1.5 % 解得：e^x-x=1.5 的两根约为 x1=-1.1986, x2=0.8580 % x- x=1.5 的两根为 x3=e^ x1 =0.3014, x4=e^ x2 =2.3580 %======================== [x=1cm,y=1cm,scale=1,>=stealth] 1.5 -1.1986 0.8580 0.3014 2.3580 % 坐标轴 [->] (-2,0) -- (4.2,0) node[right] x ; [->] (0,-0.5) -- (0,3.5) node[left] y ; % y=a [dashed] (-2, ) -- (4, ); [right] at (3.6, ) y=a ; % h(x)=e^x-x [blue, thick, domain=-2:1.5, samples=200, smooth] plot ( , exp( )- ); [blue] at (1.6,3.4) h(x)=e^x-x ; % g(x)=x- x (x>0) [red, thick, domain=0.07:4, samples=200, smooth] plot ( , -ln( ) ); [red] at (4.0,3.0) g(x)=x- x ; % 交点标注（已计算） ( , ) circle (1.2pt); [below] at ( , ) x_1 ; ( , ) circle (1.2pt); [below] at ( , ) x_2 ; ( , ) circle (1.2pt); [below] at ( , ) x_3 ; ( , ) circle (1.2pt); [below] at ( , ) x_4 ; % %======================== % 图2：h(x)=e^x/x, g(x)=x/ x, y=a % 取 a=3.5 % 解得：e^x/x=3.5 的两根约为 x1=0.4463, x2=1.8886 % x/ x=3.5 的两根为 x3=e^ x1 =1.5620, x4=e^ x2 =6.6100 %======================== [x=0.8cm,y=0.55cm,scale=1,>=stealth] 3.5 0.4463 1.8886 1.5620 6.6100 % 坐标轴（按图1风格：不加网格、不裁剪） [->] (-0.5,0) -- (7.8,0) node[right] x ; [->] (0,-1) -- (0,6.3) node[left] y ; % y=a [dashed] (-0.5, ) -- (7.5, ); [right] at (7.1, ) y=a ; % h(x)=e^x/x [blue, thick, domain=0.25:2.7, samples=220, smooth] plot ( , exp( )/ ); [blue] at (3.2,5.8) h(x)= e^x x ; % g(x)=x/ x (x>0, x 1) [red, thick, domain=1.3:7.5, samples=400, smooth] plot ( , /ln( ) ); [red] at (6.2,4.5) g(x)= x x ; % 交点标注（按图1风格：只标 x_i） ( , ) circle (1.2pt); [below] at ( , ) x_1 ; ( , ) circle (1.2pt); [below right] at ( , ) x_2 ; ( , ) circle (1.2pt); [below] at ( , ) x_3 ; ( , ) circle (1.2pt); [below] at ( , ) x_4 ;

例题 1. 指对同构函数处理技巧（解法不唯一）

1. a e^ ax > x axe^ ax > x x, f(x) = x x [1ex] 2. a^x > _a x e^ x a > x a (x a)e^ x a > x x, f(x) = x x [1ex] 3. x^2 e ^x + x = 0 e ^x e ^x = 1 x 1 x , f(x) = x x [1ex] 4. _2 x - k 2^ kx 0 ( _2 x) 2^ _2 x kx 2^ kx , f(x) = x 2^x [1ex] 5. e ^ 2 x - 1 x 0 2 x e ^ 2 x ( x) e ^ x , f(x) = x e ^x [1ex] 6. x^ a+1 e^x -a x xe^x -a x x^a xe^x -a x e^ -a x , f(x) = xe^x [1ex] 7. x + 1 e^x x^a - x^a (x > 0) 1 e^x - 1 e^x x^a - x^a, f(x) = x - x [1ex] 8. x + a x + e ^ -x x^a (x > 1) e ^ -x - e ^ -x x^a - x^a, f(x) = x - x [1ex] 9. x^2 x - m e ^ m x 0 x + ( x) m x + m x , f(x) = x + x [1ex] 10. e ^ -x - 2x - x = 0 e ^ -x + e ^ -x = x + x, f(x) = x + x [1ex] 11. e^x > a (ax - a) - a e^ x - a + x - a > e^ (x - 1) + (x - 1), f(x) = e^x + x [1ex] 12. a( e ^ ax + 1) 2 (x + 1 x ) x ax e ^ ax + ax x^2 e ^ x^2 + x^2, f(x) = x e ^x + x [1ex] 13. a (x - 1) + 2(x - 1) ax + 2 e ^x a (x - 1) + 2(x - 1) a e ^x + 2 e ^x, f(x) = a x + 2x

三次函数

定义 1. 三次函数

形如 f(x)=ax^ 3 +bx^ 2 +cx + d (a,b,c,d R 且 a 0) 的函数称为三次函数. 定义域为 R .值域为 R ，函数在整个定义域上没有最大值、最小值. 三次函数导函数为二次函数 (f^ (x)=3ax^ 2 +2bx + c )， ( = 4b^ 2 -12ac = 4(b^ 2 -3ac) ). c c c c 2 c a > 0 2 c a < 0 >0 0 >0 0 [scale=0.75] [ axis lines=middle, ticks=none, xlabel= x , ylabel= y , xmin=-1.3, xmax=1.3, ymin=-1.2, ymax=1.2, height=4.5cm, width=4.5cm ] [thick, smooth,samples=100,domain=-1.3:1.3] plot( , ( )*( )*( )-( ) ); [dashed] (-0.577,0.385)-- (-0.577,0); [dashed] (0.577,-0.385)-- (0.577,0); [below, font= ] at (-0.577, 0) x_1 ; [above, font= ] at (0.577, 0) x_2 ; [scale=0.75] [ axis lines=middle, ticks=none, xlabel= x , ylabel= y , xmin=-1.2, xmax=1.2, ymin=-1.2, ymax=1.2, height=4.5cm, width=4.5cm ] [thick, smooth,samples=100,domain=-1.2:1.2] plot( , ( )*( )*( ) ); [below right, font= ] at (0, 0) x_0 ; [scale=0.75] [ axis lines=middle, ticks=none, xlabel= x , ylabel= y , xmin=-1.3, xmax=1.3, ymin=-1.2, ymax=1.2, height=4.5cm, width=4.5cm ] [thick, smooth,samples=100,domain=-1.3:1.3] plot( , (- )*( )*( )+( ) ); [dashed] (-0.577,-0.385)-- (-0.577,0); [dashed] (0.577,0.385)-- (0.577,0); [above, font= ] at (-0.577, 0) x_1 ; [below, font= ] at (0.577, 0) x_2 ; [scale=0.75] [ axis lines=middle, ticks=none, xlabel= x , ylabel= y , xmin=-1.2, xmax=1.2, ymin=-1.2, ymax=1.2, height=4.5cm, width=4.5cm ] [thick, smooth,samples=100,domain=-1.2:1.2] plot( , (- )*( )*( ) ); [below left, font= ] at (0, 0) x_0 ;

性质 1. 三次函数的性质与根的个数

对于三次函数 ( f(x)=ax^ 3 +bx^ 2 +cx + d ;(a,b,c,d R 且 a 0) ). ( f(x) ) 不可能为偶函数；当且仅当 ( b = d = 0 ) 时 f(x) 是奇函数. 三次函数是中心对称曲线，且对称中心是 ( (- b 3a ,f (- b 3a ) ) ) ； 其导函数为 ( f^ (x)=3ax^ 2 +2bx + c )，对称轴为 ( x = - b 3a ) ，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴. 当 (b^ 2 -3ac>0 )，其导数 (f^ (x)=0 ) 有两个解 (x_1 )， (x_2 )，原方程有两个极值 (x_ 1,2 = -b b^ 2 -3ac 3a ) 当 (f(x_1) f(x_2) > 0 )，原方程有且只有一个实根 当 (f(x_1) f(x_2) = 0 )，则方程有两个实根 当 (f(x_1) f(x_2) < 0 )，则方程有三个实根

定理 1. 三次函数的韦达定理（人教A必修二P81）

对于一般形式的三次方程 (ax^ 3 +bx^ 2 +cx + d = 0 )（ (a 0 )），设它的三个根分别为 (x_1 )， (x_2 )， (x_3 )，则有以下关系： x_ 1 +x_ 2 +x_ 3 = - b a x_ 1 x_ 2 +x_ 1 x_ 3 +x_ 2 x_ 3 = c a x_ 1 x_ 2 x_ 3 = - d a 推导过程： 根据因式分解，三次方程 (ax^ 3 +bx^ 2 +cx + d = 0 )（ (a 0 )）可化为 (a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)=0 ). a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = a(x^ 2 -x_2x - x_1x+x_1x_2)(x - x_3) = a(x^ 3 -x_3x^ 2 -x_2x^ 2 +x_2x_3x - x_1x^ 2 +x_1x_3x+x_1x_2x-x_1x_2x_3) = a(x^ 3 -(x_1 + x_2 + x_3)x^ 2 +(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x - x_1x_2x_3) = ax^ 3 -a(x_1 + x_2 + x_3)x^ 2 +a(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x - ax_1x_2x_3 与 (ax^ 3 +bx^ 2 +cx + d = 0 )对比系数可得： (-a(x_1 + x_2 + x_3)=b )，即 (x_ 1 +x_ 2 +x_ 3 =- b a ) ; (a(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)=c )，即 (x_ 1 x_ 2 +x_ 1 x_ 3 +x_ 2 x_ 3 = c a ) ; (-ax_1x_2x_3=d )，即 (x_ 1 x_ 2 x_ 3 =- d a )

性质 2. 三次函数四段论

0.59 如图，对于 (f(x)=ax^ 3 +bx^ 2 +cx + d(a>0) )且导函数 >0 ，有 极大值到对称中心距离为 ( x )，极小值点到对称中心距离为 ( x )，极小值等值点到极大值点距离为 ( x )，极大值等值点到极小值点距离为 ( x )；设 (f(x) ) 的极大值为 (M )，当 (f(x)=M ) 的两根为 (x_1 )， (x_2(x_1 < x_2) ) 时，区间 ([x_1,x_2] ) 被中心 ( (- b 3a ,f (- b 3a ) ) ) 和极小值点三等分，类似的，对极小值 (N ) 也有此结论. 0.4 [scale=0.8] [ axis lines=none, % 去掉坐标轴 ymajorgrids=true, xmajorgrids=true, xmin=-3, xmax=3, ymin=-2.2, ymax=2.2, xtick= -2.0,-1.5,...,2.0 , ytick= -1.6,-0.8,0,0.8,1.6 ] % 绘制函数曲线 [domain=-2:2, smooth, samples=100] 0.8*(x^3 - 3*x) ; % 绘制垂直和水平直线 (-1, -1.6) -- (-1, 1.6); (1, -1.6) -- (1, 1.6); (0, -1.6) -- (0, 1.6); (2, -1.6) -- (2, 1.6); (-2, -1.6) -- (-2, 1.6); (-2, 1.6) -- (2, 1.6); (-2, -1.6) -- (2, -1.6); (-2, 0) -- (2, 0); (-2, 0) -- (-1, 0); (-1, 0) -- (0, 0); (0, 0) -- (1, 0); (1, 0) -- (2, 0); % 绘制点并添加标签 (-1, 1.6) circle (2pt); [above] at (-1, 1.6) 极大值 ; % (-1, -1.6) circle (2pt); % (1, 1.6) circle (2pt); (1, -1.6) circle (2pt); [below] at (1, -1.6) 极小值 ; % (0, 1.6) circle (2pt); % (0, -1.6) circle (2pt); (2, 1.6) circle (2pt); [above] at (2, 1.6) 极大值等值点 ; % (2, -1.6) circle (2pt); % (-2, 1.6) circle (2pt); (-2, -1.6) circle (2pt); [below] at (-2, -1.6) 极小值等值点 ; (0, 0) circle (2pt); [above right] at (0, 0) 中心 ; % (-2, 0) circle (2pt); % (2, 0) circle (2pt); % (-1, 0) circle (2pt); % (0, 0) circle (2pt); % (1, 0) circle (2pt); [below] at (-1.5, 0) x ; [below] at (-0.5, 0) x ; [below] at (0.5, 0) x ; [below] at (1.5, 0) x ;

性质 3. 三次函数切线条数问题

一般地，如图，过三次函数 (f(x) ) 图象的拐点 ( (- b 3a ,f (- b 3a ) ) )（对称中心或拐点）作切线 (l )，则坐标平面被切线 (l ) 和函数 (f(x) ) 的图象分割为四个区域，有以下结论： 0.74 由于区域 I、IV 属于外弧区域，过区域 I、IV 内的点作 (f(x) ) 的切线，有 3 条 由于区域 II、III 属于内弧区域，过区域 II、III 内的点或者对称中心作 (f(x) ) 的切线，有 1 条 过切线 (l ) 或函数 (f(x) ) 图象（除对称中心）上的点作 (f(x) ) 的切线，有 2 条 过对称中心 ( (- b 3a ,f (- b 3a ) ) ) 有1条切线，且平行于此切线的直线与 (f(x) ) 仅有1个交点 0.25 [scale=0.8] (-2.,-2.) rectangle (2.,2.); % 绘制函数 y = x^3 - 2x [thick, domain=-2:2, smooth, samples=100] plot ( , ^3 - 2* ); % 绘制直线 y = -2x [thick, domain=-2:2] plot ( , -2* ); % 绘制原点并标注 (0,0) circle (2pt); [above right] at (0,0) O ; % --- 新增：在区域I作点及3条切线 (蓝色) --- % 使用坐标(1.5, -1)以获得发散更明显的三条切线，增强视觉辨识度 [blue] (1.5, -1) circle (1.5pt); [blue, right] at (1.5, -1) I ; % 切线1：非常陡的切线，切点落在视窗外 (2,4) [blue, densely dashed] (1.4, -2) -- (1.8, 2); % 切线2：平缓切线，切点在 (0.843, -1.087) [blue, densely dashed] (-2, -1.462) -- (2, -0.934); [blue] (0.843, -1.087) circle (1pt); % 切线3：斜切线，切点在 (-0.593, 0.978) [blue, densely dashed] (-1.67, 2) -- (2, -1.472); [blue] (-0.593, 0.978) circle (1pt); % --- 新增：在区域II作点及1条切线 (红色) --- [red] (-0.5, 1.5) circle (1.5pt); [red, above] at (0, 1.5) II ; % 切线：y = x + 2，唯一的切点在(-1, 1) [red, densely dashed] (-2, 0) -- (0, 2); [red] (-1, 1) circle (1pt); % 保留未演示的区域标号 at (-0.5, -1) III ; at (-1.5, 1) IV ;

对数均值不等式

定义 1. ALG不等式

对数平均不等式（Arithmetic-Logarithmic-Geometric mean inequality）：对于任意两个正实数 (a )， (b )（ (a b )），有 [ ab < a - b a- b < a + b 2 ] 证明： 先证 ( a - b a- b < a + b 2 )， 不妨设 (a > b > 0 )，要证 ( a - b a- b < a + b 2 )，即证 ( 2(a - b) a + b < a- b )，令 (t= a b )（ (t>1 )），则 (a = bt )，即证 ( 2(t - 1) t + 1 < t ). 设 (f(t)= t- 2(t - 1) t + 1 )， (t>1 )， (f^ (t)= 1 t - 4 (t + 1)^ 2 = (t - 1)^ 2 t(t + 1)^ 2 >0 )， (f(t) )在 ((1,+ ) )上单调递增， (f(t)>f(1)=0 )，即 ( t> 2(t - 1) t + 1 )，所以 ( a - b a- b < a + b 2 )得证. 再证 ( ab < a - b a - b )， 设 (a>b>0 )，令 (t = a b )，则 (t>1 )，且 (a = b t^ 2 ). 原不等式 ( ab < a - b a - b )等价于 ( a- b< a - b ab ). 将 (t )代入即证 (2 t<t - 1 t ) 设 (g(t)=t - 1 t -2 t )， (t > 1 ). (g^ (t)=1+ 1 t^ 2 - 2 t = t^ 2 -2t + 1 t^ 2 ) (= (t - 1)^ 2 t^ 2 >0 )， (g(t) )在 ((1,+ ) )上单调递增 ， (g(t)>g(1)=0 )，即 (t - 1 t -2 t>0 )，从而 (2 t<t - 1 t ). 所以 ( ab < a - b a - b )得证. 综上，对于任意两个正实数 (a )， (b )（ (a b )）， ( ab < a - b a- b < a + b 2 )成立.

定义 2. 指数均值不等式

当 (m n ) 时，有 [ e^ m+n 2 < e^m - e^n m - n < e^m + e^n 2 ] 差值换元法证明 ：不妨设 (m>n ) [ e^m - e^n m-n < e^m + e^n 2 e^m - e^n e^m + e^n < m-n 2 e^ m-n - 1 e^ m-n + 1 < m-n 2 ] 令 (t = m-n )，即证 ( 2 e^t - 1 e^t + 1 < t ) [ e^ m+n 2 < e^m - e^n m-n m-n < e^m - e^n e^ m+n 2 m-n < e^ m-n - 1 e^ m-n 2 m-n 2 < 1 2 e^ m-n - 1 e^ m-n 2 ] 令 (t = m-n 2 )，即证 ( t < 1 2 e^ 2t - 1 e^t = 1 2 (e^t - 1 e^t ) )

结论 1. 对数、指数均值不等式等价图

0.49 [scale = 1.2, font = , >=stealth] [->] (-0.5,0) -- (5,0) node[right] x ; [->] (0,-1.5) -- (0,2.5) node[left] y ; [domain=0.17:5,smooth,variable= ,blue,thick] plot ( , ln( ) ) node[right] x ; [domain=0.3:4,smooth,variable= ,red,thick] plot ( , 0.5*( - 1/ ) ) node[above] 1 2 (x - 1 x ) ; [domain=0.1:5,smooth,variable= ,black,thick] plot ( , 2*( - 1)/( + 1) ) node[below] 2(x - 1) x + 1 ; [domain=0.2:4.5,smooth,variable= ,orange,thick] plot ( , sqrt( ) - 1/sqrt( ) ) node[above right] x - 1 x ; [fill=black] (1,0) circle (1pt) node[below] 1 ; [below left] at (0,0) O ; 0.49 [scale = 1.2,font = , >=stealth] % 限制画幅区域 (-0.5, -0.8) rectangle (4.5, 4.5); [->] (-0.5,0) -- (3.5,0) node[right] x ; [->] (0,-0.5) -- (0,4) node[left] y ; [domain=0:2,smooth,variable= ,red,thick] plot ( , 0.5*(exp( ) - 1/exp( )) ) node[above] 1 2 (e^x - e^ -x ) ; [domain=0:2.6,smooth,variable= ,orange,thick] plot ( , exp( /2)-exp(- /2) ) node[above right] e^ x 2 -e^ - x 2 ; [domain=0:3.2,smooth,variable= ,blue,thick] plot ( , ) node[below right] x ; [domain=0:3.2,smooth,variable= ,black,thick] plot ( , 2*(exp( )-1)/(exp( )+1) ) node[right] 2(e^x-1) e^x+1 ; [below left] at (0,0) O ;

泰勒公式

定义 1. 泰勒公式

若 f(x) 在点 x_0 处可导，则有 f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0)+o(x - x_0) .即在点 x_0 附近，用一次多项式 f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0) 逼近函数 f(x) 时，其误差为 (x - x_0) 的高阶无穷小量.然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为 o((x - x_0)^n) ，其中 n 为多项式的次数. 为此，我们考察任一 n 次多项式 p_n(x)=a_0 + a_1(x - x_0)+a_2(x - x_0)^2+ +a_n(x - x_0)^n （1） 逐次求它在点 x_0 处的各阶导数得到. 对于一般函数 f(x) ，设它在点 x_0 存在直到 n 阶的导数. 由这些导数构造一个 n 次多项式 T_n(x)=f(x_0)+ f'(x_0) 1! (x - x_0)+ f''(x_0) 2! (x - x_0)^2+ + f^ (n) (x_0) n! (x - x_0)^n （2），称为函数 f(x) 在点 x_0 处的泰勒(Taylor)多项式， T_n(x) 的各项系数 f^ (k) (x_0) k! (k = 1,2, ,n) 称为泰勒系数. 由上面对多项式系数的讨论，易知 f(x) 与其泰勒多项式 T_n(x) 在点 x_0 有相同的函数值和相同的直至 n 阶导数值，即 f^ (k) (x_0)=T_n^ (k) (x_0) ， k = 0,1,2, ,n . 若函数 f(x) 在点 x_0 存在直至 n 阶导数，则有 f(x)=T_n(x)+o((x - x_0)^n) ， 即 f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0)+ f''(x_0) 2! (x - x_0)^2+ + f^ (n) (x_0) n! (x - x_0)^n+o((x - x_0)^n) （3） f(x)-T_n(x)=o((x - x_0)^n) ，即以(2)所示的泰勒多项式逼近 f(x) 时，其误差为关于 (x - x_0)^n 的高阶无穷小量. 形如 o((x - x_0)^n) 的余项称为佩亚诺(Peano)型余项. 所以(3)式称为函数 f(x) 在点 x_0 处的泰勒公式， R_n(x)=f(x)-T_n(x) 称为泰勒公式的余项，形如 o((x - x_0)^n) 的余项称为佩亚诺(Peano)型余项. 所以(3)式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式. 以后用得较多的是泰勒公式(3)在 x_0 = 0 时的特殊形式： f(x)=f(0)+f'(0)x+ f''(0) 2! x^2+ + f^ (n) (0) n! x^n+o(x^n) ，它也称为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林(Maclaurin)公式. 由此可得近似公式： f(x) f(0)+f'(0)x+ f''(0) 2! x^2+ + f^ (n) (0) n! x^n

结论 1. 指数函数泰勒展开

e^x = 1 + x+ x^2 2! + x^3 3! + x^n n! +o(x^n) 高考中常见 e^x 1 + x+ x^2 2 ;(x 0) ^x 1 + x+ x^2 2 ;(x 0) ，由 x 0 ，故 -x 0 ，则 e^ -x 1 - x+ x^2 2 ;(x 0) ^ -x 1 - x+ x^2 2 ;(x 0) ； 相减得： e^x - e^ -x 2x(x 0) ，加强型： e^x - e^ -x 2x+ x^3 3 ； 拓展： 1 + x<e^x< 1 1 - x (0 < x < 1) .

结论 2. 对数函数泰勒展开

(1 + x)= x- x^2 2 + x^3 3 + +(-1)^ n - 1 x^n n +o(x^n) x=(x - 1)- 1 2 (x - 1)^2+ +(-1)^ n - 1 1 n (x - 1)^n+o((x - 1)^n) 高考中常见： x- x^2 2 (1 + x) x(x 0) - x^2 2 (1 + x) x- 1 2 x^2+ 1 3 x^3(x 0) 估值时可使用下面的方法: (1 + x)=x- x^2 2 + x^3 3 - x^4 4 + x^5 5 - x^6 6 + ， (1 - x)=-x- x^2 2 - x^3 3 - x^4 4 - x^5 5 - x^6 6 + 两式相减得 1 + x 1 - x =2x+ 2 3 x^3+ 2 5 x^5+ 取 x = 1 3 即得符合精度的近似值 2=2 1 3 + 2 3 ( 1 3 )^3+ 2 5 ( 1 3 )^5+ 0.693

结论 3. 三角函数的泰勒展开（人教A必修一P256-26）

x= x- x^3 3! + x^5 5! + +(-1)^n x^ 2n + 1 (2n+1)! +o(x^ 2n+1 ) x= 1- x^2 2! + x^4 4! + +(-1)^n x^ 2n (2n)! +o(x^ 2n ) x= x+ 1 3 x^3 + 2 15 x^5+ 17 315 x^7+o(x^7)( x < 2 ) 常用的是 x- x^3 6 x x (x 0) ， 1- x^2 2 x 1- x^2 2 + x^4 24 (x 0) ， x x ， x x+ x^3 3 (x 0)

结论 4. 分式函数与幂函数展开

1 1 - x =1 + x + x^2+ +x^n+o(x^n) 1 1 + x =1 - x + x^2+ +(-1)^nx^n+o(x^n) 1 + x + x^2+ +x^n 1 1 - x (-1 < x < 1) ， 1 - x + x^2+ +(-x)^n 1 1 + x (-1 < x < 1) 均为等比数列求和. (1 + x)^ = 1+ x+ ( - 1) 2! x^2+ + ( - 1) ( - n + 1) n! x^n+ , ;x (-1,1) (1 + x)^ =C_ ^0 x^0+C_ ^1 x^1+C_ ^2 x^2+C_ ^3 x^3+ +C_ ^n x^n+o(x^n) 可以理解为二项式展开.

帕德逼近

定义 1. 帕德逼近

考虑用分式来逼近函数，即所谓分式逼近．一种分式逼近的最常用方法称为帕德逼近． 帕德逼近的思想与泰勒展开是类似的．其想法如下：对某个函数 ( f(x) )，考虑一个分式 ( r_ m/n (x)= p_m(x) q_n(x) )，这里 ( p_m(x) 、 q_n(x) )分别为 ( m,n )次多项式．我们想找到这样的分式，使得对一点 ( x_0 )有： [ f(x_0)=r_ m/n (x_0) f'(x_0)=r'_ m/n (x_0) f''(x_0)=r''_ m/n (x_0) f^ (m + n) (x_0)=r_ m/n ^ (m + n) (x_0) ] 如果这样的分式 ( r_ m/n (x) )存在，我们就称其为原函数的一个帕德逼近．

结论 1. 帕德逼近公式

下面列出 ( f(x)=e^x )的一些帕德逼近公式，括号中表示在 ( x = 0 )附近前后逼近公式与 ( f(x)=e^x )的大小关系： c c c c ( f(x)=e^x ) 0 1 2 2 * 0 1 ( x + 1 ) ( x^2 + 2x + 2 2 ) （先大后小） （恒小于） （先大后小） 2 * 1 ( 1 1 - x ) ( 2 + x 2 - x ) ( 6 + 4x + x^2 6 - 2x ) （恒大于） （先小后大） （恒大于） 2 * 2 ( 2 x^2 - 2x + 2 ) ( 2x + 6 x^2 - 4x + 6 ) ( x^2 + 6x + 12 x^2 - 6x + 12 ) （先小后大） （恒小于） （先大后小） 0.48 c c c c ( (x + 1) ) 0 1 2 2 * 0 — ( x ) ( 2x - x^2 2 ) （恒大于） （先大后小） 2 * 1 — ( 2x 2 + x ) ( 6x + x^2 4x + 6 ) （先小后大） （恒大于） 2 * 2 — ( 12x 12 + 6x - x^2 ) ( 3x^2 + 6x 6x^2 + x + 6 ) （恒大于） （先大后小） 0.48 c c c c ( x ) 0 1 2 2 * 0 — ( x - 1 ) ( -x^2 + 4x - 3 2 ) （恒大于） （先大后小） 2 * 1 — ( 2(x - 1) x + 1 ) ( x^2 + 4x - 5 4x + 2 ) （先小后大） （恒大于） 2 * 2 — ( 12x - 12 5 + 8x - x^2 ) ( 3x^2 - 3 6x^2 - 11x + 11 ) （恒大于） （先大后小）

洛必达法则

定义 1. 洛必达法则

洛必达法则在一定情况下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法. 洛必达法则1：设 ( _ x x_0 f(x)= 0 )， ( _ x x_0 g(x)= 0 )， (f^ (x) )， (g^ (x) )存在，且 (g^ (x) 0 )， ( _ x x_0 f^ (x) g^ (x) )存在，则 [ _ x x_0 f(x) g(x) = _ x x_0 f^ (x) g^ (x) ] 洛必达法则2：设 ( _ x x_0 f(x)= )， ( _ x x_0 g(x)= )， (f^ (x) )， (g^ (x) )存在， 且 (g^ (x) 0 )， ( _ x x_0 f^ (x) g^ (x) )存在， 则 [ _ x x_0 f(x) g(x) = _ x x_0 f^ (x) g^ (x) ]

中值定理

定理 1. 罗尔中值定理

设函数 (y = f(x) ) 在区间 ([a,b] ) 上有定义，如果满足 函数 (f(x) ) 在闭区间 ([a,b] ) 上连续， 函数 (f(x) ) 在开区间 ((a,b) ) 内可导， 函数 (f(x) ) 在区间两端点处的函数值相等，即 (f(a)=f(b) ). 则在区间 ((a,b) ) 内至少存在一点 ( )，即 ( (a,b) )，使得 [f'( )=0 ]

性质 1. 罗尔中值定理的几何意义

0.69 如果连续函数除两个端点外处处有不垂直于 (x ) 轴的切线，并且两端点处纵坐标相等，那么在曲线上至少存在一点 ( )，在该点处的切线平行于 (x ) 轴. 0.3 [>=stealth, scale=1] % 坐标轴 [->] (-0.5,0) -- (3.5,0) node[right] x ; [->] (0,-0.5) -- (0,2) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; % 曲线 [domain=0.2:2.8, smooth] plot ( , -0.8*( -1.5)*( -1.5) + 1.5 ); % 辅助线 [dashed] (0.5, 0.7) -- (0.5, 0) node[below] a ; [dashed] (2.5, 0.7) -- (2.5, 0) node[below] b ; [dashed] (0.5, 0.7) -- (2.5, 0.7) ; % 切点和切线 [dashed] (1.5, 1.5) -- (1.5, 0) node[below] ; (0.5, 1.5) -- (2.5, 1.5); % 描点 (0.5, 0.7) circle (1pt); (2.5, 0.7) circle (1pt); (1.5, 1.5) circle (1pt);

定理 2. 拉格朗日中值定理

设函数 (y = f(x) ) 在区间 ([a,b] ) 上有定义，如果满足 函数 (f(x) ) 在闭区间 ([a,b] ) 上连续； 函数 (f(x) ) 在开区间 ((a,b) ) 内可导； 则在区间 ((a,b) ) 内至少存在一点 ( )，即 ( (a,b) )，使得 [ f'( )= f(b)-f(a) b - a 或 f(b)-f(a)=f'( ) (b - a) ]

性质 2. 拉格朗日中值定理的几何意义

0.69 当曲线方程满足拉格朗日定理的要求时，在区间内至少存在一点 ( )，使得该点的切线平行于曲线两端点 ((a,f(a)) ) 与 ((b,f(b)) ) 的连线，其斜率为 [k = f'( )= f(b)-f(a) b - a ] 推论 1 ： 设 (y = f(x) ) 在 ([a,b] ) 上连续，若在 ((a,b) ) 内的导数恒为零，则在 ([a,b] ) 上 (f(x) ) 为常数，即 (f'(x) 0 f(x) C ) 推论 2 ： 如果函数 (y = f(x) ) 与 (y = g(x) ) 在区间 ((a,b) ) 内的导数处处相等，即 (f'(x)=g'(x) )，则这两个函数在 ((a,b) ) 内只相差一个常数，即 (f(x)-g(x)=C ). 0.3 [>=stealth, scale=0.9] [->] (-0.5,0) -- (3.5,0) node[right] x ; [->] (0,-0.5) -- (0,3.5) node[left] y ; [below left] at (0,0) O ; % Curve: y = -0.6*(x-2)^2 + 3 [domain=0.2:3.3, smooth, samples=100] plot ( , -0.6*( -2)*( -2) + 3 ); % Points A(0.5, 1.65), B(3.0, 2.4), M(1.75, 2.9625) (A) at (0.5, 1.65); (B) at (3.0, 2.4); (M) at (1.75, 2.9625); % Secant [dashed] (A) -- (B); % Tangent at xi=1.75, slope=0.3 (0.5, 2.5875) -- (3.0, 3.3375); % Projections [dashed] (A) -- (0.5, 0) node[below] a ; [dashed] (B) -- (3.0, 0) node[below] b ; [dashed] (M) -- (1.75, 0) node[below] ; % Dots (A) circle (1pt); (B) circle (1pt); (M) circle (1pt);

定理 3. 柯西中值定理

设函数 (y = f(x) ) 与 (y = g(x) ) 在区间 ([a,b] ) 上有定义，如果满足 函数 (f(x) ) 与 (g(x) ) 在闭区间 ([a,b] ) 上连续， 函数 (f(x) ) 与 (g(x) ) 在开区间 ((a,b) ) 内可导， (g'(x) ) 在区间 ((a,b) ) 内恒不为零， 则在区间 ((a,b) ) 内至少存在一点 ( )，即 ( (a,b) )，使得 [ f(b)-f(a) g(b)-g(a) = f'( ) g'( ) ]